Ứng dụng phần mềm geogebra xây dựng một số mô hình hỗ trợ dạy học hình không gian

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHOA TOÁN PHAN THỊ DIỆU MY ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA XÂY DỰNG MỘT SỐ MÔ HÌNH MÔ PHỎNG HỖ TRỢ DẠY HỌC HÌNH... ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKH

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

PHAN THỊ DIỆU MY

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA XÂY DỰNG MỘT SỐ MÔ HÌNH MÔ PHỎNG HỖ TRỢ DẠY HỌC HÌNH

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

PHAN THỊ DIỆU MY

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA XÂY DỰNG MỘT SỐ MÔ HÌNH HỖ TRỢ

DẠY HỌC HÌNH KHÔNG GIAN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn

TS TÔN THẤT TÚ

Đà Nẵng - 2024

MỤC LỤC

1.1 Tác động của công nghệ thông tin tới đổi mới phương pháp

dạy học 6

1.1.1 Nhu cầu áp dụng công nghệ thông tin trong dạy học 6 1.1.2 Ưu điểm của công nghệ thông tin 6

1.2 Vai trò của phần mềm Toán trong dạy học toán 7

1.3 Giới thiệu phần mềm GeoGebra 7

1.3.1 Sơ lược về phần mềm 7

1.3.2 Giao diện và môi trường làm việc 8

1.3.3 Các công cụ vẽ hình trong hình học không gian 10

1.3.4 Các lệnh vẽ hình không gian 15

1.4 Một số kiến thức về hình học không gian 15

1.4.1 Sự tương giao của hai đường thẳng 15

1.4.2 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu 16

1.4.3 Giao tuyến của mặt nón và mặt cầu 17

1.4.4 Các dạng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng 19 2 Các mô hình minh họa trên phần mềm Geogebra 21 2.1 Sự tương giao của hai đường thẳng 21

2.1.1 Xây dựng mô hình 21

2.1.2 Nhận xét 22

2.2 Giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu 24

2.2.1 Xây dựng mô hình 24

2.2.2 Nhận xét 25

2.3 Giao tuyến của mặt nón và một mặt phẳng 27

2.3.1 Xây dựng mô hình 27

2.3.2 Nhận xét 28

2.4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng 31

2.4.1 Xây dựng mô hình 31

2.4.2 Nhận xét 31

2.5 Mô hình cắt mặt nón và hình chóp 34

2.5.1 Xây dựng mô hình 34

2.5.2 Nhận xét 35

2.6 Mô hình trải phẳng hình chóp tam giác 38

2.6.1 Xây dựng mô hình 38

2.6.2 Nhận xét 39

bè, nhất là các bạn lớp 20ST4 trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệpnày.

Do thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót, tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các độc giả để cuốn khóa luậnđược hoàn thiện hơn

Trân trọng cảm ơn!

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nền giáo dục 4.0, việc áp dụng công nghệ thông tin vào quá trìnhdạy và học đã trở thành yếu tố không thể thiếu bởi nó không chỉ mang lại lợiích đáng kể cho học sinh, giáo viên và các trường học mà còn là tiêu chuẩncần thiết để nhận diện một tổ chức giáo dục có chất lượng

Hình học là một phần không thể thiếu của môn Toán, đóng một vai tròquan trọng trong việc phát triển tư duy logic, trực quan, và khả năng giảiquyết vấn đề của học sinh Nó không chỉ áp dụng rộng rãi trong đời sốngthực tế và nhiều lĩnh vực nghề nghiệp như kiến trúc, kỹ thuật, mà còn lànền tảng cho việc học các khái niệm toán học cao cấp và phát triển kỹ năngkhông gian và giao tiếp Hình học cung cấp cho học sinh những công cụ thiếtyếu để hiểu và tương tác với thế giới xung quanh họ một cách hiệu quả Tuynhiên, kiến thức về hình học, nhất là trong lĩnh vực hình học không gian, lại

là một phần kiến thức tương đối khó khăn cho học sinh Trong thực tế, họcsinh gặp nhiều khó khăn trong việc tiếp nhận và hiểu sâu về bản chất củacác vấn đề trong hình học không gian

Việc tích hợp công nghệ thông tin vào dạy và học toán còn giúp tạo ra môitrường học tập phong phú và đa dạng Các phần mềm, ứng dụng và công cụtrực tuyến không chỉ cung cấp cho học sinh các tài liệu và bài giảng mới mẻ

mà còn tạo ra các trải nghiệm học tập đa dạng, từ học qua video, trò chơitương tác đến các bài tập tự luyện có phản hồi Điều này giúp học sinh tiếpthu kiến thức một cách sâu sắc hơn thông qua các phương pháp học tập đadạng, từ đó tạo ra sự hứng thú và khích lệ sự sáng tạo trong quá trình học

Sử dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy toán mở ra một thế giớimới của tương tác và trải nghiệm học tập đa dạng Các công cụ như Maple,Microsoft PowerPoint, Cabri 3D, GeoGebra, cho phép giáo viên tạo ranhững bài giảng phong phú, trực quan và thú vị Trong đó, hiện nay phầnmềm GeoGebra đang tỏ ra rất hữu ích trong việc hỗ trợ giáo viên và họcsinh với hình học không gian Không chỉ giúp học sinh vượt qua khó khăntrong việc hiểu và tưởng tượng các khối hình phức tạp, GeoGebra còn là mộtcông cụ hữu ích để giáo viên thiết kế bài giảng một cách logic và linh hoạt.Qua việc tận dụng các tính năng của phần mềm này, giáo viên có thể giúphọc sinh hiểu sâu hơn các lý thuyết trừu tượng trong hình học, giải quyếtcác bài toán một cách dễ dàng hơn và thúc đẩy học sinh tham gia tích cựctrong quá trình học

Chính vì những lý do trên tôi chọn đề tài: “Ứng dụng phầm mềm

GeoGebra xây dựng một số mô hình mô phỏng hỗ trợ dạy họchình không gian” là đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Xây dựng một số mô hình động trên phần mềm Geogebra để hỗ trợ việcdạy và học toán trong nội dung kiến thức về học học không gian ở chươngtrình toán phổ thông

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu và tổng hợp các kiến thức liên quan, trao đổi với nhữngngười quan tâm và tham vấn giáo viên hướng dẫn

4 Đối tượng nghiên cứu

- Các yếu tố hình học trong không gian

- Phần mềm Geogebra và các chức năng hỗ trợ vẽ hình trong không gian

5 Phạm vi nghiên cứu

Mối quan hệ giữa các yếu tố hình học không gian và các chức năng củaphần mềm Geogebra trong việc xây dựng mô hình động minh họa

6 Ý nghĩa khoa học của nghiên cứu

Công nghệ thông tin đặc biệt là các phần mềm dạy học đóng một vai tròquan trọng trong việc xây dựng các tình huống sư phạm nhằm tạo ra mộtmôi trường học tập chủ động, sáng tạo Người học có điều kiện phát huy khảnăng phân tích, suy đoán và xử lý thông tin một cách có hiệu quả

Khoá luận có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên phổthông và những người quan tâm khi tìm hiểu về ứng dụng của các phần mềmtoán để xây dựng các mô hình minh họa hỗ trợ việc dạy và học hình họckhông gian ở phổ thông

7 Tổng quan và cấu trúc báo cáo

- Chương 1 giới thiệu về vai trò của CNTT và các phần mềm toán trongviệc dạy học toán, giới thiệu phần mềm GeoGebra và các công cụ, các lệnhđược sử dụng trong chương 2

- Chương 2 trình bày việc ứng dụng phần mềm GeoGebra để xây dựngcác mô hình động minh họa trong hình không gian

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Tác động của công nghệ thông tin tới đổi mới

phương pháp dạy học

1.1.1 Nhu cầu áp dụng công nghệ thông tin trong dạy họcDạy học truyền thống là những cách thức, phương pháp dạy học quenthuộc, đã có từ rất lâu Khi dạy học theo truyền thống này thì việc ứng dụngcông nghệ thông tin vào bài học là cực kỳ ít hoặc gần như không có Dạy họctruyền thống giao tiếp theo lối mòn “một thầy – một trò” Quá trình tươngtác giữa giáo viên và học sinh còn nhiều hạn chế Điều này khiến cho họcsinh lười suy nghĩ, tìm hiểu và khám phá kiến thức mới Vì vậy, chất lượnghọc tập không đạt hiệu quả cao như mong đợi

Trong khi đó, công nghệ thông tin sẽ thiết lập tương tác hai chiều giữangười dạy và người học Học sinh trực tiếp tham gia vào quá trình tìm hiểukiến thức khiến cho bài giảng trở nên sinh động hơn Với sự hỗ trợ của cácphần mềm dạy học, cả giáo viên và học sinh đều được “giải phóng” khỏinhững công việc thủ công, tốn thời gian, tạo điều kiện đi sâu vào bản chấtbài học

1.1.2 Ưu điểm của công nghệ thông tin

Việc áp dụng công nghệ thông tin trong dạy học sẽ giúp cho cả người dạy

và người học có những trải nghiệm hoàn toàn mới mẻ Cụ thể:

- Đối với người dạy, công nghệ thông tin hỗ trợ trong việc soạn bài giảng,giảng dạy Nếu như trước kia việc soạn giáo án thường là khâu tốn nhiềuthời gian và khó khăn trong việc chỉnh sửa hay cập nhật kiến thức mới thìbây giờ việc đó đã trong nên dễ hơn khi có sự xuất hiện của công nghệ thôngtin Việc ứng dụng công nghệ thông tin cũng sẽ giúp người dạy tăng tínhlinh động và sáng tạo trong bài giảng của mình

- Đối với người học, công nghệ thông tin hỗ trợ họ trong việc học tập như

có sự chủ động trong bài học của mình, sự tương tác với người dạy cũng sẽtăng lên và hơn hết việc ứng dụng công nghệ thông tin sẽ giúp người học cảithiện kỹ năng tin học cũng như sự tự tin của mình trước môi trường xungquanh

1.2 Vai trò của phần mềm Toán trong dạy học toán

Phần mềm Toán đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao hiệu quảdạy học môn Toán, mang lại nhiều lợi ích cho cả giáo viên và học sinh Dướiđây là một số vai trò chính của phần mềm Toán:

1 Phát triển tư duy logic và sáng tạo:

- Phần mềm Toán cung cấp môi trường học tập sinh động, trực quan,giúp học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức, hình thành tư duy logic và sángtạo

- Học sinh có thể khám phá các khái niệm toán học một cách trực tiếpthông qua các mô phỏng, hình ảnh và video, từ đó kích thích tư duy sángtạo và khả năng giải quyết vấn đề của học sinh

- Một số phần mềm Toán còn có tính năng cho phép học sinh tự xây dựngcác mô hình toán học của riêng mình, giúp học sinh phát triển tư duy độclập và khả năng sáng tạo

2 Nâng cao hứng thú học tập:

- Phần mềm Toán giúp việc học toán trở nên thú vị và hấp dẫn hơn, từ

đó thu hút học sinh tham gia học tập một cách tích cực

- Các trò chơi và hoạt động tương tác trong phần mềm Toán giúp họcsinh học tập một cách vui vẻ và hiệu quả hơn

- Học sinh có thể học toán mọi lúc mọi nơi với các thiết bị di động, giúphọc sinh chủ động trong việc học tập

3 Hỗ trợ giáo viên trong việc giảng dạy:

- Phần mềm Toán cung cấp cho giáo viên nhiều công cụ hỗ trợ giảng dạy,giúp giáo viên truyền đạt kiến thức một cách hiệu quả hơn

- Giáo viên có thể sử dụng phần mềm Toán để tạo bài giảng, bài tập vàkiểm tra, giúp tiết kiệm thời gian và công sức

- Phần mềm Toán cũng giúp giáo viên theo dõi kết quả học tập của họcsinh và có biện pháp điều chỉnh phương pháp giảng dạy phù hợp

1.3 Giới thiệu phần mềm GeoGebra

1.3.1 Sơ lược về phần mềm

GeoGebra là phần mềm toán học được thiết kế hỗ trợ cho việc dạy vàhọc toán từ tiểu học đến đại học Phần mềm là sự kết hợp giữa Hình học(Geometry), Đại số (Algebra), Giải tích và bảng tính điện tử Tác giả phầnmềm là giáo sư người Áo tên Markus Hohenwater, một giảng viên trường đạihọc Salzburg, Cộng hòa Áo Phần mềm GeoGebra được khởi tạo năm 2001

và liên tục được phát triển

GeoGebra là phần mềm chạy dựa trên nền Java và nó có thể chạy trên mọi

hệ điều hành Người dùng chỉ cần vào trang web: https://www.geogebra.org/

để tải và cài đặt phần mềm vào máy tính là có thể sử dụng được Với cácphiên bản mới, GeoGebra có thể xuất bản với giao diện web, nhúng vào phầnmềm Powerpoint và có thể xử lí các thao tác như trên phần mềm GeoGebra,tạo cho người dùng thuận lợi hơn rất nhiều khi trình chiếu hay trong giảngdạy

Geogebra là phần mềm miễn phí, mã nguồn mở, đa ngôn ngữ (có thể

sử dụng với khoảng 63 ngôn ngữ, trong đó có tiếng Việt) Giao diện củaGeoGebra thân thiện và dễ sử dụng, với các hộp công cụ trực quan ngườidùng có thể thao tác với phần mềm một cách dễ dàng

Phần mềm GeoGebra là một môi trường hình học động có khả năng tươngtác cao Người sử dụng có thể dựng các điểm, véctơ, đoạn thẳng, đường coniccũng như thao tác trực tiếp với các hàm số và biểu thức tọa độ của nó bằngcác câu lệnh đơn giản

Ngoài ra, GeoGebra còn tích hợp bảng tính điện tử và thanh nhập lệnh(Input) để thao tác với các biểu thức đại số Thanh nhập lệnh cho phépnhập trực tiếp biểu thức đại số của các đối tượng toán học như điểm, đườngthẳng, đường tròn, vectơ, hàm số, Do vậy, GeoGebra có thể được sử dụng

để nhận dạng khái niệm toán học cũng như để tạo ra các tài liệu giảng dạy.Mặt khác, GeoGebra có tiềm năng để thúc đẩy học tập tích cực và lấy họcsinh làm trung tâm bằng cách cho phép thực hiện các thực nghiệm toán học,khám phá tương tác, cũng như khám phá trong học tập Toán

1.3.2 Giao diện và môi trường làm việc

Giao diện của GeoGebra gồm hai cửa sổ chính, hiển thị cạnh nhau: cửa

sổ đại số hiển thị các đối tượng đại số tương ứng với các đối tượng hình họctrong cửa sổ hình học và ngược lại

a Vùng bảng chọn: Cho phép người dùng tạo file mới; mở file có sẵn;lưu; xuất bản thành file với nhiều định dạng khác nhau như: GeoGebra file(.ggb), PNG image (.png), PDF document (.pdf), vùng làm việc dạng trangweb (.html) để chèn vào các file văn bản khác; đặc biệt người dùng có thểchia sẻ file lên trang web của nhà phát triển, trao đổi trên mạng Internet,

từ đó mọi người có thể xem, truy cập từ xa; sao chép; tùy chọn tên; cỡ chữ;tùy biến thanh công cụ; và rất nhiều chức năng quan trọng của phần mềmđều nằm ở đây

b Thanh công cụ:

Thanh công cụ của phần mềm được thiết kế đơn giản với tính năng đổxuống rất gọn, đẹp và dễ sử dụng Thanh công cụ hỗ trợ hầu hết các thaotác dựng hình Mỗi hộp công cụ trên thanh công cụ chứa nhiều chức năngbên trong, để sử dụng các chức năng bên trong mỗi hộp công cụ bạn chỉcần nhấn hoặc di chuyển chuột vào từng công cụ hiển thị và chọn chức năngmong muốn Tên và cách sử dụng các công cụ, chức năng này đều được trìnhbày ở bên dưới chương trình Sau khi chọn, để sử dụng lại chức năng đó chonhững lần tiếp theo ta chỉ cần nhấp vào biểu tượng hộp công cụ tương ứngvới chức năng đã chọn

Cửa sổ dựng hình (Vùng làm việc): Đây là khu vực làm việc chínhcủa chương trình, là nơi chứa sản phẩm cuối cùng của bạn Các đối tượngbạn tạo ra sẽ xuất hiện ở đây

Cửa sổ hiển thị danh sách đối tượng: Vùng này sẽ hiển thị chi tiếtthông tin của các đối tượng trong vùng làm việc của bạn (nếu máy bạn không

có vùng này thì chọn Menu  Hiển thị  Tích chọn Hiển thị danh sách đốitượng) Khung cửa sổ này là một ưu điểm vượt bậc của GeoGebra so với các

phần mềm cùng loại khác, thể hiện khả năng đại số hóa tất cả các đối tượngtoán học trong phần mềm Người dùng có thể quan sát, điều khiển các đốitượng trong khung này một cách độc lập và chủ động.

Trong GeoGebra các các đối tượng hình học, đại số, số học được đưa ra,sắp xếp chung với nhau và cùng thể hiện trên màn hình Các đối tượng hìnhhọc như: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng, Các đốitượng đại số như: vectơ, hàm số, Các đối tượng số học như: các con số,các biểu thức tính toán, và cả các văn bản Tất cả các đối tượng này đềuđược mô phỏng và thể hiện trên của sổ hình học phẳng (2D) hoặc không gian(3D)

Khung nhập lệnh: Dùng để tạo các đối tượng bằng lệnh, ví dụ muốntạo điểm A trên mặt phẳng có tọa độ (4,-5) thì chỉ cần nhập A=(4,-5), muốntìm nghiệm của phương trình thì có thể sử dụng lệnh Giai (Solve)

1.3.3 Các công cụ vẽ hình trong hình học không gian

Khi chọn cửa sổ làm việc “Hiển thị dạng 3D”- hiển thị các đối tượng hìnhhọc không gian 3D, thanh công cụ sẽ hiển thêm một số hộp công cụ mới

Tổng cộng chúng ta có tất cả 14 công cụ và nhóm các cộng cụ khác nhau.Chức năng của các công cụ và nhóm các công cụ được trình bày theo thứ tựngay bên dưới.

Cho phép bạn chọn và di chuyển các đối tượng như điểm, đường thẳng,mặt phẳng, hình tứ diện, hình cầu

Tạo ra một điểm mới, giao điểm, trung điểm và tâm

Tạo ra đường thẳng, đoạn thẳng, tia và véc-tơ

Tạo ra các đường vuông góc, đường song song, tiếp tuyến .

Tạo ra một đa giác bất kỳ hoặc là đa giác đều

Tạo ra các đường cô-nic

Tạo giao của hai mặt cho trước

Cho phép bạn dựng một mặt phẳng đi qua ba điểm, song song hoặc vuônggóc .

Tạo ra hình nón, hình chóp, hình trụ và hình lập phương Ngoài ra nhómcông cụ này còn một công cụ rất hay sử dụng đó là Net

Tạo ra một mặt cầu

Cho phép bạn quay, di chuyển, phóng to, thu nhỏ, với các đối tượng.1.3.4 Các lệnh vẽ hình không gian

Rotate(<Object>,<Angle>,<Point>): Lệnh này cho phép ta quaymột đối tượng quanh một điểm với <Object> là vật mà ta cần thực hiệnphép quay, <Angle> là góc quay và <Point> là tâm quay

Rotate(<Object>,<Angle>,<Axis of Rotation>): Lệnh này chophép ta quay một đối tượng quanh một trục với <Object> là vật mà ta cầnthực hiện phép quay, <Angle> là góc quay và <Axis of Rotation> là trụcquay

Sequence: Lệnh này được dùng để tạo danh sách các đối tượng dựa trênhành động được áp dụng lặp lại cho cùng một đối tượng và có thể được mô

tả dưới dạng bộ đếm n

1.4 Một số kiến thức về hình học không gian

1.4.1 Sự tương giao của hai đường thẳng

Trong không gian ba chiều, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng có cáctrường hợp như sau:

1 Nếu hai đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng, thì chúng có thểnằm ở ba vị trí tương đối khác nhau như sau:

- Hai đường cắt nhau tại một điểm duy nhất

- Hai đường song song nhau, không có điểm chung

- Hai đường trùng nhau, có vô số điểm chung

2 Nếu hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng, chúngkhông có điểm chung và được gọi là hai đường thẳng chéo nhau.

Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta sẽ phân thành haitrường hợp:

Trường hợp 1 Hình học không gắn với tọa độ

Ở trường hợp này, ta sẽ sử dụng các tính chất, các định lý hay hệ quả củahai đường thẳng song song hay vuông góc để xác định vị trí tương đối củahai đường thẳng Chẳng hạn, để chứng minh hay đường thẳng song song ta

3 Áp dụng định lí về giao tuyến song song

4 Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đườngthẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với haiđường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó Hoặc ta cóthể tính góc giữa hai đường thẳng đó rồi kết luận vị trí tương đối của haiđường thẳng đó Trước tiên, ta phải xét xem hai đường thẳng đó có cùngnằm trong một mặt phẳng hay không Nếu không có mặt phẳng nào chứa cảhai đường thẳng thì kết luận hai đường thẳng chéo nhau Nếu như có mặtphẳng chứa hai đường thẳng thì ta cần xét góc giữa chúng:

- Hai đường thẳng song song hoặc trùng nếu góc giữa chúng là 0◦

- Hai đường thẳng cắt nhau nếu góc giữa chúng là góc nhọn

Trường hợp 2 Hình học gắn với tọa độ

Chúng ta thường dựa vào phương trình của đường thẳng, vectơ hướnghoặc điểm trên đường thẳng

- Hai đường thẳng được coi là song song nếu vectơ chỉ phương của chúng

có cùng phương

- Hai đường thẳng được coi là cắt nhau nếu tồn tại một điểm chung trên

cả hai đường thẳng

1.4.2 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P ) là hình chiếu vuông góc của Olên mặt phẳng(P ) Khi đó d = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P ).Trường hợp 1 d > R

Nếu M là một điểm bất kì trên (P ) thì OM ≥ OH, Từ đó suy ra

OM > R, vậy mọi điểm M thuộc mặt phẳng (P ) đều nằm ngoài mặt cầu

Do đó mặt phẳng (P ) không có điểm chung với mặt cầu

Trường hợp 2 d = R Trong trường hợp này điểm H thuộc mặt cầuS(O; R) Khi đó với mọi điểm M thuộc mặt phẳng (P ) nhưng khác với H

ta luôn có: OM > OH nên OM > R

Như vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng(P ) Khi đó ta nói mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H.Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P ), mặtphẳng (P ) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu Từ đó tacó:

Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại

H là (P ) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó

Trường hợp 3 d < R

Trong trường hợp này mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H,bán kính r = √

R2 − d2.Thật vậy, gọi M là một điểm thuộc giao tuyến của mặt phẳng (P ) vớimặt cầu S(O; R) Xét tam giác vuông OAH ta có AH = √

Mặt phẳng đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầuđó

1.4.3 Giao tuyến của mặt nón và mặt cầu

Cho mặt phẳng (α) và mặt nón (P ) có có đỉnhS và tâm O, độ dài đườngsinh l

Trường hợp 1 Mặt phẳng cắt qua đỉnh của mặt nón

- Nếu mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giáccân

Trường hợp 2 Mặt phẳng cắt không qua đỉnh của mặt nón

- Nếu mặt phẳng cắt là một mặt phẳng nghiêng, không cắt đáy thì giaotuyến là một đường elip

- Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục mặt nón thì giao tuyến là mộtđường tròn.

- Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh mặt nón thì giao tuyến

là 2 nhánh của 1 hypebol

- Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh mặt nón thì giao tuyến

là 1 đường parabol

1.4.4 Các dạng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳngTùy vào vị trí của mặt phẳng cắt mà thiết diện của hình chóp tứ giác cóthể là hình tam giác, tứ giác và ngũ giác

Có rất nhiều dạng bài tập về thiết diện:

1 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P ) qua ba điểm không thẳnghàng

2 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P ) chứa một đường thẳng vàsong song vớ một đường thẳng cho trước

3 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P ) qua một điểm và songsong với hai đường thẳng cho trước.

4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P ) qua một điểm và songsong với một mặt phẳng cho trước

5 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P ) qua một điểm và vuônggóc với một mặt phẳng cho trước

6 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P ) chứa một đường thẳng vàvuông góc với một mặt phẳng

CHƯƠNG2 CÁC MÔ HÌNH MINH HỌA TRÊN PHẦN MỀM

GEOGEBRA

Chương này trình bày một số mô hình động trong phần mềm Geogebra

về vị trí tương đối của hai đối tượng trong hình học không gian, bao gồm vịtrí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu; vị trí tương đối giữa hai mặt cầu;

vị trí tương đối giữa mặt phẳng và hình nón; vị trí giữa mặt phẳng và hìnhchóp

2.1 Sự tương giao của hai đường thẳng

+ Chọn vùng hiển thị thanh trượt

+ Xuất hiên hộp thoại "Slider": Lần lượt nhập tên, giá trị nhỏ nhất (0)

và giá trị lớn nhất (3) cho thanh trượt

- Lấy điểm M(0,0,d) Khi đó d chính là khoảng cách giữa M và đườngthẳng a

- Qua M vẽ đường thẳng a′ song song với đường thẳng a:

+ Chọn công cụ "Parallel Line"

+ Lần lượt chọn điểm M và đường thẳng a′

- Tương tự, tạo thanh trượt góc α có giá trị từ 0◦ đến 180◦

- Lấy một điểm N bất kỳ trên đường thẳnga′ không trùng vớiM và quayđiểm đó xung quanh điểmM gắn với góc quay làα bằng lệnh Rotate(N,α,M)

ta được điểm N′

- Vẽ một đường thẳng b qua hai điểm M và N′

Khi đó ta được mô hình hai đường thẳng a và b có thể thay đổi đượckhoảng cách và góc giữa chúng