(SKKN 2022) tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY Người thực hiện: Hồ Trung Sơn Chức vụ: Hiệu trưởng SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2022 MỤC LỤC Nội dung Trang …………………………………………………………… 20 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Xuất phát từ tốn thực tế, tốn cực trị mơ hình đơn giản tốn kinh tế sống Với tinh thần đổi giáo dục nhằm phát huy tính chủ động, sáng tạo q trình tiếp thu kiến thức học sinh, mặt khác, toán cực trị đưa vào thường xuyên đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông đề thi học sinh giỏi, đề thi đánh giá lực, đánh giá tư trường Đại học tổ chức Điều đặt cho q trình giảng dạy mơn Tốn học cần phải ý rèn luyện cho học sinh dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi thực tiễn đưa giáo dục nói chung Tốn học nói riêng gần với sống Với lý với mong muốn nâng cao chất lượng giảng, chất lượng trình giáo dục, tơi mạnh dạn đua sáng kiến “Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, đối tượng nghiên cứu đề tài là: Các phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận phương pháp giảng dạy mơn tốn học tập trung vào phương pháp sau: -Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài -Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung Thể tích khối đa diện -Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học -Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung a a2 S∆OAB = ab = = f ( a) ; 2a − Ta khảo sát hàm số f / ( a) = 2a ( 2a − ) − 2a ( 2a − ) a = f / ( a) = ⇔   a = = miền a>2 2a − 8a ( 2a − ) ( l) ( t / m) a2 lim f ( a ) = lim = +∞ a→2 a → 2a − + Lại có: f ( a) ( a > 2) + a2 = +∞ a →+∞ 2a − lim f ( a ) = lim a →+∞ Lập bảng biến thiên ta có: a +∞ 12 f / ( a) − + +∞ +∞ f ( a) f ( 4) Suy ra: Với f ( a ) = f ( ) = a>2 a =4⇒b=2 Vậy giá trị cần tìm là: a = 4;  b = Bình luận: Lời giải phức tạp, nhiên việc sử dụng đạo hàm vào toán cực trị cần ý cơng cụ mạnh chương trình tốn phổ thơng mà học sinh cần trang bị thành thạo b) Lời giải Gọi H chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng OAB ta có: 1 1 + = ≥ = 2 OA OB OH OM Tức OM ⊥ AB số Dấu xảy M ≡H Vậy ta có hệ phương trình: uuu r uuuu r −2a + b =   AB.OM =  a = ; ⇔ 2 ⇔  + = M ∈ ∆   a b b = 13 Vậy giá trị cần tìm là:  a = ;  b = Bình luận: Trong câu b) ta sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu nhỏ độ dài đường xiên Giống câu a) ta lại có câu hỏi: Cịn lời giải khác khơng? Và học sinh có hứng thú định em trở thành nhà thám hiểm thực kho tàng kiến thức! Để ý thấy: 1 1 1 + = ÷ + ÷ 2 OA OB a b gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki? Do gợi ý cho ta lời giải thứ sau: b) Lời giải M ∈∆ ⇒ Theo + =1 a b Xét: 1   1  + ÷ ≤ ( + 1)  + ÷ b  a a b  ⇔ 1 + ≥ a2 b2 ( Bunhiacopxki ) Dấu xảy Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình: Vậy giá trị cần tìm là: 2a = b b = 2a   a = ; ⇔ 2 + =1   b = a b  a = ;  b = 14 Bình luận: Thật gọn, đẹp! Cịn có cách giải khác không? Đối với câu c) Giáo viên tránh cho học sinh sai lầm sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời giải câu c) sau: c) Lời giải Ta có OA + OB = a + b ≥ ab ; 1= Mặt khác Từ suy ra: đánh giá ( 3) ; ( ) ( 3) (Theo bất đẳng thức AM-GM) 2 + ≥2 ⇔ ab ≥ 8; a b ab OA + OB ≥ = ( 4) (Theo bất đẳng thức AM-GM) Dấu xảy hai xảy dấu Điều tương đương với a = b;  2 1  a = b = Dễ nhận thấy hệ vô nghiệm Như lời giải sai! c) Lời giải Ta có OA + OB = a + b Mặt khác Do a + =1⇒ b = a b a−2 a > 0; b > ⇒ a > Ta a a2 − a OA + OB = a + = = f ( a) a−2 a−2 Ta khảo sát hàm số f ( a) với a>2 15 f / ( a) = Ta có ( 2a − 1) ( a − ) − a + a = a − 4a + 2 ( a − 2) ( a − 2) f / ( a) = ⇔ a − 4a + = a = − ( l ) ; ⇔  a = + ( t / m ) Lại có a2 − a lim f ( a ) = lim = +∞ a → +∞ a → +∞ a − a2 − a lim f ( a ) = lim = +∞ a−2 + + a→2 a→2 Ta có bảng biến thiên a f / ( a) f ( a) 2+ 2 - +∞ + +∞ +∞ 3+ 2 Từ ta có kết luận: a = + 2; ( OA + OB ) = + 2  b = + Củng cố thuật toán em học sinh làm thêm số tập sau: Bài 16 Trong mặt phẳng toạ độ A ( −1;3) Oxy , viết phương trình đường thẳng cắt trục Ox, Oy M, N cho ∆ qua điểm + OM ON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2;5) , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm M, N khác gốc toạ độ cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm M ( 3;2 ) cho , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm A; B khác gốc toạ độ OA + 2OB đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Bài toán góc sút khung thành Cho hai điểm A, B nằm phía so với đường thẳng thẳng ∆ ∆ Tìm đường điểm M cho M nhìn xuống A, B góc lớn nhất? Nhận xét: Bài số lý thú, gây hứng thú tị mị cho người làm tốn Dễ nhận thấy vài trường hợp đặc biệt ∆ Ntiếp tuyến ∆ đường trịn đường kính AB điểm M cần tìm tiếp điểm Vậy trường hợp cịn lại ta xử lý nào? I Dựng đường tròn qua A, B tiếp xúc với ∆ M Ký hiệu đường trịn (C) M A B Hình 17 Xét điểm N ∆ khác M Gọi I giao (C) NB (Hình 2) Ta có ¼ AMB = ¼ AIB (cùng chắn cung AB) Mặt khác: ¼ ¼ =¼ ANB + NAI AIB = ¼ AMB ⇒¼ AMB > ¼ ANB ∀N ≠ M Vậy M điểm cần tìm 2.3.2 Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hình giải tích Bài 10 (Trích đề thi chọn HSG - lớp 11 Thành phố Hà Nội năm học 20082009) [6] Cho x + y − x − y + 12 = Tìm: Max biểu thức A = x2 + y2 Lời giải Nhận xét: điều kiện đầu thoả mãn phương trình đường trịn: ( C1 ) : ( x − ) Gọi đường tròn A0 + ( y − 3) = có tâm I1 ( 2;3) ; R1 = giá trị biểu thức Dễ nhận thấy ( C2 ) : x + y = A0 có tâm I ( 0;0 ) ; R2 = A0 A0 > Do ta 18 Vì A0 giá trị biểu thức điều tương đương với ( C1 ) & ( C2 ) phải có điểm chung (*) (*)  I1I = R1 + R2   I1I = R1 − R2  ⇔  R1 − R2 < I1I < R1 + R2 ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ; I1 I = R1 + R2 ⇔ 13 = + A0 ⇔ A0 = ( ) 13 − = 14 − 13 ; ( ) ; I1 I = R1 − R2 ⇔ 13 = A0 −  A0 = 14 + 13 ⇔  A0 = 14 − 13 ( 3) ; R1 − R2 < I1 I < R1 + R2 ⇔ A0 − < 13 < A0 +  A0 > 14 − 13  ⇔  A0 < 14 + 13   A0 > − 13 ⇔ 14 − 13 < A0 < 14 + 13 So sánh kết (1); (2) (3) ta có MaxA = 14 + 13 Bình luận: Như ta sử dụng phương pháp hình học giải tích để tìm Max biểu thức A nhờ nhận xét điều kiện đầu Sẽ tương đối khó khăn tìm phương pháp khác cho số 10! Với 10 ta khái qt hố thành tập sau: 19 Bài 11 Cho x; y thoả mãn điều kiện P Trong P biến đổi phương trình đường trịn thức Q biểu thức đường trịn ( C2 ) Q ( C1 ) u cầu tìm min, max biểu biến đổi đưa phương trình Quay lại Bài 10 ta nhận thấy biểu thức A biến đổi nhờ điều kiện đầu Thực vậy: Từ giả thiết ta có Như gọi đường thẳng tâm A0 A = x + y = x + y − 12 giá trị biểu thức A Điều chứng tỏ ∆ : x + y − 12 − A0 = I1 ( 2;3) ; R1 = đường tròn ( C1 ) : ( x − ) + ( y − 3) = có phải có điểm chung (**) ( **) ⇔ d ( I1 , ∆ ) ≤ ⇔ + 18 − 12 − A0 ≤1 16 + 36 ⇔ 14 − A0 ≤ 52 ⇔ − 52 ≤ 14 − A0 ≤ 52 ⇔ 14 − 13 ≤ A0 ≤ 14 + 13 Vậy Max A = 14 + 13 Bình luận: Với việc đưa biểu thức A dạng phương trình đường thẳng ta phải xử lý trường hợp so với việc đưa biểu thức A phương trình đường tròn 20 Bài tập vận dụng Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức điều kiện: A = 2x − y − với x y + =1 ( C ) : x + ( y + 1) = & A ( 2; −3) ; B ( 1;3) Bài 13 Cho đường tròn: Tìm điểm H đường trịn (C) cho tam giác HAB có diện tích lớn nhất, nhỏ ( C ) : x + y − x + y − = 0; & M ( 5; −3) Bài 14 Cho đường tròn: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn I tâm đường tròn (C) Bài 15 Cho đường thẳng: cho uuur uuur MA + MB ∆ : x + y + = & A ( 2;3) ; B ( −4;1) Tìm M ∈∆ có độ dài ngắn (Đ/s: M(-2;1)) MA2 + 3MB đạt giá trị nhỏ (Đ/s:  11  M  ;− ÷ 5  ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến thực từ năm học 2019-2020 tiếp tục bổ sung, hoàn thiện vào năm học 2021- 2022 Để đánh giá kết đề tài thực cho học sinh làm dạng chuyên đề trước sau giảng dạy kết thu khả quan Trước giảng dạy có số em làm sau giảng dạy chuyên đề đa số em định hình phương pháp làm thực thành thạo Sau kết kiểm nghiệm: Năm học 2021-2022 KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A Điểm → 10 21 Số lượng trước điểm áp 20 1 15 0 dụng sáng kiến Số lượng điểm sau áp dụng sáng kiến Như nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh hiểu vận dụng thực tốn cực trị hình giải tích (Oxy) Điều chứng tỏ sáng kiến: “Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh Sáng kiến kinh nghiệm giáo viên tổ đánh giá cao đồng nghiệp hưởng ứng áp dụng phạm vi tổ Qua đóng góp phần nho nhỏ vào công tác nâng cao hiệu giáo dục trường THPT Tĩnh Gia 3 Kết luận Chuyên đề có giá trị thực tiễn cơng tác giảng dạy học tập học sinh giáo viên Phù hợp với khả nhận thức tiếp thu học sinh Chuyên đề mở rộng tốn cực trị khơng gian Do trình độ nên chun đề cịn số khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để chuyên đề có giá trị cao Xin trân trọng cảm ơn! 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo Đại số 10 Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 [2] Trần Văn Hạo Giải tích 12 Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 [3] Trần Phương Những viên kim cương bất đẳng thức toán học Hà Nội: Nhà xuất Tri thức, 2009 [4] Trần Văn Hạo Hình học 10 Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 23 [5] Trần Văn Hạo Hình học 12 Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 [6] Đề thi chọn HSG - lớp 11 Thành phố Hà Nội năm học 2008-2009 24 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 05 tháng 05 năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hồ Trung Sơn 25 ... kê đa số học sinh hiểu vận dụng thực tốn cực trị hình giải tích (Oxy) Điều chứng tỏ sáng kiến: ? ?Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy? ?? nâng cao hiệu học tập mơn tốn cho học sinh... dạy học tập phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích cịn gặp số khó khăn Trước áp dụng đề tài khảo sát lớp mà giảng dạy dạng tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy, tác giả thấy học. .. phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, đối tượng nghiên cứu đề tài là: Các phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích 1.4