Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học khi giải toán của chủ đề

CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ

2.2. Các biện pháp sư phạm nhằm thiết kế tiến trình dạy học quan hệ song

2.2.4. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học khi giải toán của chủ đề

a. Mục tiêu của biện pháp

Trong dạy học chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 có nhiều bài tập đa dạng, phong phú, có thể nhìn dưới nhiều góc độ khác nhau, mỗi góc nhìn có thể đưɑ rɑ những cách giải khác nhau. Trong quá trình giảng dạy, rèn luyện cho HS kĩ năng giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học khi giải toán của chủ đề quan hệ song song trong không gian lớp 11 sẽ giúp các em có được sự linh hoạt, trôi chảy và độc đáo khi tư duy về vấn đề.

b. Cơ sở biện pháp

Để tìm ra nhiều cách giải một bài toán, trước hết HS phải nắm vững kiến thức cơ bản và nhiều phương pháp giải bài toán. Đồng thời, thông qua tư duy và lý luận, HS sẽ có thể trình bày cách giải quyết vấn đề.

Biện pháp đưa ra nhằm giúp HS suy nghĩ tích cực, thoải mái, cởi mở với những quan điểm trái chiều, không ngại thay đổi, sửa chữa và khắc phục những quan điểm chưa đúng đắn. Giáo viên có thể đưa ra nhiều cách tiếp cận và lời giải khác nhau cho một bài toán, từ đó giúp học sinh nhận diện những suy luận hợp lý và không hợp lý. Qua đó, học sinh có thể tự kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải. Điều quan trọng là học sinh phải biết cách sửa chữa sai

75

sót thay vì chỉ đưa ra một lời giải mới hoàn toàn. Nhờ vậy, học sinh sẽ ghi nhớ kiến thức một cách vững vàng và có thể giải quyết những bài toán tương tự một cách dễ dàng.

c. Cách thực hiện biện pháp

GV đưɑ rɑ các bài toán trong chủ đề quan hệ song song trong không gian có thể bằng nhiều cách, nhiều phương pháp khác nhau. GV yêu cầu HS giải bài tập đó, hướng dẫn HS các cách nhìn khác nhau để đưɑ rɑ lời giải khác nhau cho bài toán.

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải các bài toán có nhiều phương án giải thông qua hình thức làm việc nhóm để phát triển tư duy và khả năng lập luận. Các bước thực hiện có thể như sau:

Bước 1: Đọc kỹ đề bài, nhận diện loại bài toán và phân tích các yêu cầu của bài.

Bước 2: Xác định các phương pháp giải quyết bài toán.

Bước 3: Học sinh hoặc nhóm trình bày cách giải dựa trên suy nghĩ cá nhân hoặc nhóm.

Bước 4: Thu thập và so sánh các cách giải khác nhau, tổ chức trao đổi giữa các học sinh, lựa chọn và đánh giá phương pháp giải tối ưu.

Bước 5: GV đánh giá, tổng kết và rút ra kết luận

Ví dụ 2.7: Cho tứ diện S ABC. có G G G1, 2, 3 lần lượt là trọng tâm tam giác SAB SBC SAC, , . Chứng minh (G G G1 2 3)∥(ABC).

76

Hình 2.114 Hình 2.125

Việc chứng minh: (G G G1 2 3)∥(ABC) ở Hình 2.12 và (MNP)∥(ABC) ở Hình 2.13 là hoàn toàn tương tự (G G G1, 2, 3 là trọng tâm của các tam giác

, ,

SAB SBC SAC và M N P, , là trung điểm của các cạnh SA SB SC, , ). Tuy nhiên một số HS không để ý hoặc không nhận ra sự liên quan giữa hai bài toán, có thể được học cách giải một bài nhưng gặp bài tương tự lại chưa biết cách giải.

Đây là bài toán chứng minh hai mặt phẳng song song. Để giải dạng toán này, ta thường áp dụng định lý về hai mặt phẳng song song: nếu mặt phẳng( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau ,a b và ,a b đồng thời song song với mặt phẳng ( ) , thì ( ) ∥ ( ) cũng là một điều kiện để chứng minh hai mặt phẳng song song. Tuy nhiên HS dễ mắc phải sai lầm hoặc không biết cách giải do không nắm chắc được tính chất về trọng tâm của tam giác.

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích và tìm cách giải như sau:

Bước 1: Xem xét, vẽ hình và phân tích bài toán GV: Bài toán này thuộc dạng nào?

77

HS: Chứng minh hai mặt phẳng song song.

GV: Cái gì là dữ kiện? Cái gì phải tìm?

HS: Dữ kiện cho biết G G G1, 2, 3 là trọng tâm của tam giác

, ,

SAB SBC SAC.

Và cần chứng minh hai mặt phẳng (G G G1 2 3)∥(ABC). GV: Dữ kiện đã đủ để chứng minh trực tiếp chưa?

HS: Chưa đủ.

GV: Vậy chúng ta sẽ giải quyết bài toán như thế nào?

Bước 2: Tìm ra phương pháp giải quyết bài toán

GV: Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta có thể áp dụng định lý nào?

HS: Định lý về điều kiện hai mặt phẳng song song.

GV: Phát biểu định lý đó. Để chứng minh một đường thẳng song song với mặt phẳng, ta cần làm gì? Dựa vào đâu để chứng minh?

HS: Chứng minh đường thẳng này song song với một đường thẳng bất kì nằm trong mặt phẳng kia dựa vào tính chất trọng tâm tam giác tạo ra các đoạn thẳng tỷ lệ.

GV: Hãy phát biểu lại bài toán tương tự mà chúng ta đã từng giải.

HS: Cho tứ diện .S ABCcó M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh , ,

SA SB SC. Chứng minh rằng (MNP)∥(ABC)

GV: Em hãy trình bày cách lập luận và giải quyết bài toán trên.

Bước 3: Trình bày lời giải

Lời giải: Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC CA, , .

Ta có: 1 2 2 1 2 1 2

( )

3

SG SG

G G MN G G ABC

SM  SN   ∥  ∥ (1)

Tương tự: 3 2 2 2 3 2 3

( )

3

SG SG

G G NP G G ABC

SP  SN   ∥  ∥ (2)Mà G G1 2

và G G2 3 là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (G G G1 2 3) (3)

78

Từ (1), (2) và (3) suy ra (G G G1 2 3)∥(ABC).

Bước 4: Rà soát lại lời giải, cách lập luận và cách trình bày. Cần kiểm tra xem có phương pháp giải quyết nào ngắn gọn hơn không? Từ đó, rút ra bài học kinh nghiệm cho những bài toán tương tự.

*Nhận xét: Trước hết, cần hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Tiếp theo, cần nhận diện mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm, từ đó tìm ra hướng giải hợp lý. Cuối cùng, triển khai phương án đã chọn một cách hợp lý và chính xác. Thứ tư là nhìn lại cách giải đã thu được, một lần nữa nghiên cứu và phân tích nó xem còn ứng dụng được cho dạng bài nào khác không, còn phương án nào tối ưu hơn không. Hình học không gian và hình học phẳng có nhiều khái niệm tương tự nhau nên khi giải bài tập hình học không gian có nhiều khi cần sử dụng suy luận tương tự. Nó giúp ta quy lạ về quen, tìm ra kết quả mới, phương pháp giải mới trên cơ sở từ những cái đã có, đã biết. Ví dụ định lí Thales trong không gian.

Ví dụ 2.8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C.   . Gọi G và G'lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A B C  .

a) Chứng minh rằng tứ giácAGG A  là hình bình hành.

b) Chứng minh rằngAGC A. GClà hình lăng trụ.

79 Hình 2.136

GV cho HS thảo luận, có thể đưa ra những câu hỏi gợi ý, số lượng câu hỏi tùy vào khả năng của HS (HS năng lực càng tốt thì số câu hỏi gợi ý càng ít):

a) GV: Nhắc lại các chứng minh một hình bình hành

HS: Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau, tứ giác có một cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau, tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau, tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

GV: Góc và đường chéo của hình AGG A có xác định được?

HS: Ta cần chứng minh theo cặp cạnh của hình.

GV: Lựa chọn cặp cạnh đối diện có thể chứng minh song song hoặc bằng nhau của tứ giác AGG A .

HS: AG AG và AG∥ AG

b) GV: Nhắc lại cách chứng minh hình lăng trụ.

HS: Là hình có hai mặt đáy là đa giác lồi, song song và các cặp cạnh cạnh bên đôi một song song.

GV: Chứng minh các cặp cạnh bên song song bằng cách nào?

80

HS: Dựa vào câu a, ta có thể chứng minh rằng AA∥GG Lời giải:

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và B C . Khi đó, ta có MNlà đường trung bình của hình bình hành BCC B , do đó MN∥ BB và MN BB.

Vì ABC A B C.   là hình lăng trụ tam giác, nên AA∥BB vàAA BB. Từ đó, ta suy ra MN∥ AA và MN  AA. Do vậy, AMNAlà hình bình hành.

Suy ra AM∥ AN và AM  AN.

Vì G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A B C  , ta có 2

3 A

M G

A N

A A

  G

   .

Do đó, AG AG và AG∥ AG. Từ đó, ta kết luận rằng tứ giác AGG A là hình bình hành.

b) Vì tứ giácAGG A là hình bình hành, ta cóAA∥GG.

Tương tự, ta chứng minh được rằngCGG C là hình bình hành nên CC∥GG, từ đó suy ra ba đường thẳngAA, CC và GG đôi một song song.

Bên cạnh đó, hai mặt phẳng (AGC) và (A G C  ) cũng song song với nhau.

Vậy,AGC A G C.   là hình lăng trụ tam giác.

Kết luận chương 2

Để đảm bảo hiệu quả của các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS trong dạy học quan hệ song song trong không gian lớp 11, việc xây dựng các biện pháp này cần tuân thủ các nguyên tắc cơ bản sau: Đảm bảo tính mục tiêu; Đảm bảo tính thực tiễn

81

Nguyên tắc đảm bảo tính khả thi; Đảm bảo phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập

Biện pháp 1 đã tác động đến việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học của HS. Thông qua việc luyện tập thường xuyên, HS sẽ dần làm quen và thành thạo với các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa và cụ thể hóa. Khi học các khái niệm và định lý về QHSS trong không gian, HS sẽ được hướng dẫn cách phân tích, so sánh và tổng hợp các đặc điểm, tính chất của chúng. Điều này giúp HS hiểu sâu hơn về bản chất của các khái niệm và định lý, cũng như mối liên hệ giữa chúng. Đồng thời, quá trình khái quát hóa và cụ thể hóa cũng được thực hành để HS có thể vận dụng các kiến thức vào các tình huống cụ thể hoặc rút ra những nguyên lý, quy luật chung từ các trường hợp riêng lẻ. Khi giải bài tập về QHSS trong không gian, HS cũng phải thực hiện các thao tác tư duy như phân tích đề bài, xác định các thông tin cần thiết, lựa chọn phương pháp giải quyết phù hợp, thực hiện các bước giải theo logic và kiểm tra kết quả. Quá trình này giúp rèn luyện khả năng tư duy logic, suy luận và ra quyết định của HS.

Biện pháp 2 đã tác động đến việc phát triển kỹ năng phân tích, so sánh và khái quát hóa trong tư duy toán học của HS. Trong quá trình học tập, HS thường gặp phải nhiều tình huống khác nhau liên quan đến QHSS trong không gian. Một số tình huống có thể tương đồng về cấu trúc, điều kiện hoặc phương pháp giải quyết, trong khi những tình huống khác lại có những đặc điểm riêng biệt. Việc nhận biết được sự tương đồng và khác biệt giữa các tình huống này là rất quan trọng để HS có thể vận dụng kiến thức và kỹ năng một cách hiệu quả. Thông qua việc rèn luyện kỹ năng này, HS sẽ được hướng dẫn cách phân tích, so sánh và đối chiếu các tình huống khác nhau để tìm ra những điểm giống nhau và khác biệt. Họ sẽ học cách nhận diện các yếu tố chung và đặc thù trong các tình huống, từ đó có thể áp dụng kiến thức và kỹ

82

năng đã học vào những trường hợp tương tự hoặc điều chỉnh phương pháp giải quyết để phù hợp với những trường hợp mới.

Biện pháp 3 đã tác động đến việc phát triển kỹ năng trình bày, diễn đạt và lập luận toán học của HS. Trong quá trình học tập, việc nêu và trả lời câu hỏi là một hoạt động quan trọng giúp HS củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ toán học và lập luận logic. Khi được yêu cầu nêu câu hỏi về định nghĩa, định lý hoặc bài toán, HS phải hiểu sâu sắc về nội dung của chúng, từ đó có thể đặt ra những câu hỏi liên quan đến các khái niệm, tính chất, điều kiện hay kết luận của chúng. Việc trả lời các câu hỏi cũng đòi hỏi HS phải sử dụng ngôn ngữ toán học chính xác, diễn đạt rõ ràng và logic để trình bày ý tưởng, quá trình suy luận và kết quả của mình. Họ phải học cách lập luận hợp lý, sử dụng các định lý, tính chất đã học để chứng minh hoặc bác bỏ một nhận định nào đó.

Thông qua quá trình nêu và trả lời câu hỏi, HS không chỉ củng cố kiến thức mà còn rèn luyện các kỹ năng quan trọng như diễn đạt, trình bày, lập luận và suy luận logic trong toán học. Những kỹ năng này rất quan trọng để giúp HS phát triển năng lực tư duy và khả năng lập luận trong toán học.

83