Ứng dụng phần mềm geogebra vào việc dạy và học hình học không gian

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY VÀ HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.. Một số bài toán về cực trị trong hình học không gian.. Là một giáo viên phổ thông, với mong muốn được tìm hiểu sâu sắc h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Đà Nẵng - 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Đà Nẵng - 2024

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Một số hình học không gian cơ bản 3

1.1.1 Hình chóp 3

1.1.2 Hình lăng trụ 5

1.1.3 Hình hộp 6

1.1.4 Hình nón 8

1.1.5 Hình trụ 9

1.1.6 Hình cầu 10

1.2 Phương pháp tọa độ trong không gian 11

1.2.1 Tọa độ của điểm và vectơ 11

1.2.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ 12

1.2.3 Tích vô hướng của hai vectơ 12

1.2.4 Tích có hướng của hai vectơ 13

1.2.5 Phương trình mặt cầu 13

1.2.6 Phương trình mặt phẳng 14

1.2.7 Phương trình đường thẳng 14

1.3 Giới thiệu phần mềm GeoGebra 15

1.4 Cài đặt và sử dụng phần mềm GeoGebra 15

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY VÀ HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 20

2.1 Giải các bài toán về các yếu tố trong hình chóp 20

2.2 Các bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian 26

2.3 Giải các bài toán về các yếu tố trong hình lăng trụ 30

2.4 Các bài toán yếu tố trong hình cầu 35

2.5 Giải các bài toán yếu tố hình hộp 40

2.6 Một số dạng toán dành cho học sinh giỏi 43

2.6.1 Một số bài toán về cực trị trong hình học không gian 43

2.6.2 Một số bài toán về khoảng cách trong không gian 48

2.6.3 Một số bài toán quỹ tích trong không gian 50

Kết luận .56

Tài liệu tham khảo 57

Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướngdẫn PGS.TS Lê Văn Dũng đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thựchiện để em có thể hoàn thành được luận văn này.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo đãtận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học Đồng thời cũngxin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp Toán Phương pháp toán sơ cấp K43

đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Trần Thị Thúy Kiều

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình học phổ thông, toán học là một môn học tiên phong vàquan trọng trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh Nếu họcsinh học tốt môn toán, thì nó sẽ là tiền đề để có thể học tốt các môn học kháccũng như các kiến thức trong đời sống

Hình học không gian là một nhánh trong phạm trù toán học Nó thuộc hìnhhọc nghiên cứu các đối tượng trong không gian ba chiều Euclid Đây là một mônhọc khá trừu tượng, để nắm được các kiến thức về hình học không gian đòi hỏingười học phải có tư duy logic, sự liên tưởng và sáng tạo nhiều hơn

Việc ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học là một điều cần thiết Nó gópphần đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là sử dụng phần mềm GeoGebra làmột phần mềm Toán học bổ ích và được cung cấp hoàn toàn miễn phí Nó có thểgiúp giáo viên khắc phục những hạn chế, khó khăn khi sử dụng các phương tiệndạy học truyền thống Hơn nữa, nó còn góp phần tạo động cơ, hứng thú học tậpmôn toán cho học sinh Đặc biệt là hình học không gian, một môn học thuộc phạmtrù khá thử thách đối với rất nhiều học sinh trung học phổ thông

Là một giáo viên phổ thông, với mong muốn được tìm hiểu sâu sắc hơn về hìnhhọc không gian và ứng dụng phần mềm vào việc dạy và học hình học không giancho học sinh, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Lê Văn Dũng, chúng tôiquyết định chọn đề tài "Ứng dụng phần mềm Geogebra vào việc dạy và học hìnhhọc không gian" làm đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Ứng dụng phần mềm GeoGebra vào việc dạy và học hình học không gian

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán về hình học không gian, sử dụng phần mềm Geogebra trong việc

vẽ hình, tạo bài giảng tự động, ebook,

4 Phạm vi nghiên cứu

Hình học không gian ở chương trình toán phổ thông;

Một số công cụ cơ bản của phần mềm;

Ứng dụng phần mềm GeoGebra vào dạy học hình học phẳng

5 Phương pháp nghiên cứu

Tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thực hiện đềtài

ˆ Tham khảo tài liệu, hệ thống hóa một số các kiến thức về phần mềm GeoGebra

và hình học không gian

ˆ Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

ˆ Phân tích, đánh giá, trao đổi và thảo luận với giảng viên hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luận văn nhưtài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán, giáo viên phổ thông và các đối tượngquan tâm đến các kiến thức về hình học không gian

7 Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn được chia thành 2 chương

• Chương 1: Kiến thức cơ sở Chương này dành cho việc trình bày một số kiếnthức cơ bản về các loại hình bao gồm hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp, hình cầu,hình trụ, hình nón và phương pháp tọa độ trong không gian

• Chương 2: Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy và học hình học khônggian Chương này trình bày một số bài toán về các yếu tố trong các loại hình hộp,hình lăng trụ, hình chóp, hình cầu cùng các bài toán quỹ tích và phương pháp tọa

độ trong không gian

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hình học không gian và giớithiệu phần mềm GeoGebra Các nội dung được tham khảo từ tài liệu [3], [4], [5],[6]

1.1 Một số hình học không gian cơ bản

1.1.1 Hình chóp

Định nghĩa 1.1 Trong mặt phẳng(α) cho đa giác lồiA1A2 An Lấy điểm S nằmngoài (α) Lần lượt nối S với các đỉnh A1, A2, , An ta được n tam giác SA1A2,

SA 2 A 3, , SA n A 1 Hình gồm đa giác A 1 A 2 A n và n tam giác SA 1 A 2, SA 2 A 3,v ,

SA n A 1 được gọi là hình chóp, kí hiệu S.A 1 A 2 A n Trong đó,

• S được gọi là đỉnh của hình chóp

• Đa giác A1A2 An là mặt đáy của hình chóp

•Các tam giácSA1A2, SA2A3, , SAnA1 được gọi là các mặt bên của hình chóp

• Các đoạn SA1, SA2, , SAn được gọi là các cạnh bên của hình chóp

• Các cạnh của đa giác đáy được gọi là cạnh đáy của hình chóp

Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, thì hình chóptương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,

Định nghĩa 1.2 Cho 4 điểmA, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm 4 tam giácABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình tứ diện (gọi tắt là tứ diện) và được kíhiệu là ABCD Các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tứ diện Các đoạnthẳngAB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện Hai cạnh không đi qua

1 đỉnh được gọi là cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là cácmặt của tứ diện Đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt

đó Đặc biệt, hình tứ diện có 4 mặt là các tam giác đều được gọi là tứ diện đều.Định nghĩa 1.3 Hình chóp đa giác đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và

(a) Hình chóp tam giác (b) Hình chóp tứ giác

Hình 1.1: Một số hình chóphình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy Cần phân biệt nó với hìnhchóp có đáy là đa giác đều, vốn chỉ có đáy là đa giác đều chứ hình chiếu của đỉnhxuống đáy chưa chắc trùng với tâm của đáy

Định lý 1.1 Thể tích của khối chóp:

V = 1

3Bh,trong đó

• B là diện tích đáy của hình chóp,

• h là chiều cao của hình chóp

Định lý 1.2 Cho khối chópS.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấycác điểm A′, B′, C′ khác S. Khi đó ta luôn có tỉ số thể tích:

A′1 , A′2 , , A′n Hình tạo bởi thiết diện A′1 A′2 A′n và đáy A 1 A 2 A n của hìnhchóp cùng với các mặt bên A 1 A 2 A′2 A′1 , A 2 A 3 A′3 A′2 , , A n A 1 A′1 A′n gọi là mộthình chóp cụt

và được kí hiệu là A1A2 An.A′1A′2 A′n.

• Hai đa giác A1A2 An, A′1A′2 A′n được gọi là hai mặt đáy của lăng trụ

• Các đoạn thẳng A1A′1, A2A′2, , AnA′n được gọi là các cạnh bên của lăng trụ

• Các hình bình hành A 1 A′1A′2A 2, A 2 A′2A′3A 3, ,A n A′nA′1A 1 được gọi là các mặtbên của lăng trụ

• Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của lăng trụ

Xem hình minh họa bên dưới

Nhận xét 1.1 Hình lăng trụ có một số tính chất sau:

1) Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau

2) Các mặt bên và các mặt chéo của lăng trụ là các hình bình hành

3) Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.Chú ý 1.1 Người ta gọi tên của lăng trụ dựa vào tên của đa giác đáy Dưới đây

là một số lăng trụ Xem hình 1.2

(a) Hình lăng trụ tam giác (b) Hình lăng trụ tứ giác

(c) Hình lăng trụ ngũ giác Hình 1.2: Một số hình lăng trụĐịnh nghĩa 1.6 Hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy được gọi làhình lăng trụ đứng

Định nghĩa 1.7 Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là hình lăngtrụ đều

Định lý 1.3 Thể tích của hình lăng trụ:

V = Bh,trong đó

• B là diện tích đáy của hình lăng trụ,

• h là chiều cao của hình lăng trụ

1.1.3 Hình hộp

Định nghĩa 1.8 Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.Tính chất 1.1 1) Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành, hai mặt đối diện củahình hộp bằng nhau

Hình 1.3: Hình hộp2) Hình hộp có 12 cạnh chia làm 3 nhóm mỗi nhóm 4 cạnh song song và bằngnhau.

Chú ý 1.2 Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.Định nghĩa 1.9 Hình hộp đứng là hình hộp có các cạnh bên vuông góc với mặtđáy

Hình 1.4: Hình hộp đứngTính chất 1.2 Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là

4 hình chữ nhật

Định nghĩa 1.10 Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có các đáy là hình chữnhật

Hình 1.5: Hình hộp chữ nhậtTính chất 1.3 Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật

Định lý 1.4 Thể tích hình hộp chữ nhật:

V = abc,trong đó

Định lý 1.5 Thể tích của hình lập phương:

V = a3,trong đó a là cạnh của hình lập phương

Phần mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng (P ) và (P′) cùng với hình trònxác định bởiC được gọi là hình nón.

Định nghĩa 1.14 Hình nón cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón.Định lý 1.6 Diện tích xung quanh của hình nón:

Sxq= πrl,trong đó

• r là độ dài bán kính đường tròn đáy,

• l là độ dài đường sinh

Định lý 1.7 Diện tích toàn phần của hình nón:

Stp = πrl + πr2.Định lý 1.8 Tính thể tích của hình nón:

V = 1

3πr

2 h.

Trong đó,

• r là độ dài bán kính đường tròn đáy

• h là chiều cao của hình nón

• ∆ được gọi là trục của mặt trụ

• l được gọi là đường sinh của mặt trụ

• R là bán kính mặt trụ

Định nghĩa 1.16 Cắt mặt trụ T, trục ∆, bán kính R bởi hai mặt phẳng phânbiệt (P ) và (P′) cùng vuông góc với ∆, ta được giao tuyến là hai đường tròn C và

Định nghĩa 1.18 Mặt cầuS(O; R)cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi

là một khối cầu tâmO bán kính R

Kí hiệu: B(O; R) = {M | OM ≤ R}

Nếu OA, OB là hai bán kính của mặt cầu sao cho O, A, B thẳng hàng thì đoạnthẳngAB gọi là đường kính của mặt cầu S(O; R).

Định lý 1.12 Cho hai điểm cố định A, B Tập hợp các điểm M trong không giansao cho \AM B = 90o là mặt cầu đường kính AB

Định lý 1.14 Thể tích của khối cầu:

V = 4

3πR

3

,trong đó R là bán kính mặt cầu

1.2 Phương pháp tọa độ trong không gian

1.2.1 Tọa độ của điểm và vectơ

Định nghĩa 1.19 Trong không gian Oxyz với⃗i,⃗j, ⃗k là các vectơ đơn vị, cho mộtđiểm M tùy ý Vì 3 vectơ⃗i,⃗j, ⃗k không đồng phẳng nên có một bộ 3 số duy nhất(x, y, z)sao cho

1.2.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Định lý 1.15 Trong không gian Oxyz cho hai vectơ −→a = (a1; a2; a3) và −→b = (b1; b2; b3) Ta có

Định lý 1.16 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ −→a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) và −→b = (b 1 ; b 2 ; b 3 ) Khi đó ta có

−

→a −→b = a

1 b1+ a2b2+ a3b3.Định lý 1.17 Trong không gian Oxyz, ta có:

• Độ dài của một vectơ

Cho vectơ −→a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) , ta đã biết |−→a |2 = − →a2

hay |⃗a| =p−→a2. Do đó

|−→a | =

q

a21+ a22+ a23.

• Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm A (xA; yA; zA) và B (xB; yB; zB) Khi đó khoảng cách giữa hai điểm

A và B chính là độ dài của vectơ −→AB. Do đó ta có:

AB =

−→

AB

=

q(xB − xA)2+ (yB − yA)2+ (zB− zA)2.

• Góc giữa hai vectơ

Nếu φ là góc giữa hai vectơ −→a = (a1; a2; a3) và −→b = (b1; b2; b3) với −→a và −→b khác

1.2.4 Tích có hướng của hai vectơ

Định nghĩa 1.21 Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ −→a = (a1; a2; a3) , − →

b = (b1; b2; b3) Tích có hướng của hai vectơ −→a và −→b là một vectơ, kí hiệu là h−→a , − →

b

ivàđược xác định như sau:

h− →a ,−→b i

=

.1.2.5 Phương trình mặt cầu

Định lý 1.18 Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) , bán kính R cóphương trình là

(x − a)2+ (y − b)2+ (z − c)2 = R2.Nhận xét 1.2 Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng

x2+ y2+ z2− 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với d = a2+ b2+ c2− R2.

• Nếu mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì

nó có một vectơ pháp tuyến là −→n = (A; B; C)

• Phương trình một mặt phẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và nhận vectơ −→n = (A; B; C) khác−→0 làm vectơ pháp tuyến là

Định lý 1.19 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0

và điểm M0(x0; y0; z0) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính theocông thức

d [M, (α)] = |Ax0+ By0+ Cz0+ D |

√

A 2 + B 2 + C 2 1.2.7 Phương trình đường thẳng

Định nghĩa 1.24 Cho đường thẳng ∆, nếu vectơ −→u khác −→0 và có giá song songhoặc trùng với ∆ thì −→u được gọi là vectơ chỉ phương của ∆.

Chú ý 1.5 Nếu −→u là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì k− →u với k ̸= 0,cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Định nghĩa 1.25 Phương trình tham số của đường thẳng∆đi qua điểmM (x 0 ; y 0 ; z 0 )

và có vectơ chỉ phương −→u = (a; b; c) là phương trình có dạng

1.3 Giới thiệu phần mềm GeoGebra

GeoGebra là một phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trong trườnghọc Tác giả Markus Hohenwarter khởi động dự án từ năm 2001 tại trường đạihọc Salzburg và hiện đang tiếp tục phát triển tại trường đại học Florida Atlantic.GeoGebra được viết trên Java và vì thế là phần mềm đa nền

Một mặt, GeoGebra là phần mềm hình học động, bạn có thể định nghĩa cácđiểm, vectơ, đoạn thẳng, đường thẳng, đường cô-nic cũng như hàm số và thay đổichúng một cách linh động Mặt khác, phương trình và tọa độ có thể được nhậptrực tiếp Vì thế, GeoGebra có thể xử lý biến số, vectơ và điểm, tìm đạo hàm vàtích phân của hàm số và đưa ra những lệnh như Nghiệm hay Cực trị GeoGebra

là phần mềm miễn phí Trong tương lai, đây là phần mềm sẽ được sử dụng trongnhiều trường phổ thông của Việt Nam, thay thế các phần mềm thương mại nhưGeometry Cabri, Geometer’s Skethpad Hơn nữa, nó dễ dàng được sử dụng chocác ứng dụng web (như các GeoGebra Applets) mà không cần quan tâm đến vấn

lí các thao tác như trên phần mềm GeoGebra, tạo cho người dùng thuận lợi hơnrất nhiều khi trình chiếu hay trong giảng dạy Tuy nhiên, nếu không cài GeoGebrangười dùng cũng có thể truy cập GeoGebra Online để sử dụng

Giao diện Geogebra gồm 5 thành phần: thanh bảng chọn, thanh công cụ, vùnghiển thị, vùng làm việc, thanh nhập đối tượng

Graphing và 3D Graphics là hai môi trường làm việc cơ bản được rất nhiềungười sử dụng Ngoài hai môi trường này ra thì phần mềm GeoGebra còn cungcấp cho chúng ta 4 môi trường khác nhau nữa là CAS, Geometry, Spreadsheet vàProbability Tuy nhiên, các môi trường này ít được sử dụng hơn.

Môi trường Graphing làm việc với các hình học phẳng, và tất nhiên nó là mộtkhông gian hai chiều Đây là môi trường mặc định khi bạn khởi động chương trình

và nó củng là môi trường được sử dụng nhiều nhất

Môi trường 3D Graphics cho phép bạn thực hiện các thao tác với các đối tượng

là các hình không gian và nằm trong không gian ba chiều

Trong khuôn khổ luận văn, tôi trình bày cách sử dụng môi trường 3D Graphics

- Cho phép bạn chọn và duy chuyển các đối tượng như điểm, đường thẳng, mặtphẳng, hình tứ diện, hình cầu .

- Tạo ra một điểm mới, giao điểm, trung điểm và tâm

- Tạo ra đường thẳng, đoạn thẳng, tia và véc-tơ

- Tạo ra các đường vuông góc, đường song song, tiếp tuyến

- Tạo ra một đa giác bất kỳ hoặc là đa giác đều

- Tạo ra các đường cô-níc

- Tạo giao của hai mặt cho trước

- Cho phép bạn dựng một mặt phẳng đi qua ba điểm, song song hoặc vuônggóc

- Tạo ra hình nón, hình chóp, hình trụ và hình lập phương Ngoài ra nhómcông cụ này còn một công cụ rất hay sử dụng đó là Net

- Tạo ra một mặt cầu

- Hỗ trợ bạn tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích

- Cho phép bạn thực hiện các phép biến hình như phản chiếu, quay, đối xứng,

vị tự

- Chèn văn bản vào vùng làm việc chính

- Cho phép bạn quay, di chuyển, phóng to, thu nhỏ với các đối tượng

Đối tượng nào có dấu “tam giác” bên dưới là một đối tượng được chọn trongnhóm các đối tượng Nháy chuột vào dấu này sẽ làm xuất hiện tất cả các đối tượngtrong cùng một nhóm

Đối với vùng đại số, nó sẽ hiển thị chi tiết các đối tượng có trong vùng làm việc

chính Ngoài chức năng chính là hiển thị các đối tượng nó còn cho phép chúng tatùy chỉnh một các nhanh chóng thuộc tính của các đối tượng như màu sắc, kíchthước, kiểu .

Đối với vùng làm việc chính, đây sẽ là nơi chúng ta thực hiện các thao tác làmviệc chính với chương trình, thao tác ở đây có thể là:

Dựng điểm, đường và mặt

Tìm tâm và tìm giao điểm

Tính khoảng cách, tính thể tích

Thực hiện các phép biến hình

Di chuyển và xoay các đối tượng

Muốn thao tác với đối tượng nào thì ta chỉ việc sử dụng cộng cụ Move vào đốitượng đó rồi thực hiện thao tác theo nhu cầu

Ví dụ 1.1 Bây giờ, ta sẽ dựng một hình chóp tứ giác SABCD như sau:

Trước tiên, ta sẽ sử dụng công cụ hình chóp Sau đó, ta chọn đa giác đáy vàchọn đỉnh Kết quả thu được như sau Ở đây, các điểm mà phần mềm mặc định

có thể khác đi, lúc ta có thể kích chuột phải và chọn đổi tên theo ý muốn

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY VÀ

√ 6

4 , từ Bđến (SCA) là

√ 15

10 , từ C đến (SAB) là

√ 30

20 và hình chiếu vuông góc của S xuốngđáy nằm trong tam giác ABC Tính thể tích khối chóp VS.ABC

Bài giải Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AC, BC, AB Đặt

SH = h, ta suy ra

VS.ABC = 1

3.h.

√ 3

4 =

h √ 3

2 :

√ 30

20 = h

√ 10.

Tương tự, ta tính được HM = 2h, HN = h ⇒ P H = √

SP 2 − SH 2 = 3h Khi đó,

SABC = SHAB + SHAC + SHBC = 1

2(HP + HM + HN ) Điều này tương đương với

3h =

√ 3

4 ⇔ h =

√ 3

12.Như vậy

VS.ABC =

√ 3

12.

√ 3

12 =

1

48.Hình vẽ ở nhiều góc độ trong phần mềm GeoGebra và lời giải

90 ; AB = a; AC = a 5; ABC = 135[ Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABD), (BCD)bằng 30◦ Thể tích của tứ diện ABCD là bao nhiêu.

Bài giải Trước hết, ta vẽ

vì ∆AM B vuông tại M có \ABM = 45◦ nên ∆AM B vuông cân tại B Khi đó,

1

AK 2 = 1

AB 2 + 1

AD 2

Do đó,

3 2a 2 = 1

⇒ BC = √3a

2 − √a

2 = a

√ 2.

a

√

6.a

√ 3.a √

2 = a

3

6.Như vậy,

Bài giải Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH⊥AB ⇒ SH⊥(ABCD). Từ H kẻ

HM ⊥BD, M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông Ta có

(BD⊥HM BD⊥SH ⇒ BD⊥(SHM ).

4 SH =

√ 3a

4

√ 3a 2

r

√ 2a 4

2

+

√ 3a 2

2

=

√ 21a

14 .Lại có

d(C; (SBD)) = d(A; (SBD))

= 2d(H; (SBD)) = 2HK = 2.

√ 21a

14 =

√ 21a

7 .Như vậy

d(C; (SBD)) =

√ 21a

7 .

Bài toán 2.4 Cho hình chóp S.ABCD có SA = x 0 < x < √

3
, tất cả các cạnhcòn lại bằng nhau và bằng 1. Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp đã cholớn nhất?

Bài giải Gọi O là tâm của hình thoi ABC ⇒ OA = OC Ta lại có

SH = √ SA.SC

SA 2 + SC 2 = √ x

x 2 + 1.Khi đó

2 .

Bài toán 2.5 (Đề thi chính thức THPT Quốc Gia năm 2016-2017) Cho hình chópS.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảngcách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC)

và (ABC) , tính cos α khi thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài giải Đặt AB = AC = x, SA = y. Khi đó

x 4 y 2 Suy ra

2 .Như vậy, thể tích của hình chóp S.ABC đạt giá trị nhỏ nhất là 27

√ 3

2 Dấu ” = ”xảy ra khi và chỉ khi

3 .

2.2 Các bài toán về phương pháp tọa độ trong không gianBài toán 2.6 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2019) Trong không gian Oxyz, cho

mặt cầu: (S) : x2+ y2+ (z + 1)2 = 5 Có tất cả bao nhiêu điểm A (a ; b ; c) (a, b, c làcác số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của (S)

đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau?

Bài giải Mặt cầu (S) : x2+ y2+ (z + 1)2 = 5 có tâm I (0 ; 0 ; −1) và có bán kính

R = √

5, A (a ; b ; 0) ∈ (Oxy), Gọi I′ là trung điểm của AI, suy ra

I′

a

2;

b

2; −

1 2

.

GọiE, F lần lượt là hai tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A sao cho AE⊥AF Ta có

E, F cùng thuộc mặt cầu (S′) đường kính IA có tâm và bán kính là

I′

a

2;

b

2; −

1 2

p

a 2 + b 2 + 1

≤ 12

p

a 2 + b 2 + 1 ≤ √

5 + 12

Bài toán 2.7 Trong không gian Oxyz, cho

(S) : (x + 3)2+ (y − 2)2+ (z − 5)2= 36,điểm M (7; 1; 3) Gọi ∆ là đường thẳng di động luôn đi qua M và tiếp xúc với mặtcầu (S) tại N Tiếp điểm N di động trên đường tròn (T ) có tâm J (a, b, c) Gọi

k = 2a − 5b + 10c, thì giá trị của k là bao nhiêu.

Bài giải Mặt cầu (S) : (x + 3)2+ (y − 2)2 + (z − 5)2 = 36 có tâm I (−3; 2; 5), bánkính R = 6 Bởi vì

IM = √

25 + 16 + 4 = 3 √

5 > 6 = RnênM thuộc miền ngoài của mặt cầu (S) Lại có M N tiếp xúc mặt cầu (S)tại N,suy ra M N ⊥IN tại N Gọi J là điểm chiếu của N lên M I, ta có

− →

IM = 12

√ 5 5

1

3 √ 5

N

5;6

5;

23 5

,suy ra

Bài toán 2.8 (THPT Chuyên Hà Tĩnh, 2018) Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có

A′.ABC là tứ diện đều cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA′ và BB′.Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (CM N )

Bài giải Gọi O là trung điểm của AB Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho

√ 3

2 ; 0



; H

0;

√ 3

6 ; 0

.

Ta có A′ABC là tứ diện đều, do đó A′H = a

√ 6

3 Suy ra

A′

0;

√ 3

6 ;

√ 6 3

.

6 ;

√ 6 3

.

Dễ thấy (ABC) có VTPT −→n 1 = (0; 0; 1) Bởi vì M là trung điểm AA′ nên

M

1

4;

√ 3

12;

√ 6 6

,

và N là trung điểm BB′ nên

12;

√ 6 6

.

4;

−5√3

12 ;

√ 6 6

.

√ 6

6 ;

5 √ 3 12



=

√ 3

12 0; 2

√ 2; 5
.

Khi đó,

cos φ = √5

33 ⇒ tan φ =

r1 cos 2 φ − 1 = 2

√ 2

5 .

2.3 Giải các bài toán về các yếu tố trong hình lăng trụBài toán 2.9 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017) Cho khối lăng trụ đứngABC.A′B′C′ có đáy ABClà tam giác cân với AB = AC = a, BAC = 120[ 0. Mặtphẳng (AB′C′) tạo với đáy một góc 600. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằngbao nhiêu

Bài giải Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B′C′. Dễ dàng xác định được

600 = (AB′C\′) , (A′B′C′) = (AM ; A\′M ) = \′.Tam giác vuông A′B′M, có

A′M = A′B′ cos M A\′B′ = a cos 600= a

2.