CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.2. Năng lực tư duy và lập luận toán học
1.2.2. Năng lực tư duy và lập luận toán học
“Tư duy toán học có thể được hiểu theo hai khía cạnh chính. Đầu tiên, nó là cách con người biểu hiện quá trình tư duy biện chứng trong việc nhận thức và áp dụng toán học trong các lĩnh vực như kỹ thuật, kinh tế và khoa học xã hội. Thứ hai, tư duy toán học mang tính đặc thù được xác định bởi bản chất của môn học toán học, bởi việc sử dụng các phương pháp toán học để hiểu các hiện tượng trong thế giới thực, cũng như bởi các phương pháp tư duy chung mà nó áp dụng” [4]
Tư duy toán học có thể được coi là một dạng tư duy trong khoa học tự nhiên, đặc trưng bởi khả năng áp dụng các kỹ năng để giải quyết từng giai đoạn của một vấn đề khoa học. Những kỹ năng này tạo nên phương pháp nhận thức khoa học tự nhiên.
Phương pháp này bao gồm những yếu tố cơ bản như: hiểu biết sâu sắc về vấn đề, khả năng phân biệt và giới hạn vấn đề trong mối quan hệ với các vấn đề khác, nghiên cứu toàn diện tất cả các tình huống liên quan đến vấn đề đặt ra, khả năng dự đoán phương án giải quyết và chọn lựa giả thuyết khoa học phù hợp, khả năng rút ra kết luận và chứng minh dựa trên giả thuyết rõ ràng, khả năng lựa chọn phương pháp tối ưu để giải quyết vấn đề và mở rộng các kết luận cho các tình huống mới.
Các yếu tố quan trọng trong tư duy toán học bao gồm: tư duy cụ thể, tư duy trừu tượng, tư duy trực giác, tư duy hàm, tư duy thuật toán và tư duy phê phán.
Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển những phẩm chất cốt lõi, năng lực chung
21
cũng như năng lực toán học cho HS. Nó không chỉ giúp HS tiếp cận và phát triển kiến thức và kỹ năng then chốt mà còn cung cấp cơ hội cho họ áp dụng toán học vào thực tế. Môn này cũng giúp xây dựng mối liên kết giữa các khái niệm toán học, giữa toán học và thực tế, cũng như giữa toán học và các lĩnh vực khác trong giáo dục, đặc biệt là với các môn khoa học như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ và Tin học, nhằm thúc đẩy phương pháp giáo dục STEM.
Trong suốt quá trình học tập và ứng dụng toán học, học sinh sẽ dần hình thành và phát triển các năng lực toán học, bao gồm những yếu tố quan trọng sau: khả năng tư duy và lập luận toán học, khả năng mô hình hóa các vấn đề toán học, khả năng giải quyết các bài toán, năng lực giao tiếp toán học, cùng với kỹ năng sử dụng các công cụ và phương tiện học tập trong môn toán.
1.2.2.2. Năng lực tư duy và lập luận toán học
Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018, “năng lực tư duy và lập luận toán học được thể hiện thông qua việc thực hiện các thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp và diễn dịch; biết chỉ ra chứng cứ, lập luận hợp lý trước khi đi đến kết luận; cũng như giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về mặt toán học” [2].
Đối với HS cấp THPT, các yếu tố của tư duy và lập luận toán học được thể hiện rõ ràng hơn.
Các em có khả năng thực hiện thành thạo các kỹ năng tư duy, như phân tích, tổng hợp và khái quát hóa. Đặc biệt, HS có thể nhận diện sự tương đồng và khác biệt giữa những tình huống toán học phức tạp, từ đó giải thích được những kết quả quan sát. Hơn nữa, HS cấp THPT cũng đã có khả năng áp dụng các phương pháp lập luận như quy nạp và diễn dịch, giúp các em nhìn nhận
22
vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau và tìm ra nhiều cách thức giải quyết khác nhau.
HS ở cấp THPT đã có khả năng sử dụng các phương pháp lập luận như quy nạp, diễn dịch để nhìn nhận vấn đề dưới các góc nhìn khác nhau, tìm ra những cách thức khác nhau để giải quyết vấn đề.
Trong quá trình lập luận, giải quyết vấn đề toán học, HS có thể nêu ra các câu hỏi phù hợp và tự trả lời được. Họ có khả năng giải thích, chứng minh được cho các bước giải quyết vấn đề và điều chỉnh giải pháp nếu cần thiết về mặt toán học.
Nhìn chung, đến cấp THPT, HS đã đạt được trình độ tư duy và lập luận toán học ở mức độ khá cao, thể hiện qua việc thực hiện thành thạo các thao tác tư duy, kết hợp khéo léo các phương pháp lập luận để giải quyết các vấn đề toán học một cách logic và sáng tạo.
1.3. Sự cần thiết của việc phát triển năng lực tƣ duy và lập luận toán học trong dạy học môn Toán
Môn Toán là tiền đề của nhiều bộ môn khoa học tự nhiên sau này vì có thể coi như bộ óc của con người. Học Toán không những giúp HS phát triển khả năng toán học và rèn luyện năng lực tư duy nhờ có khả năng thông minh và nhạy bén mà em sẽ hiểu sâu, nhanh nhạy và học tập giỏi được những môn khoa học tự nhiên. Đồng thời có thể để HS được tham gia vào đời sống thực tiễn nhiều hơn nữa và đấy cũng là một cách giúp các em hoàn thiện mình trong cuộc sống ngày nay.
Bên cạnh đó, qua thực tế bộ môn toán học tuyển sinh theo phương thức thi trắc nghiệm cũng vẫn có rất đông HS thể hiện được những khiếm khuyết hay yếu kém trong khả năng tư duy và lý luận toán học. HS quan sát những đối tượng toán học rất chậm, kém logic và tư duy không linh động do lệ thuộc nặng vào máy tính xách tay vì các em chỉ cần nhớ được những cách tính toán
23
đơn giản và dù có máy tính cầm tay cũng không nhớ các phương pháp giải vì không nhớ thuật giải và không biết tạo dựng các thuật giải... Hoặc HS phải biết thành thạo những phép tính để đưa ra kết luận nhưng việc diễn đạt câu chữ làm sao cho logic các em không làm tốt. Khi ấy không làm nổi bật được trình độ tư duy cũng như kỹ năng lập luận và biểu đạt qua lời nói của HS khi làm bài.
Từ các lí do trên chúng ta có thể nhận thấy rằng việc rèn luyện khả năng suy nghĩ và lập luận toán là một điều quan trọng và đặc biệt với HS. Và việc ấy đã được thể hiện rõ qua một chuyên đề giảng dạy trong môn Toán THPT.
1.4. Một số thành tố năng lực tƣ duy và lập luận toán học trong chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11
1.4.1. Nội dung và yêu cầu cần đạt dạy học chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11
Theo CTGDPT môn Toán 2018, nội dung cụ thể và yêu cầu cần đạt của chủ đề quan hệ song song trong không gian như sau:
Nội dung 1: Hai đường thẳng song song
- Học sinh cần xác định đúng vị trí tương quan giữa hai đường thẳng trong không gian, với các trường hợp có thể xảy ra như: trùng nhau, song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. Điều này đòi hỏi các em phải có khả năng quan sát và phân biệt các tình huống này thông qua hình vẽ hoặc mô hình không gian.
- HS cần hiểu và giải thích được những tính chất cơ bản của hai đường thẳng song song trong không gian. Cụ thể, các em phải nắm rõ định nghĩa của hai đường thẳng song song, các điều kiện cần thiết để xác định sự song song giữa chúng, cũng như tính chất liên quan đến khoảng cách giữa hai đường
24
thẳng này. Thêm vào đó, HS cũng cần biết mối quan hệ của chúng với những đường thẳng cắt qua.
- Vận dụng kiến thức về hai đường thẳng song song để mô tả, giải thích các hình ảnh, tình huống trong thực tế liên quan đến khái niệm này. Ví dụ như mô tả các đường ray xe lửa, các dây tơ lửa điện, các cạnh song song của một hình lập phương,...
Để đạt được những kỹ năng trên, HS cần lĩnh hội các khái niệm, tính chất liên quan đến hai đường thẳng song song thông qua lý thuyết và thực hành bài tập. Từ đó, họ có thể nhận biết, giải thích và vận dụng kiến thức này vào các tình huống thực tế cũng như nâng cao tư duy không gian.
Nội dung 2: Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Học sinh cần phải xác định được đường thẳng song song với mặt phẳng thông qua các hình vẽ và mô hình không gian. Các em phải có khả năng quan sát và phân biệt trường hợp đường thẳng song song với mặt phẳng so với những trường hợp khác, như đường thẳng nằm trong mặt phẳng hoặc cắt mặt phẳng.
- Ngoài ra, các em cũng cần hiểu và giải thích các điều kiện để một đường thẳng có thể song song với một mặt phẳng. Cụ thể, HS cần nắm rõ định nghĩa về sự song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các điều kiện cần và đủ để xác định tính chất này.
- Nắm vững các tính chất cơ bản của đường thẳng song song mặt phẳng như: khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng, mối liên hệ giữa đường thẳng này với các đường thẳng khác cắt mặt phẳng. Học sinh cần phải nắm vững và giải thích được các đặc điểm này.
- Vận dụng kiến thức về đường thẳng song song mặt phẳng để mô tả, giải thích các hình ảnh, tình huống thực tế liên quan như: các dây dẫn điện trên không, cột viễn thông, dây cáp treo, đường giao thông đèo dốc,...
25
Để đạt được những kỹ năng trên, GV cần trang bị lý thuyết đầy đủ, sử dụng hình ảnh, mô hình trực quan để minh họa. Đồng thời, HS cũng cần được luyện tập nhiều bài tập đa dạng để vận dụng và hình thành kỹ năng vững chắc.
Nội dung 3: Hai mặt phẳng song song. Định lí Thalès trong không gian. Hình lăng trụ và hình hộp
- HS cần có khả năng nhận diện hai mặt phẳng song song trong không gian thông qua hình vẽ hoặc mô hình. Việc này đòi hỏi các em phải quan sát và phân tích các đặc điểm hình học để phân biệt rõ ràng với trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau hay hai mặt phẳng trùng nhau.
- Hiểu và giải thích được điều kiện để hai mặt phẳng song song trong không gian, bao gồm định nghĩa và các dấu hiệu nhận biết.
- Nắm vững các tính chất cơ bản của hai mặt phẳng song song như:
khoảng cách không đổi giữa hai mặt phẳng, các đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song luôn bằng nhau, các đoạn thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng đó luôn bằng nhau (định lý Thalès trong không gian).
- Hiểu và giải thích được định lý Thalès trong không gian, biết vận dụng nó để chứng minh các tính chất liên quan.
- Nắm được các tính chất cơ bản của hình lăng trụ và hình hộp, liên hệ được với kiến thức về hai mặt phẳng song song.
- Vận dụng kiến thức về quan hệ song song để mô tả, giải thích các hình ảnh, tình huống trong thực tế liên quan đến kiến trúc nhà cửa, công trình xây dựng, giao thông...
Để hình thành các kỹ năng trên, GV cần truyền đạt lý thuyết đầy đủ, sử dụng nhiều hình ảnh, mô hình minh họa cụ thể. Việc giải nhiều bài tập tình huống, bài tập vận dụng thực tế cũng rất cần thiết để HS nâng cao khả năng hiểu biết và vận dụng kiến thức một cách chủ động, sáng tạo.
26
Nội dung 4: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
- Hiểu và nhận biết khái niệm phép chiếu song song, các thành phần cấu thành nên phép chiếu này như mặt phẳng chiếu, đường chiếu, véctơ phương chiếu. HS cần nắm được tính chất cơ bản về phép chiếu song song là giữ nguyên kích thước, hình dạng và vị trí tương đối của các đối tượng được chiếu.
- HS cần biết cách xác định ảnh của các đối tượng hình học như điểm, đoạn thẳng, tam giác và đường tròn khi thực hiện một phép chiếu song song đã cho. Để làm được điều này, các em phải áp dụng thành thạo những kiến thức về các tính chất của phép chiếu cũng như các công thức tọa độ trong không gian.
- Ngoài ra, các em cũng phải có khả năng vẽ hình chiếu của những hình khối đơn giản như hình lập phương, hình lăng trụ hay hình nón trên một mặt phẳng chiếu cụ thể. Kỹ năng này yêu cầu HS thể hiện chính xác hình dạng và kích thước của các cạnh, mặt tạo nên hình khối.
- Ứng dụng kiến thức về phép chiếu song song để mô tả, giải thích các hình ảnh về bóng của vật thể khi bị chiếu sáng, về hình ảnh qua ống nhòm, kính lúp, camera... trong thực tế [2].
Để hình thành các kỹ năng trên, GV cần dạy lý thuyết chi tiết, minh họa rõ ràng qua hình vẽ, mô hình. Bên cạnh đó, HS cần được luyện tập nhiều bài tập tính toán, vẽ hình với mức độ khó tăng dần để nâng cao khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế.
1.4.2. Các thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học trong chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11
1.4.2.1. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt khi học
27
định nghĩa, định lí và giải bài tập trong chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11
Phân tích được bản chất của khái niệm; phân tích được giả thiết, kết luận của định lí và biết sử dụng định lí vào giải các dạng bài tập; phân tích được giả thiết, kết luận của bài toán từ đó tìm được hướng giải bài toán; biết so sánh tìm ra sự giống nhau và khác nhau của các định lý hay bài toán. Do đó, việc rèn luyện và phát triển các kỹ năng tư duy cho học sinh là vô cùng cần thiết, bao gồm việc vận dụng kiến thức, phân tích, tổng hợp và đối chiếu.
Những kỹ năng này sẽ giúp các em nắm vững lý thuyết và giải quyết hiệu quả các bài tập liên quan đến quan hệ song song trong không gian ở lớp 11.
Ví dụ 1.1: Trong những bài đầu của HHKG, HS được làm quen với phép chứng minh phản chứng. Chẳng hạn:
- Chứng minh rằng: Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b trong mặt phẳng (P) và đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P), thì đường thẳng a sẽ song song với mặt phẳng (P).
Phản chứng:
Nếu thì a( )P A .
Hình 1.1
Nếu a/ /( )P thì a b, ( )Q ( , )a b
Do đó, A thuộc giao tuyến của (P) và (Q), chính là đường thẳng b. Suy ra a( )P , và a cắt b (mâu thuẫn giả thiết)
Vậy / /
( ) / /( ) ( )
a b
b P a P
a P
(đpcm)
28
Qua một số ví dụ, GV dần dần hình thành và phát triển ở HS một số tri thức VH thông qua chứng minh toán học. Từ đó HS biết sử dụng tri thức này vào chứng minh những bài toán khác. Chẳng hạn:
- Chứng minh rằng: Nếu ba đường thẳng phân biệt không cùng thuộc một mặt phẳng trong không gian cắt nhau từng đôi một thì đồng quy.
Đặt ba đường thẳng lần lượt là a, b và c.
Gọi b c A
a c B
a b C
Hình 1.2
Phản chứng: Nếu ba điểm A, B, C phân biệt thì qua ba điểm A, B, C sẽ xác định được một mặt phẳng (). Suy ra cả ba đường thẳng a, b, c cùng thuộc mặt phẳng () (mâu thuẫn giả thiết)
Nếu chỉ có hai điểm trùng nhau và khác điểm thứ ba. Chẳng hạn, A trùng với B và A khác điểm C, dẫn đến hai đường thẳng a, b trùng nhau (mâu thuẫn giả thiết)
Do đó, A trùng B trùng C
Như vậy, a b c A (đpcm) Những ví dụ trên cho thấy quá trình hình thành và phát triển tri thức của HS từ chỗ chưa có đến có và được củng cố trong quá trình dạy học môn Toán.
1.4.2.2. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng suy diễn, lập luận có căn cứ khi chứng minh định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11
Trong quá trình giải bài tập GV cần rèn luyện cho HS đưa ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lý trước khi kết luận. Kĩ năng suy diễn, lập
29
luận có căn cứ khi chứng minh định lý và giải toán của chủ đề quan hệ song song trong hình học không gian lớp 11 cần nhận diện đường thẳng song song với mặt phẳng qua hình vẽ và mô hình không gian. Để HS lập luận có căn cứ khi chứng minh các định lý của chủ đề quan hệ song song cần rèn luyện cho HS phải có khả năng quan sát và phân biệt trường hợp đường thẳng song song với mặt phẳng so với những trường hợp khác, như đường thẳng nằm trong mặt phẳng hoặc cắt mặt phẳng.
Từ các ví dụ và bài tập HS suy diễn, lập luận và giải thích các điều kiện để một đường thẳng có thể song song với một mặt phẳng. Cụ thể, HS cần nắm rõ định nghĩa về sự song song giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như các điều kiện cần và đủ để xác định tính chất này.
HS biết lập luận và chỉ ra được dấu hiệu về định lý Thalès trong không gian, biết vận dụng nó để chứng minh các tính chất liên quan. Thực hiện chứng minh và Nắm được các tính chất cơ bản của hình lăng trụ và hình hộp, liên hệ được với kiến thức về hai mặt phẳng song song.
Vận dụng kiến thức về quan hệ song song để mô tả, giải thích các hình ảnh, tình huống trong thực tế liên quan đến kiến trúc nhà cửa, công trình xây dựng, giao thông...
Khi chứng minh một định lí hay giải một bài toán thì các suy diễn và lập luận phải dựa trên khái niệm nào, định lí nào để khẳng định điều chúng ta lập luận là đúng. Vì vậy, khi dạy hình học không gian chủ đề QHSS lớp 11 cần rèn luyện cho HS năng lực lập luận có căn cứ thì mới được kết luận
Ví dụ 1.2 : Khi chứng minh các tính chất cơ bản mở đầu của HHKG, chúng ta thường dùng phương pháp chứng minh phản chứng. Ví dụ, tính chất sau: “Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song và cắt nhau, thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó sẽ song song với hai đường thẳng ban đầu.”