Mét sè tÝnh chÊt cña vi ph©n... Một số bài toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm... TÝnh nguyªn hµm b»ng c¸ch sö dông b¶ng nguyªn hµm... Tích phân dạng m x n x dx ∫sin cosThờng tính bằng cá
Trang 1x x
2 1 tancos
x x
11
x
dx dx
x x
x x
11
II Mét sè tÝnh chÊt cña vi ph©n
x
x y
x y
sinln
2
12009sin
6
cossin
sin2cos
5
++
x x
x x
9
2sin
.8
1
7
2
1 2
x y
Trang 21 ∫2xdx=x2 +C 3 ∫cosxdx sin= x+C 5 ∫sinx dx= −cosx+C
Ví dụ Một số bài toán sử dụng định nghĩa nguyên hàm
VD1 Kiểm tra xem hàm F( )x có phải là một nguyên hàm của hàm f( )x
không?
a F( )x = ln[ln(lnx) ] và ( ) ( )
x x
x x f
ln ln ln
f
sin ln
11
11
212
1
2
x nếu x
x
x nếu e
2
11
2
x nếu x
x nếu xe
Trang 3 C¸c vÝ dô TÝnh nguyªn hµm b»ng c¸ch sö dông b¶ng nguyªn hµm
VD1 TÝnh c¸c hä nguyªn hµm sau
dx x
x x
dx x
x
dx x x
∫
∫
∫
−+
+
−
+
)13(
3
)1(1
2
)(
1
3 2
2 2
2 3
( )
x
dx x
dx mx
812
.6
1
5
sin
Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè s¬
cÊp thêng gÆp Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè hîp(u=u( )x )
C x
dx= +
∫
( 1)1
1
−
≠+
a x x
∫cosxdx sin= x +C
∫sinxdx =−cosx +C
C x x
cos2
C x x
dx =− +
sin2
C u
C e du
a u u
∫cosudu sin= u+C
∫sinudu=−cosu+C
C u u
cos2
C u u
du =− +
sin2
Trang 4t víi
t a x
t víi
t a x
0
22
cossin
02
2
ππ
ππ
\
;cos
\
;sin
t víi t
a x
t víi t
a x
t víi
t a x
t víi
t a x
0cot
22
tan
x a
ππ
Trang 5dx cos= tdt và 1−x2 = 1−sin2t = cos2t =cost
Ta đợc :
I =∫ t tdt =∫ tdt =∫ + t dt=
2
2cos1cos
cos
C x x
x C
t t x
C t t
dt t dt
+
−+
=++
=
=+
212
1arcsin2
1cos
.sin2
1arcsin
2
1
2sin2
12
12
cos2
ππ
ππ
ππ
t
t C
t t
dt t
dt t
−
=+
=+
=
=
sintan
coscos
ππ
Trang 62
2
(®pcm)Tæng qu¸t :
a
x a
x a
ππ
ππ
3 2 3
2
cos
1cos
1tan
=+
t
dt t
I =∫ =∫cos =sin +
coscos
1
1
2 3
Do x tan= t vµ
t
t t
t t
2tan1
tancos
.tansin
I
40
2009ln
HD §Æt
49
.492009
ln
x
dx x
dx du
u
du u
1
2
HD §Æt u= 1+x ⇒x =u2 −1 vµ dx 2= udu
Trang 745
21
22
2
x
dx x
e e
x x
dx x
I
.1
.1
1
−+
=+
u u
du u
u
u u
u u
du I
e
e C
u
u C
u
x
++
=++
=++
−
=
1
ln1
ln1
sin
HD §Æt
2tanx
2 2
1
22
12
1.2tan1
t
dt dx
dx t dx
x dt
+
=
⇒+
t
t x
dt t
t
++
121
2
1
2 2
I =∫ + 23
cos 1
sin
2cos
sinsin
cos
xdx x
dx x x
x
x x
dx x x x
cos1
cos1
cos1
.cossin.sin
2
2 2
2
Trang 8
C x x
C u u du
u
du du
u
u du
u u
+
−
−+
=
=+
1ln
2
ln22
21
dx
02
01
x
, §Æt t= x+1+ x+2
++
+++
x x
x x
dx x
x
dt
2
12
21
22
11
21
dt x
x
dx dx
x x
21
21
++
⇒+
01
x x
dx x
x
dt
2
12
21
22
11
21
dt x
x
dx dx
x x
21
21
++
⇒+
C«ng thøc nguyªn hµm tõng phÇn :
∫u( ) ( )x v′ x dx =u( ) ( )x v x − ∫v( ) ( )x u′ x dx
Trang 9Hay dới dạng thu gọn : ∫ u dv = u v − ∫ v du
sin1
+
=
x x
e v
dx x
x x
du dx
e dv
x
x
cos1
cossin
1cos
1
sin1
Ta đợc
++
−+
+
x
x x
e e x
x
2cos1
cossin
1
cos1
sin1
+
−+
−+
+
x
x e
dx x
e e
x
x
2cos1
sin1cos
1
.cos1
sin1
( x) dx
x e
J e x
∫ ++
−
−+
+
cos1
sin1
cos1
sin1
x
e J
=
x x
e v
dx x
x du
dx e dv
x
cos1
sincos
11
Do đó :
( x) dx
x e
e x
−+
cos1
sin
cos11
−+
+
x
x e
e x
e x
x
2cos1
sin
cos1
1
cos1
sin1
x dx
+
cos1
sincos
1
sin1
2VD4 Tính I =∫x2lnx.dx; (ĐS : I = x x − x +C
9
ln3
3 3
) VD5 Tính I =∫x2sinxdx; (ĐS : I =−x2cosx +2xsinx +2cosx +C) VD6 Tính ( )dx
x
x
I =∫ 2
coscos
Trang 10xdx dx
x
x du
x
dx dv
x u
tan
tancos
sincos
cosln
dx x
x
dx x
x x
+
−+
=
=
−+
=
=
−+
ln.tan
coscos
ln.tan
1tan
1cos
ln.tan
2 2
′+
x
x x
e v
e
dx e dx e
e du
dx e dv
e
u
1
.1
11
dx x
x du
dx dv
−
=
4lnsin2
2ln
cosln
sin2
+
=+
=
+
=+
22
2 2
2
2
2
x x
x d x
dx v
dx e x
x dx e x xe du
x
dx dv
e x
x
x C x
e x e x
−
=++
1
2
.Nguyªn hµm c¸c hµm h÷u tØ
a x
C b ax a b ax
Trang 11ln ( 0)
2
1
a x a a
x
P Trong đó P( )x , Q( )x là các đa thức của biến
x Nếu bậc của P( )x lớn hơn hoặc bằng bậc của Q thì ta chia ( )x P( )x cho( )x
Q Giả sử P( ) ( ) ( ) ( )x = A x Q x + R x , trong đó A( )x , R( )x là các đa thức,( )x
R có bậc nhỏ hơn bậc của Q( )x .
Khi đó : ( )
( ) ( ) Q( ) ( )x
x R x A x Q
x P
x R dx x A dx x Q
x R
x R
a
b x a c bx ax
x Q
4
42
2 2
a
ac b
a
b x a
dx c
bx ax
dx I
4
42
2 2
2
2
14
dx a
a a
b x
x x
dx
22
x x
dx
I 3 ∫4 2 −4 +5
x x
dx
Nếu nguyên hàm có dạng : =∫ ++ + dx
c bx ax
n mx
Trớc tiên ta tìmA, Bsao cho
Trang 12∫ ∫ + ∫ + +
+ +
+
= +
+
+
c bx ax B dx c bx ax
b ax A
dx c bx ax
n mx
Tức là tìm A, Bsao cho : mx +n=A(ax2 +bx+c)′ +B =A(2ax+b) +B
c bx ax
b ax A
+ +
I2 2 1 đợc tính nh trên
VD2 Tính các tích phân bất định
∫ −+ + dx
x x
x
54
2
x x
x
1
x x
x
22
22
TH2 : Q( )x =ax2 + bx+c có một nghiệm thực (nghiệm kép) :
a
b x
a
b x a c bx ax
x Q
A c
bx ax
n mx x
Q
x R
x
12
24
TH3 : Q( )x =ax2 +bx+c có hai nghiệm thực phân biệt x1,x2
Khi đó Q( ) (x =a x −x1)(x −x2) Ta tìm A, Bsao cho :
( )
B x
x
A x
x x x a
n mx x
dx
x x
x J
65
135
x x
x
K =∫ −− +
34
5
2
2009
−+
−
−
dx x
x x
dx x
x
x x
x x
232
34
4
12
13
3
2
2
2 3 4
Trang 132 Nguyên hàm dạng : ( )
( )
x Q
x R
x
B x
x
A x
Q
x R
x a x
C x
x
B x
x
A x
Q
x R
( )
C Bx x
x
A x
Q
x
R
++
++
−
0
VD6 Tính các tích phân bất định sau
dx x
x
x x
dx
∫
∫
−+
−
1
12
2
1
dx x x x
3
3 4
.4
2
++
++
23
.15.6
21
345
.5
3
2 2
x x
dx x
dx x
x
x x
x
x
x
dx x
32
62
2
1
1
4 5
4
2 9
7 8
1.4
1
3
x
dx x
x x
1
6
34
.5
2009
1005 2010
1004
x x dx
x x
dx x
x I
32
62
4 5 4
x dx
x x
x
4 8
4 4
5
4
32
62
32
62
Trang 1412
Ta t×m A, B, C, D sao cho :
−
323
2
62
2
C u
B u
A u
u u
33
22
32
323
2
2
2 2
2
+
++
++
=+
+++
+
=
u u
A u B A u
C B u
u
Cu u
Bu u
=+
−
=
⇒
4220
2
232
63
C B A C
B
B A A
du u
du I
x
x x
C u
u
++
=+
ln22
13
2ln2ln2
24
1
4
4 4
x
dx x
HD : §Æt
2 2
2
1
11
x t
+
−
=+
2 2
2 1004
2
2008
1
21
2
11
xdx x
x x
dx x x
x I
x
C x
x C
t dt
t
+ +
=
= +
+
= +
=
1005 2 2010
1005 2
2 1005
1004
1 2010
1 2010
1 1005
2
1 2
dx ax
C x dx
2
cossin
1
C ax a dx ax
C x dx
.4
sincos
.3
Trang 15
dx C
x x
dx
C x x
dx C
x x
dx
C x x
x d dx x
x dx
x
C x x
x d dx
x
x dx
=
+
−
=+
,2tanlnsin
8
cotsin
,tan
cos
7
sinlnsin
sinsin
coscot
6
coslncos
coscos
sintan
5
2 2
dx x x
dx x x
∫
∫
3 cos 4 sin
.
2
cos sin
.
1
dx x x
dx x x
∫
∫
6 cos 2 cos 4
7 sin 5 sin 3
III Tích phân dạng m x n x dx
∫sin cosThờng tính bằng cách sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi lợng giác
1 Nếu m lẻ : Đặt t cos= x ; nếu n lẻ : Đặt t sin= x
2 Nếu m, nđều chẵn : Đặt t tan= x
3 Nếu m, nđều chẵn và dơng, dùng công thức hạ bậc để biến đổi
IV Tích phân dạng ∫R(sinx,cosx)dx với R là hàm hữu tỉ
Đa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng cách đặt
2tanx
t=
Nếu R(sinx,cosx) thoả mãn
R(−sinx,cosx) =−R(sinx,cosx) thì đặt t cos= x
R(sinx,−cosx) =−R(sinx,cosx) thì đặt t sin= x
R(−sinx,−cosx) =−R(sinx,cosx) thì đặt t tan= x
V Tích phân dạng ∫P( )x sinmx dx, ∫P( )x cosnx dx trong đó P( )x là một đathức thờng đợc tính bằng phơng pháp tích phân từng phần
Một vài ví dụ
VD1 Tính các tích phân bất định sau
dx x x
dx x x
dx x x
x x
∫
∫
2 7
3
cos.sin
3
cossin
2
2cottan
6sin4sin
dx x x
2 6 3
3 2
tan6sin
cos
5
cossin
.4
dx x
dx x
dx x x
sin.8
2sin1
sin
7
VD2 CMR : Hàm số ( )
x d x c
x b x a x f
cossin
cossin
++
Trang 16F( )x =Mx +Nlncsinx +dcosx +C
Trong đó M, N là các hằng số
HD : Ta tìm M, N sao cho
asinx +bcosx =M(csinx +dcosx) +N(ccosx −dsinx) ∀x∈R
⇔asinx +bcosx =(Mc−Nd)sinx +(Md +Nc)cosx ∀x∈R
2 2
2 2
=
−
⇔
d c
ad bc N
d c
bd ac M b
Nc Md
a Nd Mc
Từ đó suy ra đpcm
x x
x x
34
33cos6
4cos
2cos
+
82cos8cos
a
a dx
Trang 17HD §Æt
u
du dx
dx e du e
u
x x
22
21
2
du u
du u u
11
1
2
2 2
2 2
−
−++
=
−
+
−+
−
=
−++
=
A u B A u C B u
u
Cu u
Bu u
A u
C u
B u
A u
00
C B A A
B A
C B
−
−
u u
du u
du u
C u
u u
x x
=+
1ln22
1ln
12
1ln
e v
dx x du
dx e dv
−+
=+
=+
t t
t t
t t
dt e
e
dx e
I x x x
e
e C
t
t C
t
x
++
=++
=++
−
=
9
ln9
19
ln9
lnln
I
1
1ln1
12
HD :
Trang 18x x
x du
x
dx dv
x
x u
1
1ln2
11
1ln2
11
1
.21
2.111
1
1
1ln
2
2 2
1ln2
11
1ln2
1
x
dx x
x x
x I
x
x dx
x
x x
1ln1
11
1ln2
2 2
x
x I
11
1ln2
dx C
x x
x
±
⇒+
±+
=
2 2
2
II Một vài dạng nguyên hàm hay gặp
Cho R , là hàm hữu tỉ đối với ( )x y x, y
x
x x
δ γ
β
α
++
Trang 192 Tích phân dạng R(x, ax2 bx c).dx
∫ + + đợc đa về một trong ba dạng tíchphân cơ bản sau : I R (u, u2 2).du
b x a c bx ax
42
a
b x u
x
2βα
+++
++
=+
+
+
c bx ax
dx N
c bx ax
c bx ax
d M
dx c bx ax
x
2 2
2 2
βα
Tích phân dạng ∫ ax2 dx+bx+c đợc đa về một trong ba dạng sau
=
2 2
α bằng cách biến đổi :
a a
b x a c bx ax
42
a
b x u
Trang 20C2 : §Æt 1+x2 =−x+t⇒t= x+ 1+ x2 >0 ( PhÐp thÕ E1)
2
2 2
2 2
2
2
.12
1
21
t
dt t dx
t
t x t t x x
12
12
1
2
2 2
2
+
=+
⇒
+
=+
−
−
=+
⇒
t
t x
t
t t t
dt t t
9
25
u x x
=+
=+
u
u u
udu u
u
du u
3
1
114
1
414
C x
x
C u
u u
du u
du
++++
=
=+
1
41
ln
4
1
11ln41
14
4 4
2
522
x x
dx I
Trang 21HD : Đặt
( 1)2
55
2
2 2
+
−
=
⇒+
−
=++
u
u x u x x
Ta có :
(u ) du
u u
212
52
+
++
=
và
1252
11
2
525
2
2 2
++
+
=++
⇒+
++
=++
u u
u x
x u
u u x
+
++
u
u u
u u
u
11
2
525
2
12
2
2 2
=lnx +1+ x2 +2x +5 +C
Một số phơng pháp đặc biệttính tích phân bất định
x=1 = 1 + − Từ đó ta đợc :
α α
ax a b ax b b ax a b
−++
=
=+
−+
)(
)(
)(
)(
)(
b ax d b ax a
b b ax d b ax a
dx b ax a
b dx b
ax a I
α α
α α
2
1 2
11
VD2 Tìm các họ nguyên hàm sau :
Trang 221 ∫x(1− x)n dx 2 ∫x(2x +3)502dx 3 ∫x.3 3x +4dx
b Tính các tích phân bất định sau :
1 ∫ 2 −5 +4
x x
dx
∫(2 +34)(2 −1)
2
x x
dx
3 ∫ 4 +23 2 +2
x x
x
x x I
14
x
x x
x x
3 3
x x
x x
++
=
13
12ln
2
1
2 4
2 4
VD1 Tính tích phân bất định =∫ + dx
x x
x I
cos sin
sin
HD Để tính I , ta xét thêm =∫ + dx
x x
x J
cos sin
I =∫ +− 3
cossin
cos3sin4
và
( x x) dx
x x
J =∫ +− 3
cossin
sin3cos4
x x
dx x x
x x
J
cossin
sin3cos4cos
sin
cos3sin4
Trang 23
C x
x
x d
x
dx x
x
dx dx
x x
x x
=+
42
1
4cos
.2cos
sincos
sin
cossin
2
2 2
3
ππ
−
=
x x
x x
dx x x
x x
J
cossin
sin3cos4cos
sin
cos3sin4
d x x
x x
dx x x
dx x x
x x
++
=++
−
−
=
=+
+
−
=
=+
−
=+
3
3 3
cossin
2
7cos
sin27
cossin
cossin
7
cossin
cossin
7cos
sin
cos7sin7
4
74
4
74
Chú ý : Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu biến số, tức là ta có thể
chọn bất kì một chữ số khác để thay cho x , ví dụ t ,,u v…
Trang 24a x x g x
f
dx x f b
a x x
f
dx x f dx x f dx
x
f
dx x f k dx x g x
f
dx x f k dx x f
k
dx x f dx
;
8
;
7
0
;0
4
1
( Tức là m [ ] f( )x
b a;
min
b a;
t a x
⇒dx=u′( )t dt
B2 : Biến đổi f( )x dx= f( ) ( )u( )t u′ t dt =g( )t dt;
B3 : Tìm một nguyên hàm G của ( )t g ;( )t
Trang 25B4 : TÝnh ( ) ( ) β ( ) ( )β α
α β
α
G G
t G dt t g
1
1
x
dx x
x
dx I
2
3tan
2
32
Trang 26143
tan12
3
π π π
du
u I
9
326
63
x a
t t
t t
a a
t a a x
a
x a
cos
sincos
2
sin22
cos1
2cos12
cos
2cos
2
2
=
=+
−
=+
−
=+
4
2cos12sin
222
sincos
sin2
π π
π
dt t a
dt t a
dt t t
t a I
2
22
sin2
12
a v t a x
α
G G
t G dt t g
C¸c vÝ dô TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
Trang 27dx I
.2
x
x dx
I , (HD §Æt t=1−22x =1−4x; §S : log 3
4ln
3ln
x x
dx x
HD ViÕt I díi d¹ng : =∫2 + +
0sin2 5sin 6
.cosπ
x
dx x I
=++
=++
0
1 0
1
0
23
326
t t
t t
t t
dt t
t
dt I
4
3ln0
13
2ln32
1 0
1
0
=+
+
=+
−+
x
x x I
1
ln.ln31
HD §Æt
3
1ln
ln31ln
31
2
⇒+
x
dx x
29
23
23
1
3 5 2
1
2 4 2
Trang 287 =2∫3 +
5 x x2 4
dx I
3
4 3 2 4
3 2
3
2
du u
du u
u
udu x
x
xdx I
Ta tìm các số A, B sao cho :
222
22
=+
+
−
=+
B A x B A x
B x
A u
⇒
41411
22
0
B
A B
A
B A
Từ đó :
3
5ln3
42ln4
13
42ln4
124
124
3
4 3
=+
−
−
=+
∫ ( ) ( )′ =[ ( ) ( ) ] −∫b ( ) ( )′
a
b a b
a
dx x u x v x
v x u dx x v x
Hay : ∫ = −∫b
a
b a b
a
vdu uv
udv
Các ví dụ
Tính các tích phân sau
Trang 290sin xdx e
π
xdx x
π
; 9 = ∫4
0cos2.π
x
dx x I
HD
VD3 XÐt tÝch ph©n =∫π
0sin xdx e
dx e dv
x u
1
1 1
0 0
coscos
0sin
dx e dv
x u
2
2 2
0 0
π
π π
I e
x
x I
1
2 2
1 2
2 1
2
lnln
1
1 2
1
2 1
ln2ln
x dx x v
x
xdx du
dx x dv
x u
=− − −∫e(− − ) =− + ∫e x− x dx
e x
xdx x
e x x
I
1
2 1
1 2
1ln
2
2 2
2
2 ln
x dx x v
x
dx du
dx x dv
x u
Trang 30=− + − − −∫ (− − ) =− + − +∫ − =
e e
dx x e e
x
dx x
e x x e
I
1
2 1
1
2
11
ln2
1
x e
5212
xdx dx
x
x du
x
dx dv
x u
tan
tancos
sincos
cosln2
0
2 4
0 0
2
1 ln
tan tan
cos ln tan
π π
π
dx x dx
x x
x x
I
412lntan
2ln
tan12ln1
tan12
ln
0
4 0
4
4 0
4 0
2 4
0
2
π
π π
π π
π
−+
−
=
−+
−
=
=
−+
+
−
=
−+
+
−
x x
dx dx
x dx
x
§S c¸c c©u cßn l¹i : 1
16
2ln2
ln2
142
1ln4
−
=
−
=+
2
.3
x x
dx b
x
dx x
a
(x ) dx
x d
dx x
x
x c
∫
∫++
252
14
dx x
x
x f
x x
dx e
∫
∫
+
−+
12
74
3
55ln3
Trang 31Đáp số :
3
4ln3
23ln3
22ln3
x x
b
x x
dx
∫
∫
++
++
34
0 24
1
1
x
xdx d
dx x
x c
dx x
x
x f
dx x
x x
x e
∫
∫
+
−+
−+
32
632
4
Đáp số : a.
36
38
π
π − ; b
42ln2
1
1+ −π ; c ln3
2
124
ln − ; e ln3
2
12ln9
3
−+
9
x
dx x
b
x x
1
1
2
x x
dx d
dx x
x x
4ln9
9
32
12ln7
x x
x
dx
dx x
−
4 0
2.6
sin22sin.5
cos.sin
dx
x x
dx
x x
4
2
6 0
2
cos3sin
2cos
.sin
9
cossin
cos
8
sincos
.cossin
7
π π π
x x
x
dx x
x x
x dx
x b
x a
dx x x
Hớng dẫn và đáp số
VD1 Ta có :
Trang 32sin3x =sin(2x+ x) =sin2xcosx +cos2xsinx =
2sin2
cossincos
sin
2
2 2
2
2 2
−
=
−+
=
=+
=+
=
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
x dx
x x
x dx
6
2
2 2
6
2
1cos
4
sin1
cos4sin
sin3
sinsin
=+
u u
u u
du u
0 0
2
3
12122
112121
4
13
13ln4
11
2
12
ln
4
1
12ln2
11
2ln2
12
1121
22
1
0 2 3
0 2 3 0
2 3 2
u u
u
du u
x
dx x I
§Æt
x
dx du
cos
1cos
1
u u u
x x
22
11 0
5 3 4
I = ∫4
0 cos3
sin.π
Trang 33xdx dv
x
u
2 3
3
1cos
coscos
sincos
sin
Do đó :
4
22
14
tan2
14cos
2cos
4 4
0
4 2
x x
dx x
x I
x x
dx x
x
dx I
Đặt
x
dx du
8 4
1 3
1 4 3 3
3
2
3
1cossin
sin2
11cossin2
1sin2cossin
x
dx x
x x
dx I
3
2
1cos1cos
sin2
11coscos
1
sin2
x xdx
2
,2
du I
Trang 34B u
A u
u
Ta đợc
4
1,
4
1,
2 1 0
2
114
112
12
1
u
du u
du u
du I
8
3ln23ln8
14
11
1ln8
11
14
1
2 1 0 2
1
−
++
dx I
4cos22cos
cos1
128
tan2
8tanπ = − ).
VD7 Xét tích phân = ∫2 +
0
2 2 2
2cos sin
.cossinπ
x b
x a
dx x x I
0
2 2
2 0 2 2
0
12
12
cos4
12
sin2
1
cossin
b a
x a
xdx a
a
dx x x
π π
Nếu a≠b
Đặt
2cos
sinsin
cos2
xdx x
xdx x
du x
2,
−
2 2 2 2
2 0
12
1
u b a b
u b a b d b a u b a b
du I
Trang 35( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
lnlnln
ln2
10
1ln
2
1
b a
b a b
a b
a u
b a b b
x x
dx x
x x
2cos
.sinπ
x x
x
dx x I
Ta cã :
dx x
x x
x x
dx x
2 4
2
cos3tan
2
tan3
tan2cos.cos
.sin
§Æt
6cos
tancos
.tan63
tan
2 2
2
x
xdx x
dx x du
x
4,
13
5ln6
16
15 3
C¸c vÝ dô : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1 =∫1 + −
dx I
sint t π π
21
,0
t t
tdt I
Trang 36sincos
sinsin
cossin
2
cos2
tdt u
u
udu u
u
du u I
+
++
=+
=
0
2 0
2
cossin
cos
sin2
π π
π
π
dt t t
tdt t
t
tdt I
I I
x I
u
2 1 tancos
33
,4
2tan
1
tan1
2
4 3 3
+
u
du u I
Trang 371
.121
622
612
42
4
t
dt t dx
t
x x
x
x t x
⇒+
−
=+
−
=
⇒+
,0
dt t t
dt t t t
1
0
2 2
1
0 2
2 2
1
0
2 2
2
11
121
.21
.126
1
1
1ln2
1
1 0 2
1 0
2 1
I
c
dx x J
dx x I
b
dx x
x I
π
0
0 2
cos,
sin
232
dx x
e I f
dx x
I e
dx x I d
2 0 2
1 1
14
1
e I
211
Trang 38x nÕu
x
x nÕu
x x
2cos
20
coscos
Nªn : I =∫ sinxcosx dx− ∫ sinxcosxdx=
2
2
0
π π π
3
4sin
3
2sin
3
2sin
sinsin
sin
2 2 3 0
2 2 3
π π
π
x x
x d x x
d x
VD1.f XÐt tÝch ph©n I e x x dx
∫
−
−+
= 1
1
14 XÐt hµm f( )x =e x +4x −1, cã f′( )x =e x +4>0,∀x∈R
L¹i cã f( )0 =0, nªn ( ) ( )
<
−+
−
≥
−+
=
01
4
01
4
x nÕu x
e
x nÕu x
e x
132
3 2 1
0
2 1
23
16
123032
3 3
3 2
3 3
2
1 2 0
2 1
−
=
−+
−
a a a
a a
a
ax x
a x ax
dx ax x
dx x ax dx
a x x dx x a
VD3 TÝnh tÝch ph©n sau tuú theo gi¸ trÞ cña a
Trang 39( ( ) ) ( ) 3 6 5
1
22
13
1
2 3
122
13
12
13
11
2 3 2
3 2
3
2 2 1
2
++
+
−+
++
−
−
a a a a ax x
a x
a ax x
a x
dx a x a x dx a x a x
I
a a
TH3 : Nếu a≤1
1
22
13
1
2 3
2
1
ax x
a x
dx a x a x
6
366
26
53
2 3
a
a a
a
a
I
Các tích phân đặc biệt
Một số tính chất đặc biệt của tích phân
1 Nếu f( )x là hàm số lẻ trên đoạn [−a; a] ( với a>0) thì
= ∫ ( ) =0
−
dx x f
I a a
t f dx x f
.2
nếu a≥2
nếu 1<a<2
nếu a≤1
![VD1. Đồ thị hàm số y = sin x và trục Ox trên đoạn [ 0 ; 2 π ] ; y = cos x trên - toan hoc nguyen ham va tich phan 12 rat hay](https://media.store123doc.com/figures/007/022/vd-do-thi-ham-sin-truc-ox-doan-7022000.webp)
