ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG LỊCH SỬ TOÁN HỌC

Sự tích lũy các kiến thức về số cũng như về hình đã tạo ra những tiền đềcho sự hình thành các kỹ thuật toán học: + Khả năng chuyển từ việc nghiên cứu trên các vật cụ thể sang việc nghiên

CHƯƠNG 1 Giai đoạn phát sinh toán học

Số tiết: 04 (Lý thuyết: 03 tiết; bài tập, thảo luận: 01)

- Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn lịch sử toán đối với các môn học khác, tích cực, chủ độngtham gia các hoạt động của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo

1.1 Hoàn cảnh lịch sử

1.1.1 Thời gian

- Rất lâu dài, từ thời xa xưa, (thời kỳ đồ đá cũ) đến khoảng thế kỷ VII- - V-

1.1.2 Căn cứ xác định

- Tài liệu về lịch sử văn hóa của loài người: khảo cổ, những sự kiện về lịch sử ngôn ngữ

- Những hiểu biết từ kết quả khảo sát các bộ lạc man rợ còn tồn tại

- Những thành tựu mới nhất về sinh lí học, tâm lí lứa tuổi và các qui luật nhận thức

1.2 Đặc điểm chung

1.2.1 Đặc điểm

Tuy hình thức và con đường phát triển của kiến thức toán học rất khác nhau ở các dântộc, song có một nét chung là:

+ Các khái niệm cơ bản của toán học đều phát sinh từ thực tiễn và trải qua một quá trình

hoàn thiện khá lâu dài.

+ Các khái niệm toán học chỉ có thể có khi loài người đã có công cụ lao động (tức là sớm

nhất chỉ vào thời kì đồ đá cũ) Khi đó, nhờ lao động mới có ngôn ngữ và mới phát triển bộ óc

con người; trên cơ sở đó mới có khả năng trừu tượng hóa để đếm và đo Đây là điểm khác biệt giữa con người và loài vật: đối với con người trước khi xây dựng một cái gì đó thì họ đã xây

- Sự phát sinh khái niệm số là do nhu cầu thực tiễn đếm và đo các đồ vật: Do nhu cầu

kiểm tra, phân phát các dụng cụ sản phẩm khi săn bắn, hái lượm mà con người biết thiết lập sựtương ứng một đối một (một cách trực tiếp qua hoạt động phân phát) Phép tương ứng đó đượclặp đi lặp lại nhiều lần, lâu dài con người dần dần nhận ra có một cái gì chung cho những tập hợpnhư vậy, đi đến chỗ đặt tên cho cái chung đó

- Khái niệm trừu tượng về số, xem như là tính chất chung của mọi tập hợp hữu hạn

tương đương được củng cố dần qua ngôn ngữ, trước hết bằng lời, sau bằng những dấu hiệu, tức

là chữ số

Như vậy, lịch sử hình thành số tự nhiên có thể chia làm 4 giai đoạn lớn (tương ứng với 4giai đoạn phát triển kĩ thuật đếm).

+ Giai đoạn I

Đếm chính là việc thiết lập sự tương ứng của các tập hợp vật thể khác nhau Khi đó các

tính chất chung của các tập hợp được phản ánh đầy đủ bằng chính bản chất cụ thể của các đốitượng đem so sánh Con số có tính chất vật lí; con người nhận thức được một cách trực giác

+ Giai đoạn II

Tính đếm được của một tập hợp xác định được biểu thị qua yếu tố tương đương của một

tập hợp khác Lúc này, tính chất chung của các tập hợp tương đương bắt đầu được quan niệm

khác với bản chất cụ thể của từng tập hợp Người ta thường gọi tên con số qua tên các vật cụ thểkhác: “ 1- mặt trời; 2 - cánh chim; 4 - chân chó; 5- bàn tay”

+ Giai đoạn III

Người ta chọn được một tập hợp xác định làm tập hợp mẫu về số lượng (sỏi, que, đá, các

bộ phận cơ thể ) Khi đó, tính chất chung của các tập hợp được phân biệt rõ rệt với tập hợp cầnđếm

+ Giai đoạn IV

Tính chất chung của mọi tập hợp tương đương được tách khỏi mọi tập hợp đối tượng cụ thể và xuất hiện dưới dạng thuần túy ‘‘khái niệm trừu tượng về số tự nhiên”.

Tóm lại, như Ăng ghen đã nói:

‘‘Muốn đếm con người phải biết trừu xuất tất cả để chỉ giữ lại ‘‘con số” thôi”.

1.2.2.2 Các hệ thống ghi số

+ Hệ thống ghi số không theo vị trí mà ghi bằng chữ tượng hình

Dùng các chữ tượng hình (các dấu chấm; nét gạch đứng, gạch ngang, gạch chéo ) theonguyên tắc cộng, trừ Tiêu biểu là các hệ thống ghi số Ai Cập, Trung Quốc, La Mã, Xyry

- Chữ số La Mã: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, L(50), C(100), D(500), M(1000),

Với hệ cơ số 60: Chẳng hạn, người Babilon cổ sử dụng hệ cơ số 60 để viết số tự nhiên

k = a0600 + a1601 + a2602 + + an60n dưới dạng: a an n 1 n 2 a  a a a2 1 0

Hệ cơ số 10: Người Ấn Độ cổ ghi số theo vị trí thập phân (cơ số 10), chẳng hạn: số tựnhiên k = an10n + an-110n-1+ + a1101 + a0100 được viết dưới dạng a an n 1 n 2 a  a a a2 1 0

Lúc đầu loài người chưa biết đến số 0, sau đó đến thế kỷ V-VI, ở Ấn Độ, do nhu cầu tínhtoán và việc dùng bàn tính, người ta đã đưa thêm số 0 vào hệ thống số Từ ‘‘sunya” nghĩa là

trống không, không có gì trên bàn tính được dùng để chỉ số 0

*) Cùng với khái niệm số, các phép tính cộng trừ nhân chia trên số tự nhiên có điều kiện

hình thành và phát triển

*) Những kiến thức về hình học, thiên văn, lượng giác cũng được hình thành từ nhu cầu

quan sát, đo đạc,

Tóm lại, như Ăng ghen đã viết: ‘‘Toán học xuất phát từ việc đo đạc ruộng đất, đo dung

tích bình chậu, từ tính toán thời gian, từ cơ học”.

1.3 Tình hình phát triển

Để minh họa cho sự phát sinh toán học, ta sẽ nghiên cứu hai nền toán học tiêu biểu ở thời

kì này là toán học Ai Cập và toán học Babilon

1.3.1 Toán học cổ Ai Cập

Tư liệu lịch sử về toán học Ai Cập chủ yếu dựa vào 2 ‘‘Papirut” (có từ khoảng thế kỷ

XX-) và một số ít tài liệu khác còn lưu lại

Papirut Rhin (hiện nay lưu giữ ở Luân Đôn) dài 5,5m rộng 32 cm gồm 84 bài toán mangtính thực tiễn: diện tích một số hình phẳng (hình chữ nhật, tam giác, hình thang, hình tròn vớiS= (8d/9)2 hay  3,1605; thể tích hình hộp, hình trụ , ; các bài toán tính toán với phân số, chia

tỷ lệ %, tính tổng của cấp số nhân,

Papirut Matxcova (hiện nay lưu giữ ở Matxcova) dài 5m rộng 8cm gồm 25 bài toántương tự ở Papirut Rhin: Tính diện tích một số hình phẳng (hình chữ nhật, tam giác, hình thang,hình tròn với S= (8d/9)2 hay  3,1605; thể tích hình hộp, hình trụ , ; các bài toán tính toán vớiphân số, chia tỷ lệ %, tính tổng của cấp số nhân, Ngoài ra, còn có bài toán số 14 tính đượcđúng thể tích hình chóp cụt đáy vuông theo công thức giống như hiện nay: V= h/3 (a2 + ab + b2)

và bài toán số 10 có công thức tính diện tích mặt cong (mặt bên của hình viên trụ có đường caobằng đường kính đáy)

- Thành tựu toán học của người Ai Cập cổ là:

Đã biết sử dụng hệ thống ghi số xác định (thập phân tượng hình) tạo điều kiện thuận lợi cho việclàm tính với mọi số nguyên Kỹ thuật tính toán dựa trên phép cộng

Biết sử dụng phân số với công cụ là 1

n kèm thêm một số phân số đặc biệt 2/3, 3/4; Từ đó xác

định phép chia bằng cách coi m m 1

n  n Chẳng hạn: chuyển phép chia 2:9 về phép cộng

1/6 + 1/18

Đã biết phép giải phương trình tuyến tính dạng ax+by+cz = 

Như vậy, ở Ai Cập cổ từ 4000 năm trước công nguyên đã tích lũy được một số yếu tố củatoán học như một khoa học Toán chỉ mới được tách ra từ thực tiễn, vẫn còn phụ thuộc vào nộidung của từng bài toán Các qui tắc mang nặng tính thực nghiệm Các phương pháp giải cònchưa thống nhất (ví dụ số  được lấy với nhiều giá trị khác nhau: 3; (16/9)2; 3,1605; ); vẫn cònnhững cách giải sai như khi tính diện tích tam giác cân, người ta lấy nửa cạnh đáy nhân với cạnhbên (!)

Song có thể nói rằng vào thời xa xưa này khoa học nói chung trong đó có toán học đãphát triển đến một trình độ khá cao ở Ai Cập (bằng chứng ở các kim tự tháp và hầm mộ cổ cònlại ngày nay)

1.3.2 Toán học cổ Babilon

Vào khoảng thế kỷ XX- đến XIV- trước công nguyên, Babilon là một tập đoàn quốc giachiếm hữu nô lệ khá phát triển ở vùng lưu vực 2 con sông Tigơrơ và Ơphơrat Tài liệu về vănhóa Babilon còn lưu lại khá nhiều: 20 vạn bản đất sét nung có khắc chữ, trong đó có 250 bản có

nội dung toán học (50 bản có lời văn và 200 bản không có lời).

Thành tựu toán học Babilon chủ yếu gồm:

- Sử dụng hệ thống ghi số theo vị trí: xen lẫn cơ số 60 và cơ số 10

- Xây dựng nhiều quy tắc tính toán thực hành, lập ra các bảng tính toán sẵn (nhân, chia,bình phương, lập phương, khai căn bậc hai và bậc 3, )

- Giải được các bài toán tính tỷ lệ %, các phương trình bậc 1, một số phương trình bậc 2

và bậc 3 như: x2  ax = b; x3(x+1)=a

- Tính được các tổng  2k;  k2; , tìm được công thức xác định bộ 3 số Pitago

- Về hình học cũng đạt được kết quả tương tự như ở Ai Cập: các phép tính về diện tíchcác đa giác và thể tích các đa diện thông thường

- Phát triển các kiến thức về thiên văn và tam giác lượng: tính gần đúng thể tích , lậpbảng các tỷ số thực nghiệm thiên văn, bảng tỷ số lượng giác,

1.4 Kết luận về giai đoạn phát sinh toán học

Quá trình tích lũy một số lớn các sự kiện toán học cụ thể dưới dạng phương tiện tính toán

số học, phương pháp xác định diện tích và thể tích, phương pháp giải một số loại toán đã diễn

ra lâu dài và khác nhau Sự tích lũy các kiến thức về số cũng như về hình đã tạo ra những tiền đềcho sự hình thành các kỹ thuật toán học:

+) Khả năng chuyển từ việc nghiên cứu trên các vật cụ thể sang việc nghiên cứu trên các

hình ảnh thu gọn, trên sơ đồ và ký hiệu của chúng, về sau điều này đưa đến sự phát triển hệ

thống ghi số và các phép dựng hình

+) Biết thay thế những bài toán cụ thể bằng những bài toán có dạng tổng quát , giải theo

những qui tắc xác định, bao gồm một loạt các trường hợp riêng Đây là những hình thức đầu tiên

tạo nên những thuật toán và phép toán có liên quan.

Chỉ khi nào các tiền đề trên đã phát huy tác dụng một cách rõ rệt và trong xã hội có một lớp người biết sử dụng một số nhất định những phương tiện toán học, thì lúc đó mới có căn cứ

để nói rằng: toán học đã bắt đầu trở thành một khoa học độc lập

*) Tài liệu học tập

1 Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục.

2 Nguyễn Anh Tuấn (2000), Bài giảng lịch sử toán học, ĐHSP Thái Nguyên.

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

1.1 Bằng phương pháp Ai cập, hãy thực hiện các phép toán sau

22.32; 1998:33

1.2 Dung quy tắc đặt sai hãy giải hệ phương trình sau đây

34

1.3 Theo bạn thì thành tựu nào của nền toán học Babylon là có ý nghĩa nhất, tại sao?

1.4 Các nhà toán học Babylon đã phát hiện ra các bộ số Pythagoras theo quy tắc nào? Quy tắc

đó đúng hay không, hãy kiểm chứng?

1.5 Hãy cho biết dạng phương trình bậc ba nào người Babylon có thể giải được bằng bảng? 1.6 Người Ai Cập cổ đã tính thể tích hình chóp cụt đáy là hình vuông bằng cách nào? Hãy chobiết bài toán tính thể tích hình chóp cụt đáy là hình vuông của họ mà được tìm thấy

CHƯƠNG 2 Giai đoạn toán học sơ cấp

Số tiết: 15 (Lý thuyết: 12 tiết; bài tập, thảo luận: 03)

*) Mục tiêu:

- Sinh viên hiểu được hoàn cảnh lịch sử, tình hình phát triển và các nét chính của giai đoạn toánhọc sơ cấp Hy Lạp cổ đại, Hy Lạp thời kỳ Elinit, Hy Lạp thời kỳ đô hộ La Mã, toán học sơ cấpTrung Quốc, Ấn Độ, Trung Á- Cận Đông, Châu Âu

- Sinh viên biết được sự phát triển của toán học sơ cấp ứng với từng vùng, miền Qua đó vậndụng các kiến thức đã học tìm hiểu về các nhà toán học có đóng góp lớn đối với môn đại số, giảitích, hình học

- Sinh viên tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có năng lực tự học cao, cóphương pháp học tập tích cực sáng tạo

+ Triết học: Cổ Hy Lạp, phương Đông,

+ Giao lưu văn hóa

Ở Hy Lạp - La Mã - Ấn Độ -Trung Á Cận Đông và Châu Âu có sự di chuyển và ảnhhưởng lẫn nhau còn ở Trung Quốc thì mang tính độc lập tương đối

2.2 Đặc điểm chung của giai đoạn toán học sơ cấp

+ Cùng với những bài toán thực dụng, người ta đã nghiên cứu những hệ thống khái niệm

cơ sở của từng ngành toán học riêng biệt Những hệ thống khái niệm này khái quát hóa thành tựu

toán học đã đạt được và phản ánh quy luật khách quan của tư duy toán học loài người

+ Toán học trong giai đoạn này đã trở thành một khoa học suy diễn (những lý thuyết toán

học được trừu tượng hóa từ những bài toán cụ thể hoặc từ những bài toán cùng loại, tạo ranhững tiền đề cần thiết và đầy đủ cho việc nhận thức tính độc lập của toán học)

+ Toán học được xem như một hệ thống suy luận logic xuất phát từ một số mệnh đề cơ

bản (tiên đề) được coi là đúng (dựa trên cơ sở thực nghiệm) rồi rút ra những kết quả khác bằngđường lối suy luận logic chặt chẽ

+ Về cơ bản, toán học nghiên cứu các đại lượng không đổi, các quá trình tĩnh tại.

+ Sự phát triển của toán học chịu ảnh hưởng khá rõ rệt của chế độ chính trị, tôn giáo,

chiến tranh, và toán học mang đậm nét tư tưởng văn hóa xã hội Do đó toán học sơ cấp mang

tính di chuyển theo vùng địa lý: từ Hy Lạp – La Mã; Ấn Độ  Trung Á- Cận Đông  ChâuÂu

2.3 Toán học sơ cấp ở Hy Lạp cổ đại

2.3.1 Hoàn cảnh lịch sử xã hội

- Thời gian: Từ rất sớm khoảng thế kỷ VII

Chế độ chính trị: Cổ Hy Lạp là một tập đoàn quốc gia chiếm hữu nô lệ lớn có nền kinh

tế phát triển với công cụ sản xuất bằng kim loại

- Tôn giáo: Đa tôn giáo.

2.3.2.1 Trường phái Iôni (Thể kỷ VII- - VI-) do Talet (639- - 548-) lãnh đạo

Với quan niệm triết học ‘‘Nhất nguyên luận: mọi vật đều do nước sinh ra”: chẳng hạn đất

do nước đặc lại, còn không khí do nước loãng ra

Nghiên cứu toán học để phục vụ triết học:

Với mục đích triết học, trong nghiên cứu toán học, Talet đã yêu cầu không chỉ phát biểucác mệnh đề mà cần phải chứng minh Chẳng hạn, trường phái này đã chứng minh những mệnh

đề sau:

+ Đường kính chia đường tròn thành 2 phần bằng nhau.

+ Các góc ở đáy của tam giác cân thì bằng nhau.

+ Các góc vuông bằng nhau.

+ Hai tam giác có một cạnh bằng nhau kề với 2 góc bằng nhau từng đôi một thì bằng

nhau (hai tam giác bằng nhau theo trường trường hợp: cạnh – góc - cạnh).

+ Góc nội tiếp trong nửa đường tròn là góc vuông.

+ Định lý Talet: về các đoạn do các đường thẳng song song định trên hai cát tuyến

Có thể nói: Talet là người mở đường xây dựng toán học trở thành một khoa học mangtính lý thuyết nhất so với khoa học khác

2.3.2.2 Trường phái Pitago ( Thế kỷ VI- - V-) do Pitago ( 569- -470- ) lãnh đạo

Là một trường phái triết học nghiên cứu toán học với mục đích chính trị, mang màu sắctôn giáo: đặt cơ sở cho một trật tự vĩnh hằng, lấy thứ tự và quan hệ giữa các con số để biện minh

Coi con số là gốc của thế giới: ‘‘Mọi quan hệ đều là quan hệ số”, ‘‘Số 1 là do thượng đế sáng

tạo ra, các số khác do con người sang lập ra”.

Dùng con số để giải thích thế giới: Số lẻ đầu tiên (3) là số nam, số chẵn đầu tiên (2) là số

nữ  số 5 = 2 + 3 biểu thị cho sự kết duyên; số 7 biểu thị cho sức khỏe; số 8 đặc trưng cho tìnhyêu, Họ tôn thờ con số, coi con số là thần linh đã sáng tạo ra cả loài người, thậm chí đã xuyêntạc cả kiến thức thiên văn đương thời Để nêu lên tính chất thần linh và đẹp đẽ của số 10, ngoài 8cầu thể đã biết là sao Kim, Mộc, Thủy, Hỏa, Thổ, mặt trời, trái đất, mặt trăng, họ đã tưởng tượng

ra ‘‘đối mặt đất” và quan niệm cả 9 cầu thể đó chuyển động xung quanh ‘‘trung tâm lửa” theo một chu kỳ gọi là ‘‘năm vũ trụ”.

Tư tưởng mê tín con số vẫn còn đến ngày nay: đến thế kỷ XVI ở Châu Âu

vẫn có người đeo ‘‘Bảng số thiêng liêng” (Hình 2.1) làm bùa chống dịch tả Thói

quen kiêng sợ số 13, ‘‘chớ đi ngày 7, chớ về ngày 3”, chọn ngày chẵn, lẻ

Trường phái Pitago đã có những đóng góp về mặt toán học:

4 9 2

3 5 7

8 1 6Hình 2.1

Tính tổng cấp số cộng:

1(2 1)

n k

không gian bằng một hệ thống hình lập phương) Thành tựu quan trọng nhất là định lý Pitago

trong tam giác vuông (c2= a2+ b2) mà từ đó dẫn đến việc phát hiện ra số vô tỷ 2 của Ơđôc( 408- - 355-)

2.3.2.3 Trường phái Aphin (nửa sau thế kỷ V-) do Hypocrat (?-450-?) lãnh đạo

Hypocrat hệ thống các kiến thức hình học để viết tập ‘‘Cơ bản” ở Khiôt (450- - 430-).Trong đó: các phương pháp chứng minh hình học được nghiên cứu và hoàn thiện; Khảo sát định

lý Pitago và các bất đẳng thức trong tam giác không vuông; đặc biệt là trình bày những nghiêncứu về ba bài toán nổi tiếng

Lịch sử của 3 bài toán đã có từ khá lâu Song đến tận đầu thế kỷ XIX, bằng những thànhtựu của đại số cao cấp thì các bài toán này mới được giải quyết trọn vẹn Người ta chứng minhđược là không thể giải quyết 3 bài toán trên thuần túy bằng hình học (nhờ một số hữu hạn cácphép dựng đường thẳng và đường tròn)

Có thể giải gần đúng các bài toán đó nhờ việc đưa ra công cụ là các thiết diện cônic, cácđường cong bậc 3, bậc 4, đường cong siêu việt Quadra trixơ Đồng thời, chúng cũng liên quanđến toán hiện đại, đến lĩnh vực số vô tỷ, số đại số và lý thuyết nhóm

Hypocrat (450-) đã giải bài toán ‘‘Gấp đôi hình lập phương” (thường gọi là bài toán

Đenphi): Dựng một hình lập phương có thể tích gấp đôi một hình lập phương cạnh a đã cho

(Tương truyền rằng xuất phát của bài toán này là do lời sấm buộc phải tăng gấp đôi thể tích đàn

thẳng x=a.32 Đây là một trong những nguyên nhân khiến cho thiết diện conic trở thành mộtphương tiện để giải các bài toán không thể thực hiện được bằng thước và compa

Hypocrat (420-) đã giải quyết bài toán ‘‘chia ba một góc”: Dùng thước và compa chia 1

góc bất kì thành 3 góc bằng nhau Bài toán này dẫn đến việc giải phương trình bậc 3 biểu thịdưới dạng lượng giác: cos  4cos3 3cos

 hay a = 4x3 -3x Ông đã sử dụng một đườngcong đặc biệt (mà sau này gọi là Quadratrixơ) làm phương tiện

Đinostrat (350-) dùng đường Quadratrixơ để giải quyết bài toán ‘‘cầu phương trình tròn”:

Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn đã cho Do bản chất siêuviệt của bài toán này (cạnh của hình vuông bằng x= R  ) nên không thể cầu phương chính xácđược hình tròn bằng thước và compa Mãi đến cuối thế kỷ XVIII Lambe và Lagrange mới chứngminh được tính siêu việt của số  và gần cuối thế kỷ XIX, Lơđơman mới chứng minh được số

là số siêu việt (không thể là nghiệm của bất kỳ phương trình đại số nào với hệ số nguyên).Song những nỗ lực khi giải bài toán này lại đem đến cho toán học nhiều sự kiện và phương pháp

mới: phương pháp sơ khai về giới hạn (phương pháp ‘‘tát cạn”) Hypocrat đã sử dụng các hình

trăng (giới hạn bởi các cung tròn) và tính diện tích theo cách gần đúng (dùng thước và compa

dựng các hình tương đương giới hạn bởi các đoạn thẳng) Từ đó phát triển xu hướng tính gần

đúng diện tích hình tròn bằng các đa giác nội tiếp hoặc ngoại tiếp, tính gần đúng số 

Platon (427- - 347-): Lãnh đạo trường phái triết học phản động duy tâm chủ quan của viện

hàn lâm khoa học Aten, ông quan niệm: ‘‘Điều kiện để nghiên cứu triết học, để nắm được quy

luật thiên nhiên là phải có kiến thức toán học” Platon treo biển trước cửa viện ‘‘Ai không hiểu hình học, miễn vào!” Trường phái Platon cho rằng: Toán học quan trọng không phải ở áp dụng

thực tế, mà là để hiểu ‘‘ý trời”; Toán học là thứ tiêu khiển riêng của giới thượng lưu, quần

chúng lao động không cần biết đến.

Ông nhấn mạnh vai trò của hình học không gian, nghiên cứu tìm ra 5 khối đa diện đều

(còn gọi là ‘‘Vật thể Platon” vì gắn với 5 yếu tố: lửa, nước, không khí, đất và thượng đế) Ông quan niệm: chân lý của toán học là các định lý.

Quy luật Platon tìm bộ ba số Pitago nguyên tố cùng nhau: x=4p2-1, y= 4p,z= 4p2+1 (trong

đó x và z là hai số lẻ liền nhau)

Aristôten (384- -322- ): Là một trong những nhà tư tưởng lớn ở thời kì cổ đại Tác phẩm:

‘‘Triết học và khoa học tự nhiên’’ của ông đã đề cập đến những nguyên tắc cơ bản cần tôn trọng

để xây dựng - một hệ thống suy diễn: giải thích về bản chất của tiên đề, định đề, định nghĩa, giả

thuyết và chứng minh Với quan điểm toán học này, ông chống lại quan niệm của Platon Những

quan điểm toán học của ông về sau của ông đã được Ơclit sử dụng

Zenon ( 450-) đã đưa ra một số nghịch lý liên quan đến tính vô hạn.

Do những kiến thức toán học đương thời không đủ giải thích những quá trình vô hạn nênZenon đã đưa ra một số nghịch lý mà nổi tiếng nhất là:

+ Không thể có một chuyển động nào cả vì đường đi có thể chia nhỏ vô hạn (chia đôi

mãi) nên cần phải vượt qua một tập hợp vô hạn những phần nhỏ của con đường (thực chất là

chưa hình dung được

1 2

1

k k





 =1)

+ Lực sĩ chạy nhanh Asin trong thần thoại Hy lạp cũng không đuổi kịp một con rùa: vì

Asin luôn luôn phải đạt tới những vị trí mà con rùa vừa đi qua ( thực chất là chưa hình dung

được 1

1

(n 1)1

k k

n n

+ Mũi tên không thể bay được nếu thời gian được xem như là tổng các khoảnh khắc ngắn

ngủi, mà trong mội khoảnh khắc đó thì mũi tên đứng im

2.3.3 Kết luận về toán học sơ cấp ở Hy Lạp cổ

Nếu như vào thời kì trước, toán học ở Ai Cập- Babilon còn mang nặng tính chất thựcnghiệm, chưa xây dựng các lý thuyết tổng quát thì các nhà toán học Hy Lạp không dừng lại ở

câu hỏi: ‘‘Làm thế nào ?’’ mà đã tìm hiểu ‘‘Tại sao ?’’ lại làm được như vậy ! Ở Hy Lạp cổ đại

đã có những cống hiến đặc biệt to lớn về khoa học tự nhiên và toán học Đặc biệt, nền toán học

sơ cấp Hy Lạp cổ có những kiến thức căn bản về kiến thức toán học với trình độ trừu tượng khá

cao, với suy luận logic trong trình bày Ăng ghen cho rằng: ‘‘Nếu khoa học tự nhiên muốn tìm

hiểu lịch sử phát sinh và phát triển của những lý thuyết tổng quát hiện nay, thì nhất thiết phải quay trở về Hy Lạp ’’.

2.4 Toán học sơ cấp Hy Lạp ở thời kỳ Elinit

2.4.1 Hoàn cảnh lịch sử

Ở thời kỳ này, trong khoảng thời gian từ cuối thế kỷ IV- đến thế kỷ I-, toán học phát triểntrong điều kiện về chế độ chính trị xã hội: kết hợp tốt đẹp giữa nhu cầu thực tiễn và sự phát triển

của toán học Về tôn giáo: đa tôn giáo, về triết học: cổ Hy Lạp Lúc này ở Hy Lạp đó có sự giaolưu văn hóa, phát triển thương mại mà điển hình là trung tâm khoa học Alecxanđri (Ai Cập).2.4.2 Tình hình phát triển

2.4.2.1 Ơclit (330- -275-)

Là nhà toán học nổi tiếng nhất vào thời kỳ này Ông đã trả lời hoàng đế Ptoleme I (306 –

283-): ‘‘Trong hình học không có con đường dành riêng cho nhà vua’’(!)

Ông viết bộ ‘‘cơ bản’’ gồm 13 quyển ( được đánh giá như một ‘‘ vì tinh tú’’ sáng chói

trên bầu trời toán học!) với nội dung không nhằm thống kê mọi kiến thức toán học đương thời

mà trình bày các cơ sở của toán học một cách logic (kiểu tiên đề), tập trung vào 3 vấn đề chính:

+ Lý thuyết tỉ số của Ơđoc

+ Lý thuyết vô tỷ của Talet

+ Lý thuyết về 5 khối đa diện đều

Trong đó có 3 định đề đầu nói về thước và compa và đặc biệt, định đề 5 ‘‘Qua một điểm

đã cho ngoài một đường thẳng cho trước, kẻ duy nhất được một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước’’ bị nhiều nhà toán học thời kỳ sau nghi ngờ có thể suy ra được từ những

tiên đề còn lại Nhưng đây cũng chính là tiền đề cơ sở để tìm ra hình học phi Ơclit vào năm 1826(Lobasepki)

Quyển 1: Các phép tính toán góc, đoạn thẳng, tính chất của các hình tam giác, hình chữ

nhật, hình bình hành So sánh các diện tích Định lý Pitago thuận và đảo

Quyển 2 : Xét tương quan giữa diện tích hình vuông và hình chữ nhật Từ đó sử dụng

công cụ hình học để giải một số phương trình bậc hai

Quyển 3 : Tính chất hình tròn, đường tròn, tiếp tuyến, góc nội tiếp,

Quyển 4 : Tính chất đa giác đều nội tiếp, ngoại tiếp Dựng các đa giác đều 3,5,6 và 15

cạnh đều

Quyển 5 : Lý thuyết tổng quát về các tỷ lệ của Ơđoc (số thực - nhát cắt Đơđêkin)

Quyển 6 : Ứng dụng lý thuyết tỷ số vào hình học phẳng.

Quyển 7, 8, 9 : Lý thuyết số hữu tỷ: phép chia hết, cấp số, số nguyên tố,

Quyển 10: Sự phân loại số vô tỷ, phương pháp tát cạn, bộ 3 số Pitago, đoạn thẳng thông

ước, vô ước

Quyển 11, 12, 13: Về hình học không gian: tính vuông góc, tính song song, góc, tỷ lệ thể

tích giữa hình hộp và hình lăng trụ, tỷ lệ thể tích của hình chóp, hình lăng trụ, hình nón, hìnhcầu, hình trụ Chỉ ra 5 khối đa diện đều (4, 6, 8, 12, 20 cạnh) và chứng minh không còn khối đadiện đều nào nữa

Tuy còn một số hạn chế song bộ ‘‘cơ bản’’ là cơ sở cho mọi tìm tòi về hình học và là cơ

sở cho các giáo trình hình học ở bậc học phổ thông cho đến ngày nay Nghiên cứu bộ ‘‘cơ bản’’

là một việc làm có ích cho mọi người làm toán

2.4.2.2 Acsimet (287- -212-)

Là nhà bác học Hy Lạp vĩ đại nhất trong thời kỳ Elinit, với các câu nói nổi tiếng như

‘‘Ơreca !’’, ‘‘hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ đẩy cả trái đất lên !’’, ‘‘không được đụng vào các

vòng tròn của ta !’’

Ông có nhiều đóng góp nghiên cứu trong các lĩnh vực toán học, vật lý học, cơ học, thiênvăn học Đặc biệt về toán học, để giải bài toán tìm diện tích, thể tích, ông đã đưa ra phương

pháp ‘‘tát cạn’’ - một phương pháp mà về sau làm cơ sở cho phép vi - tích phân ở thế kỷ

XVI-XVII (như vậy có thể nói tư tưởng của ông đã vượt lên trước thời đại tới 20 thế kỷ !)

Ông chủ trương tăng cường vận dụng lý thuyết vào thực hành, xây dựng hệ thống ghi số(với các số lớn tùy ý: chẳng hạn bài toán lấp đầy vũ trụ bằng 1063 hạt cát), viết 10 tác phẩm lớn

về toán học: cầu phương Parabol, về phương pháp cơ học để giải bài toán hình học, về hình cầu

và hình trụ, đo đường tròn

2.4.2.3 Apoloniut (262- -200-)

Ông viết 8 quyển sách về ‘‘thiết diện conic’’ (tạo ra do cắt mặt nón bằng một mặt phẳng

ngang, đứng hoặc xiên) và là người đã đặt tên cho chúng là Elip, Parabol, Hypebol, tạo cơ sở chohình học giải tích về sau ; Quỹ tích đường tròn Apoloniut

2.4.3 Kết luận về toán học sơ cấp ở Hy Lạp thời kỳ Elinit

Bộ mặt toán học Hy Lạp đã thay đổi mạnh mẽ cả về hình thức lẫn nội dung Các lý thuyếttoán học quan trọng được hình thành, đa số các lý thuyết có đối tượng hình học Mặc dù vậy,trong phạm vi thực tiễn, người Hy Lạp cổ đã áp dụng nhiều phương pháp tính toán số học (tuycòn ở mức độ thấp) Đặc tính này tồn tại trong thời gian dài Có thể nói đây là thời kỳ nở hoa củanền toán học Hy Lạp

2.5 Toán học sơ cấp Hy Lạp vào thời kỳ đô hộ của La Mã

2.5.1 Hoàn cảnh lịch sử

Ở thời kì này, trong khoảng thời gian từ cuối thế kỷ II- đến khoảng thế kỷ XII, toán học

Hy Lạp phát triển trong một thể chế xã hội bị La Mã chiếm đóng với chế độ xã hội từ chiếm hữu

nô lệ chuyển sang xã hội phong kiến

Tôn giáo chính là Thiên Chúa Giáo và triết học của nhà thờ La Mã Trung tâm khoa họcvẫn ở Alêcxanđri (Ai Cập) Tiếng Hy Lạp thay dần bằng tiếng La tinh Sự phát triển của toán họcchịu nhiều ảnh hưởng của xã hội, chiến tranh

2.5.2 Tình hình phát triển

Hipac ( 180 - - 125 - )

Là người có nhiều công trình nghiên cứu về thiên văn (tính thể tích mặt trời, mặt trăng vàkhoảng cách giữa chúng ) Ông đã lập ra bảng hàm số sin tính sẵn; nghiên cứu phép chiếu quảcầu lên mặt phẳng

Là người mở đầu nghiên cứu môn tam giác lượng cầu; tìm ra hệ thức về tính chất của tứgiác toàn phần phẳng và cầu (tạo bởi 4 đường thẳng: trong đó mỗi đường cắt 3 đường còn lại tại

3 điểm - tạo bởi 4 cung tròn );

Ptoleme (85 - 165)

Là người viết bộ ‘‘Almagest” gồm 13 quyển, tổng hợp các kiến thức về thiên văn và tam

giác lượng (phẳng - cầu) Ông lập ra bảng dây cung (bảng sin) từ 0  180cách nhau 30’ chínhxác tới 5 chữ số thập phân; Nghiên cứu phương pháp tọa độ sơ khai (đưa ra khái niệm độ cao và

Những trình bày toán học của ông nghiêng về tính toán bằng số đúng và số gần đúng diệntích các hình, thế tích các khối (trong đó có công thức tính diện tích tam giác theo 3 cạnh

bậc 2,3 gần đúng Như vậy, Herong đã phát triển toán học tính toán lên một mức độ cao: thoát

khỏi cách giải bài toán nhờ đại số - hình học mà nêu kết quả bằng số cụ thể, áp dụng thuận lợi

vào thực tiễn

Điophang (210 - 290)

Là người đã viết bộ “Số học” gồm 13 quyển (nay chỉ còn lưu lại 6 quyển) trình bày các

yếu tố ban đầu của môn đại số, các kí hiệu, cách giải phương trình bậc 2, 3 Ngoài ra, ông cònnghiên cứu giải phương trình vô định (còn gọi là phương trình Điôphăng): Tìm nghiệm nguyênhoặc hữu tỷ của phương trình đại số vô định với hệ số nguyên; lý thuyết số: phương pháp xấp xỉĐiôphăng, lí thuyết số siêu việt, giải bằng số nguyên các bất phương trình với hệ số thực

Có thể coi ông là cha đẻ của môn đại số học.

Sau đó, ở cuối giai đoạn này, toán học Hy Lạp- La Mã rơi vào thoái trào, suy tàn Cácnhà toán học chủ yếu đi vào bình luận, phê phán, tu chỉnh các tác phẩm đã có Điển hình có thể

kể đến :

Pap (cuối thế kỷ III+)

Ở Alêcxandri, ông tìm hiểu những sai lầm và phê phán các tác phẩm của Ơclit, Ptôlêmê

Hipatia (370-415)

Là nhà toán học nữ lãnh đạo trường phái toán học ở Alecxanđri, bà bình luận các tác

phẩm “Alamgest” của Ptoleme, các tác phẩm của Điôphăng, Apoloniut Hipatia đã bị giới tu sĩ phản động của nhà thờ La Mã kết án “phanh thây” vào năm 415+

Prooclus (410-485): bình luận Bộ “cơ bản” của Ơclit.

2.5.3 Kết luận về toán sơ cấp Hy Lạp vào thời kì đô hộ của La Mã

Do ảnh hưởng của chế độ chính trị xã hội mà tính chất của toán học bị thay đổi; nặng vềthực hành, về cuối thời kì chủ yếu là bình luận các tác phẩm đã có Các phương pháp và các bàitính toán ngày càng chiếm vị trí quan trọng Xuất hiện môn tam giác lượng gắn liền với nhữngnghiên cứu về thiên văn

* Kết luận chung về toán học sơ cấp ở Hy Lạp – La Mã

Toán học sơ cấp Hy Lạp-La Mã đánh dấu bước đầu tiên của sự phát triển toán học thànhmột khoa học suy diễn Các nhà toán học Hy Lạp - La Mã là những người đầu tiên có quan niệm

rõ ràng về hệ thống toán học, về yêu cầu chính xác chặt chẽ trong toán học Nhiều lý thuyết toánhọc quan trọng được hình thành Những di sản kinh điển của các nhà toán học cổ Hy Lạp-La Mãnhư Ơclit, Acsimet, Apoloniut, Ptoleme, Điophang là nguồn gốc chủ yếu của các tư tưởng toánhọc mới

Qua nghiên cứu toán học cổ Hy Lạp, ta thấy những mâu thuẫn cơ bản của toán học đã lộrõ: rời rạc - liên tục, hữu hạn - vô hạn, số - hình, riêng - chung, cụ thể - trừu tượng, Đó lànhững động lực thúc đẩy toán học không ngừng tiến lên trên con dường khai quát hóa, trừutượng hóa

Nhược điểm căn bản của nền toán học Hy-Lạp là xa rời thực tiễn, lý thuyết tách với thựchành, bó hẹp toán học trong hình thức hình học, gói gọn trong một nhóm trí thức thượng lưu,

Đó là do những đặc điểm của xã hội chiếm hữu nô lệ, của triết lí duy tâm, siêu hình Mặt kháccòn do ảnh hưởng của chiến tranh liên miên làm gián đoạn, tàn phế toán học.

2.6 Toán học sơ cấp ở Trung Quốc

2.6.1 Hoàn cảnh lịch sử

Khoa học ở Trung Quốc có một lịch sử lâu đời: Các hình vẽ trên một số đồ gốm đờiThương (khoảng thế kỉ XV-) đã chứng tỏ người Trung Quốc đã biết dùng compa (quy) và eke

(củ) để vẽ các hình hình học Chịu ảnh hưởng rõ rệt của chế độ phong kiến “bế quan tỏa cảng”,

ít có sự giao lưu với các vùng khác nên toán học Trung Quốc mang bản chất đặc biệt, phát triểntương đối độc lập

2.6.2 Tình hình phát triển

Người Trung Quốc đã sử dụng rất sớm một hệ thống ghi số thập phân bằng chữ tượnghình không theo vị trí (chỉ để biếu diễn số, không dùng trong tính toán) Các phép tính toán dượcthực hiện trên bàn tính

Hai cuốn sách của Trung Quốc là “Chu bể toán kinh” và “Cửu chương toán thuật” tuy bị

Tần Thủy Hoàng đốt nhiều lần (thế kỉ II-) nhưng về sau đã có người biên soạn lại Trong sách

toán của Chu bể có chép rằng: những kiến thức đó có từ đời thượng Chu, tức là khoảng từ thế kỷ

XVIII- đến thế kỉ III- Vào thế kỉ IV-, Mạch dịch (Mạc tử) đã định nghĩa: “ Đường tròn là hình từ

giữa ra đều bằng nhau”.

Qua đó, ta thấy trình độ toán học khá cao (đặc biệt là phương pháp giải một vài phươngtrình đại số) của người Trung Quốc vào thời đó

2.6.2.1 “Cửu chương toán thuật” của Trần Sanh

Sách “Cửu chương toán thuật” được viết lại nhiều lần, mỗi lần đều được bổ sung thêm

do các nhà toán học: Cảnh Thọ Xương (thế kỉ I-), Lưu Huy (III+), Trương Lương (thế kỉ VI), Lý

Thuần Phong (thế kỉ VII), Theo Lê Huy thì tác giả của “Cửu chương toán thuật” là Trần Sanh

(chết năm 152-) Trong các thế kỉ từ VII đến XII, “Cửu chương toán thuật” được dùng làm sách

giáo khoa và trở thành tác phẩm kinh điển cho những nghiên cứu về toán học cổ ở Trung Quốc

“Cửu chương toán thuật” là cuốn từ điển toán học độc đáo cho những người thu thuế, ở

Trung Quốc xưa kia.Tác phẩm này trình bày rườm rà và có tính rập khuôn: gồm 9 chương, 246bài toán Bài toán nào cũng trình bày giả thiết rồi đến lời giải Sau mỗi nhóm các bài toán có nêuthuật tính để giải chúng Thuật tính này gồm các quy tắc chung hoặc các phép tính thực hiện dầndần trên những số liệu cụ thể - không có kết luận cho những quy tắc, những điều giải thích, cácđịnh nghĩa và chứng minh Nội dung tóm tắt như sau:

+ Chương I: Phép đo ruộng (Phương điền)

Sử dụng hệ thống ghi số thập phân tượng hình Trình bày các phép tính số học với phân

số (đơn vị đo là một hình chữ nhật với các cạnh dài 15 và 16 bước, mỗi bước khoảng 133 cm).Nêu các quy tắc tính diện tích một số hình phẳng (cả hình tròn) trong đó diện tích hình vuông,hình chữ nhật được tính hoàn toàn chính xác Diện tích hình viên phân được coi như diện tíchcủa hình thang có đáy lớn trùng với đáy viên phân, đáy nhỏ và chiều cao đều bằng chiều cao củaviên phân

Khi tính diện tích hình tròn, hình quạt và hình vành khăn, người ta lấy  =3 Về sau, giátrị số  ngày càng chính xác hơn: ở thế kỷ I-, Lưu Hàm tính được  3,1547; đến thế kỷ II,Trương Hoành tính   10, đặc biệt Lưu Huy (thế kỷ III) đã tính được số  khá chính xác: 

3,14159 ứng với đa giác đều 3072 cạnh (theo phương pháp tăng mãi số cạnh của đa giác đều

nội tiếp hình tròn khi tính diện tích hình tròn) Vào thế kỷ V, Tổ Sung Chi ( 430-501) đã cho hai giá trị thích hợp là 22 à355

7 v 133 (để dễ nhớ) Ông ước lượng  đến 7 chữ số thập phân:3,1415426< <3,1415927

Ở Việt Nam từ đời xưa còn truyền lại quy tắc sau để tính đường kính của thân cây tròn từ

chu vi: “ Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị” (tương ứng với giá trị  3,16)

+ Chương II: Tỷ lệ giữa các loại thóc khác nhau

Lập bảng tỷ lệ đổi giữa các loại thóc và trình bày 31 bài toán các loại, mỗi loại tuân theomột thuật toán riêng (phản ánh cách thu thuế thời xưa) Trong đó sử dụng quy tắc tam xuất vàchia tỷ lệ trên số nguyên hay phân

+ Chương III: Phép chia theo bậc (suy phân)

Gồm các bài toán chia tỷ lệ và tỷ lệ ngược cũng như quy tắc tam xuất đơn và kép

+ Chương IV: Thiếu quảng

Các quy tắc khai căn bậc 2 và bậc 3 viết dưới dạng: xác định cạnh hình chữ nhật biếtđược tích và cạnh kia, xác định cạnh hình vuông theo diện tích, xác định cạnh hình lập phươngtheo thể tích, xác định đường kính hình tròn, hình cầu

+ Chương V:

Các bài toán ước tính các công trình: đo thể tích, kích thước cần thiết khi xây dựng, đào

hố, đắp đê, pháo đài, với những hình thù khác nhau Trong đó sử dụng một số công thức tínhthể tích các khối vật thể khác nhau

+ Chương VI: Phân phối tỷ lệ (quân thân)

Gồm một loạt bài toán tính số lượng thóc phải cung cấp cho các huyện theo những điềukiện ngày càng phức tạp ; Các bài toán tính quãng đường hoặc thời gian để 2 người đi ( cùng hayngược chiều) gặp nhau Trong đó thú vị nhất là bài toán về cấp số cộng, tính tổng của các cấp sốcộng riêng biệt; Tính công chung của nhiều người có năng suất lao động khác nhau,

+ Chương VII: Thừa thiếu

Gồm các bài toán dẫn tới các phương pháp giải phương trình tuyến tính và hệ hai phươngtrình bậc nhất hai ẩn (giống như phương pháp giả hai lần trong số học)

+ Chương VIII: Giải ma trận

Nêu thuật toán tổng quát để giải hệ thống phương trình tuyến tính nhiều ẩn Trong đó, lầnđầu tiên trên thế giới người Trung Quốc đã phát minh ra cách giải ma trận (ở Châu Âu đến tậnthế kỷ XVII, Lepnit mới xây dựng được các định thức tương tự như vậy để giải) Trong quá trìnhbiến đổi ma trận, người Trung Quốc đã đưa ra số âm Vì mọi phép tính kể cả phép biến đổi matrận đều được thực hiện trên bàn tính nên để kí hiệu các số âm, người ta dùng đũa tính có màusắc hoặc hình dạng khác nhau

+ Chương IX:

Gồm các bài toán xác định khoảng cách và chiều dài không tới được nhờ định lí CaoThương (định lí Pitago) và nhờ tính chất của các tam giác đồng dạng Chương này đặc biệt cógiá trị đối với việc hình thành các quy tắc chung của đại số Trong đó có bài toán dẫn đếnphương trình bậc hai đủ mà quy tắc giải chúng tương đương với phương thức thường dùng ngàynay Phương pháp tìm ba bộ số Cao Thương: tìm được nghiệm nguyên của phương trình

x2+y2= z2 là x = ; y =(2- 2) /2; z = y = (2- 2) /2 (kết quả này người cổ Ai Cập, Babiloncũng đã biết)

Qua bộ sách “Cửu chương toán thuật”, ta thấy rằng, từ xa xưa, người Trung Quốc đã xây

dựng được nhiều qui tắc tính toán với các số lớn trong thực hành, biết lập ra các bảng tính toánsẵn (nhân, chia, bình phương, lập phương, khai căn bậc 2 và bậc 3, ) Toán học Trung Quốcphát triển theo hướng tính toán bằng thuật tính, tạo nên được những yếu tố cơ bản cho phươngpháp đại số để giải các bài toán (phương hướng này còn kéo dài đến giữa thế kỉ XIV)

2.6.2.2 “Tôn tử toán kinh”của Tôn Tử (đầu thế kỉ III+)

“Tôn tử toán kinh” bao gồm những bài toán của lí thuyết số đã xuất hiện như là sự mở

rộng các bài toán số học; bài toán giải hệ phương trình đồng dư tuyến tính với mô đun nguyên tốvới nhau từng đôi một Sau này, Châu Loan (thế kỉ VI) đã hiệu đính cách phải và đưa vào bài

toán “Hàn Tín điểm binh” như sau:

“Bảo lính sắp hàng 3; hàng 5; hàng 7 Mỗi lần sắp xong thì đếm số lính ở hàng ngang lẻcuối cùng Nhân số lẻ hàng 3 với 70; số lẻ hàng 5 với 21; số lẻ hàng 7 với 15 rồi cộng lại Thêmvào số tạo thành một bội số của 105 sẽ được số lính”

Nếu gọi a;b;c lần lượt là số dư khi chia số lính cho 3; 5; 7 và x là số lính phải tìm thì thực

chất bài toán “Hàn Tín điểm binh” dẫn đến giải hệ phương trình đồng dư.

(I) với các mô đun 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau từng đôi một

Do đó theo cách giải tổng quát ta có:

[3;5;7]= 3x 5 x 7 = 105

[5,7] = 35  35N1 1(mod 3) N12

[3,7] = 21 21N2 1(mod 5) N2= 1

[3,5] = 15 15N3 1 (mod 7)  N3 =1

 các thừa số phụ là 2,1,1  x0 = 35.2.a+ 21.1.b+ 15.1.c = 70a+21b+15c

 nghiệm của phương trình (I) là x 70a +21b+15c (mod 105)

Cuối cùng “ Hàn Tín” tìm được x= 70a +21b+15c+ k.105

Áp dụng giải toán “Tìm 1 số biết chia nó cho 3, 5, 7 lần lượt dư 2, 3, 2”, ta có:

Hệ phương trình:

2(mod 3)3(mod 5)2(mod 7)

x x x

Giải ra được kết quả: x23 (mod 105)

Như vậy, nếu biết chừng số lính khoảng từ 800 đến 900 người thì Hàn Tín có thể tìmđược quân số trong trường hợp này là x = 863 người (ứng với k = 8)

Qui tắc giải trên còn được tóm tắt trong 4 câu thơ như sau (Hoàng Xuân Hãn dịch từtiếng Trung Quốc):

“3 người cùng đi ít bẩy chục

5 cỗi hoa mai hăm mốt cành

7 gã sum vầy vừa nửa tháng

Trừ trăm linh năm biết số thành”

2.6.2.3 “Số thư của chương” của Tần Cửu Thiều (thế kỉ XIII)

Ông đã tổng hợp và nâng cao kiến thức toán Trung Quốc cho đến thế kỉ XIII: Giải thíchchi tiết phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ phương trình bậc 3 và 4 (tương đương với phương phápHoocne được phát minh ở Châu  năm 1819)

Trong “Số thư cửu chương” có bài toán số học dẫn đến hệ phương trình đồng dư

với kết quả Giáp lấy 3192 hộc; Ất lấy 3192 hộc; Bính lấy 3192 hộc

“Có một nhà mất trộm gạo Nhà đó có 3 thùng gạo đầy và bằng nhau nhưng không biết

là bao nhiêu Sau khi mất thì thấy thùng bên trái còn một hộc (đơn vị đo lường ở Trung Quốc), thùng ở giữa còn một thăng 4 hộc, thùng bên phải còn một hộc Về sau bắt được 3 tên trộm Giáp, Ất, Bính Giáp khai rằng: ban đêm sờ được cái gáo cho vào đong gạo ở thùng bên trái Ất khai rằng: đá phải chiếc giày gỗ, cho vào thùng ở giữa đong gạo Bính khai rằng: vớ được cái bát son , cho vào thùng bên phải đong gạo Lấy về ăn lâu ngày, nên chúng quên mất không biết

là đã lấy bao nhiêu gạo Tìm tang vật thì thấy: gáo đựng được một thăng 9 hộc; giầy gỗ đựng được một thăng 7 hộc; bát son đựng được một thăng 2 hộc Theo tang vật đoán xem mỗi tên đã lấy bao nhiêu gạo? Biết rằng một thăng bằng 10 hộc”.

Một bài toán số học khác (thế kỷ III), (tương tự như bài toán “Trăm trâu, trăm cỏ” ở Việt

Nam) mà việc giải đưa về hệ phương trình vô định x+y+z = 100 và 5x+3y+1

3z = 100 với kết quả

có 3 nghiệm nguyên dương (4, 18, 78); (8, 11, 81) và (12, 4, 84): “Mua 100 con gà giá 100

đồng Gà trống giá 5 đồng một con, gà mái giá 3 đồng một con, gà con giá một đồng 3 con Hỏi

số gà mỗi loại mua được?”

2.6.2.4 Trương Cô (thế kỉ VI) và Dương Huy (thế kỉ XIII)

Đã phát triển những bài toán về giải tích tổ hợp; xây dựng tam giác hệ số nhị thức (tamgiác Pascan) từ thế kỉ XII; tính được tổng các cấp số  k, k2,

2.6.3 Kết luận về toán học sơ cấp Trung Quốc

Mặc dù phát triển rất sớm nhưng chủ yếu theo phương hướng tính toán bằng thuật tính

đã làm cho toán học Trung Quốc không có sự xây dựng suy diễn, hệ thống Áp lực của nền thốngtrị phong kiến nặng nề làm cho toán học Trung Quốc phát triển chậm chạp và đình đốn dài kể từthế kỷ XIV Mặt khác, sự liên hệ giữa Trung Quốc với các nước khác (Hy Lạp, La Mã, ẤnĐộ, ) rất ít nên những thành tựu toán học của Trung Quốc có tính độc lập tương đối: ít chịu ảnhhưởng của nơi khác và cũng ít ảnh hưởng đến sự phát triển của toán học Châu Âu sau này

2.7 Toán học sơ cấp ở Ấn Độ

2.7.1 Hoàn cảnh lịch sử

Toán học ở Ấn Độ phát triển rất sớm vào khoảng thế kỷ VIII-, VII- trước công nguyên;Chịu ảnh hướng lớn của tôn giáo (Đạo Phật ra đời ở Ấn Độ vào khoảng thế kỷ V-); có ảnh hưởngqua lại với toán học cổ Ai Cập, cổ Babilon và Hy Lạp- La Mã (do những hoạt động chiến tranh,giao lưu buôn bán và truyền giáo )

2.7.2 Tình hình phát triển

Toán học sơ cấp ở đây phát triển sáng lạng vào khoảng từ thế kỷ V đến XI, với các tácphẩm thường được lưu lại ở thể thơ

Ariap Khata (cuối thế kỷ V):

Khi giải bài toán tính tiền lãi, ông đã đưa ra công thức nghiệm giải phương trình bậc hai

tx2+px+q = 0 giống hệt ngày nay!

Bkhatkara Akaria (sinh năm 1114): Sử dụng số 22; 3927

 ,k2 )

Môn đại số học không chỉ nghiên cứu với phân số mà cả với số vô tỷ và số âm (xem đó là

số lỗ, món nợ) Người Ấn Độ cũng đã giải một loạt bài toán đại số, giải tích vô định và giải tích

Cùng với các kiến thức thiên văn, môn tam giác lượng rất phát triển: lập ra các bảng các

tỷ số thực nghiệm thiên văn, bảng tỷ số lượng giác (mà thực chất đã dùng đến các hàm số lượnggiác sin, cosin, )

2.7.3 Kết luận về toán học sơ cấp Ấn Độ

Do những đặc điểm kinh tế, tự nhiên, lịch sử và xã hội mà toán học ở Ấn Độ có đặcđiểm: các phương pháp tính toán bằng thuật tính rất có ưu thế; việc xây dựng hệ thống lý luậnsuy diễn ít được chú ý; chủ yếu phát triển đại số và số học; hình học ít phát triển và mang tínhchất trực quan, nghiệm đúng

2.8 Toán học sơ cấp ở Trung Á – Cận Đông

2.8.1 Hoàn cảnh lịch sử

Khoảng thế kỷ VII, đế quốc Ả Rập thôn tính miền Tây Á, Ai Cập, Trung Á, tạo nênmột vùng đất rộng lớn chịu ảnh hưởng của Đạo Hồi (do Mahomet sáng lập), lấy tiếng Ả rập làmngôn ngữ chính, thông dụng Về triết học là sự kết hợp giữa Hy Lạp và Ấn Độ Do nhu cầu giaolưu buôn bán, du lịch, truyền giáo, mà nhà nước đã ưu đãi các nhà khoa học, tạo điều kiện cho

họ nghiên cứu, dịch các sách của Ơclit, Acsimet, Apoloniut, Menelaus, Teolosin, Herong,Ptoleme, Điophang, sang tiếng Ả Rập Nhờ vậy, toán học ở đây có ảnh hưởng qua lại với toánhọc Hy Lạp – La Mã và cả toán học ở Ấn Độ

2.8.2 Tình hình phát triển

Toán học có sự hoạt động tích cực: Người ta xây dựng các phương pháp tính khác nhau

và các công cụ đo lường phục vụ cho nhu cầu thương mại, hành chính, trắc địa, thiên văn, soạnlịch, Những thành tựu phát triển sáng tạo của toán học Trung Á - Cận Đông diễn ra vào khoảng

từ thế kỷ XII đến XV với các đóng góp lớn chủ yếu về lĩnh vực số học và đại số

Mohamet Benmusa Ankhoretmi (787 – 850)

Ông đã viết 5 cuốn sách về số học, đại số, thiên văn, địa lí, soạn lịch Là người đầu tiêntách đại số ra khỏi số học và xét nó như một môn độc lập để nghiên cứu Tác phẩm về số học,đại số của ông được lấy làm SGK và được dùng trong khoảng 10 thế hệ, có ảnh hưởng vô cùng

to lớn đối với sự phát triển toán học về sau ở Châu Âu (đến thế kỷ XII cuốn sách này được dịch

ra tiếng La tinh và lấy tên của ông “Angiep”)

Trong đó, ông sử dụng hệ thống ghi số thập phân theo vị trí của người Ấn Độ và hệ cơ số

60 của người Babilon nên rất thuận tiện trong việc tính toán Ông còn trình bày những phép tínhtoán với số vô tỷ, phép giải phương trình bậc nhất và bậc hai, thậm chí cả cách giải một sốphương trình bậc 3 và 4

Tính được số  với 17 chữ số thập phân với đa giác đều 3.228 cạnh (ở Châu Âu đến tận

1593 thì Viet mới tìm được  với 9 chữ số thập phân bằng đa giác 3.217 cạnh); Tìm ra phươngpháp để khai căn gần đúng (cơ sở là phép nội suy tuyến tính); Lập ra bảng hàm số lượng giácchính xác đến 9 chữ số thập phân (ở Châu Âu hơn 100 năm sau - thế kỷ XVI mới đạt được trình

độ tương tự)

Naxiderin (1201 – 1274)

Với tác phẩm “ Tứ giác toàn phần”, ông đã nêu phương pháp giải tam giác phẳng, giải

tam giác cầu, giải các bài toán xác định cạnh của một tam giác cầu theo 3 góc (phục vụ trực tiếpcho nghiên cứu thiên văn) Có thể nói, với Naxiderin, môn tam giác lượng đã đạt đến trình độgần như ngày nay (chỉ kém về mặt ký hiệu)

Khai am ( 1048 - 1123)

Cùng với Naxiderin, ông có nhiều đóng góp về hình học, đặc biệt là những cố gắngchứng minh định đề 5 của Ơclit ( có thể coi họ là những bậc tiền bối về hình học phi Ơclit).Ngoài ra, có thể thấy, các nhà toán học Trung Á - Cận Đông đã có những hiểu biết khá sâu sắc

về hình học

2.8.3 Kết luận về toán học sơ cấp Trung Á – Cận Đông

Khoảng từ giữa thế kỷ XV trở đi, do những điều kiện xã hội, chiến tranh, rối loạn vềchính trị, bị kìm hãm bởi chế độ phong kiến và ách thực dân mà toán học ở Trung Á -Cận Đôngphát triển chậm chạp, thoi thóp và ngưng trệ Tuy vậy, nền toán học ở đây có một tác dụng rất tolớn đối với sự phát triển của toán học ở Châu Âu về sau này

2.9 Toán học sơ cấp ở Châu Âu

2.9.1 Hoàn cảnh lịch sử xã hội

Toán học ở Châu Âu không có nguồn gốc từ cổ xưa: những thành tựu rõ rệt chỉ xuất hiệnvào cuối thời kỳ trung cổ (bắt đầu từ thế kỷ V đến đầu thế kỷ XVII) dưới chế độ phong kiến.Vào đầu thời kỳ Phục hưng (thế kỷ XV – XVI), chế độ phong kiến ở Châu Âu tan rã Giai cấp tưsản xuất hiện đã tìm mọi cách phát triển sản xuất bằng cách thúc đẩy văn hóa, khoa học và kỹthuật (luyện kim có từ thế kỷ VIII đến thế kỷ XII đã rất phát triển, thủy tinh có từ thế kỷ X –

XIV với kỹ thuật mài nhẵn, sản xuất kính, gương , đồng hồ ở thế kỷ XI – XII, chế tạo thuốcsúng ở thế kỷ XIII, làm ra giấy viết ở thế kỷ XII đến thế kỷ XV đã in được sách, ).

Việc mở ra các trường học là tiền đề cho sự phát triển toán học ở Châu Âu Vào cuối thế

kỷ X, trường học đầu tiên tại Pháp do cha đạo Ghecbec mở, trong đó dạy 4 môn triết học, toánhọc, logic học và thiên văn học Sau đó hàng loạt trường đại học được mở: Bôlônhơ, Xalecnô(thế kỷ XII ở Ý); Pari (1167 ở Pháp ); Oxfox (1167 ở Anh), Cambơrit (1209 ở Anh); Praha (1347

ở Sec); Viên ( 1365 ở Áo); Haiđenbec (1385 ở Đức); Lepzich (1409 ở Đức);

2.9.2 Tình hình phát triển

Trong các thế kỷ V – XI, trình độ hiểu biết về toán học ở Châu Âu rất thấp: không thấy

có những phát minh và công trình toán học quan trọng

Phần lớn các kiến trúc khoa học mà Châu Âu tiếp thu được là nhờ việc dịch các tác phẩmtoán học từ tiếng Hy Lạp, Ả rập sang tiếng la tinh (khoảng thế kỷ XII – XIII) Ở cuối mỗi cuốnsách không quên bảng hình vuông thiêng liêng (!) (trong đó tổng các số ở mỗi hàng ngang haydọc đều bằng nhau (xem hình 2.2))

Từ thế kỷ XVI trở đi nền toán học Châu Âu phát triển trội hẳn lên do

những yếu tố xã hội và kinh tế: Các chuyến đi biển dài (phát hiện ra Châu Mỹ

1492, vòng quanh Châu Phi lần thứ nhất 1498, vòng quanh trái đất lần thứ nhất 1519, ); cácphát kiến mới về lý thuyết Thái dương hệ của Copecnic, Galile,

Thế kỷ XVI là thế kỷ đầu tiên mà khoa học ở Châu Âu đã vượt lên trên toán học phươngĐông và cổ đại với những thành tựu quan trọng về các lĩnh vực toán học, thiên văn và cơ học

2.9.2.1 Leona Pinado (1170 - 1240)

Ông tên thật là Phibonaxi, là con của một thương gia nổi tiếng ở thành phố Pido (Ý)

Năm 1202, ông viết “Sách về bảng tính” gồm 15 phần, dày 459 trang có nội dung:

Trong 7 phần đầu, ông đưa ra các phép tính về số nguyên hệ thập phân và các phép tínhvới phân số Các phần 8 – 11 gồm các ứng dụng vào buôn bán: quy tắc tam xuất, chia tỷ lệ, cácbài toán xác định tuổi của tiền, Các phần 12 – 13 trình bày các quy tắc giả thử đơn và kép, tổngcác cấp số cộng, bình phương các số tự nhiên, tìm nghiệm nguyên các phương trình vô định bậcnhất Phần 14 dạy cách tính các căn thức bậc hai và bậc ba, các phép tính với các biểu thức vôtỷ,

Ông trình bày vắn tắt các kiến thức về đại số giống như của Ankhoretmi và những bàitoán về tỷ số liên tục, những bài toán hình học ứng dụng định lý Pitago Các kiến thức trình bày

ở cuốn sách này được tham khảo từ những sách toán bằng tiếng Ả rập

Năm 1220, Leona viết cuốn sách “Hình học thực dụng” trình bày việc tính diện tích của

đa giác, thể tích các vật thể (kể cả hình cầu), một số bài toán lượng giác

Đặc biệt, Phibonaxi có một công trình về lý thuyết số mang tên ông là: Dãy Phibonaxi: 0,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, Trong đó dãy số tăng này có tính chất: trừ số hạng a0 = 0 và a1 =1, kể

từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của 2 số hạng đứng ngay trước nó (a n1a na n1

) Dãy số này rất cần thiết trong việc tính lãi kép, tính tuổi của tiền bạc, Chẳng hạn: có bao

nhiêu cặp thỏ được sinh ra từ một cặp trong một năm nếu: Mỗi cặp trong một tháng sinh một cặp mới Cặp mới này tháng thứ hai lại sinh con và thỏ không chết ?

2.9.2.2 Yogan NuyLe ( Reghiomonten: 1436 – 1476 )

Hình 2.2

Vào 1461, ông đã có 5 cuốn sách nói về: tam giác lượng phẳng và cầu; lập ra các bảngtính sẵn các hàm số lượng giác (bảng sin của các góc cách nhau một phút chính xác tới 7 chữ sốthập phân); mở rộng khái niệm số, đưa vào tính chất vô tỷ trong trường hợp có những đại lượnghình học vô ước khi áp dụng đại số để giải các bài toán hình học (đưa ra các căn thức và cácphép tính về căn thức, từ đó đặt ra vấn đề giải các phương trình bậc ba và bốn bằng căn thức, ).

Từ 1539, Cacdano đã cố gắng khắc phục khó khăn trên của Tactalia và đi đến nghiệm ảo

mà ông gọi là nghiệm “ngụy biện”

2.9.2.5 Boombenly (1526 - 1573)

Trong tác phẩm “Đại số”, ông đã nêu ra quy tắc tính toán trên các số ảo và chứng minh rằng mọi “phần tử ngụy biện” đều có thể đưa được về dạng a + bi (về sau này, Gauss đã phát

triển thành lý thuyết các số phức)

Sau đó các nhà toán học đổ xô đi giải các phương trình bậc cao hơn 4 nhưng không thành

công Cho mãi đến 300 năm sau, vào thế kỷ XIX, Aben mới chứng minh được rằng các phương

trình bậc lớn hơn 4 nói chung không giải được bằng căn thức Galoa đã phát triển thành lý

thuyết Galoa: Kết hợp mỗi phương trình với một nhóm các phép thế các nghiệm của nó (nhóm

Galoa) Từ đó, Galoa đưa vấn đề này về việc khảo sát cấu trúc nhóm (khảo sát tính giải được củanó): biểu diễn một cách hợp lý các nghiệm của một phương trình đã cho qua các nghiệm của mộtphương trình khác đơn giản hơn

Vào năm 1584 – 1589, ông viết “nhập môn nghệ thuật giải tích” - một tác phẩm lớn và

súc tích về đại số mới Tuy nhiên, tác phẩm chỉ được xuất bản về sau, chủ yếu khi ông đã chết,

và tác phẩm cũng chưa được hoàn thành Trong đó, ông quan niệm: Việc giải các phương trìnhbậc ba và bậc bốn là dựa vào hiệu lực của phương pháp đại số, nhưng số dạng riêng của cácphương trình đại số tăng nhanh một cách đáng sợ (chẳng hạn với Cacdano đã tìm ra 66 loại với

hệ số bằng số) Mỗi loại lại đòi hỏi một cách giải đặc biệt Do đó cần tìm ra phương pháp chung

để giải các phương trình đại số và những phương trình này phải được khảo sát dưới dạng tổngquát nhất có thể được với các hệ số bằng chữ Ngoài ra, cần phối hợp các phương pháp đại số với

sự chặt chẽ của các phép dựng hình cổ đại Tác phẩm của Viet là nét nổi bật của những thành tựutoán học thời kỳ phục hưng Mối liên hệ giữa các tính chất của phương trình và những cấu trúchình học đã góp phần hình thành những quan niệm về hình học giải tích ở thế kỷ XVII

Viet đã viết về phương trình bậc 1, 2, 3, 4 khá chi tiết và đầy đủ Ông đã dùng các phépbiến đổi đại số rất phong phú dựa trên các phép thế Viet đã chuyển trường hợp bất khả quy đốivới phương trình bậc ba về bài toán chia ba một góc Ông đã chứng tỏ mọi phương trình bất khảquy có thể biến đổi về dạng x3 3x So sánh nó với hệ thức lượng giác0

2cos3 3cos2cos3 , Viet đã thực hiện được phép chuyển bài toán Ông đã giải được

bài toán chia ba một góc bằng phương pháp “ lấp lỗ trống ” rút ra từ các tài liệu cổ.

Khi giải các phương trình, ông đã tìm thấy các nghiệm dương Bằng phép biến đổi

x = - y, ông đi tới bài toán tìm các nghiệm âm Viet còn nêu lên một loạt định lý về sự liên hệgiữa các nghiệm và hệ số của phương trình, trong đó có định lý về tổng và tích các nghiệm củaphương trình bậc hai mang tên Viet Ông đã xét phép biến đổi các phương trình thành tích các

cos( ) 2cos os(nx  x c n1)x c os(n 2)x

sin( ) 2cos sin(nx  x n1)x sin(n 2)x

sin( ) 2sin os(nx  x c n1)x c os(n 2)x

Viet đã nêu ra, lần đầu tiên trong lịch sử, bài toán tìm tích vô hạn (tuy rằng ông chưachứng minh được sự hội tụ của tích vô hạn mà chỉ kết luận dựa vào trực giác): Có một đa giácđều n cạnh với diện tích S , nếu dựng đường tròn ngoại tiếp bán kính R và đường tròn nội tiếp n

bán kính r thì sau khi gấp đôi số cạnh của đa giác ta được S : n S = 2n r cos( )

2.9.3 Kết luận về toán học sơ cấp ở Châu Âu

Toán học sơ cấp ở Châu Âu tuy phát triển muộn và không có nguồn gốc từ xưa, song dothừa kế được những di sản của toán học ở Hy Lạp - La Mã - Ấn Độ thông qua nền toán học ởTrung Á - Cận Đông, lại được thúc đẩy bởi điều kiện thuận lợi do sự phát triển mạnh mẽ về sảnxuất, kinh tế dưới chế độ xã hội mới (do giai cấp tư sản đã thay thế dần cho giai cấp phong kiến)nên từ thế kỷ XVI đã có nhiều thành tựu phát triển vượt bậc, làm nền tảng cho sự phát triển toánhọc ở giai đoạn sau (giai đoạn toán học cao cấp cổ điển)

2.10 Kết luận chung về giai đoạn toán học sơ cấp

Đến cuối thế kỷ XVI, toán học các đại lượng không đổi đã hoàn thành khâu cuối cùngtrong quá trình hình thành của mình Trong đó tuy còn nhiều điều dang dở, chưa rõ ràng, nhưng

đã trở thành một phạm vi kiến thức khá hoàn chỉnh, gói gọn trong một hệ thống duy nhất Dĩnhiên, việc nghiên cứu tiếp tục và việc hoàn thiện toán học sơ cấp vẫn được tiến hành trong cácthế kỷ sau và ngay cả trong thời đại chúng ta Nhưng có thể nói, từ thế kỷ XVII, trọng tâmnghiên cứu đã chuyển sang phạm vi toán học của các đại lượng biến thiên Với lý do phục vụcho việc giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, chúng ta cần nghiên cứu kỹ giai đoạn toán học

sơ cấp

*) Tài liệu học tập

1 Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục.

2 Nguyễn Anh Tuấn (2000), Bài giảng lịch sử toán học, ĐHSP Thái Nguyên.

3 Nguyễn Cang (2001), Giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp các nhà toán học, NXB trẻ

Thành phố Hồ Chí Minh

*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận

2.1 Giải bài toán của Mahavira (Hindu) như sau:

Có một giỏ xoài Nhà vua lấy 1/6, hoàng hậu lấy 1/5 chỗ còn lại, và ba hoàng tử lấy 1/4, 1/3 và1/2 các chỗ còn lại kế tiếp, còn lại ba trái cuối cùng cho bé trai út Xin cho biết số trái xoài tronggiỏ là bao nhiêu?

2.2 Chứng minh rằng các số từ 1 đến 16 có thể viết được trên cùng 1 dòng nhưng không viếtđược trên một đường tròn sao cho tổng của hai số bất kỳ đứng liền nhau là một số chính phương.2.3 Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ gồm 4 số nguyên dương (x,y,z,t) sao cho ước chung lớnnhất của 4 số là 1 và thỏa mãn x3  y3  z2  t4

2.4 Năm nhà dùng chung một giếng nước để gầu múc chạm đến được mặt nước thì với hai dâythừng của nhà A thiếu đúng bằng một dây thừng của nhà B, với ba dây thừng của nhà B thiếuđúng một dây thừng của nhà C, bốn dây thừng của nhà C thiếu đúng một dây thừng của nhà D,với năm dây của nhà D thì cần thêm một dây của nhà E, còn với sáu dây của nhà E thì thiếu đúngmột dây của nhà A nữa Hỏi giếng sâu bao nhiêu và độ dài mỗi loại dây thừng?

2.5 Chứng minh rằng bình phương của một dây cung vuông góc với đường kính của hình tròn,chia cho bốn lần một trong hai đoạn của đường kính đã được chia rồi cộng với chính đoạn đó thìbằng đường kính hình tròn

2.6 Chứng minh rằng đoạn nhỏ bị chia ra trên đường kính bởi một dây cung vuông góc vớiđường kính bằng một nửa hiệu giữa đường kính và căn bậc hai của hiệu bình phương giữa đườngkính và độ dài dây cung

2.7 Chứng minh rằng khi dùng sàng Eratosthenes ta có thể dừng lại khi gặp số nguyên tố p mà

p  n

2.8 Giải bài toán Herong:“ Một người đi từ nhà ra một con sông thẳng đề múc một sô nước rồimang về một nhà kho (khác vị trí với nhà người đó) ở cùng bên bờ sông với ngôi nhà đó Tìmđiểm múc nước sao cho đoạn đường người đó phải đi là ngắn nhất”

2.9 Ai là người phát hiện ra số 2 là số vô tỉ? Sự xuất hiện số vô tỉ đã có ảnh hưởng thế nàođến sự phát triển của toán học cổ Hy Lạp?

2.10 Hãy kể tên các nhà toán học có đóng góp lớn đến sự phát triển của đại số trong giai đoạntoán học sơ cấp