Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
24
Dung lượng
296,72 KB
Nội dung
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ * SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT (TRƯỜNG THPT )** TRƯỜNG THPT HẬU LỘC (*Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock; ** Font Times New Roman, cỡ 16, CapsLock, đậm) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ PHƯƠNG (Font Times New Roman, cỡ 16-18, CapsLock, đậm) TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ Người thực hiện: Nguyễn Thị Den Người thựcGiáo hiện:viên Nguyễn Văn A Chức vụ: Chức vụ: Giáo Đơn vị công tác:viên Trường THPT Hậu Lộc SKKN thuộc mơn: Tốn Đơn vị cơng tác: Trường THCS B SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2019 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………………………1 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….1 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm…………………………2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……2 2.3 Các giải pháp…………………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm…………………………….20 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận………………………………………………………… 21 3.2 Kiến nghị…………………………………………………………21 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, tốn tìm cực trị hình học khơng gian Oxyz tốn khó, u cầu tư cao phần kiến thức quan trọng mà học sinh thường xuyên gặp đề thi THPT Quốc Gia đề thi học sinh giỏi hàng năm Tuy nhiên, tập loại thường khó, đặc biệt câu phân loại đề thi THPT Quốc gia đề thi học sinh giỏi Việc tìm cách giải vận dụng cách giải để giải tốn liên quan gặp khơng khó khăn học sinh, việc xác định dạng sử dụng phương pháp phù hợp với tốn khơng dễ dàng Vì để phân loại dạng tốn tìm cực trị đưa phương pháp giải tương ứng với dạng tốn cụ thể chứng minh có hiệu cao việc dạy học sinh học phần hình học khơng gian Oxyz nói chung phần tìm cực trị nói riêng Chuyên đề hệ thống tập có phương pháp giải cụ thể phân loại theo hệ thống Qua học sinh hiểu rõ nhận dạng tốn tìm cực trị hình học Oxyz, biết cách vận dụng phương pháp phù hợp cho toán cụ thể Trong chuyên đề có đề cập đến hai phương pháp chủ yếu để giải tập dạng phương pháp đại số phương pháp hình học Với lí tơi nghiên cứu đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh học phần tập tìm cực trị hình học giải tích khơng gian Phát triển tư trừu tượng, tư logic, khả phát vấn đề, khả đánh giá phán đoán học sinh Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp giải số toán cực trị điển hình hình học khơng gian Oxyz Hy vọng đề tài nhỏ giúp ích cho bạn đồng nghiệp em học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh khối 12 THPT - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT - Về nội dung tìm hiểu phương pháp giả số tốn cực trị hình học khơng gian Oxyz download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp: - Nghiên cứu lí luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên tổ môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lí luận Phương pháp tọa độ khơng gian mảng kiến thức quan trọng mạch kiến thức nghiên cứu hình học Cụ thể cung cấp kiến thức để học sinh tiếp cận hình học giải tích; tốn liên quan đến cực trị hình học Oxyz Các dạng toán quan trọng đề thi tốt nghiệp tuyển sinh đại học năm trước đề thi THPT Quốc gia năm năm tới 2.2.Thực trạng vấn đề Bài toán cực trị hình học Oxyz mảng kiến thức trừu tượng học sinh phổ thông nên việc tiếp cận kiến thức khó đa số học sinh Sau nhiều năm giảng dạy mơn Tốn cấp THPT tơi thấy cịn nhiều học sinh học tập mơn tốn cách thụ động, đối phó; kĩ giải tốn cịn yếu, đặc biệt kĩ nhận dạng phân loại dạng toán áp dụng phương pháp phù hợp cho dạng tốn cịn nhiều lúng túng Ngun nhân chủ yếu học sinh kiến thức, kĩ phương pháp giải toán; lại thêm lười học, thiếu ý thức tự học.Thực trạng dẫn đến: nhiều học sinh học trước quên sau nên chưa có hứng thú học tập mơn Tốn, đặc biệt phần cực trị hình học Oxyz Số liệu thống kê trước áp dụng SKKN vào dạy Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém 12B3 43 20 18 2.3.Giải pháp thực Để tìm cực trị khơng gian thường sử dụng hai cách làm: download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số Bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(xA ; yA ; zA ), B(xB ; mặt phẳng (P ) : ax by cz d Tìm điểm M (P ) cho: MA MB nhỏ MA MB lớn với Nếu (axA byA czA mặt phẳng (P ) A, B Nếu (axA byA czA d)(axB byB với mặt phẳng (P ) MA MB czB d) Trường hợp 1: Hai điểm Trường hợp 2: Hai điểm Gọi A' hai điểm hai điểm A, B Vậy MA MB MA MB (P ) nên nhỏ Trường hợp 2: Hai điểm A' đối xứng với MA MA Vậy nằm khác phía AB (P ) A' B AB (P ) khác phía (P ) M AB (P ) lớn Trường hợp 1: Hai điểm Gọi phía với nhỏ MA MB phía so với mặt phẳng A, B A, B phía so với mặt phẳng Vì A, B phía so với mặt phẳng M (P ) AB A, B A, B khác phía so với mặt phẳng đối xứng với A qua mặt phẳng (P ), MA MA nên MA MB MA MB AB (P ) nhỏ Vì A, B khác phía so với mặt phẳng M (P ) AB so với mặt phẳng d)(axB byB czB d) d( A, (P )) d(B, (P )) Phương pháp: Xét vị trí tương đối điểm yB ; zB ) nên MA MB A A, B (P ) MA MB lớn khác phía so với mặt phẳng qua mặt phẳng (P ) , A' B AB (P ) phía (P ) MA MB MA MB A B lớn AB M AB (P ) Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P ) qua đường thẳng (P ) qua nên (P ) (P ) biết: khoảng cách từ tạo với mặt phẳng (Q) A đến (P ) lớn góc nhỏ download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz (P ) qua tạo với đường thẳng Phương pháp: d góc lớn z z1 Cách 1: Dùng phương pháp đại số Giả sử đường thẳng Khi phương trình Trong (P ) a f (t) biểu y y1 b c bB cC a ( a ) (1) A B2 C t B C , ta đươc mt2 nt p A(x0; y0; z0) A (x x1) B( y y1) C (z z1) có dạng: A(x0 x1) B( y0 y1) C (z0 z1) Thay (1) vào (2) đặt Trong x x1 Aa Bb Cc A d( A, (P )) Khi : d( A, (P )) , khảo sát hàm m ' t2 n ' t p ' diễn A, B qua C cho f (t) C (2) f (t) ta tìm max f (t) giá trị ta tìm Từ suy A, B làm tương tự Cách 2: Dùng phương pháp hình học Gọi K,H hình chiếu d( A, (P )) AH AK Hay (P ) lên không đổi Do AK mặt phẳng qua K (Q) (P ), (Q) 900 Nếu , mà A , nhận AK nên ta xét (P ) , ta có: d( A, (P )) lớn H K làm VTPT (Q) khơng vng góc với Gọi B điểm thuộc , dựng đường thẳng qua B vng góc với Lấy điểm C cố định đường thẳng Hạ CH (P ), CK d Góc mặt (Q) phẳng Mà (P ) BK BC mặt phẳng không đổi, nên (Q) BCH BCH Ta có nhỏ Mặt phẳng Suy sin BCH BH BK BC BC H K (P ) cần tìm mặt phẳng chứa nP u , u , nQ VTPT (P ) vng góc với mặt phẳng Gọi M điểm thuộc , dựng đường thẳng với d Lấy điểm A cố định đường thẳng Hạ AH mặt phẳng (P ) đường thẳng d' AMH Ta có (BCK ) d ' qua M song song (P ), AK d Góc cos AMH HM KM AM AM download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Mà KM AM không đổi, nên Mặt phẳng Suy (P ) cần tìm nP u , u , ud ' AMH lớn H K mặt phẳng chứa VTPT vng góc với mặt phẳng (P ) Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ đề vng góc đường thẳng x1 y z Tìm tọa độ hình chiếu 2 trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d d: viết phương đến (P ) lớn Lời giải Đường thẳng d có Gọi Do H ud (2;1;2) hình chiếu A lên (d ', A (2;5;3) lên d cho khoảng cách từ A Oxyz cho vng góc A VTCP d H (1 2t; t;2 2t) AH (2t 1; t 5;2t 1) AH d AH ud 2(2t 1) t 2(2t 1) t H (3;1;4) Gọi H' hình chiếu A lên mp(P ) AH ' AH d( A, (P )) lớn H H ' (P ) AH AH (1; 4;1) VTPT (P ) (P ) qua H Khi đó, ta có: Suy Vậy phương trình (P ) : x y z Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ đề vng góc Oxyz cho bốn điểm A 1;0;0 , B 1;1;0 , C 0;1;0 , D 0;0; m với m tham số Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BD m ; Gọi H hình chiếu vng góc O BD Tìm giá trị tham số m để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn Lời giải CD (0; 1; m) Ta có: AB (0;1;0), Với m ta có: CD (0; 1;2) AC (1;1;0) AB, CD (2;0;0) AB, CD AC 2 AB, CD AC d( AB, CD) AB, CD Do Vậy Đặt x OH BH OB OH x2 1 1 Suy SOBH x x2 x2(2 x2) (x2 x2) 2 OH d(O, BD) Đẳng thức xảy x Ta có: BD (1; 1; m), OB (1;1;0) BD, OB (m; m;0) download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Do BD, OB d(O, BD) BD m 2 m2 2m2 m2 m Vậy m giá trị cần tìm Ví dụ Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M (1;9;4) cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho: M trực tâm tam giác ABC ; Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ) lớn nhất; OA OB OC ; 8OA 12OB 16 37OC xA 0, zC Lời giải Giả sử mặt phẳng ( ) cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ là: A (a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) với a, b, c x y z a b c Mặt phẳng ( ) qua điểm M (1;9;4) nên (1) a b c Ta có: AM (1 a;9;4), BC (0; b; c), BM (1;9 b;4), CA(a;0; c) Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng Điểm M trực tâm tam giác ABC M ( ) AM BC BM CA 1 1 a b c 98 49 9b 4c a 98; b ;c a 4c Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm x 9y 4z 98 Cách 1: Ta có: d(O, ( )) 1 a2 b2 c2 Bài toán trở thành, tìm giá trị nhỏ a, b, c thỏa mãn a2 T a b2 b c2 c2 với số thực (1) a b c Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1 1 1 2 (1 ) b c a b c a download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Nên suy T 98 Dấu đẳng thức xảy 1 1 : : : a b c a 9b 4c 98 1 a b c x 9y 4z 98 Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm Cách 2: Gọi H hình chiếu O mặt phẳng ( ) Vì mặt phẳng ( ) ln qua điểm cố định M nên d(O, ( )) OH OM 98 Dấu đẳng thức xảy H M , ( ) mặt phẳng qua M có véctơ pháp tuyến OM(1;9;4) nên phương trình ( ) 1.(x 1) 9( y 9) 4.(z 4) x 9y 4z 98 Vì OA OB OC nên a Trường hợp 1: a b c Từ a 14, a a a là a b c xảy bốn trường hợp sau: nên phương trình ( ) là: Từ (1) suy Từ (1) suy Từ (1) có x y z Trường hợp 3: ( ) suy Trường hợp 2: ( ) (1) b c, a b c x y z Trường hợp 4: a b c x y z 12 Vậy có bốn mặt phẳng thỏa mãn x y z 14 a 6, a a a nên phương trình a 4, a a a nên phương trình a 12, a a a x y z 14 0, x y z 0, x y z 0, x y z 12 nên phương trình ( ) mặt phẳng xA 0, zC nên a 0, c 0, 8OA 12OB 16 37OC 8a 12 b 16 37c Vì 2a a, b , a nên từ (1) ta có 37 a 27 37 a2 2a 35 a 2a 2a a 7 40 Vì a nên a b 2; c , phương trình mặt phẳng 37 ( ) : 8x 20y 37z 40 Nếu Nếu b 0 c b 0 c 2a a, b ,a 37 nên từ (1) cần tìm ta có 27 37 29 109 a2 29a 35 a a 2a 2a a Vì nên khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 8x 20y 37z 40 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Ví dụ Cho mặt cầu (S) : (x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 25 mặt phẳng ( ) có phương trình 2x 2y z Chứng minh mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn Xác định tâm tìm bán kính đường trịn đó; Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1; 1;2), B(3;5; 2) (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính nhỏ Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I (1;1;1) , bán kính R Ta có tâm H H 2 2 1 d(I , ( )) bán kính 22 22 12 Tọa độ điểm I suy ( ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn R d2 (I , ( )) r hình chiếu 4 R, I lên mặt phẳng ( ) , suy phương trình nghiệm hệ Vậy tâm 5 1 H ; ; 3 3 Ta có AB 2;6; 4 x 2t y 2t z t 2x 2y z nên phương trình đường thẳng x 2t HI là: y 2t z t x y z x t AB : y 1 3t y 2t Vì I A R nên mặt phẳng (P ) qua AB cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r 25 d2 (I , (P )) Do r nhỏ d(I , (P )) lớn Gọi K , H hình chiếu I lên AB (P ) , ta ln có I H I K nên suy d(I , (P )) lớn H K Do H AB H (1 t; 1 3t;2 2t) I H (t;3t 2;1 2t) IH ; 2; 1 I H AB I H AB t 3(3t 2) 2(1 2t) t 7 7 Vậy phương trình ( ) : 4x 2y z Vì Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P ) : 2x y 2z hai điểm A (5; 2;6), B (3; 2;1) Tìm điểm M thuộc (P ) cho: MA MB nhỏ MA MB lớn Lời giải Mặt phẳng (P ) có nP (2; 1;2) VTPT download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình hai điểm A, B nằm phía so với (P ) (P ) Gọi A ' điểm đối xứng với A qua (P ) , với điểm M (P ) , ta có MA M A ' B A' ta nên khác phía so với (P ) 18 Do M (P ) : MA MB A ' M MB A ' B , mà A ' B không đổi đẳng thức xảy M A ' B (P ) , suy MA MB nhỏ M A ' B (P ) Ta có: x 2t AA ' (P ) AA ' : y 2 t z 2t Tọa độ giao điểm x 2t y 2 t z 2t 2x y 2z H H Tọa độ Vậy Vì A, B phương trình nghiệm hệ 21 14 M ; ; 11 11 11 nghiệm hệ: (P ) xA ' 2xH xA 3 AA ' yA ' 2yH yA A '(3;2; 2) zA ' 2zH zA 2 A ' B (6; 4;3) , M x y H (1; 1;2) z trung điểm Suy AA ' x 3 6t A ' B : y 4t , t z 2 3t x 3 6t y 4t z 2 3t 2x y 2z điểm cần tìm nằm phía so với AM M B AB , Phương trình 21 x 11 14 y 11 z 11 đẳng thức xảy (P ) nên với M (P ) ta ln có M AB (P ) x 2t AB : y 2 z 5t download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz x 2t y 2 M : z 5t 2x y 2z Tọa độ Ví dụ Trong khơng gian trình x1 y z1 1 : 17 x y 2 z Vậy cho điểm Oxyz mặt phẳng 17 3 M ; 2; 7 A (1; 1;1) , đường thẳng có phương (P ) : 2x y 2z Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng khoảng cách từ A đến (Q) lớn nhất; Viết phương trình mặt phẳng (R ) chứa tạo với (P ) góc nhỏ nhất; Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai điểm M (1;1;1), N (1;2; 1) tạo với đường thẳng góc lớn Lời giải Mặt phẳng (P) có nP (2; 1;2) VTPT Đường thẳng qua B(1;0; 1) có u (2;1; 1) VTCP Cách 1: Giả sử n (a; b; c) VTPT (Q) , suy dạng: a(x 1) by c(z 1) ax by cz a c (1) Do (Q) nên 2c b a2 b2 c2 Nếu b d( A, (Q)) Nếu b ta đặt Xét hàm số Suy Chọn f (t) với t (Q) 4a b 5a2 4ab 2b2 a , b t ta có: ta có: , 16a2 8ab b2 5a2 4ab 2b2 f '(t) 16a2 8ab b2 5a2 4ab 2b2 , mà AK K 5t2 4t nhận A 14 , lên đạt d( A, (Q)) AK làm f (t) , f '(t) t 2, t Vậy phương trình khơng đổi nên mặt phẳng qua 16t2 8t (5t2 4t 2)2 max d( A, (Q)) a 2, c 24t2 54t 12 hình chiếu K,H d( A, (Q)) AH AK Dẫn tới ta tìm Cách 2: Gọi có max f (t) f (2) b 1 (Q) 2a b c c 2a b d( A, (Q)) Do đó: phương trình a 2b (Q) : 2x y 3z (Q) , lớn H K VTPT 10 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Vì K K 2t; t; 1 t AK 2t; t 1; t 2 1 3 AK AK u 4t t t t K 0; ; , AK 1; ; 2 2 2 Vậy phương trình (Q) : 2x y 3z (Q) : ax by (2a b)z a b Cách 1: Tương tự ta có (P ), (R ) Gọi Ta có: cos , 00 900 2a b 2(2a b) a2 b2 (2a b)2 Nếu a cos Nếu a 0, đặt Khảo sát hàm số Suy Vậy phương trình Cách 2: Gọi d ta có: f (t) max cos b2 12ba 36a2 2b2 4ab 5a2 b a t b2 12ba 36a2 2b2 4ab 5a2 ta tìm đạt max f (t) f ( b , a 10 chọn t2 12t 36 2t2 4t f (t) 53 ) 10 b 7 a 10 (R ) : 10x 7y 13z đường thẳng qua Ta có phương trình x 2t d : y t , z 1 2t lấy B vng góc với (P ) C (3; 1;1) d, C B C (P) B K (R) Gọi H,K H hình chiếu BH BK sin sin BCH BC BC C lên (R ) , BCH 11 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz BK BC Mà không đổi, nên suy nhỏ vng góc với mặt phẳng Mặt phẳng (BCK ) qua VTPT (BCK ) hay H K (R ) mặt phẳng qua (BCK ) vng góc với (P ) nên n1 nP , u (1;6;4) qua vng góc với (BCK ) nên nR n1, u 10; 7;13 VTPT (R ) , suy phương trình (R ) : 10x y 13z Do (R ) Cách 1: Giả sử phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: Do M , N ( ) a b c d a 2b c d nên d b c a b Ta viết lại dạng phương trình ( ) sau: Suy n (2a;2b; b 2a) Ta có: n u sin n u Nếu a sin , 2ax 2by (b 2a)z 3b ( )) VTPT ( ) Gọi 4a 2b b 2a 4a2 4b2 (b 2a)2 với a 0, t2 12t 36 Xét hàm số f (t) Do max b sin max , a 5t2 4t đặt t b2 12ab 36a2 5b2 4ab 8a2 b ,t a ta tìm chọn ax by cz d 53 max f (t) f 8 b 5, a ( ) : 16x 10 y 11z 15 NM 2; 1;2 VTCP M N , Vậy phương trình Cách 2: Ta có: x 2t MN : y t , t z 2t phương trình Gọi d suy phương trình đường thẳng đường thẳng qua M , song song với Suy x 2t d : y 1 t , t z t Trên d ta lấy điểm A(3;2;0) Gọi ( ), ABH H,K hình chiếu A lên ( ) MN , 12 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Ta có: cos ABH BH BK BA BA , mà BK BA không đổi nên Hay ( ) mặt phẳng qua Ta có: Suy ABH MN vng góc với mặt n NM , u 1;6;4 VTPT ( ) n NM , n 16; 10;11 VTPT ( ) Vậy phương trình (P) phẳng H K ( ) (MN , d) ( ) : 16x 10 y 11z 15 A H lớn Δ K N M d Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : x y z điểm A(1;2;3) Lập phương trình đường thẳng nằm ( ) qua M (1;1;1) khoảng cách từ A đến lớn nhất, nhỏ nhất; qua M khoảng cách Lời giải Mặt phẳng ( ) có n (1;1;1) d: x y z 1 lớn VTPT Gọi u (a; b; c) VTCP , (P ) a b c c a b (1) Ta có: AM 0; 1; 2 u, AM c 2b;2a; a u, AM (c 2b)2 5a2 (b a)2 5a2 b2 2ab 6a2 Do đó: d( A, ) u a2 b2 c2 a2 b2 (a b)2 b2 2ab b2 Nếu a d( A, ) Xét hàm số f (t) , với t2 2t t2 t a0 đặt t b ,t a , khảo sát hàm số f (t) ta tìm 2 max f (t) ff( ) 10, (t) f (4) 3 13 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Khoảng cách từ c 1 , đến A b , a x1 y1 z1 : : 2 1 lớn suy phương trình đường thẳng t chọn b 2 a 3, b , chọn b a 1, c 5 , a x1 y1 z1 suy phương trình đường thẳng : : 5 Đường thẳng d qua N (2;0;0) có u1 (1;2; 1) VTCP MN 1; 1; 1 , u, u1 (2a b; b;2a b) u, u1 MN 3b u, u MN 3b 1 b2 d ( , d ) Do 2 2 u, u a b (2 a b ) b (2 a b ) 1 Đẳng thức xảy a c b u b(0;1; 1) Khoảng cách từ A đến nhỏ t4 x : y 1 t z t Vậy phương trình Ví dụ Lập phương trình đường thẳng x1 y z2 d : 1 cho: Khoảng cách từ B (2; 1;1) Khoảng cách d d đến đường thẳng : x y z 2 qua d A (0; 1; 2) cắt đường thẳng lớn nhất, nhỏ nhất; lớn Lời giải Giả sử d cắt d ' điểm M M (1 2t; t; t), t AM (2t 1; t 1; t) VTCP đường thẳng d Ta có AB (2; 2; 1) nên AB, AM (1 t; 1; 2t) Khoảng cách từ điểm B AB, AM d(B, d) AM Ta có f (t) 5t2 18t 18 5t2 18t 18 6t2 2t đến đường thẳng 6t2 2t nên f (t) d f (t) 98t(t 2) (6t2 2t 2)2 14 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Từ ta tìm max f (t) ff(0) 18, (t) f (2) d(B, d) max d(B, d) thẳng cần tìm qua Ta có d: Do đó: đạt t AM (3; 3; 2) nên phương trình đường đạt t AM (1;1; 1) nên phương trình đường 11 x y z d: 3 2 thẳng cần tìm 11 x y1 z 1 1 N (5; 0; 0) có véc tơ phương u (2; 2; 1) u , AM (t 1; 4t 1; 6t), AN (5; 1; 2) Khoảng cách hai đường thẳng là: u , AM AN d(; d) u , AM Vì f (t) (2 t)2 53t2 10t 6(t 2)(4 37t) 2 (53t 10t 2) Từ ta tìm Vậy đường thẳng 6 3t (t 1)2 (4t 1)2 (6t)2 f (t), f (t) nên 53t2 10t f (t) t 2, t 4 max f (t) f , 37 d (2 t)2 có phương trình d: 37 AM 29; 41; 4 37 x y1 z 29 41 Bài tốn 3: Trong khơng gian cho n điểm A1, A2, , An Tìm M cho P 1MA12 2MA22 n MAn2 a) Nhỏ 1 n 1 n P MA MA MA cho 1 2 n n b) Lớn Tìm n i i 1 M nhỏ lớn nhất, Phương pháp: 15 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Gọi I n i i 1 điểm thỏa mãn: 1 I A1 I A2 n I An 0 điểm I tồn Khi đó: P 1 MI I A1 1 MI I A2 1 MI I An (1 n )I M n 1I Ai2 i 1 n Do 1I Ai2 không đổi nên: i 1 Nếu Nếu 1 n 1 n P nhỏ MI nhỏ lớn MI nhỏ P n P 1 MI I A1 MI I A2 n MI I An i MI Do P nhỏ lớn Nếu M thuộc đường thẳng M hình chiếu I lên MI i 1 nhỏ lớn (hoặc mặt phẳng (hoặc (P ) ) (P ) ) MI lớn Nếu M thuộc mặt cầu (S) đường thẳng qua I tâm (S), cắt (S) hai điểm A, B ( I A I B) MI nhỏ (lớn nhất) M B ( M A ) Ví dụ Cho (P ) : x y z ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C (2;0;1) Tìm tọa độ điểm M (P ) cho MA MB yM ; Tìm N (P ) cho S 2NA NB NC nhỏ Lời giải Gọi M (x;1; z) (P ) , ta có: x z x z Suy MA MB (x 1)2 (z 1)2 x2 (z 2)2 2x 2z 4z 1 1 ; x Vậy M ( ;1; ) 2 2 x; y; z) điểm thỏa mãn 2I A I B I C (*) Gọi I ( Ta có: 2I A 2x;2 2y;2 2z , I B x;1 y;2 z , I C 2 x; y;1 z z 4x 5 Nên (*) 3 y x 0, y , z Suy I 0; ; 5 4z Khi đó: 2NA NI I A 2NI 2I A 4NI I A 16 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz Do NB NI I B 2NI I B ; NC NI I C 2NI I C S 4NI 2I A I B I C 2NI 2I A I B I C 4NI 2I A I B I C Do 2I A I B I C không đổi nên S nhỏ hình chiếu I lên mặt phẳng (P ) N ( x ; y ; z ) I N x; y ; z , n 1; 1;1 Gọi 4 Vì N (P ) x y z (1) VTPT NI nhỏ hay N (P ) x k I N kn I N ( P ) y k thay vào (1), ta có được: Do nên z k 3 5 3 1 3 k k k k x , y , z Vậy N ; ; 2 4 4 4 4 Ví dụ 10 Trong khơng gian cho ba điểm A(1;2;3), B(1;0; 3), C (2; 3; 1) Tìm M thuộc mặt phẳng ( ) : 2x y 2z cho biểu thức sau nhỏ S 3MA 4MB 6MC ; Tìm M thuộc đường thẳng P MA 7MB 5MC x1 y1 z1 1 cho biểu thức sau lớn nhất: ; thuộc mặt cầu (S) : (x 2)2 ( y 2)2 (z 8)2 36 cho biểu thức F MA 4MB 2MC đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Lời giải Cách 1: Gọi I (x; y; z) điểm thỏa mãn: 3I A 4I B 6I C I A 6AC AB (*) Tìm Mà M I A (1 x;2 y;3 z), 6AC (6; 30; 24), AB (8; 8; 24) Do 1 x (*) 2 y 30 3 z 24 24 Khi đó: x 13 y 24 I (13;24;3) z S 3MA 4MB 6MC MI I A MI I B MI I C IM 2MI 3I A 4I B 6I C 3I A 4I B 6I C 2 IM nhỏ I M 3I A 4I B 6I C Do 3I A 4I B2 6I C không đổi nên S nhỏ M hình 17 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz chiếu I Tọa độ Vậy lên ( ) Ta có M nghiệm hệ: M (11;25;1) Cách 2: Gọi Suy ra: x 13 2t I M ( ) I M : y 24 t z 2t x 13 2t y 24 t z 2t 2x y 2z x 11 y 25 z điểm cần tìm M (a; b; c) ( ) 2a b 2c 3MA 3a2 3b2 3c2 6a 12b 18c 42 4MB 4a2 4b2 4c2 8a 24c 40 6MC 6a2 6b2 6c2 24a 36b 12c 84 Suy S a2 b2 c2 26a 48b 6c (a 11)2 (b 25)2 (c 1)2 4a 2b 4c 749 2(2a b 2c 1) 747 747 M (11;25;1) điểm cần tìm Cách 1: Gọi I (x; y; z) điểm thỏa mãn: I A 7I B 5I C I A 7AB 5AC Mà I A x;2 y;3 z , 7AB (14;14;42), 5AC (5; 25; 20) Đẳng thức xảy Nên a 11, b 25, c 1 x 14 (*) 2 y 14 25 3 z 42 20 Khi đó: Do P hay (*) x 18 y 13 I (18;13; 19) z 19 P MI I A MI I B MI I C MI nhỏ MI nhỏ M hình chiếu I lên M M 2t; 1 3t;1 t I M (2t 19;3t 14; t 20) Vì I M 2(2t 19) 3(3t 14) (t 20) t 12 Vậy 31 29 M ; ; 7 7 điểm cần tìm Cách 2: Ta có Suy M M 2t; 1 3t;1 t MA 2t;3 3t;2 t , 7MB 14 14t; 7 21t;28 7t 18 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz 5MC 10t; 10 15t; 10 5t Do Nên MA 7MB 5MC 2t 19;3t 14; t 20 12 6411 6411 P (2t 19)2 (3t 14)2 (t 20)2 14t2 48t 957 14 t 7 Đẳng thức xảy Gọi E (x; y; z) Ta tìm t 12 31 29 M ; ; điểm cần tìm 7 7 mãn: EA 4EB 2EC EA 2AC AB Vậy điểm thỏa E 10; 2;16 Khi F EM EA 4EB 2EC Vì EA2 4EB 2EC khơng đổi nên nhất, lớn Mặt cầu (S) có tâm F lớn nhất, nhỏ EM nhỏ x 8t I (2;2;8) , I E 8; 4;8 I E : y 4t z 8t Tọa độ giao điểm IE với mặt cầu (S) nghiệm hệ x 8t y 4t 82 t2 42 t2 82 t2 36 t z t (x 2)2 ( y 2)2 (z 8)2 36 M 6;0;12 I M (2; 2;4) MI t N 2;4;4 I N (4;2;4) NI t Do NI MI nên ta có được: F lớn E M E 6;0;12 F nhỏ E N E 2;4;4 Bài tập tương tự Bài Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;3; 2), B(3;7; 18) mặt phẳng P : 2x y z a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với (P ) b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P ) cho MA MB nhỏ Bài Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M(1;4;9) cắt tia Ox,Oy,Oz điểm A,B,C (khác gốc tọa độ) cho 19 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz a) Thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ b) OA OB OC đạt giá trị nhỏ Bài Cho đường thẳng x 1 y z1 điểm A(3; 4; 1), điểm M thuộc đường thẳng cho b) MA MC nhỏ : B(1; 6; 1), C(1; 10; 3) Tìm a) MA MB nhỏ Bài Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua Ox, Oy, Oz điểm A, B, C thỏa: Tứ diện OABC tích lớn nhất; Khoảng cách từ O đến ( ABC ) lớn nhất; OA OC 4OB OA OB Bài Cho thẳng A (1; 4; 2), B(1; 2; 4) : M 1;4;9 x1 y z 1 cho ( ) cắt tia Tìm điểm M thuộc đường cho MA MB nhỏ Diện tích tam giác M AB 3OM AM 4BM nhỏ nhỏ Bài Cho ba điểm A(1;2; 3),B(2;4;5),C(3;6;7) mặt phẳng (P ) : x y z Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G tam giác ABC mặt phẳng (P ) Tìm tọa độ điểm G đối xứng với điểm G qua mặt phẳng (P ) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng với T MA MB MC2 (P ) cho biểu thức T có giá trị nhỏ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Việc phân dạng cụ thể tốn tìm giới hạn hàm số đưa phương pháp giải tương ứng giúp toán trở nên có hệ thống hơn, nhờ học sinh dễ tiếp cận nhớ lâu Từ học sinh thấy hứng thú học phần giới hạn hàm số thấy toán trở nên đơn giản Sau thực sáng kiến kinh nghiệm học sinh tiếp cận cịn học sinh gặp khó khăn việc giải tốn tìm cực trị hình học Oxyz Cụ thể: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém 12B3 43 20 18 0 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên kinh nghiệm mà đúc rút nhiều năm giảng dạy trường THPT cụ thể thử nghiệm với học sinh lớp 12B3 trường THPT Hậu Lộc 20 download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz skkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyzskkn.moi.nhat.skkn.phuong.phap.giai.mot.so.bai.toan.cuc.tri.trong.hinh.hoc.khong.gian.oxyz