Do những đặc điểm tự nhiên, kinh tế, lịch sử, xã hội mà chỉ trong 2 thế kỷ toán học cao cấp đã được hình thành và phát triển mạnh mẽ. Sự xuất hiện ở thế kỷ XVII Hình học giải tích rồi phép tính tích phân và vi phân đã tạo nên một trạng thái mới trong toán học. Những ngành mới này đã chiếm địa vị lãnh đạo. Toán học đã thay đổi tận gốc rễ cấu trúc của mình và trở thành toán học của các đại lượng biến thiên. Phép tính vi- tích phân đã mở ra hầu hết các ngành của toán học cao cấp làm cho toán học trở thành một khoa học ứng dụng to lớn, xâm nhập sâu rộng vào các lĩnh vực của đời sống xã hội. Toán học trong giai đoạn này được phát triển trên một mặt trận rộng lớn. Mọi yếu tố trong cấu trúc của nó đều được biến đổi: các lí thuyết mới được phát triển, các giả thuyết mới được đề xuất và kiểm nghiệm, các sự kiện được bổ xung cho lâu đài toán học được tích lũy thêm, phạm vi ứng dụng của phương pháp toán học được mở rộng dần, các quan điểm chung về bản chất và khả năng toán học cũng đổi thay. Toán học đã đạt tới trình độ bắt đầu hình thành những ngành mà ngày nay là cơ sở cổ điển của nền toán học cao cấp ở bậc học Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
*) Tài liệu học tập
1. Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục.
2. Nguyễn Anh Tuấn (2000), Bài giảng lịch sử toán học, ĐHSP Thái Nguyên.
3. Nguyễn Cang (2001), Giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp các nhà toán học, NXB trẻ Thành phố Hồ Chí Minh.
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
3.1. Nêu ý nghĩa của công trình về hình học giải tích của Đecac và Fermat đối với sự phát triển của toán học.
3.2. Nêu ý nghĩa của công trình về phép tính vi - tích phân của Newton và Lepnit đối với sự phát triển của toán học.
3.3. Trình bày tóm tắt quá trình phát triển của phép tính vi- tích phân.
3.4. Khi dạy môn hình học giải tích, bạn sẽ kể về nhà toán học nào? Hãy nêu ra một số giai thoại liên quan đến nhà toán học đó ?
3.5. Theo bạn thì hai bài toán chính trong hình học giải tích phẳng là gì?
3.6. Phép tính vi phân và tích phân được sáng tạo ra là nhằm giải quyết các vấn đề khoa học nào trong thế kỷ thứ XVII?
3.7. Hãy kể tên các nhà toán học trước Newton và Lepnit có công trình liên quan đến phép tính vi phân - tích phân.
3.8. Tại sao có người cho rằng chính Fermat là người phát minh ra phép tính vi phân?
3.9. Nhà toán học nào được xem là một trong hai nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ XVIII đã từng làm việc ở nước Nga? Hãy kể ra một số công trình của ông.
CHƯƠNG 4
Giai đoạn toán học hiện đại
Số tiết: 04 (Lý thuyết: 03 tiết; bài tập, thảo luận: 01)
*) Mục tiêu
- Sinh viên hiểu được hoàn cảnh lịch sử và đặc điểm chung, tình hình phát triển của giai đoạn toán học hiện đại.
- Sinh viên biết được sự phát triển của toán học hiện đại, qua đó tìm hiểu về các nhà toán học có vai trò quyết định đối với sự hình thành và phát triển toán học hiện đại và lịch sử của các nhà toán học.
- Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn lịch sử toán đối với các môn học khác, tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo.
4.1. Hoàn cảnh lịch sử
Thời gian: từ khoảng thế kỉ XIX đến nay. Địa điểm: phát triển ở khắp các châu lục.
Chế độ chính trị xã hội đa dạng: tư bản phong kiến, xã hội chủ nghĩa… Tôn giáo: đa tôn giáo.
Triết học: tư bản , macxit, phương đông, phương tây,… Kinh tế: phát triển rất mạnh mẽ và không đều.
Giao lưu văn hóa, thương mại: cực kì rộng dãi và nhiều phương tiện, dưới nhiều hình
thức.
4.2. Đặc điểm chung
Từ cuối thế kỉ XIX, đối tượng và phạm vi ứng dụng của toán học được mở rộng.
Xây dựng cơ sở của toán học, củng cố những kết quả đã đạt được theo tinh thần của chặt chẽ toán học.
Đưa ra những mô hình rất tổng quát và đủ chính xác để nghiên cứu thực tế xung quanh. Nội dung toán học có những thay đổi cực kì to lớn, đụng chạm đến những bộ phận, những quan niệm xa xưa được coi như bất di bất dịch:
- Nhiều ngành mới ra đời và nhanh chóng củng cố vị trí bằng những thành tựu bất ngờ. chẳng hạn, hình học phi Ơclit của Lobaxepki.
- Một số ngành tiếp tục phát triển, thay đổi đến mức không còn nhận ra được nữa ( chẳng hạn: lĩnh vực Tôpô- đại số).
Toán học hiện đại có xu hướng phát triển chuyên môn hóa và phân lập. Từ đó xuất hiện nguy cơ toán học bị mất đi tính chất thống nhất toàn vẹn và các mối tương quan nội tại. Trước tình hình này, cần thiết phải hiểu thực chất của toán học. Tuy không thể nào đưa ra được câu trả lời xác đáng cho câu hỏi “toán học là gì ?”, song chúng ta vẫn có thể hình dung toán học như sau: “mục đích của toán học là trìu tượng hóa từng bước, suy diễn chặt chẽ hợp logic theo
phương pháp tiên đề và tiếp theo đó tổng quát hóa một cách rộng rãi hơn nữa”.
4.3. Tình hình phát triển
4.3.1. Hình học phi Ơclit của Lobaxepki
Bước ngoặt của tư duy toán học của thế kỉ XIX là vào năm 1826, Lobaxepki và Bolyai đã sáng tạo ra hình học phi Ơclit ( còn được gọi là hình học Hypebolic) bằng cách thay tiên đề về
đường song song bởi tiên đề trái ngược lại: “ với mỗi đường thẳng của một mặt phẳng tồn tại ít
nhất hai đường thẳng song song với nó, đi qua một điểm ngoài đường thẳng cho trước”.
4.3.2. Sự xuất hiện của đại số hiện đại - các cấu trúc toán học
Lý thuyết nhóm đầu tiên xuất hiện do nhu cầu của đại số (khi Lagrange khảo sát nhóm các phép thế liên quan đến việc giải phương trình bậc cao) và sau đó phát triển cấu trúc đại số. Đại số hiện đại phát triển dựa trên lý thuyết tập hợp theo quan điểm của Cantor, lý thuyết phát triển theo công thức của Galoa, đồng thời sự hoàn chỉnh đạt được dưới ảnh hưởng lớn của đại số logic của Boole.
Tên gọi “đại số hiện đại” là do Vande - Vacden nêu ra năm 1930-1931 trong một tác phẩm ghi lại những kết quả đã được nghiên cứu từ trước cho đến khi đó.
4.3.3. Lý thuyết tập hợp của Cantor
Lý thuyết tập hợp “ngây thơ” được Cantor (nhà toán học Đan Mạch gốc Nga mà hầu hết cuộc đời hoạt động ở các trường đại học ở Đức, mất năm 1918) đưa ra năm 1879. Ông quan niệm: “tập hợp là toàn thể các đối tượng xác định được xem như là một cái gì hoàn chỉnh, toàn
bộ, hoàn toàn”. Và chỉ rõ: bản chất của các đối tượng của tập hợp hoàn toàn tùy ý, có thể cụ thể
hoặc trìu tượng, điều cốt yếu là tính chất “thuộc” hay “không thuộc” tập hợp. Ông cũng công nhận tập hợp hữu hạn và các tập hợp vô hạn (xem như một cái gì hoàn chỉnh, toàn bộ) và như vậy là lần đầu tiên trong lịch sử toán học, Cantor đã sử dụng vô hạn hiện thực (nhờ vậy, đã khắc phục được định lí Galie).
Tuy vẫn còn gặp những mâu thuẫn (nghịch lý Russell và nghịch lí Richard) nhưng lí thuyết tập hợp của Cantor đã tạo ra nền móng cho toán học hiện đại, nhanh chóng xâm nhập vào toàn bộ toán học và được hoàn thiện cho đến nay.
4.3.4. Lôgic toán và phương pháp tiên đề
Người đã đặt nền móng cho logic toán là Boole (nhà toán học người Anh, 1815-1864). Lôgic kí hiệu lần đầu tiên xuất hiện vào năm 1847 với cuốn sách “Logic hình thức” của Moocgan. Logic toán - khoa học nghiên cứu về những chứng minh toán học và sự cấu tạo của các lý thuyết toán được xây dựng cơ sở tương đối hoàn chỉnh từ năm 1900 với công trình của Hinbe (1862-1943). Cùng với Logic toán, phương pháp tiên đề cũng được nghiên cứu hoàn thiện từ các công trình của Ơclit, Lobaxepki, Peano (1858-1932), Hinbe (1899).
4.3.5. Tiên đề hóa hình học Ơclit ở thế kỉ XX
Vào đầu thế kỉ XX, nhiều nhà toán học đã metric hóa hình học bằng phương pháp khác nhau, từ đó xây dựng các tiên đề hình học Ơclit khác nhau: hệ tiên đề Hinbe (Đức, 1899), hệ tiên đề Pieri (Ý, 1899), hệ tiên đề Cagan (Nga, 1902), hệ tiên đề Vaylo (Đức, 1918 ).
4.3.6. Ứng dụng toán học vào điều khiển học và tin học
Cổ xưa: con người tính bằng ngón tay, chân → sỏi, que, nút dây → bàn tính Trung
Quốc → các máy móc tính toán cổ.
Computer: Khởi đầu là Pascan (1623-1662) → Lepnit (Đức,1671) → Otne(1874) →
Von Neumann (Mỹ,1945) → Lebeđep ( Nga, 1902-1974) với thế hệ máy tính ngày một phát triển.
4.3.7. Hai xu thế phát triển chính của toán học hiện đại
Thực tiễn sản xuất và khoa học kĩ thuật đòi hỏi toán học hiện đại phải gắn chặt trong điều khiển học, tin học và đặt ra cho toán học ba vấn đề:
+ Khắc phục tính bất định; + Lựa chọn giải pháp tốt nhất.
Quy luật phát triển của bản thân toán học đòi hỏi các nhà khoa học phải:
+ Không ngừng xây dựng những lý thuyết trừu tượng ngày càng thống nhất được nhiều ngành của toán học;
+ Phát hiện những quy luật khái quát ngày càng bao chùm được nhiều hiện tượng;
+ Sáng tạo được nhiều công cụ tổng hợp ngày càng có nhiều hiệu lực trong nhiều lĩnh vực, nhằm tiết kiệm công sức và nâng cao năng suất tư duy toán học, chuẩn bị tiềm lực tiến lên làm chủ được mọi tình huống phức tạp trong tương lai.