Bải giảng giải tích 2 có bài tập

GIẢI TÍCH HỒNG HẢI HÀ BÁCH KHOA TPHCM 21st February 2013 HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 Nhận diện mặt bậc Bài tập Đạo hàm riêng-vi phân hàm nhiều biến Tóm tắt lý thuyết Bài tập Vi phân cấp cao Bài tập Cực trị tự Tóm tắt lý thuyết Bài tập Cực trị có điều kiện GTLN-GTNN Lí thuyết Bài tập HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 TÍCH PHÂN KÉP Tích phân kép Tọa độ cực Diện tích miền phẳng Tích phân bội ba Tóm tắt lý thuyết Bài tập TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tóm tắt lý thuyết Tích phân đường loại Tích phân đường loại Green Bài tập HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 Nhận diện mặt bậc Tích phân mặt Tích phân mặt loại Tích phân mặt loại 10 Công thức Stoke 11 Chuỗi số Lý thuyết Các tiêu chuẩn để chuỗi hội tụ Tích phân-Cauchy-D’lambert-Raph Chuỗi đan dấu 12 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Tổng chuỗi lũy thừa HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 Nhận diện mặt bậc Nhận diện mặt bậc Xét hàm hai biến z = z(x, y ), không gian, hàm mơ tả mặt Các mặt bậc bản: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R : MẶT CẦU HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 Nhận diện mặt bậc Nhận diện mặt bậc Xét hàm hai biến z = z(x, y ), không gian, hàm mô tả mặt Các mặt bậc bản: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R : MẶT CẦU x2 y2 z2 + + = : ELLIPSOID a2 b c HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 Nhận diện mặt bậc Nhận diện mặt bậc Xét hàm hai biến z = z(x, y ), không gian, hàm mô tả mặt Các mặt bậc bản: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R : MẶT CẦU x2 y2 z2 + + = : ELLIPSOID a2 b c x2 y2 z2 + − = 1: HYPERBOLID a2 b c HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 Nhận diện mặt bậc x2 y2 z2 + − = 0: NÓN a2 b c HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 Nhận diện mặt bậc x2 y2 z2 + − = 0: NÓN a2 b c x2 y2 cz + d = + : PARABOLOID ELLIPTIC a b HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 Nhận diện mặt bậc x2 y2 z2 + − = 0: NÓN a2 b c x2 y2 cz + d = + : PARABOLOID ELLIPTIC a b x y2 cz + d = − : PARABOLOID HYPERBOLIC a b HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 / 131 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Bán kính hội tụ an R = lim R = lim n n→∞ an+1 n→∞ |an | ∞ ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R): chuỗi an (x − x0 )n hội tụ n=1 ∞ ∀|x − x0 | > R: chuỗi an (x − x0 )n phân kỳ n=1 Tại x = x0 ± R: phải xét riêng HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 117 / 131 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor-Maclaurint Hàm f(x) khả vi vô hạn lân cận điểm x0 , chuỗi Taylor hàm f(x) lân cận điểm x0 có cơng thức: ∞ f (x) = n=1 f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! x0 = 0: Chuỗi Maclaurint HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 118 / 131 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Các chuỗi Maclaurint xn e = , D = R n=0 n! x ∞ ∞ ln(1 + x) = n−1 x (−1) n=1 HÀ (ĐHBK TPHCM) n n , D = (−1, 1] BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 119 / 131 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa ∞ α(α − 1) (α − n + 1) x n với (1 + x)α = + n! n=1  R, α ∈ N  [−1, 1], α >  D=  (−1, 1], −1 < α < (−1, 1), α ≤ −1 HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 120 / 131 Chuỗi lũy thừa = 1+x Chuỗi lũy thừa ∞ (−1)n x n n=0 = 1−x HÀ (ĐHBK TPHCM) ∞ xn n=0 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 121 / 131 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa x 2n+1 arctanx = (−1) , D=[-1,1] 2n + n=0 ∞ ∞ sinx = n (−1)n n=0 x 2n+1 , D=R (2n + 1)! x 2n cosx = (−1) , D=R (2n)! n=0 ∞ n ∞ arcsinx = x + HÀ (ĐHBK TPHCM) (2n − 1)!! 2n+1 x , D=[-1,1] n=1 (2n)!!2n + BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 122 / 131 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau ∞ 2n − 3n + n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 HÀ (ĐHBK TPHCM) √ n n (x + 2)n x −1 n 5n + (−3)n n x n+1 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 123 / 131 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa ∞ 3n (n3 + 2)(x − 1)2n n=1 ∞ 4n (x + 1)n n=1 ∞ n=1 HÀ (ĐHBK TPHCM) n! (∗) nn x n BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 124 / 131 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Viết chuỗi Maclaurint tìm bán kính hội tụ chuỗi nhận hàm sau: e −x x2 (1 + x)2 5x − x +2 xarcsinx + HÀ (ĐHBK TPHCM) − x2 BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 125 / 131 Chuỗi lũy thừa Tổng chuỗi lũy thừa Tổng chuỗi lũy thừa ∞ Gọi S(x) = an (x − x0 )n Trong miền hội tụ, ta có: n=1 S(x) hàm liên tục ∞ S (x) = an n(x − x0 )n−1 n=1 x ∞ S(t)dt = x0 HÀ (ĐHBK TPHCM) an (x − x0 )n+1 n=1 n + BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 126 / 131 Chuỗi lũy thừa Tổng chuỗi lũy thừa Tính tổng chuỗi lũy thừa sau: ∞ nx n n=1 ∞ n=1 ∞ 1+ n=0 ∞ xn n 3n+1 xn n(n + 2)x n n=1 HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 127 / 131 Chuỗi lũy thừa ∞ n=1 Tổng chuỗi lũy thừa n x 2n (n + 1)! ∞ (−1)n−1 + n=1 ∞ n=1 HÀ (ĐHBK TPHCM) n x n−1 (−1)n−1 x 2n n(2n − 1) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 128 / 131 Chuỗi lũy thừa ∞ Cho chuỗi lũy thừa: n=1 Tổng chuỗi lũy thừa 2n cos ( n! nπ ) x n a Tìm miền hội tụ chuỗi b Gọi S(x) tổng chuỗi, chứng minh rằng: S (x) + 2S (x) + 4S(x) = 6e 2x HÀ (ĐHBK TPHCM) BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 129 / 131 Chuỗi lũy thừa Tổng chuỗi số Tổng chuỗi số NHỚ: (2n)! = 2n n! ∞ n=1 ∞ n=0 2n (n + 1) n! ∞ n=1 ∞ n=1 HÀ (ĐHBK TPHCM) n2 n! n2 3n (1 − n) (1 + n)2n BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 130 / 131 Chuỗi lũy thừa ∞ n=1 22n + (−1)n 2n+1 n! −3 + ∞ n=1 ∞ n=1 HÀ (ĐHBK TPHCM) Tổng chuỗi số 3n+1 n(n + 1) n(ln3)n + n! BÀI TẬP GIẢI TÍCH 21st February 2013 131 / 131