Ứng dụng phần mềm GEOGEBRA trong dạy học chứng minh hình học lớp 7 trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC CAO HẢI ĐĂNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7 TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CAO HẢI ĐĂNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7 TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

CAO HẢI ĐĂNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7 TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Chí Thành

HÀ NỘI - 2018

LỜI CẢM ƠN

Với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các thầy, cô giảng viên Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy, tận tình chỉ bảo cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại trường

Tiếp theo, em xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc nhất tới PGS TS Nguyễn Chí Thành đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trong tổ Tự Nhiên I cùng các em học sinh lớp 7 Trường Trung học cơ sở Ngô Sĩ Liên, Hoàn Kiếm, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành khoá học và thực hiện đề tài

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2018

Học viên

Cao Hải Đăng

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Số liệu về các chương, bài học, bài tập trong sách giáo khoa cấp

Trung học cơ sở nội dung hình học 30 Bảng 1.2 Tóm tắt nội dung chương trình trong sách giáo khoa lớp 7 phần

hình học 31 Bàng 1.3 Một số hoạt động trong sách giáo khoa lớp 7 phần hình học 33 Bảng 1.4 Tóm tắt các dạng bài tập trong sách giáo khoa lớp 7 phần hình học 35 Bảng 1.5 Đánh giá mực độ cần thiết của công nghệ thông tin trong dạy học 40 Bảng 1.6 Mức độ thường xuyên sử dụng máy tính điện tử trong giờ dạy 40 Bảng 1.7 Các phần mềm giáo viên đã sử dụng trong hỗ trợ dạy học 40 Bảng 3.1 Điểm số của học sinh hai lớp 7A10 và 7A12 trước và sau khi tiến

hành thực nghiệm 94

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3

4 Phạm vi nghiên cứu 3

5 Giả thuyết nghiên cứu 3

6 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

7 Phương pháp nghiên cứu 4

8 Cấu trúc luận văn 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Lịch sử nghiên cứu vấn đề 6

1.2 Dạy học chứng minh hình học 9

1.2.1 Khái niệm chứng minh Toán học 9

1.2.2 Các phép chứng minh Toán học 10

1.2.3 Các bước chứng minh hình học 12

1.2.4 Phân bậc trong dạy học chứng minh 13

1.2.5 hình học trực quan và hình học suy diễn 15

1.3 Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học chứng minh hình học 16

1.3.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học 16

1.3.2 Hình thức ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học Toán 17

1.3.3 Khai thác công nghệ thông tin trong giờ học Toán 18

1.3.4 Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học chứng minh hình học 20

1.4 Phần mềm hình học động GeoGebra 21

1.4.1 Phần mềm dạy học 21

1.4.2 Phần mềm hình học động GeoGebra 22

1.4.3 Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh hình học 23

1.5 Cơ sở thực tiễn 27

1.5.1 Khái quát và phân tích về chương trình hình học Trung học cơ sở 27

1.5.2 Phân tích chương trình Sách giáo khoa lớp 7 phần hình học 30

1.5.3 Dạy học chứng minh hình học ở lớp 7 Trung học cơ sở 37

1.5.4 Thực trạng của việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học chứng minh hình học ở một số trường Trung học cơ sở tại Quận Hoàn Kiếm Hà Nội 39 Kết luận chương 1 42

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG 43

DẠY HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7 THCS 43

2.1 Định hướng, nguyên tắc và quy trình sử dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh hình học 43

2.2 Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong 4 bước chứng minh hình học 45

2.2.1 Sử dụng phần mềm GeoGebra để thể hiện giả thiết bằng hình vẽ 45

2.2.2 Sử dụng phần mềm GeoGebra trong khai thác giả thiết giúp học sinh phát hiện ra kết quả của chứng minh 49

2.2.3 Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ học sinh suy luận chứng minh 57

2.2.4 Sử dụng phần mềm GeoGebra nghiên cứu mở rộng bài toán 61

2.3 Ứng dụng phần mềm GeoGebra thiết kế các môi trường tương tác trong dạy học chứng minh 68

2.3.1 Sử dụng các hình động trong dạy học chứng minh 68

2.3.2 Sử dụng các công cụ đo trong dạy học chứng minh 72

2.4 Phân bậc ứng dụng phần mềm trong dạy học chứng minh 77

Kết luận chương 2 80

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 82

3.1 Mục đích thực nghiệm 82

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 82

3.3 Nội dung thực nghiệm 82

3.4 Tổ chức thực nghiệm 90

3.5 Đánh giá thực nghiệm 91

Kết luận chương 3 95

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 96

TÀI LIỆU THAM KHẢO 99 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Với các môn học trong các nhà trường nói chung và trường Trung học

cơ sở (THCS) nói riêng, Toán học là môn học nòng cốt trong việc hình thành

và phát triển tư duy cho học sinh (HS), nếu học tốt môn Toán sẽ tạo tiền đề cho HS học tốt các môn học khác Môn Toán ở trường THCS là môn khoa học tự nhiên có tính hệ thống, kế thừa và phát triển những kết quả giáo dục của bậc Tiểu học, bước đầu hình thành và rèn luyện cho HS kĩ năng suy luận, phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất của tư duy Trong đó, hình học là một phân nhánh của Toán học liên quan đến các câu hỏi về hình dạng, kích thước và vị trí các hình Nội dung của hình học ở trường THCS có các đặc trưng cơ bản như: nó có tính lôgíc chặt chẽ kết hợp với trực quan; ngoài

ra nó đảm bảo mối liên hệ giữa hình học thuần túy với hình học thực tế

Việc dạy học Hình học ở trường THCS phải thể hiện được hai đặc trưng cơ bản trên Muốn vậy cần giúp HS nắm chắc kiến thức cơ bản, hứng thú trong giờ học, dễ hiểu bài và tiếp thu kiến thức một cách nhanh nhất các nội dung kiến thức của từng bài, từng tiết, từng chương Đặc biệt với các nội dung yêu cầu phán đoán kết hợp suy luận như chứng minh hình học thì việc tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình tiếp cận nội dung là cần thiết

Từ thập niên 90 của thế kỉ trước, vấn đề ứng dụng công nghệ thông tin (CNTT) vào dạy học là một chủ đề lớn được UNESCO chính thức đưa ra thành chương trình hành động trước ngưỡng cửa của thế kỉ XXI Ngoài ra, UNESCO còn dự báo rằng CNTT sẽ làm thay đổi nền giáo dục một cách cơ bản, toàn diện vào đầu thế kỉ XXI Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã có Quyết định số 117/QĐ-TTg ngày 25/01/2017 của Thủ tướng Chính phủ triển khai đề

án tăng cường ứng dụng CNTT trong quản lý và hỗ trợ các hoạt động dạy và học, nghiên cứu khoa học góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo giai đoạn 2016-2020, định hướng đến năm 2025 cho thấy được tầm quan

trọng của việc ứng dụng CNTT vào dạy học CNTT với tư cách là phương tiện dạy học mới, làm thay đổi cách dạy và cách học, hỗ trợ đắc lực đổi mới PPDH, nâng cao chất lượng dạy học Các tình huống sư phạm cùng với các phần mềm dạy học (PMDH) sẽ tạo ra môi trường học tập hiệu quả cho HS và phát huy được sự sáng tạo trong học Toán Hay nói cách khác, nếu trọng tâm của việc dạy học là tạo ra được các tình huống sư phạm, thì CNTT đặc biệt là các PMDH đóng một vai trò quan trọng trong việc xây dựng các tình huống

ấy

Như vậy, ứng dụng CNTT vào đổi mới PPDH theo hướng phát huy tính tích cực nhận thức của HS là cần thiết Hiện nay các phần mềm phục vụ cho việc dạy và học môn Toán khá phong phú như: Maple, Matlab, Graph, Cabri, GeoGebra Trong đó, GeoGebra là một phần mềm Toán học kết hợp giữa hình học và đại số Phần mềm được phát triển cho việc dạy toán trong các trường học bởi tác giả Markus Hohenwarter tại Đại học Florida Atlantic

GeoGebra là phần mềm hình học động giúp người sử dụng dễ dàng thực hiện các phép dựng hình cũng như vẽ đồ thị hàm số và thay đổi các tham

số của bài toán Phần mềm GeoGebra giúp GV thiết kế các tình huống dạy học khái niệm, tính chất, định lí trong hình học một cách trực quan, có tính khám phá Đặc biệt phầm mềm có tác dụng xây dựng các hình ảnh liên quan giúp tạo niềm tin cho HS khi tiếp cận các định lí, tính chất, quan điểm mới từ

đó gợi tình huống sư phạm cho dạy học chứng minh Ngoài ra, GeoGebra là phần mềm mã nguồn mở miễn phí nên có thể cài đặt hợp pháp ở mọi nơi (phòng học, phòng máy, máy tính cá nhân) tạo sự dễ dàng cho việc thiết kế các hoạt động liên quan đến sử dụng phần mềm này Bên cạnh đó, GeoGebra còn được dịch ra hơn 60 ngôn ngữ trong đó có Tiếng Việt nên thuận tiện cho

GV cũng như HS trong quá trình sử dụng

Với những lý do trên và qua thực tế giảng dạy môn Toán ở trường THCS, tôi nhận thấy việc ứng dụng CNTT vào dạy học chứng minh là hết sức

cần thiết nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh hình học lớp 7 THCS”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định quy trình dạy học và đề xuất một số tình huống dạy học với sự hỗ trợ của phần mềm hình học động GeoGebra nhằm tích cực hóa hoạt động học tập, kiến tạo tri thức mới cho HS trong dạy học môn Toán đặc biệt là trong dạy học chứng minh hình học ở trường THCS

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: HS trường THCS Ngô Sĩ Liên, Hoàn Kiếm, Hà

Nội

3.2 Đối tượng nghiên cứu: Phần mềm GeoGebra, chương trình hình học lớp

7

4 Phạm vi nghiên cứu

4.1 Về nội dung: Các định lí và một số bài tập hình học lớp 7

4.2 Về phạm vi khảo sát: Trường THCS Ngô Sĩ Liên, Hoàn Kiếm, Hà Nội

5 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu khai thác hiệu quả các tình huống dạy học ứng dụng phần mềm GeoGebra sẽ tích cực hóa hoạt động của HS, giúp HS hiểu rõ bản chất của một số định lí hình học, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán lớp 7 ở trường THCS

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

– Nghiên cứu cơ sở lý luận của đề tài về việc ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học môn hình học lớp 7

– Phân tích mục tiêu giáo dục để thấy nhu cầu hình thành năng lực của người học nói chung và năng lực chứng minh hình học nói riêng

– Phân tích các tài liệu để khẳng định việc ứng dụng phần mềm GeoGebra vào dạy học hình học là hoàn toàn phù hợp với đối tượng HS lớp 7 THCS

– Đề xuất một số tình huống ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học nhằm phát triển năng lực chứng minh hình học ở HS qua quá trình dạy học định lí và giải các bài tập hình học THCS

– Tiến hành thực nghiệm sư phạm, bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi, tính hiệu quả của những tình huống và biện pháp đề xuất trong luận văn

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

– Thu thập, phân tích, nghiên cứu và tổng hợp một cách hệ thống các nguồn tài liệu tham khảo, các giáo trình có liên quan tới đề tài

– Nghiên cứu các vấn đề ứng dụng CNTT trong dạy và học ở THCS – Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa (SGK) về mục tiêu, nội dung dạy học của hình học THCS

7.2 Phương pháp điều tra - quan sát

– Điều tra thực trạng chứng minh hình học và ứng dụng CNTT trong trường THCS thông qua phiếu điều tra, phiếu hỏi

– Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi với các GV dạy Toán, những người có kinh nghiệm dạy học môn Toán, lấy ý kiến đóng góp qua phiếu điều tra

7.3 Phương pháp chuyên gia

Xin ý kiến các giảng viên dạy bộ môn Toán trong tổ Phương pháp của trường Đại học Giáo dục và của một số GV dạy giỏi môn Toán có nhiều kinh nghiệm nhằm hoàn thiện luận văn

7.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của

đề tài

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh

hình học lớp 7 THCS

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử nghiên cứu vấn đề

Đề tài ứng dụng CNTT vào dạy học đã được khai thác rất nhiều trong các tài liệu, giáo trình, bài viết, luận văn, luận án của nhiều tác giả trong cả nước cũng như trên thế giới Đặc biệt ứng dụng CNTT vào Toán học luôn là

đề tài nóng hổi cho GV và các nhà khoa học phần mềm Đi kèm với sự phát triển của công nghệ nói chung thì các phần mềm Toán học ứng dụng vào giảng dạy cũng ngày càng được phát triển, từ những phần mềm tính toán thô

sơ thì đến nay các công cụ như Matlab, Maple, GeoGebra đã có thể sử dụng

để nghiên cứu mọi góc cạnh của Toán học Đặc biệt là trong Toán học chứng minh, việc phát hiện vấn đề chứng minh đòi hỏi tính chính xác cao thì nhu cầu ứng dụng CNTT là tất yếu Đã có nhiều đề tài nghiên cứu về ứng dụng CNTT trong Toán học đặc biệt là trong dạy học chứng minh Một số đề tài nổi bật liên quan có thể kể đến như:

– Năm 2006, Luận án tiến sĩ “Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học hình học lớp 7 theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh” [6] của tác giả Trịnh Thanh Hải tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án đưa ra cái nhìn tổng quan về ứng dụng CNTT vào trong dạy học, đặc biệt việc sử dụng các phần mềm vẽ hình vào trong dạy học hình học lớp 7 phù hợp và thiết thực như thế nào Cụ thể, luận án phân tích chương trình dạy học hình học lớp 7 và tâm lý HS THCS, đưa ra các phương án sử dụng phần mềm Cabri Geometry trong dạy học khái niệm, định lý và giải bài tập hình học qua nhiều ví dụ cụ thể, chi tiết nhằm phát huy tính tích cực hóa hoạt động học tập của HS Các tình huống sử dụng đa dạng có đi kèm phân tích cho người đọc nhiều ý tưởng áp dụng vào dạy học thực tiễn ở trên lớp hay nghiên cứu Tuy nhiên do áp dụng cho nhiều nội dung nên thiếu trọng tâm và một số ví dụ lặp lại

– Năm 2008, Luận án tiến sĩ “Rèn luyện kĩ năng tiền chứng minh cho học sinh lớp 5 thông qua dạy học các yếu tố hình học” [15] của tác giả Nguyễn Thị Kim Thoa tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án sử dụng nhiều hình vẽ minh họa, nhiều phương pháp khai thác bài toán đa dạng phù hợp với HS Tiểu học Luận án đề cập đến nội dung tiền chứng minh nhằm phát triển tư duy cho HS Tiểu học tạo tiền đề cho HS học các nội dung chứng minh hình học ở THCS sau này Các phương pháp khai thác đề bài và vẽ hình minh họa tương ứng đặt cho ta câu hỏi sẽ thuận lợi thế nào nếu được hỗ trợ bởi CNTT trong quá trình dạy học? Các nội dung kiến thức hướng đến đối tượng HS Tiểu học nên phần nào đơn giản và thiên về trực giác, nhìn hình vẽ rồi mới dần dần hướng HS đến việc lập luận trong chứng minh

– Năm 2013, bài viết “Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ dạy học khám phá định lí” [4] của tác giả Phan Trọng Hải đăng trên tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ

Bài viết đề cập đến vấn đề cốt lõi của sử dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh, đó là khám phá ra định lí hay vấn đề cần chứng minh Bài báo giới thiệu mô hình dạy học khám phá định lí với sự hỗ trợ của phần mềm GeoGebra, mô hình này chỉ ra các bước chính mà GV có thể áp dụng trong dạy học khám phá định lí Là một bài báo trên tạp chí nên bài viết

có sự hạn chế về thời lượng, chỉ đưa ra các nét chính chứ chưa đi vào phân tích cụ thể từng nội dung, từng đối tượng, ngoài ra các ví dụ được kể đến đều

là về nội dung vectơ của THPT nên còn thiếu đa dạng và khó áp dụng cho bậc THCS

– Năm 2014, học viên Nguyễn Mạnh Hùng Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên với đề tài: “Phát triển năng lực chứng minh cho HS THPT trong dạy học hình học” [7]

Trong luận văn này tác giả đã trình bày các cơ sở lí luận về chứng minh Toán học và dạy học chứng minh hình học ở bậc THPT Luận văn còn đưa ra một số biện pháp phát triển năng lực chứng minh cho HS trong dạy học hình học, trong đó kể đến biện pháp bồi dưỡng năng lực quan sát Toán học cho HS

có đề cập đến ứng dụng các phần mềm vẽ hình tạo ra các tình huống quan sát giúp HS dễ dàng phát hiện các định lí, tính chất, bài toán nhưng chỉ chiếm một phần nhỏ trong luận văn Ngoài ra hệ thống cơ sở lí luận chỉ tập trung vào nghiên cứu nội dung chương trình hình học THPT

– Năm 2015, học viên Luckxay Poummyxay Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên đã nghiên cứu luận văn: “Khai thác phần mềm GeoGebra trong dạy học môn toán lớp 10 ở trường THPT nước CHDCND Lào” [13]

Tác giả đã xây dựng tổng quan về lí luận và thực tiễn ứng dụng CNTT đặc biệt là phần mềm GeoGebra trong dạy học môn Toán khá chi tiết Luận văn mới lạ trong phần cơ sở thực tiễn tại nước CHDCND Lào, có nghiên cứu

và so sánh về chương trình Toán học lớp 10 tại nước bạn so với Việt Nam Luận văn có nhiều hình ảnh minh họa cụ thể bám sát nội dung dạy học bao gồm cả Giải tích và hình học, sắp xếp lôgíc Tuy nhiên nội dung chương trình Toán cũng như trình độ HS, cơ sở vật chất giữa hai nước có sự chênh lệnh nên cần xem xét, thay đổi khi áp dụng vào dạy học ở Việt Nam Luận văn có

đề cập đến ứng dụng GeoGebra trong dạy học chứng minh một số định lí, bài tập nhưng đều là các nội dung kiến thức THPT và nội dung ứng dụng vào dạy học chứng minh còn chưa đa dạng

– Năm 2016, tài liệu “Thinking Creatively about Teaching Geometry” của tác giả Meril Rasmussen [18]

Tài liệu gồm các nội dung hướng dẫn các kĩ năng sử dụng phần mềm GeoGebra từ các kĩ năng cơ bản cho đến việc sử dụng kho tài nguyên học liệu của GeoGebra Tuy chưa đề cập đến việc ứng dụng vào nội dung dạy học cụ

thể nào trong Toán học nhưng những ví dụ về sử dụng công cụ hay kho học liệu cho ta cái nhìn sáng tạo trong việc sử dụng các chức năng của phần mềm hay mượn ý tưởng từ kho tài nguyên học liệu rộng lớn

Từ các đề tài nghiên cứu nêu trên có thể rút ra một số đặc điểm chung như sau: Các tài liệu trên đã khái quát trình bày được tầm quan trọng, phân tích được vai trò và thực trạng của ứng dụng CNTT trong dạy học môn Toán

và phát triển năng lực chứng minh cho HS, đưa ra một số biện pháp, khuyến nghị nhằm nâng cao thực trạng Các thực nghiệm cho thấy tính thiết thực của việc ứng dụng CNTT và cho thấy HS rất thích thú khi được học các nội dung Toán học đặc biệt là chứng minh hình học bằng các phần mềm vẽ hình

Tuy nhiên vẫn có thể thấy được một số hạn chế nhất định như sau: đa

số các đề tài đều có phạm vi nghiên cứu ở bậc THPT; nghiên cứu ứng dụng phần mềm cho cả đại số, giải tích, hình học trong một đề tài nên có phần chưa đầy đủ cho từng nội dung; sau một vài năm các chức năng phần mềm, thực trạng nghiên cứu không được cập nhật đã có phần lỗi thời, không còn tính thời sự, ứng dụng cao; các đề tài về phần mềm GeoGebra chưa nhiều và đặc biệt ứng dụng phần mềm GeoGebra vào dạy học chứng minh hình học THCS còn hạn chế

Vì vậy trong khuôn khổ luận văn này tôi muốn dựa trên những cơ sở lí luận về dạy học chứng minh và ứng dụng CNTT trong dạy học môn Toán để xây dựng một số tình huống dạy học ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học nhằm góp phần nâng cao khả năng học tập nội dung chứng minh hình học của HS THCS

1.2 Dạy học chứng minh hình học

1.2.1 Khái niệm chứng minh Toán học

Khái niệm chứng minh Toán học được nhiều nhà nghiên cứu định nghĩa theo nhiều cách khác nhau Theo Nguyễn Bá Kim [8]: “Trong Toán học, một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn

mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu là đúng đắn”

Có nghĩa một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng trong mọi trường hợp, không có ngoại lệ Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận được gọi là một phỏng đoán Một mệnh đề đã được chứng minh thường được gọi là định lí, khi định lí đã được chứng minh thì nó có thể dùng làm nền tảng để chứng minh các mệnh đề khác Tùy từng trường hợp định lí cũng có thể được gọi là bổ đề, hệ quả hay các bài tập thực

ra cũng được coi là định lí

Như vậy ta có thể hiểu: Chứng minh Toán học là quá trình suy luận tổng hợp xuất phát từ các tiền đề đã biết là đúng (các tiền đề có thể là tiên đề, định nghĩa, định lí đã được chứng minh và các giả thiết của mệnh đề đang cần

chứng minh) và nhờ các quy tắc lôgíc để dẫn đến một kết luận đúng

1.2.2 Các phép chứng minh Toán học

Theo Hứa Thuần Phỏng [11], trong Toán học ta có các phép chứng minh như sau:

a) Phép chứng minh diễn dịch: Phép chứng minh diễn dịch là phép

chứng minh được dựa trên những tiền đề đã biết (được gọi là các luận cứ) và các quy tắc suy luận (được gọi là các luận chứng) để suy ra điều phải chứng minh (được gọi là các luận đề) Trong phép chứng minh diễn dịch ta có thể chia thành hai loại: phép chứng minh trực tiếp và phép chứng minh gián tiếp

– Phép chứng minh trực tiếp: Phép chứng minh trực tiếp là dựa trên các

luận cứ, qui tắc suy luận Toán học để rút ra luận đề Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các quy tắc suy luận, người chứng minh có thể sử dụng phương pháp phân tích từ kết luận đi ngược lên giả thiết (phân tích đi lên) hay tổng hợp từ những giả thiết mà suy ra kết quả

Phép chứng minh trực tiếp có ưu điểm nổi bật là trình bày bài gọn gàng, chặt chẽ, có hệ thống Do đó phép chứng minh này thường được sử dụng để trình bày chứng minh hầu hết các Định lí trong (SGK) hoặc trình bày

lời giải một bài toán nói chung Tuy nhiên xét về phương diện sư phạm phép chứng minh này thường thiếu tự nhiên vì HS không hiểu lí do vì sao (tìm ở

đâu ra, tại sao phải đi tìm) lại có thể tìm ra luận cứ đầu tiên để chứng minh

Để khắc phục nhược điểm này đòi hỏi trong quá trình chứng minh GV thường xuyên sử dụng phương pháp phân tích đi lên giúp HS tìm ra lời giải Vì vậy

áp dụng CNTT đặc biệt là các PMDH vào giảng dạy sẽ tăng hiệu quả giúp HS biết được phải chứng minh từ đâu, chứng minh cái gì

– Phép chứng minh gián tiếp (Chứng minh phản chứng): Trong một số

trường hợp để chứng minh mệnh đề AB là đúng nếu ta chứng minh trực tiếp thì sẽ gặp khó khăn Khi đó thay vì chứng minh AB ta có thể chứng minh mệnh đề B  A là đúng Muốn vậy ta có thể giả thiết phản chứng mệnh đề B là sai tức là B là đúng, từ đó suy ra điều này mâu thuẩn với giả thiết A hoặc mâu thuẫn với một mệnh đề đúng đã biết Điều đó chứng tỏ giả

thiết phản chứng là sai Vậy kết luận B đúng (theo luật mâu thuẫn)

b) Chứng minh quy nạp: Phép chứng minh bằng phương pháp quy nạp

là một phương pháp chứng minh thường gặp trong Toán học Nội dung của phương pháp này được mô tả như sau:

Giả sử ta phải chứng minh rằng mệnh đề P(n) nào đó đúng với mọi số

tự nhiên n, với n a, trong đó a là số tự nhiên cho trước

Ta sẽ tiến hành theo các bước như sau:

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = a

Bước 2: Giả sử mệnh đề vẫn đúng với n = k (k  a) nào đó Ta sẽ đi

chứng minh tiếp rằng mệnh đề đúng với n = k + 1

Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi n  a

Cơ sở lí luận của phương pháp là:

Theo bước 1: Mệnh đề P(n) đúng với n = a

Theo bước 2: Ta có P(a) đúng  P(a+1) đúng

Bước 1: Phân tích giả thiết chứng minh và vẽ hình

Phân tích giả thiết là công việc quan trọng trong giải quyết một bài toán, ở đó GV cần giúp HS tìm hiểu đề bài và chú ý gợi đông cơ, khơi gợi trí

tò mò, hứng thú cho các em Ngoài ra cần giúp HS nắm vững mọi khái niệm

đề cập trong bài toán, nắm được giả thiết và kết luận của bài toán Dựa vào giả thiết đã cho, vẽ hình mô tả nội dung bài toán Hình vẽ sẽ giúp ta hiểu được

đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn và còn có tác dụng gợi ý cho việc tìm

ra các giải pháp, cách giải quyết vấn đề vì vậy cần lưu ý khi vẽ hình chú ý đảm bảo các tính chất hình học

Bước 2: Phát hiện kết quả chứng minh và tìm cách chứng minh

Việc tìm tòi phát hiện kết quả chứng minh là một bước thú vị trong chứng minh một vấn đề Trong quá trình nghiên cứu giả thiết bài toán qua các trường hợp HS phát hiện có một số yếu tố không thay đổi dù ta di chuyển các đối tượng trong hình Từ đó HS nhận ra vấn đề cần được chứng minh và có thể tìm ra cách giải quyết vấn đề đó nếu kết hợp được các nội dung kiến thức

đã học vào hình vẽ Đó chính là hướng đi để chứng minh một bài toán hình học Điều cơ bản của bước này là biết định hướng đúng để tìm ra được nhanh chóng hướng giải bài toán vì vậy việc hướng dẫn của GV trong giai đoạn làm quen với hoạt động chứng minh rất quan trọng Trong khi tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học nếu không biết phải bắt đầu từ đâu thì ta thường sử dụng sơ đồ phân tích đi lên để tìm hướng giải quyết

Bước 3: Trình bày cách chứng minh

Sau khi HS đã tìm được kết quả chứng minh và nắm được phương pháp giải cần trình bày lời giải chính xác, mạch lạc, gọn gàng Cần lưu ý cho HS trình tự trình bày bài chứng minh có thể khác với trình tự tìm lời giải, vì quá trình tìm lời giải là quá trình phân tích còn quá trình trình bày bài giải là quá trình tổng hợp các kết quả đã phân tích

Bước 4: Kiểm tra kết quả và mở rộng

Cuối cùng để hoàn thành quá trình chứng minh cần kiểm tra lại các bước chứng minh, kết quả chứng minh tránh trường hợp ngộ nhận trong chứng minh Để kiểm tra một cách khách quan và chính xác cần phải tránh các trường hợp hình đặc biệt, tốt nhất nên xem xét dưới nhiều trường hợp khác nhau Ngoài ra có thể mở rộng kết quả bài toán bằng cách thay đổi một vài yếu tố của giả thiết để xem kết quả có còn đúng hay không

Những nội dung trên đây là các bước thường được sử dụng trong chứng minh hình học, quá trình HS thực hiện các bước này cần được GV sát sao hướng dẫn ngay từ những bài học đầu tiên tiếp cận với hoạt động chứng minh hình học, nên sử dụng các PMDH hỗ trợ để minh họa các nội dung dạy học cho HS dễ hình dung

1.2.4 Phân bậc trong dạy học chứng minh

Trong quá trình dạy học chứng minh tùy theo mức độ nhận thức của

HS mà GV có thể tổ chức hoạt động theo các mức độ khác nhau với mục đích cuối cùng vẫn là giúp HS nắm được kết quả chứng minh, biết sử dụng các định lí đã biết trình bày chứng minh Toán học Dựa vào căn cứ phân bậc hoạt động của Nguyễn Bá Kim [8] tôi đưa ra đề xuất phân bậc hoạt động trong dạy học chứng minh như sau:

Cấp độ 1: Hiểu nội dung chứng minh

Cấp độ này áp dụng khi dạy học chứng minh cho HS mới làm quen với chứng minh Toán học, cần hiểu trình tự một bài chứng minh Toán học hoặc

các HS trung bình không có năng lực để phát hiện hay tự mình thực hiện một bài chứng minh Khi đó các hoạt động của GV xoay quanh tổ chức cho HS tham gia vào việc đọc hiểu một bài chứng minh, giải thích lí do của các bước lập luận, sắp xếp thứ tự của một bài chứng minh từ đó cải thiện cho HS tư duy lôgíc, phương pháp trình bày cũng như kĩ năng chứng minh Toán học dần dần giúp HS tiếp cận được với cấp độ cao hơn

Cấp độ 2: Tìm tòi chứng minh dưới sự dẫn dắt của GV

Việc dẫn dắt và tìm tòi chứng minh dưới sự hướng dẫn của GV là bậc cao hơn của việc hiểu nội dung, thường được sử dụng với các đối tượng HS khá sau khi các em đã nắm được các nội dung cơ bản của chứng minh GV dẫn dắt HS lần lượt qua các hoạt động mà ở đó HS tự mình tìm ra đáp án sau

đó dần dần ghép lại thành kết quả chứng minh Qua các hoạt động của giáo viên, HS không chỉ tìm ra kết quả mà còn hình thành trong đầu các suy luận

từ đó có thể sắp xếp lại thành một bài chứng minh Toán học như các em đã được làm ở cấp độ 1

Cấp độ 3: Độc lập chứng minh

Đây là cấp độ cao nhất trong hoạt động chứng minh của HS khi mà HS

tự mình lên kế hoạch từng bước khai thác giả thiết, liên hệ các đơn vị kiến thức liên quan, tổ chức suy luận để tìm ra cách chứng minh của vấn đề Vai trò của GV ở đây là tạo động cơ chứng minh cho HS và sau quá trình chứng minh của HS cần kiểm tra lại các bước chứng minh cũng như mở rộng thêm bài toán kích thích tư duy chứng minh của HS Với mức độ vận dụng cao như vậy thì đối tượng cấp độ hướng đến là HS Khá – Giỏi có năng lực suy luận, thiết kế hoạt động chứng minh

Các cấp độ trên chỉ mang tính chất thao khảo, khi vận dụng vào thực tế giảng dạy tùy vào đặc thù đối tượng HS từng lớp GV cần linh hoạt vận dụng các cấp độ, thay đổi phương thức hoạt động cho phù hợp Quan trọng vẫn là

tạo được hứng thú cho HS đối với việc chứng minh và rèn luyện khả năng suy luận, kĩ năng chứng minh cho HS

1.2.5 Hình học trực quan và hình học suy diễn

“Hình học trực quan” và “Hình học suy diễn” là hai cách tiếp cận trong hình học Cụ thể hơn, theo Lê Thị Hoài Châu [3]: Trong cách tiếp cận hình học trực quan, các kiến thức hình học thu được là kết quả trực tiếp của việc quan sát vẽ hình, các mô hình và các hoạt động thực hành như đo đạc, tô vẽ, cắt ghép, gấp xếp hình Còn cách tiếp cận hình học suy diễn các kết quả hình học được chứng minh nhờ các định nghĩa, tính chất đã có trên cơ sở một hệ tiên đề và một số khái niệm cơ bản (không định nghĩa) Hai cách tiếp cận của hình học là trực quan và suy diễn này tương ứng với hai quan điểm dạy học hình học là “Quan điểm thực nghiệm” và “Quan điểm tiên đề”

Theo quan điểm thực nghiệm, ta cho học sinh thiết lập các tính chất hình học trên cơ sở quan sát, đo đạc, cắt ghép hình Những SGK theo xu hướng này hình thành các khái niệm và tính chất hình học theo tiến trình quan sát – thực nghiệm – mô tả – khái quát hóa Yêu cầu chủ yếu của dạy học hình học, nhất là đối với bậc THCS là luyện tập sử dụng các dụng cụ đo quen thuộc để vẽ hình, đo đạc rồi quan sát và mô tả hình, qua đó hiểu và vận dụng được các khái niệm, rút ra một số tính chất của hình Trong quan điểm này ta chú trọng suy luận quy nạp, thực hành, thí nghiệm trên hình vẽ, cắt ghép hình, xếp hình, đo đạc qua đó “phát hiện” các định lý (hầu hết các định lý không được chứng minh bằng suy diễn)

Khác với quan điểm thực nghiệm, quan điểm tiên đề lại chú trọng việc trình bày kiến thức theo một hệ thống lôgíc chặt chẽ trên cơ sở một hệ tiên đề được trình bày tường minh Ở đây người ta đặt ra yêu cầu cao cho học sinh về khả năng suy luận diễn dịch Quan điểm này cho rằng sau giai đoạn học sinh

đã nghiên cứu hình học bằng thực nghiệm cần phải chuyển sang khoa học suy diễn, tuy nhiên cần phù hợp với đối tượng học sinh không được quá hình thức

và trừu tượng Tức là cần phải có quá trình chuyển giao giữa hai quan điểm, hình thức này của hình học

“Lập luận trong hình học rất phong phú vì trước hết nó dựa trên việc quan sát hình vẽ, xây dựng phỏng đoán, xem xét có phê phán phỏng đoán vừa được hình thành và cuối cùng là tìm một sự hợp thức có tính thuyết phục bằng cách chứng minh Đây là một quá trình có mối liên hệ giữa trực quan và tính chặt chẽ của lập luận thường xuyên được duy trì” Theo đó hình học trực quan

và hình học suy diễn có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, muốn HS phát triển năng lực suy luận chứng minh hình học thì không thể bỏ qua hình học trực quan mà phải tạo ra các tình huống học tập trong đó xây dựng các mô hình để chính học sinh tự mình phát hiện ra các kết quả của chứng minh, kiểm chứng lại phát hiện và nhận thức được tính cần thiết của việc chứng minh

1.3 Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học chứng minh hình học

1.3.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học

Ứng dụng CNTT trong dạy và học nhằm hỗ trợ cho người học tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng, hiệu quả Với các công nghệ đang ngày càng tiên tiến hiện nay, CNTT có thể đảm nhận những vai trò quan trọng trong hoạt động dạy và học giúp nâng cao chất lượng giáo dụng trong nhà trường, góp phần tạo ra một môi trường học tập tích cực giúp người học phát huy tối đa các phẩm chất, kĩ năng Nhờ sự hỗ trợ của máy tính điện tử (MTĐT) mà người dạy và học có thể ứng dụng CNTT để xây dựng các giả thiết đồng thời tự mình kiểm nghiệm các giả thiết, qua đó nâng cao khả năng

tự học, tự hoạt động của HS Ngoài ra CNTT còn là công cụ để giáo viên triển khai các ý tưởng sư phạm của mình cho phần dẫn nhập kiến thức từ đó giúp học sinh khắc sâu kiến thức mới, biết vận dụng kiến thức trong nhiều tình huống

Tóm lại CNTT hỗ trợ thay đổi phương thức học tập, giúp giáo viên xây dựng một môi trường dạy học hiệu quả theo đúng ý đồ sư phạm, nâng cao

tính tích cực trong học tập của học sinh, giúp hoạt động giáo dục diễn ra mọi lúc mọi nơi cả trong và ngoài nhà trường góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

1.3.2 Hình thức ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học Toán

Hai tác giả Sue Johnston Wilder và David Pimm [19] đã đưa ra 5 hình thức chính ứng dụng CNTT nhằm cung cấp các điều kiện cho người học Toán, cụ thể là:

– Học tập dựa trên thông tin ngược: MTĐT có khả năng khai thác

nhanh và chính xác các thông tin phản hồi cho phép người học đưa ra dự đoán của mình và từ đó có thể thử nghiệm, thay đổi để kiểm chứng dự đoán

– Thao tác với các mô hình ảo: Với khả năng và tốc độ xử lý của

MTĐT người dạy có thể đưa ra nhiều ví dụ, tình huống giúp người học khám phá nhiều khía cạnh của một vấn đề trong Toán học So với các phương tiện

đồ dùng dạy học truyền thống thì MTĐT có khả năng thể hiện các đối tượng Toán học theo nhiều chiều, nhiều phương diện giúp GV trình bày các vấn đề Toán học rõ ràng, sinh động và khám phá những vấn đề phức tạp trong cuộc sống để cô đọng lại những gì tinh tế, sâu sắc rồi kết nối chúng lại xây dựng thành các mô hình Toán học

– Khai thác các phần mềm Toán học động: Trong quá trình học Toán,

GV có thể sử dụng, hướng dẫn HS sử dụng các phần mềm Toán học động

biểu diễn các biểu đồ, hình vẽ một cách sinh động Với các phần mềm hỗ trợ, chỉ cần một vài thao tác đơn giản HS có thể có được hình ảnh về đối tượng cần nghiên cứu dưới các góc độ khác nhau, thậm chí có thể cho một vài yếu tố của đối tượng Toán học biến đổi liên tục một cách tự động Nhờ đó HS hình dung ra các tính chất hình học một cách trực quan trên cơ sở hình ảnh được máy tính mô tả Việc cho thay đổi một vài đối tượng hình học và cho phép quan sát sự thay đổi trong các thành phần còn lại giúp người học phát hiện sự

tương quan giữa các đại lượng Toán học Qua đó giúp HS có điều kiện rèn luyện phương pháp nghiên cứu và năng lực tư duy sáng tạo trong học tập

– Khai thác Internet trong dạy học: Internet là một kho thông tin tích

luỹ tri thức Toán học và là nguồn tài nguyên vô cùng quý giá cho người dạy

và học Toán Bên cạnh đó, Internet cũng cung cấp phương tiện, môi trường để

GV, HS trao đổi thông tin trong quá trình dạy học Toán

– Dạy học Toán với MTĐT: Việc sử dụng CNTT thông qua các MTĐT

trong dạy học Toán cung cấp cho HS một môi trường học tập nghiên cứu gồm các yếu tố: thông tin phản hồi, các mô hình, các mối quan hệ, các hình ảnh động từ đó khám phá tìm hiểu thông tin và dạy học với sự hỗ trợ của máy tính

1.3.3 Khai thác công nghệ thông tin trong giờ học Toán

Một số biện pháp khai thác CNTT trong giờ học Toán được Trịnh Thanh Hải [5] đưa ra như sau:

– Rèn luyện kỹ năng, củng cố, ôn tập kiến thức cũ: Với sự phát triển

nhanh chóng của công nghệ phần mềm, ngày nay các PMDH trở nên rất phong phú, đa dạng, trong đó có nhiều phần mềm có thể khai thác để rèn luyện kỹ năng thực hành, củng cố ôn tập kiến thức cho HS

– Phát triển tư duy Toán học cho HS: Các nhà khoa học khẳng định dạy

học Toán với sự hỗ trợ của MTĐT cho phép GV phát triển khả năng suy luận Toán học và tư duy lôgíc, đặc biệt là năng lực quan sát, mô tả, phân tích, so sánh HS sử dụng MTĐT và phần mềm Toán học để tạo ra các đối tượng sau

đó tìm tòi, khám phá các thuộc tính ẩn chứa bên trong mối quan hệ giữa các đối tượng Chính từ quá trình tìm tòi, dự đoán HS đi đến khái quát hoá, tổng quát hoá để phát hiện sau đó sử dụng lập luận lôgíc để làm sáng tỏ vấn đề

– Tổ chức dạy học phân hóa: Để thực hiện được dạy học phân hóa GV cần nắm bắt và xử lý kịp thời mọi diễn biến hoạt động học tập của từng HS trong lớp Nếu sử dụng MTĐT và PMDH sẽ kịp thời thay thế cho GV để hỗ

trợ khi HS gặp khó khăn với liều lượng thích hợp và đưa ra những chương trình, nội dung công việc tuỳ thuộc vào mức độ nhận thức của mỗi HS Việc khai thác mạng Internet và các PMDH giúp nối dài cánh tay của GV dạy Toán đến gia đình và từng HS cụ thể để hướng dẫn HS học tập, kiểm tra, đánh giá ngay tại chỗ

– Thực nghiệm Toán học: MTĐT cùng với các PMDH cho phép GV,

HS có thể tạo ra các mô hình và mô tả quá trình diễn biến của các đại lượng Toán học hoặc tổ chức các thực nghiệm Toán học Qua quá trình quan sát các hình ảnh được thể hiện trên máy tính, HS đưa ra các giả thuyết và sử dụng suy luận có lý để khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết của mình

– Đa dạng hóa hình thức dạy học: Các hình thức dạy học truyền thống

như dạy học đồng loạt, dạy học theo nhóm, dạy học cá thể sẽ có điều kiện kết hợp hiệu quả và phát huy linh hoạt hơn khi GV kết hợp sử dụng, khai thác CNTT trong dạy học

– Đánh giá kết qua học tập của HS: Với sự trợ giúp của các phần mềm

kiểm tra, đánh giá, GV có điều kiện kiểm soát chặt chẽ toàn bộ quá trình học tập của HS Mặt khác, GV có được các nhận định chính xác về kỹ năng tính toán, khả năng tập trung chú ý, khả năng suy luận lôgíc của HS bằng sự hỗ trợ của phần mềm Với khả năng lưu trữ và xử lý của MTĐT, GV có thể lưu lại quá trình học tập, kết quả đánh giá của HS để có những định hướng đúng đắn cho từng HS

Việc ứng dụng CNTT tạo điều kiện thuận lợi cho HS được tiếp nhận thông tin dưới nhiều hình thức phong phú, sinh động, giúp cho HS ghi nhớ bài học một cách nhanh chóng và lâu dài Tuy nhiên theo Nguyễn Bá Kim:

“Không phải bất cứ trường hợp nào dùng CNTT và Truyền thông thay thầy giáo cũng là tối ưu Vì vậy, người ta không đặt vấn đề thủ tiêu vai trò của người thầy trong quá trình dạy học” [8] Cho thấy người thầy luôn giữ vai trò không thể thiếu trong dạy học và nên lựa chọn sử dụng CNTT hợp lí và có

hiệu quả Nếu hoạt động ứng dụng CNTT không hiệu quả hơn các phương pháp thông thường thì không nên sử dụng

1.3.4 Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học chứng minh hình học

Xuất phát từ những yêu cầu của dạy học chứng minh hình học cùng với các hình thức khai thác CNTT trong dạy học môn Toán ta có thể thấy được tầm quan trọng của việc ứng dụng CNTT trong dạy học chứng minh hình học CNTT không thể thay thế được con người trong việc chứng minh nhưng nó là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho quá trình chứng minh, ở đó người sử dụng có thể xây dựng các tình huống phát hiện ra kết quả chứng minh từ giả thiết từ

đó hình thành được định lý rồi mới suy nghĩ cách chứng minh Nếu GV áp dụng CNTT một cách hiệu quả trong giai đoạn này sẽ giúp HS hiểu được quy trình chứng minh, nắm được các định lý hình học và áp dụng được để giải quyết các bài toán chứng minh hình học khác

Cụ thể, GV sẽ sử dụng các PMDH để tạo ra các hình vẽ, đồ thị, bảng biểu, sơ đồ, mô hình có tính chính xác cao, trực quan cho HS quan sát Đặc biệt hơn GV có thể tạo ra các hình vẽ, mô hình động mô phỏng các tình huống Toán học một cách tổng quát từ nhiều góc độ bằng cách chuyển động của các đối tượng nhờ đó HS dễ dàng quan sát, nhận biết được các mối quan

hệ giữa các đối tượng của tình huống đó và đưa ra dự đoán Sau đó GV lại tiếp tục cùng HS kiểm tra lại các suy đoán, giả thiết mình vừa đặt ra để củng

cố niềm tin cho HS về tính chính xác của các giả thiết Phương pháp ứng dụng CNTT trong dạy học giúp giảm thời gian cho GV, tạo hứng thú và tăng

sự chủ động của HS trong học tập gián tiếp tăng hiệu quả học tập của HS

Tuy nhiên như đã nói CNTT không hoàn toàn thay thế được vai trò của người thầy trong việc định hướng và dẫn dắt HS hay vai trò của người học trrong việc suy luận và trình bày vấn đề mà chỉ là công dụ hỗ trợ dạy học Do

đó cần chú ý lựa chọn phương án, thời gian thích hợp, không nên lạm dụng

trong mọi tình huống có thể gây nhàm chán hoặc củng cố thiếu kĩ năng cho

Liên quan đến PMDH hiện xuất hiện nhiều hình thức dạy học sử dụng PMDH, phổ biến là các cách sau đây:

a) Dạy học chương trình hóa: Trong cách dạy học này, nội dung học tập

được chia thành từng phần kiến thức, kĩ năng; người học tích cực hoạt động độc lập để chiếm lĩnh từng phần này và nhận được phản hồi về kết quả học tập mỗi phần, trên cơ sở đó tiến hành những bước tiếp theo

b) Sử dụng vi thế giới: Vi thế giới là một môi trường bao gồm những

đối tượng, những thao tác và những quan hệ Toán học cho phép người học tạo

ra những đối tượng mới, những thao tác mới, những mối quan hệ mới, thông qua đó để tìm tòi phát hiện ra quy luật của các đối tượng để rút ra được những nhận xét, kết luận khoa học

c) Sử dụng môi trường đa phương tiện: Môi trường đa phương tiện

nhằm kết hợp những hình ảnh từ video, phim, âm thanh, văn bản, biểu đồ được trình bày qua MTĐT theo một kế hoạch vạch sẵn nhằm đạt hiệu quả tối

đa sau một quá trình học tập đa giác quan Qua đó GV có thể tổ chức cho HS

học tập trong các hoạt động và giao lưu, có thể sử dụng những hình thức học tập khác nhau như: truy cập thông tin trong ngân hàng dữ liệu, học trên màn hình hoặc in ra giấy, học tập trên Internet, từ tự học cá nhân đến học theo nhóm hoặc đồng loạt cả lớp

d) Trò chơi: Trò chơi được thiết kế, chủ yếu là trên máy vi tính giúp HS

chơi mà học, học thông qua chơi

Do tính đa dạng của các loại PDMH như vậy, người GV cần phải cân nhắc lựa chọn các phần mềm thích hợp cho môn học, nội dung dạy học, các hoạt động của mình Mục tiêu cuối cùng vẫn là tạo hứng thú, động lực học tập cho HS từ đó cải thiện kết quả học tập môn học Do vậy nếu qua thực nghiệm,

sử dụng cần xem xét hoạt động nào nên sử dụng PDMH, hoạt động nào không nên

1.4.2 Phần mềm hình học động GeoGebra

GeoGebra là phần mềm “Toán học động” dành cho GV và HS phổ thông Phần mềm là sự kết hợp giữa môi trường hình học động với đại số giải tích và bảng tính điện tử Đây là phần mềm miễn phí trên mạng Internet, người sử dụng có thể tải tại địa chỉ trang web www.GeoGebra.org Đến nay, phần mềm đã được dịch ra 65 thứ tiếng trong đó có tiếng Việt, có diễn đàn trao đổi về cách khai thác phần mềm (www.GeoGebra.org/forum) và chia sẻ các tài nguyên liên quan Các tập tin thiết kế bằng GeoGebra dễ dàng xuất bản dưới dạng trang web, GV có thể tải lên trang GeoGebraWiki (www.GeoGebra.org/wiki) hỗ trợ HS tương tác trực tiếp với các Applet động, giúp HS có thể học tập tại trường hoặc tự học ở nhà Theo thống kê từ Internet, trang web chính thức của phần mềm thu hút khoảng 300 nghìn lượt khách truy cập mỗi tháng đến từ gần 200 quốc gia và có khoảng hơn một triệu

GV trên toàn thế giới sử dụng phần mềm này trong hỗ trợ dạy học Toán ở bậc phổ thông và bậc đại học

Hình 1.1 Giao diện của phần mềm GeoGebra

Phần mềm GeoGebra được sử dụng trong phạm vi luận văn là phiên bản 6.0.533, bao gồm môi trường Toán học động có khả năng tương tác cao Người sử dụng có thể dựng các điểm, đoạn thẳng, đường đặc biệt cũng như thao tác trực tiếp với các hàm số và biểu thức tọa độ của nó bằng các câu lệnh đơn giản GeoGebra có hai cửa sổ hiển thị cạnh nhau: cửa sổ đại số hiển thị các đối tượng đại số tương ứng với các đối tượng hình học trong cửa sổ hình học và ngược lại Cửa sổ đại số mô tả các đối tượng như: các đối tượng độc lập, các đối tượng phụ thuộc và các đối tượng phụ Ngoài ra, GeoGebra còn tích hợp bảng tính điện tử và thanh nhập lệnh (Input) để thao tác với các biểu thức đại số Thanh nhập lệnh cho phép nhập trực tiếp biểu thức đại số của các đối tượng Toán học như điểm, đường thẳng, đường tròn, vectơ, hàm số Tóm lại phần mềm GeoGebra tổng hợp đầy đủ các chức năng cần thiết cho dạy và học Toán ở trường phổ thông cũng như đại học

1.4.3 Ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh hình học

1.4.3.1 Một số đặc điểm của phần mềm GeoGebra

Phần mềm hình học động GeoGebra có một số đặc điểm nổi bật phù hợp với dạy chứng minh như sau:

– Phần mềm GeoGebra là một vi thế giới cho phép tạo các đối tượng, các mối quan hệ hình học, xác lập những đối tượng hình học mới, những quan

hệ hình học mới từ những đối tượng, mối quan hệ đã có và bảo toàn tính chất

đã xác lập của chúng

– Phần mềm GeoGebra có thể tạo ra các hình ảnh trực quan, nhờ đó HS phát hiện các đặc điểm giữa các đối tượng như song song, vuông góc, thẳng hàng, liên thuộc và ước lượng, so sánh, nhận dạng, tìm ra, kiểm chứng các mối quan hệ trong hình vẽ

– Phần mềm GeoGebra là phần mềm hình học động cho phép thay đổi

vị trí một số đối tượng của hình vẽ để có thể quan sát hình vẽ ở nhiều góc độ,

vị trí khác nhau Qua quá trình này HS sẽ phát hiện được các yếu tố bất biến của hình vẽ và nhận biết được đâu là những thuộc tính chung và thuộc tính riêng của hình vẽ

– Phần mềm GeoGebra bảo toàn cấu trúc của các đối tượng hình học, tức là khi một hình đã xác định các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng, đa giác và các mối quan hệ liên thuộc, song song, vuông góc giữa chúng thì khi ta tác động thay đổi hình vẽ GeoGebra vẫn bảo toàn cấu trúc của hình Do vậy khi HS biết được cách vẽ các đối tượng theo đúng mối liên

hệ thì tức là khi đó HS đã nắm được bản chất của các khái niệm, tính chất hình học đó

– Phần mềm GeoGebra hỗ trợ nghiên cứu các hiện tượng một cách liên tục về sự biến đổi vị trí hay sự thay đổi các thuộc tính của một đối tượng hình học nhờ chức năng tạo vết hoặc quan sát số liệu cập nhật

– Phần mềm GeoGebra cung cấp một hệ thống chắc năng kiểm tra mối quan hệ giữa các đối tượng hình học hỗ trợ HS tìm tòi khám phá, kiểm tra các thuộc tính tiềm ẩn của hình vẽ

– Phần mềm GeoGebra cho phép thực hiện một số chức năng như xác định khoảng cách, độ dài, chu vi, diện tích, số đo góc hỗ trợ HS tính toán, dự đoán các tính chất của hình

– Phần mềm GeoGebra có môi trường làm việc thân thiện, tính tương tác cao Các thao tác làm việc với GeoGebra tương tự như các phần mềm của Microsoft, hỗ trợ các phím tắt của Windows, thanh công cụ trực quan, hỗ trợ tiếng Việt do vậy rất gần gũi với các thao tác của HS, người mới làm quen với phần mềm

Từ những đặc điểm đó, một mặt GeoGebra có thể được sử dụng để nhận dạng khái niệm Toán học cũng như để tạo ra các tài liệu giảng dạy Mặt khác, GeoGebra có tiềm năng để thúc đẩy học tập tìm tòi, hình thành các nội dung kiến thức mới bằng cách cho phép thực hiện các thực nghiệm Toán học, khám phá tương tác Đó là bước quan trọng trong việc phát hiện kết quả và tìm ra hướng chứng minh một định lí Toán học hay các bài tập chứng minh

Vì vậy việc sử dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh hình học

– Quan sát và khám phá: Trong hoạt đông này thông qua tương tác với phần mềm cho phép học sinh nhận ra, kiểm tra và bác bỏ các quan điểm của

mình Ngoài ra phần mềm thể hiện được tính tổng quát của hình vẽ thay vì các trường hợp rời rạc khi sử dụng các công cụ truyền thống (vẽ hình trên giấy)

– Dựng hình hình học: Hoạt động dựng hình trong GeoGebra sử dụng cách thức hoàn toàn khác với vẽ hình trên giấy thông thường, bởi vì hình vẽ phải được bảo toàn khi dịch chuyển do đó các đối tượng phải được thiết lập với nhau theo một mối quan hệ hình học chuẩn xác Qua quá trình dựng hình hình học này HS có điều kiện tư duy lại các tính chất có sẵn của hình bị ẩn trong đề bài Ngoài ra GV có thể sử dụng phần mềm để tạo điều kiện gợi phát hiện, suy luận hình học từ phía học sinh để phát triền bài dạy, hình thành tri thức Do đó trong quá trình dạy học và phạm vi nghiên cứu luận văn này, các hình được nhắc đến đều là các hình hình học

Theo tác giả Nguyễn Chí Thành [14], nếu coi PMDH là phần cứng đưa cho giáo viên thì các tình huống dạy học chính là phần mềm mà giáo viên cần thiết kế để có thể tận dụng một cách hiệu quả phần cứng đó Ý tưởng chủ đạo khi xây dựng các hoạt động trong các tình huống là tạo một môi trường cho

sự tương tác giữa phần mềm và học sinh Theo đó, trong quy trình sử dụng phần mềm GeoGebra học sinh sẽ dịch chuyển hình vẽ hoặc các đối tượng (hoặc quan sát giáo viên thực hiện), quan sát các thông tin phản hồi, sử dụng các kiến thức đã học để giải thích cho các thông tin phản hồi, mặt khác qua các phản hồi học sinh có thể thay đổi các hành động của mình để phát hiện hay tiến gần đến kết quả vấn đề chứng minh theo dụng ý của giáo viên Chính quá trình này hình thành nên nội dung của kiến thức mới (cụ thể ở đây là các định lí hình học hay vấn đề chứng minh hình học) mà ở đó học sinh đóng vai trò chủ động Ngoài ra các phản hồi cũng giúp giáo viên linh động trong điều chỉnh, hướng dẫn quá trình học tập của học sinh

Khi ứng dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học chứng minh để tạo

ra các môi trường tương tác cần lưu ý trong thiết kế và lựa chọn các tình

huống đóng vai trò quan trọng vì các tình huống phải phù hợp với trình độ của HS cho phép HS đưa ra các dự đoán khi thao tác trên các đối tượng cũng như phải gây ra sự ngạc nhiên, hứng thú cho HS đủ để chúng cảm thấy cần thiết phải vận dụng các kiến thức đã học để chứng minh nhận định dựa trên các quan sát và suy luận Môi trường tương tác tạo ra bởi phần mềm GeoGebra tích hợp trong các tình huống học tập nếu được xây dựng và tổ chức tốt sẽ nâng cao tính tích cực và chủ động của HS trong lĩnh hội tri thức Các tình huống như vậy góp phần làm giảm thiểu một xu hướng sử dụng CNTT khá phổ biến hiện nay là chỉ tận dụng khả năng trình chiếu, mô phỏng một cách thụ động của các phần mềm, không khác gì với việc sử dụng bảng phấn

1.5 Cơ sở thực tiễn

1.5.1 Khái quát và phân tích về chương trình hình học Trung học cơ sở

Theo Nguyễn Thị Uyên Nhi trong [10], hình học được xem như là một lĩnh vực then chốt để giới thiệu cho HS nội dung suy luận và chứng minh trong nhà trường Hình học không chỉ liên quan đến trực giác (sự hiểu biết trực quan), chịu ảnh hưởng bởi thị giác về các hình vẽ, con số mà còn liên quan đến các lập luận lôgíc, sử dụng các quy tắc và nguyên tắc để chứng minh một loạt các tính chất, các định lí khác nhau Mặc dù hình học không phải là chủ đề duy nhất trong môn Toán cung cấp cơ hội cho HS học chứng minh Toán học, nhưng nó là cách đặc biệt để tìm hiểu cách thức HS phát triển khả năng chứng minh Toán học từ giai đoạn bắt đầu chứng minh hình thức Ngoài

ra, hình học cấp THCS được xem là bước chuyển tiếp giữa hình học trực quan

và mang tính thực nghiệm ở Tiểu học sang hình học suy luận Do đó hình học cấp THCS chú trọng giới thiệu một cách ngầm ẩn hoặc tường minh khái niệm chứng minh, thế nào là một chứng minh trong hình học nhằm giúp HS dần dần làm quen với cách lập luận xác minh chân lý mới trong hình học mà không cần đến trực giác hay đo đạc Vì vậy, nghiên cứu đối tượng tri thức

“chứng minh” trong hình học ở cấp THCS rất thú vị và thu hút nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

Một số mục tiêu của nội dung hình học THCS:

– Cung cấp cho HS những kiến thức và phương pháp Toán học phổ thông cơ bản thiết thực như: những kiến thức ban đầu về hình học phẳng, các mối quan hệ bằng nhau, đồng dạng giữa hai hình phẳng và một số yếu tố về lượng giác, một số vật thể trong không gian

– Hình thành và rèn luyện các kĩ năng: Vẽ hình, đo đạc, ước lượng – Bước đầu hình thành khả năng vận dụng các kiến thức Toán học vào đời sống và các môn học khác

– Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và tư duy lôgíc, khả năng quan sát dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian Rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ Toán học chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy như: linh hoạt, độc lập, sáng tạo

– Bước đầu hình thành thói quen tự học, tự nghiên cứu vấn đề, diễn đạt chính xác ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của người khác Góp phần hình thành các phẩm chất khoa học cần thiết cho HS

Các kiến thức trong SGK được trình bày theo con đường trực quan kết hợp suy diễn, lập luận Bằng các hoạt động đo dạc, vẽ hình, gấp hình, quan sát, suy luận HS dự đoán các kết luận hình học và tiếp cận các định lí Nhờ đó giúp HS có hứng thú học tập, chịu khó tìm tòi khám phá kiến thức

Chương trình hình học từ lớp 6 đến lớp 9 là bước chuyển tiếp quan trọng về tư duy giúp HS học tốt chương trình hình học theo con đường bậc thang như sau:

– Với chương trình hình học 6, HS làm quen với các khái niệm mở đầu

về hình học HS được tiếp cận kiến thức bằng con đường quy nạp không hoàn toàn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi dần đến các kiến thức

mới HS nhận thức các hình và mối liên hệ giữa chúng bằng mô tả trực quan với sự hỗ trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu

– Lên lớp 7 HS bước đầu làm quen với các mối quan hệ như vuông góc, song song, bằng nhau Với yêu cầu về kĩ năng từ thấp đến cao đòi hỏi HS phải có sự suy luận lôgíc hợp lý, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác thông qua các bài tập chứng minh Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với HS lớp 7 còn mới mẻ nên HS chưa biết chứng minh như thế nào

– Lên lớp 9 HS sẽ gặp các bài toán hình học mang tính chất tổng hợp các vấn đề từ lớp dưới, vì vậy HS phải có đầy đủ các kiến thức hình học thì mới có các hướng giải quyết cụ thể Ngoài ra hình học lớp 9 đi sâu thêm về các nội dung mới như lượng giác, hình tròn từ đó hình thành đầy đủ cho HS kiến thức về các yếu tố hình học cơ bản phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu hình học ở bậc Trung học phổ thông sau này

Vì tính liên thông nội dung kiến thức giữa các lớp ở bậc THCS như vậy nên GV cần trang bị cho HS các kiến thức nền tảng ngay từ các lớp dưới, nếu không càng lên cao thì việc HS tìm ra lời giải cho bài toán hình càng trở nên khó khăn dẫn tới HS không thể tiếp thu được kiến thức hình học ở các lớp trên GV phải là người hướng dẫn, phân tích giúp HS tìm ra cách chứng minh

bài toán hình học từ đó hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức và kĩ năng trình bày lời giải Từ đó hình thành phương pháp học toán cho HS

Bảng 1.1 Số liệu về các chương, bài học, bài tập trong SGK cấp THCS

nội dung hình học

SGK hình

học THCS

Số chương Số bài Số tiết

Số khái niệm

Số định

lý, tính chất

Bài tập chứng minh

Số lượng Tỉ lệ

1.5.2 Phân tích chương trình Sách giáo khoa lớp 7 phần hình học

Theo khung phân phối chương trình môn học, thời lượng hình học 7 là

2 tiết/tuần x 35 tuần = 70 tiết Trong đó bao gồm:

Bảng 1.2 Tóm tắt nội dung chương trình trong SGK lớp 7 phần hình học

1 16 Đường thẳng vuông góc,

đường thẳng song song – Hai góc đối đỉnh – Hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song

– Tiên đề Ơclit – Định lí

Về kiến thức:

– Nắm được định nghĩa và tính chất của góc đối đỉnh, hai đường thẳng song song, vuông góc

– Hiểu được tiên đề Ơclit và khái niệm định lí

Về kĩ năng:

– Dựa vào các tính chất đã học rút ra các dấu hiệu nhận biết và áp dụng vào các bài tập chứng minh song song, vuông góc, tính

số đo các góc – Biết viết giả thiết kết luận của một bài toán chứng minh

2 30 Tam giác

– Tổng ba góc của một tam giác

– Các trường hợp bằng nhau của tam giác

– Định lí Pytago

Về kiến thức:

– Nắm được các định lí, khái niệm quan trọng của tam giác

– Hiểu và ghi nhớ được các tính chất về các trường hợp bằng nhau của tam giác, tam giác vuông

– Hiểu được định lí Pytago trong tam giác vuông

Về kĩ năng:

– Vận dụng các định lí, tính chất của tam giác, các trường hợp bằng nhau của tam giác, định lí Pytago để giải các bài toán chứng minh, tính toán

3 24 Quan hệ giữa các yếu tố trong

tam giác, các đường đồng quy của tam giác

– Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên; đường xiên, hình chiếu

– Bất đẳng thức tam giác – Tính chất tia phân giác của một góc, đường trung trực của một đoạn thẳng

– Tính chất các đường đặc biệt trong tam giác

Về kiến thức:

– Nắm được khái niệm, tính chất quan trọng của đường vuông góc đường xiên, tia phân giác, đường trung trực, bất đẳng thức tam giác – Nắm được các khái niệm, định lí, tính chất về các đường đặc biệt trong tam giác

Về kĩ năng:

– Vận dụng các định lí, tính chất đã học để tính toán, chứng minh các dạng bài tập trong tam giác

Nội dung hình học ở lớp 7 tiếp nối và mở rộng các yếu tố HS đã được học từ lớp 6, hình học 7 bao gồm nội dung liên quan đến đường thẳng, quan

hệ vuông góc, song song hoặc đồng quy, định lí Pytago, các trường hợp bằng