xây dựng bài tập xác suất có liên quan tới thực tiễn theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 11

Lí do chọn đề tài Chương trình giáo dục phổ thông GDPT được ban hành kèm Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo viết tắt là Chương t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ THỊ THÙY TRINH

XÂY DỰNG BÀI TẬP XÁC SUẤT CÓ LIÊN QUAN TỚI THỰC TIỄN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ THỊ THÙY TRINH

XÂY DỰNG BÀI TẬP XÁC SUẤT CÓ LIÊN QUAN TỚI THỰC TIỄN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HÀ XUÂN THÀNH

HÀ NỘI - 2023

i

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân, tôi luôn nhận được sự động viên, khuyến khích và tạo điều kiện giúp đỡ của nhà trường, các thầy cô giáo, gia đình và đồng nghiệp

Đầu tiên, tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hà Xuân Thành - người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi tiến hành các hoạt động nghiên cứu khoa học để hoàn thành luận văn này, đồng thời thầy cũng là người truyền cảm hứng và định hướng cho tôi trong quá trình suốt quá trình học tập và làm việc

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô và các em học sinh Trường liên cấp Song ngữ Greenfield đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã luôn tâm huyết, nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Do buổi đầu được làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, kinh nghiệm còn hạn chế; mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp từ quý thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 03 năm 2023

Học viên

Đỗ Thị Thùy Trinh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Đóng góp của luận văn 4

8 Cấu trúc của luận văn 5

CHƯƠNG 1 6

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1.Một số vấn đề về năng lực chung, năng lực tư duy và lập luận toán học61.1.1 Năng lực, năng lực toán học 6

1.1.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học 7

1.2 Tổng quan nghiên cứu về xây dựng và sử dụng BTTT 11

1.2.1 Ở trong nước 12

1.2.2 Ở nước ngoài 13

1.3 Phương pháp và quy trình xây dựng BTTT 15

1.3.1 Phương pháp và quy trình xây dựng BTTT 15

1.3.2 Một số lưu ý khi xây dựng BTTT 28

1.4 Vai trò của bài tập trong việc phát triển năng lực của HS 29

1.4.1 Vai trò của bài tập trong việc phát triển năng lực của HS 29

iv

1.4.2 Quy trình giải một bài toán 31

1.5 Nội dung xác suất trong chương trình môn Toán lớp 11 34

1.5.1 Vị trí, vai trò của nội dung xác suất trong chương trình môn Toán lớp 11 34

1.5.2 Tiềm năng vận dụng kiến thức xác suất vào thực tiễn 36

1.6 Khảo sát thực trạng dạy và học nội dung xác suất ở lớp 11 37

1.6.1 Mục đích khảo sát 37

1.6.2 Đối tượng khảo sát 37

1.6.3 Nội dung khảo sát 37

2.1 Xây dựng bài tập thực tiễn chủ đề xác suất nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS lớp 11 40

2.1.1 Xây dựng bài toán xác suất liên quan đến lĩnh vực dự báo, trù bị các kết quả sẽ xảy ra liên quan đến đời sống hàng ngày 41

2.1.2 Xây dựng bài toán xác suất liên quan đến lĩnh vực trò chơi - kết quả của trò chơi 47

2.1.3 Xây dựng bài toán xác suất liên quan đến lĩnh vực mật mã - kinh tế 552.1.4 Xây dựng bài toán xác suất liên quan đến lĩnh vực sinh học - y học 592.1.5 Xây dựng bài toán xác suất liên quan đến lĩnh vực nông nghiệp 63

2.1.6 Xây dựng bài toán xác suất liên quan đến lĩnh vực kỹ thuật - thể thao và một số lĩnh vực khác 72

2.2 Định hướng sử dụng bài tập thực tiễn chủ đề xác suất trong việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học 79

2.3 Kết luận chương 2 91

CHƯƠNG 3 92

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 92

v

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 92

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 92

3.3 Đối tượng thực nghiệm 92

3.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 92

3.4.1 Thời gian tổ chức thực nghiệm 92

1

MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài

Chương trình giáo dục phổ thông (GDPT) được ban hành kèm Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo (viết tắt là Chương trình GDPT 2018) có nhiều thay đổi, tập trung phát triển các phẩm chất, năng lực toàn diện cho học sinh (HS) phổ thông: “Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho HS; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn.” [2]

Bên cạnh đó, chương trình môn Toán cũng mang nhiều thay đổi, đáp ứng những nhu cầu tiếp cận tri thức toàn cầu cũng như có nhiều các hoạt động trải nghiệm để HS được tham gia giải quyết các vấn đề thực tiễn trong cuộc sống Toán học đòi hỏi người học hình thành và phát triển 5 năng lực toán học: năng lực tư duy và lập luận; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Một trong những thành tố mà HS cần được rèn luyện là phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học Thông qua việc dạy học HS được phát triển năng lực này, HS được trải nghiệm, kiến tạo kiến thức và vận dụng kiến thức vào cuộc sống hàng ngày, khai thác năng lực sẵn có và tiềm năng của bản thân Cũng trong Chương trình GDPT 2018, Xác suất là một mạch nội dung có nhiều thay đổi so với các chương trình trước đây HS sẽ được học xác suất từ năm lớp 2 đến hết lớp 12; riêng ở cấp THPT, nội dung xác suất chiếm khoảng

2 12% thời gian toàn cấp, các nội dung thường gắn với các vấn đề thực tế như giáo dục, tài chính, kinh tế xã hội,…; điều đó cho thấy tầm quan trọng của mạch kiến thức này trong thực tiễn Các quy luật tri phối sự việc, các phương pháp tính toán, cách thức lập luận và đưa ra minh chứng cho việc dự trù kết quả đều xoay quanh lí thuyết xác suất Đây là một công cụ quan trọng để đánh giá và tổng hợp các kết quả từ đó đưa ra các định hướng Nhà Toán học người Pháp P S Laplace đã từng nhận định: “Môn khoa học này hứa hẹn trở thành một trong những đối tượng quan trọng nhất của tri thức nhân loại” [12] Có rất nhiều vấn đề quan trọng của thực tế liên quan mật thiết tới lí thuyết xác suất

Mặt khác, toán học còn là môn khoa học mang tính trừu tượng, một số kiến thức và bài tập nội dung xác suất trong chương trình Toán THPT lớp 11 hiện nay chưa thực sự giải quyết các vấn đề trong thực tiễn Chính vì thế, nếu xây dựng được bài tập xác suất gắn với thực tiễn, để thông qua việc giải các bài toán này HS được phát triển toàn diện hơn về các năng lực toán học, đặc biệt là năng lực tư duy và lập luận toán học, từ đó áp dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề trong đời sống, điều này sẽ góp phần làm cho chất lượng dạy và học toán trong chương trình THPT ngày càng được nâng cao

Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài “Xây dựng bài tập xác suất

có liên quan tới thực tiễn theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 11”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là xây dựng các bài tập chủ đề xác suất theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS lớp 11 góp phần đa dạng nguồn bài tập thực tiễn nội dung xác suất Đồng thời, thông qua các hoạt động giải bài tập, các hoạt động dạy học được thiết kế dựa theo nguồn bài tập xây dựng giúp HS phát triển được năng lực tư duy và lập luận toán học, từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán THPT

3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu:

Năng lực tư duy và lập luận toán học, bài tập về xác suất có liên quan tới thực tiễn theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS lớp 11

4 Giả thuyết khoa học

Nếu thiết kế và xây dựng được các bài tập xác suất có liên quan tới thực tiễn thì sẽ giúp tích cực hóa hoạt động của HS và thông qua việc giải các bài tập đó giúp HS phát triển được năng lực tư duy và lập luận toán học góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán THPT

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu các vấn đề sau:

Các biểu hiện thể hiện năng lực tư duy và lập luận toán học trong học tập chủ đề xác suất

Xây dựng bài tập xác suất gắn liền với thực tiễn nội dung xác suất lớp 11, định hướng sử dụng bài tập đã xây dựng để thiết kế các hoạt động dạy học và giải bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS

Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra, đánh giá tính khả thi, tính hiệu quả của các bài tập đã xây dựng

4

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các tài liệu lí luận (giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy

học bộ môn Toán) có liên quan đến đề tài luận văn

- Nghiên cứu sách giáo khoa (SGK), sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu

trong nước, nước ngoài có liên quan đến giải các vấn đề xác suất trong thực tế

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Tham gia dự giờ hoặc thông qua các hình thức như quan sát, điều tra, trao đổi với giáo viên (GV), khảo sát kết quả học tập của HS, GV để đánh giá thực trạng tổ chức dạy và học phần nội dung xác suất tại một số trường học tại Hà Nội

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm đối tượng là HS lớp 11 và GV bộ môn Toán một số trường THPT để kiểm tra hiệu quả của các bài tập được thiết kế vào dạy học chủ đề xác suất

7 Đóng góp của luận văn

- Hệ thống hóa được các vấn đề, khái niệm về năng lực chung, năng lực tư duy và lập luận toán học cũng như việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS Đưa ra phương pháp xây dựng bài tập thực tiễn (BTTT)

- Xây dựng được một số BTTT trong chương trình toán lớp 11 nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS

- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung xác suất, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình THPT

- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV, sinh viên sư phạm Toán trong dạy học nội dung xác suất

5

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 : Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2 : Xây dựng bài tập thực tiễn về xác suất theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS lớp 11

Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm

6

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về năng lực chung, năng lực tư duy và lập luận toán học

1.1.1 Năng lực, năng lực toán học

Năng lực được coi là sự huy động kiến thức, kĩ năng, niềm tin… để HS thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể Theo đó, dạy học phát triển phẩm chất, năng lực đặt ra yêu cầu cốt lõi là tập trung vào những gì HS cần có (kiến thức, kĩ năng, niềm tin …) để từ đó họ có thể “làm” được những việc cụ thể, hữu ích hơn là tập trung vào những gì mà HS biết hoặc không biết Vì vậy, các nội dung dạy học cần được chắt lọc Trong đó, các nội dung kiến thức hàn lâm sẽ gây ra những thách thức không cần thiết trong học tập của HS (giảm động cơ học tập, hứng thú, niềm tin, sự đáp ứng nhu cầu xã hội về nguồn nhân lực …); đồng thời không tạo điều kiện giúp HS tiếp cận, giải thích, giải quyết các đòi hỏi trong đời sống thực tế Ngược lại, việc chọn lọc, sử dụng các kiến thức cơ bản, trọng tâm sẽ giúp HS có cơ hội và thời gian tập trung phát triển những nền tảng vững chắc cho các năng lực cốt lõi

Theo chương trình GDPT 2018, năng lực là thuộc tính được hình thành, phát triển nhờ tố chất có sẵn và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin ý chí, … thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể [2] Như vậy, có thể hiểu năng lực là một đặc tính có thể đo lường được của một cá nhân về kiến thức, kỹ năng, thái độ, … cũng như các phẩm chất cần thiết để cá nhân đó hoàn thành được nhiệm vụ

7 Đặc biệt với môn Toán, HS cũng cần đạt được những mục tiêu để hình thành và phát triển năng lực toán học Theo PISA: “Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng Nó giúp cho con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán đoán và quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm” [4] Từ đó cho thấy, môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho HS năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Cùng với đó, việc giúp HS tiếp cận các nội dung kiến thức thiết thực, hiện đại cùng với phương pháp tư duy và học tập tích cực chính là nhằm tạo cơ hội giúp họ rèn luyện kĩ năng, từng bước hình thành, phát triển năng lực, tư duy và lập luận toán học, từ đó giải quyết các tình huống và vấn đề thực tiễn; có cơ hội hoà nhập, hội nhập quốc tế để cùng tồn tại và phát triển Đây cũng chính là ý nghĩa quan trọng bởi kiến thức mà HS sở hữu sẽ được vận dụng thích ứng với bối cảnh hiện đại và không ngừng đổi mới

1.1.2 Năng lực tư duy và lập luận toán học

Trong thực tiễn cuộc sống, có rất nhiều sự vật, hiện tượng, các vấn đề mà con người chưa biết, chưa hiểu Do vậy, để làm chủ được thực tiễn cuộc sống con người phải giải quyết các vấn đề chưa biết đó, vạch ra bản chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng, quá trình đó được gọi là tư duy

Theo lí thuyết về mặt sinh học, tư duy được biết đến là một hình thức hoạt động của hệ thần kinh thể hiện qua việc tạo ra những liên kết giữa các

8 phần tử đã ghi nhớ, chọn lọc và kích thích chúng hoạt động để thực hiện sự nhận thức về thế giới xung quanh, từ đó định hướng cho hành vi tích cực, phù hợp với môi trường sống

Dưới góc độ tâm lí học thì tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ và liên hệ bên trong, có tính quy luật của sự vật, sự việc và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết

Theo đó, tư duy không chỉ giải quyết những nhiệm vụ trước mắt mà còn giải quyết cả các vấn đề trong tương lai Tư duy tiếp nhận, cải tạo và sắp xếp thông tin, làm cho những thông tin này có ý nghĩa hơn trong các hoạt động của con người Trong đó, hoạt động của vỏ đại não chính là cơ sở sinh lí của tư duy, hoạt động tư duy đồng nghĩa với hoạt động của trí tuệ Đích đến của tư duy chính là tìm ra những lí luận, triết lí, phương pháp luận và giải pháp trong các tình huống hoạt động của con người

Theo Từ điển Tiếng Việt, “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng” [10] Nguyễn Thanh Hưng cho rằng: “Tư duy là giai đoạn cao của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra quy luật của sự vật bằng các hình thức như biểu tượng, phán đoán, suy lí, Đối tượng của tư duy là những hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu Các thao tác tư duy chủ yếu gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, ” [6]

Như vậy có thể hiểu, tư duy là một quá trình tâm lí đưa đến những thuộc tính, bản chất của sự việc, cùng các mối liên hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong thế giới khách quan mà con người chưa biết đến Tư duy là quá trình con người hình thành nên tri thức, nhận biết vấn đề và đưa ra cách giải quyết các vấn đề đó

9 Quá trình tư duy của mỗi cá nhân gồm nhiều giai đoạn, từ khi cá nhân gặp hiện tượng, sự vật, hay tình huống có vấn đề và nhận biết được vấn đề, đến giải quyết được vấn đề Nhà tâm lí học K K Platonov đã tóm tắt các giai đoạn của tư duy bằng sơ đồ sau [8]:

Sơ đồ 1.1: Các giai đoạn của tư duy

Sơ đồ trên thể hiện sự logic của quá trình tư duy, số lượng các giai đoạn có thể không cần đầy đủ trong một số trường hợp nhất định, nhưng thứ tự các giai đoạn cần phải tuân thủ theo sơ đồ trên Qua quá trình này có thể thấy, tư duy có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cùng hoạt động nhận thức của con người Từ tư duy, con người nhận thức được quy luật khách quan hay đưa ra được xu hướng phát triển của sự vật, hiện tượng từ đó xây dựng các biện pháp cải tạo thế giới khách quan Chính vì thế, đích đến của tư duy không chỉ là giải quyết các vấn đề thực tiễn cuộc sống mà còn đóng góp kết quả hoạt động của tư duy vào kho tàng văn hóa xã hội của loài người

10 Mặt khác, không phải ở hoàn cảnh nào tư duy cũng xuất hiện, tư duy chỉ nảy sinh khi cá nhân gặp tình huống “có vấn đề”, và cá nhân đó nhận biết được và trở thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân đó Người đó xác định được cái gì đã biết, cái gì chưa biết và gắn liền với đó là nhu cầu tìm kiếm, giải quyết nó, thì khi đó tư duy mới xuất hiện Đây là đặc điểm cơ bản quan trọng được gọi là “tính có vấn đề” của tư duy

Bên cạnh đó, các cá nhân muốn thể hiện được năng lực tư duy của mình họ cần phải thông qua các thao tác lập luận để trình bày được cách thức giải quyết vấn đề Lập luận được hiểu là một ý kiến được củng cố và chứng minh bằng lí lẽ hoặc bằng chứng Như vậy có thể xem lập luận là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy toán học và là một thành phần của năng lực toán học, tập trung vào khả năng của HS thực hiện hoạt động suy luận và chứng minh (hoặc bác bỏ) - từ đó lựa chọn được đúng đắn đối tượng, cách thức và kết quả quy luật toán học khi học toán

Theo chương trình GDPT 2018 môn Toán, một trong những biểu hiện quan trọng của năng lực tư duy và lập luận toán học là “thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát” [2] Vậy nên, khi học nội dung xác suất, năng lực tư duy và lập luận toán học được thể hiện rõ nhất nếu từ các bài toán xác suất quen thuộc, HS có thể tự tìm lời giải cho các bài toán tương tự, tìm ra được sự khác nhau giữa các bài toán và cao hơn là có thể phát biểu các bài toán mới Nói cách khác, năng lực tư duy và lập luận toán học là khả năng thực hiện được các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch của HS, cụ thể:

11 - Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận - Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề

- Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học

Cụ thể hơn, năng lực tư duy và lập luận toán học ở nội dung xác suất còn được biểu hiện qua các thao tác như:

- Quan sát biểu đồ hoặc bảng số liệu, hoặc mô hình toán học chỉ ra được số phần tử không gian mẫu, số phần tử của biến cố cần tính toán

- Sử dụng các phương pháp lập luận để chỉ ra được các trường hợp xảy ra của biến cố Giải thích và điều chỉnh đưa ra được cách giải quyết vấn đề tối ưu hơn, đặc biệt là một số bài toán có thể sử dụng biến cố đối để giải quyết vấn đề dễ dàng hơn

- Phát hiện được sự tương đồng/ tương tự qua các bài toán, lí giải được sự phù hợp về thuật toán/ mô hình toán học đưa ra

- Lập luận, so sánh với dữ kiện đề bài trong một số trường hợp để đưa ra được kết luận của bài toán

1.2 Tổng quan nghiên cứu về xây dựng và sử dụng BTTT

Chương trình GDPT 2018 đã yêu cầu rất rõ về việc dạy học toán gắn với thực tiễn (ở cả ba cấp Tiểu học, Trung học cơ sở, THPT), theo định hướng giáo

12 dục nghề nghiệp (cấp Trung học cơ sở và THPT): “Tăng cường kiến thức về toán học, kĩ năng vận dụng kiến thức toán vào thực tiễn, đáp ứng sở thích, nhu cầu và định hướng nghề nghiệp của HS” [2] Việc tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn, giáo dục toán học tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, và giúp HS hiểu được vai trò và những ứng dụng của toán học trong thực tiễn, những ngành nghề có liên quan đến toán học để HS có cơ sở định hướng nghề nghiệp

Hiện nay, khi tìm kiếm trên mạng internet với hai từ khóa “thực tiễn”, “môn Toán” có thể tìm thấy rất nhiều tài liệu (khoảng 426.000 kết quả), một số nghiên cứu có thể kể đến:

1.2.1 Ở trong nước

Những tài liệu và nghiên cứu về vấn đề dạy học toán gắn với thực tiễn đã được nghiên cứu và trở thành xu hướng trong thời gian gần đây Việc nghiên cứu về dạy học môn Toán gắn với thực tiễn, tăng cường kết nối với thực tiễn,… cũng được triển khai với nhiều kết quả ý nghĩa Chẳng hạn như nghiên cứu của Đặng Thị Thu Huệ [5], Hà Xuân Thành [11], bước đầu có những khuyến nghị biện pháp và ví dụ về việc khai thác các yếu tố thực tiễn trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông Các nghiên cứu, sách đã xuất bản cũng có những nội dung trình bày liên quan đến việc dạy học các nội dung khác nhau của môn Toán, trong đó có dạy học xác suất theo hướng gắn với thực tiễn, dạy học toán theo hướng gắn với nghề nghiệp

Hay vào những năm cuối của thập kỷ 90 của thế kỷ trước đã xuất hiện hướng nghiên cứu về bài tập toán (vai trò, ý nghĩa, cách thức thiết kế, sử dụng, ), như các tác giả Lê Thị Xuân Liên, Trần Đình Châu, Trần Luận,

13 Lê Thị Xuân Liên [9] đã đưa ra một số định hướng, một số yêu cầu có tính nguyên tắc, quy trình xây dựng hệ thống câu hỏi để từ đó xây dựng được một hệ thống các biện pháp sư phạm nhằm thiết lập hệ thống câu hỏi trong dạy học toán theo định hướng đổi mới, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trung học cơ sở Tác giả này cũng đã đề xuất hệ thống câu hỏi trong các tình huống dạy học điển hình Tuy vậy, các nghiên cứu về xây dựng BTTT cho nội dung xác suất còn ít và khá hạn chế

1.2.2 Ở nước ngoài

Các nghiên cứu về dạy học môn toán gắn với thực tiễn đã được nghiên cứu từ sớm, đi đầu tiên phong trong đó là nghiên cứu về giáo dục toán thực (RME) của H.Freudenthal (1960) Theo quan điểm của ông, theo ông, toán học không nên được học như một hệ thống khép kín mà nên là một hoạt động toán học hoá thực tiễn và nếu có thể là của toán học hóa toán học [15]

Hay có thể kể đến nghiên cứu của HS Hayley Barnes và Elsie Venter đã đưa ra quan điểm dạy toán trong bối cảnh và bắt đầu từ bối cảnh (“Teaching in and from context”) [16] Nghiên cứu của Hayley Barnes and Elsie Venter gợi nhớ tới quan niệm của Nguyễn Bá Kim ở Việt Nam mà hầu hết các công trình của ông đều hướng tới, làm rõ đó là quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán: học bằng hoạt động và trong hoạt động [18]

Bên cạnh đó, nghiên cứu của Bonoto đã chỉ ra rằng việc giải quyết vấn đề theo ngữ cảnh diễn ra trong các BTTT là xu hướng mang lại hiệu quả cao trong dạy và học toán, các BTTT khiến HS tích cực tìm hiểu, phát triển các ý tưởng và khái niệm toán học [14]

Việc thiết kế các BTTT và sử dụng chúng trong dạy học ở các nước trên thế giới cũng rất được quan tâm Chỉ cần xem xét và thống kê các bài toán này trong SGK toán ở các nước, trước hết là các nước phát triển sẽ thấy ngay xu

14 thế đó [22], [23], [13]

- Trong Chương trình GDPT của Úc (2008) [19] và New Zealand (2007) [21], khi đưa ra các ví dụ minh họa cho các mức độ đạt chuẩn đều có các BTTT gắn liền với các nội dung quy định trong chương trình môn Toán

- Ở Singapore, để khẳng định và nâng cao vai trò của giáo viên (GV), năm 2004 Thủ tướng Singapore đã đề ra phương châm giáo dục là “dạy ít, học nhiều” Với phương châm đó, mỗi GV đều được yêu cầu phát huy hết khả năng của mình để thiết kế các bài giảng một cách hiệu quả và điều rất đáng chú ý là GV đã đề xuất rất nhiều sáng kiến mà hầu hết trong đó đều được phát triển theo cách lấy “thế giới thực” làm trung tâm [20]…

Hiện nay, khoảng 75% các trường học của Hà Lan sử dụng sách giáo khoa dựa trên triết lí RME Chiến lược đánh giá hiệu quả của RME được phân tích và tiếp tục phát triển trong luận án tiến sĩ của Van den Heuvel [24] Ý tưởng này cũng được sử dụng trong chương trình sách giáo khoa phổ thông ở nhiều trường học của Hoa Kì với tên gọi “Toán học trong ngữ cảnh” - một trong những chuỗi sách giáo khoa liên hệ toán học với thực tiễn

Như vậy có thể thấy rằng, giáo dục toán học gắn với thực tiễn đã và đang là xu thế chung trong chương trình GDPT trên thế giới Đặc biệt là các nghiên cứu về RME, RME chỉ ra việc “dạy toán trong bối cảnh” là một sự thay đổi phương pháp là cần thiết, để thách thức người học, làm cho HS trở nên độc lập hơn, suy nghĩ nhiều hơn và từ đó giải quyết vấn đề tốt hơn “như là các nhà toán học” Lí thuyết RME khuyến khích một cách tiếp cận mới, rằng hãy trao quyền với “mỗi cá nhân HS” trong lớp học toán “như một nhà toán học” với năng lực toán học hoá chuyển bối cảnh thành những vấn đề (trong thực tiễn) có thể được giải quyết

Lí thuyết RME cho rằng việc dạy học Toán có mục tiêu và mục đích là trao cho người học:

15 - Phát triển nhận thức về các thực tiễn lịch sử, văn hóa và xã hội đa dạng của toán học;

- Nhận ra rằng toán học là một phần sáng tạo trong hoạt động của con người;

- Phát triển những hiểu biết sâu sắc để có ý nghĩa của toán học; - Có được kiến thức và kĩ năng cụ thể, cần thiết cho việc ứng dụng toán học vào tư duy và giải quyết các vấn đề của cuộc sống, là tác động không nhỏ trong việc hướng người học đến nghiên cứu sâu hơn về toán học

Những mục tiêu này củng cố và thống nhất với khái niệm năng lực toán học mà tác giả đã trình bày trong mục trên

1.3 Phương pháp và quy trình xây dựng BTTT

1.3.1 Phương pháp và quy trình xây dựng BTTT

Bài tập toán (gọi tắt là bài toán) được hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phương pháp cần khám phá mà theo phương pháp này sẽ đạt được những kết quả đã biết” [19]

Một cách hiểu khác, bài toán bao gồm những câu hỏi hoặc yêu cầu giải quyết một vấn đề/ một câu hỏi nào đó, và để tìm được câu trả lời, cá nhân cần đưa ra được mối liên hệ giữa những dữ kiện, điều kiện cho trước và vấn đề cần giải quyết, từ đó tư duy và phân tích để tìm ra thuật toán

G Polya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trong thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [19]

Việc trả lời cho câu hỏi, giải quyết vấn đề của bài toán chính là nhu cầu hay có thể gọi là sự cần thiết phải tìm kiếm phương tiện thích hợp để đạt được

16 mục đích trông thấy rõ ràng nhưng nếu không đưa ra được thuật toán thì không thể kết luận được nó Như vậy bài toán được xuất phát từ nhu cầu hay yêu cầu

được đặt ra còn gọi là vấn đề cần giải quyết Ở đây, sở dĩ cần nhấn mạnh từ cần giải quyết là bởi vì không phải nhu cầu nào cũng nảy sinh ra một bài toán, chỉ

có những vấn đề cần được tìm ra bằng phương tiện, cách thức trong tư duy thì mới trở thành một bài toán; còn những vấn đề nhìn được ngay ra mục đích mà không cần một sự tư duy nào thì đó không được gọi là một bài toán Ranh giới để một nhu cầu trở thành bài toán hay không phải bài toán thật sự là không rõ ràng Có thể vấn đề này là bài toán với người này nhưng lại không là bài toán đối với người khác Điều này phụ thuộc vào năng lực, trí tuệ, trình độ, cũng như sự trải nghiệm của mỗi người Mặt khác, trong phạm vi dạy học toán ở trường phổ thông, mỗi bài toán được đưa vào để HS giải quyết và thường gọi là một bài tập đối với các em Như vậy có thể xem xét về mặt dạy học thì bài toán đối với HS được cho dưới dạng một bài tập toán Do đó, trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sử dụng khái niệm bài tập thay cho bài toán Và như vậy, nếu vấn đề cần giải quyết được xuất phát từ trong cuộc sống thực tiễn thì đây sẽ được coi như một BTTT Trên cơ sở này, có thể chia BTTT thành 2 dạng:

Dạng 1: Bài toán có liên quan thực tiễn là bài toán được xây dựng trong

đó giả thiết và kết luận của bài toán đều chứa các nội dung gắn liền với cuộc sống người, gắn với bối cảnh thực trong cuộc sống

Dạng 2: Bài toán giả thực tiễn là bài toán được xây dựng dựa trên cơ sở

giả định về một số vấn đề xảy ra trong thực tiễn cuộc sống; trong đó, giả thiết và kết luận của bài toán mang nội dung giả định

Như vậy, có thể nói BTTT là vấn đề cần giải quyết xuất phát từ chính các hiện tượng sự vật trong đời sống con người, ở đó nội dung của dữ kiện (giả thiết) hay kết luận đều có liên quan đến thực tiễn Bên cạnh các sự vật, hiện

17 tượng trong đời sống, các tình huống thực tiễn còn nảy sinh trong các ngành khoa học khác mà HS cũng được học như hóa học, vật lí, sinh học, y học… Vì vậy, khi xây dựng một BTTT cần đảm bảo một số nguyên tắc sau:

Nguyên tắc 1: Khi xây dựng các BTTT cần phải đảm bảo sự tôn trọng,

kế thừa và phát triển chương trình SGK hiện hành

Nguyên tắc 2: BTTT cần sát với đời sống, gần gũi với các tình huống

trong quá trình sinh hoạt, lao động của con người và mang nội dung phong phú

Nguyên tắc 3: BTTT phải đảm bảo nội dung có tính chính xác và khoa

học

Nguyên tắc 4: BTTT phải đảm bảo nội dung mang tính sư phạm

Nguyên tắc 5: BTTT phải đảm bảo mục đích, tính khả thi và hiệu quả

khi xây dựng

BTTT phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học có cấu trúc gồm: chỉ ra “cái đã biết”, lập luận để đưa ra “điều cần tìm” Trong đó, cái đã biết chứa thông tin từ thực tế đời sống, gần gũi với kinh nghiệm sống của HS và tồn tại mâu thuẫn nhận thức Điều cần tìm là nhiệm vụ, đòi hỏi HS vận dụng kiến thức, kĩ năng nội dung xác suất để phát hiện vấn đề, lập luận, sử dụng kiến thức toán học để kết luận bài toán BTTT cần được đánh giá theo các tiêu chí trước khi đưa vào sử dụng Kết quả quá trình đánh giá BTTT cung cấp cho GV thông tin phản hổi để kịp thời điều chỉnh, nâng cao chất lượng bài tập BTTT phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học được các đối tượng đánh giá ở nhiều thời điểm Quá trình đánh giá BTTT được sơ đồ hóa như sau:

19

Tiêu chí

1 Tính khoa học sư phạm

Chính xác: Nội dung bài học chính xác, sử dụng đúng thuật ngữ Toán học

Rất chính xác - Nội dung bài học, nội dung bài tập chính xác, lựa chọn tốt các động từ cho phần yêu cầu;

- Các thuật ngữ, kí hiệu toán học dùng đúng chỗ

Chính xác - Nội dung bài học, nội dung bài tập chính xác, các động từ trong phần yêu cầu phù hợp;

- Có sử dụng thuật ngữ, kí hiệu toán học

Không chính xác:

- Phân tích sai nội dung bài học;

- Sử dụng ngôn ngữ nói hoặc dùng sai các thuật ngữ, kí hiệu toán học trong bài tập

Cơ bản: Nội dung bài tập thể hiện tiêu chí của năng lực tư duy và lập luận toán học

Rất cơ bản: Nội dung bài tập bám sát tiêu chí của năng lực tư duy và lập luận toán học: Thực hiện được các thao tác tư duy như: so sánh, phân

Cơ bản: Nội dung bài tập thể hiện một vài tiêu chí của năng lực tư duy và lập luận toán học nhưng chưa đầy đủ

Không cơ bản: Nội dung bài tập không thể hiện tiêu chí của năng lực tư duy và lập luận toán học

20 tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy nạp, diễn dịch…

Sư phạm: Thể hiện qua khả năng nhận thức bài tập và đưa ra các phương án giải quyết vấn đề theo mục đích dạy học

Rất hiệu quả: Dễ hiểu - khó trả lời Lập luận và đưa ra được nhiều các phương án giải quyết

Hiệu quả: Dễ hiểu - dễ trả lời

Không hiệu quả:

Khó hiểu - khó trả lời

2 Tính thực tiễn

Phạm vi áp dụng Phạm vi rộng:

Áp dụng được trong dạy học chương xác suất và thực tiễn đời sống

Phạm vi trung bình:

Áp dụng được đa số các bài trong dạy học chương xác suất

Phạm vi hẹp: Áp dụng được một số bài trong dạy học chương xác suất

3 Tính thiết thực

Mang lại hiệu quả, đạt được mục tiêu dạy học, mục tiêu áp

Hiệu quả cao:

- Dạy bài mới;

Hiệu quả trung bình: - Dạy bài mới;

Không hiệu quả:

21 dụng vào đời

sống thực tiễn

- Củng cố, khắc sâu kiến thức lí thuyết; - Áp dụng được kiến thức vào thực tiễn đời sống

- Củng cố, khắc sâu kiến thức lí thuyết;

- Không củng cố được kiến thức lí thuyết

Bảng 1.1 Tiêu chí đánh giá BTTT phát triển năng lực tư duy và lập luận

toán học

Dựa vào các nguyên tắc và tiêu chí đánh giá BTTT phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, luận văn đưa ra phương pháp xây dựng BTTT như sau:

Phương pháp 1: Xây dựng bài toán dựa trên các BTTT đã có sẵn

Trong những năm gần đây, ở các đề thi đánh giá HS đã xuất hiện nhiều bài toán có nội dung thực tiễn Hệ thống BTTT cũng khá nhiều từ các nguồn tài nguyên khác nhau như sách tham khảo, internet Tuy nhiên, có thể các BTTT này vẫn chưa thật sự gần gũi đối với đối tượng HS mà GV đang trực tiếp giảng dạy Chính vì vậy, cần thay đổi một số yếu tố trong các BTTT để phù hợp với HS, loại bỏ dần các yếu tố giả định nhằm kích thích tư duy, đồng thời tạo sự yêu thích môn toán và thể hiện được sự gắn kết giữa môn toán với đời sống thực tiễn

Từ việc phân tích cơ sở lí luận và thực tiễn của BTTT, của việc thiết kế BTTT ở trường phổ thông của GV, có thể đề xuất quy trình thiết kế gồm các bước sau:

22

Bước 1: Xác định yêu cầu cần đạt của chủ đề hoặc bài học

Với mỗi chủ đề, GV xem xét yêu cầu cần đạt của chủ đề, bài học đó để làm căn cứ lựa chọn thiết kế và thay đổi một số yếu tố thực tiễn cho phù hợp Việc xác định đúng mục tiêu của chủ đề, bài học là bước đầu tiên của quá trình thiết kế, có tác dụng định hướng quá trình thiết kế BTTT của GV Chính vì vậy, GV cần xác định đúng kiến thức, kĩ năng cần đạt của HS sau khi học bài này

BTTT mới dựa trên BTTT sẵn có còn giúp HS tiếp thu, sử dụng tính tương tự trong toán học để giải quyết các vấn đề giống nhau trên các tình huống thực tiễn khác nhau

Bước 2: Tìm kiếm, xử lí thông tin có liên quan đến thực tiễn Tìm hiểu

các BTTT đáp ứng yêu cầu cần đạt của chủ đề, bài dạy từ các nguồn tài nguyên như SGK, sách tham khảo, sách bài tập, các đề kiểm tra, trên các trang mạng

Việc lựa chọn các BTTT có nội dung phù hợp với mục tiêu bài dạy là rất quan trọng, đòi hỏi GV phải nghiên cứu chọn lọc một cách tinh tế Những chi tiết, số liệu, yếu tố trong BTTT được chọn có thể thay đổi để HS vận dụng hay không? Sau khi thay đổi một số yếu tố đó thì nội dung còn phù hợp với mục tiêu bài dạy hay không? Khi tìm hiểu các bài toán đáp ứng mục tiêu bài dạy, GV cũng cần quan tâm đến bối cảnh thực trong BTTT có phù hợp với nhận thức, đặc điểm tâm sinh lí, cũng như vốn văn hóa vùng miền của HS Mặt khác, để có hiệu quả tốt, đòi hỏi phải tạo được sự quan tâm, hứng thú của người học và cốt lõi là giáo dục được giá trị sống cho HS thông qua học toán

Bước 3: Thay đổi một số yếu tố trong BTTT ở bước 2 cho phù hợp với

đối tượng HS, phù hợp với địa phương, Tiến hành xử lí sư phạm để làm đơn giản các tình huống thực tiễn, thiết kế câu hỏi, xây dựng bảng kiểm để đánh giá năng lực tư duy và lập luận toán học

23 Từ các BTTT đã được chọn phù hợp với mục tiêu bài dạy, GV thay đổi một số yếu tố như tình huống thực tế, số liệu và những điều kiện cho phù hợp bối cảnh để có một BTTT mới GV cũng cần xem xét sự thay đổi đó có phù hợp với khả năng của HS hay không Tùy theo khả năng nhận thức của các em mà điều chỉnh theo từng mức độ, nhằm giúp các em có thể vận dụng tình huống tương tự để giải quyết bài toán trong tình huống cụ thể

Bước 4: Phát biểu lại BTTT mới

BTTT mới được xây dựng trên tình huống thực tiễn sẵn có đòi hỏi mang tính khoa học: từ nội dung, ý tứ sắp xếp, câu chữ rõ ràng và số liệu cụ thể Bài toán mới được phát biểu rõ ràng tránh sự hiểu nhầm của HS

Bước 5: Thử nghiệm, đánh giá, điều chỉnh và đưa vào sử dụng, liên hệ

thực tế

Việc xây dựng bài toán mới không được chủ quan với các số liệu mà cần được kiểm tra một cách cẩn thận và điều chỉnh lại nếu cần thiết Bài toán cần được thử nghiệm trên HS và sự góp ý kiến của đồng nghiệp Sự chính xác trong toán học là điều cần thiết, điều đó giúp rèn luyện ý thức cẩn thận, tỉ mỉ của HS Chính vì vậy, GV cần xem xét chu đáo trước khi cho HS vận dụng

Ví dụ 1.1: Một ngân hàng câu hỏi thi có 20 loại câu hỏi khác nhau, mỗi loại có

01 câu hỏi Mỗi đề thi sẽ được tạo thành từ 4 câu hỏi được rút ngẫu nhiên ngân hàng câu hỏi thi trên Thí sinh A biết cách giải 10 loại câu hỏi trong ngân hàng câu hỏi thi Tính xác suất để thí sinh A rút được đề thi có đúng 2 loại câu hỏi đã biết cách giải

Bước 1: Xác định yêu cầu cần đạt của chủ đề hoặc bài học

Tính xác suất đề thí sinh rút được đề thi có đúng 2 câu đã biết cách giải

Bước 2: Tìm hiểu các BTTT đáp ứng yêu cầu cần đạt của chủ đề

24 Bài toán có liên hệ đến khả năng may rủi của mỗi lần rút đề thi (có liên quan tới bài toán chọn bóng)

Bài toán có liên quan tới nội dung kiến thức về tổ hợp

Bước 3: Tiến hành xử lí sư phạm để làm đơn giản các tình huống thực

tiễn

Khi HS rút được đúng 2 câu hỏi trong tổng số 4 câu hỏi, tức là đạt 50% số điểm, có thể liên hệ đến việc đạt điểm trung bình của môn học

Bước 4: Phát biểu lại BTTT mới

Ví dụ 1.2: Để đạt điểm trung bình của môn Sinh học trong kì thi cuối kì, An

phải trả lời được ít nhất 2 câu trong 4 câu hỏi của đề thi Biết rằng đề thi được lấy trong đề cương môn học có 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm 4 câu hỏi được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên Giả sử An thuộc 10 câu trong đề cương Tính xác suất để An đạt điểm trung bình môn Sinh học

Bước 5: Thử nghiệm, đánh giá, điều chỉnh và đưa vào sử dụng, liên hệ

thực tế

Phương pháp 2: Xây dựng bài toán xuất phát từ một mô hình toán học

Theo chương trình GDPT 2018, mô hình toán học bao gồm các công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tiễn sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận (dẫn theo Nguyễn Danh Nam, 2020) Mô hình hóa toán học nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tiễn, tìm kiếm kiến thức toán học, mô hình toán học để giải quyết, sau đó trở lại xem xét tính hữu ích của mô hình toán học đã sử dụng để mô tả và phân tích tình huống thực tiễn

25 Đối với biện pháp 2: Thiết kế BTTT từ một mô hình toán học, đòi hỏi GV phải có sự đầu tư cao hơn biện pháp 1, hiểu được mối liên hệ tác động qua lại giữa bối cảnh có vấn đề toán học trong thực tiễn và các bài toán thuần túy Ngoài ra, GV còn phải tìm hiểu các chuyên môn khác, cũng như những kiến thức thực tế của cuộc sống Có như vậy thì nội dung BTTT được mô hình hóa sẽ mang tính khoa học cao và những nội dung cần truyền tải cho HS nhận thức mới thật sự có ý nghĩa Có thể đưa ra quy trình mô hình hóa toán học đối với bài toán xác suất như sau:

Bước 1: Phân tích, thu thập số liệu từ tình huống thực tiễn và nảy sinh câu hỏi thực tế - xác định vấn đề có liên quan tới công cụ toán học - xác suất

Bước 2: Chuyển đổi ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ toán học - xác suất: Xác định các tham biến, biến cố và các ràng buộc giữa chúng Đưa bài toán về ngôn ngữ toán học

Bước 3: Dùng công cụ toán học - xác suất thống kê để giải quyết bài toán đã phát biểu

Bước 4: Tổng hợp và phân tích kiểm tra các kết quả thu được ở bước 3 để xác định tính khả thi của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tiễn Nếu có những chi tiết cần điều chỉnh thì trở lại bước 1 Từ đó đưa ra câu trả lời và cách thức giải quyết vấn đề bài toán

Trên cơ sở quy trình mô hình hóa toán học nêu trên, có thể đề xuất quy trình thiết kế BTTT nội dung xác suất như sau:

Bước 1: Xác định mục tiêu cần đạt của chủ đề hoặc bài học

Ứng với mỗi chủ đề, GV xem xét yêu cầu cần đạt của chủ đề đó Trong các mục tiêu cần đạt, đưa ra yêu cầu cần đạt liên quan đến thực tiễn

Bước 2: Chọn mô hình toán học, bài toán thuần túy có thể gắn nội dung

thực tiễn

26 Dựa trên mục tiêu, yêu cầu cần đạt của bài dạy, GV chọn lọc các mô hình toán học hay những bài toán thuần túy có thể gắn tình huống thực tiễn Nội dung thực tiễn được chọn tất nhiên là phải phù hợp, tức là bên cạnh làm sáng tỏ yêu cầu cần đạt đã được đặt ra ở mục tiêu còn phải phù hợp với lứa tuổi, vùng miền

Bước 3: Chọn bối cảnh, tình huống thực tế phù hợp với mô hình, bài toán

đã chọn

Từ các bài toán thuần túy đã được chọn phù hợp với mục tiêu bài dạy, GV thay đổi số liệu cho phù hợp với tình huống thực tế Chọn bối cảnh thực phù hợp với số liệu có trong bài toán thuần túy và còn cần phải có ý nghĩa

Bước 4: Phát biểu lại BTTT

BTTT được xây dựng trên nền tảng sẵn có của bài toán thuần túy đòi hỏi mang tính khoa học: từ nội dung, ý tứ sắp xếp, câu chữ rõ ràng và số liệu cụ thể Bài toán mới được phát biểu rõ ràng tránh sự hiểu nhầm của HS

Bước 5: Thử nghiệm, kiểm tra đánh giá tính khả thi, điều chỉnh và thực

hiện

Cần kiểm tra BTTT một cách toàn diện, số liệu có phù hợp với bối cảnh thực hay không Kiểm tra thử nghiệm và điều chỉnh lại (nếu cần) để phù hợp khi cho HS tiếp cận bài toán GV cần hướng dẫn HS vận dụng các bài toán trong bối cảnh thực vừa được xây dựng, cần theo dõi tính khoa học của bài toán Nhận xét các em có khả năng làm được hay không và làm được bao nhiêu phần trăm, để từ đó có hướng điều chỉnh cho phù hợp hơn

27

Ví dụ minh họa:

Xuất phát từ công thức nhân xác suất của các biến cố độc lập:

Bước 1: Xác định mục tiêu cần đạt của chủ đề hoặc bài học

- Áp dụng được công thức nhân xác suất của hai biến cố độc lập

Bước 2: Chọn mô hình toán học, bài toán thuần túy có thể gắn nội dung

thực tiễn

- Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì P A( B)P AB( )P A P B( ) ( )

Bước 3: Chọn bối cảnh, tình huống thực tế phù hợp với mô hình, bài toán

đã chọn

- Gắn với bối cảnh khả năng máy móc của công xưởng hoạt động tốt/ không tốt Đưa các tình huống qua các biến cố

Bước 4: Phát biểu lại BTTT

Ví dụ 1.3: Một chiếc máy trong công xưởng có 2 động cơ hoạt động, chiếc máy

hoạt động bình thường nếu ít nhất 1 trong 2 động cơ hoạt động tốt, biết rằng hai động cơ có xác suất hoạt động tốt lần lượt là 0,9; 0,8 Tính xác suất để máy trong công xưởng hoạt động bình thường

Bước 5: Thử nghiệm, kiểm tra đánh giá tính khả thi, điều chỉnh và thực hiện

- Bài toán áp dụng mô hình sử dụng quy tắc nhân xác suất để giải quyết vấn đề

- Có thể sáng tạo BTTT mới bằng cách thay đổi nội dung vấn đề từ xác suất động cơ sang xác suất bắn trúng hồng tâm của hai xạ thủ

Ví dụ 1.4: Đội thi bắn cung của trường Greenfield dự thi giải thể thao cấp thành

phố môn bắn cung Biết rằng mỗi đội có 3 thí sinh, để được vào vòng chung

28 cuộc đội đó cần có ít nhất 1 bạn bắn trúng, biết rằng xác suất mỗi bạn bắn trúng

là 0,8; 0,75; 0,7 Tính xác suất để đội thi của trường được vào vòng trong

1.3.2 Một số lưu ý khi xây dựng BTTT

Hiện nay, có rất nhiều nghiên cứu đã chỉ ra hiệu quả của việc triển khai lí thuyết RME trong dạy học Với khuyến nghị rằng, cần tăng cường, khai thác các yếu tố thực của các bối cảnh để đưa vào quá trình dạy học trong nhà trường, đồng thời giảm bớt các nhiệm vụ “xác thực” để thế giới thực được thu nhỏ hơn, gọn hơn, phù hợp hơn với môi trường giáo dục trong nhà trường Theo Hayley Barnes và Elsie Venter, GV muốn dạy tốt không chỉ biết kiến thức toán học mà còn phải có kiến thức về bối cảnh, HS cũng cần có kiến thức về bối cảnh Chẳng hạn, ở Việt Nam, sự khác biệt về KT-XH dẫn đến việc một nhiệm vụ có thể coi là vấn đề tốt đối với HS ở thành thị (vấn đề liên quan tới công nghệ hiện đại, ) lại không phải là vấn đề với đa số HS khu vực nông thôn, miền núi

Chính vì vậy, khi xây dựng BTTT cần chú ý một số vấn đề sau:

- Thứ nhất là về việc xây dựng tài liệu học tập, hay rộng hơn là tổ chức

tư liệu cho quá trình học Toán cần phải thay đổi Chẳng hạn đã có những module thiết kế, thử nghiệm, khá thành công ở một nơi nhưng lại không hiệu quả và không được tiếp tục sử dụng nữa ở một số nơi khác

- Thứ hai là sự thay đổi về cách thức dạy học, mà đầu tiên là chấp nhận

sự đổi mới cho việc dạy học gắn với thực tiễn

- Thứ ba là việc đổi mới dạy học sẽ là một hệ thống từ các cấp học một

cách thống nhất, chứ không thể đổi mới một giai đoạn Nghĩa là, việc chuyển đổi này cần được thực hiện từ cấp Tiểu học, cấp THCS đến cấp THPT

- Thứ tư, áp lực chương trình hay đúng hơn là mục tiêu của chương trình

là thách thức không nhỏ đối với việc sử dụng các BTTT trong nhà trường

29 Thách thức này đến từ ngoài quá trình dạy học, đó là vấn đề chính sách kiểm tra đánh giá của mỗi quốc gia

- Thứ năm đến từ vấn đề tài chính đó là sự đầu tư cho quá trình nghiên

cứu, triển khai, thực hiện

- Thứ sáu là sự sẵn sàng theo cách học mới của HS: Sự đổi mới cách học

môn Toán Bởi lẽ, sự đổi mới cách học cần là một quá trình, sẽ là một thách thức lớn khi chúng ta yêu cầu HS chưa được tiếp cận về nội dung thực tiễn đó

- Thứ bảy là truyền thống coi trọng môn Toán của người Việt Nam cho

rằng môn toán còn phải trở nên “sang trọng”, “khó”, “siêu khó” trong quan niệm của nhiều người, từ người dạy toán, người làm toán; và do đó, chúng ta luôn có quan niệm môn Toán phải là những chứng minh, những định lí kinh điển, những bài tập đòi hỏi sự sáng tạo, sự vận dụng nhiều định lí, tri thức toán học khác nhau mới giải được Như vậy, môn Toán, người học toán, làm toán mới được đánh giá cao, mới được xã hội coi trọng Và ở đâu đó, một số GV cho rằng việc vận dụng toán học vào thực tiễn nhiều lúc rất “tầm thường”, “quá đơn giản”

Tất cả những lưu ý này là tiền đề góp phần xây dựng quy trình thiết kế một BTTT mang lại hiệu quả dạy học cao

1.4 Vai trò của bài tập trong việc phát triển năng lực của HS

1.4.1 Vai trò của bài tập trong việc phát triển năng lực của HS

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường THPT là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường THPT Vì vậy, việc tổ

30 chức dạy giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán [7]

Thông qua giải bài tập, GV có thể hình thành, củng cố cho HS tri thức, giúp HS ngày càng nâng cao khả năng tư duy, rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo hình thành phẩm chất tư duy khoa học Đồng thời, thông qua dạy học, GV cũng có thể tìm ra những điểm mạnh, điểm yếu trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của HS, từ đó có thể thay đổi phương pháp, bổ sung, rèn luyện hay tiếp tục bồi dưỡng cho HS Đồng thời, bài tập toán nếu như được gắn với bối cảnh thực tiễn cũng giúp HS năng động, phát huy khả năng lập luận và rèn luyện các thao tác tư duy thành những phẩm chất tư duy khoa học Giải các bài tập toán giúp HS củng cố lại khái niệm, tính chất, củng cố lại kiến thức một cách có hệ thống Mặt khác, khi các vấn đề của toán học xuất phát từ thực tiễn, HS được rèn luyện các kỹ năng như thu thập thông tin, vận dụng các kiến thức môn toán để xử lí các tình huống có vấn đề một cách phù hợp, sáng tạo

Trong quá trình giải quyết bất kì một bài toán nào, HS cần đi từ những điều đã biết để tìm ra câu trả lời Thông qua quan sát, vận dụng trí nhớ và các thao tác tư duy như so sánh, tổng hợp, khái quát, suy luận,…và mỗi khi giải được bài tập thành công HS không những củng cố được kiến thức mà còn có được sự khích lệ vô cùng to lớn, mang đến sự tự tin cho HS Đây là một trong những cơ sở quan trọng làm tiền đề cho việc hình thành các phẩm chất cho HS

Bên cạnh đó, một trong những đặc điểm tính cách của con người là mọi hoạt động đều có mục tiêu rõ ràng Khi giải quyết bất kì vấn đề nào, hay đứng trước một bài toán, HS sẽ cần có định hướng và mục đích Để đi đến được đích cuối cùng, HS cần có các đức tính như cẩn thận, tỉ mỉ, kiên nhẫn, trung thực và có niềm tin vào bản thân cũng như khoa học Niềm tin này có được là do trong quá trình giải quyết vấn đề, HS cần vận dụng kiến thức, tư duy một cách độc lập, nhất là các bài toán khó để đi được đến đích cuối cùng đòi hỏi các em phải

31 có tính kiên trì, nhẫn nại và mang một quyết tâm thật lớn Như vậy, việc giải bài tập còn giúp HS bồi dưỡng phẩm chất và rèn luyện nhân cách

Theo G Polya: “Khát vọng và quyết tâm giải một bài toán là nhân tố chủ yếu của mọi quá trình giải toán Do vậy, có thể thấy rằng hoạt động giải toán chính là nhân tố hình thành và phát triển con người” [17]

1.4.2 Quy trình giải một bài toán

Để giải một bài toán, nhiệm vụ quan trọng nhất là cần tìm ra hướng đi để giải quyết vấn đề Vì thế, công việc quan trọng nhất của GV trong dạy học giải toán là hướng dẫn/ gợi ý HS tìm ra thuật toán, đây chính là công việc quan trọng giúp HS rèn luyện các thao tác tư duy

Trong cuốn “How to solve it” tác giả G Polya đã đưa ra 4 bước để giải một bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu bài toán

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú để giải bài toán này, chính vì thế, nhiệm vụ của người GV là tạo được tò mò, kích thích HS có động cơ giải toán và hướng dẫn HS hiểu được nội dung bài toán Trong quá trình tìm hiểu bài toán, HS cần trả lời được các câu hỏi và hoàn thành các thao tác:

- Xác định được đâu là thứ cần tìm, đâu là cái đã cho, đâu là điều kiện, điều kiện có đủ để xác định được cái cần tìm hay không?

- Có thể biểu diễn bằng hình học, hay sử dụng một ký hiệu thích hợp - Phát hiện và phân biệt các điều kiện của đề bài Diễn tả các điều kiện đó thành công thức (nếu có thể)

32

Bước 2: Xây dựng một chương trình giải (Xác định thuật toán giải):

Yếu tố quan trọng để giải được một bài toán là xây dựng được thuật toán để giải bài toán Trong quá trình xây dựng thuật toán, HS cần thực hiện các công việc sau:

- Tìm sự liên hệ giữa các dữ kiện trong đề bài (giả thiết) và những biến/ ẩn cần tìm ra là cái chưa biết (cần tìm)

- Nếu có thể, hãy phân tích bài toán thành những bài đơn giản hơn, quen thuộc hơn (đã từng giải)

- Vận dụng những kiến thức đã học (định nghĩa, tính chất, quy tắc,…) có liên quan đến điều kiện đề bài Sau đó, sàng lọc và lựa chọn các nội dung kiến thức mật thiết với dữ kiện đề bài

- Nếu đã vận dụng hết các kiến thức mà chưa tìm được mối liên hệ, HS có thể nghĩ đến bài toán phụ để đưa ra hướng giải

- Một bài toán thường thường để có thể giải ra kết quả cần sử dụng hết các dữ kiện đề bài và chú ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán

Bước 3: Thực hiện chương trình giải (Trình bày lời giải)

Thực hiện trình bày lời giải theo trình tự ở bước 2, trong khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra lại từng bước, chắc chắn là các bước đều đúng

Bước 4: Khảo sát lời giải đã tìm được (Nghiên cứu về lời giải)

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra toàn bộ chương trình giải bài toán để đảm bảo độ chính xác

- Suy nghĩ thêm hướng giải khác (nếu có thể) - Xét xem có thể dùng kết quả này cho bài toán khác không, tổng quát hóa cách giải để sử dụng cho bài toán khác (nếu có thể)

33 Dưới đây là ví dụ sử dụng các bước giải toán của G.Polya để làm bài toán sau:

Ví dụ 1.5: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh

Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi Tính xác suất để 4 viên bi lấy được có đủ cả 3 màu

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Đề bài cho 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh - Đề bài yêu cầu tính xác suất để lấy 4 viên bi trong hộp, trong đó có đủ cả 3 màu

Bước 2: Tìm cách giải của bài toán

- Để giải bài toán này, ta cần đi tính số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất

- Số phần tử của không gian mẫu là tổ hợp chập 4 của 24: 4

10 .86 1200

Áp dụng quy tắc cộng ta có: ( )n A 2160 1680 1200  5040

424

( ) 5040

( )

n AP A



Bước 3: Trình bày lời giải

- Số phần tử của không gian mẫu là 4

24

( ) 