ứng dụng của đạo hàm ở lớp 12 theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông

Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp dạy học chủ đề “ửng dụng cùa đạo hàm” ở lớp 12 theo hướng phát triến năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận của dạy học theo hướng pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.

- Nghiên cứu thực trạng dạy và học chủ đề “ứng dụng của đạo hàm” theo định hướng phát triến năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.

- Đề xuất một số biện pháp dạy học chủ đề “ủng dụng của đạo hàm” ở lóp 12 theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT.

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp đề xuất.

Khách thể và đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu là quá trình dạy học toán lớp 12.

- Đối tượng nghiên cứu là quá trình dạy học chủ đề “ứng dụng của đạo hàm” ở lớp 12 theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.

Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, các tạp chí, sách, báo các luận văn, luận án, các bài viêt có liên quan tới năng lực tư duy và lập luận toán học, dạy học tư duy và lập luận toán học, tài liệu có nội dung phục vụ cho đê tài.

5.2 Phương pháp điều tra, quan sát

Quan sát, điều tra - khảo sát bằng phiếu hỏi, thực nghiệm sư phạm, tổng kết kinh nghiệm, tham vấn chuyên gia.

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở trường THPT để xét tính khả thi, hiệu quả của các nội dung, tình huống trong đề tài

Nêu xây dựng và triên khai các biện pháp sư phạm hợp lí thì có thê phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học chủ đề này, góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học môn Toán ở trường phô thông.

7 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

7.1 Ỷ nghĩa khoa học của đề tài

Làm sáng tó thêm cơ sở khoa học vê dạy học theo hướng phát triên năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS trong quá trình dạy học một chủ đề cụ thể trong môn Toán ở THPT. Đê xuât được một sô biện pháp dạy học theo hướng phát triên năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS đối với nội dung “ứng dụng của đạo hàm”, góp phân tích cực hóa HS trong việc học tập nội dung đó.

7.2 Y nghĩa thực tiên của đê tài

- Nâng cao hiệu quả dạy và học Toán ở trường THPT. r - 9 - _

- Kêt quả luận văn có thê sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập ở trường THPT.

Ngoài phân “Mở đâu”, “Kêt luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung đề tài gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2: Biện pháp dạy học chủ đề chủ đề “ứng dụng của đạo hàm” ở lớp 12 theo hướng phát triên năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh THPT.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Cơ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Năng lực và dạy học theo định hướng phát triển

1.1.1 Khái niệm về năng lực

Khái niệm về năng lực phụ thuộc vào cách tiếp cận vấn đề nên có những cách hiểu và xây dựng định nghĩa khác nhau về năng lực Tuy nhiên đế đảm bảo các đặc điểm bản chất của khái niệm, sự thống nhất và thuận tiện cho việc nghiên cứu đề tài thì định nghĩa năng lực theo chương trình giáo dục phổ thông, chương trình tổng thể (2018) cũng đã được nêu lên

“Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kì năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.[2, tr.32]

Theo Tâm lí học định nghĩa: “Năng lực là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động có kết quả tốt” [10, tr.32].

Roegiers (1996) nghiên cứu năng lực theo hướng tích hợp định nghĩa: “Năng lực là sự tích họp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trước, đế giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra” [21, tr.25].

Weitnert (2001) định nghĩa: “Năng lực là những khả năng và kì xảo học được hoặc sẵn có của cá thể nhằm giải quyết các tình huống xác định, cũng như sự sẵn sàng về động cơ, xã hội và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề một cách có trách nhiệm và hiệu quả trong những tình huống linh hoạt” [29, tr.46].

Các tác giả Meier và Nguyễn Vãn Cường (2014) cho rằng: “Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống thay đổi thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động”.[7, tr.54]

Theo Vũ Quốc Chung (2018), năng lực được hình thành và phát triển qua chuỗi hoạt động huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng, thái độ và kinh nghiệm học tập đã có để giải quyết một vấn đề cụ thể trong học tập có kết quả (biểu hiện qua: kiến thức mới, kĩ năng mới, thái độ và kinh nghiệm học tập mới được hình thành) với những điều kiện cụ thể Qua các hoạt động giải quyết vấn đề đế tạo thành kiến thức, kĩ năng, thái độ và kinh nghiệm học tập mới, đồng thời các năng lực từng bước được hình thành

Quy trình đó được lặp đi, lặp lại qua nhiều bài học cụ thể, từng bước năng lực được phát triển [7, tr.34]

- Năng lực là sự kết họp giữa tố chất sẵn có của người học và quá trình học tập, rèn luyện tạo thành Bởi vì năng lực là khả năng của mồi học sinh nên đặc thù tâm lí, sinh lí, yếu tố bẩm sinh và yếu tố xã hội sẽ ảnh hưởng đến năng lực của mỗi học sinh.

- Năng lực là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,

- Năng lực của mồi học sinh được hình thành, phát triển thông qua các hoạt động và năng lực thể hiện rõ ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn Vì năng lực của mỗi học sinh được bộc lộ thông qua các hoạt động, nên để chứng minh năng lực của một học sinh trong một lĩnh vực nào đó thì phải xem xét các hoạt động của học sinh trong lĩnh vực đó.

Từ những quan điểm về năng lực của các tác giả trên thì năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân đê thực hiện một công việc có hiệu quả Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội Năng lực con người không phải có sẵn mà nó được hình thành và phát triền trong quá trình học tập và giao tiếp.

1.1.2 Khái niệm năng lực toán học

Cho đến nay có nhiều tác giả đưa ra quan niệm về năng lực toán học dưới các quan điểm khác nhau.

Theo V A Cruchetxki [13, tr 17], nếu nhìn nhận năng lực toán học dưới góc độ thu nhận và xử lí thông tin thì ông đã phân chia năng lực toán học bao gồm 3 thành tố cơ bản là:

(1) Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

7.1 Ỷ nghĩa khoa học của đề tài

Làm sáng tó thêm cơ sở khoa học vê dạy học theo hướng phát triên năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS trong quá trình dạy học một chủ đề cụ thể trong môn Toán ở THPT. Đê xuât được một sô biện pháp dạy học theo hướng phát triên năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS đối với nội dung “ứng dụng của đạo hàm”, góp phân tích cực hóa HS trong việc học tập nội dung đó.

7.2 Y nghĩa thực tiên của đê tài

- Nâng cao hiệu quả dạy và học Toán ở trường THPT. r - 9 - _

- Kêt quả luận văn có thê sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập ở trường THPT.

Cấu trúc luận văn

Ngoài phân “Mở đâu”, “Kêt luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung đề tài gồm 3 chương:

Năng lực và dạy học theo định hướng phát triển

1.1.1 Khái niệm về năng lực

Khái niệm về năng lực phụ thuộc vào cách tiếp cận vấn đề nên có những cách hiểu và xây dựng định nghĩa khác nhau về năng lực Tuy nhiên đế đảm bảo các đặc điểm bản chất của khái niệm, sự thống nhất và thuận tiện cho việc nghiên cứu đề tài thì định nghĩa năng lực theo chương trình giáo dục phổ thông, chương trình tổng thể (2018) cũng đã được nêu lên

“Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kì năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.[2, tr.32]

Theo Tâm lí học định nghĩa: “Năng lực là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động có kết quả tốt” [10, tr.32].

Roegiers (1996) nghiên cứu năng lực theo hướng tích hợp định nghĩa: “Năng lực là sự tích họp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trước, đế giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra” [21, tr.25].

Weitnert (2001) định nghĩa: “Năng lực là những khả năng và kì xảo học được hoặc sẵn có của cá thể nhằm giải quyết các tình huống xác định, cũng như sự sẵn sàng về động cơ, xã hội và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề một cách có trách nhiệm và hiệu quả trong những tình huống linh hoạt” [29, tr.46].

Các tác giả Meier và Nguyễn Vãn Cường (2014) cho rằng: “Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống thay đổi thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động”.[7, tr.54]

Theo Vũ Quốc Chung (2018), năng lực được hình thành và phát triển qua chuỗi hoạt động huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng, thái độ và kinh nghiệm học tập đã có để giải quyết một vấn đề cụ thể trong học tập có kết quả (biểu hiện qua: kiến thức mới, kĩ năng mới, thái độ và kinh nghiệm học tập mới được hình thành) với những điều kiện cụ thể Qua các hoạt động giải quyết vấn đề đế tạo thành kiến thức, kĩ năng, thái độ và kinh nghiệm học tập mới, đồng thời các năng lực từng bước được hình thành

Quy trình đó được lặp đi, lặp lại qua nhiều bài học cụ thể, từng bước năng lực được phát triển [7, tr.34]

- Năng lực là sự kết họp giữa tố chất sẵn có của người học và quá trình học tập, rèn luyện tạo thành Bởi vì năng lực là khả năng của mồi học sinh nên đặc thù tâm lí, sinh lí, yếu tố bẩm sinh và yếu tố xã hội sẽ ảnh hưởng đến năng lực của mỗi học sinh.

- Năng lực là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,

- Năng lực của mồi học sinh được hình thành, phát triển thông qua các hoạt động và năng lực thể hiện rõ ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn Vì năng lực của mỗi học sinh được bộc lộ thông qua các hoạt động, nên để chứng minh năng lực của một học sinh trong một lĩnh vực nào đó thì phải xem xét các hoạt động của học sinh trong lĩnh vực đó.

Từ những quan điểm về năng lực của các tác giả trên thì năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân đê thực hiện một công việc có hiệu quả Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội Năng lực con người không phải có sẵn mà nó được hình thành và phát triền trong quá trình học tập và giao tiếp.

1.1.2 Khái niệm năng lực toán học

Cho đến nay có nhiều tác giả đưa ra quan niệm về năng lực toán học dưới các quan điểm khác nhau.

Theo V A Cruchetxki [13, tr 17], nếu nhìn nhận năng lực toán học dưới góc độ thu nhận và xử lí thông tin thì ông đã phân chia năng lực toán học bao gồm 3 thành tố cơ bản là:

(1) Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.

(2) Chế biến thông tin toán học: Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các kí hiệu toán học.

- Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng các đối tượng, quan hệ toán học và phép toán.

- Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng Năng lực tư duy bằng cấu trúc rút gọn.

- Tính linh hoạt trong quá trình tư duy trong hoạt động toán học.

- Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa sai lại phương hướng của tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đào (trong suy luận toán học).

(3) Lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về hệ thống toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải toán; nguyên tắc đường lối giải toán).

Theo Roegiers [21, tr.34J: “Năng lực học toán là những đặc điểm tâm lý về hoạt động trí tuệ của học sinh, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh , dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kì xảo trong môn toán ”

Theo Đỗ Đức Thái [18, tr 12], Năng lực toán học bao gồm năm thành tố: Năng lực tư duy và lạp luận toán học; Năng lực tư duy và lập luận cho học sinh; Năng lực mô hình hóa toán học; Năng lực giải ciuyết vấn đề;

Năng lực giao tiếp toán học; Năng lực sử dụng công cụ phương tiện toán học.

Kết luận chương I

- Nâng cao hiệu quả dạy và học Toán ở trường THPT. r - 9 - _

- Kêt quả luận văn có thê sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập ở trường THPT.

Ngoài phân “Mở đâu”, “Kêt luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung đề tài gồm 3 chương:

Biện pháp 1: Thiết kế các hoạt động nhằm rèn luyện cho học

2.1.1 Mục đích của biện pháp

Biện pháp được thiêt kê nhăm mục đích rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng các phương pháp lập luận, các quy tắc suy luận, chỉ ra các dẫn chứng, lí lẽ và biết lập luận bài toán trước khi đưa ra kết luận Giúp HS tự nhìn nhận, phát hiện và sửa chừa những lồi sai trong quá trình lập luận; phát huy tính sáng tạo, cách trình bày bài toán, cách diễn đạt chặt chẽ logic trong giải toán; phát triển năng lực tự học, tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo, ham tìm hiếu, đem lại cho HS niềm vui trong học tập.

Biện pháp này nhằm tác động đến biểu hiện chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận của NLTD và lập luận toán học của học sinh.

2.1.2 Cơ sở khoa học của biện pháp

Lập luận có căn cứ là sắp xếp dẫn chứng lí lẽ theo một hệ thống để trình bày, nhàm chứng minh cho một kết luận về một vấn đề Căn cứ là cơ sở để lập luận hoặc hành động Căn cứ của lập luận là tiền đề, định lí, tính chất, hệ quả, định nghĩa đã biết, các giả thiết đã cho của bài toán

Kĩ năng lập luận có căn cứ là kĩ năng xây dựng và trình bày lí lẽ dựa trên các điều kiện đã biết thông qua việc sử dụng các quy tắc, quy luật logic.

Suy luận được xem là một trong những nền tảng xây dựng nên các ngành khoa học tự nhiên Từ xưa đến nay, nhờ suy luận mà người

39 ta có thể nhận thức được cái chưa biết từ những cái đã biết Suy luận còn là cơ sở của sự sáng tạo Từ các phán doán, dựa dến các chứng minh để chấp nhận hay bác bở một vấn để nào đó.

Suy luận toán học dựa trên nền tảng của các phép toán mệnh để, chu yếu là phép kéo theo Để chứng minh một vấn đề nào đó, thông thường người ta phải xác định điểm ban đầu (có thể gọi là giả thiết) và điểm kết thúc (gọi là kết luận) Quá trình đi từ giả thiết đển kết luận gọi là quá trình chứng minh và quá trình này được thực thi bàng cách nào thì gọi đó là phương pháp chứng minh.

2.1.3 Cách thực hiện biện pháp

Vận dụng vào dạy học chủ đề “ứng dụng cùa đạo hàm” ở lớp 12, chúng tôi xây dựng các hoạt động nhăm rèn luyện kĩ năng lập luận có r - 9 căn cứ và theo các quy tăc suy luận, GV có thê thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: GV chuẩn bị các phiếu học tập là các phiếu bài tập chứa lỗi sai, các bài chứng minh chưa có đày đủ chứng cứ hoặc các bài tập trắc nghiệm lựa chọn đúng sai.

Bước 2\ GV tổ chức cho HS Đối với bài toán chứa lỗi sai: chỉ ra lỗi sai, nguyên nhân sai, biện pháp khắc phục. Đối với bài toán thiếu căn cứ: bổ sung căn cứ, chỉ rõ dẫn chứng căn cứ cho từng bước lập luận. Đối với bài toán lựa chọn đúng sai: giải thích lý do đúng sai, chỉ ra phản mệnh đề.

Bước 3: GV tổ chức đánh giá, kết luận.

Ví dụ 2.I.4.I Rèn luyện kĩ năng lập luận có căn cứ thông qua bài toán thiếu chửng cứ, lí lẽ và giúp học sinh biết lập luận hợp lí trước khi kết luận của bài toán, như sau:

Bước ỉ GV phát phiếu bài tập chưa có đầy đủ chứng cứ, yêu cầu học sinh thảo luận tìm hướng giải.

Cho hàm số y = /(x) = ax4 + bx2 + c xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y — f(x + 3) trên đoạn [0; 2] là

Bước 2 GV tổ chức cho học sinh tìm dẫn chứng, bổ sung căn cứ cho từng bước lập luận.

GV: hướng dẫn HS nhận dạng hàm số /(%) — ax4 + bx2 + c.

Và từ bảng biến thiên ta thấy < f (1) — 2 l/ (1) = 0 GV hướng dẫn HS thay vào hàm số tìm các hệ số a, b, c

Thay vào hàm số ta được:

GV hướng dẫn HS giải toán với hàm y = /(% + 3) Đặt t — X 4- 3,x E [0; 2] t E [3; 5].

GV hướng dần HS dựa vào đồ thị Suy ra hàm số y = f(t) đồng biến trên đoạn [3; 5].

Bước 3 GV tổ chức đánh giá, cho HS lập luận lời giải và kết luận.

Giáo viên nhận xét kết quả, hướng giải và lập luận bài toán Đối với bài toán thiếu căn cứ để đưa ra lời giải bài toán học sinh phải nắm được kiến thức, định hướng được phương pháp tư duy tìm hiểu và bổ sung căn cứ, chỉ rõ dần chứng căn cứ, phải có năng lực giải thích, lập luận có căn cử cho từng bước đưa ra lời giải.

Có bao nhiêu giá trị của tham sô m đê hàm sô y — 2x3 + 9mx2 + 12m2x có điểm cực đại XCD, điểm cực tiểu XCT thỏa mãn xịD = XCT2

Bước 1 GV phát phiêu bài tập chưa có đây đủ chứng cứ, yêu câu học sinh thảo luận tìm hướng giải.

Bước 2 GV tổ chức cho học sinh tìm dẫn chứng, bổ sung căn cứ cho từng bước lập luận.

GV định hướng tư duy và lập luận cho HS Thực hiện tính đạo hàm: y' = 6x2 + 18mx + 12m2 = 6(x + m)(x + 2rrì).

Hàm sô có hai diêm cực trị khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt m 0

Trường hợp 1: m < 0 khi đó, GV hướng dần HS lập bảng xét dấu đạo hàm thấy

XỈD — XCT TĨI2 — —2m m — —2 (thỏa mãn).

Trường hợp 2: m > 0 lập bảng xét dấu đạo hàm ta có XCD = — 2m, XCT = —m.

Vậy m = — 2 thỏa mãn đề bài.

Thông qua ví dụ, mục đích của biện pháp là nhằm rèn luyện cho

2 r - - • 'T học sinh kĩ năng lập luận có căn cứ; hiêu quy tăc suy luận diên dịch; hiểu cách sắp xếp các chứng cứ theo trình tự trong trình bày, lời giải bài toán; nhận xét đánh giá, điều chỉnh bài làm cho hoàn thiện, từ đó, góp phần hình thành và phát triển NLTD và LLTH.

Một vật chuyên động theo quy luật 5 = -^-r3 + 6r với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyến động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lởn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Vì v(6) = 36; v(0) = 0; v(7) = 35 Nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s).

Cho hàm số y = /(%) có đạo hàm đến cấp hai trên IK và có đồ thị hàm số y = f"(x) như hình vẽ dưới đây (đồ thị y = /"(x) chỉ có 3 điểm chung với trục hoành như hình vẽ), số điểm cực trị tối đa của hàm số là

Ta có bảng biên thiên của hàm sô y = f (%) như sau

Nhận thây trục hoành căt đô thị hàm sô y = /'(x) tại tôi đa 2 điểm nên /'(x) — 0 có tối đa 2 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số y — f(x) có tối đa 2 điểm cực trị.

Biện pháp 2: Rèn luyện cho HS các thao tác tư duy và lập luận thông qua thực hiện các bước giải một bài toán

2.2.1 Mục đích của biện pháp

Bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định, gồm nhận dạng bài tập và thể hiện được định nghĩa, định lí, các quy tắc, phương pháp, những hoạt động trí tuệ, hoạt động ngôn ngừ

Mục tiêu của giải bài tập là hình thành, củng cố kiến thức, kĩ năng, tư duy ở những khâu khác nhau trong quá trình dạy học, phát triển năng lực trí tuệ như rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành đạo đức của học sinh

2.2.2 Co' sở khoa học của biện phấp

Theo Đỗ Đức Thái (2020): dạy học giải bài tập theo tiếp cận năng lực gồm các hoạt động cơ bản sau (giải toán theo 4 bước cùa G.Polia):

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán Bước 2: Tìm cách giải

Bước 3: Trình bày lời giãi bài toán Bước 4: Đánh giá và nghiên cứu sâu lời giải

2.2.3 Cách thực hiện biện pháp

Vận dụng vào dạy học chương “ứng dụng đạo hàm” lớp 12, tôi xây dựng các hoạt động dạy học giải một bài toán như sau:

Bước ỉ: Tìm hiếu nội dung bài toán

GV cho HS thực hiện hoạt động tìm hiểu bài toán Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau, yêu cầu học sinh phân biệt rõ cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh Dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ minh họa để hồ trợ cho việc diễn tả đề bài.

GV cho HS thực hiện tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những hoạt động phân tích, tổng hợp đề bài để tìm hướng giải bài toán.

Các biện pháp thường dùng: Phân tích bài toán đã cho, biến đồi cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh, liên hệ các dữ kiện đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ một bài toán đã giải với một bài toán cũ tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỳ tích

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả với một số tri thức có liên quan.

Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng đế tìm được lời giải phù hợp nhất.

Bước 3: trình bày lời giải

GV cho HS trình bày lời giải bài toán.

Từ cách giải đã tìm được ở hai bước trên, HS sắp xếp các căn cứ, các bước suy luận thành một lời giải theo một trình tự thích hợp.

Khuyến khích học sinh trình bày ngắn gọn, sử dụng kí hiệu đúng, họp lí.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

GV cho HS nghiên cứu sâu lời giải bài toán.

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả cùa lời giải.

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hoặc lật ngược r _ \ -X vân đê.

GV lựa chọn hệ thống câu hòi dẫn dắt gàn với kiến thức HS đã biết và phù hợp với bài toán đang xét.

Yêu cầu HS luyện tập theo các bước trên.

Cho hàm số y = X3 — 3x2 + 2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Xác định dữ kiện đề bài cho: Hàm số y = X3 — 3x2 + 2 và đường thẳng 21: y = 9x + 2

Yêu cầu: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 21: y — 9x + 2.

Phân tích: Đổ lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, HS sử dụng kiến thức lập phương trình đường thằng Đe lập phương trình tiếp tuyến với bài toán có các cách:

GV: Yêu câu HS nêu dạng của phương trình tiêp tuyên.

HS.- y = fc(x — x0) + y0 với hệ số góc k = /'(x0) và (^oYo) là tọa độ tiếp điểm.

GV: Hãy xác định hệ số góc và các tọa độ tiếp điểm.

HS: Vì tiếp tuyến song song với 21: y — 9x + 2 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 9.

Lại có y = 3x2 — ốx = k = /'(x0) giải phương trinh tìm được tọa độ tiếp điểm (x0;y0)

GV: Khi đó ta có đủ điều cần tìm chưa HS: Giải và thay các số cần tìm

Cách 2: GV định hướng HS tiêp cận theo cách tìm phương trình đường thăng.

Vì tiếp tuyến song song với A-.y = 9x + 2 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 9

Gv gợi lại cho HS cách viết phương trình đường thẳng Phương trình tiếp tuyến có dạng (dy.y = 9x + b với 6*2.

Vì (d):y - 9x + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y - X3 - 3x2 + 2 nên

Giải hệ phương trình tìm được b = 7 b = -25. r F \ Vậy phương trình tiêp tuyên cân tìm là y = 9x + 7 hoặc y = 9x - 25.

Bước 3: Trình bày giải pháp

Vì tiêp tuyên song song với ứ:y = 9x + 2 nên hệ sô góc của tiêp

+ Với X = -1 => y = -2 => M(—1; -2) có phương trình tiêp tuyên là y — 9 (% + 1) — 2 ô y = 9x + 7.

+ Với x = 3=>y = 2=> /V(3; 2) có phương trình tiêp tuyên là y = 9(x — 3) + 2 o y = 9% — 25.

Vì tiêp tuyên song song với â:y = 9x + 2 nên hệ sô góc của tiêp tuyến là k = 9

Phương trình tiêp tuyên có dạng (d): y = 9x + b với b 2

Vì (d): y = 9x + b là tiêp tuyên cùa đô thị hàm sô y = X3 - 3x2 + 2 nên

Từ giả thiết ta có

Diện tích toàn phân của thùng phi là

Giải hệ phương trình tìm được b = 7 b = -25.

Vậy phương trình tiêp tuyên cân tìm là y = 9x + 7 hoặc y = 9x - 25.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giãi bài toán

GV: Hướng dẫn HS xây dựng bài toán tương tự và bài toán lật ngược vấn đề.

Bài toán tương tự: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = X3 — 3x + 1 có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9.

Bài toán lật ngược vấn đề: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = X3 — 2% 4- 3 tại điểm M(1 ;2).

Thông qua giải bài tập trên, HS thực hiện được các thao tác phân tích, nhận biết các căn cứ bài cho và yêu cầu cần tìm của bài toán từ đó góp phần hình thành năng lực tư duy và lập luận toán học.

Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu câu là lìĩnỉ Hỏi bán kính đáy R và chiêu cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất

Xét hàm số f(R) = R2 + với R 6 (0; 4-00) rp z r/ZT-)\ OD 2 2(z?3 —1)

Suy ra diện tích toàn phân đạt giá trị nhỏ nhât khi R = 1 => h = 2 Vậy đê tiêt kiệm vật liệu nhât khi làm thùng phi thì R = ỉm; h = 2/n.

Cho hàm số y = X3 — 3mx2 + 4m2 — 2có đồ thị (C) và điểm c(l;4) Tổng các giá trị nguyên dương của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4 là

Hướng dân giải Đô thị (C) luôn có hai diêm cực trị với mọi m nguyên dương (vì m là số nguyên dương nên phương trình y = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt).

Thế tọa độ c vào phương trình đường thẳng (Afi), dễ thấyC Ế (Afi). d(C,Afi) 2m2 + 4 — 4m2 + 2|

Do m nguyên dương nên ta nhận đượcm = 1, m = 2 Tổng là 3.

Chú ý: Học sinh nên kiêm tra điêu kiện đê hàm sô có hai điểm cực trị và điều kiện để ha điểm A, B, c không thẳng hàng (dù trong bài toán này, nếu “quên” thì không ảnh hưởng đến kết quá).

Ta có thế tính nhanh diện tích như sau:

Ta có OA = (0; 4m2 — 2) và OB = (2m; —4m3 4- 4m2 — 2) Khi đó:SABC = i |2m(4m2 — 2)1 = 4

Ví dụ 2.2.4.4: Biêt răng đô thị hàm sô y = X3 — 3mx + 2 có hai điểm cực trị A, fi Gọi M, N là hai giao điểm của đường thẳng (Afi) và đường tròn(C): (x — l)2 + (y — l)2 = 3 Biết MN lớn nhất Khoảng cách từ điểm F(3; l)đến (Afi) bằng

Hàm sô có hai điêm cực trị y = 0 có hai nghiệm phân biệt m r r

Viêt hàm sô dưới dạng

Suy ra đường thăng đi qua hai diêm cực trị của đô thị hàm sô đã cho là Q4B): y = — 2mx + 2. Đường thẳng (AB)luôn đi qua điểm cố định là M(0; 2). Đường tròn(c) tâm/(l; 1), bán kính R = V3 và d[I; (X£?)] < IM = 1 < V3 = R nên đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm M, N.

Giả sử/(l; 1) e (Xổ) => 1 = —2m + 2 m Vậy khi m = ị- (thoa mãn hàm số có hai điểm cực trị) thì (AB)

2 qua/(l; 1), cắt đường tròn(c) tại hai điểm M, N với MN = 2R là lớn nhất.

2.3 Biện pháp 3: Thiết kế hoạt động dạy học giúp học sinh rèn luyện thói quen kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh được cách thức giải quyết vẩn đề về phương diện toán học chủ đề “ứng dụng của đạo hàm”

2.3.1 Mục đích của biện pháp

Rèn luyện cho HS thói quen kiểm tra, đánh giá các bước lập luận của mình sau khi trình bày lời giải; so sánh, cách giải quyết vấn đề của mình với các bạn để thấy được cách giải quyết tối ưu Qua việc làm rõ căn cứ lập luận, cũng giúp HS thấy được các quy tắc suy luận trong mồi cách giải quyết vấn đề toán học Từ đó, linh hoạt vận dụng các quy tắc suy luận trong quá trình lập luận tìm hướng giải bài toán.

2.3.2 Cơ sở khoa học của biện pháp

Biện pháp này giúp HS có thói quen kiếm tra, đánh giá các bước giải của mình Xem xét các bước lập luận của mình đã tuân theo các quy tắc suy luận hay chưa Từ đó HS thông hiểu và áp dụng quy tắc suy luận cho các tình huống khác.

Thông qua việc so sánh các cách giải quyết vấn đề khác nhau, HS hiểu được vai trò của mỗi cách giải và hiểu được các quy tắc suy luận ẩn chứa trong mỗi cách giải. Để HS nắm được quy tắc suy luận thường dùng trong việc giải toán, GV cần chú ý trang bị cho HS:

Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm SU’ phạm đề tiến hành kiểm nghiệm giá thiết khoa học của luận văn, tính khả thi, hiệu quả của các mô hình, các biện pháp được đề xuất.

Dựa vào kết quả thực nghiệm phân tích và xử lý số liệu thu thập được để đánh giá ưu, khuyết điểm của các biện pháp trong thực tế ở trường THPT Bắc Lương Sơn.

Nội dung thực nghiệm

Căn cứ vào nội dung, mục đích yêu cầu của từng bài, bám sát chương trình sách giáo khoa hiện hành, chuẩn kiến thức kĩ năng và các thành tố, các biện pháp đã được đề xuất ở chương 1 và chương 2 Tuy nhiên chúng tôi chỉ tập trung vào một số biện pháp sau đây: Biện pháp

Chúng tôi tổ chức thực nghiệm bốn tiết dạy học trên lớp gồm hai tiết lý thuyết và hai tiết luyện tập.

Nội dung của từng tiết dạy dựa vào sách giáo khoa lớp 12, chuẩn kiến thức kĩ năng và sách giáo viên lớp 12, được sắp xếp theo nguyên tắc sau:

- Xác định những kiến thức cơ bản và những kĩ năng cần thiết của học sinh cần đạt được sau quá trình tư duy và lập luận cho học sinh.

- Những bài toán, những tình huống thực tế phải phù họp với nội dung giảng dạy và vừa sức với trình độ nhận thức của học sinh, và có độ khó tăng dần.

Tổ chức thực nghiệm

Danh sách các bài thực nghiệm chủ đề “ứng dụng của đạo hàm”

3.3 Tô chức thực nghiệm Được sự đồng ý của Ban giám hiệu trường THPT Bắc Lương Sơn cho phép thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu, chúng tôi đã tìm hiểu học sinh và tình hình dạy học bộ môn Toán Trên cơ sở đỏ đề xuất giáo viên và các lớp tham gia thực nghiệm Chúng tôi chọn cặp lớp 12A3, 12A4 và 12A5, 12A6 của trường THPT Bắc Lương Sơn để tiến hành thực nghiệm - đối chứng để kiểm tra kết quả của luận văn, cụ thể là:

Trường Lớp Số HS tham gia

Trường THPT Bắc Lương Sơn 12A3 42 Trường THPT Bắc Lương Sơn 12A4 40 Trường THPT Bắc Lương Sơn 12A5 39 Trường THPT Bắc Lương Sơn 12A6 42

Thực nghiệm đối với 4 lóp học, GV lựa chọn thực nghiệm trong các lớp thực nghiệm - đối chứng có trình độ chuyên môn, nhiệm vụ là tương đương và được phân công giảng dạy khối 12 tại trường THPT Bắc Lương Sơn, cụ thể:

Lớp thực nghiệm 1 và lớp đôi chứng 1: Trịnh Ngọc Minh Lớp thực nghiệm 2 và lớp đối chứng 2: Đinh Thị Phương Anh

3.3.1 Tiến trình thực nghiệm 3.3.1 ỉ Thời gian thực nghiệm

3.3 Ỉ.1 Công tác chuẩn bị Đe tiến hành thực nghiệm có hiệu quả, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu kĩ nội dung chương trình sách giáo khoa, chuẩn bị kiến thức kĩ năng, sách giáo viên, tài liệu bồi dưỡng giáo viên, và khảo sát thực trạng dạy học chủ đề “ ứng dụng của đạo hàm” ở lớp 12 học sinh trường THPT Bắc Lương Sơn Tham khảo ý kiến của giáo viên có kinh nghiệm, trao đổi với giáo viên dạy thực nghiệm về ý tưởng nội dung và tiến trình dạy học đã được chuấn bị trong giáo án.

3.3 ỉ.3 Giáo án thực nghiệm (xem phụ lục 4)

Giáo án thực nghiệm được xây dựng theo các tiêu chí sau:

- Bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa hiện hành và chuẩn kiến thức kĩ năng.

- Xác định rõ mục tiêu về kiến thức, yêu cầu về kĩ năng của từng bài và những kiến thức liên hệ với thực tế.

- Các bài toán liên hệ thực tế phải phù hợp với thời lượng và trình độ của học sinh.

3 3.1.4 Trao đổi với giáo viên thực nghiệm

Chúng tôi đã trao đổi với giáo viên dạy thực nghiệm về ý tưởng thiết kế giáo án, và những nội dung nói trên Vận dụng các phương pháp dạy học, áp dụng linh hoạt các biện pháp được trình bày ở chương 2 của luận văn nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận của toán học cho học sinh lớp 12 qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học bộ môn Toán ở trường THPT Bắc Lương Sơn Để đạt được mục đích đó, chúng tôi yêu cầu giáo viên dạy thực nghiệm hiếu

70 rõ nội dung các biện pháp, vận dụng chúng một cách hợp lí, linh hoạt và phải đảm bảo những nhiệm vụ khác của môn học. Đe đạt được hiệu quả khi tiến hành thực nghiệm, các biện pháp phải được thực hiện thường xuyên trong khoảng thời gian thực nghiệm.

3 3.2 Nội dung kiểm tra sau khi thực nghiệm ĐÈ KIẺM TRA SAU THỤC NGHIỆM Họ và tên: Lớp:

B.o, có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 2 Cho hàm số y = /(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cưc tri?

Câu 3 Cho hàm số y = /(%) có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Hàm số đồng biến trên (—00; 0)

B.Hàm sô đông biên trên c Hàm số đồng biến trên (—00; 2) D Hàm số đồng biến trên (0; 2).

Câu 4 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A Nếu /'(x)>0,Vxe(a;è)thì hàm số đồng biến trên khoảng

B.Neu f (x) < 0, Vx e (a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b).

C.Nếu /'(x)