Ứng dụng phần mềm geogebra trong dạy học tích phân xác định

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC -   - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Tên đề tài Ứng dụng phần mềm Geogebra dạy học tích phân xác định Sinh viên thực hiện: Trần Thị Hồng Nhung Giáo viên hướng dẫn: TS Tôn Thất Tú Đà Nẵng, tháng năm 2023 Lớp: 19ST2 LỜI CAM ĐOAN Báo cáo hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, hướng dẫn Tiến sĩ Tôn Thất Tú Tôi xin cam đoan cơng trình riêng tơi, kiến thức tham khảo đưa vào khóa luận trích dẫn phần tài liệu tham khảo Trần Thị Hồng Nhung - 19ST2 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu 5 Phạm vi nghiên cứu 6 Ý nghĩa khoa học nghiên cứu Tổng quan cấu trúc báo cáo CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Hàm số liên tục khả vi: 1.1 Hàm số liên tục 1.2 Hàm số khả vi Tích phân xác định 2.1 Định nghĩa (Tích phân xác định) 2.2 Một số tính chất tích phân xác định 2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 2.4 Ứng dụng tích phân hình học Phần mềm Geogebra 10 3.1 Giới thiệu 10 3.2 Một số công cụ thường dùng: 11 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 12 Hỗ trợ tính 12 Tô màu miền giới hạn 18 Tạo mặt tròn xoay 21 Minh họa định nghĩa 24 Xây dựng giảng 25 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học tạo tảng cho ngành khoa học khác Trong chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn khơng giữ vai trị quan trọng nhằm trang bị cho người học hệ thống kiến thức bản, mà cịn coi mơn thể thao trí tuệ góp phần phát triển lực toán học với thao tác tư duy, rèn luyện hoạt động trí não cho học sinh Giải tích lĩnh vực tốn học đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác kinh tế, khoa học, kỹ thuật, vật lý, y học nhiều lĩnh vực khác Chúng ta sử dụng phép tính số học đại số để giải vấn đề liên quan đến biến đổi hàm số Giải tích bao gồm khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân chuỗi cho phép tính tốn giá trị hàm số tìm hiểu biến đổi chúng Các ứng dụng giải tích đa dạng, từ vật lý, kinh tế, thống kê, khoa học máy tính đến lĩnh vực khác Tích phân khái niệm bản, công cụ quan trọng giải tích, có nhiều ứng dụng việc tính tốn diện tích, thể tích giải vấn đề khoa học kỹ thuật Tuy nhiên, việc dạy học tích phân, giáo viên cần phải có kiến thức sâu rộng lý thuyết cách áp dụng tích phân vào tốn thực tế Điều địi hỏi giáo viên phải có đầy đủ lực, nắm vững kiến thức khả truyền đạt kiến thức cách dễ hiểu trực quan cho học sinh Việc sử dụng ví dụ minh họa, mơ hình trực quan giúp học sinh dễ hình dung tiếp thu kiến thức truyền tải Hơn nữa, để hiểu sâu hơn, học sinh phải học cách biểu thị ý tưởng toán học ký hiệu, số đồ họa, hình thức hiểu khái niệm tốn học Do đó, cần sáng tạo giáo viên việc lựa chọn sử dụng cách dạy học phù hợp để kết nối khả toán học học sinh Ngày nay, công nghệ thông tin phát triển nhanh chóng, tác động đến mặt đời sống kinh tế xã hội lồi người, có lĩnh vực Giáo dục Đào tạo Chính lý đó, Bộ Giáo dục Đào tạo đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin giảng dạy học tập tất cấp học, bậc học ngành học nhằm đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, đại hóa đất nước Các phần mềm hỗ trợ dạy học đời nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển ngành giáo dục Việc sử dụng công nghệ thông tin để đổi phương pháp dạy học môn học yêu cầu đặt cho người giáo viên giai đoạn đổi giáo dục Tốn học mơn địi hỏi tư trừu tượng cao Chính vậy, phần mềm tốn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho người giáo viên minh họa số tri thức trừu tượng, khám phá định lý, tính chất Tốn học, Phần mềm GeoGebra có nhiều tính vượt trội hồn tồn miễn phí nên phù hợp với hoạt động giáo dục Phần mềm tích hợp chức chẳng hạn nhập trực tiếp phương trình, bất phương trình vẽ đồ thị, vẽ hình động 2D 3D, hỗ trợ ngơn ngữ Latex lập trình bản, kết hợp hình học, đại số, bảng tính, đồ thị, thống kê giải tích, gói dễ sử dụng Điều làm cho GeoGebra có nhiều người dùng trải rộng hầu hết quốc gia giới Ngày nay, phần mềm GeoGebra trở thành phần mềm toán học hàng đầu giáo viên giảng dạy tốn sử dụng q trình dạy học tồn giới Ngồi khả trực quan hóa khái niệm tốn học mang tính chất giải tích hình học, GeoGebra thực phép tính tốn học, thống kê biểu diễn chúng Để tạo thuận lợi cho người dùng, GeoGebra cho phép người dùng tạo tài khoản kết nối cộng đồng trang web GeoGebra, dễ dàng chia sẻ truy cập tài liệu Toán học người dùng nhiều quốc gia tạo Tất có sẵn hồn tồn miễn phí trang web thức GeoGebra Vì lý kể trên, chúng tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu là: “Ứng dụng phần mềm Geogebra dạy học tích phân xác định” Mục tiêu nghiên cứu Khóa luận trình bày nghiên cứu Ứng dụng phần mềm GeoGebra dạy học tích phân xác định giúp học sinh hiểu khái niệm tích phân, phép tính ứng dụng tích phân thực tế thông qua việc sử dụng phần mền Geogebra, để học sinh tiếp cận kiến thức cách động, thú vị, dễ hiểu cung cấp mơ hình minh họa, tạo hứng thú học sinh, giúp em trải nghiệm, khám phá tri thức Toán học dựa nhiều cách tiếp cận khác Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tổng hợp kiến thức liên quan, trao đổi với người quan tâm tham vấn giáo viên hướng dẫn Đối tượng nghiên cứu - Các vấn đề tích phân xác định nội dung liên quan - Các khả ứng dụng Geogebra - Xây dựng mơ hình minh họa Phạm vi nghiên cứu Ứng dụng GeoGebra việc tính tốn, vẽ hình xây dựng mơ hình động liên quan đến tích phân Ý nghĩa khoa học nghiên cứu Công nghệ thông tin đặc biệt phần mềm dạy học đóng vai trò quan trọng việc xây dựng tình sư phạm nhằm tạo mơi trường học tập chủ động, sáng tạo Người học có điều kiện phát huy khả phân tích, suy đốn xử lý thơng tin cách có hiệu Khóa luận làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên có nhu cầu bồi dưỡng, nâng cao kỹ ứng dụng công nghệ thông tin vào môi trường dạy - học Tổng quan cấu trúc báo cáo Ở chương chúng tơi trình bày lý thuyết tích phân xác định khả ứng dụng phần mềm GeoGebra Ở chương minh họa việc ứng dụng phần mềm GeoGebra để minh họa việc dạy học tích phân CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Hàm số liên tục khả vi: 1.1 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f : D → , D tập hợp Khi đó, f liên tục a  D với   cho f ( x) − f (a)   , với điều kiện x − a   x  D Định nghĩa 1.1.2 Hàm số f : D → liên tục tập hợp E  D f liên tục điểm E Nếu f liên tục điểm tập xác định đơn giản nói f liên tục * Nếu D khoảng f liên tục a lim f ( x) = f (a) = f (lim x) x →a x →a * Nếu a điểm cô lập, tức a điểm tụ D a  D, f tự động liên tục x = a 1.2 Hàm số khả vi Định nghĩa 1.2.1 Giả sử hàm số f : D → với D  , a điểm tụ D f ( x) − f (a) , giới x−a hạn hữu hạn Nếu điều xảy ra, nói f khả vi x = a a  D Đạo hàm f x = a xác định f '(a) = lim x →a Định nghĩa 1.2.2 Giả sử f : D → với D  Nếu f khả vi điểm tập xác định D , ta nói f khả vi (trên D ) Tích phân xác định 2.1 Định nghĩa (Tích phân xác định) Cho hàm số f xác định [a; b] Chia đoạn [a; b] thành n đoạn điểm chia a = x0  x1  x2   xn−1  xn = b Trên đoạn chọn xi* [ xi −1 , xi ] đặt n  = max xi − xi −1 Nếu giới hạn I = lim  f ( xi* )( xi − xi −1 ) tồn không phụ thuộc 1i  n → i =1 vào cách chia f đoạn [a; b] giới hạn gọi tích phân, kí hiệu  b a f ( x)dx * Ý nghĩa hình học: Giả sử hàm số f ( x) hàm số liên tục không âm đoạn [a; b] tích phân  b a f ( x)dx diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị f ( x) , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b , với a  b 2.2 Một số tính chất tích phân xác định Cho hàm khả tích f , g số thực a, b, c, k ,  ,  Ta có: a i)  f ( x)dx = với a = b a ii) b a a b  f ( x)dx = − f ( x)dx b  iii) a b iv)  a b b a a f ( x)dx =  f (t )dt =  f (u )du = = F (a) − F (b) c b a c f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx với a  b  c b b a a v)  kf ( x)dx = k  f ( x)dx b b b a a a vi)  ( f ( x)   g ( x))dx =  f ( x)dx    g ( x)dx   ( x)  vii)   f (t )dt  = f ( ( x)) ( x)  a  2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định i) Công thức Newton – Leibnitz: Nếu f liên tục [a; b] với nguyên hàm F f ta có:  b a b f ( x)dx =F ( x)| = F (b) − F (a) a ii) Phương pháp đổi biến: b Nếu  hàm số khả vi  a f ( ( x)) ( x)dx =   (b ) ( a ) f (t )dt iii) Phương pháp tích phân phần: Nếu hàm số khả vi  b a udv =uv| −  vdu b b a a 2.4 Ứng dụng tích phân hình học i) Tính diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [a; b] , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b xác định  b a f ( x) dx b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) y = g ( x) liên tục đoạn [a; b] hai đường thẳng x = a, x = b xác định  b a f ( x) − g ( x) dx Chú ý: + Nếu đoạn [a; b] , hàm số y = f ( x) khơng đổi dấu ta có cơng thức  b a f ( x) dx =  b a f ( x)dx + Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = g ( y) , x = h( y) hai đường thẳng y = c, y = d xác định: S = c g ( y) − h( y) dx d ii) Tính thể tích vật thể Một vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục hồnh điểm có hồnh độ x = a , x = b (a  b) Gọi S ( x) diện tích thiết diện Thể b tích vật thể cho cơng thức: V =  S ( x)dx (với S ( x) hàm số không a âm, liên tục đoạn [a; b] ) iii) Tính thể tích khối trịn xoay a) Hình phẳng quay quanh trục Ox : Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) không âm liên tục đoạn [a; b] , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox , ta khối trịn xoay Thể tích khối b trịn xoay cho cơng thức: Vx =    f ( x) dx a b) Hình phẳng quay quanh trục Oy : Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g ( y) không âm liên tục đoạn [c, d ] , trục Oy hai đường thẳng y = c, y = d quay quanh trục Oy , ta khối trịn xoay Thể tích khối d trịn xoay cho cơng thức: Vy =    g ( y ) dy c Chú ý: Thể tích vật thể tạo hình phẳng giới hạn hai đường thẳng x = a, x = b đồ thị hàm số y = f1 ( x), y = f ( x) liên tục  f1 ( x)  f ( x) đoạn [a; b] quay quanh trục Ox cho công thức: b Vx =   ( f ( x)) − ( f1 ( x))  dx a Tương tự, đổi vai trị x y cho nhau, ta có cơng thức tính Vy (khi hình phẳng quay quanh trục Oy ) là: d Vy =   ( g ( y )) − ( g1 ( y ))  dy c Phần mềm Geogebra 3.1 Giới thiệu Geogebra phần mềm miễn phí, mã nguồn mở, đa ngơn ngữ (có thể sử dụng với khoảng 63 ngơn ngữ, có Tiếng Việt), phần mềm toán học động thiết kế cho việc dạy học mơn Tốn Tác giả phần mềm Markus Hohenwarter, giảng viên trường Đại học Salzburg, Cộng hòa Áo Phần mềm GeoGebra khởi tạo năm 2001 liên tục phát triển Người dùng thoải mái tải xuống phần mềm từ trang web thức GeoGebra http://www.geogebra.org Giao diện GeoGebra thân thiện dễ sử dụng, với hộp công cụ trực quan người dùng thao tác với phần mềm cách dễ dàng Nó cung cấp tính điển hình phần mềm hệ thống đại số máy tính hình học động Khi ta dùng trỏ chuột vào cơng cụ xuất hướng dẫn để dùng cơng cụ tương ứng đó, điều hỗ trợ nhiều cho người dùng chưa nắm rõ cách dùng nút lệnh Nếu khơng thích sử dụng chuột nút lệnh người dùng thao tác với phần mềm qua hệ thống nhập câu lệnh, GeoGebra giúp người dùng sử dụng dễ dàng cung cấp hệ thống hỗ trợ gợi ý hướng dẫn nhập câu lệnh GeoGebra với nhiều tính mạnh mẽ, dễ sử dụng, có kết hợp hệ thống máy tính đại số, phần mềm hình học tương tác bảng tính, giúp người dùng tiết kiệm thời gian khơng gian lưu trữ máy tính Đặc biệt, người dùng tạo thêm cơng cụ theo nhu cầu họ GeoGebra cịn có tính cộng đồng lớn với kho liệu tài nguyên phong phú người dùng khắp nơi chia sẻ để tham khảo, thực ý tưởng tốn học, góp phần giúp việc dạy học toán trở nên thuận lợi hiệu Một mặt, b) I =  ( x + e2 x ) xdx Giải: Ta có: 1 1 x3 I =  ( x + e ) xdx =  x dx +  xe dx = +  xe x dx = + J 0 0 2x 2x Trong đó: J =  xe2 x dx du = dx u = x   Đặt  2x 2x dv = e dx v = e  J =  xe x dx 1 x = e2 x −  e x dx 20 e2 e2 x = − = e + 4 e2 3e2 + I = + J = + = Suy ra: 12 12 Vậy I = 3e2 + 12 Hình ảnh thực Geogebra:  c) I =  x  ln( x + 2) −   dx x +1   Giải: Ta có:   I =  x  ln( x + 2) −  dx x +1   1 =  x ln( x + 2)dx −  0 x dx x +1  x −4 1 =  ln( x + 2)d  d ( x + 1) −    x +1 1 x2 − x2 − 1 = ln ( x + ) −  dx − ln ( x + 1) 2 x+2 0 1 3 = − ln + ln + − ln 2 ln(2) − ln(3) + = Vậy I = 6ln(2) − 6ln(3) + Hình ảnh thực Geogebra: Ví dụ 1.3 Một số toán CAS chưa thể đưa đáp án: a) I =  ( x + 1)2 e2 x dx Giải: u = ( x + 1)2 du = 2( x + 1)   e2 x Đặt:  2x dv = e dx v =  Khi đó: I =  ( x + 1) e x dx 1 e2 x = ( x + 1) −  ( x + 1) e x dx 0 = 4e − −J 2 Trong đó: J =  ( x + 1)2 e2 x dx du = dx u = x +  Đặt   e2 x 2x dv = e dx v =    1 e2 x e2 x J = ( x + 1) − dx 0  e2  e2 x =  −  − 2  2 e = e2 − − + 4 3e = − 4 Suy ra: I = Vậy I = 4e2 4e2  3e2  5e2 − −J = − − − = − 2 2  4 4 5e − 4 Hình ảnh thực Geogebra: b) I =  (3x − x + 1)e x dx Giải: u = 3x − x + du = (6 x − 1)dx  Đặt:  x x dv = e dx v = e Khi đó: I =  (3x − x + 1)e dx = ( 3x − x + 1) e x x 1 −  (6 x − 1)e x dx = 3e − − J Trong đó: J =  (6 x − 1)e x dx u = x − du = 6dx   x x dv = e dx v = e Đặt  J =  (6 x − 1)e x dx = ( x − 1) e x 1 − 6 e x dx = 5e + − 6e x = −e + Suy ra: I = 3e − − J = 3e − − ( −e + ) = 4e − Vậy I = 4e − Hình ảnh thực Geogebra: Tơ màu miền giới hạn Trong Geogebra có cửa sổ Graphics hỗ trợ dựng hình, tính tốn với kí hiệu Để tơ màu miền giới hạn, ta dùng cấu trúc: IntegralBetween(, , , ) Ví dụ 2.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 hàm số y = x Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 = x  x = 0; x = Xác định giao điểm A(0, 0) B(2, 4) Trên đoạn [0, 2] x2 − x  nên x2 − x = x − x2 Diện tích hình phẳng cần tìm :  x2  S =  x − x dx =  ( x − x ) dx =  +  =  0 0 2 2 Để vẽ miền giới hạn, ta thực bước: - Vẽ đồ thị hàm số f ( x) = x g ( x) = x - Xác định giao điểm A(0, 0) B(2, 4) - Tô màu miền giới hạn, ta sử dụng lệnh: IntegralBetween(g(x), f(x), 0, 2) Ví dụ 2.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x đồ thị hàm số y = x − x Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: x − x3 = x − x2  x = 0; x = Xác định giao điểm A(0, 0) B(1, 0) Trên đoạn [0,1] − x3 + x  nên − x3 + x2 = − x3 + x2 Diện tích hình phẳng cần tìm :  x x3  S =  x − x − ( x − x ) dx =  − x + x dx =  − −  =  0,08   12 0 1 3 Để vẽ miền giới hạn, ta thực bước: - Vẽ đồ thị hàm số f ( x) = x3 − x g ( x) = x − x2 - Xác định giao điểm A(0, 0) B(1, 0) - Tô màu miền giới hạn, ta sử dụng lệnh: IntegralBetween(f(x), g(x), 0, 1) Ví dụ 2.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x − đồ thị hàm số y = − x Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 − 2x −1 = − x2  x = −1; x = Xác định giao điểm A(−1; 2) B(2, −1) Ta có bảng xét dấu x − x − đoạn [−1, 2] Trên đoạn [−1, 2] x − x −  nên x2 − x − = − x2 + x + Diện tích hình phẳng cần tìm :  −2 x3 x  S =  x − x − − (3 − x ) dx =  x − x − dx =  (−2 x + x + 4)dx =  + + 4x  =   −1 −1 −1 −1 2 2 2 Để vẽ miền giới hạn, ta thực bước: - Vẽ đồ thị hàm số f ( x) = x2 − x −1 g ( x) = − x - Xác định giao điểm A(−1; 2) B(2, −1) - Tô màu miền giới hạn, ta sử dụng lệnh: IntegralBetween(g(x),f(x),-1,2) Tạo mặt trịn xoay Trong Geogebra có cửa sổ sổ làm việc Graphics 3D Graphics hỗ trợ dựng hình, tính tốn với kí hiệu Để tạo mặt trịn xoay, ta dùng cấu trúc: Surface(, (, (, , , , , , ) Ví dụ 3.1: Cho (H) giới hạn đường y = x ; x = 0; x = quay quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay thu Giải: Thể tích khối trịn xoay giới hạn đường y = x ; x = 0; x = quay quanh trục Ox là: V =   ( x) 2  x2  dx =   xdx =    = 2  0 Thao tác Geogebra: - Tạo Input Box cho hàm số hai cận cửa sổ Graphics - Dùng trượt Slider quản lý góc quay  - Nhập liệu vào hàm số f ( x) = x cận a = 0, b = - Vẽ mặt tròn xoay, ta sử dụng lệnh: Surface(u, g(u) cos(v), g(u) sin(v), u, a, b, v, 0, α) x Ví dụ 3.2: Cho (H) giới hạn đường y = ; y = 0; x = 1; x = quay quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay thu Giải: x Thể tích khối trịn xoay giới hạn đường y = ; y = 0; x = 1; x = quay quanh trục Ox là: 1  1 V =     dx =   dx =   −  =  x x  x 1 1 3 Thao tác Geogebra: - Tạo Input Box cho hàm số hai cận cửa sổ Graphics - Dùng trượt Slider quản lý góc quay  - Nhập liệu vào hàm số f ( x) = cận a = 1, b = x - Vẽ mặt tròn xoay, ta sử dụng lệnh: Surface(u, g(u) cos(v), g(u) sin(v), u, a, b, v, 0, α) Bình luận: - Khi giá trị  cửa sổ Graphic thay đổi ta thầy nhiều góc quay bề mặt hình khối bên sổ 3D Graphics - Với công cụ ta phóng to, thu nhỏ xoay trục để có nhiều góc nhìn cho khối trịn xoay Minh họa định nghĩa Tích phân định nghĩa q trình tính diện tích thể tích vật thể theo hàm số biểu diễn Để tính tích phân, phải chia nhỏ vật thể thành nhiều phần nhỏ tính diện tích thể tích phần Sau đó, ta cộng tổng diện tích thể tích phần lại với để thu diện tích thể tích tồn vật thể Thao tác thực Geogebra: - Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) - Nhập cận a, b - Dùng trượt Slider quản lý số điểm chia n - Dùng trượt Slider quản lý vị trí chọn điểm đoạn nhỏ - Dùng lệnh RectangleSum: RectangleSum( , , , ,) Ví dụ: Xây dựng mơ hình đồ thị hàm số f ( x) = x khoảng [1;3] với n phân hoạch (1  n  50) , thực Geogebra ta thu được: Bảng giá trị:  =0  = 0,5  =1 n = 10 n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 7,88 8,66 9,48 8,27 8,665 9,07 8,40148 8,66593 8,93481 8,4675 8,66625 8,8675 8,5072 8,6664 8,8272 Giá trị xác tích phân:  x dx = 26  8, ( ) Bình luận: Dựa vào mơ hình trên, ta nhận thấy: - Khi n lớn hình chữ nhật xuất nhiều, lấp đầy miền giới hạn - Khi  nằm xa vị trí 0,5 nhìn chung giá trị xấp xỉ tích phân (tổng diện tích hình chữ nhật) có khác biệt lớn so với giá trị xác tích phân Khi  = 0,5 giá trị xấp xỉ (S) gần với giá trị xác Xây dựng giảng - Sử dụng công cụ TextBox để nhập hàm, giá trị 𝑎, 𝑏 - Sử dụng cơng cụ Text để viết thích, cơng thức kết - Sử dụng cửa sổ Graphics để vẽ đồ thị minh họa - Sử dụng cửa sổ 3D Graphic để vẽ minh họa khối tròn xoay Dưới số hình ảnh minh họa dạy học Tích phân: Bình luận: Dựa vào hai tốn ta thấy dạy học Tích phân, ta tạo giảng với hình ảnh động (đồ thị hàm f ( x ) , diện tích phần tích phân đoạn  a, b xác định, bề mặt vật thể cần tìm,…) giúp học sinh dễ dàng hình dung trực quan hóa khái niệm phức tạp, tăng khả tưởng tượng khơng gian, thấy mối liên hệ giải tích hình học để học sinh tiếp cận với khái niệm phức tạp dễ dàng Từ đó, giúp học sinh hiểu rõ khái niệm tích phân ứng dụng thực tế, dễ dàng giải tốn cách xác hiệu KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu Ứng dụng phần mềm Geogebra dạy học tích phân Các kết đạt được: Hệ thống lại kiến thức tích phân Giới thiệu phần mềm Geogebra với nhiều cửa sổ làm việc hữu dụng Xây dựng mơ hình minh họa tích phân, tích phân xác định, ứng dụng tích phân xác định hình học trực quan Geogebra Trong thời gian tới, muốn tiếp tục nghiên cứu mở rộng vấn đề ứng dụng GeoGebra việc hỗ trợ giảng dạy chủ đề Xác suất, Thống kê, Hình học phẳng Hình học khơng gian TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] https://www.geogebra.org/ [2] Nguyễn Lộc Trường Tài, Nguyễn Thị Duyến (2023), Kiến thức nội dung Tốn để dạy học tích phân giáo viên Tốn tương lai, Tạp chí Giáo dục, 23(04), 1-8 [3] Trịnh Thanh Hải - Trần Việt Cường - Trịnh Thị Phương Thảo (2013), Ứng dụng tin học dạy học Tốn (Giáo trình đại học), NXB Giáo dục Việt Nam [4] Trần Đình Châu, Đặng Thị Thu Thủy (2011), Ứng dụng cơng nghệ thơng tin dạy học mơn Tốn trường phổ thông, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Bullock, E P., Webster, J S., & Jones, D L (2021), Helpful and Hindering Features of GeoGebra: Understanding What Affords Conceptual Understandings of Definite Integrals Among Pre-Service Middle Grades Mathematics Teachers, International Journal for Technology in Mathematics Education, 28(2), 81-92 [6] Hohenwarter, M., Hohenwarter, J., Kreis, Y., & Lavicza, Z (2008), Teaching and learning calculus with free dynamic mathematics software GeoGebra, 11th International Congress on Mathematical Education Monterrey, Nuevo Leon, Mexico