Dạy học quan hệ song song trong không gian theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 11

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC PHẠM TRUNG KIÊN DẠY HỌC QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM TRUNG KIÊN

DẠY HỌC QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM TRUNG KIÊN

DẠY HỌC QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN

TOÁN HỌC

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Tùng

HÀ NỘI - 2024

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung và kết quả nghiên cứu bài luận văn

“Dạy học quan hệ song song trong không gian theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 11” này là kết quả nghiên

cứu cá nhân của tôi Sản phẩm được phân tích một cách công tâm và minh bạch, có nguồn gốc rõ ràng và chưa từng được công bố ở bất kỳ hình thức nào

Tôi cam kết sẽ chịu hoàn toàn trách nhiệm nếu có bất kỳ sự không chính xác nào liên quan đến thông tin hoặc kết quả trong nghiên cứu này

ii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT v

DANH MỤC BẢNG, HÌNH vi

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 8

1.1 Năng lực toán học và dạy học phát triển năng lực toán học 8

1.1.1 Quan niệm về năng lực 8

1.1.2 Quan niệm về năng lực toán học 10

1.1.3 Dạy học phát triển năng lực toán học 11

1.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học 14

1.2.1 Tư duy 14

1.2.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học 20

1.3 Sự cần thiết của việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học môn Toán 22

1.4 Một số thành tố năng lực tư duy và lập luận toán học trong chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 23

1.4.1 Nội dung và yêu cầu cần đạt dạy học chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 23

1.4.2 Các thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học trong chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 26

1.5 Thực trạng dạy học phát triển năng lực tư duy lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông 36

1.5.1 Mục đích khảo sát 36

1.5.2 Tổ chức khảo sát 36

1.5.3 Phân tích kết quả khảo sát 36

iii

Kết luận Chương 1 44

CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN LỚP 11 47

2.1 Nguyên tắc xây dựng các biện pháp sư phạm 47

2.1.1 Đảm bảo tính mục tiêu 47

2.1.2 Đảm bảo tính thực tiễn 48

2.1.3 Nguyên tắc đảm bảo tính khả thi 48

2.1.4 Đảm bảo phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập 49

2.2 Các biện pháp sư phạm nhằm thiết kế tiến trình dạy học quan hệ song song trong không gian nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 11 49

2.2.1 Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp khi học định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 49

2.2.2 Tổ chức rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy diễn, lập luận có căn cứ khi chứng minh định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11 54

Ví dụ 2.5: 66

2.2.3 Tập cho học sinh nêu và trả lời được các câu hỏi về định nghĩa, định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 68

2.2.4 Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học khi giải toán của chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 74

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 83

iv

3.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 83

3.2 Kế hoạch, đối tượng và nội dung thực nghiệm 83

3.2.1 Kế hoạch thực nghiệm 83

3.2.2 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 84

3.2.3 Nội dung, kế hoạch bài dạy thực nghiệm 84

3.2.4 Tiến hành thực nghiệm 84

3.3 Kết quả thực nghiệm 86

3.3.1 Các mặt đánh giá 86

3.3.2 Phân tích kết quả thực nghiệm 87

3.4 Kết luận thực nghiệm sư phạm 92

Kết luận chương 3 92

KẾT LUẬN 94 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined PHỤ LỤC

vi

DANH MỤC BẢNG, HÌNH

Bảng 3.1 Kết quả trước khi thực nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 1) 87

Bảng 3.2 Kết quả sau khi thực nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 2) 88

Biểu đồ 1.1 Tư duy được sử dụng nhiều nhất 37

Biểu đồ 1.2 Khả năng trình bày, lập luận khi giải bài toán của HS 37

Biểu đồ 1.3 Khả năng giải thích các từ ngữ trong định nghĩa và định lý của HS 38

Biểu đồ 1.4 Khả năng giải các bài toán tương tự của HS 39

Biểu đồ 1.5 Giải pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS 39

Biểu đồ 1.6 Tần suất phân tích những sai lầm của HS 40

Biểu đồ 1.7 Tần suất sử dụng câu hỏi, bài tập rèn luyện tư duy và lập luận toán học cho HS 41

Biểu đồ 1.8 Khả năng vận dụng lý thuyết vào giải bài tập 42

Biểu đồ 1.9 Khả năng lập luận khi giải các bài toán chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 42

Biểu đồ 1.10 Khả năng phân tích và kết luận bài toán 43

Biểu đồ 3.1: Kết quả trước khi thực nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 1) 87

Biểu đồ 3.2: Kết quả sau khi thực nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 2) 88

Hình 1.1 27

Hình 1.2 28

Hình 1.3 30

Hình 1.4 34

Hình 1.5 35

Hình 2.1 52

Hình 2.2 53

Hình 2.3 53

vii

Hình 2.4 57

Hình 2.5 59

Hình 2.6 63

Hình 2.7 63

Hình 2.8 64

Hình 2.9 65

Hình 2.10 72

Hình 2.11 73

Hình 2.12 76

Hình 2.13 76

Hình 2.14 79

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nghị định 29-NQ/TW ban hành vào ngày 4 tháng 11 năm 2013 về

đổi mới cơ bản, toàn diện giáo dục Việt Nam đã xác định rằng việc đổi mới

cơ bản trong giáo dục và đào tạo là việc thay đổi những vấn đề lớn, cốt lõi, thay đổi về nội dung, đổi mới từ gốc rễ, và có tính chất bước ngoặt với một tinh thần và quyết đoán cao để tạo ra sự chuyển biến mạnh mẽ về chất lượng

và hiệu quả của giáo dục Đổi mới toàn diện là quá trình cải cách sâu rộng, bao gồm việc thay đổi từ tư duy lãnh đạo đến mục tiêu, phương pháp, cơ chế

và chính sách Quá trình này nhằm đảm bảo mọi hoạt động được thực hiện một cách hiệu quả và đạt được kết quả như mong muốn [1]

Nghị quyết 88/2014/QH13 nhấn mạnh rằng việc cải cách chương trình

và sách giáo khoa phổ thông là cần thiết nhằm tạo ra sự thay đổi mạnh mẽ về chất lượng và hiệu quả của giáo dục phổ thông Điều này bao gồm việc kết hợp giảng dạy kiến thức với giáo dục nhân cách và định hướng nghề nghiệp, nhằm chuyển đổi từ nền giáo dục chủ yếu truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất lẫn năng lực, hài hòa giữa đức, trí, thể và mỹ, đồng thời phát huy tối đa tiềm năng của từng HSDo đó, việc chú trọng giảng dạy nhằm nâng cao năng lực và phẩm chất của người học đã trở thành một trong những mục tiêu cốt lõi trong quá trình đổi mới giáo dục hiện nay [11]

1.2 Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực là một xu hướng chung của

các nước trên thế giới, đồng thời phù hợp với sự phát triển của khoa học kỹ thuật Chương trình giáo dục phổ thông 2018 được xây dựng với mục tiêu phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh Theo định hướng, "giáo dục toán học góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất quan trọng, năng lực chung cũng như năng lực toán học, bao gồm: tư duy và lập luận toán học,

2

mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học và sử dụng các công cụ, phương tiện học toán" (Ban Chấp hành Trung ương, 2019) Trong số đó, năng lực tư duy và lập luận toán học là một trong những năng lực cần được chú trọng trong giảng dạy môn Toán

Theo R.S Nickerson, việc rèn luyện tư duy tốt là cần thiết vì một số lý

do Thứ nhất, HS cần có đầy đủ kiến thức để cạnh tranh và tận dụng các cơ hội trong học tập và công việc, những cơ hội được coi trọng trong xã hội hiện nay Một cách nói khác, những người học có điều kiện tốt hơn để đạt được thành công Điều này đặt ra yêu cầu cải thiện việc giáo dục tư duy Thứ hai,

có thể nói rằng tư duy tốt là yếu tố quan trọng giúp HS trở thành công dân có trách nhiệm Khả năng phê phán cho phép họ đưa ra những quyết định sáng suốt liên quan đến các vấn đề xã hội Thứ ba, khi sở hữu khả năng tư duy tốt, con người có thể điều chỉnh cảm xúc của bản thân theo hướng tích cực Một tâm trạng tốt sẽ giúp họ có cái nhìn lạc quan hơn về cuộc sống và trở nên thân thiện hơn với những người xung quanh Khi gặp phải khó khăn, những người biết suy nghĩ thường có khả năng chịu đựng tốt hơn và tìm cách vượt qua trở ngại một cách hiệu quả Thứ tư, chúng ta luôn mong muốn học sinh phát triển

tư duy tốt vì đó là yếu tố quan trọng để tồn tại Cuộc sống luôn đặt ra vô vàn thử thách và các vấn đề phức tạp, đòi hỏi con người cần có trí tuệ để thích nghi và vượt qua, đồng thời tránh được những tác động tiêu cực Con người cần có trí tuệ để tồn tại và cũng để tránh những điều tiêu cực, vì vậy cần có một tâm hồn tỉnh táo hơn bao giờ hết Nhiều nhà nghiên cứu đã nhấn mạnh rằng mục tiêu của giáo dục hiện đại chính là đào tạo nên những bộ óc được trau dồi một cách kỹ lưỡng Tư duy không chỉ là điểm khởi đầu cho hành động; từ hành động sẽ hình thành thói quen, và từ thói quen sẽ tạo nên nhân cách của con người

3

1.3 Trong chương trình hình học không gian, quan hệ song song được

xem là một nội dung cốt lõi Nội dung này bao gồm các khái niệm như hai đường thẳng song song, mối quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, cùng với quan hệ song song giữa hai mặt phẳng Tuy nhiên, nhiều HS thường gặp khó khăn khi chuyển từ các bài tập cơ bản sang các bài tập ứng dụng thực tế Nguyên nhân chính là kỹ năng phán đoán, tư duy logic và lập luận toán học của HS chưa được phát triển đầy đủ, dẫn đến việc liên kết các kiến thức còn yếu

1.4 Tầm quan trọng của quan hệ song song trong hình học không gian

Trong nội dung hình học không gian, quan hệ song song được coi là một phần kiến thức trọng tâm Phần này bao gồm các mối quan hệ như hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, và hai mặt phẳng song song với nhau Trong việc áp dụng vào các bài tập, nhiều HS thường gặp khó khăn vì họ không thể chuyển từ bài tập cơ bản sang dạng bài tập ứng dụng Nguyên nhân chính là kỹ năng phán đoán, tư duy logic và lập luận toán học của HS chưa được phát triển đầy đủ, dẫn đến việc liên kết kiến thức còn yếu

Tổng quan, sách giáo khoa Toán lớp 11 đã cung cấp một cái nhìn khá đầy đủ về các khái niệm cơ bản liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng trong hình học không gian Những khái niệm này được trình bày rõ ràng, kèm theo các ví dụ cụ thể và bài tập minh họa giúp HS dễ dàng hiểu và áp dụng Điều này không chỉ giúp củng cố kiến thức mà còn khuyến khích HS tư duy

và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả hơn Tuy nhiên, một số dạng toán vẫn chưa được giải thích, một số cách giải chỉ đưa ra là cách cơ bản nhất mà thường không thể áp dụng ngay trong quá trình học, và một số dạng toán không được đề cập hoặc chỉ được đề cập qua loạt ví dụ và bài tập ít ỏi Sau

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu này, đề tài sẽ thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu lý luận: Tôi sẽ tìm hiểu các khái niệm, thành phần, đặc điểm và vai trò của năng lực tư duy và lập luận toán học Đồng thời, nghiên cứu các lý thuyết và phương pháp dạy học có thể giúp phát triển năng lực này cho HS Về mặt thực tiễn, tôi cũng sẽ khảo sát thực trạng nhận thức của GV

về tầm quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học, cũng như cách dạy học hiện tại nhằm phát triển năng lực này ở trường Trung học phổ thông

- Đề xuất biện pháp dạy học: Tôi sẽ đưa ra các biện pháp cụ thể, phù hợp với nội dung quan hệ song song trong không gian và trình độ nhận thức của HS lớp 11 Các biện pháp này sẽ tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng suy luận logic, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, và đưa ra lập luận toán học một cách chặt chẽ Hơn nữa, tôi sẽ tạo môi trường học tập thực hành, khuyến khích HS giải quyết vấn đề để phát triển năng lực tư duy và lập luận

5

- Thực nghiệm sư phạm: Cuối cùng, tôi sẽ thực hiện thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính chính xác của các giả thuyết trong luận văn Quá trình này cần được thiết kế một cách khoa học, với nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng hợp lý Các công cụ đánh giá sẽ được sử dụng để đo lường năng lực tư duy và lập luận toán học của HS trước và sau quá trình dạy học Kết quả thu được sẽ cung cấp căn cứ để đánh giá mức độ khả thi và hiệu quả của những giải pháp đề xuất, đồng thời giúp tôi điều chỉnh và hoàn thiện chúng

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu

Khách thể của nghiên cứu này là quá trình dạy học chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 ở trường THPT

4.2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng của nghiên cứu là các biện pháp dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học toán học thông qua dạy học quan hệ song song trong không gian lớp 11

4.3 Phạm vi nghiên cứu

- Nội dung nghiên cứu: Chủ đề về quan hệ song song trong không gian dành cho học sinh lớp 11

- Địa bàn nghiên cứu:

- Thời gian thực hiện: Từ tháng 4/2023 đến tháng 12/2023

5 Giả thuyết khoa học

Nếu chúng ta xác định rõ các thành phần và mức độ của năng lực tư duy cũng như lập luận toán học, cùng với việc tổ chức dạy học phù hợp về quan hệ song song trong không gian cho HS lớp 11, thì điều này chắc chắn sẽ giúp phát triển mạnh mẽ năng lực tư duy và lập luận toán học của các em

6 Phương pháp nghiên cứu

6

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

Để khám phá cơ sở lý luận cho đề tài, tôi sẽ áp dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, trong đó bao gồm việc thu thập và tổng hợp các vấn đề

lý luận có liên quan Quá trình này bao gồm việc tìm kiếm, đọc và tổng hợp các nguồn tài liệu như sách, báo cáo khoa học, luận văn, luận án, bài báo để nắm bắt các khái niệm, lý thuyết cốt lõi liên quan đến năng lực tư duy và lập luận toán học, phương pháp dạy học phát triển năng lực này

Trong quá trình nghiên cứu lý thuyết, các phương pháp phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa được phối hợp sử dụng để làm sáng tỏ các khía cạnh khác nhau của vấn đề nghiên cứu Cụ thể, phương pháp phân tích giúp tách các khái niệm, lý thuyết ra thành các phần nhỏ để hiểu rõ hơn; tổng hợp giúp kết hợp các yếu tố có liên quan lại với nhau tạo thành một tổng thể hoàn chỉnh; phân loại giúp sắp xếp, nhóm chúng vào các tiêu chí cụ thể; và hệ thống hóa giúp xây dựng các yếu tố thành một hệ thống lý thuyết khoa học

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Khảo sát, điều tra về thực trạng việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS THPT (sự quan tâm, hiểu biết của GV về tầm quan trọng của việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học) và thực trạng dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học ở trường THPT

Điều tra về chất lượng HS ở các lớp để lựa chọn lớp TN và đối chứng Tôi sẽ sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như phiếu điều tra, bảng hỏi, quan sát giờ dạy, phỏng vấn và nghiên cứu KHBD của GV Những cách này

sẽ giúp tôi thu thập thông tin một cách đa dạng và sâu sắc hơn

6.3 Phương pháp tham vấn chuyên gia

Khi đã sưu tầm, thiết kế các hoạt động học tập, chúng tôi tham khảo ý kiến các chuyên gia, các giảng viên và GV có nhiều kinh nghiệm về dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học và thuận lợi, khó khăn khi

và sau khi tham gia quá trình dạy học Phương pháp này sẽ hỗ trợ tôi trong việc kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các giải pháp đã đề xuất

6.5 Phương pháp xử lý số liệu bằng thống kê toán học

Để phân tích và xử lý các kết quả thu được từ thực nghiệm sư phạm một cách chính xác và khoa học, tôi sẽ áp dụng phương pháp thống kê toán học Các số liệu thu thập từ các công cụ như bài kiểm tra, phiếu khảo sát sẽ được mã hóa và xử lý thông qua phần mềm Excel với các phép tính thống kê phù hợp như tính giá trị trung bình, độ lệch chuẩn, kiểm định giả thuyết Việc áp dụng thống kê toán học giúp đảm bảo tính tin cậy và khách quan của kết quả phân tích

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài nội dung Mở đầu và Kết luận, luận văn có cấu trúc như sau: Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Biện pháp dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học quan hệ song song trong không gian lớp

11

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

8

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực toán học và dạy học phát triển năng lực toán học

1.1.1 Quan niệm về năng lực

Năng lực là thuật ngữ được sử dụng trong cả khoa học và ngôn ngữ hàng ngày Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực tùy theo cách lựa chọn hay góc nhìn

Theo quan điểm của nhà tâm lý học người Pháp Denys Tremblay (2002), năng lực có thể được hiểu là khả năng thực hiện hành động, đạt được thành công và tiến bộ bằng cách khai thác hiệu quả các nguồn lực của bản thân khi đối mặt với những vấn đề trong cuộc sống (Denys Tremblay, 2002) [19]

Trong sách “Tiêu chuẩn năng lực cho đánh giá” của Cơ quan Đào tạo Quốc gia Úc, năng lực được định nghĩa bao gồm ba phần chính: kiến thức, kỹ năng và khả năng áp dụng chúng theo các tiêu chuẩn cụ thể trong công việc (Denys Tremblay, 2002) [19]

Theo Từ điển bách khoa Việt Nam, “Năng lực là đặc điểm của cá

nhân, phản ánh mức độ thành thạo trong việc thực hiện một hoặc một số hoạt động nhất định một cách chắc chắn và thuần thục” (Hoàng Phê, 2011) [10]

Trần Trọng Thủy và Nguyễn Quang Uẩn cho rằng “năng lực là sự kết

hợp các thuộc tính đặc trưng của cá nhân, phù hợp với yêu cầu của một hoạt động cụ thể, giúp đạt được kết quả tốt trong lĩnh vực đó” (Trần Trọng Thủy

và Nguyễn Quang Uẩn, 1998) [17]

Do đó:

Năng lực hình thành từ sự kết hợp giữa những yếu tố bẩm sinh và quá trình học tập, rèn luyện không ngừng của người học Tố chất sẵn có bao gồm các yếu tố di truyền và năng khiếu bẩm sinh, trong khi quá trình học tập, rèn

- Năng lực được hình thành, phát triển thông qua quá trình tham gia hoạt động thực tiễn và được thể hiện rõ nét qua sự thành công trong việc giải quyết các vấn đề, tình huống khác nhau trong cuộc sống Càng hoạt động nhiều, càng đối mặt với những thách thức mới, cá nhân càng có cơ hội để rèn luyện và nâng cao năng lực của mình

- Năng lực của một cá nhân được đánh giá thông qua cách họ thực hiện

và kết quả đạt được khi giải quyết các vấn đề trong cuộc sống Cách thức tiếp cận và xử lý những tình huống đó, cùng với kết quả cuối cùng, sẽ phản ánh rõ ràng năng lực của người đó Đánh giá năng lực của mỗi cá nhân là yếu tố quan trọng giúp họ nhận diện và điều chỉnh, từ đó nâng cao và hoàn thiện kỹ năng của mình

- Năng lực bao gồm những thành tố cơ bản: tri thức, kỹ năng, thái độ và hành vi; đồng thời có bản chất sinh học, bản chất tâm lý và bản chất xã hội

Sự tích hợp của các thành tố này quyết định năng lực của mỗi cá nhân trong việc đáp ứng các yêu cầu từ môi trường sống và hoạt động xung quanh

Có nhiều cách nhìn nhận khác nhau về năng lực, nhưng trong luận văn này, tôi sẽ căn cứ vào định nghĩa trong chương trình giáo dục phổ thông

2018: “Năng lực là những đặc điểm cá nhân được hình thành và phát triển

thông qua sự kết hợp giữa tố chất bẩm sinh và quá trình học tập, rèn luyện Năng lực giúp con người tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và những yếu tố cá

10

nhân khác như sự hứng thú, niềm tin, và ý chí, từ đó thực hiện thành công một hoạt động cụ thể và đạt được kết quả mong muốn trong những điều kiện nhất định.” [2]

1.1.2 Quan niệm về năng lực toán học

Năng lực toán học được xem như một dạng năng lực chuyên môn, tương ứng với môn học toán Năng lực toán học có nhiều cách hiểu khác nhau

Theo Hiệp hội Giáo viên Toán học Mỹ, năng lực toán học được mô tả

là “cách thức tiếp cận và vận dụng các kiến thức toán học vào thực tiễn.”

- Trong khi đó, Trần Luận định nghĩa rằng “Năng lực toán học là

những đặc điểm tâm lý giúp đáp ứng yêu cầu của các hoạt động toán học, tạo điều kiện để nắm vững kiến thức và kỹ năng trong lĩnh vực này một cách nhanh chóng, dễ dàng và sâu sắc, bất kể hoàn cảnh” [7]

Do đó, mặc dù có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực toán học, mục tiêu cốt lõi của việc học toán là để phát triển con người, khuyến khích tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề trong cả học tập và cuộc sống Ngoài ra, việc giải quyết các bài toán toán học cũng kết hợp với kỹ năng đọc hiểu, ghi chú, trình bày và diễn đạt ý tưởng toán học trong một môi trường tương tác với người khác, và sử dụng ngôn ngữ toán học cùng với ngôn ngữ thông thường một cách hiệu quả Bên cạnh đó, năng lực toán học còn được thể hiện qua khả năng vận dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện toán học

Theo chương trình Toán học năm 2018, năng lực toán học được chia thành những thành phần chính như sau: khả năng tư duy và lập luận trong toán học, khả năng mô hình hóa, khả năng giải quyết vấn đề, khả năng giao tiếp toán học, và khả năng sử dụng các công cụ cùng phương tiện học toán

11

Trong luận văn này, tôi thống nhất theo chương trình môn Toán 2018 thì năng lực toán học cần được tập trung và phát triển trong quá trình dạy học Toán ở trường phổ thông

1.1.3 Dạy học phát triển năng lực toán học

Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ quan trong trong giáo dục

để phát triển tư duy, cách suy nghĩ và giải quyết vấn đề hiệu quả Kiến thức

và kỹ năng Toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, từ đó thúc đẩy sự phát triển xã hội Nhiều nghiên cứu quốc tế đã khẳng định rằng, thành công trong học Toán những năm học phổ thông có vai trò quan trọng cung cấp cho HS các kĩ năng cần thiết để học tiếp ở những bậc cao hơn hoặc tham gia lực lượng lao động

có chất lượng tốt hơn Môn Toán ở cấp phổ thông không chỉ góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất và năng lực chung, mà còn đặc biệt quan trọng trong việc phát triển năng lực Toán học của học sinh Môn học này giúp học sinh phát triển các kiến thức và kỹ năng cốt lõi, đồng thời tạo cơ hội cho các em trải nghiệm và áp dụng Toán học vào thực tế Mặt khác, Toán học cũng tạo ra sự kết nối giữa các khái niệm toán học, giữa Toán học và thực tiễn, cũng như giữa Toán học với các môn học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Công nghệ, Tin học, góp phần vào việc thực hiện chương trình giáo dục STEM [2, tr.3]

Để đạt được mục tiêu của Chương trình môn Toán (2018), việc đổi mới phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông là điều cần thiết Tuy nhiên, trước hết, các bài học cần tuân thủ các yêu cầu cơ bản sau:

Thứ nhất, cần giúp học sinh có nền tảng vững chắc, phát triển đầy đủ

các kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản

Thứ hai, học sinh phải biết cách sử dụng kiến thức toán học để giải

quyết các vấn đề trong thực tế

12

Thứ ba: Việc dạy học Toán cần gắn với việc hình thành các phẩm chất:

Tính kỉ luật, kiên trì, chăm chỉ, chủ động, linh hoạt, độc lập, tự chủ và hợp tác Việc triển khai dạy học môn Toán cần được tổ chức thông qua một chuỗi các hoạt động tích cực, độc lập, sáng tạo của HS, quán triệt tinh thần lấy HS làm trung tâm với sự hỗ trợ hợp lí của GV: GV là người định hướng, điều chỉnh và thúc đẩy sáng tạo, tạo môi trường học tập an toàn, cởi mở…; Chú trọng sử dụng các phương pháp dạy học tích cực; Đảm bảo tạo điều kiện cho

HS thực hành, trải nghiệm, vận dụng kiến thức, kĩ năng vào các tình huống thực tiễn; Chú trọng các hoạt động mô hình hóa Toán học và rèn luyện các hoạt động giao tiếp bằng ngôn ngữ Toán học (nói và viết); Phát huy vai trò cá nhân trong hợp tác và hoạt động nhóm, cá nhân hóa người học; Rèn luyện tư duy phản biện và sáng tạo; Tăng cường sử dụng các công cụ, thiết bị dạy học thông minh trong dạy và học; Bồi dưỡng phương pháp tự học Để đạt được mục tiêu này, giáo viên cần xây dựng bài học theo các bước sau:

Bước 1: Xác định mục tiêu bài học và lựa chọn nội dung trọng tâm

Giáo viên cần căn cứ vào yêu cầu đạt được trong chương trình để xác định mục tiêu rõ ràng Đồng thời, cần xác định nội dung và năng lực mà học sinh cần hình thành trong bài học, liên kết với những kiến thức đã có của học sinh,

và chú trọng đến các hoạt động giúp phát triển phẩm chất của các em

Bước 2: Lựa chọn phương pháp, kỹ thuật và hình thức dạy học Các

phương pháp giảng dạy phải phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh, đặc biệt là việc tiếp cận dựa trên kinh nghiệm và trải nghiệm thực tế của học sinh Cần tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó HS được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận và giải quyết vấn đề, giúp HS có sự hiểu biết vững chắc, phát triển được vốn kiến thức, kĩ năng Toán học nền tảng Cần tận dụng hiệu quả các công cụ và thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định dành cho môn Toán Đồng thời, khuyến khích việc sử dụng các phương tiện

13

nghe nhìn và công nghệ hiện đại để hỗ trợ quá trình giảng dạy Bên cạnh đó, cũng cần chú trọng đến việc sử dụng các phương tiện truyền thống, những công cụ mà học sinh có thể trực tiếp cầm nắm, sắp xếp hoặc di chuyển Việc tăng cường sử dụng thiết bị dạy học tự chế cũng là điều cần thiết để nâng cao hiệu quả giảng dạy

Bước 3: Lựa chọn môi trường học tập, tư liệu, học liệu Các hoạt động

dạy học Toán học đa phần là diễn ra tại lớp học Thêm vào đó, giáo viên có thể khuyến khích học sinh tham gia vào các hình thức học tập đa dạng khác nhau, chẳng hạn như thực hiện các đề tài nghiên cứu, dự án học tập liên quan đến Toán học, đặc biệt là những dự án khám phá ứng dụng thực tế của môn học này Bên cạnh đó, việc tổ chức các trò chơi học Toán, câu lạc bộ Toán học, các diễn đàn và hội thảo về Toán cũng là những phương pháp hiệu quả

để học sinh phát triển năng lực và đam mê với môn học Khi đó, môi trường học tập được mở rộng hơn ra ngoài lớp học như làm ở nhà, làm ở thư viện, sân trường, bờ hồ, công viên, trường phổ thông hoặc đại học, môi trường học trực tuyến,…Các tư liệu, học liệu được GV và HS chuẩn bị phù hợp với mục tiêu bài học và môi trường tổ chức dạy học Do đó, giáo viên nên chỉ dẫn học sinh cách tìm kiếm thông tin và tài liệu từ các nguồn uy tín trên Internet hoặc các chương trình truyền hình chất lượng về giáo dục, nhằm giúp học sinh mở rộng kiến thức và phát triển khả năng tự học

Bước 4: Thiết kế hoạt động học, bao gồm: Hoạt động khởi động: Để tạo

hứng thú cho HS, GV có thể khởi động bài học bằng cách sử dụng các trò chơi, xem video hoặc nêu một tình huống có vấn đề liên quan đến bài học Hoạt động xây dựng kiến thức: Đây là giai đoạn quan trọng trong quá trình học tập, giúp học sinh tiếp thu và nắm vững những kiến thức mới Các nội dung trong hoạt động này cần nêu rõ mục đích, cách thức tiến hành và sản phẩm của HS

14

1.2 Năng lực tƣ duy và lập luận toán học

1.2.1 Tư duy

1.2.1.1 Quan niệm về tư duy

Tư duy được coi là một khả năng phức tạp và kỳ diệu của con người, và

đã được nghiên cứu và khám phá theo nhiều cách tiếp cận Dù đã có nhiều nghiên cứu trước đây về chủ đề này, nhưng công tác nghiên cứu vẫn đang được tiến hành

Theo Sacdacov M.N (1970), tư duy được mô tả như là một quá trình tâm lý chặt chẽ liên quan đến ngôn ngữ, quá trình tìm kiếm sáng tạo về yếu tố chính của một vấn đề, và quá trình phản ánh thực tế một cách cụ thể hoặc tổng quát trong quá trình phân tích và tổng hợp Tư duy phát triển dựa trên hoạt động thực tế và vượt ra ngoài giới hạn của nhận thức cảm nhận [18]

Theo từ điển Tiếng Việt, tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh và phân tích bản chất của sự vật, đồng thời khám phá các mối quan hệ quy luật giữa các hiện tượng [10]

Cũng trong quan điểm của Nguyễn Thanh Hưng (2010), tư duy là giai đoạn cao hơn trong quá trình nhận thức, giúp con người hiểu sâu về bản chất

và khám phá các quy luật của sự vật thông qua các hình thức như biểu tượng, phán đoán và suy luận Đối tượng của tư duy là hình ảnh, biểu tượng và kí hiệu, với các hoạt động chủ yếu bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, tương

tự, khái quát hóa và trừu tượng hóa [5]

Tư duy của con người nảy sinh và gắn liền chặt chẽ với đời sống, hoạt động thực tiễn Các vấn đề, tình huống trong cuộc sống là nguồn gốc kích thích sự hoạt động của tư duy Đồng thời, bản chất tư duy cũng chịu sự quy định, tác động của môi trường xã hội xung quanh Những giá trị, chuẩn mực của xã hội ảnh hưởng đến cách con người suy nghĩ, nhận thức thế giới

15

Quá trình nhận thức của con người phát triển theo trình tự từ thao tác

cụ thể đến hình tượng, ngôn ngữ, rồi đến tư duy trừu tượng và cuối cùng là tư duy khái quát hóa cao độ Tư duy khái quát hóa là hình thức tư duy đặc trưng, phân biệt con người với các loài sinh vật khác Khả năng tổng quát hóa, trừu tượng hóa ở mức cao giúp con người nhận thức được bản chất sự vật, hiện tượng trong tự nhiên và xã hội

Nhờ tư duy mà con người đã sáng tạo ra vô vàn giá trị vật chất và tinh thần to lớn, góp phần làm giàu có nền văn minh nhân loại Tư duy là công cụ quan trọng để con người khám phá tri thức, không ngừng phát minh sáng chế, kiến tạo nên những thành tựu vĩ đại trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội

Dựa trên việc phân tích các quan niệm về tư duy đã được nêu trên, ta có thể hiểu rằng tư duy là kết quả của một cơ chất đặc biệt, đó là bộ não, thông qua việc sử dụng biểu tượng, khái niệm, phán đoán, trong quá trình nhận thức và phản ánh về thế giới khách quan Tư duy luôn liên quan đến hoạt động của bộ não và một hình thức cụ thể của sự vận động cơ chất; là quá trình nhận thức và phản ánh về các thuộc tính cơ bản, các mối quan hệ có tính chất quy luật của các hiện tượng và sự vật thông qua các phương tiện như cảm giác, tri giác, tưởng tượng, khái niệm, phán đoán, suy luận

1.2.1.2 Đặc điểm của tư duy

- Tính chất phức tạp của tư duy: Không phải mọi ảnh hưởng từ thế giới bên ngoài đều khiến tư duy của con người được kích thích Trên thực tế, tư duy chỉ phát triển khi con người đối mặt với những tình huống mới, đòi hỏi

họ phải tìm ra giải pháp mà bằng vốn kiến thức hiện có, họ không thể giải quyết được Đây là những tình huống mang tính chất thách thức hoặc gặp phải vấn đề Để kích thích tư duy trong những tình huống như vậy, con người cần nhận biết sự mâu thuẫn tồn tại trong vấn đề, cảm nhận được nhu cầu cần giải quyết, nhu cầu chấp nhận, và cần có nhận thức đầy đủ về tình huống và

16

vấn đề đang diễn ra Chỉ khi đối mặt với những tình huống có vấn đề như vậy,

tư duy của con người mới được kích thích và phát triển

- Tính chất tổng quát của tư duy: Tư duy có khả năng đi sâu vào các hiện tượng đa dạng để phát hiện ra những đặc điểm chung, các mối liên hệ phổ biến có tính chất luật lệ giữa chúng Chính vì tính tổng quát này, tư duy giúp con người hiểu biết thế giới xung quanh và thậm chí là thay đổi thế giới

- Tư duy có khả năng phản ánh các hiện tượng khách quan một cách gián tiếp, chủ yếu thông qua việc sử dụng ngôn ngữ Thông qua việc sử dụng ngôn ngữ và khả năng phản ánh gián tiếp, tư duy giúp con người hiểu biết các đặc điểm cốt lõi, các mối quan hệ có tính chất luật lệ của các hiện tượng, dự đoán hướng phát triển của chúng để từ đó nhận thức và thay đổi chúng Dựa trên việc hiểu biết về quy luật của thế giới, con người đã phát minh ra nhiều công cụ để tiếp tục khám phá và cải thiện thế giới một cách hiệu quả hơn

Tư duy của con người có một mối quan hệ mật thiết với ngôn ngữ, và nhiều quan điểm khác nhau đã được đưa ra để lý giải sự liên kết này Theo quan điểm duy vật biện chứng, tư duy và ngôn ngữ tương tác sâu sắc với nhau, nhưng chúng không hoàn toàn đồng nhất; thực chất, đó là mối quan hệ giữa nội dung và hình thức

Bên cạnh đó, tư duy và nhận thức cảm tính cũng có sự liên kết mật thiết Mặc dù chúng thuộc các cấp độ nhận thức khác nhau, nhưng không thể tách rời nhau trong quá trình hình thành hiểu biết Chúng bổ sung cho nhau và

có tác động lẫn nhau trong quá trình nhận thức, tạo ra một sự thống nhất và tính biện chứng trong cách hiểu thế giới xung quanh

1.2.1.3 Các thao tác tư duy

Trong quá trình tư duy, cá nhân thực hiện các hoạt động trí tuệ nhằm giải quyết vấn đề và tiếp nhận thông tin Những hoạt động này được xem là các thành phần cơ bản của quá trình tư duy, tương tự như những bước trong

Tổng hợp là quá trình sử dụng trí óc để kết hợp các phần của cái tổng thể, tức là kết nối lại, liên kết các thành phần riêng lẻ hoặc hòa nhập các đặc điểm hoặc các yếu tố khác nhau nằm trong cái tổng thể để nhận thức cái tổng thể

Phân tích và tổng hợp là hai quá trình quan trọng trong tư duy, chúng

có sự liên kết mật thiết và bổ sung cho nhau Phân tích giúp tách rời các yếu

tố để hiểu rõ hơn, trong khi tổng hợp lại là sự kết nối các phần lại với nhau để tạo ra cái nhìn toàn diện Phân tích đóng vai trò là nền tảng cho quá trình tổng hợp, trong khi tổng hợp lại diễn ra dựa trên những kết quả đã được phân tích

Phân tích và tổng hợp là những phương pháp tư duy cơ bản và thiết yếu trong việc giải quyết các bài toán toán học Chúng giúp học sinh tách biệt và kết hợp các yếu tố để tìm ra lời giải chính xác và hợp lý Phân tích là quá trình tách một hệ thống thành các bộ phận nhỏ hơn để dễ dàng nghiên cứu Tổng hợp là quá trình kết hợp các kết quả đã phân tích để có cái nhìn tổng quát hơn

về hệ thống

Trừu tượng hóa và khái quát hóa là các phương pháp tư duy giúp tạo ra các khái niệm trừu tượng trong toán học Trừu tượng hóa là quá trình lọc ra các đặc điểm chung của các đối tượng, nhằm tập trung nghiên cứu những yếu

tố cơ bản nhất của chúng Khái quát hóa là quá trình dự đoán một sự kiện chung dựa trên sự kiện đã biết của các trường hợp riêng GV có thể áp dụng

18

phương pháp này trong dạy học để giúp HS nhận ra các quy luật toán học

Chẳng hạn, trong bài giảng về “Phép chiếu song song”, giáo viên giúp học

sinh nhận ra các mối quan hệ giữa những tính chất như: duy trì sự thẳng hàng

và thứ tự các điểm; chuyển đổi đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng; biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc chúng có thể trùng nhau; phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ lệ độ dài giữa hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trên cùng một đường thẳng

Tương tự hóa và so sánh là các phương pháp tư duy cần thiết trong việc nhận biết các đặc điểm giống nhau và khác nhau của các đối tượng Tương tự hóa là quá trình nhận diện những điểm tương đồng giữa hai đối tượng để có thể dự đoán kết quả tương ứng Trong khi đó, so sánh là quá trình xác định cả

sự tương đồng và sự khác biệt giữa các sự vật, hiện tượng GV có thể áp dụng phương pháp này trong dạy học để giúp HS phát triển khả năng so sánh và tìm hiểu các đặc điểm của các đối tượng Việc so sánh giữa các sự vật và hiện tượng trong thực tế giúp HS có cái nhìn tổng quát hơn về toán học

+ So sánh và tương tự

So sánh là quá trình nhìn vào sự tương đồng, khác biệt hoặc ưu nhược điểm của một hiện tượng so với một hiện tượng khác So sánh có hai mục đích: một là để phát hiện ra những điểm chung và sự khác biệt giữa hai đối tượng, sự kiện; hai là thường dẫn đến việc tổng quát hóa và tạo ra sự tương đương

Tương tự có thể được hiểu là sự tương đồng về các đặc điểm và mối liên hệ giữa những đối tượng toán học khác nhau

Do đó, tương tự hóa là việc sử dụng trí óc để kết luận về sự giống nhau của các đối tượng dựa trên một số đặc điểm, thuộc tính từ sự tương đồng của

19

các đối tượng ở một số thuộc tính nào đó, nhằm tạo ra một kết quả mới, vượt qua một trở ngại

+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Chủ thể sử dụng khái niệm để nhóm nhiều đối tượng khác nhau vào một nhóm, một loại, hoặc một phạm trù dựa trên các đặc điểm chung, bản chất và mối quan hệ có tính quy luật Kết quả của quá trình khái quát hóa là một khái niệm chung, áp dụng cho nhiều hiện tượng khác nhau

Trừu tượng hóa và khái quát hóa là hai thao tác quan trọng trong tư duy, có mối liên hệ mật thiết và hỗ trợ cho nhau, giống như cách mà phân tích

và tổng hợp tương tác với nhau Quá trình tư duy dẫn đến những kết quả trí tuệ, bắt đầu từ khái niệm, tiếp theo là phán đoán, và cuối cùng là suy luận (một dạng tư duy trừu tượng được xây dựng trên cơ sở phán đoán)

Đặc biệt hóa là quá trình chuyển từ một khái niệm có phạm vi rộng sang một khái niệm có phạm vi hẹp hơn Đặc biệt hóa cũng là một thao tác tư duy chuyển từ khái niệm tổng quát hoặc tính chất chung sang một khái niệm hoặc tính chất cụ thể hơn

Khái quát hóa và đặc biệt hóa thường được áp dụng trong quá trình nghiên cứu và giải quyết các bài toán Đặc biệt hóa là phương pháp được áp dụng để kiểm tra độ chính xác của quá trình khái quát hóa

+ Theo Chu Cẩm Thơ (2014), trừu tượng hóa được định nghĩa là “việc tách biệt một đặc tính, một mối quan hệ cụ thể ra khỏi các đặc tính, mối quan

hệ khác của sự vật để hiểu biết sâu sắc hơn” [15] Trong toán học, trừu tượng hóa là quá trình phân tích một thuộc tính cụ thể, như số lượng, hình dạng hoặc logic, của một đối tượng toán học để nghiên cứu sâu hơn về chính thuộc tính

đó Thao tác này thường không liên quan đến các đặc điểm vật chất của đối tượng và thường kết hợp chặt chẽ với quá trình cụ thể hóa cũng như khái quát hóa Thông qua trừu tượng hóa, chúng ta có thể phát triển những khái niệm

20

toán học phong phú và sâu sắc hơn, đồng thời nó cũng là nền tảng cho việc hình thành các khái niệm toán học

1.2.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học

1.2.2.1 Tư duy toán học

“Tư duy toán học có thể được hiểu theo hai khía cạnh chính Đầu tiên,

nó là cách con người biểu hiện quá trình tư duy biện chứng trong việc nhận thức và áp dụng toán học trong các lĩnh vực như kỹ thuật, kinh tế và khoa học

xã hội Thứ hai, tư duy toán học mang tính đặc thù được xác định bởi bản chất của môn học toán học, bởi việc sử dụng các phương pháp toán học để hiểu các hiện tượng trong thế giới thực, cũng như bởi các phương pháp tư duy chung mà nó áp dụng” [4]

Tư duy toán học có thể được coi là một dạng tư duy trong khoa học tự nhiên, đặc trưng bởi khả năng áp dụng các kỹ năng để giải quyết từng giai đoạn của một vấn đề khoa học Những kỹ năng này tạo nên phương pháp nhận thức khoa học tự nhiên

Phương pháp này bao gồm những yếu tố cơ bản như: hiểu biết sâu sắc

về vấn đề, khả năng phân biệt và giới hạn vấn đề trong mối quan hệ với các vấn đề khác, nghiên cứu toàn diện tất cả các tình huống liên quan đến vấn đề đặt ra, khả năng dự đoán phương án giải quyết và chọn lựa giả thuyết khoa học phù hợp, khả năng rút ra kết luận và chứng minh dựa trên giả thuyết rõ ràng, khả năng lựa chọn phương pháp tối ưu để giải quyết vấn đề và mở rộng các kết luận cho các tình huống mới

Các yếu tố quan trọng trong tư duy toán học bao gồm: tư duy cụ thể, tư duy trừu tượng, tư duy trực giác, tư duy hàm, tư duy thuật toán và tư duy phê phán

Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển những phẩm chất cốt lõi, năng lực chung

21

cũng như năng lực toán học cho HS Nó không chỉ giúp HS tiếp cận và phát triển kiến thức và kỹ năng then chốt mà còn cung cấp cơ hội cho họ áp dụng toán học vào thực tế Môn này cũng giúp xây dựng mối liên kết giữa các khái niệm toán học, giữa toán học và thực tế, cũng như giữa toán học và các lĩnh vực khác trong giáo dục, đặc biệt là với các môn khoa học như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ và Tin học, nhằm thúc đẩy phương pháp giáo dục STEM

Trong suốt quá trình học tập và ứng dụng toán học, học sinh sẽ dần hình thành và phát triển các năng lực toán học, bao gồm những yếu tố quan trọng sau: khả năng tư duy và lập luận toán học, khả năng mô hình hóa các vấn đề toán học, khả năng giải quyết các bài toán, năng lực giao tiếp toán học, cùng với kỹ năng sử dụng các công cụ và phương tiện học tập trong môn toán

1.2.2.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018, “năng lực tư

duy và lập luận toán học được thể hiện thông qua việc thực hiện các thao tác

tư duy như so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương

tự, quy nạp và diễn dịch; biết chỉ ra chứng cứ, lập luận hợp lý trước khi đi đến kết luận; cũng như giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề

Trong quá trình lập luận, giải quyết vấn đề toán học, HS có thể nêu ra các câu hỏi phù hợp và tự trả lời được Họ có khả năng giải thích, chứng minh được cho các bước giải quyết vấn đề và điều chỉnh giải pháp nếu cần thiết về mặt toán học

Nhìn chung, đến cấp THPT, HS đã đạt được trình độ tư duy và lập luận toán học ở mức độ khá cao, thể hiện qua việc thực hiện thành thạo các thao tác tư duy, kết hợp khéo léo các phương pháp lập luận để giải quyết các vấn

đề toán học một cách logic và sáng tạo

1.3 Sự cần thiết của việc phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học trong dạy học môn Toán

Môn Toán là tiền đề của nhiều bộ môn khoa học tự nhiên sau này vì có thể coi như bộ óc của con người Học Toán không những giúp HS phát triển khả năng toán học và rèn luyện năng lực tư duy nhờ có khả năng thông minh

và nhạy bén mà em sẽ hiểu sâu, nhanh nhạy và học tập giỏi được những môn khoa học tự nhiên Đồng thời có thể để HS được tham gia vào đời sống thực tiễn nhiều hơn nữa và đấy cũng là một cách giúp các em hoàn thiện mình trong cuộc sống ngày nay

Bên cạnh đó, qua thực tế bộ môn toán học tuyển sinh theo phương thức thi trắc nghiệm cũng vẫn có rất đông HS thể hiện được những khiếm khuyết hay yếu kém trong khả năng tư duy và lý luận toán học HS quan sát những đối tượng toán học rất chậm, kém logic và tư duy không linh động do lệ thuộc nặng vào máy tính xách tay vì các em chỉ cần nhớ được những cách tính toán

23

đơn giản và dù có máy tính cầm tay cũng không nhớ các phương pháp giải vì không nhớ thuật giải và không biết tạo dựng các thuật giải Hoặc HS phải biết thành thạo những phép tính để đưa ra kết luận nhưng việc diễn đạt câu chữ làm sao cho logic các em không làm tốt Khi ấy không làm nổi bật được trình độ tư duy cũng như kỹ năng lập luận và biểu đạt qua lời nói của HS khi làm bài

Từ các lí do trên chúng ta có thể nhận thấy rằng việc rèn luyện khả năng suy nghĩ và lập luận toán là một điều quan trọng và đặc biệt với HS Và việc ấy đã được thể hiện rõ qua một chuyên đề giảng dạy trong môn Toán THPT

1.4 Một số thành tố năng lực tƣ duy và lập luận toán học trong chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11

1.4.1 Nội dung và yêu cầu cần đạt dạy học chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11

Theo CTGDPT môn Toán 2018, nội dung cụ thể và yêu cầu cần đạt của chủ đề quan hệ song song trong không gian như sau:

Nội dung 1: Hai đường thẳng song song

- Học sinh cần xác định đúng vị trí tương quan giữa hai đường thẳng trong không gian, với các trường hợp có thể xảy ra như: trùng nhau, song song, cắt nhau hoặc chéo nhau Điều này đòi hỏi các em phải có khả năng quan sát và phân biệt các tình huống này thông qua hình vẽ hoặc mô hình không gian

- HS cần hiểu và giải thích được những tính chất cơ bản của hai đường thẳng song song trong không gian Cụ thể, các em phải nắm rõ định nghĩa của hai đường thẳng song song, các điều kiện cần thiết để xác định sự song song giữa chúng, cũng như tính chất liên quan đến khoảng cách giữa hai đường

Nội dung 2: Đường thẳng và mặt phẳng song song

- Học sinh cần phải xác định được đường thẳng song song với mặt phẳng thông qua các hình vẽ và mô hình không gian Các em phải có khả năng quan sát và phân biệt trường hợp đường thẳng song song với mặt phẳng

so với những trường hợp khác, như đường thẳng nằm trong mặt phẳng hoặc cắt mặt phẳng

- Ngoài ra, các em cũng cần hiểu và giải thích các điều kiện để một đường thẳng có thể song song với một mặt phẳng Cụ thể, HS cần nắm rõ định nghĩa về sự song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các điều kiện cần và đủ để xác định tính chất này

- Nắm vững các tính chất cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng như: khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng, mối liên hệ giữa đường thẳng này với các đường thẳng khác cắt mặt phẳng Học sinh cần phải nắm vững và giải thích được các đặc điểm này

- Vận dụng kiến thức về đường thẳng song song mặt phẳng để mô tả, giải thích các hình ảnh, tình huống thực tế liên quan như: các dây dẫn điện trên không, cột viễn thông, dây cáp treo, đường giao thông đèo dốc,

25

Để đạt được những kỹ năng trên, GV cần trang bị lý thuyết đầy đủ, sử dụng hình ảnh, mô hình trực quan để minh họa Đồng thời, HS cũng cần được luyện tập nhiều bài tập đa dạng để vận dụng và hình thành kỹ năng vững chắc

Nội dung 3: Hai mặt phẳng song song Định lí Thalès trong không gian Hình lăng trụ và hình hộp

- HS cần có khả năng nhận diện hai mặt phẳng song song trong không gian thông qua hình vẽ hoặc mô hình Việc này đòi hỏi các em phải quan sát

và phân tích các đặc điểm hình học để phân biệt rõ ràng với trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau hay hai mặt phẳng trùng nhau

- Hiểu và giải thích được điều kiện để hai mặt phẳng song song trong không gian, bao gồm định nghĩa và các dấu hiệu nhận biết

- Nắm vững các tính chất cơ bản của hai mặt phẳng song song như: khoảng cách không đổi giữa hai mặt phẳng, các đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song luôn bằng nhau, các đoạn thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng đó luôn bằng nhau (định lý Thalès trong không gian)

- Hiểu và giải thích được định lý Thalès trong không gian, biết vận dụng nó để chứng minh các tính chất liên quan

- Nắm được các tính chất cơ bản của hình lăng trụ và hình hộp, liên hệ được với kiến thức về hai mặt phẳng song song

- Vận dụng kiến thức về quan hệ song song để mô tả, giải thích các hình ảnh, tình huống trong thực tế liên quan đến kiến trúc nhà cửa, công trình xây dựng, giao thông

Để hình thành các kỹ năng trên, GV cần truyền đạt lý thuyết đầy đủ, sử dụng nhiều hình ảnh, mô hình minh họa cụ thể Việc giải nhiều bài tập tình huống, bài tập vận dụng thực tế cũng rất cần thiết để HS nâng cao khả năng hiểu biết và vận dụng kiến thức một cách chủ động, sáng tạo

- HS cần biết cách xác định ảnh của các đối tượng hình học như điểm, đoạn thẳng, tam giác và đường tròn khi thực hiện một phép chiếu song song

đã cho Để làm được điều này, các em phải áp dụng thành thạo những kiến thức về các tính chất của phép chiếu cũng như các công thức tọa độ trong không gian

- Ngoài ra, các em cũng phải có khả năng vẽ hình chiếu của những hình khối đơn giản như hình lập phương, hình lăng trụ hay hình nón trên một mặt phẳng chiếu cụ thể Kỹ năng này yêu cầu HS thể hiện chính xác hình dạng và kích thước của các cạnh, mặt tạo nên hình khối

- Ứng dụng kiến thức về phép chiếu song song để mô tả, giải thích các hình ảnh về bóng của vật thể khi bị chiếu sáng, về hình ảnh qua ống nhòm, kính lúp, camera trong thực tế [2]

Để hình thành các kỹ năng trên, GV cần dạy lý thuyết chi tiết, minh họa

rõ ràng qua hình vẽ, mô hình Bên cạnh đó, HS cần được luyện tập nhiều bài tập tính toán, vẽ hình với mức độ khó tăng dần để nâng cao khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế

1.4.2 Các thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học trong chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11

1.4.2.1 Rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt khi học

so sánh tìm ra sự giống nhau và khác nhau của các định lý hay bài toán Do

đó, việc rèn luyện và phát triển các kỹ năng tư duy cho học sinh là vô cùng cần thiết, bao gồm việc vận dụng kiến thức, phân tích, tổng hợp và đối chiếu Những kỹ năng này sẽ giúp các em nắm vững lý thuyết và giải quyết hiệu quả các bài tập liên quan đến quan hệ song song trong không gian ở lớp 11

Ví dụ 1.1: Trong những bài đầu của HHKG, HS được làm quen với phép chứng minh phản chứng Chẳng hạn:

- Chứng minh rằng: Nếu đường

thẳng a song song với đường thẳng b

Do đó, A thuộc giao tuyến của (P) và (Q), chính là đường thẳng b Suy

ra a ( )P , và a cắt b (mâu thuẫn giả thiết)

Vậy

/ / ( ) / /( ) ( )

28

Qua một số ví dụ, GV dần dần hình thành và phát triển ở HS một số tri thức VH thông qua chứng minh toán học Từ đó HS biết sử dụng tri thức này vào chứng minh những bài toán khác Chẳng hạn:

- Chứng minh rằng: Nếu ba đường thẳng phân biệt không cùng thuộc một mặt phẳng trong không gian cắt nhau từng đôi một thì đồng quy

Nếu chỉ có hai điểm trùng nhau và khác điểm thứ ba Chẳng hạn, A trùng với B và A khác điểm C, dẫn đến hai đường thẳng a, b trùng nhau (mâu thuẫn giả thiết)

Do đó, A trùng B trùng C

Như vậy, a  b c  A (đpcm) Những ví dụ trên cho thấy quá trình hình thành và phát triển tri thức của HS từ chỗ chưa có đến có và được củng

cố trong quá trình dạy học môn Toán

1.4.2.2 Rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy diễn, lập luận có căn cứ khi chứng minh định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11

Trong quá trình giải bài tập GV cần rèn luyện cho HS đưa ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lý trước khi kết luận Kĩ năng suy diễn, lập

29

luận có căn cứ khi chứng minh định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11 cần nhận diện đường thẳng song song với mặt phẳng qua hình vẽ và mô hình không gian Để HS lập luận có căn cứ khi chứng minh các định lý của chủ đề quan hệ song song cần rèn luyện cho

HS phải có khả năng quan sát và phân biệt trường hợp đường thẳng song song với mặt phẳng so với những trường hợp khác, như đường thẳng nằm trong mặt phẳng hoặc cắt mặt phẳng

Từ các ví dụ và bài tập HS suy diễn, lập luận và giải thích các điều kiện

để một đường thẳng có thể song song với một mặt phẳng Cụ thể, HS cần nắm

rõ định nghĩa về sự song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các điều kiện cần và đủ để xác định tính chất này

HS biết lập luận và chỉ ra được dấu hiệu về định lý Thalès trong không gian, biết vận dụng nó để chứng minh các tính chất liên quan Thực hiện chứng minh và Nắm được các tính chất cơ bản của hình lăng trụ và hình hộp, liên hệ được với kiến thức về hai mặt phẳng song song

Vận dụng kiến thức về quan hệ song song để mô tả, giải thích các hình ảnh, tình huống trong thực tế liên quan đến kiến trúc nhà cửa, công trình xây dựng, giao thông

Khi chứng minh một định lí hay giải một bài toán thì các suy diễn và lập luận phải dựa trên khái niệm nào, định lí nào để khẳng định điều chúng ta lập luận là đúng Vì vậy, khi dạy hình học không gian chủ đề QHSS lớp 11 cần rèn luyện cho HS năng lực lập luận có căn cứ thì mới được kết luận

Ví dụ 1.2 : Khi chứng minh các tính chất cơ bản mở đầu của HHKG,

chúng ta thường dùng phương pháp chứng minh phản chứng Ví dụ, tính chất sau: “Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song và cắt nhau, thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó sẽ song song với hai đường thẳng ban đầu.”

Trong trường hợp có hai mặt phẳng song song, nếu một mặt phẳng cắt qua một trong chúng, thì mặt phẳng đó cũng sẽ cắt mặt phẳng còn lại, và hai giao tuyến của chúng sẽ song song với nhau

Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì mặt phẳng đó cũng sẽ cắt mặt phẳng còn lại, và hai giao tuyến của chúng

sẽ song song với nhau

Trong quá trình dạy học môn Toán, mỗi khi có cơ hội, GV có thể yêu cầu HS nói rõ hơn đã sử dụng sơ đồ nào trong chứng minh và chỉ rõ sơ đồ đó trong những phép chứng minh cụ thể Chỉ có như vậy thì HS mới thẩm thấu những tri thức phương pháp về chứng minh

1.4.2.3 Rèn luyện cho học sinh nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề trong quá trình học định nghĩa, định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11

29

Để hiểu rõ hơn về một định nghĩa, định lí hay để giải được một bài toán thì HS phải đọc kĩ đề và tự đặt ra cho mình những câu hỏi tại sao giả thiết cho điều đó? giả thiết cho những gì? Còn những giả thiết nào còn ẩn trong bài toán? Ta cần chứng minh điều gì? Khi HS có khả năng tự trả lời những câu hỏi đã được đặt ra, điều đó có nghĩa là các em đã cơ bản giải quyết được bài toán

Ví dụ 1.3 : Xét tứ diện S.ABC, trong đó G1, G2, G3 lần lượt là trọng

tâm của các tam giác SAB, SBC và SCA Chứng minh (G1G2G3) // (ABC)

Việc chứng minh: (G1G2G3) // (ABC) ở hình thứ nhất và (MNP) // (ABC) ở hình thứ hai là hoàn toàn tương tự (G1G2G3) lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB và M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh

SA, SB, SC) Tuy nhiên, một số học sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết bài toán này, bởi khi đối mặt với bài toán khác, các em lại không nhận ra và quên mất phương pháp giải quyết

Đây là một bài toán liên quan đến việc chứng minh hai mặt phẳng song song Đối với loại bài toán này, chúng ta thường áp dụng định lý liên quan đến hai mặt phẳng song song để thực hiện chứng minh Cụ thể, nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b, đồng thời cả hai đường thẳng này đều song song với một mặt phẳng khác, thì điều đó sẽ là căn cứ để khẳng định rằng hai mặt phẳng đó song song với nhau

Tuy nhiên HS dễ mắc phải sai lầm hoặc không biết cách giải do không nắm chắc được tính chất về trọng tâm của tam giác

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh qua các bước sau:

Bước 1: Phân tích bài toán và vẽ hình minh họa

GV: Bài toán này thuộc dạng nào?

HS: Chúng ta cần chứng minh rằng hai mặt phẳng song song