Nguyên hàm và tích phân

http://ebooktoan.com/forum/index.php I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x 2 – 3x + x 1 2. f(x) = 2 4 32 x x + 3. f(x) = 4 3 xxx ++ 4. f(x) = 2 22 )1( x x − 5. f(x) = 2 1 x x − 6. f(x) = 3 21 xx − 7. f(x) = x x 2 )1( − 8. f(x) = 3 1 x x − 9. f(x) = 2 sin2 2 x 10.f(x) = tan 2 x 11. f(x) = cos 2 x 12. f(x) = (tanx – cotx) 2 13. f(x) = xx 22 cos.sin 1 14. f(x) = xx x 22 cos.sin 2cos 15.f(x) = sin3x f(x) = 2sin3xcos2x 17. f(x) = e x (e x – 1) 18. f(x) = e x (2 + ) cos 2 x e x− 19. f(x) = 2a x + 3 x 20. f(x) = e 3x+1 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2. f’(x) = 2 – x 2 và f(2) = 7/ 3. f’(x) = 4 xx − và f(4) = 0 4. f’(x) = x - 2 1 2 + x và f(1) = 2 5. f’(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2 và f(-1) = 3 6.f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(', 2 =−== fff x b ĐS. f(x) = 2 51 2 2 ++ x x II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ dxxuxuf )(')].([ bằng cách đặt t = u(x)  Đặt t = u(x) dxxudt )('=⇒  I = ∫ ∫ = dttfdxxuxuf )()(')].([ BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. 15 (5 1)x dx− ∫ 2. 12 ( 2)x x dx− ∫ 3. ∫ − 5 )23( x dx 4. dxx ∫ − 25 5. ∫ −12x dx 6. ∫ + xdxx 72 )12( 7. ∫ + dxxx 243 )5( 8. xdxx .1 2 ∫ + 9. ∫ + dx x x 5 2 10. ( ) 5 2 xdx x − ∫ 11. dx x x ∫ 3 ln 12. ∫ + 2 )1( xx dx 13. ∫ + dx x x 3 2 25 3 14. ∫ + dxex x 1 2 . 15. ∫ xdxx cossin 4 16. cot xdx ∫ 17. ∫ dx x x 5 cos sin 18. ∫ x tgxdx 2 cos 19. ∫ xdxx 23 sincos 20. ∫ x dx cos 21. ∫ tgxdx 22. ∫ dx x e x 23. ∫ − 3 x x e dxe 24. ∫ dx x e tgx 2 cos 25. ∫ − dxx .1 2 26. ∫ − 2 4 x dx 27. ∫ − dxxx .1 22 28. ∫ + 2 1 x dx 29. ∫ − 2 2 1 x dxx 30. ∫ ++ 1 2 xx dx 31. ∫ x dx sin 32. dxxx .1 ∫ − 33. ∫ +1 x e dx 34. dxxx .1 23 ∫ + 35. 3 sin dx x ∫ 36. 3 os dx c x ∫ 37. 3 tan dx x ∫ 38. 3 osc xdx ∫ 39. 3 sin xdx ∫ 40. (sinx+ cos ) sinx cos x dx x− ∫ 41. 2 2 2 dx x x+ + ∫ 42. sin 4 sinx xdx ∫ 43. 3 sin cos x dx x ∫ 44. 1 ( ln ) x x xe dx x e x + + ∫ 45. 3 sin cosx xdx ∫ 46. cos3 sinx xdx ∫ 47. 2 3 1 dx x + ∫ 48. 2 3 (1 ) dx x+ ∫ 49. 3 2 1x x dx− ∫ 50. 2 1 dx x x + ∫ 51. 2 (2 1) xdx x + ∫ 52. 3 1 3 x x dx − ∫ 53. 2 2 1 x dx x + ∫ 54. 4 1 dx x x + ∫ 55. 3 1 3 x x dx − ∫ 56. 2 1 dx x x − ∫ 57. 33 2 1x x dx− ∫ 1 http://ebooktoan.com/forum/index.php 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay ∫ ∫ −= vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ xdxx sin. 2. ∫ xdxx cos 3. ∫ xdxx ln 4. ∫ xdxln 5. ∫ xdxx 2sin 6. ∫ dxex x . 7. ∫ xdxx 2cos 8. ∫ ++ xdxxx cos)32( 2 9. ∫ + xdxx sin)5( 2 10. dxx ∫ 2 ln 11. ∫ dxe x 12. ∫ dxxsin 13. ∫ dx x x 2 cos 14. ∫ + dx x x 2 )1ln( 15. ∫ x xdxln 6. ∫ + dxx )1ln( 2 17. ∫ xdxe x cos. 18. ∫ dxex x 2 3 19. ∫ + dxxx )1ln( 2 20. ∫ xdx x 2 21. ∫ xdxxlg 22. ∫ + dxxx )1ln(2 23. ∫ xdxxtg 2 24. ∫ xdxx 2cos 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1. 1 3 0 ( 1)x x dx+ + ∫ 2. 2 2 1 1 1 ( ) e x x dx x x + + + ∫ 2. 3 1 2x dx− ∫ 3. 2 1 1x dx+ ∫ 4. 1 0 ( ) x e x dx+ ∫ 5. 2 3 (2sin 3 )x cosx x dx π π + + ∫ 6. 1 3 0 ( )x x x dx+ ∫ 7. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx+ − + ∫ 8. 2 3 1 (3sin 2 )x cosx dx x π π + + ∫ 9. 1 2 0 ( 1) x e x dx+ + ∫ 10. 2 2 3 1 ( )x x x x dx+ + ∫ 11. 3 3 1 x 1 dx( ). − + ∫ 12. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx− + + ∫ 13. 2+ ∫ 2 2 -1 x.dx x 14. 2 e 1 7x 2 x 5 dx x − − ∫ 15. x 2+ + − ∫ 5 2 dx x 2 16. 2 2 1 x 1 dx x x x + + ∫ ( ). ln 17. 3 2 3 6 x dx x π π ∫ cos . sin 18. 4 2 0 tgx dx x π ∫ . cos 19. 1 x x x x 0 e e e e − − − + ∫ dx 20. 1 x x x 0 e dx e e − + ∫ . 21. 2 2 1 dx 4x 8x+ ∫ 22. 3 x x 0 dx e e − + ∫ ln . 22. 2 0 dx 1 x π + ∫ sin 23. dx xx ∫       + 2 1 32 11 24. ∫ − ++ 1 1 2 )12( dxxx 25. ∫ −− 2 0 3 ) 3 2 2( dxxx 26. ∫ − − 2 2 )3( dxxx 27. ∫ − − 4 3 2 )4( dxx 29. ∫ − 2 1 3 2 2 dx x xx 30. ∫ e e x dx 1 1 31. ∫ 16 1 .dxx 32. dx x xx e ∫ −+ 2 1 752 33. dx x x ∫         − 8 1 3 2 3 1 4 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 2. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 3. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 4. 4 0 tgxdx π ∫ 5. 4 6 cot gxdx π π ∫ 6. 1 2 0 1x x dx+ ∫ 7. 1 2 0 1x x dx− ∫ 8. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 9. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 10. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 11. 2 3 1 1 1 dx x x + ∫ 12. 1 2 0 1 1 dx x+ ∫ 13. 1 2 1 1 2 2 dx x x − + + ∫ 14. 1 2 0 1 1 dx x + ∫ 15. 1 2 2 0 1 (1 3 ) dx x+ ∫ 16. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 17. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 18. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 19. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 20. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 21. 2 4 sin cosx e xdx π π ∫ 22. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 23. 5 0 sin xdx π ∫ 2 http://ebooktoan.com/forum/index.php 24. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 25. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 32. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 33. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 34. 2 3 1 1 1 dx x x + ∫ 35. 1 1 ln e x dx x + ∫ 36. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ 37. 1 1 3ln ln e x x dx x + ∫ 38. 2ln 1 1 e x e dx x + ∫ 39. 2 2 1 ln ln e e x dx x x + ∫ 41. 2 1 1 1 x dx x+ − ∫ 42. 1 0 2 1 x dx x + ∫ 43. 1 0 1x x dx+ ∫ 44. 1 0 1 1 dx x x+ + ∫ 45. 1 0 1 1 dx x x+ − ∫ 46. 3 1 1x dx x + ∫ 47. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ 49. 2ln 1 1 e x e dx x + ∫ 51. 2 2 1 (1 ln ) e e dx xcos x+ ∫ 53. ( ) 2 4 0 sin 1 cosx xdx π + ∫ 55. 4 2 0 4 x dx− ∫ 56. 1 2 0 1 dx x+ ∫ 57. dxe x ∫ − + 0 1 32 58. ∫ − 1 0 dxe x 59. 1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫ 60. 1 0 x dx 2x 1+ ∫ 61. 1 0 x 1 xdx− ∫ 62. 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + ∫ 63. 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫ 64. 3 3 2 0 x dx x 2x 1+ + ∫ 65. ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x 66. 6 6 6 0 (sin cos )x x dx π + ∫ 67. 3 2 0 4sin 1 cos x dx x π + ∫ 68. 4 2 0 1 sin 2 cos x dx x π + ∫ 69. 2 4 0 cos 2xdx π ∫ 70. ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 71. 2 6 1 sin 2 cos 2 sin cos x x dx x x π π + + + ∫ 72. 1 0 1 1 x dx e + ∫ 73. 4 0 1 dx cosx π ∫ 74. ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 75. 2 5 0 cos xdx π ∫ 76. ∫ − −+ + 0 2 2 32 22 dx xx x 77. ∫ ++ − 1 1 2 52xx dx 78. 4 4 0 1 cos dx x π ∫ . 79. 4 2 0 sin 4 1 cos x dx x π + ∫ 80. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 81. 2 2 3 0 sin 2 (1 sin )x x dx π + ∫ 82. 2 3 2 0 cos sinx xdx π ∫ 84. dxxx )sin(cos 4 0 44 ∫ − π 86. 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx− ∫ 87. 6 2 0 cos 6 5sin sin x dx x x π − + ∫ 88. ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x 89. 4 0 cos sin 3 sin 2 x x dx x π + + ∫ 90. ∫ + 2 0 2 )sin2( 2sin π dx x x 91. ∫ 3 4 2sin )ln( π π dx x tgx 92. 3 4 0 cos2 tg x dx x ∫ 93. ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx 94. ∫ − 4 0 8 )1( π dxxtg 95. ∫ + − 2 4 2sin1 cossin π π dx x xx 96. ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 97. ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx 98. ∫ + − 4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x 99. ∫ −+ 2 1 11 dx x x 100. 1 2 0 1 x dx− ∫ 101. ∫ + 2 0 sin cos)cos( π xdxxe x 102. ∫ + e dx x xx 1 lnln31 103. 1 2 0 1 dx 1 x+ ∫ 104. 1 2 0 1 dx 4 x− ∫ 105. 1 2 0 1 dx x x 1− + ∫ 106. 1 4 2 0 x dx x x 1+ + ∫ 107. 2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫ 108. 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ 109. 2 2 2 1 x 4 x dx− ∫ 3 http://ebooktoan.com/forum/index.php 110. 2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫ 101. 3 2 2 1 9 3x dx x + ∫ 112. 1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫ 113. 2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫ 114. 2 0 cos 7 cos2 x dx x π + ∫ 115. 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ 116. 2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫ 117. ∫ ++ − 0 1 2 22xx dx 118. ∫ ++ 1 0 311 x dx 119. ∫ − − 2 1 5 1 dx x xx 120. 8 2 3 1 1 dx x x + ∫ 121. 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ 122. 3 5 2 0 1x x dx+ ∫ 123. ln2 x 0 1 dx e 2+ ∫ 124. 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ∫ 125. 2 2 3 0 1x x dx+ ∫ 126. ∫ + 32 5 2 4xx dx II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a x d u x v x v x u x dx= − ∫ ∫ Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv @ Dạng 1 sin ( ) ax ax f x cosax dx e β α           ∫ ( ) '( ) sin sin cos ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx e e = =           ⇒       = =                   ∫ Ví dụ 1: tính các tích phân sau a/ 1 2 2 0 ( 1) x x e dx x + ∫ đặt 2 2 ( 1) x u x e dx dv x  =   =  +  b/ 3 8 4 3 2 ( 1) x dx x − ∫ đặt 5 3 4 3 ( 1) u x x dx dv x  =   =  −  c/ 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) dx x x dx x dx dx I I x x x x + − = = − = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Tính I 1 1 2 0 1 dx x = + ∫ bằng phương pháp đổi biến số Tính I 2 = 1 2 2 2 0 (1 ) x dx x+ ∫ bằng phương pháp từng phần : đặt 2 2 (1 ) u x x dv dx x =    =  +  Bài tập 1. 3 3 1 ln e x dx x ∫ 2. 1 ln e x xdx ∫ 3. 1 2 0 ln( 1)x x dx + ∫ 4. 2 1 ln e x xdx ∫ 5. 3 3 1 ln e x dx x ∫ 6. 1 ln e x xdx ∫ 7. 1 2 0 ln( 1)x x dx + ∫ 8. 2 1 ln e x xdx ∫ 9. 2 0 ( osx)sinxx c dx π + ∫ 10. 1 1 ( )ln e x xdx x + ∫ 11. 2 5 1 ln x dx x ∫ 12. 3 2 0 tanx xdx π ∫ 13. 2 2 1 ln( )x x dx + ∫ 14. 2 0 cosx xdx π ∫ 15. 1 0 x xe dx ∫ 16. 2 0 cos x e xdx π ∫ Tính các tích phân sau 4 @ Dạng 2: ( )ln( )f x ax dx β α ∫ Đặt ln( ) ( ) ( ) dx du u ax x dv f x dx v f x dx  = =   ⇒   =   =  ∫ @ Dạng 3: sin .       ∫ ax ax e dx cosax β α http://ebooktoan.com/forum/index.php 1) ∫ 1 0 3 . dxex x 2) ∫ − 2 0 cos)1( π xdxx 3) ∫ − 6 0 3sin)2( π xdxx 4) ∫ 2 0 2sin. π xdxx 5. ∫ e xdxx 1 ln 6. ∫ − e dxxx 1 2 .ln).1( 7. ∫ 3 1 .ln.4 dxxx 8. 1 2 0 ln(3 ).x x dx+ ∫ 9. 2 2 1 ( 1) x x e dx+ ∫ 10. ∫ π 0 .cos. dxxx 11. ∫ 2 0 2 .cos. π dxxx 12. 2 0 sin xdx π ∫ 13. 2 5 1 lnx dx x ∫ 14. 2 2 0 xcos xdx π ∫ 15. 1 x 0 e sinxdx ∫ 16) 2 2 0 ( 2 )sinx x xdx π + ∫ 17. e 2 1 xln xdx ∫ 18. 3 2 0 x sinx dx cos x π + ∫ 19. 2 0 xsinx cos xdx π ∫ 20. 4 2 0 x(2cos x 1)dx π − ∫ 21. ∫ + 2 0 3 sin)cos( π xdxxx 22. 1 2 2x 0 (x 1) e dx+ ∫ 23. e 2 1 (xlnx) dx ∫ 24. ∫ − 1 0 2 )2( dxex x 25) 2 1 ln ( 1) e e x dx x + ∫ 26. ∫ 1 2 0 tanx xdx 27. ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx 28. π + ∫ /3 0 cosx.ln(1 cosx)dx 29. ∫ e dx x x 1 ln 30. 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ 31. ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx 32. ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 1. ∫ +− − 5 3 2 23 12 dx xx x 2. ∫ ++ b a dx bxax ))(( 1 3. ∫ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx 4. dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 1 1 5. ∫ + 1 0 3 2 )13( dx x x 6. ∫ ++ 1 0 22 )3()2( 1 dx xx 7. ∫ + − 2 1 2008 2008 )1( 1 dx xx x 8. ∫ − 3 2 22 4 )1( dx x x 9. ∫ + − 1 0 2 32 )1( dx x x n n 10. ∫ + 2 1 4 )1( 1 dx xx 11. ∫ ++ − 2 1 24 2 )23( 3 dx xxx x 12. ∫ − +− ++− 0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx 13. ∫ + 2 0 2 4 1 dx x 14. ∫ + 1 0 4 1 dx x x 15. dx xx ∫ +− 2 0 2 22 1 16. ∫ + 1 0 32 )1( dx x x 17. ∫ +− 4 2 23 2 1 dx xxx 18. ∫ +− ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx 19. ∫ + − 2 1 4 2 1 1 dx x x 20. ∫ + 1 0 3 1 1 dx x 21. ∫ + +++ 1 0 6 456 1 2 dx x xxx 22. ∫ + − 1 0 2 4 1 2 dx x x 23. 1 2 0 1 dx x x+ + ∫ 24. 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + ∫ 25. dxx x x ∫       −− + − 2 0 1 2 13 26. ∫ − + 3 2 1 2 dx x x 27. dx x x ∫       − + − 1 0 3 1 22 28. ∫ + + 1 0 6 4 1 1 dx x x 29. dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 32 30. ∫ −       +− − − 0 1 12 12 2 dxx x x 31. dxx x xx ∫ −         +− − ++ 0 1 2 12 1 1 32. dxx x xx ∫         +− + −+ 1 0 2 1 1 22 33. ∫ ++ 1 0 2 34xx dx IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: 1. xdxx 4 2 0 2 cossin ∫ π 2. ∫ 2 0 32 cossin π xdxx 3. dxxx ∫ 2 0 54 cossin π 4. ∫ + 2 0 33 )cos(sin π dxx 5. ∫ + 2 0 44 )cos(sin2cos π dxxxx 6. ∫ −− 2 0 22 )coscossinsin2( π dxxxxx 7. ∫ −+ 2 0 441010 )sincoscos(sin π dxxxxx 8. ∫ − 2 0 cos2 π x dx 9. ∫ 2 3 sin 1 π π dx x 10. ∫ + 2 0 sin2 1 π dx x 11. ∫ + 2 0 2 3 cos1 sin π dx x x 12. ∫ 3 6 4 cos.sin π π xx dx 13. ∫ + 2 0 cos1 cos π dx x x 14. ∫ −+ 4 0 22 coscossin2sin π xxxx dx 15. ∫ − 2 0 cos2 cos π dx x x 16. ∫ + 2 0 sin2 sin π dx x x 17. ∫ + 2 0 3 cos1 cos π dx x x 5 http://ebooktoan.com/forum/index.php 18. ∫ ++ 2 0 1cossin 1 π dx xx 19. ∫ − 2 3 2 )cos1( cos π π x xdx 20. ∫ − ++ +− 2 2 3cos2sin 1cossin π π dx xx xx 21. ∫ 4 0 3 π xdxtg 22. dxxg ∫ 4 6 3 cot π π 23. ∫ 3 4 4 π π xdxtg 24. ∫ + 4 0 1 1 π dx tgx 25. ∫ + 4 0 ) 4 cos(cos π π xx dx 26. ∫ + π 2 0 sin1 dxx 27. ∫ ++ ++ 2 0 5cos5sin4 6cos7sin π dx xx xx 28. ∫ ++ 4 0 13cos3sin2 π xx dx 29. ∫ + 4 0 4 3 cos1 sin4 π dx x x 30. ∫ + ++ 2 0 cossin 2sin2cos1 π dx xx xx 31. ∫ + 2 0 cos1 3sin π dx x x 32. ∫ − 2 4 sin2sin π π xx dx 33. ∫ 4 0 2 3 cos sin π dx x x 34. ∫ + 2 0 32 )sin1(2sin π dxxx 35. ∫ π 0 sincos dxxx 36. ∫ − 3 4 3 3 3 sin sinsin π π dx xtgx xx 37. ∫ ++ 2 0 cossin1 π xx dx 38. ∫ + 2 0 1sin2 π x dx 39. ∫ 2 4 53 sincos π π xdxx 40. ∫ + 4 0 2 cos1 4sin π x xdx 41. ∫ + 2 0 3sin5 π x dx 2. ∫ 6 6 4 cossin π π xx dx 43. ∫ + 3 6 ) 6 sin(sin π π π xx dx 44. ∫ + 3 4 ) 4 cos(sin π π π xx dx 45. ∫ 3 4 6 2 cos sin π π x xdx 46. dxxtgxtg ) 6 ( 3 6 π π π ∫ + 47. ∫ + 3 0 3 )cos(sin sin4 π xx xdx 48. ∫ − + 0 2 2 )sin2( 2sin π x x 49. ∫ 2 0 3 sin π dxx 50. ∫ 2 0 2 cos π xdxx 51. ∫ + 2 0 12 .2sin π dxex x 52. dxe x x x ∫ + + 2 0 cos1 sin1 π 53. ∫ + 4 6 2cot 4sin3sin π π dx xgtgx xx 54. ∫ +− 2 0 2 6sin5sin 2sin π xx xdx 55. ∫ 2 1 )cos(ln dxx 56. ∫ 3 6 2 cos )ln(sin π π dx x x 57. dxxx ∫ − 2 0 2 cos)12( π 58. ∫ π 0 2 cossin xdxxx 59. ∫ 4 0 2 π xdxxtg 60. 2 4 4 0 cos (sin cos )x x x dx π + ∫ 61. ∫ 2 0 3sin cossin 2 π xdxxe x 62. ∫ + 4 0 )1ln( π dxtgx 63. ∫ + 4 0 2 )cos2(sin π xx dx 64. ∫ −+ − 2 0 2 )cos2)(sin1( cos)sin1( π dx xx xx 65. 2 2 sin 2 sin 7x xdx π π − ∫ 66. 3 2 0 4sin 1 cos x dx x π + ∫ 67. ∫ π 0 22 sin xdxe x 68. ∫ − 2 2 3cos.5cos π π xdxx 69. ∫ − 2 2 2sin.7sin π π xdxx 70. ∫ 4 0 cos 2 sin π xdx x 71. ∫ 4 0 2 sin π xdx 72. / 2 0 sin x dx 3 cos2x π + ∫ 73. ∫ π π + − 4/5 dx x2sin1 xcosxsin 74. / 3 2 0 sin .tan .x x dx π ∫ 75. /4 4 0 dx I cos x π = ∫ 76. /4 4 0 dx I sin x π = ∫ 6 http://ebooktoan.com/forum/index.php V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: ∫ b a dxxfxR ))(,( Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: +) R(x, xa xa + − ) §Æt x = a cos2t, t ] 2 ;0[ π ∈ +) R(x, 22 xa − ) §Æt x = ta sin hoÆc x = ta cos +) R(x, n dcx bax + + ) §Æt t = n dcx bax + + +) R(x, f(x)) = γβα +++ xxbax 2 )( 1 Víi ( γβα ++ xx 2 )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = γβα ++ xx 2 , hoÆc ®Æt t = bax + 1 +) R(x, 22 xa + ) §Æt x = tgta , t ] 2 ; 2 [ ππ −∈ +) R(x, 22 ax − ) §Æt x = x a cos , t } 2 {\];0[ π π ∈ +) R ( ) 1 2 i n n n x x x; ; ; Gäi k = BCNH(n 1 ; n 2 ; ; n i ) §Æt x = t k 1. ∫ + 32 5 2 4xx dx 2. ∫ − 2 3 2 2 1xx dx 3. ∫ − +++ 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx 4. ∫ + 2 1 3 1xx dx 5. ∫ + 2 1 2 2008dxx 6. ∫ + 2 1 2 2008x dx 7. ∫ + 1 0 22 1 dxxx 8. ∫ − 1 0 32 )1( dxx 9. ∫ + + 3 1 22 2 1 1 dx xx x 10. ∫ − + 2 2 0 1 1 dx x x 11. ∫ + 1 0 32 )1( x dx 12. ∫ − 2 2 0 32 )1( x dx 13. ∫ + 1 0 2 1 dxx 14. ∫ − 2 2 0 2 2 1 x dxx 15. ∫ + 2 0 2cos7 cos π x xdx 16. ∫ − 2 0 2 coscossin π dxxxx 17. ∫ + 2 0 2 cos2 cos π x xdx 18. ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 19. ∫ + 7 0 3 2 3 1 x dxx 20. ∫ − 3 0 23 10 dxxx 21. ∫ + 1 0 12x xdx 22. ∫ ++ 1 0 2 3 1xx dxx 23. ∫ ++ 7 2 112x dx 24. dxxx ∫ + 1 0 815 31 25. ∫ − 2 0 5 6 3 cossincos1 π xdxxx 26. ∫ + 3ln 0 1 x e dx 27. ∫ − +++ 1 1 2 11 xx dx 28. ∫ + 2ln 0 2 1 x x e dxe 29. ∫ −− 1 4 5 2 8412 dxxx 30. ∫ + e dx x xx 1 lnln31 31. ∫ + + 3 0 2 35 1 dx x xx 32. dxxxx ∫ +− 4 0 23 2 33. ∫ − ++ 0 1 3 2 )1( dxxex x 34. ∫ + 3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x 35. ∫ + 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos π dx x tgx x x 36. ∫ + 2ln 0 3 )1( x x e dxe 7 http://ebooktoan.com/forum/index.php 37. + 3 0 2cos2 cos x xdx 38. + 2 0 2 cos1 cos x xdx 39. dx x x + + 7 0 3 3 2 40. + a dxax 2 0 22 VI. MT S TCH PHN C BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: += aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)( Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2 3 ; 2 3 ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = x2cos22 , Tính: 2 3 2 3 )( dxxf +) Tính + + 1 1 2 4 1 sin dx x xx Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 0. Ví dụ: Tính: ++ 1 1 2 )1ln( dxxx ++ 2 2 2 )1ln(cos dxxxx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 2 a dxxf 0 )( Ví dụ: Tính + 1 1 24 1xx dxx 2 2 2 cos 4 sin x x dx x + Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: = + aa a x dxxfdx b xf 0 )( 1 )( (1 b>0, a) Ví dụ: Tính: + + 3 3 2 21 1 dx x x + 2 2 1 5cos3sinsin dx e xxx x Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; 2 ], thì = 2 0 2 0 )(cos)(sin dxxfxf Ví dụ: Tính + 2 0 20092009 2009 cossin sin dx xx x + 2 0 cossin sin dx xx x Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: = 00 )(sin 2 )(sin dxxfdxxxf Ví dụ: Tính + 0 sin1 dx x x + 0 cos2 sin dx x xx Bài toán 6: =+ b a b a dxxfdxxbaf )()( = bb dxxfdxxbf 00 )()( Ví dụ: Tính + 0 2 cos1 sin dx x xx + 4 0 )1ln(4sin dxtgxx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: 8 http://ebooktoan.com/forum/index.php ∫∫ = + TTa a dxxfdxxf 0 )()( ⇒ ∫∫ = TnT dxxfndxxf 00 )()( VÝ dơ: TÝnh ∫ − π 2008 0 2cos1 dxx C¸c bµi tËp ¸p dơng: 1. ∫ − + − 1 1 2 21 1 dx x x 2. ∫ − +−+− 4 4 4 357 cos 1 π π dx x xxxx 3. ∫ − ++ 1 1 2 )1)(1( xe dx x 4. ∫ − − + 2 2 2 sin4 cos π π dx x xx 5. ∫ − + − 2 1 2 1 ) 1 1 ln(2cos dx x x x 6. dxnx)xsin(sin 2 0 ∫ + π 7. ∫ − + 2 2 5 cos1 sin π π dx x x 8. cot 2 2 1 1 1 (1 ) tga ga e e xdx dx x x x + + + ∫ ∫ (tga>0) VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1. ∫ − − 3 3 2 1dxx 2. ∫ +− 2 0 2 34 dxxx 3. ∫ − 1 0 dxmxx 4. ∫ − 2 2 sin π π dxx 5. ∫ − − π π dxxsin1 6. ∫ −+ 3 6 22 2cot π π dxxgxtg 7. ∫ 4 3 4 2sin π π dxx 8. ∫ + π 2 0 cos1 dxx 9. ∫ − −−+ 5 2 )22( dxxx 10. ∫ − 3 0 42 dx x 11. ∫ − − 3 2 3 coscoscos π π dxxxx 12. 4 2 1 x 3x 2dx − − + ∫ 13. 5 3 ( x 2 x 2 )dx − + − − ∫ 14. 2 2 2 1 2 1 x 2dx x + − ∫ 15. 3 x 0 2 4dx− ∫ 16. 0 1 cos2xdx π + ∫ 17. 2 0 1 sinxdx π + ∫ 18. dxxx ∫ − 2 0 2 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY 1. Tính diện tích hình phẳng: Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x 2 - 2x + 4, y - 4 = x; b) y = x 2 - 2x + 3, y = 5 - x; c) y = x 2 - 2x + 2, y = -x 2 - x + 3; d) y = x 3 - 3x, y = x; e) y = x 2 - 2x + 4, y - 4 = x; f) y = 2x - x 2 , x + y = 2; g) y = x 3 - 12x, y = x 2 ; h) y = 2x 3 - x 2 - 8x + 1, y = 6. Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 2x 12x10x2 2 + −− và đường thẳng y = 0. Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 1x xx 2 + +− và trục hoành. Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = x 3 + 3x 2 , trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = -1. Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đồ thò hàm số y = x 3 - 3x + 1 và đường thẳng x = -1. 9 http://ebooktoan.com/forum/index.php Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thò của hàm số y = 1x 1x2 + + . Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số y = e x , y = 2 và đường thẳng x = 1. Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + sin 2 x với x ∈ [0; π]. Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2π], trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2π. Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x 3 , x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = 4 - x; c) y = x e 2 1 − , y = e -x , x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1. Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x 3 - 1 và tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = x 3 - 1 tại điểm (-1; -2). b) (P): y = -x 2 + 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của parabol (P) và trục tung. c) y = x 3 - 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x = - 2 1 . 2. Thể tích vật thể tròn xoay: Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox. a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x 3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1. Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox: a) y = 5x - x 2 , y = 0; b) y = -3x 2 + 3, y = 0. Bài 3: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox: a) y = 2 - x 2 , y = 1; b) y = 2x - x 2 , y = x; c) y = x 3 , y = 8 và x = 3. Bài 4: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) y = x 2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = x 2 - 2x + 2, y = 0, x = -1, x = 2. 2) y = x 2 - 2x, y = 0, x = -1, x = 2. 3) y = -x 2 + 4x, y = 0. 4) y = x 2 + x + 2, y = 2x + 4. 5) y = x 2 - 2x + 2, y = -x 2 - x + 3. 6) y = 2 4 1 x , y = 2 2 1 x + 3x. 7) y = x, y = 0, y = 4 - x. 8) y = x 2 , y = 2 8 1 x , y = x 8 . 9) y = 23 2 +− xx , y = 2. 10) y = 34 2 +− xx , y = x + 3. 11) (P): y = x 2 , x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ x = 1. 13) (P): y = -x 2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M 1 (0; -3), M 2 (3; 0). 14) (P): y = -x 2 + 4x và các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A( 2 5 ; 6). 15) y = tgx, y = 0, x = 0, x = 4 π . 16) y = lnx, y = 0, x = e 1 , x = e. 10 [...]... quanh trục Ox TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hồnh , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hồnh , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hồnh , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hồnh , trục tung và đường thẳng x = 2... đường thẳng x = 2 π Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hồnh , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hồnh , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hồnh , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hồnh , trục tung và đường thẳng x = 2 π Bài 1: Cho (p)... x2 Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = 2 ; y = x +1 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 1 x Bài 8: Cho... D giới hạn bởi các đường : y = x; y = 2 − x; y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = (x − 2)2 và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = 4 − x 2 ; y = x 2 + 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox 1 x2... ph¼ng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất  y = x3 − 2x 2 + 4x − 3 45)  y = 0 13 http://ebooktoan.com/forum/index.php TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY Cơng thức: O y x=a a b x=b (C ) : y = f ( x) y=0 b y b x=0 y=b (C ) : x = f ( y ) y=a a x x O 2 b 2 V = π ∫ [ f ( y )] dy V = π ∫ [ f ( x )] dx a a Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được... bëi hai ®êng trên có diện tích nhỏ nhất Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ĩ h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diƯn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x bằng nhau x − x 3  Bài 3: Xác định m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi y = o ≤ x ≤ 1 có hai phần diện tích bằng nhau y = 0  Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới hạn bởi x2+y2 = 8 Thành hai phần Tính diện tích mỗi phần 11 http://ebooktoan.com/forum/index.php... x2+y2 = 8 Thành hai phần Tính diện tích mỗi phần 11 http://ebooktoan.com/forum/index.php  x 2 + 2ax + 3a 2 y=   1+ a4 Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  Tìm a để diện tích là lớn nhất 2  y = a − ax  1+ a4  Bài 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau: −3x − 1   x2 y = x − 1 y = 4 −  y = x 2 − 4x + 3    4 1) (H1):  2) (H2) :  3) (H3):  y = 0 2 y = x + 3 y =... hạn bởi các đường y = x 2 e 2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox  y... = x2 x2 19) y = 4 − ,y= 4 2 4 20) y = x 1 + x 2 , x = 0, x = 1 1 21) y = − 2 x , y = ex, x = 1 e 2 22) y = 2x, y = x, y = 0, y = 3 23) y2 = 2x + 1, y = x - 1 24) y = x , x + y - 2 = 0 Bài 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox π 2) y = tgx, y = 0, x = 0, x = , quay xung quanh trục Ox 4 4 3) y...  y = x  15)  x + y − 2 = 0 y = 0   x2 y=   2 16  y = 1  1+ x2   y 2 = 2x 17   y = x, y = 0, y = 3 1 1   y = sin 2 x ; y = cos 2 x  19  x = π ; x = π  6 3  20): y = 4x – x2 ; (p) và tiếp tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)  y = x − 4x + 5  21)  y = −2 x + 4  y = 4 x − 11  2  y = / x 2 − 1/ 24)   y = / x /+ 5 y = x2 + 2 27)  y = 4 − x  y = −x + 6x − 5  2 22)  y = − x + 4 . ∫ + 32 5 2 4xx dx II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a x d u x v x v x u x dx= − ∫ ∫ Tích phân các hàm số dễ phát. 18. dxxx ∫ − 2 0 2 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY 1. Tính diện tích hình phẳng: Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a). 20. ∫ xdx x 2 21. ∫ xdxxlg 22. ∫ + dxxx )1ln(2 23. ∫ xdxxtg 2 24. ∫ xdxx 2cos 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1. 1 3 0 ( 1)x x dx+ + ∫ 2. 2 2 1 1