Phương pháp giải một số bài toán dựng hình trong dạy học hình học phẳng Ở lớp 8

Bài toán dựng hình là một trong những dạng bài tập cơ bản trong hình học phẳng, yêu cầu học sinh sử dụng các kiến thức về hình học để vẽ hình theo yêu cầu của đề bài.. Nhóm phương pháp n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN HỌC

PHẠM HUỲNH THANH THÚY

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC PHẲNG

Ở LỚP 8

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Lớp: 20ST4

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thanh Hưng

Đà Nẵng, 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN HỌC

PHẠM HUỲNH THANH THÚY

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC PHẲNG

Ở LỚP 8

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thanh Hưng

Đà Nẵng, 2024

Ý KIẾN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn

Nguyễn Thanh Hưng

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán học, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã động viên và tạo mọi điều kiện để khóa luận hoàn thành

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Thanh Hưng, thầy

đã tận tình chỉ dẫn, theo dõi, có nhiều ý kiến đóng góp quý báu và định hướng trong quá trình thực hiện đề tài

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô giáo cùng các em học sinh lớp 8/1

và 8/2 của trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky-line đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình thực nghiệm đề tài

Trong thời gian thực hiện đề tài, tôi đã nhận được nhiều sự quan tâm, giúp

đỡ từ quý thầy cô giáo cũng như người thân và bạn bè để hoàn thành đề tài Tuy nhiên, tôi làm khóa luận tốt nghiệp này không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được những góp ý từ quý thầy cô cũng như các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2024

Sinh viên

Phạm Huỳnh Thanh Thúy

Chương 1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu 5

1.2.4 Các bước để giải một bài toán dựng hình 14 1.2.5 Bài toán dựng hình trong hình học phẳng ở trường Trung học cơ sở 18

2.1.4 Dựng tam giác đồng dạng 25 2.1.5 Dựng hình thang khi biết hai cạnh đáy, một cạnh bên, một đường

2.1.6 Dựng hình thang khi biết hai cạnh đáy và hai góc kề một đáy 28 2.1.7 Dựng hình thang cân khi biết hai đáy và đường cao 29 2.2 Một số bài toán dựng hình tam giác và hình thang ở lớp 8 dùng công

2.2.2 Dựng tam giác vuông khi biết cạnh huyền và cạnh góc vuông 31 2.2.3 Dựng tam giác khi biết một góc, tỉ số hai cạnh kề góc đó, đường

2.2.4 Dựng hình thang khi biết hai cạnh đáy, một cạnh bên, một góc kề 32 2.2.5 Dựng hình thang khi biết một cạnh đáy, hai cạnh bên, một góc kề 33 2.2.6 Dựng hình thang khi biết cạnh đáy, hai cạnh bên, một đường chéo 34 2.2.7 Dựng hình thang cân khi biết một cạnh đáy, một đường chéo, một

BẢNG BIỂU TRONG KHÓA LUẬN Trang

Bảng 3.1 Kết quả khảo sát khả năng dựng hình của học sinh 47

Bảng 3.2 Kết quả khảo sát việc dùng công cụ dựng hình và thói quen

Bảng 3.3 Kết quả khảo sát việc dùng công cụ dựng góc đặc biệt của học

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đối với môn Toán: Hình học là một trong những phân môn quan trọng của môn Toán ở trường Trung học cơ sở Hình học phẳng là nội dung cơ bản của hình học, bao gồm các kiến thức về tam giác, hình thang, hình tròn, Các kiến thức này có vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy logic, tư duy trừu tượng, khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh Bài toán dựng hình là một trong những dạng bài tập cơ bản trong hình học phẳng, yêu cầu học sinh sử dụng các kiến thức về hình học để vẽ hình theo yêu cầu của đề bài Trong chương trình toán trung học

cơ sở, toán dựng hình chỉ chiếm vị trí rất nhỏ nhằm hoàn thiện chương trình hình học Song trong suốt quá trình giải toán hình học hầu như phải vận dụng các bài toán dựng hình để làm bài tập chứng minh hình học khác, nhất là các bài tập vẽ thêm đường phụ và các bài toán ứng dụng thực tế khác Bài toán dựng hình có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy sáng tạo, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho học sinh

Đối với học sinh: Học sinh Trung học cơ sở đang trong giai đoạn phát triển trí tuệ, khả năng tư duy logic, tư duy trừu tượng, khả năng giải quyết vấn đề của học sinh còn hạn chế Việc học tập và giải quyết các bài toán dựng hình sẽ giúp học sinh phát triển các năng lực này Bài toán dựng hình cũng giúp học sinh rèn những đức tính cần cù, nhẫn nại, làm việc có tổ chức kỉ luật, hình thành cho các

em những kĩ năng vẽ hình, đo đạc, tính toán, biết sử dụng công cụ đo đạc, ước lượng,… cảm nhận được cái đẹp, những ứng dụng hay, phong phú của toán học đối với đời sống con người

Các kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là các bài toán dựng hình, được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn cuộc sống, trong các ngành nghề như kiến trúc, xây dựng cơ giới, thiết kế, mĩ thuật, Việc học tập và giải quyết các bài toán dựng hình sẽ giúp học sinh có những kiến thức cơ bản để ứng dụng vào thực tiễn, góp phần xây dựng đất nước ngày một phồn vinh, tiên tiến, hiện đại

Từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài “Phương pháp giải một số bài

toán dựng hình trong dạy học hình học phẳng ở lớp 8” để nghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn về bài toán dựng hình trong dạy học hình học phẳng

Phân tích đặc điểm của các bài toán dựng hình tam giác và hình thang

Đề tài này có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học hình học phẳng ở lớp 8 trường Trung học cơ sở

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn về bài toán dựng hình trong dạy học hình học phẳng ở thực tế lớp 8

Khảo sát, đánh giá việc dạy học về bài toán dựng hình tam giác và hình thang

ở lớp 8

Thực nghiệm sư phạm: Nghiên cứu khả năng dựng hình hình học phẳng của học sinh lớp 8/1 và 8/2 trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky–line, quận Hải Châu, thành phố Đà Nẵng

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được một số biện pháp dạy học về bài toán dựng hình học phẳng ở lớp 8 thì sẽ góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh

5 Đối tượng nghiên cứu

Dựng hình tam giác và hình thang trong dạy học hình học phẳng ở lớp 8

7 Phương pháp nghiên cứu

Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Phương pháp nghiên cứu lí luận

(Tổng hợp, phân tích các tài liệu, luận văn, sách báo có liên quan đến đề tài nghiên cứu), phương pháp nghiên cứu thực tiễn (Điều tra khảo sát thực trạng dạy học bài

toán dựng hình trong dạy học hình học phẳng ở lớp 8)

Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Phương pháp quan sát (Tiến hành

quan sát việc dạy học bài toán dựng hình trong các tiết học môn Toán ở trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky-line quận Sơn Trà, thành phố Đà Nẵng), phương pháp điều tra bằng bảng hỏi (Thiết kế bảng hỏi về những nội dung cần khảo sát đối với cán bộ quản lí nhà trường, giáo viên giảng dạy môn Toán và học sinh nhằm điều tra thực trạng, tính cấp thiết, khả thi của các biện pháp nâng cao việc dạy học bài toán dựng hình cho học sinh ở trường Trung học

cơ sở), phương pháp phỏng vấn (Tiến hành phỏng vấn, trao đổi trực tiếp với một

số cán bộ quản lí nhà trường, giáo viên giảng dạy môn Toán và học sinh nhằm bổ sung thêm những thông tin cần thiết về bài toán dựng hình ở lớp 8 nhằm phục vụ

cho quá trình nghiên cứu đề tài),

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm có đối

chứng trên đối tượng là học sinh ở trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky–line, quận Hải Châu, thành phố Đà Nẵng nhằm đánh giá thực trạng, tính cấp thiết, tính hiệu quả và khả thi của các biện pháp, giả thuyết mà đề tài đề xuất

Phương pháp thống kê toán học: Sử dụng phương pháp thống kê toán học

để xử lí các số liệu đã thu thập được trong quá trình điều tra khảo sát và thực nghiệm sư phạm để rút ra kết luận về thực trạng cũng như hiệu quả của đề tài nghiên cứu

8 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

8.1 Về mặt lí luận

Bài toán dựng hình là một nội dung quan trọng trong dạy học hình học phẳng Bài toán dựng hình đòi hỏi học sinh phải có kiến thức, kĩ năng về hình học phẳng, khả năng phân tích, tổng hợp, suy luận logic, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn Việc nghiên cứu bài toán dựng hình có ý nghĩa khoa học như sau: Giúp hiểu rõ hơn về bản chất của bài toán dựng hình, từ đó đề xuất các phương pháp dạy học phù hợp nhằm phát huy tối đa năng lực của học sinh Đóng góp vào việc phát triển lí luận dạy học hình học phẳng ở lớp 8 nói riêng

và cấp trung học cơ sở nói chung

8.2 Về mặt thực tiễn

Bài toán dựng hình có ý nghĩa thực tiễn to lớn trong việc phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh Năng lực sáng tạo là một trong những năng lực cần thiết của học sinh trong thời đại hiện nay

Việc nghiên cứu và đề xuất các biện pháp dạy học bài toán dựng hình nhằm phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh có ý nghĩa thực tiễn như sau:

Giúp học sinh nắm vững kiến thức, kĩ năng về hình học phẳng, từ đó có nền tảng vững chắc để phát triển năng lực sáng tạo

Giúp học sinh phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo trong học tập Giúp học sinh có khả năng giải quyết vấn đề một cách linh hoạt, hiệu quả Giúp học sinh có khả năng tư duy độc lập, sáng tạo

Giúp học sinh có khả năng thích ứng với những thay đổi của xã hội

9 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu; bảng, biểu trong khóa luận, kết luận, tài liệu tham khảo

và phụ lục Nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu;

Chương 2 Một số bài toán dựng hình tam giác và hình thang trong mặt

phẳng ở lớp 8;

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu

1.1.1 Một số nghiên cứu nước ngoài

Vào các thế kỉ thứ 4, 5 trước công nguyên, các nhà toán học Hy Lạp nổi tiếng

đã quan tâm đến dựng hình hình học như Pitago, Hypocrat, Ơclit, Acsimet, Apoloniut Trường phái Pitago đã thành công trong một số bài toán tương đối phức tạp như dựng ngũ giác đều Vào thế kỉ thứ 5 trước công nguyên có 3 bài toán nổi tiếng: Chia 3 một góc, gấp đôi 1 hình lập phương và cầu phương hình tròn (không giải được bằng thước và compa)

Đến thế kỉ 4 trước công nguyên, các nhà toán học Hy Lạp đã khảo sát quá trình giải một bài toán dựng hình với 4 bước: Phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận được sử dụng cho đến ngày nay

300 năm trước công nguyên, Ơclit người sáng lập hệ hình học đầu tiên đã nêu lên những tiền đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ vai trò của dựng hình trong toán học như:

Có thể vạch một đường thẳng từ một điểm tới một điểm khác

Có thể liên tục kéo dài một đường thẳng bị giới hạn

Với mỗi một tâm và mỗi một khoảng, có thể vạch được một đường tròn Các nhà hình học cổ Hy Lạp đã giải được những bài toán dựng hình khó nhất bằng thước và compa, chẳng hạn Apoloni Pecxki đã giải được bài toán nổi tiếng

mang tên ông: “dựng một đường tròn tiếp xúc với 3 đường tròn cho trước” Họ

lại gắn đại số với dựng hình như giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai bằng dựng hình

Từ thế kỉ 16 đến nay lí thuyết về dựng hình đã tiến xa hơn và đang phát triển một cách căn bản dựa vào sự thành lập những phân khoa toán học mới: Hình học giải tích, hình học xạ ảnh, lý thuyết phương trình đại số, lý thuyết về hàm số giải tích, về số đại số và số siêu việt

Những người sáng lập ra toán học hiện đại đã quan tâm nhiều về các bài toán dựng hình Đềcac và Niuton đã giải bài toán chia 3 một góc bằng các thiết diện

hình nón, giải được bài toán Apoloni cùng với Ơle (lời giải bài toán này đã bị thất lạc, phải chờ đến thế kỉ 17 mới có nhà toán học Viet giải lại được)

Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đã dựa vào phép dựng hình đặc biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại, chẳng hạn sự tồn tại tâm của một đường tròn nội tiếp trong tam giác, sự tồn tại của những tam giác đồng dạng, sự tồn tại của những đường thẳng song song,… đều được chứng minh bằng phép dựng hình

Khi nghiên cứu về hình học, “Introduction to Geometry” của tác giả Richard

Rusczyk đã cung cấp một cái nhìn tổng quan về cách tiếp cận và giải quyết các bài toán dựng hình cũng như các bài tập và ví dụ thực hành để học sinh có thể áp dụng những kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giải các bài toán dựng hình Ngoài

ra, “Teaching Secondary Mathematics: Techniques and Enrichment Units” của

Alfred S Posamentier, Daniel Jaye cũng đã cung cấp các phương pháp dạy học hình học, cách dựng hình ở trình độ trung học thông qua việc sử dụng các kĩ thuật dạy học và các công cụ hình học

Qua đó cho thấy các trên thế giới đã có nhiều nghiên cứu về vấn đề dựng hình và dạy bài toán dựng hình Các công trình nghiên cứu trên thế giới mà chúng tôi tìm hiểu gần đây chỉ mới tập trung vào việc phát triển các phương pháp và thuật toán để giải quyết các bài toán dựng hình phức tạp chứ chưa đi sâu vào việc thực hiện các phương pháp dạy học toán dựng hình trong thực tiễn thông qua việc đánh giá năng lực toán học và việc vận dụng các kĩ thuật dạy học để phát triển tư duy cho học sinh

1.1.2 Một số nghiên cứu trong nước

Nghị quyết số 29–NQ/TW (2013) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục

và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại, phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học, khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực.” Từ đây việc dạy học bài toán dựng hình đã gắn liền với năng lực sử dụng công cụ, pương tiện học toán

của học sinh nhằm phát triển tư duy logic, khả năng sáng tạo toán học, nâng cao

văn hóa toán học của đất nước

Nghiên cứu về bài toán dựng hình trong dạy học hình học phẳng ở trường Trung học cơ sở là một chủ đề quan trọng trong lĩnh vực giáo dục toán học ở Việt Nam Cùng với sự phát triển của giáo dục toán học và xu hướng giảng dạy theo hướng phát triển năng lực của học sinh, việc nghiên cứu và cải thiện phương pháp giảng dạy và học tập bài toán dựng hình đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giáo dục Hiện nay, ở nước ta đã có nhiều tác giả quan tâm đến nghiên cứu bài toán dựng hình trong dạy học môn Toán như: Lê Thị Hoài Châu, Huỳnh Quốc Hào, Nguyễn Văn Ngà, Hồ Lộc Thuận,… Các nghiên cứu này đã tạo nên bức tranh nhiều màu sắc về dựng hình nói chung và dựng hình học phẳng nói riêng

Một vài nghiên cứu liên quan đến đề tài như: tác giả Hứa Thuần Phỏng đã

trình bày trong “Dựng hình” về “phân loại các bài toán dựng hình, gợi ý suy nghĩ phân tích các loại bài toán dựng hình, tìm phương pháp dựng” để từ đó “làm cho học sinh thấu suốt một cách triệt để” Luận văn “Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán dựng hình cho học sinh ở trường Trung học cơ sở” của tác giả Nguyễn Thị

Thanh Bình (2010) đã nêu một số phương pháp để giải bài toán dựng hình ở trường Trung học cơ sở và các biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài toán dựng hình cho học sinh

Ngoài ra, có nhiều nghiên cứu trực tiếp và gián tiếp về việc dạy và học bài toán dựng hình ở trường Trung học cơ sở như các sáng kiến kinh nghiệm trong

những năm gần đây của tác giả Bùi Thị Hoa về “Tìm hiểu bài toán dựng hình trong dạy học hình học phẳng ở trường Trung học cơ sở” đã khẳng định rõ tầm

quan trọng của bài toán dựng hình trong việc rèn luyện tư duy toán học cho học sinh và những thuận lợi, khó khăn khi dạy học toán dựng hình ở trường Trung học

cơ sở

Nội dung của các nghiên cứu trước đều đã chỉ ra các khó khăn, thuận lợi và biện pháp khắc phục trong việc dạy bài toán dựng hình ở trường Trung học cơ sở Ngoài ra, những nghiên cứu trước đây đều được kiểm chứng tính khả thi thông qua các thực nghiệm trên nhiều đối tượng Chính những nghiên cứu đó sẽ là tiền

đề cho các nghiên cứu sau này để có thể tiếp tục khai thác được nhiều hơn nữa những bài toán dựng hình thú vị, đề ra được các biện pháp để góp phần tối ưu hơn

việc nghiên cứu “Phương pháp giải một số bài toán dựng hình trong dạy học hình học phẳng ở lớp 8” nói riêng và góp phần hoàn thiện, đảm bảo chất lượng giáo

dục toán học Việt Nam nói chung

1.2 Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu

1.2.1 Dựng hình

Trong thực tế, chúng ta dễ dàng bắt gặp vô số hình ảnh được vẽ nên từ những đường nét, hình khối như: ngôi sao năm cánh trên lá cờ quốc kì, các biểu tượng logo ấn tượng hay những bản vẽ kĩ thuật tỉ mỉ trong xây dựng Thế nhưng

đã có bao giờ chúng ta thử nghĩ rằng làm thế nào để vẽ được những hình đấy một cách chính xác và hợp lí chưa Vấn đề vừa nêu ở trên, dựa vào những điều kiện

đã biết dùng những phương pháp hình học hợp lí, chính xác dựng một hình cần thiết đó là bài toán dựng hình trong hình học Thế nhưng, cho đến nay vẫn chưa

có định nghĩa chính thức về dựng hình, chúng ta chỉ ngầm hiểu rằng, dựng hình (vẽ hình) thỏa mãn những yêu cầu mà bài toán đặt ra bằng công cụ dựng hình Các bài toán dựng hình là các bài toán về hình mà chỉ sử dụng hai công cụ là thước và compa Hay chính xác hơn là dựa vào việc thực hiện các phép dựng hình

cơ bản mà thước và compa có thể tạo ra hình đó

1.2.2 Phép dựng hình bằng thước và compa

Ngay từ thế kỉ VI−V trước công nguyên, người ta đã nghiên cứu các bài toán dựng hình với quy định chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa Trong chương trình toán Trung học cơ sở, khi đề cập đến dựng một hình mà không có chú thích gì thêm thì ta phải hiểu rằng cần tạo ra hình đó bằng cách sử dụng hai công cụ này

Trong toán chứng minh, việc giải quyết bài toán dựa trên các tiên đề và định lí đã được chứng minh Trong toán dựng hình, những hình cho trước được coi là dựng được, việc dựng hình dựa trên các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản đã được học

Các phép dựng hình cơ bản là:

Dựng đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt (tiên đề về thước kẻ)

Dựng đường tròn biết tâm và bán kính của nó (tiên đề về compa)

Giao điểm (nếu có) của hai đường là dựng được

Tại sao công cụ dùng trong dựng hình lại chỉ có hai dụng cụ là thước và compa mà thước dùng trong hình học phải là thước không được chia độ Chúng

ta có thể dùng thước chia độ để dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã biết; dùng êke để vẽ một góc vuông hoặc là một đường thẳng góc có phải là tiện lợi hơn không

Hình học tuy là một khoa học dùng lí luận suy diễn, nhưng cần kết hợp với thực tế làm cho lí luận và thực tiễn đi đôi với nhau Các độ chia trên thước có chia

độ, hoặc là góc vuông trên êke, chắc gì đáng tin tưởng cho nên về mặt lí luận không thể dùng để dựng hình Đương nhiên đường tròn vẽ bằng compa có thể không thật tròn, đường thẳng vẽ bằng thước thẳng chắc gì đã thẳng Nhưng thiếu một trong hai dụng cụ đó thì không thể dựng hình Cho nên chúng ta sẽ hạn chế dùng hai dụng cụ đó để làm sao dựng được các hình với những kiến thức không cần thiết được giảm đến mức không thể giảm được nữa, và như thế xem như một biện pháp tương đối hoàn thiện

Tuy nhiên một số hình hình học, dùng compa và thước thẳng có thể không dựng được, trong luận văn này chúng tôi không thể trình bày hết được

1.2.3 Một số bài toán dựng hình cơ bản

Với hai hay nhiều hình đã dựng có thể xác định được hiệu của chúng là tập

rỗng hay không Ví dụ: Cho một đường thẳng bất kỳ và các điểm 𝐶, 𝐷, 𝐸 và 𝐹 là

4 điểm thẳng hàng theo thứ tự và nằm trên đường thẳng đó Giả sử các đoạn thẳng 𝐶𝐸 và 𝐷𝐹 là đã dựng được Khi đó 𝐶𝐷 là hiệu của nửa khoảng 𝐶𝐸 và 𝐷𝐹

Nếu giao của hai hình dựng được là một tập khác rỗng thì giao đó dựng được

Với hai hay nhiều hình đã dựng có thể xác định được hiệu của chúng là tập

rỗng hay không Ví dụ: Cho trước một đường tròn và một điểm đã dựng thì điểm

đó có thuộc đường tròn hay không là phải xác định được Với hai đường tròn cho trước thì ta có thể nói rằng chúng có điểm chung hay không

Có thể dựng được điểm, cho biết là thuộc vào một hình đã dựng xem là dựng được

Có thể dựng được điểm, cho biết là không thuộc vào một hình đã dựng Những nhận xét trên đóng vai trò quan trọng đối với lí thuyết dựng hình đồng thời chúng được thừa nhận không giải và được dùng làm cơ sở logic của hình học dựng hình

1.2.3.2 Tiên đề riêng

Các tiên đề của thước:

Dựng đoạn thẳng nối 2 điểm đã dựng

Dựng đường thẳng đi qua 2 điểm đã dựng

Dựng tia có điểm đầu đã dựng và đi qua một điểm khác đã dựng

Các tiên đề của compa:

Dựng đường tròn có tâm là điểm đã dựng và bán kính bằng đoạn thẳng đã dựng (hai đầu mút của đoạn thẳng đó)

Dựng được bất kì cung nào trong hai cung bù nhau của đường tròn nếu tâm

là điểm đã dựng và các điểm mút của các cung đó đã dựng

1.2.3.3 Một số bài toán dựng hình cơ bản

Chúng tôi gọi tên mục này là “một số bài toán dựng hình cơ bản” là vì những bài toán này vẽ hình về một đối tượng kiến thức cụ thể nào đó Sau đây, chúng ta hãy xem các bài toán cơ bản nhất mà trong chương trình Toán lớp 8 thường dùng:

Bài toán 1 Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước

Cho trước một đoạn thẳng a Dựng một đoạn thẳng AB = a

Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:

+ Dựng đường thẳng d bất kì Trên d lấy một điểm A bất kì

+ Lấy A làm tâm, dựng một cung tròn bán kính bằng a

+ Lấy giao điểm B của đường thẳng d với cung tròn tâm A bán kính a

Đoạn thẳng AB là một đoạn thẳng cần dựng

Bài toán 2 Dựng một góc bằng một góc cho trước

Cho một góc xOy Hãy dựng góc x’Oy’ bằng góc xOy

Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:

+ Lấy O làm tâm, dựng cung tròn bán kính tùy ý cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B

+ Dựng một tia O’x’ bất kì

+ Lấy O’ làm tâm, dựng cung tròn bán kính bằng OA

+ Lấy giao điểm A’ của cung tròn này với tia O’x’

+ Dựng cung tròn tâm A’, bán kính bằng đoạn AB

+ Lấy giao điểm của cung (A’; AB) với cung (O’; OA)

+ Nối O’ và B’ ta được A′O′B′̂ cần dựng

Góc A′O′B′̂ là góc phải dựng, ta có:

A′O′B′̂ = AOB̂ (hay x′O′y′̂ = xOŷ )

Thật vậy, dễ thấy ∆OAB = ∆O′A′B′ (trường hợp cạnh – cạnh – cạnh)

Suy ra AOB̂ = A′O′B′̂

Bài toán 3 Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng

trung điểm của một đoạn thẳng cho trước

Cho đoạn thẳng MN, hãy dựng đường trung trực của đoạn thẳng MN

Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:

+ Dựng đường tròn tâm M, bán kính r + Dựng đường tròn tâm N, bán kính r + Dựng giao điểm P, Q của hai đường tròn (M; r) và (N; r)

+ Dựng đường thẳng đi qua hai điểm P, Q

Dễ thấy do PM = PN, QM = QN nên hai điểm P, Q đều nằm trên đường trung trực của MN hay đường thẳng PQ là đường trung trực của MN

Bài toán 4 Dựng tia phân giác của một góc cho trước

Cho một góc xOy Hãy dựng tia phân giác của góc ấy

Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:

+ Lấy đỉnh O làm tâm, dựng đường tròn tâm O bán kính r

+ Dựng các giao điểm A, B của đường tròn (O, r) với các cạnh Ox, Oy

+ Lấy A làm tâm, dựng đường tròn bán kính r’ và lấy B làm tâm, dựng đường tròn bán kính r’

+ Dựng giao điểm I của (A, r’) và (B, r’)

+ Dựng đường thẳng qua hai điểm O, I

Tia Oz chứa hai điểm O, I là tia phân giác của góc xOy

Bài toán 5 Dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước

và đi qua một điểm cho trước

Cho điểm P và đường thẳng xy Dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với đường thẳng xy

Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:

+ Dựng đường tròn tâm O bán kính r

+ Dựng giao điểm A, B của (O, r) và x, y

+ Dựng các đường tròn (A, r) và (B, r)

+ Dựng giao điểm I của (A, r) và (B, r)

+ Dựng đường thẳng đi qua O và I OI chính là đường thẳng d cần dựng Thật vậy, vì OA = OB, IA = IB nên O và I đều nằm trên đường trung trực

của đoạn AB

Suy ra OI ⊥ AB hay d ⊥ xy

Để có các giao điểm A, B thì bán kính r phải thỏa: r > OH, tức là r phải lớn hơn khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng xy

Khi dựng các đường tròn (hay một cung tròn) (A, r’), (B, r’) thì để tránh thay đổi khẩu độ của compa ta lấy bán kính r’ = r, nhưng cần phải lấy r sao cho hai cung tròn cắt nhau để có điểm I

Trên đây là 5 bài toán cơ bản của dựng hình Trong khi giải toán dựng hình, nếu gặp các phép dựng này thì chúng ta không cần lặp lại các bước dựng chi tiết như trên đây nhưng vẫn cần nắm vững cách thực hiện để có thể tiến hành các phép dựng chính xác, đảm bảo được việc giải các bài toán dựng hình đều được phân tích trên những cơ sở đúng, không bị trực quan đánh lừa và hình vẽ cuối cùng thể hiện được các giả thiết và các yêu cầu của bài toán

1.2.4 Các bước để giải một bài toán dựng hình

1.2.4.1 Các bước giải

Ngoài các bài toán cơ bản kể ở trên, khi giải một bài toán về dựng hình phải

thực hiện bốn bước sau:

Bước 1 Phân tích: Trong bước phân tích này ta giả sử đã dựng được hình

thoả mãn theo yêu cầu của bài toán Căn cứ vào hình giả sử, ta thành lập mối liên

hệ giữa các yếu tố đã biết và chưa biết của hình nhằm tìm ra cách thực hiện các phép dựng hình cơ bản để dựng hình cần dựng

Bước 2 Cách dựng: Dựa vào kết quả phân tích, ta trình bày trình tự thực

hiện các phép dựng và các bài toán dựng hình cơ bản để tạo ra hình cần dựng, đồng thời thực hiện các phép dựng đó trên hình vẽ một cách rõ ràng và logic

Bước 3 Chứng minh: Chứng minh hình dựng được bằng phương pháp đã

trình bày là hoàn toàn phù hợp với các điều kiện đã cho của bài toán Sử dụng kiến thức hình học và kĩ năng logic để khẳng định tính chính xác của hình dựng

Bước 4 Biện luận: Với dữ kiện (giả thiết) đã cho của bài toán và hình đã

dựng, chúng ta xác định được trong trường hợp nào thì bài toán có một lời giải, trường hợp nào thì bài toán không có lời giải, trường hợp nào nhiều lời giải Nói cách khác bước biện luận là bước kiểm tra từng phép dựng xem nó có thể thực hiện được trong những điều kiện nào và khi thực hiện được thì có mấy cách để thực hiện Mỗi cách thực hiện thường cho ta một hình thoả mãn yêu cầu của bài

mà ta thường gọi là một nghiệm hình Thông thường, người ta quy ước về việc định số nghiệm hình như sau:

Nếu bài toán chỉ đòi hỏi điều kiện về kích thước của hình thì những hình bằng nhau trong lời giải được tính là một nghiệm hình Nếu bài toán có yêu cầu

về vị trí của hình cần dựng thì những hình bằng nhau về kích thước nhưng có vị trí khác nhau được coi là những nghiệm hình khác nhau

Như vậy, để giải một bài toán dựng hình phải có đầy đủ bốn bước Tuy nhiên, theo chương trình quy định thì không yêu cầu học sinh viết các bước phân tích và biện luận trong bài làm, mặc dù vậy, bước phân tích cần làm ra nháp để đảm bảo không dựng thiếu hình

1.2.4.2 Ví dụ

Ví dụ 1 Dựng tam giác ABC biết AC = 7 cm, đường cao AH = 5 cm và

trung tuyến AM = 6 cm

+ Tam giác AHM dựng được vì biết ba yếu tố

+ Điểm C là giao điểm của đường thẳng HM với đường tròn tâm A, bán kính 7 cm

+ Đỉnh B thuộc tia đối của tia MC sao cho MB = MC

Cách dựng:

+ Dựng tam giác AHM có AH = 5 cm, AM = 6 cm

+ Vẽ cung tròn tâm A, bán kính 7 cm cắt đường thẳng HM tại điểm C Trên tia đối của tia MC lấy điểm B sao cho MB = MC

Nối AB, AC ta được tam giác ABC cần dựng

Chứng minh:

+ Theo cách dựng, ta có AH vuông góc với BC, AH = 5 cm, AM = 6 cm,

AC = 7 cm

+ Mặt khác M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến

Vậy tam giác ABC thỏa mãn các yêu cầu đề bài

Biện luận:

+ Do AM > AH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc) nên tam giác AHM luôn dựng được

+ Do cung tròn tâm A, bán kính 7 cm cắt đường thẳng MH tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình

Vậy bài toán có hai nghiệm hình

Ví dụ 2 Vẽ hình thang biết đáy bé AB = 2 cm, đáy lớn DC = 5 cm, cạnh

bên AD = 3 cm chiều cao AH = 2,5 cm

+ Độ dài đáy bé AB là 2 cm, một nửa đường thẳng gốc A vẽ được đoạn

AB = 2 cm (Theo tiên đề Hinbe ở nhóm III) (4)

+ Độ dài đáy lớn CD là 5 cm, một nửa đường thẳng gốc D vẽ được đoạn

DC = 5 cm với C cùng phía với B (Theo tiên đề Hinbe ở nhóm III) (5)

+ Cho hai điểm B, C vẽ được đoạn thẳng BC (6)

Ta dựng được hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chứng minh:

+ (a) // (b) nên tứ giác ABCD là hình thang (theo bước dựng 3)

+ Đáy bé AB = 2 cm (theo bước dựng 4)

+ Đáy lớn CD = 5 cm (theo bước dựng 5)

+ Cạnh bên AD = 3 cm (theo bước dựng 1)

+ Chiều cao AH = 2,5 cm (theo bước dựng 1)

Ta có hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán

Biện luận:

+ Giữ nguyên các bước dựng (1), (2) và (3)

+ Độ dài đáy bé 2 cm, một nửa đường thẳng gốc A, vẽ được đoạn AB’ = 2 cm

(theo tiên đề Hinbe ở nhóm III) (4’)

+ Độ dài đáy lớn 5 cm, một nửa đường thẳng gốc D vẽ được đoạn DC’ = 5 cm với C’ cùng phía với B’ (theo tiên đề Hinbe ở nhóm III) (5’)

+ Ta có B’, C’ vẽ đoạn thẳng B’C’ (6’)

Hình thang AB’C’D thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy bài toán có hai nghiệm hình

1.2.5 Bài toán dựng hình trong hình học phẳng ở trường Trung học cơ sở

1.2.5.1 Dựng hình tam giác

Dựng hình tam giác là bài toán yêu cầu học sinh sử dụng các dụng cụ cơ bản (thước kẻ, compa) để tạo ra một tam giác thỏa mãn các yêu cầu được đưa ra

Dựng hình tam giác được chia thành các bài toán cơ bản sau:

Dựng tam giác theo ba cạnh: Đây là loại bài toán cơ bản nhất, yêu cầu học sinh dựng tam giác dựa trên độ dài ba cạnh của nó Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững tính chất bất đẳng thức tam giác và sử dụng linh hoạt các trường

hợp bằng nhau của tam giác

Dựng tam giác theo hai cạnh và một góc: Loại bài toán này đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác để dựng tam giác thỏa mãn các điều kiện về cạnh và góc

Dựng tam giác theo một cạnh và hai góc: Loại này yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về định lí Talet và các trường hợp bằng nhau của tam giác để dựng tam giác thỏa mãn các điều kiện về cạnh và góc

Ngoài ra còn có dựng tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, tam giác đồng dạng,… theo cạnh và góc mà đề bài toán yêu cầu

Dựng hình tam giác là một dạng bài toán quan trọng trong chương trình toán Trung học cơ sở, rèn luyện cho học sinh kĩ năng tư duy logic (phân tích các điều kiện đề bài, lựa chọn phương pháp giải phù hợp và thực hiện các bước dựng hình chính xác), khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế (củng cố kiến thức về tam giác và các định lí liên quan, đồng thời rèn luyện kĩ năng sử dụng thước kẻ

và compa) và phát triển tư duy hình học, sáng tạo (hình thành khả năng tưởng tượng, quan sát, so sánh và khái quát hình học)

Với vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy cho học sinh, dựng hình tam giác là một phần không thể thiếu trong chương trình toán Trung học cơ sở Việc nắm vững kiến thức và kĩ năng giải bài toán dựng hình tam giác giúp học sinh tự tin giải quyết các vấn đề liên quan đến hình học trong học tập và thực tế

1.2.5.2 Dựng hình thang

Dựng hình thang là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán Trung

học cơ sở Ngay mục tiêu đề “Dựng hình bằng thước và compa – Dựng hình thang” ở sách Toán 8 chương trình phổ thông 2006 cũng đã nói lên phần nào về

sự quan trọng này Tuy trong chương trình toán 2018 không còn bài có tiêu đề như vậy nhưng việc dựng hình thang vẫn được lồng ghép xuyên suốt trong quá trình học toán lớp 8

Bài toán dựng hình thang được chia thành các dạng chính như sau:

Dựng hình thang cân: Loại bài toán này yêu cầu học sinh dựng hình thang cân dựa vào các yếu tố như độ dài cạnh đáy, cạnh bên, đường chéo, Để giải bài

toán này, học sinh cần nắm vững tính chất của hình thang cân và sử dụng linh hoạt các trường hợp bằng nhau của tam giác

Dựng hình thang vuông: Bài toán yêu cầu học dựng hình thang vuông dựa trên các yếu tố như độ dài cạnh đáy, cạnh bên, góc kề cạnh đáy, Để giải bài toán này, học sinh cần vận dụng kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác

mà học sinh đã được học

Dựng hình thang bất kì: Đây là dạng bài toán khó nhất, yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức về các tính chất của hình thang, định lí Talet và các trường hợp bằng nhau của tam giác để dựng hình thang thỏa mãn các điều kiện đề bài

Dựng hình thang là một dạng bài toán quan trọng trong chương trình toán Trung học cơ sở, rèn luyện cho học sinh kĩ năng tư duy logic (phân tích các điều kiện đề bài, lựa chọn phương pháp giải phù hợp và thực hiện các bước dựng hình chính xác), khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế (củng cố kiến thức về hình thang và các định lí liên quan, đồng thời rèn luyện kĩ năng sử dụng thước kẻ và compa) và phát triển tư duy hình học, sáng tạo (hình thành khả năng tưởng tượng, quan sát, so sánh và khái quát hình học)

Với vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy và kĩ năng cho học sinh, dựng hình thang là một phần không thể thiếu trong chương trình toán Trung học

cơ sở Việc nắm vững kiến thức và kĩ năng giải bài toán dựng hình thang giúp học sinh tự tin giải quyết các vấn đề liên quan đến hình trong học tập và thực tế

1.3 Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Qua tìm hiểu 12 giáo viên và 40 học sinh lớp 8/1, 8/2 trường Tiểu học, Trung học cơ sở, Trung học phổ thông Sky–line về bài toán dựng hình trong mặt phẳng, chúng tôi nhận thấy rằng:

1.3.1 Thuận lợi

Tuy chỉ chiếm một phần nhỏ trong chương trình toán trung học cơ sở, toán dựng hình đóng vai trò quan trọng trong việc hoàn thiện kiến thức hình học cho học sinh Hầu hết các bài toán hình học, đặc biệt là những bài toán có vẽ thêm đường phụ và ứng dụng thực tế, đều cần sử dụng các kiến thức về dựng hình để giải quyết

Dù được đánh giá là một phần khó nhằn nhưng toán dựng hình mang lại nhiều lợi ích cho việc rèn luyện tư duy toán học và tư duy logic nói chung Nó giúp học sinh phát triển khả năng phân tích, tổng hợp, quan sát, dự đoán, suy luận hợp lí và trí tưởng tượng Những kĩ năng này đóng vai trò thiết yếu cho các hoạt động sáng tạo của học sinh để tìm ra các phươn pháp giải toán mới, độc đáo

Bên cạnh đó, học toán dựng hình còn rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, kiên nhẫn, làm việc khoa học và có tổ chức Các em được rèn luyện kĩ năng vẽ hình, đo đạc, tính toán, sử dụng công cụ đo lường và ước lượng Qua đó, học sinh cảm nhận được vẻ đẹp và ứng dụng phong phú của toán học trong đời sống

Có thể nói, toán dựng hình không chỉ là một phần kiến thức đơn thuần, mà còn là công cụ hữu ích để phát triển tư duy và kĩ năng cho học sinh Việc học tập

và rèn luyện tốt phần này sẽ giúp các em có nền tảng vững chắc để tiếp cận với những kiến thức toán học cao hơn, đồng thời góp phần hình thành những phẩm chất cần thiết cho cuộc sống

1.3.2 Khó khăn

Như đã nói ở trên toán dựng hình là một phần rất khó trong chương trình hình học trung học cơ sở, đối với cả giáo viên và học sinh Giáo viên gặp khó khăn trong việc dẫn dắt, giảng giải cho học sinh hiểu một cách rõ ràng, nắm được một cách chắc chắn những gì mà thầy cô muốn truyền đạt Còn học sinh lại gặp khó khăn trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp, càng khó hơn trong việc vận dụng các kiến thức và phương pháp đó vào việc giải bài tập về toán dựng hình và các bài tập vận dụng toán dựng hình

Hiện nay, trong chương trình hình học Trung học cơ sở thì các bài toán dựng hình được giới thiệu rải rác trong phần lí thuyết và phần bài tập ở lớp 8 Tuy nhiên, số lượng bài tập dựng hình còn hạn chế, thường chỉ có trong sách bài tập, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm thêm Những bài toán này đòi hỏi nhiều thời gian nên trên lớp chỉ có những giờ học chính về phần dựng hình thì giáo viên mới có thời gian đi sâu phân tích cho các em hiểu, còn trong những giờ học khác thì không thể phân tích kĩ lượng, cặn kẽ những bài tập dựng hình được Nên khi gặp những bài toán như thế thì học sinh sẽ bị thiếu kiến thức và phương pháp để

làm bài, các em không biết phải làm thế nào, bắt đầu từ đâu Một số học sinh yêu thích môn toán thì tự tìm tòi, giải bài và khi gặp khó khăn phải hỏi riêng thầy cô ngoài giờ học Thêm vào đó, trong những kì thi học sinh giỏi các cấp thì toán dựng hình ít được đưa vào đề thi nên khi ôn thi học sinh giỏi các giáo viên chỉ đi sơ qua đại khái, điều đó càng khiến học sinh bỏ bê mảng kiến thức này

Nghiên cứu phương pháp dựng hình ứng dụng thực tế là một hướng đi tiềm năng Các ngành xây dựng cơ giới, mỹ thuật, kiến trúc đều ứng dụng dựng hình

và đóng vai trò quan trọng trong công cuộc phát triển kinh tế và văn hóa Theo định hướng giáo dục mới, học đi đôi với hành, việc học dựng hình cũng góp phần xây dựng đất nước ngày càng phồn vinh, tiên tiến và hiện đại

Kết luận chương 1

Ở chương một này chúng tôi đã trình bày cơ sở lí luận về dựng hình: Thế nào dựng hình, một số bài toán dựng hình cơ bản, các bước giải bài toán dựng hình (kèm ví dụ minh họa) và tổng quan về bài toán dựng hình tam giác, hình thang ở chương trình toán Trung học cơ sở

Qua việc tổng hợp các bài toán dựng hình cơ bản cho học sinh, chúng tôi thấy rằng để làm được các bài toán hình học thì bất kì một học sinh nào đã có một

số kiến thức nhất định khi học dựng hình đều có thể tránh được nhiều khó khăn trong học tập Nếu giáo viên nắm vững cơ sở lí luận về dựng hình thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học về dựng hình nói riêng và môn toán nói chung ở trường trung học Trong các buổi ôn thi học sinh giỏi và trong những tiết học trên lớp nếu có thể thì các giáo viên nên lồng ghép các bài toán dựng hình vào bài học, ví dụ như

bài “Đường trung bình của tam giác, của hình thang”, “Tính chất đường phân giác trong tam giác”, “Chứng minh các trường hợp đồng dạng của tam giác”,…

trong chương trình hình học lớp 8

Chương một đã cung cấp các cơ sở lí luận quan trọng cho việc nghiên cứu bài toán dựng hình ở trường trung học cơ sở, đặc biệt là chương trình hình học lớp 8 Các nội dung trình bày trong chương này đóng vai trò là nền tảng cho các phần nghiên cứu tiếp theo của khóa luận

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TAM GIÁC VÀ HÌNH THANG

TRONG MẶT PHẲNG Ở LỚP 8

Trước hết, chúng tôi cần lí giải tại sao lại chọn đối tượng xét ở đây là dựng tam giác và hình thang Bởi một số lí do sau:

Đối tượng tam giác: Xuất hiện thường xuyên trong chương trình Toán

Trung học cơ sở, đặc biệt là lớp 8, là nền tảng cho các kiến thức toán học cao hơn

Đối tượng hình thang: Nhận được sự quan tâm đặc biệt trong các bài toán

dựng hình, góp phần phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề

Nhằm hạn chế lại nội dung xem xét để từ đó chúng tôi có thể tập trung phân tích chuyên sâu hai đối tượng này

Tam giác và hình thang mối liên hệ mật thiết với nhau: Dựng hình thang có thể xem như là sự phát triển của dựng tam giác

Hai dạng hình học này có nhiều ứng dụng trong thực tế, giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tư duy và vận dụng kiến thức

Bây giờ chúng ta xét các dạng bài toán được xây dựng xung quanh 2 đối tượng này bằng các công cụ dựng hình

2.1 Một số bài toán dựng hình tam giác và hình thang ở lớp 8 chỉ dùng công

cụ thước

Bây giờ chúng ta sẽ xét xem “thước” là gì? Thước thẳng có vạch chia?

Thước thẳng không vạch chia? Thước đo góc? Thước êke? Hay tất cả chúng đều nằm trong từ thước của sách giáo khoa?

Trong sách giáo khoa Toán 8 hiện nay có rất nhiều bài toán yêu cầu dựng hình khi biết số đo góc Người ta không nói công cụ để tạo ra một góc có số đo

cụ thể nhưng có thể hiểu là dùng thước đo độ, vậy thước có thể là thước đo độ Hay các bài toán dựng tam giác, hình thang,… khi biết độ dài các cạnh cụ thể thì

hiển nhiên học sinh sẽ dùng thước có vạch chia, do đó, thước cũng có thể là thước

có vạch chia Vậy, hiện tại nội dung dựng hình ở trung học cơ sở là dựng hình có

số đo, có đơn vị đo và học sinh có quyền dùng thước thẳng có vạch chia, thước

đo độ kể cả thước êke để vẽ hình

Chúng ta xét các bài toán sử dụng bộ công cụ thước dưới đây:

2.1.1 Dựng tam giác khi biết hai cạnh và một góc xen giữa

Ta xét bài toán sau: Vẽ tam giác ABC biết AB = 4 cm, AC = 3 cm, BAĈ = 60° Chúng ta có các bước vẽ sau:

+ Vẽ xAŷ = 60°

+ Lấy điểm B trên tia Ax sao cho AB = 4 cm

+ Lấy điểm C trên tia Ay sao cho AC = 3 cm

+ Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC

2.1.2 Dựng tam giác khi biết hai góc và cạnh xen giữa hai góc đó

Chúng tôi xin nêu bài toán sau: Vẽ tam giác ABC có BC = 3 cm, B̂ = 80°, Ĉ = 40°

Các bước để vẽ bài toán trên là:

+ Vẽ cạnh BC = 3cm

+ Vẽ tia Bx sao cho xBĈ = 80°

+ Vẽ tia Cy sao cho yCB̂ = 40°

+ Vẽ giao điểm A của hai tia Bx, Cy

+ Vẽ đoạn thẳng BA, CA ta được tam giác ABC

2.1.3 Dựng tam giác vuông khi biết cạnh huyền, góc nhọn

Chúng tôi xin nêu một bài toán thuộc kiểu dạng toán này như sau: Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 5 cm, góc nhọn B̂ = 60°

Chúng tôi xin trình bày các cách dựng sau:

+ Trên cạnh AB dựng điểm M sao cho AM = 2

ta được tam giác cần tìm

AC Theo định lí Ta-lét đảo ta có MN // BC

Vậy tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = 2

3 Tam giác A’B’C’ có độ dài ba cạnh bằng tam giác AMN nên tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ lệ k = 2

3 Biện luận:

Tam giác ABC có 3 đỉnh, tại mỗi đỉnh ta dựng tương tự như trên sẽ được

ba tam giác đồng dạng với tam giác ABC

Vậy bài toán có 3 nghiệm hình

2.1.5 Dựng hình thang khi biết hai cạnh đáy, một cạnh bên, một đường chéo

Ta xét bài toán sau: Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = AD =

2 cm, AC = DC = 4 cm

Giải:

Phân tích:

Giả sử dựng được hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu đề bài

Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh của tam giác

Điểm B phải thỏa mãn hai điều kiện :

+ B nằm trên tia Ax song song với CD

+ B cách A một đoạn 2 cm

Cách dựng:

+ Dựng tam giác ADC có AD = 2 cm, AC = 4 cm, CD = 4 cm

+ Dựng tia Ax // CD và nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ

là đường thẳng AD

+ Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 2 cm

+ Kẻ BC ta được hình thang ABCD cần dựng

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD

Hình thang ABCD có AB = AD = 2 cm, AC = BC = 4 cm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu của đề bài

2.1.6 Dựng hình thang khi biết hai cạnh đáy và hai góc kề một đáy

Bài toán Dựng hình thang ABCD biết hai đáy AB = 2 cm, CD = 4 cm,

D̂ = 70°, Ĉ = 50°

Giải:

Phân tích:

Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán Qua A

kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E Hình thang ABCE có 2 cạnh bên song song nên AB = EC = 2 cm do đó DE = 2 cm (vì CD = DE + EC)

Tam giác ADE dựng được vì biết 2 góc kề với một cạnh

Điểm C nằm trên tia DE cách D một khoảng bằng 4 cm

Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:

+ B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD

+ B nằm trên đường thẳng đi qua C và song song với AE

Cách dựng:

+ Dựng ΔADE biết DE = 2cm, D̂ = 70°, Ê = 50°

+ Trên tia DE lấy điểm C sao cho DC = 4 cm

+ Dựng tia Ax // CD (Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C) + Dựng tia Cy // AE (Cy nằm trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A) + Cy cắt Ax tại B Ta được hình thang ABCD cần dựng

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD

Vậy bài toán có một nghiệm hình

2.1.7 Dựng hình thang cân khi biết hai đáy và đường cao

Bài toán Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết hai đáy AB = 2 cm,

CD = 4 cm, đường cao AH = 2 cm

Giải:

Phân tích:

Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán

Tam giác ADH dựng được vì biết hai cạnh góc vuông AH = 2 cm và HD =

1 cm, Ĥ = 90° Vì đáy AB < CD nên D̂ < 90° Điểm H nằm giữa D và C

Điểm C nằm trên tia đối tia HD và cách H một đoạn bằng 3 cm

Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:

+ B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với DH

+ B cách A một khoảng bằng 2 cm

Cách dựng:

+ Dựng ∆AHD biết Ĥ = 90°, AH = 2 cm, HD = 1 cm

+ Dựng tia đối tia HD

+ Trên tia đối của tia HD dựng điểm C sao cho HC = 3 cm

+ Dựng tia Ax // DH (Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm H) + Trên tia Ax, dựng điểm B sao cho AB = 2 cm Nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD

Kẻ BK ⊥ CD Tứ giác ABKH là hình thang có hai cạnh bên song song Nên: BK = AH và KH = AB

Suy ra: KC = HC – KH = HC – AB = 3 − 2 = 1 (cm)

Suy ra: ∆AHD = ∆BKC (cạnh – góc – cạnh) ⇒ D̂ = Ĉ

Vậy hình thang ABCD là hình thang cân

Hình thang cân ABCD có: AH = 2 cm, đáy AB = 2 cm, đáy CD = 4 cm thỏa mãn điều kiện bài toán

Biện luận:

Tam giác AHD luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy bài toán có một nghiệm hình

2.2 Một số bài toán dựng hình tam giác và hình thang ở lớp 8 dùng công cụ thước và compa

2.2.1 Dựng tam giác khi biết 3 cạnh

Trước hết, muốn vẽ được tam giác thì tam giác phải tồn tại (tức tổng độ dài hai cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại)

Bài toán Vẽ tam giác ABC biết AB = 5 cm, AC = 4 cm, BC = 6 cm

Chúng ta có các bước vẽ sau:

+ Vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm

+ Vẽ đường tròn tâm B bán kính 5 cm

+ Vẽ đường tròn tâm C bán kính 4 cm

+ Vẽ giao điểm A của hai đường tròn

+ Vẽ các đoạn thẳng BA, CA ta được tam giác ABC

Nhận xét: Chúng ta có thể vẽ cung tròn phù hợp thay vì phải vẽ cả đường

tròn và đường tròn/cung tròn nên được vẽ bằng bút chì

2.2.2 Dựng tam giác vuông khi biết cạnh huyền và cạnh góc vuông

Chúng tôi nêu một bài toán thuộc kiểu dạng toán này như sau: Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 4 cm, cạnh góc vuông AC = 2 cm

Các bước dựng bài toán trên là:

+ Dựng đoạn AC = 2 cm

+ Dựng tia Ax vuông góc với AC

+ Dựng cung tròn tâm C có bán kính 4 cm, cắt tia Ax ở B

+ Dựng đoạn BC ta được tam giác ABC vuông tại A

2.2.3 Dựng tam giác khi biết một góc, tỉ số hai cạnh kề góc đó, đường cao xuất phát từ góc đó

Thật ra dạng này là ứng dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

mà học sinh được học ở sách Toán 8, Tập 2, Kết nối Tri thức với Cuộc sống

Ta xét bài toán sau: Dựng tam giác ABC, biết  = 60°, tỉ số AB

5 và đường cao AH = 6 cm

Ta có các bước dựng như sau:

+ Dựng dường thẳng qua H và song song B’C’, cắt AB’ ở B, cắt AC’ ở C

2.2.4 Dựng hình thang khi biết hai cạnh đáy, một cạnh bên, một góc kề

Chúng tôi xin nêu một bài toán thuộc kiểu dạng toán này như sau: Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = 3 cm, đáy CD = 4 cm, cạnh bên AD = 2 cm,