Chuyên đề Cực trị hình giải tích T rang 1/ 85 Nguyễn Hoàng Việt Website http //luyenthitracnghiem vn 0905193688 Câu 1 Cho đường thẳng 1 2 2 1 1 x y z− + = = − và hai điểm (0; 1;3),A − (1; 2;1) B −[.]
Chun đề: Cực trị hình giải tích Câu 1: T n g 1/ 85 Cho đường thẳng : x −1 y z + hai điểm A(0; −1;3), B(1; −2;1) Tìm tọa độ điểm M = = −1 thuộc đường thẳng cho MA2 + 2MB đạt giá trị nhỏ A M (1;0; −2) B M (3;1; −3) C M (−1; −1; −1) D M (5; 2; −4) Lời giải Chọn C Ta có M M (1 + 2t; t; −2 − t ) nên ta có MA2 = ( −1 − 2t ) + ( −1 − t ) + ( + t ) = 6t + 16t + 27 ; 2 MB = ( −2t ) + ( −2 − t ) + ( + t ) = 6t + 10t + 13 2 Suy MA2 + 2MB = 18t + 36t + 53 = 18 ( t + 2t + 1) + 35 = 18 ( t + 1) + 35 35 nên MA2 + 2MB đạt giá trị nhỏ t = −1 suy M (−1; −1; −1) Câu 2: x y −1 z + ba điểm A(1;3; −2), B (0; 4; −5), C (1; 2; −4) Biết điểm = = −2 1 M (a; b; c) thuộc đường thẳng cho MA2 + MB + 2MC đạt giá trị nhỏ Khi đó, tổng Cho đường thẳng : a + b + c bao nhiêu? A B C D Lời giải Chọn B Ta có M M ( t;1 + t; −2 − 2t ) nên ta có MA2 = (1 − t ) + ( − t ) + ( 2t ) = 6t − 6t + ; 2 MB = ( −t ) + ( − t ) + ( −3 + 2t ) = 6t − 18t + 18 2 MC = (1 − t ) + (1 − t ) + ( −2 + 2t ) = 6t − 12t + MC = 12t − 24t + 12 2 MA2 + MB + 2MB = 24t − 48t + 35 = 24 ( t − 2t + 1) + 11 = 24 ( t − 1) + 11 11 nên Suy MA2 + MB + 2MC đạt giá trị nhỏ t = 1suy M (1; 2; −4) nên a = 1;b = 2;c = −3 Khi a + b + c = −1 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : x y z −1 = = hai điểm −1 −1 A ( −1; −1;6) , B ( 2; −1;0) Biết điểm M thuộc đường thẳng cho biểu thức MA2 + 3MB đạt giá trị nhỏ Tmin Khi đó, Tmin bao nhiêu? A Tmin = B Tmin = 25 C Tmin = 25 D Tmin = 39 Lời giải Chọn D Đường thẳng qua điểm M o ( 0;0;1) có véc tơ phương u = ( 2; −1; −1) nên có Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 2/ 85 x = 2t phương trình tham số: y = − t z = 1− t (t ) Vì M thuộc đường thẳng nên M ( 2t; − t;1 − t ) 2 2 2 Ta có MA2 + 3MB = ( 2t + 1) + ( t − 1) + ( t + 5) + ( 2t − ) + ( t − 1) + ( t − 1) 45 = 24t − 24t + 45 = 4t − 4t + 39 2 = ( 2t − 1) + = ( 2t − 1) + 39 39, t 6 Vậy ( MA2 + 3MB ) = 39 t = Câu 4: Cho đường thẳng d : −1 hay M 1; ; 2 x −1 y z + A (1; −1;0) , B ( 0; −1;2) , C ( −1;1;0) Tìm tọa độ điểm = = −1 M thuộc đường thẳng d cho MA + 2MB − MC đạt giá trị nhỏ 1 4 A M ; ; − 3 3 B M ( 0;1; −1) 5 C M − ; ; − 3 3 D M ( 2; −1; −4 ) Lời giải Chọn A Gọi M có tọa độ là: M (1 − t; t; −2 + t ) Ta có: MA = ( t; −t − 1;2 − t ) , 2MB = ( 2t − 2; −2t − 2;8 − 2t ) , MC = ( t − 2;1 − t;2 − t ) Do đó: MA + 2MB − MC = ( 2t; −2t − 4;8 − 2t ) Suy ra: MA + 2MB − MC = 4t + ( 2t + ) + ( 2t − ) = 12t − 16t + 80 MA + 2MB − MC Câu 5: 2 224 42 Dấu " = " xảy t = 1 4 hay M ; ; − 3 3 Cho đường thẳng : x y +1 z −1 = = hai điểm A(1;0;1), B(−1;1; 2) Biết điểm M (a; b; c) −1 thuộc cho MA − 3MB đạt giá trị nhỏ Khi đó, tổng a + 2b + 4c bao nhiêu? A B −1 C D Lời giải Chọn D Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 3/ 85 Do M M (2t; −1 + t;1 − t ) MA = (1 − 2t;1 − t; t ) MB = (−1 − 2t;2 − t;1 + t ) 3MB = (−3 − 6t;6 − 3t;3 + 3t ) MA − 3MB = (4 + 4t; −5 + 2t; −3 − 2t ) MA − 3MB = 24t + 24t + 50 = 24(t + )2 + 44 44 MA − 3MB đạt giá trị nhỏ 44 t = − 3 2 Khi điểm M có tọa độ M (−1; − ; ) a + 2b + 4c = −1 − + = Câu 6: Cho đường thẳng : x +1 y −1 z + A(1;1;0), B(3; −1; 4), C (−1; 0;1) Tìm tọa độ điểm = = −1 M thuộc đường thẳng cho MA2 − MB + 4MC đạt giá trị nhỏ 1 2 B M − ; ; − 3 3 A M (0; 0; 0) C M (−2; 2; −4) 1 D M − ; − ;0 2 Lời giải Chọn B Do M M (−1 + t;1 − t; −2 + 2t ) MA = (2 − t; t;2 − 2t ) MB = (4 − t; −2 + t;6 − 2t ) MC = (−t; −1 + t;3 − 2t ) MA2 − MB2 + 4MC = (2 − t )2 + t + (2 − 2t )2 − 4[(4 - t )2 + (t − 2)2 + (6 − 2t )2 ] + [t + (t − 1)2 + (3 − 2t )2 ] = 6t − 12t + − (6t − 36t + 56) + 4(6t − 14t + 10) 7 = 24t − 32t − = 24[(t − ) − ] − 9 MA2 − MB2 + 4MC đạt giá trị nhỏ − 1 3 t = 3 Suy điểm M (− ; ; − ) Câu 7: Cho đường thẳng : x +1 y −1 z + = = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho −1 MA + MB − 3MC đạt giá trị nhỏ với A ( 2;1; − 2) , B ( 6; −1;1) , C (1;1; − ) 3 A M − ; ; −3 2 1 2 B M ; − ; 3 3 C M (−3;3; −6) D M (−1;1; −2) Lời giải Chọn C Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB − 3IC = I ( −5;3; −5) Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g / 85 Ta có: P = MA + MB − 3MC = MI + IA + MI + IB − 3MI − 3IC = MI = IM M M ( −1 + t ;1 − t ; − + 2t ) IM = (t + 4) + (−t − 2) + (2t + 3) = 6t + 24t + 29 = 6(t + 2) + Do Pmin = t = −2 M (−3;3; −6) Câu 8: Cho đường thẳng : x y −1 z +1 hai điểm A(1; 0; −1), B(2;1; −1) Biết điểm M thuộc = = 1 −1 đường thẳng cho T = MA + 2MB đạt giá trị nhỏ Tmin Khi đó, Tmin bao nhiêu? A Tmin = C Tmin = 14 B Tmin = D Tmin = Lời giải Chọn C 5 Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB = I ; ; − 1 3 Ta có: P = MA + 2MB = MI + IA + 2MI + IB = 3MI = 3.IM M M ( t ;1 − t ; − + t ) 2 1 26 14 5 14 IM = t − + −t + + t = 3t − 4t + = 3 t − + 3 9 3 3 Nhận xét: Ở Câu 7,8 này, ta giải trực tiếp biểu diễn điểm M theo tham số t mà Do đó: Pmin = 14 t = khơng cần tìm tâm tỉ cự hệ điểm Lời giải Câu 9: Cho mặt phẳng ( ) : x + y + z + = ba điểm A(1; 2; 0), B(2;0; −1), C (3;1;1) Tìm tọa độ điểm M ( ) cho 2MA2 + 3MB − 4MC đạt giá trị nhỏ A M (1; −2; −3) B M (−3;1; −4) C M (−3; 2; −5) D M (1; −3; −2) Lời giải Chọn C Giả sử I ( x0 ; y0 ; z0 ) điểm thỏa mãn: 2IA + 3IB − 4IC = (1) 2 (1 − x0 ) + ( − x0 ) − ( − x0 ) = − x0 − = x0 = −4 y0 = I ( −4;0; −7 ) (1) 2 ( − y0 ) + ( − y0 ) − (1 − y0 ) = − y0 = − z − = z = −7 2 ( − z0 ) + ( −1 − z0 ) − (1 − z0 ) = 2 Ta có: 2MA2 + 3MB − 4MC = 2MA + 3MB − 4MC ( ) ( ) ( = MI + IA + MI + IB − MI + IC ) 2 Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chun đề: Cực trị hình giải tích ( T n g 5/ 85 ) ( = MI + 2.MI IA + IA + MI + 2.MI IB + IB ( ) − ( MI = MI + 2IA2 + 3IB − 4IC + 2MI 2IA + 3IB − 4IC + 2.MI IC + IC ) ) = MI + 2IA2 + 3IB2 − 4IC + 2MI = MI + IA2 + 3IB − IC Khi đó, để 2MA2 + 3MB − 4MC đạt giá trị nhỏ MI có độ dài ngắn Mà M ( ) M hình chiếu vng góc I lên ( ) Gọi d đường thẳng qua I vng góc ( ) d có VTCP u = (1; 2; ) x = −4 + t Phương trình đường thẳng d : y = 2t z = −7 + 2t Giả sử tọa độ điểm M ( −4 + t;2t; −7 + 2t ) Do M ( ) ( −4 + t ) + 2.2t + ( −7 + 2t ) + = 9t − = t = M ( −3;2; −5) x +1 y −1 z + A(1;1;0), B(3; −1; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc = = −1 cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Câu 10: Cho đường thẳng : A M (−1;1; −2) 1 B M ; − ;1 2 3 C M − ; ; −3 2 D M (1; −1; 2) Lời giải Chọn D x +1 y −1 z + : = = có VTCP u (1; −1; ) −1 A(1;1;0), B(3; −1; 4) AB ( 2; −2; ) Ta có: AB ( 2; −2; ) phương với u (1; −1; ) A(1;1;0) (do 1+1 1−1 ) −1 AB // AB đồng phẳng Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chun đề: Cực trị hình giải tích T n g 6/ 85 * Xét mặt phẳng chứa AB : Gọi A điểm đối xứng A qua ; ( ) mặt phẳng qua A , vng góc với Khi đó, giao điểm H với ( ) trung điểm AA ( ) có VTPT n (1; −1; ) , qua A(1;1;0) , có phương trình: 1( x −1) −1( y −1) + ( z − 0) = x − y + z = H : x +1 y −1 z + = = Giả sử H ( −1 + t;1 − t; −2 + 2t ) −1 H ( ) ( −1 + t ) − (1 − t ) + ( −2 + 2t ) = 6t − = t = H ( 0;0;0 ) 2 xH = xA + xA 2.0 = + xA xA = −1 H trung điểm AA 2 yH = y A + y A 2.0 = + y A y A = − A ( −1; −1;0 ) 2 z = z + z 2.0 = + z z = A A A H A Ta có: MA + MB = MA + MB AB ( MA + MB )min = AB M trùng với M giao điểm AB x = −1 + t AB = ( 4;0; ) AB có VTCP (1;0;1) qua A ( −1; −1;0 ) , có phương trình: y = −1 z = t x = −1 + t Mà : y = − t z = −2 + 2t −1 + t = −1 + t t = t t = Giải hệ phương trình: 1 − t = −1 t = −2 + 2t = t −2 + 2t = t t = M (1; −1;2) Vậy, để MA + MB đạt giá trị nhỏ M (1; −1;2 ) x y −1 z +1 : = = hai điểm A(1;1; − 2), B(−1;0; − 1) Biết điểm M Câu 11: Cho đường thẳng 1 −1 thuộc cho biểu thức T = MA + MB đạt giá trị nhỏ Tmin Khi tính Tmin Tmin = − A Tmin = + B Tmin = − C Tmin = + D Lời giải Chọn D Vì điểm M thuộc nên ta có M (−t ; t + 1; t − 1) Lúc T = MA + MB = (t + 1) + t + ( t + 1) + (t − 1) + t + ( t + 1) = 3t + 4t + + 3t + Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g / 85 2 2 = t + + + t + 3 ( ) 2 2 Đặt u = t + ; , v = − t ; Ta có T = u + v u + v 3 2 2 2 Tứclà T + + = + 3 3 2 = t = −1 + Đẳng thức xảy −t 3 t+ Vậy Tmin = + Câu 12: Cho đường thẳng : x +1 y −1 z + hai điểm A(1;1;0), B(−1;0;1) Biết điểm = = −1 M (a; b; c) thuộc cho biểu thức T = MA − MB đạt giá trị lớn Khi tổng a − b + c bằng: C + B + 33 A 33 D + 33 Lời giải Chọn D qua C(−1;1; − 2), có vectơ phương u = (1; −1;2) AB = (−2; − 1;1); AC = (−2;0; − 2) AB; u AC nên AB; không đồng phẳng Vì điểm M thuộc nên ta có M (−1 + t ;1 − t ; − + 2t ), t Lúc P = MA − MB = = ( t − 2) + t + ( 2t − ) − ( −t ) + ( t − 1) + ( 2t − 3) 2 6t − 12t + − 6t − 14t + 10 P= 11 ( t − 1) + − t − + 6 11 3 Đặt u = t − 1; , v = t − ; Ta có | u | − | v | u − v 6 2 11 1 Tức P + − 6 Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 8/ 85 t −1 33 Đẳng thức xảy = t = 3+ 11 t− 6 Với ta có a − b + c = 4t − = + Câu 13: Cho đường thẳng : 33 x y −1 z = = hai điểm A(0;1; −3), B(−1;0; 2) Biết điểm M thuộc 1 cho biểu thức T = MA − MB đạt giá trị lớn Tmax Khi đó, Tmax bao nhiêu? A Tmax = B Tmax = C Tmax = 3 D Tmax = Lời giải Chọn C x = −t Ta có AB = ( −1; − 1; 5) , phương trình đường thẳng AB y = − t (t ) z = −3 + 5t 1 1 Xét vị trí tương đối AB ta có AB cắt C − ; ; − 2 2 1 5 Suy AC = − ; − ; AC = AB C trung điểm AB 2 2 T = MA − MB AB Dấu “=” xảy M A M B Do Tmax = AB = 27 = 3 Câu 14: Cho mặt phẳng ( ) : x + y + z + = ba điểm A (1;2;0) , B ( 2;0; −1) , C (3;1;1) Tìm tọa độ điểm M ( ) cho 2MA2 + 3MB − 4MC đạt giá trị nhỏ A M (1; −2; −3) B M ( −3;1; −4) C M ( −3;2; −5) D M (1; −3; −2) Lời giải Chọn C Ta tìm tọa độ điểm I ( a; b; c ) cho 2IA + 3IB − 4IC = Ta có IA = (1 − a; − b; − c ) ; IB = ( − a; − b; − − c ) ; IC = ( − a; − b; − c ) IA + IB − IC = ( −4 − a; − b; − − c ) = a = −4; b = 0; c = −7 Suyra I ( −4; 0; − ) ( ) ( ) ( ) ( ) Khiđó T = 2MA2 + 3MB2 − 4MC = MA + MB − MC Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chun đề: Cực trị hình giải tích ( ) T n g 9/ 85 ( ) ( = MI + IA + MI + IB − MI + IC ) ( = MI + 2IA2 + 3IB2 − 4IC + 2MI 2IA + 3IB − 4IC ) = MI + IA2 + 3IB − IC Do T nhỏ MI ngắn nhất, M hình chiếu vng góc I mặt phẳng ( ) Đường thẳng d qua I vng góc với ( ) có vectơ phương u = (1; 2; ) x = −4 + t Do phương trình d y = 2t (t ) z = −7 + 2t x = −4 + t y = 2t Khi tọa độ M thỏa mãn hệ t = M ( −3; 2; −5 ) z = −7 + 2t x + y + z + = Câu 15: Cho mặt phẳng ( P ) :5x − y + z − = hai điểm A ( 0; −1;0) , B ( −2;1; −1) Biết điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) cho MA2 − 2MB đạt giá trị lớn Khi điểm M có hoành độ xM bao nhiêu? A xM = C xM = −1 B xM = D xM = Lời giải Chọn A Gọi I điểm thỏa mãn: IA − IB = I (−4;3; − 2) Khi T = MA2 − 2MB = − MI + IA2 − 2.IB Tmax MI M hình chiếu I lên mặt phẳng ( P) Khi đường thẳng MI qua I (−4;3; − 2) vng góc với ( P ) nên nhận VTPT x = −4 + 5t n (5; −1;1) ( P ) làm VTCP, phương trình y = − t (t R) z = −2 + t Ta có M = IM ( P) Tọa độ M nghiệm x = −4 + 5t t = y = 3−t x = M (1; 2; − 1) xM = z = −2 + t y = 5 x − y + z − = z = −1 Câu 16: Cho mặt phẳng ( P ) : x + y − 3z + = ba điểm A ( 2; −1;0) , B ( 0; −1;2 ) , C ( 2;3; −1) Biết điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc mặt phẳng ( P ) cho MA2 + 3MB − 2MC đạt giá trị nhỏ Khi tổng T = x0 + y0 − z0 bao nhiêu? A T = B T = −4 C T = D T = −14 Lời giải Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 hệ Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 10/ 85 Chọn D Gọi I điểm thỏa mãn: IA + 3IB − IC = I (−1; − 5; 4) Khi T = MA2 + 3MB − 2MC = 2MI + IA2 + 3IB − IC Tm im MI max M hình chiếu I lên mặt phẳng ( P) Khi đường thẳng MI qua I (−1; − 5; 4) vng góc với ( P ) x = −1 + t nên nhận VTPT n (1;1; −3) ( P ) làm VTCP, phương trình y = −5 + t (t R) z = − 3t Ta có M = IM ( P) độ Tọa M nghiệm hệ x = −1 + t t = y = −5 + t x = M (0; − 4;1) T = −14 = − = − z t y 4 5 x − y + z − = z = ( ) :2x + y − 3z −1 = ba thuộc mặt phẳng ( ) cho P = MA điểm A (1; −1; −5) , B ( 0;1;2 ) , C ( 2;3; −1) Biết Câu 17: Cho mặt phẳng điểm M + 2MB − 2MC đạt giá trị nhỏ Pmin Khi Pmin bao nhiêu? A 16 B 17 C 18 D 19 Lời giải Chọn B Gọi I ( a; b; c ) cho IA + 2IB − 2IC = OI = OA + 2OB − 2OC I ( −3; −5; −3) Ta có ( P = MA2 + 2MB − 2MC = MI + IA ( = MI + IA2 + 2IB − 2IC + IA + 2IB − 2IC ) ) ( + MI + IB ) ( − MI + IC ) = MI + IA2 + 2IB2 − 2IC Do IA2 + 2IB − 2IC = 36 + 70 − 93 = 13 không đổi nên Pmin MI Và MI = d ( I , ( P ) ) = ( −3) + ( −5 ) − ( −3) − + 36 + = Vậy Pmin = + 13 = 17 Câu 18: Cho mặt phẳng ( ) :2 x − y − 3z + = ba điểm A (1;1; −1) , B ( −3;1;0) , C ( −2;1; −1) Tìm tọa độ điểm M ( ) cho 2MA + 5MB − 6MC đạt giá trị nhỏ A M ( 0;1;0) B M ( 2; −1;2 ) C M (1;0;1) D M ( −1;2; −1) Lời giải Chọn C Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chun đề: Cực trị hình giải tích Mặt cầu (S ) T n g 1/ 85 có tâm I ( 3; −2;1) bán kính R = 100 = 10 Ta có d ( I , ( P ) ) = + −1 + = R ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn Gọi H hình chiếu vng góc I ( P ) Tia IH cắt mặt cầu ( S ) Q tia đối tia IH cắt mặt cầu ( S ) K Khi ấy, KQ đường kính mặt cầu ( S ) Gọi N , J hình chiếu vng góc M ( P ) M KQ MQK ⊥ M nên J nằm cạnh KQ Ta có MJHN hình chữ nhật ( N = H = J = 90 ) MN = HJ HJ HK (Vì HK = 16 HQ = ) max d ( M ; ( P ) ) = HK = 16 Dấu " = " xảy M K ( IH ) qua I ( 3; −2;1) có vtcp u = n K ( IH ) K ( + 2t ; −2 − 2t ;1 − t ) ( P) Ta x = + 2t = ( 2; −2; −1) ( IH ) : y = −2 − 2t ( t z = 1− t lại có ) K ( S ) ( 2t ) + ( −2t ) + ( −t ) = 100 2 10 t = 100 t2 = t = − 10 Với t = 10 29 26 K ; − ; − d ( M ; ( P ) ) = 16 (nhận) 3 Với t = − 10 11 14 13 K − ; ; d ( M ; ( P ) ) = (loại) 3 3 Nhận xét: Đề ban đầu yêu cầu tìm tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ Trong trình lập luận tơi thấy khơng phù hợp có vơ số điểm M nên sửa đề lại Câu 115: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B(a; 0; 0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) (a 0, b 0) Gọi M trung điểm cạnh CC Giá trị tỉ số a để hai mặt phẳng ( ABD) ( MBD ) vng góc với b Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chun đề: Cực trị hình giải tích A T n g 2/ 85 B C −1 D Lời giải Chọn D Ta có ABCD hình bình hành nên AB = DC C ( a; a;0 ) Và ACC A hình bình hành nên CC = AA C ( a; a; b ) b CC có trung điểm M a; a; 2 BA = ( −a;0; b ) BD = ( −a; a;0 ) ( ABD ) có vtpt BA; BD = ( −ab; −ab; −a ) vtpt khác a ( ABD ) n1 = 1;1; (vì b ) b b −ab −ab BM = 0; a; ( MBD ) có vtpt BM ; BD = ; ; a vtpt khác 2 2a n2 = 1;1; − (vì b ) b ( MBD ) a b =1 a Theo giả thiết ( ABD) ⊥ ( MBD ) n1 ⊥ n2 n1.n2 = − = b a = −1( l ) b Câu 116: Trong không gian Oxyx , cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + = mặt cầu (S ) : x + y + z − x − y − z − = Giá trị điểm M ( S ) cho d ( M , ( P)) đạt giá trị nhỏ A (1;1;3) −1 −1 C ; ; 3 3 5 7 B ; ; 3 3 D (1; −2;1) Lời giải Chọn C Ta có: x + y + z − x − y − z − = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) , bán kính R = Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chun đề: Cực trị hình giải tích d ( I , ( P)) = T n g 3/ 85 1+ + + 12 + 22 + 22 = R Do đó, ( S ) ( P ) không giao Vậy để khoảng cách từ M đến ( P ) đạt giá trị nhỏ M thuộc đường thẳng d qua tâm I mặt cầu ( S ) vng góc với mặt phẳng ( P ) Mặt phẳng ( P ) có VTPT n = (1; 2; 2) Đường thẳng d qua I nhận n = (1; 2; 2) VTCP nên d có phương trình là: x = 1+ t y = + 2t z = + 2t M d M (1 + t ;1 + 2t ;1 + 2t ) M ( S ) (1 + t − 1) + (1 + 2t − 1) + (1 + 2t − 1) = 9t = t = 2 7 11 M ( ; ; ) d ( M , ( P )) = 3 3 −1 −1 Với t = − M ( ; ; ) d ( M , ( P)) = 3 3 Với t = −1 −1 Vậy M ; ; thỏa mãn yêu cầu toán 3 3 Câu 117: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(10; 2; −1) đường thẳng d: x −1 y z −1 = = Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm M (−1; 2;3) đến mặt phẳng ( P ) A 97 15 B 76 790 790 13 13 Lời giải C D 29 29 Chọn A Gọi H hình chiếu A d , gọi I hình chiếu H ( P ) Mặt phẳng (P) qua điểm A, song song với đường thẳng d nên d (d , ( P)) = d ( H , ( P)) = IH Ta có AH IH nên IH lớn AH = IH A I Vậy mặt phẳng ( P ) thỏa mãn yêu cầu toán mặt phẳng qua điểm A nhận vectơ AH làm VTPT Ta có H d H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) AH = (2t − 9; t − 2;3t + 2) x −1 y z −1 = = ud = (2;1;3) H Vì hình d: chiếu A Nguyễn Hồng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn d 0905193688 nên Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g / 85 AH ⊥ d AH ud = 2(2t − 9) + (t − 2) + 3(3t + 2) = t = Do H (3;1; 4) AH = (−7; −1;5) Mặt phẳng ( P ) qua điểm A(10; 2; −1) có VTPT AH = (−7; −1;5) nên ( P ) có phương trình là: −7( x − 10) − ( y − 2) + 5( z + 1) = x + y − z − 77 = Vậy d ( M ;( P)) = −7 + − 5.3 − 77 + + (−5) 2 = 97 15 Câu 118: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A ( 2;5;3) đường thẳng d: x −1 y z − Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A = = 2 đến ( P ) lớn Tính khoảng cách từ điểm M (1;2; −1) đến mặt phẳng ( P ) A 11 18 18 B 11 18 Lời giải C D Chọn A Kẻ AH ⊥ ( P ) , AK ⊥ d Ta có K d K (1 + 2t , t, + 2t ) AK = ( 2t − 1, t − 5, 2t − 1) Ta có: ud ( 2;1; ) AK ⊥ d AK ud = 2(2t − 1) + 1(t − 5) + 2(2t − 1) = t = K ( 3;1;4) , AK = (1; −4;1) Do AH ⊥ ( P ) , AK ⊥ d , d ( P ) nên AH ⊥ KH AH AK max AH = AK H K hay AK ⊥ ( P ) ( P ) qua K ( 3;1;4) nhận AK làm VTPT nên phương trình ( P ) là: x − y + z − = d ( M , ( P)) = 11 18 18 Câu 119: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng x = 1+ t đường thẳng d : y = t ; d : z = + 2t ( P) : x + y − z + = hai x = − t y = + t Biết có đường thẳng có đặc điểm: z = − 2t song song với ( P ) ; cắt d , d tạo với d góc 30 O Tính cosin góc tạo hai đường thẳng A B C D Lời giải Chọn B Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 5/ 85 Gọi đường thẳng thỏa mãn YCBT Gọi giao điểm đường thẳng với hai đường thẳng d , d M , N Ta có: M (1 + t , t , + 2t ) , N ( − t , + t , − 2t ) MN = ( − t − t , 1+t − t , − − 2t − 2t ) Có n( P ) = (1;1; −1) , ud (1;1;2) //( P ) MN n( P ) = + 2t = t = −2 MN = ( − t , -1 − t , − 2t ) MN , ud = ( −5, -5, 5) MN , ud = 6t − 18t − 24 = t1 = 4, t2 = −1 ( d , ) = 30 sin ( d , ) = sin 30 MN ud 0 MN1 = ( 0; −5; −5) = −5 ( 0;1;1) , MN2 = ( 5;0;5) = (1;0;1) Do VTCP hai đường thẳng 1 , 2 cần tìm là: u1 = ( 0;1;1) , u2 = (1;0;1) sin ( 1 , 2 ) = u1 , u2 cos ( 1 , ) = ( góc hai đường thẳng góc nhọn) = 2 u1 u2 Câu 120: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 0; 1) , B ( 3; -2; ) ; B ( 3; -2; ) Gọi ( P ) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P ) lớn Biết ( P ) khơng cắt BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) ? A G ( −2;0;3) B F ( 3;0; −2 ) C E (1;3;1) D H ( 0;3;1) Lời giải Chọn C Gọi I trung điểm BC I ( 2;0; −1) Theo giả thiết ( P ) không cắt BC nên B; C nằm phía với ( P ) Do d ( B; ( P ) ) + d ( C ; ( P ) ) = BH + CK = IJ IA = Trong H ; K ; J hình chiếu vng góc B;C; I lên mặt phẳng ( P ) Dấu “=” xảy J A hay ( P ) ⊥ IA Suy ra, Mặt phẳng ( P ) có VTPT IA = ( −1;0; ) Do đó, Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A (1; 0; 1) có VTPT n = ( −1;0; ) là: ( P ) : x − 2z + = E (1;3;1) ( P ) Câu 121: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) , b; c dương mặt phẳng ( P) : y − z +1 = Biết mặt phẳng Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn ( ABC ) ⊥ ( P ) 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 6/ 85 d ( O; ( ABC ) ) = Mệnh đề đúng? A b + c = B b + c = C b + c = D b + c = Lời giải Chọn A x y z Phương trình mặt phẳng ( ABC ) : + + = bcx + cy + bz = bc b c Ta nP ( 0;1; −1) ; n( ABC ) = ( bc;c; b ) có mặt Do ( ABC ) ⊥ ( P ) nP ⊥ n( ABC ) phẳng nP n( ABC ) = b = c (*) Mặt khác, d ( O; ( ABC ) ) = bc ( bc ) + b2 + c2 = (**) c=0 Thay (*) vào (**) ta được: 3c = c + 2c 8c − 2c = c = Do b; c dương nên b = c = Vậy, b + c = 4 Câu 122: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A (1;2;3) , B ( 0;1;1) , C (1;0; −2 ) Điểm M ( P ) : x + y + z + = cho giá trị biểu thức T = MA2 + 2MB + 3MC nhỏ Khi đó, điểm M cách ( Q ) : x − y − z + = khoảng 121 A 54 C B 24 91 D 54 Lời giải Chọn D Gọi I điểm thỏa ( mãn ) 4 1 IA + IB + 3IC = I ; ; − 6 6 T = IA2 + 2IB + 3IC + 6IM − 2IM IA + 2IB + 3IC = IA2 + 2IB + 3IC + 6IM T nhỏ IM ngắn M hình chiếu I ( P ) x = + t d : y = + t t R đường thẳng qua I vng góc với ( P ) z = − + t 91 −7 −7 −22 M = d ( P) M ; ; d ( M , (Q )) = 54 18 18 18 Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 7 / 85 Câu 123: (Đề minh họa L1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) C ( 2;1; −1) , D ( 3;1; ) Hỏi có tất mặt phẳng cách bốn điểm đó? A B C D Vơ số Lời giải Chọn C AB = ( −1;1;1) , AC = (1;3; −1) , AD = ( 2;3; ) AB, AC = ( −4;0; −4 ) AB, AC AD , suy bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Xét mp(P) hai điểm M, N khơng nằm (P), ta có: (P) cách hai điểm M, N (P) song song với MN (P) qua trung điểm đoạn MN Vậy có mặt phẳng cách điểm A, B, C, D, có mặt phẳng mà mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh chung đỉnh mặt phẳng mà mặt phẳng song song với hai cạnh đối diện qua trung điểm bốn cạnh lại Chọn C Câu 124: (Đề minh họa L1 )Cho Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0; 2) đường thẳng d có phương trình: x −1 y +1 Viết phương trình đường thẳng = = 1 qua A , vng góc cắt d x −1 y − x −1 y z − A : B : = = = = 1 1 −1 x −1 y − x −1 y z − C : D : = = = = 1 1 −3 Lời giải Chọn B Gọi B d Ta có AB.ud Đường thẳng tọa độ B t t t 1; t ; 2t , AB t ; t ; 2t 2t t B 2;1; qua A 1;0; , vecto phương AB 1;1; Suy phương trình đường thẳng : x −1 y z − = = −1 1 Câu 125: (Đề thử nghiệm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;3;1 AM BM AM D = BM B 5;6; Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz điểm M Tính tỉ số A AM = BM B AM = BM AM = BM Lời giải C Chọn A Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 8/ 85 A H2 H1 (Oxz) M B Mặt phẳng Oxz có phương trình y Ta có AM d ( A, ( Oxz ) ) = = = BM d ( B, ( Oxz ) ) Câu 126: (Đề thử nghiệm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng x−2 y z x y −1 z − = = d : = = ( P ) song song cách hai đường thẳng d1 : −1 −1 −1 1 A 2x − 2z + = B y − z + = C x − y + = D y − z − = Lời giải Chọn B u = ( −1;1;1) , v = ( 2; −1; −1) véc tơ phương d1 , d u, v = ( 0;1; −1) A ( 2;0;0 ) d1 , B ( 0;1; ) d2 AB = ( −2;1; ) u, v AB d1 , d2 chéo suy có mặt phẳng ( P ) song song cách d1 , d2 ( P ) qua trung điểm I 1; ;1 đoạn AB nhận u, v = ( 0;1; −1) làm VTPT Vậy ( P ) : y − z + = Chọn B Câu 127: (Tạp chí THTT Lần 5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2; −1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O ( 0;0;0) cách M khoảng lớn A x + y − z = B x y z + + = 1 −1 C x − y − z = D x + y + z − = Lời giải Chọn A M O H P Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 9/ 85 Gọi (P) mặt phẳng qua O, H hình chiếu M (P) Khi d ( M , ( P ) ) = MH Ta có MH OM MH lớn MH = OM H O OM ⊥ ( P ) Vây ( ) mặt phẳng qua O có VTPT OM = (1; 2; −1) ( ) : x + y − z = Chọn A Câu 128: (THPT Hai Bà Trưng Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;0; −2) , B (3; −1; −4 ) , C ( −2;2;0 ) Tìm điểm D mặt phẳng ( Oyz ) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( Oxy ) Khi có tọa độ điểm D thỏa mãn toán là: A D ( 0;3; −1) B D ( 0; −3; −1) C D ( 0;1; −1) D D ( 0;2; −1) Lời giải Chọn A Vì D ( Oyz ) nên D ( 0; y; z ) , z Do d ( D, ( Oxy ) ) = nên z = z = −1 D ( 0; y; −1) Ta có AB = (1; −1; −2 ) , AC = ( −4; 2; ) AB, AC = ( 2;6; −2 ) ; AD = ( −2; y;1) VABCD = 1 AB, AC AD = y − = y − 6 D ( 0;3; −1) y = Theo giả thiết VABCD = y − = y = −1 D ( 0; −1; −1) Câu 129: (THPT Hai Bà Trưng Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H (1;2;3) Mặt phẳng ( P ) qua điểm H , cắt Ox, Oy, Oz A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( P ) A ( P ) : 3x + y + z −11 = B ( P ) : x + y + 2z −13 = D C ( P ) : 3x + y + z −10 = ( P ) : x + y + 3z −14 = Lời giải Chọn D Do OABC tam diện vuông H trực tâm tam giác ABC nên OH ⊥ ( ABC ) Suy ( P ) điểm H (1;2;3) có véc tơ pháp tuyến OH = (1; 2;3) nên ( P ) có phương trình 1( x −1) + ( y − 2) + ( z − 3) = Hay x + y + 3z − 14 = Câu 130: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0;0;4) , điểm M nằm mặt phẳng ( Oxy ) M O Gọi D hình chiếu vng góc O lên AM E trung điểm OM Biết đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu cố định Tính bán kính mặt cầu Nguyễn Hồng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chun đề: Cực trị hình giải tích A R = T n g 80/ 85 B R = C R = D R = Lời giải Chọn A Ta có ODM vng D có DE trung tuyến nên OED cân E , suy EOD = EDO (1) Gọi I trung điểm OA , ta có ODA vng D có DI trung tuyến nên ODA cân I , suy IOD = IDO ( 2) (2) ta có: EDI = EDO + IDO = EOD + IOD = IOE = 900 hay OA ED ⊥ DI = = Vậy đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính OA R= = 2 Từ (1) Câu 131: Cho điểm A(0;8; 2) mặt cầu ( S ) có phương trình ( S ) : ( x − 5) + ( y + 3) + ( z − 7) = 72 điểm B(9; −7; 23) Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A tiếp xúc với ( S ) cho khoảng cách từ B đến ( P) lớn Giả sử n = (1; m; n) vectơ pháp tuyến ( P) Lúc A m.n = B m.n = −2 C m.n = D m.n = −4 Lời giải Chọn D Gọi phương trình mặt phẳng (P) là: x + my + nz + d = Vì A( P) ( P) Do Ta có: nên ta 8m + 2n + d = d = −8m − 2n ( P ) : x + my + nz − ( 8m + 2n ) = ( S ) nên tiếp xúc với mặt cầu d ( B; ( P ) ) = d ( I ; ( P )) = R − m + 23n − 8m − 2n + m2 + n2 = − 11m + 5n + m2 + n2 =6 ( − 11m + 5n ) + (1 − m + 4n ) + m2 + n2 Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích d ( B; ( P ) ) T n g 81/ 85 − 11m + 5n 1+ m + n 2 +4 − m + 4n 1+ m + n d ( B; ( P ) ) + (1 + + 16 ) (1 + m2 + n ) Cosi − Svac d ( B; ( P ) ) + + m2 + n2 − m + 4n + m2 + n2 d ( B; ( P ) ) 18 n m = −1 1 = − m = n = − 11m + 5n d = =6 + m + n Dấu “=” xảy Câu 132: Trong không gian cho đường thẳng : x − y z +1 = = đường thẳng x + y −1 z + Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua tạo với đường thẳng = = d góc lớn d: A 19 x − 17 y − 20 z − 77 = B 19 x − 17 y − 20 z + 34 = C 31x − y − z + 91 = D 31x − y − z − 98 = Lời giải Chọn D Cách 1: ( P ) : ax + by + cz + d = 3a − c + d = a = −2a − 3c chứa nên ( P ) qua A ( 3;0; −1) nP ⊥ u a + 2b + 3c = d = c − 3a = 10c − 6b 5b + 7c sin ( d , ( P ) ) = 5b + 10c + 2bc 14 ( P) Nếu c = sin ( d , ( P ) ) = Nếu c sin ( d , ( P ) ) = 14 b +7 c b b + 10 + 12 14 c c 25t + 70t + 49 10t − = 5+ = g (t ) Xét hàm số f ( t ) = 5t + 12t + 10 5t + 12t + 10 g '(t ) = −50t + 10t + 112 ( 5t + 12t + 10 ) t = =0 t = − 75 t= 14 Chọn b = 8, c = a = −31; d = 98 Vậy Chọn D maxg ( t ) = Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 82/ 85 Câu 133: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) :( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = mặt phẳng ( P ) : 2x − y + z + = Gọi M ( a; b; c ) điểm mặt cầu ( S ) đến ( P ) lớn Khi A a + b + c = B a + b + c = cho khoảng cách từ M C a + b + c = D a + b + c = Lời giải Chọn C Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;2;3) , bán kính R = Ta có: ( ) d I ,( P) = R d M ,( P ) ( P ) cắt ( S ) Khi lớn M d qua I, vuông ( ) x = + 2t góc với ( P ) cắt mặt cầu điểm M , M PTĐT d : y = − 2t z = + t d cắt ( S ) M1 , M nên tọa độ M , M nghiệm hệ x = + 2t t = y = − 2t z = + t t = −1 2 ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Với t = M ( 3;0; ) d ( M , ( P ) ) = 13 Với t = −1 M ( −1; 4; ) d ( M , ( P ) ) = Vậy khoảng cách từ M đến ( P ) lớn 13 M ( 3;0;4) a + b + c = Câu 134: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x −1 y z + = = mặt cầu ( S ) −1 −1 tâm I có phương trình: ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 18 Đường thẳng d cắt ( S ) 2 2 điểm A, B Tính diện tích tam giác IAB A 11 B 16 11 11 Lời giải C D 11 Chọn A x = 1− t Phương trình tham số đường thẳng d : y = 2t z = −3 − t Đường thẳng d cắt (S ) điểm A, B Khi tọa độ A, B ứng với t nghiệm Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 83/ 85 t = −1 phương trình: (1 − t − 1) + ( 2t − ) + ( −3 − t + 1) = 18 t = 2 Với t = −1 A ( 2; −2; −2) Với t = 10 14 B− ; ;− 3 3 Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;2; −1) Khi S IAB = 11 IA, IB = 2 Câu 135: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( ABD) ( BCD ) A B C D Lời giải Chọn D Ta có ( ABD) / / ( BCD ) d ( ( AB ' D ') , ( BC ' D ) ) = d ( A, ( BC ' D ) ) Gắn hệ trục tọa độ ( Axyz ) , A ( 0;0;0) , B ( 2;0;0 ) , D ( 0;2;0 ) , C ' ( 2;2;2 ) Mặt phẳng ( BCD ) qua B ( 2;0;0) có vtpt n = BC ', BD = ( −4; −4;4) pt ( BCD ) : −4( x − 2) − y + z = x + y − z − = d ( A, ( BC ' D ) ) = Câu 136: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2;0; −2) , B (3; −1; −4 ) , C ( −2;2;0 ) Điểm D mặt phẳng ( Oyz ) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( Oxy ) Khi có tọa độ điểm D thỏa mãn tốn Nguyễn Hồng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chun đề: Cực trị hình giải tích A D ( 0;3; −1) T n g 84 / 85 B D ( 0; −3; −1) C D ( 0;1; −1) D D ( 0;2; −1) Lời giải Chọn A D (Oyz ) D ( 0; y; z ) , z d ( D, (Oxy ) ) = z = z = −1 D ( 0; y; −1) Ta có AB, AC = ( 2;6; −2 ) , AD = (−2; y;1) VABCD = y = 1 AB, AC AD = −4 + y − = 6 y = −1 D ( 0;3; −1) D ( 0; −1; −1) Câu 137: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;11; −5) mặt phẳng ( P) : 2mx + (m2 + 1) y + (m2 − 1) z − 10 = Biết m thay đổi, tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) qua A Tìm tổng bán kính hai mặt cầu A 2 B C D 12 Lời giải Chọn D Gọi I ( x0 ; y0 ; z0 ) tâm mặt cầu Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có 2 2mx0 − z0 − 10 2mx0 + (m + 1) y0 + (m − 1) z0 − 10 d ( I ;( P)) = = y0 + z0 + = const với m +1 m2 + 2 2 x = x0 = m suy y0 − I (0; y0 ; −5) d ( I , ( P)) = −2 z0 − 10 = z0 = −5 Mặt khác mặt IA = d ( I ;( P)) + ( y0 − 11)2 = cầu y0 − qua A nên I (0;25; −5); I (0;9; −5) Với I (0; 25; −5) R = 10 Với I (0;9; −5) R = 2 Câu 138: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(5;5;0), B(1; 2;3), C (3;5; −1) mặt phẳng ( P) : x + y + z + = Tính thể tích V khối tứ diện S.ABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng ( P ) SA = SB = SC A V = 145 B V = 145 C V = 45 D V = 127 Lời giải Chọn A Vì SA = SB = SC nên hình chiếu đỉnh S xuống mặt phẳng đáy trùng với tâm đường Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688 Chuyên đề: Cực trị hình giải tích T n g 85/ 85 trịn ngoại tiếp tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( ABC ) : 3x −10 y − z + 35 = Phương trình mặt phẳng trung trực cạnh AB : x + y − 3z − 18 = Phương trình mặt phẳng trung trực cạnh AC : x + z − 15 =0 3 Suy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I 3; ; 2 Phương trình đường thẳng x = + 3t SI : y = − 10t , z = − 6t điểm S thuộc mặt phẳng 14 ( P) t = S 6; − ; − SI = 145 2 AB = 34, BC = 29, AC = SABC = 145 145 Vậy V = SI S ABC = Nguyễn Hoàng Việt - Website: http://luyenthitracnghiem.vn 0905193688