CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ
2.2. Các biện pháp sư phạm nhằm thiết kế tiến trình dạy học quan hệ song
2.2.2. Tổ chức rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy diễn, lập luận có căn cứ khi chứng minh định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song
a. Mục tiêu của biện pháp
Tổ chức rèn luyện cho HS kĩ năng suy diễn, lập luận có căn cứ khi chứng minh định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11 không chỉ là thành phần quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học. Quá trình rèn luyện sẽ giúp HS hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy, từ đó khuyến khích các em trở nên độc lập và sáng tạo hơn trong việc học. Bên cạnh đó, HS cũng sẽ nhận thức được rằng toán học là một lĩnh vực khoa học đáng chú ý, nổi bật với sự chính xác, khả năng suy luận logic và lập luận chặt chẽ.
b. Cơ sở khoa học
Tập luyện cho HS các thao tác tư duy nhằm phát hiện và vận dụng quy trình tư duy cơ bản trong học toán nói chung và giải quyết các nhiệm vụ cơ bản khi học các khái niệm, các định lý và khi giải bài tập chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11. Điều này sẽ mở ra cơ hội cho HS phát huy khả năng sáng tạo, cải thiện cách trình bày và diễn đạt một cách logic trong việc giải quyết các bài toán hình học. Đồng thời, nó cũng giúp các em phát triển
55
năng lực tự học, tư duy tích cực và độc lập, kích thích sự tò mò cũng như niềm đam mê tìm hiểu, từ đó mang lại niềm vui trong học tập.
c. Cách thực hiện
Hướng dẫn HS các thao tác tư duy để nhận diện và áp dụng quy trình xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, thông qua việc tìm ra hai điểm chung khác nhau.
Việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh cần được thực hiện song song với việc nâng cao các hoạt động trí tuệ khác như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa và khái quát hóa, trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò cơ bản.
Để phát triển tính linh hoạt và nhuần nhuyễn trong tư duy, học sinh cần phải rèn luyện khả năng phân tích vấn đề, sau đó tự tổng hợp các kiến thức cá nhân để có thể nhìn nhận các vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau. Học sinh có thể đặc biệt hóa vấn đề, so sánh với những quan điểm đã biết để khám phá những điểm mới mẻ và độc đáo. Tuy nhiên, để có kết luận chính xác, việc khái quát hóa là cần thiết vì thực tế luôn có sự liên kết giữa các hiện tượng và sự vật. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thông qua những bài toán có nhiều cách giải, những vấn đề mở có nhiều tình huống để học sinh tự tư duy và tìm ra giải pháp tối ưu. Những hoạt động này sẽ giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo.
Để phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học trong mỗi quá trình giảng dạy, giáo viên cần chú ý đến các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo như linh hoạt, nhuần nhuyễn và độc đáo. Giáo viên có thể tạo ra những vấn đề mở, đặt ra câu hỏi thông minh, hoặc đưa ra gợi ý phù hợp để học sinh có thể nhìn nhận vấn đề từ nhiều khía cạnh khác nhau. Điều này giúp học sinh tự đưa ra ý tưởng, phản biện và hiểu sâu bản chất của các khái niệm, mệnh đề,
56
tránh học thuộc lòng và áp dụng công thức một cách máy móc mà không hiểu rõ ý nghĩa.
Việc kết hợp nhiều phương pháp giảng dạy như vấn đáp, dạy học hợp tác, giao nhiệm vụ nhóm, và dự án học tập sẽ giúp học sinh hứng thú và quan tâm hơn trong mỗi giờ học. Đồng thời, giáo viên cần đưa ra các bài tập tác động đến các yếu tố của tư duy toán học, như yêu cầu học sinh chỉ ra chứng cứ, lập luận hợp lý trước khi đưa ra kết luận, hoặc các bài tập có nhiều cách giải để học sinh có thể linh hoạt chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác. Những bài tập này sẽ giúp học sinh phát triển tính linh hoạt, và khi có nhiều ý tưởng, việc chọn ra phương pháp giải quyết tốt nhất sẽ hiệu quả hơn việc chỉ học thuộc một cách giải duy nhất.
Bước 1: Bài toán xuất phát:
Ví dụ 2.3:
Bài 1.1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Xác định giao tuyến của: (MNB) và (SAB).
Trong bài toán trên, GV cần yêu cầu HS chỉ ra được cơ sở khoa học giúp chúng ta xác định giao tuyến của hai mặt phẳng?
- Khi hai mặt phẳng không trùng nhau và có một điểm chung, chúng sẽ cắt nhau tạo thành một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đoạn đường thẳng này được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Một đường thẳng được xác định hoàn toàn khi ta biết hai điểm nằm trên đó hoặc biết một điểm và phương hướng của nó.
Dựa trên cơ sở đó, ta có thể tiến hành giải bài toán theo các bước sau:
57 Hình 2.4
*) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNB) với (SMN).
GV yêu cầu HS tìm điểm chung của hai mặt phẳng bằng cách dựa vào ký hiệu của chúng?? Với HS nhìn trong hình sẽ thấy được điểm M và N thuộc cả hai mặt phẳng.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng nào? Nhìn trong hình vẽ, HS thấy được đó là đường thẳng MN.
*) Tìm giao tuyến của (MNB) với (SAB).
Trong ký hiệu, chúng ta nhận thấy điểm B là điểm chung đầu tiên. Tuy nhiên, để rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học GV cần hướng dẫn HS lập luận, quy nạp và suy diễn để tìm các điểm có sẵn trong hình vẽ thuộc (SAB)? Từ đó tìm điểm chung còn lại của hai mặt phẳng. Vì sao?
HS dễ dàng nhận thấy được các điểm S, A, B, M đều thuộc mặt phẳng (SAB).
Điểm M cũng nằm trong cả hai mặt phẳng.
(Vì ( )
(SAB) M SA
M SAB SA
)
Mà M thuộc (MNB) nên M là điểm chung thứ hai của (SAB) và (MNB)
58
GV: Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng nào?
HS: Đường thẳng MB.
Bước 2: GV hướng dẫn HS trao đổi, thảo luận về các thao tác tư duy cơ bản:
GV: Từ bài toán trên hãy nêu các bước (quy trình) xác định giao tuyến của (P) và (Q)?
HS: Để xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có thể thực hiện các bước sau:
(1) Xác định hai điểm chung đã có giữa hai mặt phẳng được cho.
(2) Tìm một điểm trong số các điểm đã xác định trên một mặt phẳng, đồng thời điểm đó cũng thuộc vào một đường thẳng nằm trong mặt phẳng còn lại.
Bởi vì:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
A P A P
A P Q A d Q A Q
* GV: Dựa vào nhận xét trên hãy xác định giao tuyến (MNB) với (AMB) và (SAC)
HS: Ngay trong kí hiệu của 2 mặt phẳng ta có M, B là hai điểm chung của hai mặt phẳng nên giao tuyến là đường thẳng MB.
*) Xác định giao tuyến của (MNB) và (SAC)
( ) (SAC) (MNB)
M (MNB)
M SA
SA SAC M
(1)
( ) ( ) (MNB)
N (MNB)
N SC
SC SAC N SAC
(2)
Từ (1) và (2), ta có thể xác định được giao tuyến cần tìm là đường thẳng MN.
59
Bước 3: Áp dụng quy trình đã nêu và điều chỉnh lại quy trình sao cho phù hợp với các điều kiện của bài toán.
Bài 1.2 (Giả thiết giống bài 1) Tìm giao tuyến của a) (SAC) với (SBD)
b) (MNB) với (SAD) c) (MNB) với (ABCD) Phân tích lời giải:
Hình 2.5
*) Tìm giao tuyến của (SAC) với (SBD)
Ta cần xác định một điểm chung giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Nhìn vào hình HS, ta có thể thấy điểm S là điểm chung đầu tiên của chúng.
Vậy từ các điểm có sẵn trong kí hiệu và hình vẽ em có thể tìm được điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng đó hay không? Ở bước này, HS không thể tìm được giao tuyến. Do vậy, GV cần hướng dẫn HS nhìn trên hai mặt phẳng đó lần lượt hai đường thẳng đồng phẳng và cắt nhau? Từ đó HS sẽ tìm điểm chung của hai mặt phẳng? Hướn dẫn HS lập luận và giải thích.
( )
( )
(ABCD) AC SAC
BD SBD AC BD trong
60
Trong hình tứ diện (ABCD), khi O là điểm giao nhau của hai đường thẳng AC và BD, thì O trở thành điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng.
0 ( ) 0 ( )
0 0 ( ) 0 ( )
AC SAC SAC AC BD
BD SBD SBD
GV: Vậy, đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng nào?
HS: Đường thẳng SO.
GV: Qua bài này ta cần phải điều chỉnh (chính xác hóa) lại quy trình sau bài 1 như thế nào?
HS: Chúng ta có thể điều chỉnh quy trình xác định giao tuyến như sau:
(1) Xác định hai điểm chung có sẵn giữa hai mặt phẳng đã cho;
(2) Tìm một điểm thuộc mặt phẳng này mà đồng thời nằm trên một đường thẳng trong mặt phẳng kia;
(3) Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng, có thể xác định hai đường thẳng cắt nhau trong hai mặt phẳng đó. Điểm giao của hai đường thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng. Nghĩa là:
( )
( ) (P) (Q)
' D P
D Q I
d d I
*) GV: Hướng dẫn tìm giao tuyến của (MNB) và (SAD)
GV: Tìm các điểm có sẵn trong hình vẽ thuộc (SAD)? Từ đó tìm điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng. Vì sao?
HS: S, A, D, M.
M là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng vì:
( ) ( ) ( )
( )
M SA
SA SAD M SAD MNB M MNB
61
GV: Từ các điểm có sẵn trong kí hiệu và hình vẽ em có thể tìm được điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng đó hay không?
HS: Chưa tìm được.
GV: Em hãy tìm trên hai mặt phẳng đó lần lượt hai đường thẳng đồng phẳng và cắt nhau?
HS: Chúng ta chưa xác định được ngay hai đường thẳng phù hợp.
GV: Em hãy tìm một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng đang xét cùng với một đường thẳng khác trong hình vẽ mà cắt được nhau?
HS:
( )
( ) MN MNB
SO
MN SO trong SAC
GV: Khi đó trong (SAC) gọi MN SO = I
Từ đó em hãy tìm trên hai mặt phẳng đó lần lượt hai đường thẳng đồng phẳng và cắt nhau?
HS:
( )
( )
( ) BI MNB
SD SAD
BI SD trong SBD
Trong (SBD) gọi BI SD = T thì T là điểm chung thứ hai của (MNB) và (SDB) vì:
( ) ( )
( ) ( )
T BI MNB T MNB BI SD T
T SD SAD T SAD
GV: Vậy, đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho là gì?
HS: Đường thẳng MT
Qua trường hợp trên, GV cần để HS lập luận một lần nữa qua quy trình tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng được xác định như sau:
(1) Tìm hai điểm chung có sẵn giữa hai mặt phẳng đã cho;
(2) Xác định một điểm trong số những điểm có sẵn của mặt phẳng này mà cũng nằm trên một đường thẳng trong mặt phẳng kia;
62
(3) Tìm điểm chung của hai mặt phẳng bằng cách xác định hai đường thẳng cắt nhau trong hai mặt phẳng đó. Điểm giao của hai đường thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng.
(4) Nếu trên hình không có sẵn hai đường thẳng cắt nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ta phải dựa vào mặt phẳng phụ, đường thẳng phụ để tạo ra những đường thẳng, những điểm mới của hai mặt phẳng đã cho.
*) Hướng dẫn tìm giao tuyến của (MNB) và (ABCD)
Bước đầu tiên là xác định một điểm giao nhau của hai mặt phẳng?
HS: Điểm B
Sau đó sẽ tìm lần lượt hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng mà đồng phẳng và cắt nhau?
( )
( )
( D) MT MNB
MT ABCD MT AD trong SA
GV: Tiếp theo chúng ta sẽ tìm điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng?
Giải thích
HS: Trong (SAD) gọi
( ) ( )
( ) ( )
K MT MNB K MNB MT AD K
K AD ABCD K ABCD
GV: Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng nào?
HS: Là đường thẳng KB.
Bước 4: Luyện tập
Việc luyện tập thông qua hệ thống bài toán, nhằm kiểm nghiệm tính hiệu quả, tính phổ dụng của quy trình được xây dựng thông qua các thao tác tư duy cơ bản đã nêu ở trên. Chúng tôi đề xuất hệ thống bài toán như sau:
Bài 1.3. Cho tứ diện ABCD. I, M, N lần lượt là trung điểm của AD, AB, AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
63 Hướng dẫn và kết quả
Hình vẽ minh họa
Hình 2.6 MD BI P
ND CI Q
Nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng PQ
Bài 1.4. Xét hình chóp S.ABCD, trong đó M là điểm thuộc tam giác SCD. Hãy tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
Hình vẽ minh họa
Hình 2.7
64
Chúng ta đã xác định được điểm chung S giữa hai mặt phẳng. Kéo dài đoạn thẳng SM sẽ cắt DC tại điểm G. Tiếp theo, đường thẳng BG sẽ cắt AC tại điểm F. Vậy, F chính là điểm chung của hai mặt phẳng. Do đó, giao tuyến của chúng chính là đường thẳng SF.
Ví dụ 2.4: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SG là trọng tuyến. Một mặt phẳng bất kỳ cắt các cạnh SA, SB, SC, SG lần lượt tại A', B', C', G'.
Trong bài toán này GV thao tác tư duy để hướng dẫn HS tự đọc một tính chất của hình chóp. Ta luôn có:
3 (*)
' ' ' '
SA SB SC SG SA SB SC SG
Hình 2.8 +) Điều tiếp theo cần chứng minh là gì?
Ta phải chứng minh:
2 3 (2)
' ' '
SM SC SG SM SC SG
+) Tương tự, ta phải tạo ra một q thẳng qua M và C, song song với M’C’ để chuyển các tỉ số trên các cạnh SM, SC về SG.
Ta có: ....; ....
' '
SM SC
SM SC để được (2)
65 Hình 2.9
+) Đặc biệt hóa, khi SA = SB = SC = 1 ta được kết quả gì?
1 1 1
' ' ' 3 '
SG
SA SB SC SG (3) +) Khai thác bài toán
Khai thác 1: Nếu G’ cố định thì hệ thức vế phải của (*) bằng một hằng số.
Từ đó ta có bài toán: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC, có trọng tuyến SG. Lấy G’ cố định trên SG. Xét mặt phẳng (P) thay đổi, luôn đi qua điểm G’. Mặt phẳng (P) này cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại các điểm A’, B’, C’.
Chứng minh rằng hệ thức 1 1 1
' ' '
SA SB SC bằng một hằng số.
Khai thác 2: Ngược lại, nếu vế trái của (*) là một hằng số thì vế phải của (*) cũng là một hằng số dẫn đến G’ cố định. Bài toán đặt ra như sau: Cho hình chóp SABC với điều kiện SA = SB = SC. Xét một mặt phẳng (P) thay đổi, mặt phẳng này cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại các điểm A’, B’, C’
sao cho khoảng cách giữa 1 1 1
' ' '
SA SB SC luôn bằng một hằng số k không đổi. Cần chứng minh rằng mặt phẳng (P) này luôn đi qua một điểm cố định.
66 Ví dụ 2.5:
Hướng dẫn HS tự đọc một tính chất của hình chóp.
Trong hình chóp tam giác S.ABC, với SG là trọng tuyến, xét một mặt phẳng bất kỳ cắt các cạnh SA, SB, SC, SG lần lượt tại các điểm A', B', C', G'.
Ta luôn có:
3 (*)
' ' ' '
SA SB SC SG SA SB SC SG
Hình 2.10 +) Điều tiếp theo phải chứng minh là gì?
Ta phải chứng minh:
2 3 (2)
' ' '
SM SC SG SM SC SG
+) Tương tự, ta phải tạo ra một q thẳng qua M và C, song song với M’C’
để chuyển các tỉ số trên các cạnh SM, SC về SG.
Ta có: ....; ....
' '
SM SC
SM SC để được (2)
67
Hình 2.11
+) Đặc biệt hóa, khi SA = SB = SC = 1 ta được kết quả gì?
1 1 1
' ' ' 3 '
SG
SA SB SC SG (3) +) Khai thác bài toán
Khai thác 1: Nếu G’ cố định thì hệ thức vế phải của (*) bằng một hằng số.
Từ đó ta có bài toán: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC, có trọng tuyến SG. Lấy G’ cố định trên SG. Xem xét mặt phẳng (P) thay đổi, luôn chứa điểm G’, và cắt các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt tại các điểm A’, B’, C’.
Chứng minh rằng hệ thức 1 1 1
' ' '
SA SB SC bằng một hằng số.
Khai thác 2: Ngược lại, nếu vế trái của (*) là một hằng số thì vế phải của (*) cũng là một hằng số dẫn đến G’ cố định. Dưới đây là cách viết lại câu đó với từ ngữ khác: Ta có bài toán sau: Cho hình chóp SABC với điều kiện SA = SB = SC. Xét mặt phẳng (P) thay đổi, luôn cắt các đoạn thẳng SA, SB, SC tại các điểm A’, B’, C’ sao cho tỷ lệ giữa 1 1 1
' ' '
SA SB SC luôn bằng một hằng
68
số k không đổi. Cần chứng minh rằng mặt phẳng (P) luôn đi qua một điểm cố định.