luận văn dạy học chương đường tròn ở lớp 9 trường trung học cơ sở theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ HOÀI THU DẠY HỌC CHƯƠNG ĐƯỜNG TRÒN Ở LỚP 9 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC C

Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu về lý luận và thực trạng dạy học chương đường tròn ở lớp 9 trường THCS theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học cho học sinh, từ đó đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 9 góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THCS.

Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS

Một số biện pháp dạy học chương đường tròn ở lớp 9 trường THCS theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.

Nhiệm vụ nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học cho học sinh lớp 9, về dạy học chương đường tròn ở lớp 9 trường THCS

4.2 Nghiên cứu thực trạng về dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học cho học sinh lớp 9

4.3 Đề xuất các biện pháp sư phạm dạy học chương đường tròn ở lớp 9 trường THCS theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.

Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm dạy học chương đường tròn ở lớp 9 trường THCS theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học và tổ chức dạy học theo các biện pháp sư phạm đã đề xuất đó thì sẽ góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học cho học sinh.

Các phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học toán, về phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh, về tâm lý học, giáo dục học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo về hình học lớp 9 THCS

- Nghiên cứu các công trình về khoa học toán học, về toán học trong trường phổ thông có liên quan đến chủ đề của luận văn

- Nghiên cứu các công trình các vấn đề liên quan trực tiếp đến luận văn (các luận văn, các luận án, chuyên đề, giáo trình )

6.2 Phương pháp quan sát – điều tra

Tìm hiểu về việc dạy và học chủ đề đường tròn lớp 9 THCS nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học thông qua dự giờ, điều tra, phỏng vấn giáo viên

6.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp

Nghiên cứu trên một số đối tượng học sinh lớp 9 THCS để thấy được sự phát triển của năng lực tư duy và lập luận toán học thông qua các tác động sư phạm

Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp sư phạm được đề xuất trong luận văn.

Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm dạy học chương đường tròn ở lớp

9 trường THCS theo định hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận Toán học cho học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Năng lực và dạy học theo hướng phát triển năng lực

Từ góc độ của các nhà tâm lý học, năng lực là tổ hợp các đặc tính tâm lý của con người, vì vậy năng lực mang trong mình những thuộc tính cá nhân; bên cạnh đó, chúng có cả tính mục đích bởi năng lực chỉ được vận hành khi có một mục đích nhất định, nhằm tạo ra một kết quả cụ thể [19]

Theo Weiner F.E (2001), năng lực được định nghĩa là những kinh nghiệm tích lũy, những khả năng, kỹ xảo mà cá nhân đã học được hoặc sẵn có được vận dụng một cách linh hoạt để giải quyết các vấn đề cụ thể

Trong tài liệu [17], khi đề cập đến năng lực, tác giả nhấn mạnh tính mục tiêu và tình huống cụ thể “Năng lực là những khả năng, kỹ xảo học được hay sẵn có của cá nhân nhằm giải quyết các tình huống xác định, cũng như sự sẵn sàng về động cơ, xã hội,… và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề một cách có trách nhiệm và hiệu quả trong những tình huống linh hoạt bằng những phương tiện, biện pháp và cách thức phù hợp.”

Theo [18] “Năng lực là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công việc có hiệu quả Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kỹ xảo, mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội.”

Do đó có thể nhận thấy năng lực có các đặc trưng sau:

- Tính đặc thù, cá nhân hóa: Năng lực của mỗi cá nhân không giống nhau, cách vận hành hệ thống kiến thức, kĩ năng hay khả năng kết hợp linh hoạt của mỗi cá nhân sẽ có sự khác biệt Thêm vào đó, sự phát triển hay hạn chế về năng lực

6 còn bị ảnh hưởng dưới nhiều yếu tố, ví dụ như môi trường sống, quá trình rèn luyện và học tập của mỗi cá nhân,

- Có mối quan hệ chặt chẽ giữa năng lực cá nhân với hệ thống kiến thức, kỹ năng; giữa hệ thống kiến thức, kĩ năng, kỹ xảo với các đặc điểm cá nhân như niềm tin, sự đam mê, ý chí… Kiến thức là nền tảng, là cơ sở của sự hiểu biết về nội dung nhiệm vụ, vấn đề cần giải quyết mà kỹ năng đang hướng tới

- Tính mục tiêu: năng lực chỉ được huy động khi ở trong tình huống cụ thể, có một vấn đề cần giải quyết hay một nhiệm vụ cần hoàn thành

Trong luận văn này, năng lực được hiểu là tổ hợp của tri thức, kĩ năng, các thuộc tính cá nhân được huy động khi con người đối mặt với một vấn đề hay một nhiệm vụ trong tình huống cụ thể

1.1.1.2 Các năng lực cần hình thành và phát triển qua dạy học môn Toán ở trường phổ thông theo Chương trình 2018

- Nhóm năng lực chung bao gồm những năng lực cơ bản và thiết yếu trong hoạt động thường nhật của con người; có thể nói năng lực chung là nền móng trong nhiều lĩnh vực, ngành nghề Tám năng lực thuộc nhóm năng lực chung là: năng lực tự học; năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo; năng lực ngôn ngữ và giao tiếp; năng lực hợp tác; năng lực tính toán; năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông; năng lực thẩm mĩ và năng lực thể chất

- Năng lực đặc thù được hiểu là nhóm năng lực chuyên sâu, dựa trên nền tảng của nhóm năng lực chung Có nghĩa là những năng lực đặc thù này được hình thành, phát triển và củng cố thông qua một số môn học như toán học, âm nhạc, … thông qua việc rèn luyện qua các hoạt động giáo dục cụ thể, môi trường học tập đặc biệt Khi người học phát triển nhóm năng lực đặc thù, nhóm năng lực chung cũng được song song phát triển

- Năng lực toán học là một loại năng lực đặc thù mà V.A.Cruchetxki đã nêu khái niệm là “Những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm của hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học” [19] Đối với mỗi người, việc hình thành năng lực toán học vô cùng quan trọng bởi năng lực này giúp con người có lối tư duy và cách tiếp cận tốt hơn khi đối mặt với các vấn đề trong học tập và cuộc sống

Cụ thể rằng, khi gặp phải một vấn đề trong cuộc sống, người học cần biết cách chuyển hóa vấn đề này thành một bài toán hay một mô hình toán học; từ đây tìm hướng giải quyết vấn đề Trong quá trình xử lý và giải quyết bài toán, người học không chỉ cần sử dụng linh hoạt các công cụ và phương tiện toán học để tìm tòi, thử nghiệm mà còn cần sử dụng thành thạo khả năng ngôn ngữ để có thể trình bày, lập luận ý tưởng hay giải pháp của bản thân; có thể tranh luận và trao đổi với người khác

Năm năng lực toán học mà Chương trình môn toán 2018 đã nhấn mạnh cần tập trung phát triển cho học sinh là năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học và năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Năm năng lực trên không hình thành và hoạt động riêng lẻ mà bổ trợ và liên hệ chặt chẽ với nhau Trong luận văn này, tôi tập trung phân tích năng lực đầu tiên, năng lực tư duy và lập luận toán học

1.1.2 Dạy học theo hướng phát triển năng lực

1.1.2.1 Khái niệm và những yếu tố quan trọng của dạy học theo hướng phát triển năng lực

Sự phát triển mạnh mẽ cùng những biến đổi nhanh chóng và không ngừng của xã hội đã đặt ra nhiệm vụ cấp bách cho giáo dục để đào tạo những

8 con người chủ động, linh hoạt, sáng tạo và năng động Nhiệm vụ đó là chuyển đổi cách giáo dục xưa cũ sang hình thức mới nhằm trang bị cho thanh niên những kiến thức, năng lực, phẩm chất cần thiết để vững chãi trước những thách thức của thời đại mới và cống hiến vào công cuộc phát triển đất nước

Trước hết, ta cần khẳng định chương trình giáo dục truyền thống hay còn gọi là “chương trình giáo dục định hướng nội dung dạy học” không còn phù hợp với tình hình thực tại của đất nước Mục tiêu của chương trình giáo dục định hướng nội dung là cung cấp hệ thống tri thức khoa học của nhiều lĩnh vực thông qua việc truyền đạt đủ và đúng những nội dung môn học trong chương trình Tuy nhiên, “chương trình giáo dục định hướng nội dung chưa chú trọng đầy đủ đến chủ thể người học cũng như đến khả năng ứng dụng tri thức đã học trong những tính huống thực tiễn.” theo tác giả Lê Đình Trung và Phan Thị

Năng lực tư duy và lập luận Toán học

1.2.1 Khái niệm năng lực tư duy và lập luận toán học

1.2.1.1 Về tư duy và năng lực tư duy

Theo Từ điển tiếng Việt phổ thông, “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”

Trong Tâm lý học, NXB Giáo dục, Hà Nội, các tác giả cũng định nghĩa:

“Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan.”

Như vậy, tư duy được hiểu là sản phẩm của não bộ con người, phản ánh thế giới quan, giúp con người nhận biết, hiểu và có những đánh giá về thế giới ấy Một số đặc điểm tiêu biểu của tư duy là:

- Tính có vấn đề: tư duy chỉ được kích hoạt trước tình huống, hoàn cảnh có vấn đề; những tình huống mà những phương thức cũ không đủ để giải quyết vấn đề đó đã tạo ra nhu cầu mới, nhiệm vụ mới cho não bộ xử lí

- Tính gián tiếp: Tư duy như đã được định nghĩa, là quá trình phản ánh gián tiếp thế giới quan Con người nhận thức những sự vật, hiện tượng, quy luật, sự kiện, mối quan hệ xung quanh và phản ánh, diễn đạt lại chúng thông qua ngôn ngữ Thêm nữa, khi ta đọc, nghe, sử dụng những thành quả tư duy của người khác, chính là chúng ta đang gián tiếp có được những hiểu biết về một mặt nào đó của thế giới quan

- Tính trừu tượng và khái quát: Đứng trước những sự vật mới, hiện tượng mới hay góc nhìn mới, chúng đều trừu tượng và khó giải nghĩa với con người Chính nhờ tư duy giúp con người khám phá những thuộc tính, đặc điểm của những sự vật, hiện tượng; từ đó chúng xuất hiện với “hình hài” rõ nét và cụ thể hơn Điểm

16 đặc biệt hơn cả của tư duy đó là tìm ra những đặc điểm đồng điệu, đặc điểm tương tự nhau của các sự vật hiện tượng xung quanh và khái quát chúng

- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với năng lực ngôn ngữ: Tư duy sử dụng ngôn ngữ để truyền đạt lại kết quả của tư duy Có thể nói ngôn ngữ là cái vỏ của tư duy, nếu không có ngôn ngữ sẽ không có sự trao đổi tri thức, thông tin

- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Mối quan hệ này là mối quan hệ hai chiều: Tư duy không tách rời nhận thức cảm tính bởi dẫu là tư duy có trừu tượng và khái quát đến mấy thì quá trình tư duy vẫn được tiến hành trên cơ sở các tài liệu và các dữ kiện trực quan mà tri giác và cảm giác mang lại Đồng thời, kết quả của quá trình tư duy được kiểm tra bằng thực tiễn dưới hình thức trực quan Quá trình tư duy cũng ảnh hưởng đến quá trình nhận thức cảm tính, chẳng hạn như tính lựa chọn của tri giác

Các nhóm thao tác chính của tư duy được phân tích trong bảng dưới đây:

Bảng 1 2 Bảng các nhóm thao tác của tư duy

STT Thao tác tư duy Đặc điểm

1 Phân tích và tổng hợp - Phân tích là sự phân tách, chia nhỏ một đối tượng thành các bộ phận riêng lẻ; nhằm hiểu rõ, hiểu kỹ đối tượng đó

- Trong khi tổng hợp là thao tác trái ngược với phân tích Tổng hợp là việc liên kết các yếu tố riêng rẽ nhằm đưa ra một kết luận, tạo ra một yếu tố mới

2 So sánh và tương tự - So sánh nhằm tìm thấy điểm giống và khác biệt giữa các đối tượng với nhau

- Tương tự là thao tác sau của so sánh, suy đoán những đặc tính của những đối tượng có sự tương đồng nhau

3 Khái quát hóa và đặc biệt hóa

- Khái quát hóa là khi tìm ra quy luật, quy tắc, đặc điểm khái quát chung cho nhóm đối tượng, sự vật Khái quát hóa là thao tác nâng cao hơn so với thao tác tương tự

- Trong một nhóm đối tượng, đặc biệt hóa tập trung nghiên cứu một nhóm đối tượng con cụ thế

4 Trừu tượng hóa và cụ thể hóa

- Về mặt toán học, trừu tượng hóa là thao tác xuất một tính chất từ một đối tượng toán học nhằm nghiên cứu riêng tính chất đó Trừu tượng hóa nằm ngoài nội dung có tính chất liệu Trừu tượng hóa gắn liền với cụ thể hóa và khái quát hoá Nhờ trừu tượng hóa, ta có thể khái quát rộng và sâu hơn sau khi giữ lại được những thuộc tính bản chất nhất Trừu tượng hóa và khái quát hoá là nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học

Vậy năng lực tư duy có thể được hiểu là khả năng của con người huy động toàn bộ kiến thức và thực hiện các thao tác tư duy nhằm giải quyết và xử lý vấn đề

1.2.1.2 Về luận luận toán học

Về khái niệm “lập luận”, Nguyễn Văn Lộc nêu trong luận án của mình là “sự sắp xếp lý lẽ một cách có hệ thống để trình bày, nhằm chứng minh cho một kết luận về một vấn đề” Tác giả Trần Mạnh Sang và Nguyễn Văn Thái

Bình (2020) cũng nêu “Lập luận là một thành tố của tư duy cũng là phương thức biểu đạt đặc thù của tư duy toán học” [15]

Dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

1.3.1 Quan niệm dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học a) Quá trình dạy học môn Toán cần được thiết kế đi “từ cụ thể tới trừu tượng, từ dễ đến khó” [18]

- Nội dung học và nhiệm vụ học tập cần có tính chân thực, gắn liền với vốn kinh nghiệm đã có của người học; gần gũi với cuộc sống thường nhật của người học Thêm vào đó, các hoạt động và nhiệm vụ học tập cần được xây dựng từ dễ đến khó để phù hợp với tiến trình phát triển năng lực của người học b) “Lấy người học làm trung tâm”

- Chú trọng tới nhu cầu học tập, năng lực tư duy và cách thức học phù hợp của từng cá nhân người học Cụ thể là mỗi học sinh có nhu cầu, năng lực và cách thức học khác nhau; vậy nên mỗi học sinh sẽ là chủ thể của quá trình học của chính mình cũng như phát triển theo tốc độ của riêng họ

34 c) Các phương pháp, phương thức, kĩ thuật dạy học được sử dụng một cách linh hoạt d) Thái độ học tập ảnh hưởng trực tiếp đến cách người học tiếp cận vấn đề và giải quyết các nhiệm vụ toán học e) Tăng cường tính tương tác trong môi trường lớp học

- Học sinh cần được đặt trong môi trường có sự trao đổi, tương tác với nhóm để cùng phân tích, so sánh, khái quát, vấn đề và tìm ra cách giải quyết; và hơn hết học sinh cần được đặt trong môi trường có sự dẫn dắt, định hướng từ giáo viên

1.3.2 Đặc trưng của dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

1.3.2.1 Đặc điểm của dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

Theo Đỗ Đức Thái trong tài liệu [18], dạy học theo tiếp cận năng lực toán học nhấn mạnh các đặc điểm sau:

- Năng lực Toán học không chỉ là những kiến thức hay cách thức giải quyết các vấn đề toán học Quan trọng hơn cả, giáo viên còn cần quan tâm và hướng học sinh suy nghĩ và thực hành toán học với một động cơ, thái độ phù hợp Mục đích của Toán học là người học sở hữu năng lực toán học thông qua rèn luyện, thực hành và trải nghiệm trong quá trình học tập môn Toán Từ đó việc học không chỉ là những lý thuyết suông mà còn nuôi dưỡng sự tò mò, sự hứng thú và niềm tin trong học toán

- Giáo viên và học sinh thảo luận về “kết quả đầu ra”, điều này phải dựa trên khả năng học tập thực tế và quá trình học tập mà người học có thể làm được Giáo viên là người hỗ trợ, khuyến khích học sinh tìm tòi, khám phá tri thức

35 toán học không chỉ trên sách vở mà còn vận dụng linh hoạt trong thực tiễn Hình thành được năng lực học tập môn Toán ở học sinh là kết quả, là đích đến của quá trình học tập và rèn luyện

- Giáo viên hướng dẫn và nhấn mạnh đến phương cách học và yếu tố tự học của người học Học sinh nên chủ động tự xây dựng kiến thức và hiểu biết của riêng mình trong khi đó giáo viên chỉ nên là người hỗ trợ, quan sát và thiết kế bài học

- Khuyến khích sử dụng ứng dụng công nghệ hoặc các thiết bị dạy học hiện đại nhằm hỗ trợ phát huy năng lực học tập của người học

- Xây dựng các hoạt động tương tác tích cực giữa học sinh và giáo viên, yêu cầu sự phối hợp giữa các học sinh, các nhóm hoặc hoạt động chung của lớp trong quá trình học tập và môi trường dạy học

Sự giao tiếp là yếu tố cơ bản và quan trọng đối với quá trình tư duy và lập luận Việc học sinh nói ra suy nghĩ và trao đổi những lí lẽ, lập luận của mình với những người khác là vô cùng quan trọng

● Sự tương tác giữa học sinh và giáo viên

- Sự tương tác này bắt nguồn từ mong muốn giúp đỡ và hiểu suy nghĩ, khả năng, tư duy của học sinh của người giáo viên, thông qua phương pháp hỏi đáp là một phương pháp nổi tiếng hữu ích giúp hình thành và phát triển tư duy người học Đây cũng là phương pháp có thể đảm bảo sự tham gia của người học trong quá trình tư duy

- Bên cạnh phương pháp hỏi đáp, giáo viên còn có thể hiểu thêm về tư duy hay cách suy nghĩ của học sinh thông qua bài làm trên giấy, lời giải của các bài tập, bài kiểm tra,

- Một phương pháp giúp tăng sự tương tác trong lớp học đó là đặt ra quy chuẩn cho lớp học Bộ quy chuẩn lớp học này khác với lớp học truyền thống, và sẽ hỗ trợ quá trình hình thành và phát triển tư duy của người học

Bảng 1 4 Bảng so sánh lớp học truyền thống và lớp học định hướng phát triển tư duy

STT Lớp học truyền thống Lớp học định hướng phát triển năng lực tư duy

1 Người học được giáo viên gọi khi có lỗi sai

Người học được gọi để chia sẻ và trình bày ý kiến, giải thích lập luận cả khi có câu trả lời đúng và câu trả lời sai

2 Hoạt động tư duy của học sinh được diễn ra đơn lẻ, thiếu sự hỗ trợ xây dựng cùng với nhau

Người học chủ động lắng nghe và hỗ trợ xây dựng ý tưởng của nhau; đánh giá và phản biện ý kiến của những người học khác khi cần thiết

3 Người học, đặc biệt trong môn toán, thường đồng ý với mọi ý kiến, nội dung của giáo viên hoặc sách

Người học được quyền đưa ra những ý kiến trái với giáo viên, thậm chí có tính thách thức với ý kiến của giáo viên

4 Giáo viên đánh giá tư duy của người học dựa trên những lập luận, ý kiến của người học

→ Học sinh phụ thuộc vào giáo → Học sinh tự chủ, chủ động hơn

37 viên trong suy nghĩ và có đánh giá riêng đối với mỗi ý kiến khác

● Sự tương tác giữa học sinh với học sinh

- Sự tương tác giữa các học sinh trong lớp là phần không thể thiếu trong hoạt động luyện tập và trong lớp học phát triển năng lực, học sinh được khuyến khích tự tin chia sẻ ý kiến Bảng 1.3 đã thể hiện rõ những hoạt động tương tác của học sinh với học sinh Tuy nhiên, nếu học sinh được ghép nhóm để thực hiện nhiệm vụ học tập, ở đó học sinh được trao đổi ý kiến nhưng thiếu sự dẫn dắt cần thiết từ giáo viên, cũng sẽ không tạo ra hiệu quả trong việc phát triển năng lực của người học Vì vậy, giáo viên còn cần chú ý tới việc điều phối không khí lớp học, sự tham gia của các cá nhân khác nhau và quá trình học tập hợp tác trong lớp học

1.3.2.2 Yêu cầu của dạy học theo định hướng phát triển năng lực toán học

Dạy học môn Toán theo hướng tiếp cận nhằm phát triển năng lực cần đáp ứng các yêu cầu sau:

Các yếu tố ảnh hưởng tới quá trình phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh lớp 9 THCS

Theo tài liệu [22], ta tổng kết được 5 yếu tố và cụ thể như sau:

1.4.1 Yếu tố 1: Khả năng của người học

- Trong quá trình dạy toán, người học được yêu cầu ghi chú giống nhau, hoạt động trong cùng một số lượng thời gian, trả lời cùng câu hỏi vào cùng một thời điểm, và đó là cách hữu hiệu để giáo viên có thể dạy lớp có số lượng học sinh đông từ 20 tới 30 học sinh Tuy nhiên, chúng ta cần hiểu rằng mỗi học sinh là một cá thể riêng biệt và có khả năng nhận thức và phản xạ học tập khác nhau Chính vì vậy, quan niệm rằng học sinh đều tiếp nhận, xử lý một lượng kiến thức trong khoảng thời gian như nhau là một sai lầm Điều này ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình nhìn nhận và đánh giá năng lực của học sinh, dẫn đến những hướng giảng dạy và xây dựng nhiệm vụ học tập không phù hợp

Vậy học sinh tiếp nhận kiến thức theo cách khác nhau với tốc độ khác nhau và mức độ hiểu và khả năng áp dụng cùng một kiến thức cũng khác nhau Do vậy, cách tối ưu hóa khả năng của học sinh là cá nhân hóa con đường học tập của người học với tốc độ phù hợp với mỗi cá nhân Chính vì vậy, việc giáo viên hiểu được khả năng tư duy, cách tư duy, của học sinh cũng quan trọng như việc học sinh hiểu mình để tìm ra được con đường học tập phù hợp nhất

- Một yếu tố khác liên quan trực tiếp đến khả năng tư duy của người học đó là thái độ của người học, tâm lý lứa tuổi, sự tự tin,

Giáo viên là người có thể tác động rõ rệt nhất tới năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh

+ Giáo viên giữ vai trò là người dẫn dắt và giúp học sinh hình thành con đường học tập phù hợp với năng lực; giúp người học hình thành thói quen tư duy chủ động và không ngại đưa ra ý kiến; tạo cơ hội cho học sinh tương tác tích cực và luyện tập các thao tác tư duy trên lớp

+ Hành vi của giáo viên trên lớp học như lời nói, hành động có thể tác động tích cực hay tiêu cực tới quá trình tư duy của người học Ví dụ như nếu giáo viên luôn giúp đỡ và giải tất cả các bài toán, học sinh có thể mang tâm lý “ỉ lại”, bị động và không chủ động suy nghĩ tìm hướng giải quyết bài toán Ngược lại, nếu giáo viên chỉ giúp đỡ học sinh khi cần thiết, bằng cách gợi ý đúng lúc, đặt ra các câu hỏi gợi mở có định hướng giúp người học tự tiến dần tới đáp án; trong trường hợp này, học sinh đang ở thế chủ động trong tư duy và không bị phụ thuộc vào giáo viên

1.4.3 Yếu tố 3: Nhiệm vụ học tập và cách học sinh tiếp cận nhiệm vụ học tập

- Như được phân tích ở các nội dung trước, nhiệm vụ học tập cần được xây dựng trên nền tảng những kiến thức, trải nghiệm học sinh đã có; cần có yếu tố

45 thú vị, gây hứng thú khiến người học “muốn suy nghĩ”; độ khó vừa đủ để học sinh cảm nhận bản thân có thể giải quyết được tuy nhiên học sinh biết không thể giải quyết vấn đề một cách dễ dàng, nó đòi hỏi sự phân tích, tìm tòi cẩn thận, [22]

1.4.4 Yếu tố 4: Môi trường học tập

- Tầm quan trọng của sự tương tác của người học với giáo viên hay với nhóm đã được nhấn mạnh nhiều lần trong luận văn này Đó là môi trường lớp học thân thiện, chủ động, tích cực; nơi học sinh được khuyến khích tối đa để phát biểu ý kiến, đóng góp hay hỗ trợ bạn bè Bên cạnh đó, giáo viên sẽ thường xuyên tạo các nhóm hợp tác (chia nhóm để thảo luận và giải quyết vấn đề) 1.4.5 Yếu tố 5: Hình thức đánh giá

- Quá trình đánh giá cần có sự tham gia của học sinh Học sinh cần nắm rõ các tiêu chí đánh giá môn học và được giáo viên hướng dẫn để thực hiện đánh giá quá trình học tập của bản thân trước khi được giáo viên nhận xét Khi học sinh chủ động thực hiện đánh giá bản thân, đây là một cơ hội giúp học sinh tự nhìn nhận lại điểm mạnh, điểm yếu, những nội dung đã đạt và chưa đạt của môn học

- Giáo viên được khuyến khích vận dụng nhiều phương pháp đánh giá năng lực học sinh như quan sát, ghi chép quá trình, đánh giá qua sản phẩm/dự án, hỏi đáp trong Chương trình môn Toán 2018 nhằm đánh giá không chỉ kết quả mà còn xuyên suốt quá trình học tập Tuy nhiên, giáo viên lưu ý lựa chọn các công cụ, phương pháp hay hình thức đánh giá phù hợp với đối tượng học sinh và từng tình huống cụ thể trong thực tế

- Đánh giá đồng đẳng cho phép học sinh có cơ hội học hỏi cái hay, cái tốt trong cách tư duy và lập luận của bạn mình Bên cạnh đó, cơ hội chỉ ra lỗi sai và nhận xét bài làm của người khác giúp nâng cao khả năng tư duy và đánh giá của bản thân

Thực trạng về dạy học chương đường tròn ở lớp 9 trường THCS theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

Tìm hiểu thực trạng dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 9 trường trung học cơ sở về nội dung chương đường tròn

- Sự chú trọng của giáo viên đối với xây dựng và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

- Khả năng tư duy và lập luận của học sinh nhằm giải quyết những bài toán đường tròn

- Thực trạng rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh hiện nay

- Tầm quan trọng của việc tổ chức các hoạt động phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong chủ đề đường tròn

- Khó khăn và trở ngại trong quá trình thiết kế bài dạy để phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

- Khó khăn của học sinh khi tư duy và lập luận những bài toán nội dung đường tròn

- Khả năng lập luận những bài toán đường tròn của học sinh

- Điều tra bằng phiếu hỏi

- Phương pháp phỏng vấn trực tiếp, quan sát và dự giờ môn Toán ở trường Trung học phổ thông

- Phương pháp xử lý số liệu: tính tỉ lệ phần trăm

- 52 học sinh lớp 9 tại trung tâm Minh Duy center, chủ yếu học sinh trường Nguyễn Siêu, Vinschool

- 18 giáo viên giảng dạy bộ môn toán từ các trường THCS trên địa bàn Hà Nội

1.5.5 Kết quả thu được qua khảo sát a) Khảo sát giáo viên:

Câu 1 Khảo sát về mức độ hiểu về năng lực tư duy và lập luận toán học ở giáo viên

Trong tổng số 18 giáo viên tham gia khảo sát, có 11 giáo viên (chiếm khoảng 61%) chọn “chưa hiểu đầy đủ”, 5 giáo viên (chiếm khoảng 28%) chọn “hiểu” và 2 giáo viên (chiếm 11%) chọn “chưa hiểu”

Nhận xét: giáo viên cấp THCS có tìm hiểu về năng lực tư duy và lập luận toán học; tuy nhiên số lượng giáo viên tìm hiểu sâu để hiểu rõ cách hình thành năng lực này cho học sinh chưa nhiều nên giáo viên còn gặp nhiều hạn chế khi áp dụng vào bài giảng của mình

Câu 2 Khảo sát về ý kiến của giáo viên về tầm quan trọng của việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh

Trong tổng số 18 giáo viên tham gia khảo sát, có 9 giáo viên (chiếm 50%) chọn

“Có quan trọng”, 5 giáo viên (chiếm khoảng 28%) chọn “Bình thường” và 4 giáo viên (chiếm khoảng 22%) chọn “Không quan trọng”

Nhận xét: Phần lớn những giáo viên được phỏng vấn hoặc tham gia khảo sát đều hiểu được ý nghĩa và tầm quan trọng của dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

Câu 3 Khảo sát xem giáo viên có chú trọng phát triển năng lực này ở lớp học

Trong tổng số 18 giáo viên tham gia khảo sát, có 9 giáo viên (chiếm 50%) chọn

“Có”, 6 giáo viên (chiếm khoảng 33%) chọn “Không quá chú trọng” và 3 giáo viên (chiếm khoảng 17%) chọn “Không”

Biểu đồ 1 1 Kết quả câu hỏi giáo viên 3

Nhận xét: Đa số giáo viên trung học cơ sở đều chú trọng cũng như coi trọng xây dựng cho người học năng lực tư duy và lập luận toán học Đối với chủ đề đường tròn, hầu hết các giáo viên đặc biệt coi trọng kỹ năng lập luận của học sinh

Câu 4 Khảo sát về phương pháp rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học của giáo viên

Bảng dưới đây thể hiện phần trăm của các đáp án

78% (15 giáo viên) A Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh, như phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nạp, tương tự,…

72% (13 giáo viên) B Rèn luyện kĩ năng suy luận logic và lập luận hợp lí

27% (5 giáo viên) C Tạo thói quen kiểm tra, đánh giá và tìm lỗi sai ở người học

Có Không quá chú trọng Không

22% (4 giáo viên) D Luyện tập thói quen nhìn bài toán dưới nhiều góc độ để tìm nhiều hướng giải quyết vấn đề

(1 giáo viên) Ý kiến khác: học sinh trình bày và giải thích hướng giải quyết vấn đề

Nhận xét: Phần lớn giáo viên đã rèn luyện cho học sinh thực hiện các thao tác tư duy và kỹ năng suy luận logic trong lập luận toán học Tuy nhiên, những kĩ năng khác để rèn luyện phát triển năng lực lại chưa được coi trọng

Câu 5 Khảo sát sự chú trọng của giáo viên đối với việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đối với nội dung đường tròn

Trong tổng số 18 giáo viên tham gia khảo sát, có 10 giáo viên (chiếm khoảng 55%) chọn “Có”, 5 giáo viên (chiếm khoảng 28%) chọn “Không quá chú trọng” và 3 giáo viên (chiếm khoảng 17%) chọn “Không”

Biểu đồ 1 2 Kết quả khảo sát giáo viên câu 5

Câu 6 Khảo sát về khó khăn của giáo viên

Trong tổng số 18 giáo viên tham gia khảo sát, có 14 giáo viên (chiếm khoảng 78%) chọn “Có” và chỉ 4 giáo viên (chiếm khoảng 22%) chọn “Không”

Câu 7 Khảo sát cụ thể về những khó khăn của giáo viên khi dạy chương đường tròn lớp 9

Bảng dưới đây thể hiện phần trăm của các đáp án

56% (10 giáo viên) A Thiết kế các hoạt động học tập chưa hiệu quả

72% (13 giáo viên) B Học sinh không chủ động suy nghĩ và tìm hướng giải quyết bài tập

27% (5 giáo viên) C Chưa có kinh nghiệm dạy học phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học

39% (7 giáo viên) D Gặp khó khăn khi hướng dẫn học sinh suy luận logic 17% (3 giáo viên) E Thời lượng trên lớp không đủ

- Nhiều giáo viên gặp khó khăn khi thiết kế bài giảng nhằm tăng khả năng tư duy của học sinh hay tăng tương tác trong lớp học Phần lớn giáo viên coi trọng việc luyện giải các bài toán hình học để hình thành cho học sinh khả năng nhận biết hình, nhận biết các trường hợp quen thuộc, cách lập luận

- Giáo viên chia sẻ dạy chương đường tròn luôn là phần nội dung khó vì luôn nhận thấy nhiều học sinh sợ làm các bài toán hình học, thậm chí là bỏ không suy nghĩ những bài toán hình b) Khảo sát học sinh

Câu 1 đến câu 5: khảo sát việc rèn luyện các thao tác tư duy và các kĩ năng của học sinh ở lớp

Câu 1 Trong tổng số 52 học sinh lớp 9 tham gia khảo sát, có 39 học sinh (chiếm

75%) chọn “Có”, 10 học sinh (chiếm khoảng 19% ) chọn “Không quá chú trọng” và 3 học sinh (chiếm khoảng 6%) chọn “Không”

Biểu đồ 1 3 Kết quả khảo sát học sinh câu 1

Câu 2 Trong tổng số 52 học sinh lớp 9 tham gia khảo sát, có 41 học sinh (chiếm khoảng 79%) chọn “Có”, 7 học sinh (chiếm khoảng 13% ) chọn “Không quá chú trọng” và 4 học sinh (chiếm khoảng 8%) chọn “Không”

Câu 3 Trong tổng số 52 học sinh lớp 9 tham gia khảo sát, có 36 học sinh (chiếm khoảng 69%) chọn “Có”, 11 học sinh (chiếm khoảng 21% ) chọn “Không quá chú trọng” và 5 học sinh (chiếm khoảng 10%) chọn “Không”

Câu 4 Trong tổng số 52 học sinh lớp 9 tham gia khảo sát, có 16 học sinh (chiếm khoảng 31%) chọn “Có” và 36 học sinh (chiếm khoảng 69%) chọn “Không”

Biểu đồ 1 6.Kết quả khảo sát học sinh câu 4

Nhận xét: Phần lớn học sinh được rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản như phân tích đề, tổng hợp, chỉ ra lí lẽ, dẫn chứng, lập luận toán học Tuy nhiên những thao tác nâng cao hơn như so sánh, tương tự; đặc biệt hóa, trừu tượng hóa GIÁO VIÊN chưa giành nhiều thời gian rèn luyện và hướng dẫn cho học sinh

Câu 6, câu 7, câu 8: Khảo sát ý kiến của học sinh cũng như những khó khăn học sinh gặp phải khi học chương đường tròn

Câu 6 Khảo sát cảm nhận của học sinh khi học nội dung đường tròn

Bảng dưới đây thể hiện kết quả

65% (34 học sinh) C Không hứng thú

6% (3 học sinh) Ý kiến khác: Sợ làm bài toán tổng hợp hình học liên quan đến đường tròn

Nhận xét: Các bạn học sinh khá giỏi, khi có khả năng giải quyết các bài toán đường tròn, cảm thấy thích thú Tuy nhiên, một số thời điểm có những học sinh vẫn cảm thấy khó khăn Phần lớn học sinh thấy khó khăn và chưa có niềm yêu thích đối với nội dung này Có 3 ý kiến thể hiện học sinh sợ toán khi học nội dung đường tròn

Bảng dưới đây thể hiện cụ thể hơn những khó khăn học sinh đang có

46% (24 học sinh) A Ghi nhớ mối quan hệ giữa những yếu tố hình học

56% (29 học sinh) B Phân tích đề bài và tìm mối liên kết giữa các dữ kiện trong đề bài 65% (34 học sinh) C Sắp xếp các lập luận theo trình tự hợp lý

23% (12 học sinh) D Dựng hình từ yêu cầu đề bài

46% (24 học sinh) E Nêu căn cứ (dẫn chứng, lí lẽ) khi thực hiện các bước lập luận

10% (5 học sinh) Ý kiến khác: Bài toán hình học không có quy trình hay công thức để ghi nhớ Nhận xét:

- Phần lớn học sinh chưa thực sự hứng thú với môn toán và ít học sinh hình thành được thói quen chủ động tư duy và phần lớn tin rằng, một cách hết sức nguy hiểm, toán học là tổ hợp nhưng sự thật và phương pháp, quy trình cần phải ghi nhớ

MỘT SỐ BIỆN PHÁP VỀ DẠY HỌC CHƯƠNG ĐƯỜNG TRÒN Ở LỚP 9 TRƯỜNG THCS THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, tương tự

2.1.1 Rèn luyện các thao tác phân tích - tổng hợp a) Mục đích của biện pháp

Thao tác phân tích - tổng hợp là thao tác đầu tiên học sinh cần sử dụng khi đối diện với một bài toán hay một vấn đề toán học học sinh sẽ phân tích đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài và các dữ kiện có trong đề bài, tìm kiếm mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận và từ đó nhận dạng bài toán Nếu bước phân tích, tổng hợp ban đầu được thực hiện tốt sẽ là cơ sở giúp học sinh hình thành được các bước lập luận khoa học và rõ ràng b) Cách thức thực hiện

Tiến trình của biện pháp rèn luyện thao tác phân tích - tổng hợp cho học sinh như sau:

Bước 1: Học sinh chỉ rõ giả thiết và kết luận của bài toán

Khi đọc đề, học sinh cần tìm hiểu đề bài bằng cách

- Chỉ ra cái muốn tìm (kết luận) và cái đã có (dữ kiện trong đề bài hay giả thiết)

- Nêu mối quan hệ giữa cái muốn tìm và cái đã có

Và để hiểu rõ hơn nội dung đề bài và các yếu tố trong đề bài, học sinh tóm tắt, diễn đạt lại đề bài theo ý hiểu của bản thân, có thể thông qua biểu đồ, hình vẽ,

- Lưu ý những từ ngữ quan trọng xuất hiện trong đề bài để nhận diện dạng bài toán

Bước 2: Hướng dẫn học sinh tìm cách giải quyết bài toán bằng cách lập sơ đồ phân tích ngược

Phương pháp phân tích đi từ cái muốn tìm (kết luận) ngược về cái đề bài cho (giả thiết) được áp dụng nhiều và hiệu quả đối với nội dung hình học Học sinh sẽ bắt đầu từ kết luận, đến tìm kiếm những dữ kiện cần để đạt được kết luận cùng căn cứ hay lí do phải tìm những dữ kiện đó Căn cứ giúp cho việc lý luận là những khái niệm, định lý, tính chất đúng được thừa nhận Và quá trình này được lặp lại cho tới khi trở lại cái được cho trong đề bài Đặc biệt cần nhấn mạnh rằng chính những căn cứ trong khi lập luận sẽ giúp người học tạo ra một sơ đồ phân tích đúng và lập luận bài toán đúng hướng Vậy nên ngay trong bước làm sơ đồ ngược, học sinh đã cần chỉ ra tương đối chi tiết những căn cứ này

Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lập luận theo những quy tắc suy luận

Khi đã có một sơ đồ ngược hoàn chỉnh, học sinh có thể hình dung được bao quát mối liên hệ giữa các yếu tố trong đề bài và logic lập luận của bài toán.Từ đây, học sinh sẽ trình bày lời giải bằng cách sắp xếp các luận chứng, luận cứ tuân theo quy tắc suy luận

Bước 4: Giáo viên giao những bài tập, nhiệm vụ toán để tạo cơ hội cho người học rèn luyện Ở giai đoạn luyện tập, giáo viên sẽ quan sát người học thực hiện theo đúng trình tự phân tích đề bài → tìm mối liên hệ → tạo sơ đồ ngược cùng các căn cứ cần thiết → lập luận c) Ví dụ:

Ví dụ 2.1: Trẻ em trên khắp thế giới rất thích đắp người tuyết vào mỗi dịp giáng sinh Người tuyết được dựng bởi hai quả cầu tuyết, một quả cầu nhỏ làm đầu và một quả cầu tuyết lớn làm thân Hãy hình dung em sẽ tạo một người tuyết cao 3m, với đường kính phần thân dưới dài gấp 1,5lần đường kính của phần đầu Từ đó, em hãy tưởng tượng phần thân trên và thân dưới của người tuyết là hai đường tròn tiếp xúc với nhau và tính bán kính của hai đường tròn đó

(https://cdn.abcotvs.com/dip/images/5096048_011819-cc-accuwx-perfect- snowman-tips-vid.jpg?w00)

Bước 1: Giáo viên yêu cầu học sinh chỉ ra giả thiết và kết luận của bài toán

- Giả thiết: Hai đường tròn tiếp xúc; chiều cao người tuyết bằng 3m ; đường kính đường tròn lớn gấp 1,5 lần đường kính của đường tròn bé

- Kết luận: Bán kính của hai đường tròn

Bước 2: Giáo viên đặt câu hỏi dẫn dắt giúp học sinh tìm hướng giải quyết bài toán bằng cách suy luận ngược từ kết luận, từ đó thiết kế sơ đồ ngược

Câu hỏi 1: Để tìm được bán kính của hai đường tròn, ta cần tìm dữ kiện gì?

Trả lời: Ta cần tìm đường kính, bởi có dữ kiện liên quan đến đường kính ở đề bài và đường kính gấp đôi bán kính

Câu hỏi 2: Những dữ kiện nào trong giả thiết có thể giúp chúng ta t được đường kính?

Trả lời: Đó là chiều cao người tuyết bằng 3m đường kính đường tròn lớn gấp 1,5lần đường kính của đường tròn bé

Câu hỏi 3: Vậy mối quan hệ giữa chiều cao của người tuyết với các đường kính là gì? Để tìm được mối quan hệ đó, em hãy vẽ phác họa

Trả lời: Chiều cao của người tuyết đúng bằng tổng độ dài hai đường kính

Sơ đồ: Gọi d 1 là đường kính của đường tròn nhỏ, và d 2 là đường kính của đường tròn lớn

Bước 3: Học sinh dựa vào sơ đồ để hình thành lời giải

Gọi d 1 là đường kính của đường tròn nhỏ, và d 2 là đường kính của đường tròn lớn

Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài và chiều cao của người tuyết là 3m, nên ta có d 1 + d 2 = 3 (*)

Vậy bán kính đường tròn bé bằng d 1 : 2 1,2 : 2 0,6 = = m và bán kính đường tròn lớn bằng d 2 : 2 1,8: 2 0,9 = = m

Ví dụ 2.2: Cho nửa đường tròn tâm A với đường kính MN Gọi Mx Nt , là các tiếp tuyến với đường tròn ( )A và chúng cùng nửa đường tròn thuộc cùng một

62 phía của nửa mặt phẳng bờ MN Qua điểm P thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba và nó cắt Mx và Nt lần lượt tại B C , Chứng minh rằng a) 𝐴𝐵𝐶̂ = 90° b) Tích BP CP không thay đổi khi điểm P di chuyển trên nửa đường tròn Bước 1: Xác định giả thiết kết luận

Giả thiết: Nửa đường tròn (𝐴); Mx Nt , là các tiếp tuyến với đường tròn ( )A ; tiếp tuyến BC tiếp xúc đường tròn tại P

Kết luận: a) 𝐴𝐵𝐶̂ = 90°; b) Tích BP CP không thay đổi khi điểm P di chuyển trên nửa đường tròn

Bước 2: Giáo viên đặt câu hỏi dẫn dắt và cùng học sinh lập sơ đồ ngược

Câu hỏi 1: Góc 𝐴𝐵𝐶̂ có gì đặc biệt ? Trả lời: 𝐴𝐵𝐶̂ là tổng số đo của hai góc 𝐵𝐴𝑃̂ và 𝑃𝐴𝐶̂

Câu hỏi 2: Hai góc 𝐵𝐴𝑃̂ và 𝑃𝐴𝐶̂ có gì đặc biệt và liên hệ như thế nào với các dữ kiện khác trong đề bài?

Trả lời: Góc PAB có liên quan đến cặp tiếp tuyến BM BC , và phân giác AB Tương tự góc PAC có liên quan đến cặp tiếp tuyến BC NC , và phân giác AC

Câu hỏi 3: Khi chứng minh BP CP. không đổi, yếu tố cố định trong đề bài dù cho P dịch chuyển là gì?

Câu hỏi 4: Công thức nào chứa tích

Trả lời: Vì BP CP , nằm trong tam giác vuôngABCnên có thể sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Bước 3: Học sinh trình bày bài theo logic trong sơ đồ ngược

Hình 2 5 a) Vì MB BC , là các tiếp tuyến của nửa đường trong tâm A

 AB là phân giác của góc MAP

Ta có 𝑀𝐴𝐵̂ + 𝐵𝐴𝑃̂ + 𝑃𝐴𝐶̂ + 𝐶𝐴𝑁̂ = 𝑀𝐴𝑁̂ = 180°(GócMANlà góc bẹt)

 𝐵𝐴𝐶̂ = 180° ∶ 2 = 90° b) Xét tam giác ABCvuông tại A , ta có AP⊥BC(BClà tiếp tuyến )

AP PB PC r PB PC

  Vậy tích PB PC không thay đổi khi điểm P dịch chuyển trên nửa đường tròn

65 d) Hiệu quả của biện pháp

- Một trong những khó khăn phổ biến nhất của học sinh khi đối diện với những bài toán hình học là học sinh không có định hướng điểm bắt đầu khi làm bài, không hiểu mối quan hệ giữa các dữ kiện đề bài, từ đó gây khó khăn khi xác định các yếu tố trung gian cần thiết Biện pháp này giúp học sinh có thể thực hiện giải bài theo một quy trình phân tích bài toán bài bản

- Một khi học sinh hình thành thói quen phân tích logic, người học giảm thiểu khả năng đọc thiếu, đọc không kỹ đề bài; hay không sử dụng hết các dữ kiện đề bài; tránh sử dụng nhầm lẫn cái được cho và cái cần chứng minh

- Cách sử dụng sơ đồ ngược giúp thể hiện các yếu tố cần tìm, dữ kiện, yếu tố trung gian và các bước lập luận một cách trực quan và rõ ràng; hỗ trợ khi học sinh trình bày các bước lập luận bài toán

2.1.2 Rèn luyện thao tác so sánh - tương tự a) Mục đích của biện pháp

Học sinh thực hiện phép so sánh những bài toán đã làm, để tìm ra điểm giống và điểm khác giữa những bài toán này Từ đó, học sinh thực hiện thao tác tương tự; cụ thể là dựa trên sự tương đồng về tính chất, cách thức thực hiện, hay quan hệ giữa các đối tượng trong bài toán để rút ra phương pháp giải bài chung cho dạng bài

Biện pháp 2: Rèn luyện kĩ năng suy luận toán học

a) Mục đích của biện pháp

Biện pháp này có hai mục đích chính

- Mục đích thứ nhất là hỗ trợ người học phát triển kỹ năng suy luận, bao gồm rèn luyện khả năng sử dụng các quy tắc suy luận, phương pháp lập luận đúng; chỉ ra lý lẽ và chứng cứ nhằm đưa ra những lập luận có căn cứ

- Mục đích thứ hai chính là giúp người học lập luận hợp lý Đó là khi người học biết cách sắp xếp những lập luận của mình theo trình tự đúng và có hệ thống nhằm chứng minh cho một kết luận nào đó Lí lẽ và dẫn chứng học sinh có sẽ là căn cứ để hình thành và móc nối các bước trung gian giúp tạo nên cây cầu dẫn từ dữ kiện đề bài tới kết luận b) Cách thức thực hiện

Bước 1: Giáo viên tổ chức hoạt động để học sinh làm quen với kĩ năng đưa ra căn cứ có cơ sở cho các lập luận

Học sinh được rèn luyện thông qua những nhiệm vụ học tập ngắn sau:

- Đối với các kết luận thiếu căn cứ: học sinh cần bổ sung lý lẽ, dẫn chứng cũng như chỉ rõ định lý, tính chất đã sử dụng để dẫn tới kết luận

- Đối với các kết luận sử dụng căn cứ sai: học sinh có nhiệm vụ chỉ ra lỗi sai, nguyên nhân và thay thế lí lẽ, dẫn chứng phù hợp

Bước 2: Giáo viên tổ chức hoạt động để học sinh rèn luyện cách lập luận logic

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ kiểm tra, đánh giá trình tự lập luận trong bài toán, đồng thời đề xuất thay đổi thứ tự sắp xếp hoặc sửa lỗi nếu có

Bước 3: Học sinh rèn luyện kĩ năng suy luận thông qua giải quyết bài toán c) Ví dụ minh họa

Nhiệm vụ 1: Học sinh xác định luận điểm đúng hay sai dựa trên kiến thức đã học

Ví dụ nhiệm vụ 1: Xác định những luận điểm dưới đây đúng hay sai, và giải thích lý do

(1) Trong đường tròn tâm 𝑂, hai dây 𝐴𝐵 và 𝑀𝑁 có độ dài bằng nhau nên khoảng cách kẻ từ tâm 𝑂 đến mỗi dây bằng nhau

(2) Cho đường tròn tâm 𝐼 với đường kính 𝐴𝐵 lần lượt vuông góc với hai dây

𝐻𝐾 và 𝑀𝑁 của đường tròn Từ đó suy ra khoảng cách từ tâm 𝐼 đến dây 𝐻𝐾 và dây 𝑀𝑁 bằng nhau

(3) Từ điểm 𝑀 nằm ngoài đường tròn tâm 𝐼, kẻ tiếp tuyến tới đường tròn (𝐼) tại tiếp điểm 𝐶 Vậy 𝑀𝐶 > 𝐶𝐼

(4) Từ điểm 𝑁 nằm ngoài đường tròn (𝑂), hai tiếp tuyến tới đường tròn (𝑂) tiếp xúc lần lượt tại 𝐴 và 𝐵 Vậy 𝑁𝑂 là tia phân giác của góc 𝐴𝑁𝐵

(5) Hai tiếp tuyến 𝐿𝑀 và 𝑋𝑌 tiếp xúc đường tròn lần lượt tại hai tiếp điểm 𝑃 và

𝑄 Nếu hai tiếp tuyến này song song thì 𝑃𝑄 là đường kính của đường tròn

- Khẳng định (1) đúng Căn cứ theo định lý về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: “Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.”

Khi đường kính 𝐴𝐵 vuông góc với hai dây, chỉ kết luận được hai dây cung song song

Nếu muốn kết luận khoảng cách từ 𝐼 tới hai dây bằng nhau thì dữ kiện cần có 𝑀𝑁 𝐻𝐾

- Khẳng định (3) sai Vì tiếp tuyến MC tới đường tròn (𝐼) tạo thành tam giác vuông

𝐼𝐶𝑀 tại 𝐶, với 𝐼𝑀 là cạnh huyền, ta chỉ có thể suy ra 𝐼𝑀 > 𝐼𝐶 và 𝐼𝑀 > 𝑀𝐶 Tuy nhiên không đủ căn cứ để kết luận 𝑀𝐶 > 𝐶𝐼 Hình minh họa 3 sẽ biểu diễn trường hợp 𝑀𝐶