Ứng dụng phần mềm geogebra vào việc dạy và học hình học phẳng

Mục đích nghiên cứu Giúp giáo viên thấy được hiệu quả của việc ứng dụng phần mềm toán họcGeoGebra trong mỗi bài giảng, trong mỗi bài toán hình học, đại số, giúp giáo viêntiết kiệm và tận

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÂM THỊ KIỀU LOAN

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA

VÀO VIỆC DẠY VÀ HỌC HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨNGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Đà Nẵng - 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÂM THỊ KIỀU LOAN

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Vai trò của công nghệ thông tin trong dạy học 3

1.2 Các hình học cơ bản 4

1.2.1 Hình tam giác 4

1.2.2 Hình thang 8

1.2.3 Hình bình hành 9

1.2.4 Hình chữ nhật 9

1.2.5 Hình thoi 10

1.2.6 Hình vuông 11

1.2.7 Hình tròn 12

1.3 Phương pháp tọa độ 12

1.3.1 Phương trình đường thẳng 12

1.3.2 Phương trình đường tròn 14

1.3.3 Hàm số bậc hai 15

1.4 Các đường conic 15

1.4.1 Đường Elip 16

1.4.2 Đường Parabol 17

1.4.3 Đường Hyperbol 18

1.4.4 Ứng dụng đường cô-nic 19

1.5 Giới thiệu về phần mềm GeoGebra 20

1.6 Tổng quan về phần mềm GeoGebra 21

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY VÀ HỌC HÌNH HỌC PHẲNG 23

2.1 Các bài toán về các yếu tố trong tam giác 23

2.2 Các bài toán về các yếu tố trong tứ giác 29

2.3 Các bài toán quỹ tích 33

2.4 Các bài toán dựng hình 37

2.5 Các bài toán về phương pháp trong tọa độ phẳng 41

KẾT LUẬN 57

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn học cần thiết, xuyên suốt toàn bộ quá trìnhhọc tập của học sinh, sinh viên Học tốt môn toán sẽ giúp học sinh nâng cao khảnăng tư duy, nhạy bén khi học các bộ môn khác Toán học còn là môn có tính ứngdụng cao, đóng vai trò thiết yếu trong sự phát triển của công nghệ, kĩ thuật, kinh

tế và mọi ngành nghề Sự phát triển Toán học chính là sự phát của những ngànhkhoa học mũi nhọn trong thời đại cách mạng công nghiệp 4.0

Nhưng thực tế, ở trường tôi tình hình học sinh yếu ở bộ môn toán còn cao,đặc biệt là ở phân môn hình học Trước tình hình đó, giáo viên bộ môn toán, tổchuyên môn, ban giám hiệu nhà trường đã đưa ra nhiều giải pháp như phân luồnghọc sinh, thường xuyên tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên môn để giáo viên traođổi kinh nghiệm giảng dạy, tăng cường tổ chức dạy tăng buổi, phụ đạo cho họcsinh yếu, kém, chất lượng cũng có cải thiện nhưng chưa thực sự nổi bật

Điều đó làm tôi trăn trở mãi, cần tìm ra nguyên nhân thật sự vì sao thầy cô đãrất nỗ lực mà chất lượng học sinh vẫn chưa cao Và qua tìm hiểu tôi đã biết nguyênnhân là khả năng tự tưởng tượng, tự hình dung của học sinh còn rất ít Trong khi

đó, sử dụng phần mềm GeoGebra có thể giúp giáo viên khắc phục những hạn chế

đó, tăng cường phương pháp trực quan, góp phần tạo động cơ, hứng thú học tậpmôn Toán cho HS, giúp học sinh chủ động tìm hiểu, thu thập kiến thức, học sinh

tự học thì kiến thức sẽ sâu hơn, bền hơn và thực chất hơn

Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài: “Ứng dụng phần mềm GeoGebra vàoviệc dạy và học hình học phẳng” làm nội dung nghiên cứu Mong muốn phần nàonâng cao chất lượng học tập cho học sinh

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp giáo viên thấy được hiệu quả của việc ứng dụng phần mềm toán họcGeoGebra trong mỗi bài giảng, trong mỗi bài toán hình học, đại số, giúp giáo viêntiết kiệm và tận dụng tối đa được thời gian để khai thác bài dạy sâu hơn, triệt

để hơn

Giúp học sinh có thể nghe và nhìn thấy được những kiến thức mà giáo viênđang nói, từ đó có cách nhìn trực quan hơn, dễ dàng tiếp thu được kiến thức, vậndụng vào giải bài tập nhằm góp phần nâng cao chất lượng học môn Toán và nhất

là phân môn Hình học

3 Đối tượng nghiên cứu

Hình học phẳng ở chương trình toán phổ thông;

Một số công cụ cơ bản của phần mềm;

Ứng dụng phần mềm GeoGebra vào dạy học hình học phẳng

5 Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài:"Ứng dụng phần mềm GeoGebra vào việc dạy và học hình học phẳng"tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

• Nghiên cứu lý thuyết về hình học phẳng;

• Nghiên cứu các công cụ hỗ trợ dạy và học toán với phần mềm Geogebra;

• Thu thập, phân tích, tổng hợp;

• Tìm hiểu các tài liệu liên quan qua sách tham khảo, Internet

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu thamkhảo cho sinh viên ngành toán, giáo viên phổ thông và các đối tượng quan tâmđến phần mềm GeoGebra

7 Cấu trúc của luận văn

Ở chương 1 tôi trình bày phần lý thuyết về các kiến thức cơ sở;

Ở chương 2 tôi sẽ trình bày việc ứng dụng phần mềm GeoGebra để minh họabài toán hình học và các vấn đề liên quan

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về hình học phẳng vàvai trò của công nghệ thông tin trong dạy học, giới thiệu về phần mềm Geogebra.1.1 Vai trò của công nghệ thông tin trong dạy họcỨng dụng công nghệ thông tin trong dạy học giúp người dạy nâng cao tínhsáng tạo và trở nên linh hoạt hơn trong quá trình giảng dạy của mình Giáo viênđược tìm hiểu thêm về những chuyên ngành khác như tin học và học hỏi các kỹnăng sử dụng hình ảnh, âm thanh trong việc thiết kế bài giảng Ngoài ra, nó còngiúp giáo viên có thể chia sẻ bài giảng với đồng nghiệp, cùng nhau thảo luận vànâng cao chất lượng giáo án của mình Với việc sử dụng bài giảng điện tử sẽ giúpgiáo viên tiết kiệm được thời gian viết nội dung lên bảng, treo bảng phụ, nội dunghiển thị đến đâu, giáo viên giảng đến đó, làm cho thời gian giảng bài nhiều hơn.Bài giảng điện tử được lưu trữ và làm tư liệu để có thể sử dụng chúng lâu dài vàcho những bài dạy về sau

Đối với người học, việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học đã giúp

họ được tiếp cận phương pháp dạy học mới hấp dẫn hơn phương pháp đọc - chéptruyền thống, các em có nhiều thời gian được thể hiện quan điểm cũng như chínhkiến riêng của mình đối với môn học Điều này không chỉ giúp người học ngàythêm tự tin mà còn để cho giáo viên hiểu thêm về năng lực, tính cách và mức độtiếp thu kiến thức của người học, từ đó có những điều chỉnh phương pháp giảngdạy cho phù hợp và khoa học

Bên cạnh đó việc được tiếp xúc nhiều với công nghệ thông tin trong lớp họccòn mang đến cho người học những kỹ năng tin học cần thiết ngay từ khi còn ngồitrên ghế nhà trường Đây sẽ là nền tảng và sự trợ giúp đắc lực giúp người học traudồi thêm kĩ năng và sự sáng tạo trong việc soạn các slide cho những buổi thuyếttrình trước lớp, đồng thời tăng cường khả năng tìm kiếm thông tin cho bài.Công nghệ thông tin đã và đang ngày càng phát triển mạnh mẽ, việc ứng dụngcông nghệ thông tin vào tất cả các ngành nghề là rất cần thiết nhất là đối với việcdạy và học Việc ứng dụng công nghệ thông tin nhằm đổi mới nội dung, phươngpháp dạy học là một công việc lâu dài, khó khăn đòi hỏi rất nhiều điều kiện về

cơ sở vật chất, tài chính, năng lực của đội ngũ giáo viên Vì vậy, với khả năng sưphạm vốn có cộng thêm việc thường xuyên bồi dưỡng nâng cao kiến thức tin học,người dạy hoàn toàn có thể thiết kế được bài giảng điện tử để thể hiện tốt hơnphương pháp sư phạm, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy và nâng cao chấtlượng đào tạo giáo dục trong thời đại ngày nay

Đổi mới giáo dục hiện nay là truyền thụ kiến thức sang phát triển năng lựcngười học, bằng cách giúp người học phương pháp tiếp cận và cách tự học, cáchgiải quyết vấn đề Việc truyền thụ, cung cấp kiến thức, dần dần sẽ do công nghệthông tin đảm nhận, giải phóng người dạy khỏi sự thiếu hụt thời gian, để họ có

thể tập trung giúp người học phương pháp tiếp cận và giải quyết vấn đề, tổ chứccác hoạt động học tập gắn với thực tiễn nhằm phát triển năng lực của người học.Công nghệ thông tin tạo điều kiện cho người học có thể học tập và tiếp thukiến thức một cách linh động và thuận tiện Mọi người có thể tự học ở mọi lúc, mọinơi, có thể tham gia thảo luận một vấn đề mà mỗi người đang ở cách xa nhau, gópphần tạo ra xa hội học tập mà ở đó, người học có thể học tập suốt đời Đổi mớiphương pháp dạy - học nâng cao chất lượng giáo dục là một trong những mục tiêuquan trọng hiện nay của ngành giáo dục Việc ứng dụng CNTT nhằm đổi mới nộidung, phương pháp dạy học là một công việc lâu dài, khó khăn đòi hỏi rất nhiềuđiều kiện về cơ sở vật chất, tài chính, năng lực của đội ngũ giáo viên Nhưng thiếtnghĩ rằng, với những lợi ích mà nó đem lại, người dạy và người học cần lưu tâm

để chất lượng công việc và học tập ngày càng đạt hiệu quả cao hơn

Định nghĩa 1.1 Hình tam giác là đa giác có 3 đỉnh và 3 cạnh

Tam giác là đa giác có số cạnh ít nhất (3 cạnh) Tam giác luôn luôn là một đagiác đơn và luôn là một đa giác lồi (các góc trong luôn nhỏ hơn 1800) Một tamgiác có các cạnh AB, BC và AC được ký hiệu là ∆ABC.

Các đường đồng quy của tam giác

(1) Đường cao là một đoạn thẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đốidiện của đỉnh đó Mỗi tam giác chỉ có ba đường cao Ba đường cao của một tamgiác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trực tâm của tam giác

(2) Đường trung tuyến là một đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnhđối diện Một tam giác chỉ có ba đường trung tuyến Ba đường trung tuyến củamột tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tamgiác Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2

3 đường trung tuyến tươngứng với đỉnh đó và suy ra, khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi trung điểm bằng 1

3đường trung tuyến tương ứng với điểm đó Trên một mặt phẳng, đường thẳng điqua bất kỳ một đỉnh và trọng tâm của tam giác đều thì chia tam giác đó thànhhai tam giác có diện tích bằng nhau Trong một tam giác, ba trung tuyến chia tamgiác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau

(3) Đường trung trực của một tam giác là đường vuông góc với một cạnh củatam giác đó tại trung điểm Mỗi tam giác chỉ có ba đường trung trực Ba đườngtrung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó có tên gọi là tâmcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cáchđều ba đỉnh của tam giác đó

(4) Đường phân giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến cạnh đối diện và chia góc ởđỉnh làm 2 phần có số đo góc bằng nhau Mỗi tam giác chỉ có ba đường phân giác

Ba đường này đồng quy tại một điểm Điểm đó có tên gọi là tâm của đường trònnội tiếp tam giác Khoảng cách từ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác tới cáccạnh là bằng nhau Đường phân giác đi qua một góc của một đỉnh tam giác thìchia cạnh đối diện của góc đó những đoạn tỉ lệ với hai cạnh còn lại của tam giác

Sự bằng nhau của các tam giác

Hai tam giác được gọi là bằng nhau khi chúng có thể đặt trùng khít lên nhausau một số phép tịnh tiến, quay và đối xứng Nói cách khác hai tam giác được gọi

là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứngbằng nhau Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi thỏa mãn một trong các điềukiện sau đây:

•Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau cạnh)

(cạnh-cạnh-• Hai tam giác có hai cặp cạnh bất kỳ tương ứng bằng nhau và cặp góc xengiữa các cạnh đó bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-góc-cạnh)

• Hai tam giác có một cặp cạnh bất kỳ bằng nhau và hai cặp góc kề với cặpcạnh ấy bằng nhau thì bằng nhau (góc-cạnh-góc)

•Hai tam giác vuông có cặp cạnh huyền và một cặp cạnh góc vuông bằng nhauthì bằng nhau

• Hai tam giác vuông có cặp cạnh huyền và một cặp góc nhọn bằng nhau thìbằng nhau

• Hai tam giác vuông có hai cặp cạnh góc vuông bằng nhau thì bằng nhau

• Hai tam giác vuông có một cặp cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó bằng nhauthì bằng nhau

• Quan hệ bằng nhau giữa các tam giác

Sự đồng dạng giữa các tam giác

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu một trong chúng bằng với một tamgiác nhận được từ tam giác kia sau một phép vị tự Các điều kiện cần và đủ đểhai tam giác đồng dạng:

• Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau thì đồng dạng

• Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng

• Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ và góc xen giữa hai cặp cạnh

Định nghĩa 1.2 Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau Hai cạnhbằng nhau đó được gọi là cạnh bên Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm củahai cạnh bên Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi làgóc ở đáy.

Định nghĩa 1.3 Tam giác có một góc vuông được gọi là tam giác vuông

Định lí 1.1 Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh đối diện vàbằng nửa cạnh ấy thì đó là tam giác vuông

Ta cũng có Định lí đảo của Định lí 1.1

Định lí 1.2 Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằngnửa cạnh huyền, một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.Định nghĩa 1.4 Tam giác vuông cân là tam giác có hai cạnh góc vuông bằngnhau

Định nghĩa 1.5 Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

1.2.2 Hình thang

Định nghĩa 1.6 Hình thang là một hình tứ giác có hai cạnh đối song song

Tính chất 1.1 Một hình thang có các tính chất sau :

• Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180 độ

• Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song vàbằng nhau

• Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì chúng bằng nhau và haicạnh đáy cũng bằng nhau

Định nghĩa 1.7 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằngnhau

Tính chất 1.2 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Tính chất 1.4 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành

1.2.4 Hình chữ nhật

Định nghĩa 1.9 Hình chữ nhật là một tứ giác có bốn góc vuông

Tính chất 1.5 Một hình chữ nhật có các tính chất sau:

• Có tất cả các tính chất của hình bình hành

• Hai đường chéo bằng nhau và 4 góc ở đỉnh là góc vuông

Tính chất 1.6 Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

1.2.5 Hình thoi

Định nghĩa 1.10 Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

Tính chất 1.7 Một hình thoi có các tính chất sau:

• Các góc đối nhau bằng nhau

•Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

• Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi

• Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành

Tính chất 1.8 Dấu hiệu nhận biết hình thoi

• 1 đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.

• Giao điểm của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều trùng tạimột điểm

• Có tất cả tính chất của hình chữ nhật, hình thoi và cả hình thang cân.Tính chất 1.10 Dấu hiệu nhận biết hình vuông

1.2.7 Hình tròn

Định nghĩa 1.12 Đường tròn là tập hợp của tất cả những điểm trên mộtmặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó Điểmcho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính củađường tròn

Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là (O; R).

Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó, hoặc khi biếtmột đoạn thẳng là đường kính của nó

Định lí 1.3 Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta có thể vẽ được một và chỉ mộtđường tròn

Nhận xét 1.1 Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

Định nghĩa 1.14 Vectơ −→n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆nếu−→n ̸= − →

0 và −→n vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

Nhận xét 1.2 Ta có các nhận xét sau

• Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến

• −→n − →u = 0.

Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0; y0) và có VTCP −→u = (a; b) Phương trình

tham số của đường thẳng ∆ có dạng

(

x = x 0 + at

y = y0+ bt (t ∈R)Nhận xét 1.3 Nếu đường thẳng ∆ có VTCP −→u = (a; b) thì có hệ số góc

k = b

a.Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0; y0)và có VTPT −→n = (A; B) Phương trìnhtổng quát của đường thẳng ∆có dạng

a 0 = −C

A, b0 = −

C

B.Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đườngthẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M (a0; 0) và M (0;b0).

1.3.2 Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R có dạng

(x − a)2+ (y − b)2 = R2.Nhận xét 1.5 Phương trình đường tròn

(x − a)2+ (y − b)2= R2

có thể được viết dưới dạng

x2+ y2− 2ax − 2by + c =0,trong đó c = a2+ b2− R 2

Điều kiện để phương trình

x2+ y2− 2ax − 2by + c =0

là phương trình đường tròn là a2+ b2− c > 0 Khi đó đường tròn có tâm I(a; b) vàbán kính R = √

a 2 + b 2 − c.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M (x0; y0) thuộc đường tròn (C) có tâm I(a; b) Gọi ∆ là tiếp tuyếnvới (C)tại M (x0; y0) Khi đó, phương trình tiếp tuyến ∆của đường tròn (x − a)2+

∆ 4a

,

có trục đối xứng là đường thẳng

x = − b2a.Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.

1.4 Các đường conic

Định nghĩa 1.15 Đường cô-nic là quỹ tích của các điểm mà tỉ lệ khoảng cách

từ nó tới điểm cố địnhF chia cho khoảng cách từ nó tới đường cố định L thì bằnggiá trị thực e.

• Đối với 0 < e < 1 ta được hình Elip (nằm trên mặt phẳng vuông góc vớiđường L).

• Đối với e = 1là một parabol (nằm trên mặt phẳng chứa điểm F và đườngL).

• Đối với e > 1 là một hình hyperbol

Ta có điểm cố định F được gọi là tiêu điểm, đường thẳng cố định L được gọi

là đường chuẩn và giá trị thực e được gọi là tâm sai

Tính chất 1.11 Các đường cô-nic luôn luôn có tính chất "trơn" Chính xáchơn, chúng không chứa bất kì điểm nào làm thay đổi độ cong Điều này rất quantrọng cho rất nhiều ứng dụng của đường cô-nic, ví dụ như dạng khí động lực học,trong đó độ trơn của bề mặt góp phần ngăn cản sự chuyển động không đều củakhông khí hoặc nước

1.4.1 Đường Elip

Định nghĩa 1.16 Cho hai điểm cố định và phân biệtF1,F2 ĐặtF1F2= 2c > 0.Cho số thực a lớn hơn c Tập hợp các điểm M sao cho

M F 1 + M F 2 = 2ađược gọi là đường elip

Hai điểm F1, F2 được gọi là hai tiêu điểm và F1F2= 2c được gọi là tiêu cự củaelip đó

Phương trình chính tắc của Elip

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho

O là trung điểm của đọan thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình

x2

a 2 +y

2

b 2 = 1, với a > b > 0. (1.1)Ngược lại, mỗi phương trình có dạng 1.1 đều là phương trình của elip có haitiêu điểm

F1−pa 2 − b 2 ; 0, F2pa 2 − b 2 ; 0,tiêu cự 2c = 2 √

a2− b 2 và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới haitiêu điểm bằng 2a.

Phương trình 1.1 được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng

Tính chất 1.12 Cho elip có phương trình chính tắc

x2

a 2 +y

2

b 2 = 1,với a > b > 0 Ta có những tính chất sau đây

• Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé).

• Tâm đối xứng O.

• Tọa độ các đỉnh A1(−a; 0) , A2(a; 0) , B (0; −b) , B2(0; b).

• Độ dài trục lớn 2a Độ dài trục bé 2b.

• Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở có kích thước là 2a và 2b.

∆ được gọi là tham số tiêu của parabol đó

Phương trình chính tắc của Parabol

Xét (P ) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn ∆ Gọi H là hình chiếuvuông góc củaF trên∆ Khi đó, trong hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểmcủaHF, tia Ox trùng với tiaOF, parabol (P ) có phương trình

y2 = 2px.

Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P ).

Ngược lại, mỗi phương trình dạng trên, với p > 0, là phương trình chính tắccủa parabol có tiêu điểmF p

2; 0



và đường chuẩn ∆ : x = −p

2

1.4.3 Đường Hyperbol

Trên mặt phẳng, nếu hai thiết bị đặt tại các vị trí F1,F2 nhận được một tínhiệu âm thanh cùng lúc thì vị trí phát ra tín hiệu cách đều hai điểm F1,F2, và do

đó, nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng F 1 F 2

Định nghĩa 1.18 Cho hai điểm phân biệt cố địnhF1, F2 Đặt F1F2= 2c Cho

số thực dương a nhỏ hơn c Tập hợp các điểm M sao cho

|M F1− M F2| = 2ađược gọi là đường hypebol Hai điểmF1, F2 được gọi là hai tiêu điểm và F1F2 = 2cđược gọi là tiêu cự của hypebol đó

Phương trình chính tắc của Hyperbol

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành saocho O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình

x2

a 2 − y

2

b 2 = 1,vớia, b > 0 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng như trên đều là phương trình củahypebol có hai tiêu điểm

F1−pa 2 + b 2 ; 0, F2pa 2 + b 2 ; 0,tiêu cự 2c = 2 √

a 2 + b 2 và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểmthuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng

1.4.4 Ứng dụng đường cô-nic

Tương tự gương cầu lồi thường đặt ở những khúc đường cua, người ta cũng cónhững gương elip, hypebol, parabol Tia sáng gặp các gương này, đều được phản

xạ theo một quy tắc được xác định rõ bằng hình học, chẳng hạn:

• Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm của elip, hypebol sau khi gặp elip, hypebol

sẽ bị hắt lại theo một tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại

• Tia sáng hướng tới một tiêu điểm của elip, hypebol , khi gặp elip, hypebol sẽ

bị hắt lại theo một tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại

• Với gương parabol lõm, tia sáng phát ra từ tiêu điểm khi gặp parabol sẽ bịhắt lại theo một tia vuông góc với đường chuẩn của parabol Ngược lại, nếu tiatới vuông góc với đường chuẩn của parabol thì tia phản xạ sẽ đi qua tiêu điểm củaparabol

Tính chất quang học được đề cập ở trên giúp ta nhận được ánh sáng mạnh hơnkhi các tia sáng hội tụ và giúp ta đổi hướng ánh sáng khi cần Ta cũng có điềutương tự đối với tín hiệu âm thanh, tín hiệu truyền từ vệ tinh

Ba đường conic còn xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và trongcuộc sống, chẳng hạn:

• Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bổng của quả bóng là nhữnghình ảnh về đường parabol;

• Khi nghiêng cốc tròn, mặt nước trong cốc có hình elip Tương tự, dưới ánhsáng mặt trời, bóng của một quả bóng, nhìn chung, là một elip;

• Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn Led trên trần nhà có thể tạo nên trêntường các nhánh hypebol;

• Nhiều công trình kiến trúc có hình elip, parabol hay hypebol

1.5 Giới thiệu về phần mềm GeoGebra

GeoGebra là phần mềm miễn phí, là phần mềm toán học động được thiết kếcho việc dạy và học môn Toán Nó cũng cung cấp các tính năng điển hình của cácphần mềm hệ thống đại số máy tính và hình học động

Một mặt, GeoGebra được sử dụng để xây dựng tình huống dạy học khám phá

và là phương pháp trực quan thay thế cho phương pháp dạy học toán truyền thống.Mặt khác, GeoGebra là công cụ để thúc đẩy học tập tích cực và bồi dưỡng năng lựccho học sinh thông qua việc đặt câu hỏi, quan sát, giải thích, chứng minh và đưa

ra dự đoán để áp dụng trong thực tiễn Tác giả phần mềm là Markus Hohenwarter,giảng viên trường Đại học Salzburg, Cộng hòa Áo Phần mềm GeoGebra được khởitạo năm 2001 và liên tục được phát triển Người dùng có thể thoải mái tải xuốngphần mềm này từ trang web chính thức GeoGebra tại http://www.geogebra.org

1.6 Tổng quan về phần mềm GeoGebra

Giao diện làm việc mặc định của chương trình như hình bên dưới, bao gồm:Thanh bảng chọn, thanh công cụ, vùng hiện thị, vùng làm việc, thanh nhập đốitượng

Thanh bảng chọn: Cho phép người dùng tạo mới, mở, lưu, xuất bản, sao chép,tùy chọn tên, cỡ chữ, tùy biến thanh công cụ rất nhiều chức năng quan trọngcủa phần mềm điều nằm ở đây

Thanh công cụ: Thanh công cụ cho phép di chuyển đối tượng, tạo điểm, tạođường thẳng, dựng đường vuông góc, dựng đường tròn, dựng góc, phép đối xứng, .Vùng hiển thị: Hiện thị thông tin chi tiết của đối tượng tương ứng trong vùnglàm việc

Vùng làm việc: Khu vực làm việc chính của chương trình, các đối tượng nhưđiểm, đường thẳng, tam giác, đường tròn, đều nằm ở đây

Thanh nhập đối tượng: Nhập các đối tượng hình học bằng bàn phím

Phần mềm có hỗ trợ ngôn ngữ Tiếng Việt, chúng ta có thể cài đặt giao diệntiếng việt theo các bước sau: Vào Options => chọn Language => chọn R -Z =>

chọn Vietnamese / Tiếng Việt.

Thanh công cụ phần mềm GeoGebra

Tất cả các công cụ bên dưới đều nằm trên thanh công cụ, nhấn vào nút mũitên nhỏ ở góc dưới bên phải để hiện ra các công cụ khác trong cùng một nhóm,chức năng và cách sử dụng từng công cụ sẽ xuất hiện

Để xuất bản đối tượng hình học hay nói cách khác là chọn định dạng đầu rathì ta vào Hồ sơ => Xuất bản

CHƯƠNG2 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY VÀ

HỌC HÌNH HỌC PHẲNG

Trong chương này tôi sử dụng các ví dụ từ những cuốn sách Nâng cao và pháttriển toán 8; 9 của tác giả Vũ Hữu Bình, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.2.1 Các bài toán về các yếu tố trong tam giác

Ví dụ 2.1 Cho tam giác ABC có AB = 10cm, BC = 12cm, D là trung điểmcủa cạnh BC Vẽ DH vuông góc với BC(H ∈ BC) thì DH = 4cm Chứng minhtam giác ABC cân tại A.

Giải

• Phân tích bài toán

Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A

Ta có ∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC hoặc B = ˆˆ C Ta nghĩ đến điểm điểm phụ

K là trung điểm của AB Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC

2AB = 5cm( D là trung điểm AB).

Xét tam giác HBD vuông tại H, ta có

DH2+ BH2 = BD2.Suy ra

Xét ∆ABK và ∆ACK có

BK = KC[

AKB = AKC.[

AK là cạnh chungSuy ra

∆ABK = ∆ACK(c − g − c)

Do đó,

AB = AC,vậy nên tam giác ABC cân tại A.

• Nhận xét

Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra haitam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB, AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việcchứng minh còn sử dụng thêm bài toán phụ là: Trong một tam giác, đường thẳng

đi qua trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh còn lại

Ví dụ 2.2 Cho tam giác ABC có đường cao AH và đường trung tuyến AMchia góc A thành 3 góc bằng nhau Chứng minh:

a) ∆ABC là tam giác vuông

b) ∆ABM là tam giác đều

Giải

• Phân tích bài toán

Dự đoán ∆ABC là tam giác vuông tại A;

Ta cần vẽ thêm đường M I vuông góc với AC;

Suy ra

∆M AI = ∆M AH,kéo theo

A1= Ab2.Suy ra

∆ABH = ∆AM H,kéo theo

[BAC = 3

2HAC =[

3

2.60

0 = 900.Vậy nên ∆ABC là tam giác vuông tại A.

Ví dụ 2.3 Cho tam giác ABC cân tại A, A =b 200 Trên cạnh AB lấy điểm Dsao cho AD = BC Chứng minh

[DCA = 1

2BAC.[

• Phân tích bài toán

∆ABC cân tại A, A =ˆ 200⇒ ˆ B = ˆ C =800

Nhận thấy 800− 20 0 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều, suy ra cần dựngtam giác đều BM C.

Hướng chứng minh

∆AM B = ∆AM C ⇒ BAM =\ \CAM = 1

2BAC.[Hướng chứng minh

∆CDA = ∆AM C ⇒ DCA =[ \CAM = 1

∆AM B = ∆AM C(c.c.c)

Do đó,

\BAM =\CAM = 1

2BAC.[Xét ∆CDA và ∆AM C có :

AD = M C(gt)

AC là cạnh chung[

2BAC.[

• Nhận xét

Đề bài cho tam giác ABC cân, có góc ở đỉnh bằng 200, suy ra góc ở đáy bằng

800 Ta thấy 800− 20 0 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều Chính sự liên hệnày gợi ý cho ta dựng tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC

Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều khác:

i) Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB);

ii) Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC);

iii) Vẽ tam giác đều ABM ( M và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờAC).

Ví dụ 2.4 Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng chứađiểm A bờ là đường thẳng BC lấy hai điểm D và E sao cho BD vuông góc với

BA, BD = BA; CE vuông góc với CA, CE = CA Chứng minh rằng các đườngthẳngAH, BE, CD đồng quy

Giải

• Phân tích bài toán

Chứng minh rằng các đường thẳng AH, BE, CD đồng quy Mà AH là đườngcao, suy ra AH, BE, CD đều là đường cao của cùng một tam giác

Dựng điểm I thuộc tia đối, tiaAH sao cho AI = BC.

Chứng minh ∆BCD = ∆AIB, do đó CD⊥BI tại M

Chứng minh ∆CEB = ∆ACI, do đó BE⊥CI tại N

Tạo tam giác nhận AH là đường cao

• Chứng minh

Trên tia đối tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC.

Chứng minh ∆BCD = ∆ABI, suy ra

C1 = E1; N CE +[ C1= 900.

Do đó,

[

N CE + Eb1 = 900.Khi đó,

BE⊥CI tại NTrong ∆IBC có

AI⊥CB; CD⊥BI; BE⊥CI.

Vậy nên, các đường thẳngAH, BE, CD đồng quy

• Nhận xét

Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khógiải Tuy nhiên, khi nhìn nhận và dựng ra điểm I(tam giác BCI) thì bài toán trởnên rất dễ dàng Qua đó, càng thấy rõ vai trò vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toánhình học

Ví dụ 2.5 Cho tam giác nhọn ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

BC, AC; H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm tamgiác ABC.

a) Chứng minh tam giác M ON đồng dạng với tam giác AHB

c

A1 = Mc1⇒ Ac2 = Mc2. (2.3)Tương tự, ta có BH//ON ( vì cùng vuông góc AC), suy ra

c

B 1 = Nc1 ⇒ Bc2 = Nc2 (2.4)

Từ (2.3) và (2.4) suy ra

∆AHB ∽∆M ON (g.g).

M G

AG =

1

2,suy ra

OM

AH =

M G AG



= 12

.Hơn nữa,

c

G2+ HGM = 180\ 0.Vậy nên 3 điểm H, O, G thẳng hàng

2.2 Các bài toán về các yếu tố trong tứ giác

Ví dụ 2.6 Cho tứ giác ABCD có AD = BC Gọi M, N lần lượt là trung điểmcủaAB, CD Đường thẳng CB, DA cắt M N lần lượt tại E, F Chứng minh rằng

M I = 1

2BC =

1

2AD = IN,

do đó, tam giác M IN cân tại I, kéo theo

Giải Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tạiG nên G là trọng tâmtam giác ABC Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có

BC là cạnh chung[

N BC = M CB\

BN = CMSuy ra

∆BN C = ∆CM B,kéo theo

Từ (2.10) và (2.11) suy ra tứ giác BCDE là hình chữ nhật

Ví dụ 2.9 Tứ giác ABCD có AB⊥CD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trungđiểm của BC, BD, AD, AC Chứng minh rằng EG = F H.