3.3.1. Hình học giải tích của Đecac
Đecac (1596-1650) là một nhà bác học trong nhiều lĩnh vực: triết học, vật lí học, toán học, sinh lí học,… với mục đích nghiên cứu nhằm sáng tạo ra phương pháp suy diễn toán học
tổng quát cho mọi vấn đề của khoa học tự nhiên ( dựa trên quan điểm triết học duy vật với chủ
nghĩa “duy lý”), ông viết cuốn “luận về phương pháp” (1637) trong đó tập “hình học” gồm 3 quyển:
+ Quyển I: “ Về các bài toán có thể giải được bằng các đường tròn và đường thẳng”. + Quyển II: “ Bản chất của các đường cong” .
+ Quyển III: “ Những bài toán về các khối, các thể” .
Có thể tóm tắt các đóng góp của Đecac về lĩnh vực hình học như sau:
Đề cập đến mối liên hệ giữa các đại số kí hiệu và hình học các đường cong (sự đẳng cấu giữa trường số thực và các đoạn thẳng).
Xây dựng về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các đoạn thẳng (cách dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tự giống như ở sách giáo khoa hình học ngày nay).
Đưa các đại lượng biến thiên vào hình học và sử dụng tọa độ vuông góc. Tuy nhiên, hình học giải tích của Đecac vẫn còn nhiều thiếu sót:
- Các phương pháp toán học mới chỉ bàn đến do nhu cầu đòi hỏi của nguồn gốc triết học. - Việc phân loại các đường cong đại số mới chỉ theo loại chứ chưa theo bậc của phương trình.
- Chưa làm xong việc áp dụng công cụ đại số vào hình học( các trục tọa độ chưa bình đẳng, chỉ lưu ý đến góc phần tư thứ nhất,…).
3.3.2. Hình học giải tích Fermat
Fermat (1601-1665): là một nhà toán học người Pháp có nhiều đóng góp toán học. Ông nghiên cứu phát triển những quan điểm về hình học giải tích: đưa hệ tọa độ vuông góc và ứng dụng các phương pháp đại số vào hình học.
Với tác phẩm “nhập môn về lý thuyết các quỹ tích thẳng vào không gian” (1636), ông đã đưa phương pháp tọa độ và sử dụng trong nghiên cứu hình học (tương tự như của Đecac). Tuy viết sớm hơn tập “hình học” của Đecac một năm song do xuất bản muộn hơn, lại trình bày bằng ngôn ngữ đại số nặng nề nên khó phổ biến, ít có tác dụng đối với toán học hơn so với tập “hình
học”.
3.3.3. Phương pháp và phương tiện tính toán được hoàn thiện trong thế kỉ XVII
Lập ra các bảng hàm số lượng giác: Copecnic, Keple, Viet, Huyghen… phục vụ cho
nghiên cứu thiên văn, đi biển,…
Xác định giá trị của số π: 700 số lẻ thập phân của π (Sensho).
Phát minh ra phép tính Logarit ( so sánh hai cấp số cộng và nhân, mở rộng đầy đủ cho
khái niệm lũy thừa).
Xây dựng bảng Logarit Nepe ( cơ số e), bảng Logarit các hàm số lượng giác.
Năm 1620 lập ra thước tính Logarit
Năm 1623 xuất hiện máy tính cổ nhất do Vinhem Sichka chế tạo. Sau đó là máy tính do Pascan chế tạo theo nguyên lí bánh xe truyền 10 răng (về sau được Lepnit cải tiến). Năm 1874, Otne (người Nga) đã sáng chế ra chiếc máy tính đơn giản (mà gần đây còn có những máy tính mang bánh xe mang tên gọi Otne)
Phương pháp tính toán gần đúng được tìm ra trong khi giả bằng số các phương trình đại
số một phép gần đúng với công lao đầu tiên thuộc về Viet. Sau đó là Newton (1676).
Những thành tựu kể trên đã làm giàu thêm toán sơ cấp góp phần làm cho toán sơ cấp và toán cao cấp gắn bó với nhau, tạo điều kiện cho nhau phát triển trong mối quan hệ thống nhất. 3.3.4. Sự ra đời của phép tính vi - tích phân
Giải tích vô cùng bé được nghiên cứu bởi nhiều nhà bác học tiền bối như:
Keple: tính thể tích thùng rượu vang bằng cách chia nhỏ rồi lấy tổng (1612); phát minh
định luật chuyển động của các hành tinh (1615). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Galile (1564-1642): nhà vật lí - toán học với câu nói nổi tiếng “ nhưng dù sao, trái đất vẫn cứ quay!” trước khi lên giàn hỏa thiêu của nhà Thiên chúa giáo.
1621: Kavaleli (người Ý): trình bày lí thuyết vô cùng bé chính xác hơn nhiều. Ông quan
niệm: diện tích một hình phẳng là “toàn thể các đoạn thẳng cắt hình đó song song với một tiếp
tuyến nào đó”. Từ đó ông đi tính diện tích mảnh parabol, thể tích hình nón, thể tích hình
chóp, ….
Tôrisenrli: là nhà thiên văn học nghiên cứu toán học với ý nghĩa công cụ. Pascan: đã thay khái niệm “ toàn thể” của Kavaleli thành khái niệm lấy tổng.
(1656): Valit đã số học hóa việc chuyển qua giới hạn: xem diện tích, thể tích là tổng đại
phân kỳ. Ông đưa ra kí hiệu vô hạn ∞; quan niệm 1 0 = ∞; 1 =0 ∞ ; 1 2 0 1−x ∫ .2dx là diện tích của hình tròn bán kính bằng 1. Từ đó dẫn tới tích vô hạn nổi tiếng mang tên ông
4 1.3.3.5.5.7.7...2.4.4.6.6.8.8... 2.4.4.6.6.8.8...
π = . Ông kết luận: không thể cầu phương chính xác được hình tròn bằng thước
và com pa; 4
π không thể biểu thị bằng căn thức bậc hai (tức là
4
π là một số siêu việt), ...
Robecvan: nhà vật lí học người Nga phát minh ra chiếc cân hai đĩa dùng quả cân.
1629: Fermat đã nêu ra phương pháp cực đại, cực tiểu (tiền đề chuẩn bị cho khái niệm
đạo hàm)
Đecac: trình bày một cách hệ thống các bài toán tiếp tuyến ( xác định đường cong trên cơ
sở biết các tính chất của tiếp tuyến đường cong - thực chất là tích phân một phương trình vi phân cấp một )
Baraw: các công trình của ông kết thúc một loạt các công trình chuẩn bị làm nảy sinh
tính vi tích phân.
3.3.5. Lý thuyết thông lượng của Newton
Newton (1643-1727) sinh ở Cămbơrit (Anh) trong một gia đình chủ trại, ông tốt nghiệp đại học tổng hợp Cămbơrit năm 23 tuổi. Vào 1672, ông là hội viên hội khoa học Hoàng Gia Luân Đôn. Đến 1703 là chủ tịch hội khoa học Hoàng gia Luân Đôn.
Ông có nhiều đóng góp về các lĩnh vực vật lý, cơ học, thiên văn học, toán học: Phát minh ra các định luật cơ bản của cơ học cổ điển, định luật vạn vật hấp dẫn, các định luật phân tích quang phổ,…
Nghiên cứu những đại lượng biến thiên trong chuyển động cơ học, ông dùng toán học làm công cụ và sáng tạo ra một phương pháp mà ông gọi là phương pháp hay lý thuyết thông
lượng: Nghiên cứu các đại lượng biến thiên, được đưa vào như sự trừu tượng hóa các chuyển
động cơ học liên tục thuộc các dạng khác nhau. Chúng được gọi là các thông lượng. Mọi thông lượng đều là các biến số phụ thuộc vào đối số là thời gian. Sau đó Newton đưa vào khái niệm tốc độ chảy của các thông lượng, tức là đạo hàm theo thời gian (được gọi là thông vận). Vì thông vận cũng là đại lượng biến thiên nên ta có thể đi tìm thông vận của thông vận,… nếu kí hiệu thông lượng là y thì có thể kí hiệu các thông vận thứ nhất, thứ hai, thứ ba lấn lượt là y’, y’’, y’’’… Muốn tính các tốc độ tức thời, tức là thông vận, cần thay đổi những vô cùng bé các thông lượng (Newton gọi là mômen). Hai bài toán chính trong lý thuyết thông lượng:
- Xác định tốc độ chuyển động ở một thời điểm đã cho theo một con đường đã cho. Hay là, xác định hệ thức giữa các thông vận từ hệ thức giữa các thông lượng. Về mặt toán học đó là bài toán vi phân hàm số ẩn mà Newton đã tìm ra quy tắc tính vi phân của các hàm số (đa thức,
hàm số vô tỉ,…).
- Bài toán ngược của lý thuyết thông lượng: xác định đoạn đường đi được trong thời gian đã cho theo tốc độ cho trước. Tức là, tìm hệ thức giữa các thông lượng theo hệ thức đã biết giữa các thông vận. Về mặt toán học đây là bài toán tổng quát về tích phân các phương trình vi phân bất kì ở trường hợp riêng là việc tìm ra các nguyên hàm (tích phân không định hạn). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khoảng những năm 60 - 70 của thế kỉ XVII, Newton đã đạt được đa số các kết quả về lý thuyết thông lượng với xuất phát điểm từ cơ học. Trong quá trình tìm cách giải quyết, ông đã xây
dựng được phương pháp tỉ số đầu và tỉ số cuối (tiền thân của lý thuyết giới hạn) và trình bày trong tác phẩm “ Những cơ sở của triết học tự nhiên”. Trong đó, Newton nêu ra được những định lý cơ bản về giới hạn và về các vô cùng bé (nay ở phần cơ sở của các giáo trình giải tích toán học).
Tuy nhiên, cơ sở lý thuyết thông lượng của Newton vẫn còn thần bí ( theo C.Mác nhận xét). Bởi vì, dù xuất hiện dưới hình thức nào thì khái niệm giới hạn cũng là khái niệm phi Algorit: đối với nó không thể áp dụng những phép toán liên tiếp một cách có hiệu quả để tìm ra nó được! Mặt khác, Newton chưa giải thích được ước lượng giả định về giới hạn: cách giải thích của ông còn rất xa với quan niệm hiện nay (
0
lim ( )
x x f x L
→ = ⇔ mọi số dương ε bé bao nhiêu tùy ý bao giờ cũng tìm được một số dương δ sao cho với mọi x thỏa mãn: 0< −x x0 <δ ta đều có: ( )f x − <L ε).
3.3.6. Phép tính vi phân của Lepnit
Lepnit (1646 – 1716) là nhà bác học người Đức sinh ở Lepzich trong một gia đình nhà giáo. Ông hoạt động trong rất nhiều lĩnh vực: nhà ngoại giao, nhà chính trị, nhà bác học về khoa học tự nhiên, vật lí, triết học, luật pháp, văn học, ngôn ngữ học, toán học. Vào năm 1673, ông trở thành Hội viên Hội đồng Khoa Học Hoàng gia Luân Đôn. Vào năm 1700 ông là Viện sĩ Viện hàn lâm khoa học Pari. Ông cũng là ngươi đặt cơ sở xây dựng Viện hàn lâm khoa học Beclin và thường xuyên trao đổi thư tín và hội đàm với Nga Hoàng Pie I, tham gia thảo luận dự án phát triển nghiên cứu khoa học ở Nga.
Những công trình toán học của Lepnit gắn liền với quan điểm triết học của ông: nghiên cứu toán học có mục đích triết học “xây dựng một phương pháp thông dụng cho sự nhận thức khoa học”, hay theo danh từ của ông “cho đặc trưng tổng quát”. Đặc trưng tổng quát phải thay thế mọi suy luận lôgic bằng phép tính thực hiện trên các chữ hoặc trên các kí hiệu phản ánh các khái niệm một cách đơn trị. Như vậy, nó được coi như là công cụ logic toán học tổng quát nào đó của suy luận. sự thiết lập đặc trưng tổng quát và phát minh ra quy luật của toán học mới sẽ giải quyết vấn đề để chứng minh khoa học và sẽ trừ bỏ hết sự bất đồng vì rằng thay thế cho các cuộc tranh cãi, chi cần tiến hành tính toán.
Lepnit coi trọng việc lựa chọn kí hiệu toán học và gắn cho nó một ý nghĩa lớn lao “ phải chú ý sao cho các kí hiệu thuận lợi cho phát minh. Điều đó thường sẽ xảy ra khi các kí hiệu biểu thị một cách gọn ghẽ và phản ánh được bản chất sâu xa nhất của sự vật. Lúc đó, công việc của tư tưởng được đơn giản hóa một cách lạ lùng”. Năm 1673, ở tuổi 27, khi sang Anh kiến thức toán học của ông còn rất hạn chế, nhưng tài năng toán học của ông xuất hiện một cách đặc biệt. Lepnit đã giành nhiều công sức nghiên cứu các vấn đề tổ hợp và đã thấy trong đó có cơ sở toán học của logic học. Những cuộc gặp gỡ trao đổi khoa học giữa Lepnit và Huyghen đã đưa ông tới các vấn đề vi phân của toán học. Huyghen đã nêu cho Lepnit một loại bài toán nối liền những vấn đề này với tổ hợp. Khi giải một trong các bài toán của Huyghen về việc tìm tổng các số hạng dạng 1
( 1)
k k+ , Lepnit cũng đã tìm thấy các tổng của một số chuỗi số. Ở đây, ông đã áp dụng tam
giác số học của Pascan và các hiệu hữu hạn cao cấp. Lepnit thiết lập các tam giác điều hòa, tức là tam giác nghịch đảo các hệ số nhị thức. Nhờ tính chất của loại tam giác này, ông tìm được tổng một số dãy điều hòa vô hạn.
Lepnit đã nghiên cứu rất kĩ lưỡng các tác phẩm của Đecac và Kavaleri, Valit, Pascan, Huyghen và của các nhà toán học khác về lĩnh vực phép tính vi tích phân. Tuy không biết các công trình của Baraw và Newton, nhưng xuất phát từ các bài toán ngược và bài toán tiếp tuyến, Lepnit đã tìm thấy mối liên hệ tương hỗ giữa các phương pháp dựng tiếp tuyến (sau này là phép toán của phép vi phân) và các phép cầu phương (sau này là phép tích phân).
Trong khuôn khổ thuần túy toán học, phép tính của Lepnit đã hình thành dưới những nét tổng quát từ những yếu tố sau đây:
+ Những bài toán lấy tổng các chuỗi (1673) và sự đưa vào các hệ thống sai phân hữu hạn. + Việc giải các bài toán tiếp tuyến, tam giác đặc trưng của Pascan và việc chuyển dần các hệ thức giữa những phần tử hữu hạn thành tùy ý và rồi thành các phần tử vô cùng bé.
+ Những bài toán ngược với bài toán tiếp tuyến việc lấy tổng các sai phân vô cùng bé, sự phát minh ra tính chất tương hỗ của các bài toán vi phân và tích phân (1676).
Nhờ có Ordenbua - thư kí của Hội khoa học Hoàng gia Luân Đôn, Lepnit đã liên hệ được với Newton bằng thư từ. Ông đã thông báo các kết quả của mình và mong muốn tìm hiểu nhiều hơn về các phương pháp và kết quả của Newton. Chủ yếu Lepnit muốn bàn đến các phương pháp khai triển hàm số thành chuỗi và việc giải các bài toán ngược với bài toán tiếp tuyến. Rất tiếc, việc trao đổi thư từ chấm rứt rất nhanh vì Newton đã đình chỉ tả lời các thư từ của bạn.
Cũng như Newton, Lepnit không nghĩ đến việc xuất bản sớm các tác phẩm của mình. Mãi đến năm 1684, trong tạp trí “Acta Brudi Toroun” ở Lép zich, Lepnit mới công bố tập hồi kí đầu tiên về giải tích vô cùng bé “ phương pháp mới về các cực đại, cực tiểu, và các tiếp tuyến, mà đối với nó các đại lượng phân cũng như vô tỷ không gây ra trở ngại gì và loại tính toán riêng cho phương pháp ấy”. Tuy chỉ chưa đến 10 trang giấy nhưng đây là lần đầu tiên, phép tính vi phân xuất hiện trên các trang của một tạp chí khoa học như một đối tượng của nghiên cứu khoa học.
Nhờ phép tính mới này, các nhà toán học ở cuối thế kỉ XVII đẩu thế kỉ XVIII đã giải được một số lượng tăng khá nhanh những bài toán khó và quan trọng trong thực hành. Trong các loại hoạt động này thì Lepnit cũng là người đi tiên phong. Năm 1686 trong các tác phẩm về “Hình học sâu sắc” đã xuất bản Lepnit đã tình bày các quy tắc tích phân của nhiều hàm số sơ cấp. Cũng trong năm này, ông đã xây dựng được cơ sở lí thuyết về sự tiếp xúc của các đường cong, đưa ra vòng trong nội tiếp và áp dụng nó vào việc đo độ cong.
Năm 1693, Lepnit đã mở rộng phép tính mới cho những hàm số siêu việt bằng cách khai triển chúng thành chuỗi nhờ phương pháp hệ số bất định. Về thực chất, trong các công trình tiếp theo của Lepnit bao chùm những phần mở đầu của phép tính vi phân và tích phân. Năm 1695, ông nêu quy tắc vi phân của hàm số lũy thừa tổng quát và công thức vi phân bội của tích. Trong năm 1702-1703, Lepnit đã tìm được các cách lấy tích phân của các phân thức hữu tỉ. Năm 1691, Lepnit đã xác định được hình dạnh của một dây thuần chất, nặng, mềm được treo lên ở hai đầu. Ông cũng đã viết được phương trình của dây xích.
Từ năm 1696, Lepnit đã nghiên cứu những bài toán biến phân: giải toán về đường cong của đoạn dốc ngắn nhất và tìm được phương pháp giải các bài toán về các đường đoản trình. Kí hiệu và thuật ngữ của Lepnit hình như đã được suy nghĩ, cân nhắc kĩ lưỡng phản ánh được bản