138 bai toan cuc tri hinh hoc giai tich khong gian oxyz van dung cao

Trang 1

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Fvang 1/85

Cau 1:

Cau 2:

Cau 3:

Cho đường thing A: == - — và hai điểm A(0;—1;3), 8(;-2;1).Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng A sao cho Ä⁄A” + 2⁄8” đạt giá trị nhỏ nhất

A M(;0;—2) B M(3:1:—3) C M(l-l-D D MG:2;-4)

Lời giải

Ta cOM €A=>M (1+2r;t;-2—-1)nén ta c6 MA? = (-1-2r) +(-1-1) +(541) = 617 +1614 27;

MB? = (-2r) +(-2-1) +(34+1) =6r?+10r+13

Suy ra MA? + 2MB? = 18 + 36r+53 =18(t? +2r+1)+35 =18(¢+1) +35 > 35 nén MA’ +2MB" dat giá trị nhỏ nhat khit =—Isuy raM (-1;-1;-1)

y-l_ z+2

1 —2

M (a;b;c) thuéc đường thẳng A sao cho MA” + MB? +2MC? đạt giá trị nhỏ nhất Khi đĩ, tổng

Cho đường thắng A : T = và ba điểm A(1;3;-2), B(0;4;—5), Cq;2;-4).Biết điểm

a+b+c bằng bao nhiêu?

A 0 B -1 C 3 D 4 Lời giải Chọn B Ta cĩMceA=M(l+#-2-2)nên ta cĩM4?=(I-?} +(2-?) +(22} =6?-6t+5; MB? =(-t) +(3-t) +(-3+2r)° =6r? -187+18 MC? =(1-t) +(1-t) +(-242r) = 60? -12+6 > 2MC? = 129? — 24: +12 Suy ra MA? + MB? + 2MB? = 2417 — 481 +35 = 24(¢ —2r+1)+11 =24(¢-1) +112 11nén

MA” + MB’ +2MC? dat gia tri nho nhat khit =1suy raM (1;2;-4) néna =1;b = 2;c =-3 Khi đĩ

a+b+c=-l

A : re A A ` Mi —] ` 7A

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho duwong thang A::==r=—— và hai điểm A(-1L-1;6), 8(2;-1;0) Biết điểm M thuộc đường thang A sao cho biểu thức MA? +3”

đạt giá trị nhỏ nhất là 7 Khi đĩ, 7, bằng bao nhiêu?

A Tay =~: 2 B Ty, =25 CT, == 2

Loi giai

Duong thang A di qua diém M,(0;0;1)va cd véc to chi phuong u=(2;-1;-1) nén cd

Trang 2

Cau 4:

Cau 5:

x= 2í

phương trình tham số: {y= -r (ieR)

z=l-t

Vì M thuộc đường thắng A nên M (2t;-t;1-1)

Ta cĩ MA” +3MB? =(2+1) +(r—1} +(r+5) +3| (=2) +(1-1) +(r-1)' | = 24” - 24t +45 = sa 4+)

= 6| (2r-1) +3 =6(2r-1) +39>39,VreR

Vay min (MA? + 3MB? )= 39 eas hay a(t = +}

Cho đường thắng dị—==‡ và A(I;-I;0), 8(0;-1;2),C(-I;1;0) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thăng đ sao cho [MA + 2MB —MC| đạt giá trị nhỏ nhất

1 5 =;-~] s3] D M(2;-1;-4) (2:-1:-4) C9 |9 Lời giải C M[-ễi Chọn A Gọi M cĩ tọa độ là: M(1—?;í;—2+?) Ta cĩ: MA =((;—t—l;2—?),2MB = (2¡— 2;~2t—2;8— 2t), MC = (t—2;1—t;2—t) Do dé: MA+2MB-MC = (21;-2t-4;8-21) —— — ———\|2

Suy ra: |MA + 2MB ~ MC| = 4” +(2r+ 4) +(2¡~8)” =12” -lốr+80> ST”,

= |MA+2MB - MC|> —

Ww , 2 12 4

Dau "=" xay ra @f=— hay M/|—-;-;-~ |}

3 33 3

` z x y+tl z-l., _- CA gen?

Cho đường thăng Aree va hai diém A(:0;1), B(-I;1;2) Biết điểm M (a;b;c)

thuộc A sao cho |MA- 3MB| đạt giá trị nhỏ nhất Khi đĩ, tống ø+2b+4c bằng bao nhiêu?

A 0 B -1 C 1, D 2

Lời giải

Chọn D

Trang 3

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Fvang 3/85 Cau 6: Cau 7: DoM €A> M(2t;-14t;1-1) MA =(I—2f;1—f:f) MB =(—1—2f;2—f:1+f) 3MB = (-3-6t;6 —31;3 +31) MA—3MB = (44 4t;-5 + 2t;-3—21) |MA—3ME| = 124” +24 +50 =, la +) +44 >44 —— ———> rd 2 nw È ° 1

|MA—3M5| đạt giá trị nhỏ nhất băng 44 khi ; = =

Khi đĩ điểm 1 cĩ tọa độ là M(-l:— :2) Và a+2b+4e=~I~3+6=2

Cho đường thẳng A: — = — -&12

M thuộc đường thằng A sao cho MA? ~ MB? +4MC” đạt giá trị nhỏ nhất

1 1

xuaoo — WEEE co wean v.a(-tebe)

Loi giai

DoM €A>M(-14+6;1-1;-2+21)

va A(1;1;0), B(3;-1;4), C(—1;0;1) Tim toa dd diém

MA =(2—t:f;2—2f) MB =(4—t;—2+r;6—2f) MC =(-t;-1+t;3—21) MA” - MB” +4MC” =(2—t)ˆ + +(2—20)ˆ =4[(4-£)”+œ—2)” +(6—2#)”]+[f +—D”+(3—2Ø)”] = 6” —12t£ +8— (6ˆ —36r +56) + 4(67ˆ —14 +10) 7 = 247 -321-8 = 240-2)? -2 2-2 3 9 9

MA” -MB” +4MC” đạt giá trị nhỏ nhất bằng “2 khi + ==

x 11 2 Suy ra điễm M(—~;~;—< y C3373)

Cho đường thẳng A: x11 _2 1 _ st 2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng A sao cho 8 8 1 1 2 8 8 [MA +MB-3MC đạt giá trị nhỏ nhất với A(2:1;-2).B(6;—1;1),C(1;1;—2)

A M 3.3.3 B M 1.12 D M(-1;1;-2)

22 3 3 3

Lời giải

Goi / 1a diém thoa man JA+IB-3IC =0 => I(-5;3;-5)

Trang 4

Cau 8:

Cau 9:

Ta co: P.=|MA+ MB~3MC|=|MI + IA+ MI + IR~3MI — 3IC|=|MI|= IM

MeA>=>M(-1+t;1—t;—2+2£)

—= IM =4|Œ+4)?+(T~t—2)?+(2¡+3)? =A|6? +24r+ 29 = 26ứ +2)? + 5 > A5

Do đĩ P„ =5 khi t=-2=> M(-3;3;-6)

\ u — ] 1 ` nr on, on A

Cho đường thăng A: T = — = — va hai diém A(1;0;-1), B(2;1;-1) Biét diém M thuộc

đường thắng A sao cho 7 =|MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhat 1a T.,, Khi dé, T.,, bang bao

nhiéu?

A Ty =4 BTa-3 OV ov 1,-Ve

Loi giai

` on 2 ~ se — - 5 2

Goi / là điểm thỏa mãn JA+2/B=0=>1 a1

Ta cĩ: P.=|MA+ 2MB| =|[MI + IA+ 2MI + 21B = |3MI|= 3.IM

MeA>M(: l—f; —1+1)

oim=fo-3) + l{¬ tà] + Ta“

Do đĩ: P„ =AÍ14 4 khi r= =

Nhận xét: Ở Câu 7,8 này, ta cĩ thể giải trực tiếp khi biểu diễn điểm M theo tham sé t ma khơng cần tìm tâm tỉ cự của hệ điểm như

Lời giải trên

Cho mặt phẳng (@):x+2y+2z+9=0 va ba điểm A(;2;0), 8(2;0;—1), CG;1;1) Tìm tọa độ

điểm M e(ø) sao cho 2MA” + 3MB” —4MC” đạt giá trị nhỏ nhất

A M(;-2;~3) B M(-3:1;-4) C M(-3;2;-5) D M(1:—3;—2) Lời giải

Giả sử /(%¿;yạ;z„) là điểm thỏa mãn: 2IA+3IB—4IC =0 (1) 2(1-x,)+3(2—x,)—-4(3-x,) =0 -x,-4=0 x.=-4 2( 2= y;)+3(—y;)—=4(I-y;)=0 ©$—w =0 ©$y»;¿=0 =1(-40;-7) 0 2(-z))+3(-1-z)-4(I1-z)=0 = [-%-7=90 [4 =-7 (1) © Ta cĩ: 2MA?+3MB?—4MC? =2MA +3MB —4MC —> —2 — —2 — —x2

=2(Mĩ +1A) +3( Mĩ +15) -4(MI + IC)

Trang 5

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Feang 5/85

Cau 10:

=2(Mi° +2.MiJA+ IA’ )+3(MIP +2.M1IB-+1B )-4(Mi +2.MLIC+1C }

= MI? +21A” +31B? ~4IC° + 2MI.(21A + 3IB— 41C}

= MI? + 21A? + 31B? — 4IC” + 2MI.0

= M]” +2IAˆ +31B° -4IC?

Khi đĩ, để 2MA? +3MB?T~4MC? đạt giá trị nhỏ nhất thì #⁄/ cĩ độ dài ngắn nhất Mà M e(#z)— M là hình chiếu vuơng gĩc của ï lên (z)

Gọi đ là đường thẳng qua / và vuơng gĩc (z) => đ cĩ 1 VTCP u =(1;2;2)

x=-4+í

Phương trình đường thẳng đ: 4 y=2/

4=-1/+2I

=Giả sử tọa độ điểm M (—4+r;2/;~7+2/)

Do XM e(#)= (—4+£)+2.2:+2(—7+2r)+9=0 ©9/—9=0<>r=l

= M (-3;2;-5)

Cho đường thang A: — = — -&12

sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất

A M(-1;1;-2) B M tly C M 3.3.4

2 2 22

Lời giải A: — - — - — cĩ 1 VTCP z(1;-1;2)

A(:1;0), B@;—1;4)= AB(2;~2;4)

va A(1;1;0), B(3;-1;4) Tim toa dd diém M thuộc A

Ta cĩ: AB(: -2;4) cùng phương với u(1;—1; 2) va A(1;1;0)¢A (do " z Pt)

= AB// A= AB va A dong phang

A B

A'

Trang 6

Cau 11:

* Xét mặt phẳng chtra AB va A:

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua A; (z) là mặt phẳng qua A, vuéng géc voi A Khi đĩ, giao điểm H cua A với (øz) là trung điểm của AA’

(z) cĩ 1 VTPT n{(1;—l; 2), di qua A(1;1;0), cd phương trình:

1(x-1)-1(y-1)+2(z-0) =0<>x-y+2z=0

Am

He(ø)=(_-I+:)-(I-?)+2(_-2+2?)=0>ø~6=0<>r=1 => H(0;0;0)

= Giả sử H(T—l+/;1—r;-2+2r)

2Xu =xX;,+%ự„ 2.0=l+x„ x„=-I

H là trung điểm của AA' >42y„ =y„+y„ ©42.0=l+y„ ©+4y„=—l= A(-1;-l;0)

224 = 24 tly 2.0=0+ Z, Z„ =0

Ta cĩ: MA+MB= MA'+MB> AB >(MA+ MB) =A'B khi và chỉ khi M trùng với Mẹ là

giao diém cua A’B va A

x=-l+ứf

A'B=(4:0:4)— A'B cĩ 1 VICP (1,031) va di qua A'(-L-10), cĩ phương trình: + y=—I

z=f x=-l*+í Mà A:4 y=l—í Z=-2+2/ -l+/=-l+f |f=f _ f=

Giải hệ phương trinh: ,1—r=—1 ©4/=2 =| 2

-2+2r=r' -2+2¡=r" 7

=> M, (1;-1;2)

Vậy, để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất thì M (1;—1;2)

Cho đường thẳng AT TỐ và hai điểm A(:I:-2), 8-1;0;—D Biết điểm M

thuộc A sao cho biểu thức 7 = MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất là 7;.„ Khi đĩ tính 7,

1 1 1

T.,, =2 h-+ 7 = la.—— Tu = —

A - v3, B v3, C v3, TA Ứng,

Lời giải

Vì điểmM thuộc A nên ta cĩ M(—r; +1:—1) Lúc đĩ

T =MA+MB=,(t+1) +0°+(r+1) +4Jứ=DŸ+£+(+1Ÿ

=43/?+4t+2+l3/?+2

Trang 7

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích rang 7/85 2 2 2Ý (V2 i = 3) J) t+—} +) —] 4,4] fF v3 I | (2 ) 2 Đấu TT | ;-|-E]- cĩ7 =x3(ll|+||Ì>3|x+v| 2 2 Tứclà 7 > J3 (=| + v2, 2 =2 1+-E, 3 3 3 43

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi

A 1

Vay T.,, =2,j/l+— Toe 2B

+1 y-l z+2

Câu 12: Cho đường thẳng A:— ï

M(a;b;c) thuộc A sao cho biểu thức 7'= | MA — MB| đạt giá trị lớn nhat Khi do tong a—b+c

và hai điểm A(;1;0), B(-1;0;1) Biét diém

bang:

A 8 B 8+33 C Taos Dài SỐ,

Lời giải A qua C(-1;1;— 2), và cĩ vectơ chỉ phương = (1;—1;2)

AB=(-2:—1;l); AC =(-2:0;—2)

| AB;u |AC z0 nên 4ð; A khơng đồng phẳng

Vì điểm M thuộc A nên ta cĩ Ä(—1+r;l—;—2+2/),relR Lúc đĩ

\ứ—2ÿ +2 +(2x~2)) — (0 + (#1 + (2-3) | - Vor —12+8 —V6r I4 +10|, 1 7Ý 11 =1 +—-.lr l+— (+2 [i 4 +4 pate=[ rr) [1-21 ta 3 6` 6 itt sf Tuc la P< Vo đ (2-2) | P=|MA - MB| = P= 6 3 6

Trang 8

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Fvang 8/85 Cau 13: Cau 14: B

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi tl ¬-

_T Wi 6 6 :

Với ta cĩ nưgggggT

Cho đường thắng ATcT=ễ và hai điểm A(0:1;-3), B(_—1;0:2) Biết điểm M⁄ thuộc A

sao cho biểu thức 7 =|MA- MB| đạt giá trị lớn nhất là 7„ Khi đĩ, 7, bằng bao nhiêu?

At, <3 B7-Al G@TENS Dị

Loi giai

x=-t

Ta cĩ AB= (-1; —]; 5), phương trình đường thắng AB la, y=l1-t (teR)

z= -3+5t

r r Ae o~ ` r ⁄ 1 ] ]

Xét vị trí tương đối giữa AB và A tacĩ AB cắt A tại C 3135 ¬—¬ 1 1.5 —¬_ lang ` cA?

Suy ra AC = 322 => AC=> 4B = Cla trung điểm 4B

T =|MA- MB| < AB Dấu “=” xảy ra khi M = A hoặc M =B Do dé T.,, = AB=V27 =3N3

Cho mat phẳng (z):x+2y+2z+9=0 và ba điểm A(I;2;0), B(2;0;—1).C(:1;1) Tìm tọa độ điểm Mí c (z) sao cho 2MA” +3MB” —4MC” đạt giá trị nhỏ nhất

A M (1;-2;-3) B M(-3:1;-4)

CMR p.wụ-+2)

Chọn C

Ta đi tìm tọa độ điểm I(a;b;c) sao cho 2/A+3/B—4IC =0

Loi giai Ta cĩ

IA =(l-a; 2-—b; —c); IB=(2-a; —b; -1-c); IC = (3-a; 1—b; 1-c)

21A+3 IB-4 IC =(-4-a; -b; -7-c)=0>a=-4; b=0; c=-7 Suyra J (—4; QO; —7)e (ø)

KhidéT =2MA? +3MB? ~4MC? = 2(mA) + 3(MB) _ 4(MC)

Trang 9

Cau 15:

Cau 16:

2

anny 14T TD ah 2 2 2 2 A4arÍ¬ATrA Tp ne

=2(MI+IA) +3(MI+1B) —4(MI+IC) = MI +2IA? +31B? —4IC? + 2MI (2/A+31B—4IC) = MI” +21A^ +3IB” —4IC”

Do đĩ T7 nhỏ nhất khi Ä⁄! ngắn nhất, khi và chỉ khi là hình chiếu vuơng gĩc của 7 trên

mặt phẳng (ø)

Đường thẳng đ qua7 và vuơng gĩc với (œ)cĩ vectơ chỉ phương z =(l; 2; 2)

x=-4+í

Do đĩ phương trình của đ là{ y=2/ (cR)

Z=-7+2t x=—-4+t

as ˆ ~ nw Lajy=2

Khi đĩ tọa độ M thỏa mãn hệ 7+2; =¡=l= M(-3:2;—5)

z=-7+

x+2y+2z+9=0

Cho mặt phẳng (P):5x—y+z—2=0 và hai điểm A(0;—1;0),B(—2;1;—1) Biết điểm M

thuộc mặt phẳng (P) sao cho M⁄A”—2M” đạt giá trị lớn nhất Khi đĩ điểm M' cĩ hồnh độ x„ bằng bao nhiêu?

A x =1 B x, =2 C x, =-1 D x, =3

Chon A Loi giai

Gọi I là điểm thỏa mãn: JA-2/B = 0 = I(-4;3;—2)

Khi đĩ 7 = MA” -2MBˆ = —MI” + IA” -2.IB” —T, © MI „ © M là hình chiếu của I lên mặt

phẳng (P) Khi đĩ đường thẳng MI di qua /(-4;3;- 2) và vuơng gĩc với (P) nên nhận VTPT x=-4+5

n (5;—l;1) của (P) làm VTCP, phương trình là Jy=3-: (ŒeR#) Z=-2+í

Ta CĨ M =IM =¬(P)> Tọa độ M là nghiệm của hệ

x=-4+5¡ t=1

y=3-t x=l

<> => Mí (1;2;—L) => x,, =1

z=-2+f y=2

5x-y+z-2=0 Z=-l

Cho mặt phẳng (P):x+>y—3z+7=0 và ba điểm A(2;—1;0), 8(0;—1;2), C(2;3;—1) Biết điểm 4 (%x;; yạ;z¿) thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA” +3MB”—2MC” đạt giá trị nhỏ nhất Khi đĩ tổng 7 = xạ +3y„ —2z¿ bằng bao nhiêu?

A T=0 B T=-4 C.T=I, D T=-14

Loi giai

Trang 10

Cau 17:

Cau 18:

Gọi I là điểm thỏa mãn: JA +3/B—2IC =0 > I(-1;—5;4)

Khi đĩ 7 = MA” +3MB”—2MC” = 2MI” + IA” +3IB” —2IC* > T.,,, <> MI,,, <M la hinh chiéu

của I lên mặt phẳng (P) Khi đĩ đường thẳng MI đi qua /(-1;-5;4) và vuơng gĩc với (P)

x=-l+í

nên nhận VTIPT n (1; 1,-3) cua (P)lam VTCP, phuong trinh la , y=—-5+t (te R)

z=4-3t

Ta co M =IM (P)> Toa độ M là nghiệm của hệ

x=-l+f t=1

y=—S+t x=0

& => M(0;—4;1)—>7 =-14

z=4-3t y=-4

5x-y+z-2=0 z=l

Cho mặt phẳng (z):2x+6y-3z-1=0 và ba điểm A(I;-1;-5).8(0:1;2).C(2;3:—1) Biết

điểm # thuộc mặt phẳng (z) sao cho P= MA?+2MB?—2MC? đạt giá trị nhỏ nhất là P, Khi đĩ P bằng bao nhiêu?

A 16 B 17 C 18 D 19

Lời giải

Goi I(a;b;c) sao cho JA+2/B—2IC =0 = OI = OA+20B—20C

=> I (-3;-5;-3)

Ta cĩ P= MA? +2MB*-2MC? =(Mi+IA) +2(Mi + 1B) —2(Mi+IC)

= MI + IA? +21B? —21C? +2(1A+21B~21C) = MI?+1A?+21B? —21C2

Do IA? + 2B? —2IC? =36+70—93=13 khéng déi nén P,;

— I2.(—3)+6.(—5)—3(-3) - | 4 V44+364+9 n @ Main Va MI nin = 4 (1.(P)) Vay Poy =4413=17

Cho mat phang (a) :2x— y—3z+1=0 và ba diém A(I;1;-1), B(-3;1,0),C(-2;1;-1) Tim toa

độ điểm M « (a) sao cho |2MA+5MB -6MC| đạt giá trị nhỏ nhất

A M (0;1;0) B M(2;-12) € M(E0)) D M(-1;2;-1) Lời giải

Trang 11

Cau 19:

Cau 20:

Goi I(a;b;c) sao cho 2/A+5IB-6IC =0

= OI =20A+5O0B-60C

= 1(-1;1;4)

2A +5MB-6MC| = >(Mĩ +14)+5(Mĩ + 18)~6(Mi + rCÌ = MI

Nén |2MA +5MB-6MC| dat gid tri nho nh&t khi MI dat gid tri nho nhat khi va chi khi M 1a

hinh chiéu cua / trén (P) Do I ¢(P)>MI L(P) x=-14+2t =MI:;y=1-t =M(-I+2I-f;4-3) z=4-3t Mà M e(P)=2(—I+27)—(I—?)—3(4-3:)+1=0 ©r=1 => M (1;0;1)

Cho mat phang (P) tx— y—z—]=0 và hai điểm A(-531; 2), B(1; —2: 2) Trong tat ca cac diém

M thuộc mặt phẳng (P), điểm để |MA+ 2MB| đạt giá trị nhỏ nhất cĩ tung độ y„ là

A yy <1, B yy <2 C yy <0 D yy =

Loi giai

Gọi I là điểm thỏa mãn: JA+2/B =0 => I(-1;-1;2)

Khi dé 7 =|MA+2MB|=3MI =>T,,, <> MI, <M 1a hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)

Khi đĩ đường thẳng MI đi qua /(-1;-l;2) và vuơng gĩc với (P) nên nhận VTPT

x=-l+t

n (1:-1;-1) của (P)làm VLCP, phương trình là $ y=—l—/ ức Đ) z=2-t

Ta co M =IM =¬(P)> Tọa độ M là nghiệm của hệ

x=-Ïl+f t=1

y=-l-f x=0

<> 2? M(O—221)= yy =—2

x-y-z-1=0 z=l

Cho mặt phẳng (#z):2x+ y—3z—6=0 và hai điểm A(0;—1;1),8(1;-2;0) Biết điểm thuộc

mat phang (a) sao cho Pp =|2MA - MB| dat gid tri nho nhat la P,,, Khi dé P,,, bang bao

nhiéu?

A P.„ =2 B P„ =4 C P„=3 D P„ =421

Trang 12

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Frang 12/85

Câu 21:

Câu 22:

Lời giải

Gọi I là điểm thỏa mãn: 2IA—-IB=— I(-1;0;2)

Khi dé P =|2MA-MB|= MI = P,,, = MI,,, <M 1a hinh chiéu cua I lén mat phang (P) Khi

=40/ø)=-——-= 4

2° +1°+3°

Cho mat phang (a):x-y+2z-1=0 va hai diém A(0;-1;1).8(1:1;—-2) Biết e(œ) sao cho

MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Khi dd, hoanh d6 x,, cua diém M la

A sy =4 Bo xy =-1 Cy <2 D x, =2

Loi giai

Ta cĩ: (x¿—y„+2z4—1)(%;— yg +2zz—1)=(0+1+2.1-1)(I—1-4—1)<0 nên hai điểm A va đĩ P min

B nằm khác phía so với mặt phẳng (ø)

Nên MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M = ABo(ø) X=f

Phương trình đường thắng AB: +y=-l+2r, do đĩ tọa độ điểm M là nghiệm của hệ z=1-3t 2 a x=t 2 =-1+2r a — (2 31 phương trình > = 7 Do đĩ M[T:-Ÿ:g |, ay =F z=l-3/ y.Ặ3 7177 7° x-—y+2z-1=0 1 Z=- 7

Cho mặt phẳng (Z):x— y+z+1=0 và hai điểm A(1;1;0),B(3;-14) Goi M là điểm thuộc mặt phẳng (œ)sao cho P= MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất Khi đĩ giá trị của P là:

A P=5 B P=6 C P=7 D P=8

Loi giai

Chon B

Ta cĩ: (x¿— yạ +z„ +l)(Az— yg+zz+l)=(I-1+0+1)(3+1+4+1)>0 nên hai điểm A va B

cùng nằm về một phía của mặt phẳng (ø)

Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A lên mặt phẳng (ø)

Trang 13

Cau 23:

x=l+í Phương trình đường thắng AH:+y=l-t

zat 1 f=—— 3 x=l+í 2 =l~í <3

Do đĩ tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình » ©) ;

Z=Í => x-y+z+1l=0 3 1 £=—~ 3 Do đĩ H[:3:-3] 33 3 °: (1,5 2

Gọi A' đối xứng với A qua (#), suy ra A [sii2]:

Ta cĩ MA+ MB = MA +MIB>AB—>P=AB<=6

Cho mặt phẳng (z):z+>—3z—5=0 và hai điểm A(I;-1;2),B(-5,-1;0) Biết M (a;b;c)

thuộc mặt phẳng (a) sao cho MA+MB dat gia tri nhỏ nhất Khi đĩ, giá trị của biểu thức

T =a+2b+3c bằng bao nhiêu?

A.T=5 B T=-3 Cc T=-7 D T=-9

Loi giai

Chon C

Ta cĩ: (x¿+ y„—3z„T—5)(+; + yz—3z„—5)=(I—1—=3.2—5)(-5—1-3.0—5)>0 nên hai điểm A

và cùng nằm về một phía của mặt phẳng (ø)

Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A lên mặt phẳng (ø)

x=l+í Phương trình đường thắng AH:+y=-l|+í

z=2-3t

x=l+í t=1

rf A A? ` oA 2 A ` y = —] +f x = 2

Do đĩ tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình &

z=2-3t y=0

x+y-3z-5=0 z=-l

Do đĩ H(2;0;-1)

Goi A' đối xứng với A qua (a), suy ra A’(3;1;—4)

Ta cĩ MA + MB = MA'+ MB > A'B nên MA + MB nhỏ nhất khi M = A'B¬(ø)

Trang 14

x=3-4t

Phuong trình đường thắng AB:4y=l-t z=-4+3t

_- 11

x=3-4t 15

y=l-í eT"

Do đĩ tọa dé diém M 1a nghiém cua hé phuong trinh z=-4+3/ oi yet He

x+ y—3z-5=0 11 20 Z=-— 11 1 1 2 Do do M 5,1, 3 ,„ T=a+2b+3c=-—7 II II II

Cau 24: Cho A(11,0),B(3;-1;4) va mat phang (a):x-y+z+1=0 Tim toa dé diém M €(@) sao cho

|MA— MB] dat giá trị lớn nhất

A M (1;3;-1) p u(33:-1) C M[:3:-3] D M(0;2;1)

Lời giải

Ta cĩ: (x„—y„+z„ +l)(+s~ y; +zz+1)=(I-1+0+1)(3+1+4+1)>0 nên hai điểm A va B cùng nằm về một phía của mặt phẳng (a)

Ta cĩ |MA - MB|< AB = 246, nên |MA - MB| lớn nhất khi và chỉ khi M = A8f1(ø)

x=l+2/

Phương trình đường thang AB: 5 y=1-2t, do đĩ tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 4= 4í 1 f=—— 8 x=l+2/ 3 =|-2r TT 1

phương trình » z=4 ot yd + Dodd u(23:-3}) 4’°4° 2 x-y+z+1=0 4

1

Z=——

2

^ on? ` ` u X —| y z + 1 A on? A

Câu 25: Cho hai điểm A(1;-1;2), B(0;1;6) và đường thăng d Tea Biết điểm M thuộc đường thẳng đ sao cho biểu thức 7= AM.BM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7, Khi đĩ giá trị

T, bằng bao nhiêu?

Trang 15

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Feang 15/85 A Ty, = 14 B T„ =3 C 7„ =32 D 7„ =2 Chọn A Vì Lời giải MU cd—> M 2t+1;t;-t-1 = AM 2U;t + l;—t— ä BM 2% +1:t—1;-t—7 = AM.BM =2 21-1 + t+1 t-1 4+ —-t-1 4-3 — 6 +12/-220—6 +1 +14>14

Câu 26: Cho hai điểm A(0;-1;2), 8(I:1;2) và đường thắng đ == = 7 = " Biết điểm M (a;b;c) thuộc đường thắng đ sao cho tam giác MAB cĩ diện tích nhỏ nhất Khi đĩ, giá trị

T =a+2b+3c bằng bao nhiêu?

A.T=5 B T=3 C.7=4 D T=10 Lời giải Chọn D Med=>=M t-ttt+1 > AM t-1;t4+1;t-1 Ma AB 1,2;0 > AB= JAri = NH LAM:AB = 2—2f;‡t— l;t— ä Mà li; 73 2 2 2 Su = 5[AM:AB| = 2-24 44-1 + 4-3 2 =6 —16t+14=6|#_ Ê +i1s12 3 3 3 1 a=— 3

Dau bing xay ra khi t = 2 > M L4 = lị Ê ST=ø+2b + äe = 10,

3 333 3

7 c=—

3

Cau 27: Viét phương trình đường thắngAđi quaM(;0;-1) va tao với mặt phẳng

(2):2x— y+3z—6=0

gĩc lớn nhất

Trang 16

x=l+2/ x=l-2¡ x=14+2t x=2+t

A.4y=-f B =—t C 4y=-í D y=-I

x=-1+3t z=-1+3t z=-l-3t z=3-t

Loi giai

Duong thang A đi qua (;0;—I)tạo với (œ) gĩc lon nhat = max(A,(a)) =90° = A L (a)

Khi đĩ đường thẳng A đi qua nhận 4⁄(;0;—1) và m„„,(2;—1;3) làm véc tơ chỉ phương nên

x=l+2

phương trình đường thắng A cĩ đạng: 4 y=-—

x=-l+3/

Vậy Chọn A

Câu 28: Viết phương trình đường thẳng A di qua M(4;-2;1), song song với mặt phẳng

(z):3x—4y+z—12=0 và cách điểm A(—2;5;0) một khoảng lớn nhất

x=1+4t x=4+t x=4-t

A \ y=1-2t B 5 y=-2+¢ C +y=-2+í/

x=-l+í z=l-f z=l+f

Lời giải

> ”

4 H M

n„j(3:~4:1), AM (6;—7;1)

Goi H là hình chiếu của A trên đường thẳng A suy ra đ(A;A)= AH

Ta CĨ: AH < AM = max(d(A;A))=AM © H=M Khi đĩ

tuy -L AM, Mu -L na => 8y =| AM,n„) |=(—3~3:-3) =~3(1;E1)

x=4+t

Duong thang A di qua M (4;-2;1) 6 véc to chi phuong u(I;1;1) cé dạng:4 y=~2+/

Vậy Chon D z=l+f

Trang 17

Cau 29:

Cau 30:

X=1

Viết phương trình đường thằng A đi qua A(I;1;1), vuơng gĩc với đường thắng A':4 y=1+/

4=l+2 và

cách điểm 8(2;0;1) một khoảng lớn nhất

x=l-f x=l+í x=l+í

A.+y=l+í C 4y=l-í D +y=l+/

z=l+f z=l+f z=-l+t

Loi giai

Giả sử A, A' cĩ VTCP lần lượt là w„,ø„ = (1:1;2) Do ALA'nén u, Lug (1)

Goi H 1a hinh chiéu cua B trén A

Do AcA nén BH < BA

Suy ra A cách một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi H=A hay A1AB ©u, LAB=(I:-1;0) (2)

Từ (1) và (2) nên ta chọn một VTCP của A: H„ = | uy; AB | =(2:2:-2)=2(1:1:-1)

x=l+í

Vậy A:4y=l+í

z=l-f

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thắng A qua A(1; 2) và

vuơng gĩc với đ a 7? =5 đồng thời tạo với trục Ĩz gĩc lớn nhất

x=l x=l-í x=l+í

A.+y=l+f B 4y=I D 5 y=-2+t

z=2-2t z=2+t z7=2t

Loi giai

d c6 VICP la u, =(251;2) Øz cĩ VTCP là k =(0;0;1)

Gọi u„ là VTCP của A

Do Al dnén u, Lu, (1)

A tạo với Oz một gĩc lớn nhat khi va chi khi A 1 Oz hay u, Lk (2)

Trang 18

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Feang 18/85 Cau 31: Từ (1) và (2) nên ta chọn một VTCP của A: H„ = [1,3 | =(1-2;0) x=l+í Vậy A:+y=l-2/ Z=2

Trong khơng gian với hệ tọa độ O%xz viết phương trình đường thắng A qua A(1 1;2),

nằm

trong (z}:z+2y—z—1=0, đồng thời tạo với trục Ĩz gĩc nhỏ nhất

x=54+2t x=1+5t x=1+2t

A.yy=2+4+t B yjy=l1tt C 41=1+5f

z=l+† z=2+2† z=2+†

Lời giải

Gọi VTCTP của A là u = (a;b;c) voi a’ +b° +c? £0 VTPT cua (a) lan= (1; 2;-1)

Do Ln nên đ+2b—~c=0<>c=ø+2b Từ đĩ u =(a;b;a +2b)

Truc Oz cé VICP la u = (0: 0;1) Goi 0 la gĩc tạo bởi A va truc Oz

a —+2 COS Ơ = la+ 20] _ ; _ | + 2| " “+b ° ° or +4t+5 2/?+Á4t+5_ ya +b’ +(a+2b) 2) La s J b b 2

Ta dat y ¬ - đi tìm Min, Max của biểu thức này 2ƒ +4t+5

+4t+4 ›

=——————<>|2y—-]]í +{4y-4£+5y-4=0.(1

° 272+4/+5 (2y~1)ˆ+(4y~4)r+5y (1)

N I, 3

+TH1: Neu y=— thit=——

2 4

1

+ THI: Néu y# 5 thì (1) là phương trình bac hai.Cé A'= 6y“ +5y

5 Để phương trình cĩ nghiệm thì A'=—6y”+5y>0<>0< y<=

®

1

Ta cĩ Ø min, khi và chỉ khi cosØ max Khi đĩ t = 2

Trang 19

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích rang 19/85

Câu 32:

Câu 33:

1

Suy ra => Tw dé chon a=1;b=2>c=5

Vay w= (1:2:5) Chon D

—] +2 , ` ` ở ý

Cho A( 4;2),B(-1; 2;4),d : — = — = 5 Viết phương trình đường thăng Aqua A, cat d sao cho d(B,A) là nhỏ nhất

x=1+t x=1+t x=15+t A ,y=4-t B =-1+4f† C ;y=18+4t Z=2-3t z=-3+2Ÿ z=-19-2t Loi giai Chon D

d diqua M (1;-2;0) va co mot VICP la u= (-1:1:2)

Gọi (P) là mặt phẳng chứa Ava d

Kẻ BK L A và BH l (P) Ta cĩ BK > BH Khi đĩ d(B,A)= BK đạtGTNN khi K =H Khi đĩ Aqua A,H

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa Ava d

np =|u;AM | =(10;-2;6) Chon np =(5;-1;3) Suy ra phuong trinh (P) :x— y+3z-7=0

Ta tìm toạ độ điểm H la hinh chiếu vuơng gĩc của Ư lên (P') x=-l+5

Phương trình đường thẳng BH :4 y=2—/ z=4+3i

Gọi H(-1+5r;2—t;4+3) Cho He(P) ta được:

5(-14+5¢)—(2-1)+3(4431)-7=0o1= =

Toạ độ điểm H la HỆ 68, Si]

7 35 35

x=lI+l5 Khi đĩ phương trình đường thăng Aqua A,H là A:4 y=4+1§ứ

z=2- I0 x-l y+2

Cho A(1:4;2), B(-1:2:4),d:—— ï

d sao cho đ(B.a) là lớn nhất

= > Viết phương trình đường thang a di qua A, cat

Trang 20

Cau 34:

Cau 35:

x=1+t x=15+t x=1415t

B y=-l+4 C 4y=l8+4r D 4y=4+18

Z£=-3+2/ z=-19-2t z=2-19t

Loi giai

C(1,-2;0)ed, AC =(0;-6;-2), „ =(—1:1;2) là vecto chỉ phương của d nên vecto pháp tuyến

cua mp(A,d) la p= in AC | = (-5;1;-3)

_ |— —

AB =(-2;-2;2) >n= hab, P| = (—2:8:6)

Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (A,d), K la hinh chiếu của H lên a, vậy d(B,a)=BK, Dễ thấy BK lớn nhất khi K trùng A, khi đĩ BK=AB Tại vị trí này,a nằm trong mp(A,d) va

vuơng gĩc với AB nên vecto chi phương của a là -sn =(1;-4;-3) Phương trình đường

x=l+í

thăng cần tìm là: + y= 4—4/

z=2-3t

Trong khơng gian với hệ toa d6 Oxyz, cho 2 diém A(1;5;0), B(3;3;6) va dwong thang

A:Z +] _y —] 2 —|

trị nhỏ nhất

=5: Gọi đ là đường thẳng qua B và cắt A tại điểm € sao cho $„„ đạt giá

x=1-4t x=1-2t x=-2+t

A +y=-2f B y=-3/ C 5 y=-3

z=2-3t z=2-4t z=-4+2f

Lời giải

Ta thay được $S„,„ ABC nhỏ nhất khi đZ đi qua hình chiếu H của A lên mp(ð,A)

Ta cĩ phương trình mp(ð,A)là 5x+2y—4z+3= 0

Hình chiếu của A lên mp(B,A) là H [-k22]

Vecto chỉ phương của đ là #= > BH = (10;-3;1) x=3+108

Phương trình đ là 4 y=3-3t <=6+ll

Trong khơng gian Øxyz, gọi (P) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (Øxz) và cắt mặt

Trang 21

Cau 36:

Cau 37:

cau (x-1) +(y+2) +z? =12 theo dwong tron cé chu vi lớn nhất Phương trình của (P) là

A x-2y+1=0, B y-2=0, C y+I=0 D y+2=0

Lời giải

Mặt cầu (S) theo đề bài cĩ tâm /(I;-2;0) và bán kính ®= 243

(P)//(O0xz)(P):y+a=0 (4 z0)

(P) cắt (S) theo một đường trịn cĩ chu vi lớn nhất khi (P) đi qua /(1;—-2;0)

Suy ra: đZ = 2(nhận)

Vậy (P):y+2=0

Trong khơng gian Øxyz, cho điểm M (1;2;3) Gọi (œ)là mặt phẳng chứa trục Øy và cách điểm M' một khoảng lớn nhất Phương trình mặt phẳng (ø) là

A x+3c =0 B.x+22=0 = C x-3¢=0 D.xe0,

Loi giai

Goi H, K(0;2;0) lan lượt là hình chiếu của M trên (z) và trục Oy thi MH < MK = 40

Do đĩ, Ä(M,(œ))= MH lớn nhất khi H=K hay(z).L MK

Khi đĩ, (z) đi qua Ø(0;0;0) và cĩ một véctơ pháp tuyến là KM =(1;0:3)

Phương trình mặt phẳng (ø) là x+3z=0

Trong khơng gian với hệ tọa độ Øxyz, cho mặt cầu (S):(x—1)+(y—2)”+(z—3)” =9, điểm

A(0:0;2) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A va cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình

trịn (C) cĩ diện tích nhỏ nhất là:

C 3x+2y4+2z-4=0 D x-—2y+3z-6=0

Loi giai

Trang 22

Mặt cầu (S)cĩ tâm /(1;2;3) ban kinh R=3

IA = (-1;-2;-1) > IA = V6 <3 => diém A(0;0:2) nằm trong mặt cầu (S)

Goi H la hinh chiéu cua / 1én (P)

(C) cĩ điện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi đ [7 :(P)| = JH lớn nhất

Ta cé: AIHA vuéng tai H > JH,,,, = IA > IAL (P) >, = IA=(-1;-2;-1)

Phương trình mặt phẳng (P) qua A(0;0;2) và cĩ vtpt n= IA =(-1;-2;-1) là:

~1(x—0)—2(y—-0) -I(z—2) =0 x+2y4+z-2=0

Câu 38: Trong khơng gian với hệ tọa độ Øxyz, cho ba điểm A(2:1;3),B(3;0;2),C(0;-2;I) Viết

phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B và cách C một khoảng lớn nhất?

€C 2x_-y+3z-12=0.D x+y-3=0 Lời giải TH Ot Ye Lø8 THAY VIET

Nguyen Hoang Viel - Vtebsilez hllp:/, Nuyerthitiaenghiemen eS ODOSAISCSS

Trang 23

Cau 39:

Cau 40:

Ta cĩ: AB= (;-1;—1)

Phương trình đường thắng AB qua: A(2;1;3) cé vtcp u = AB = (I;—1;—D cĩ dạng: x=2+í

y=l-í z=3-t

Gọi 7 là hinh chiéu cua Clén AB > J € AB>1(24+6:1-6;3-1) CÏ =(2+t;3—t;2—£)

Ta cĩ: C7 L AB ©CI.AB=0<>2+—3+—2+r=0<©r=] —> 1(3;0;2) Gọi H là hình chiếu Clên mặt phẳng (P)

d[C:()|=CH <CI >d[C:(P)]| = CI > CI L (P)

Phương trình mặt phẳng (P) qua † cĩ vtpt n=IC = (3;2;1) co dang: 3(x—3)+2(y—0)+l(z—2)=0 S3x+2y+z—-lI=0

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1;2;3) Mat phẳng (P) qua M cắt các tia Ox,Oy,Oz Tan lượt tại A,B,C sao cho thể tích khối tứ diện ABC nhỏ nhất cĩ phương trình là:

C x+2y+3z-14=0.D x+y+z-6=0

Gia sw A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) voi (a,b,c > 0)

Loi giai

Khi đĩ, phương trình mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C c6 dang: “+ : +*=1, a C

Ta cĩ: Me(P) > 14242321 abe

Thể tích tứ điện OABC: V = c dc

Áp dung BDT Cosi ta co: [=+424523]2 = 122 abe 27 V 227 abc abe abc a=3 he Lk TAY TÀ 12 3 1 V dat giá trị nhỏ nhất là:V = 27 <>—=—=—=~<+b=6 a b c 3 9 C= Vay (P):6x+3y+2z-18=0

Trong khơng gian với hệ tọa độ OxYZ cho tứ điện ABCD cĩ 4Œ bD_, BŒ0;2).C(-I;—10), D(;34) Trên các cạnh AB,AC,AD fay lượt lấy các điểm phẳng 5 °C›Ð_ sao cho

Trang 24

Cau 41:

AB AC AD

———+——+ =4 Viết phương trình mặt phẳng (BC) biết tú diện AC cĩ thể tích

AB AC” AD

nhỏ nhất

C lĩx-40y—44z+39=0 D 16x-40y—44z—39=0

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cawuchy ba s ta cĩ: 4= AB AB’ AC’ AD“ AC „ AD > 33 AB.AC.AD \AB.AC.AD AB'.ACAD' 27 Vựcy _ AB.AC.AD'_ 21 27

=> ————a— —> = =>V " .>—V

AB.AC.AD 64 Vip AB.AC.AD m AB'C'D' SA ABCP

Để VW¿z „, ¡ AE AC _.AD_3_ Apg- “Ag—pg|T;-;7 4 4°4°4

ABIC'D AB AC AD 4 717

Lúc đĩ mặt phẳng (HC) song song với mặt phẳng (BCD) va di qua B’ 7 7 2]

Ta cĩ: BC =(-3;—1;-2);BD =(-2;3;2) > | BC; BD | = (4:10;-11)

` v ở tory t 7 17 ⁄ x Dr Dr `

Phương trình mặt phăng (PB CD )qua B a4 co vtpt n= | BC; BD | = (4;10;—11) la:

l6x+40y—44z+ 39 =0

Trong khơng gian Oxyz, cho đường thăng a: == a Viết phương trình mặt

phẳng (z) chứa hai điểm A⁄(I:1;1).N(—1;—2:—1) và tạo với đường thắng A một gĩc lớn

nhất

A I16x+10y—TI1z-15=0 B 16x+10y—11z+5=0

Loi giai Gia sử n=(a;b;c) 1a vec-to phap tuyén cua (@)

Do mat phang (z) chứa hai diém M (11:1), N (-1;—2;-1) nén nLMN <>nMN =0

c©-2a~3b—2c=0 @ c= 24

Goi @ là ĐĨC giữa (a) va A Khi do

Ina| — Parb-d — |6a +50] — 1 /36a* + 60ab + 25b°

sin ~ =

a - Va +b +0 V6 ˆ V6 8a? +12ab +13b7 “6 8a?+12ab+13b? `

ø lớn nhất = sing dat gia tri lon nhất

Trang 25

Cau 42:

Cau 43:

Néu b=0=>singø = Y3

2 2 2

Nếu ø+0, đặt r=# thì Si + O0ab + 290 _ +60 +22 _ sụn, b 8a° + 12ab +13b 80° +12r+13

Khi dé Max f(t)=—— €>t=12 Do đĩ ==12 Chọn a=24.b=2—=c=-21

Mặt phẳng (z) di qua M (I:1;1), nhận n= (24;2;-27) làm vec-tơ pháp tuyến, nên cĩ

phương trình là 24(x—1)+2(y—1)—27(z—l)=0 © 24x+2y—27z+1=0

Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M (1;—2;3) Goi (P) 1a mat phẳng qua M và cắt các trục

tọa độ lần lượt tại A,B,C Viết phương trình mặt phẳng (P) biết biểu thức

1 1

OA? OB OC?

A x-2y+z-8=0 B 2x+y-3z+9=0

đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Khi đĩ ØH | (ABC)

1 1 1 1

Do ØH là đường cao của tứ diện Ĩ.ABC > —> =—>+— +=

OH” OA OB OC

1

++

OA> OB’ OC’

Mặt phẳng (P) đi qua M và vuơng gĩc với OM nên nhan OM =(1;-2;3) lam vec-to phap

Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất khi ĨH đạt giá trị lớn nhất © OH =OM tuyến, cĩ phương trình là 1(x- I)— 2(y+ 2)+3(z- 3)=0 © x—2y+3z—14=0

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(I;5;0).B(3;3:6) và đường thắng

x=-l+2/

d4y=l-r Một điểm M thay đổi trên đường thang sao cho chu vi tam giác 84B nhỏ

zZ=2t

nhất Khi đĩ tọa độ điểm M và chu vi tam giác MAB là

RT múuasz-(vsĐ)

C M (1;0;2);P=(Vi1 +29) D M (1;2;2);P =(Vi1+V29)

Lời giải

Độ dài AB =A2?+2?+6? =2N11

Chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi MA + MB nhỏ nhất Gọi tọa độ của M là (—1+ 2a;1—a;2a)

Trang 26

Cau 44:

MA+MB =,|(-2+2a) +(-4-a) +4a? +|(4+2a) +(-2-a)’ +(2a-6)'

MA+MB =V9a? +20 +V9a’ —36a+56 = (34) +(v20), + (6-30) +(v20)

Xét véc to u=(a;b);v =(c:d)

Ta cé ful +> lato] va? +b? +c? +a? > (ate) +(b+a)’

=> MA+MB > \|[Sa+6~34)) +(V20 +20) = 2/29,

Dau bang xay ra khi 4 = 920 5 915 M (10:2) > P=2(viT + (29) 6-3a 20 Cho hai điểm A(-1;2;3) và 8(7;-2;3) và đường thằng đ:

x+2 y-3 Zz

—2

= Gọi J la điểm

trên đ sao cho AI + Bï nhỏ nhất Tìm tổng các tọa độ của ï,

A 11 B 9 C 7 D 5

Loi giai

Chon D

Do diém J ed nén toa dé diém J cé dang /(3a—2;—2a+3;2a +1),

P= AI+BI =,(3a-1) +(1-2a)° +(2a—2)’ + y(3a-9)’ +(5—2a)’ + (2a-2)°

P= 17a? -18a+6 +V17a? —82a+110 pari ft Bae & ofr =a „3

l(a) S

(8) AP) 17 17 7 7

Xét véc to u =(a;b):v =(c;d)

Ta cĩ lel + |r| =u tv] => Va? +b? tv td? >J(atc) +(b+d)

: 2

Do đĩ padi [a2 +4to) lân ni Sa 22° 16.21 _ yg

17 17 17 17 17 _9_ M2 —_ L7 = 17 oe, TF —— 9 |——_— Al —|

Dau bang xay ra khi 4 3/21 = =| 17 a>d

17 17

Trang 27

Cau 45:

Cau 46:

Vậy tổng các toạ độ của J la 3.1—2-—2.14+34+2.14+1=5

Cho d — = 7 =T và các điểm A(3;0;0); 8(0;-6;0); C(0;0;6) Mĩ là điểm thuộc đ sao cho [MA +MB + MC| nhỏ nhất Khi đĩ MA? bằng:

A.2 B 3 C 4 D 5 Lời giải Chọn C x-l Z đ:———=——=——4y=f 2 1 y x=l+2/ z=t Diém M ed > M(14+21;t;t) Taco MA =(2-2t;-1;-r) MB = (-1—21;6-1;-1) MC = (-1-21;-1;6-1) = MA+ MB+MC = (—6t,—6~ 3t;6— 3) MÁ+ MB+ MC|=4|(—6)Ì +(—6—3)”+(6—3#)) =xl54 +12 > v72 Dấu “=” xay ra St =0=> MA =(2;0;0) Do do: Vậy MA” =4 x=4+3/

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng cĩ phương trình đ:‡y=l- và ba Z=5+2t điểm A(I;1;2); B(-L:L1); C(31;0) Mj là điểm thuộc đ sao cho biểu thức

P= MA” + MB + MC” đạt giá trị nhỏ nhất Khi đĩ tổng các tọa độ của M là:

B 11 C 12 pb > 7 Loi giai Diém M ed => M (44 31;1—-1;5+2r) Ta cd MA =(-3~3t;-t;-3-2r) MB =(—5~3;—t;—4— 2r) MC =(—1~3t;—t;—5— 2) 2 Do đĩ P= MA” + MB” + MC” = đổi 41031 +85=4| + 1) 323, 323 14 14

Trang 28

Cau 47:

Cau 48:

14 14 14 14 7

Vậy tổng các tọa độ của M la =

x=l-í

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thang cĩ phương trình đ:‡y=2+¿ và ba

z=-t

điểm A 6;0;0, B0;3;0, C0;0;4 M la diém thudc d_ sao cho biếu thức

P= MA’ +2MB’* +3MC° dat gia tri nhỏ nhất Khi đĩ tổng bình phương các tọa độ của M

là:

A 6 B 7 C 8 D 9

Lời giải

6x, =X, +2x, +3x, x, =1

Goi / là điểm thỏa JA+2/B +31C =0= {6y, = y, +2y, +3y Sf y, =1— I I:1;2

6z, = 2, +22, +3%, Zz, =2

Ta cĩ: P— MA? +2MB? +3MC2— MỈ+IẢ +2 MI+IB +3 MỈ+IC =6IM?+2MI IẢ-+2IB-+3IC + 1A? +21B? +31C? —6IM? + 1A? -+-21B? 31C? Khi đĩ P đạt giá trị nhỏ nhất © 67M” nhỏ nhất © 7M” nhỏ nhất

Vì Mcd—-M 1—r;2-+f;-f Suy ra IM = —f;Ì-+†;—t— 2

Ta cĩ /M?= — + I+r ˆ+ =r—2 =3? +6t+5=3 +1 ˆ+2>2

x=l-í

Trong khơng gian với hệ tọa độ Øxyz, cho đường thang cĩ phương trình đ:‡y=—2+¿ và

4= 2I

hai điểm A 1;4;2 , B —1;2;4 M là điểm thuộc đ sau cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất Khi đĩ hồnh độ của M là:

B = 7 C.— 7 D.—— 7

Lời giải

Vì Mcd—>M I—-m;—2-+m;2m ——›AM= —m;m—6;2m—2 va AB= —2;—2;2

Trang 29

Cau 49:

Cau 50:

Khi dé |AB; AM|= —6m-L16:2m—4;—4m-L12

2

Ta cĩ diện tích AMAB là: Š.„„ =2|A5:AMÌ|=> s| J7m—-2| +25 2 2 V7} 71 7

S42 19 19

Do do: min S$ AMAB —=—— Dấu "=" xảy ra e J7m—-—-0em=— 7 y V7 7

19 12 Vậy khi điện tích tam giác MAB nhỏ nhất thì hồnh độ của M là: 1— 7=”

Cho mặt phẳng (P):x+y+z—4=0 Tìm diém M €(P) sao cho MA+MB nho nhất, biết,

A(I;0;0) 8(1;2;0) A M(I1;2) B M(0;1;3) C M(2;0;2) D M[Š::5) A † (P) | | *M ‘ Chon D

Ta thấy rằng điểm A và B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P) nên ta sẽ lấy điểm A' đối

Lời giải

Ẻ

xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) Vecto chỉ phương của đường thắng AA' là z(I;1:1)

x=t+l1

Suy ra phương trinh dwong thang AA’ la AA':; y=t , toa dO 11a giao diém cua duong

Z=í

thang AA’ va mat phang (P) 1a 1(2;1;1) => A'(3;2;2)

Ta cé MA+ MB = MA + MB > A'B Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm M = A'BO(P)

x=3+2/

Ta cĩ phương trình đường thắng A'B:4y=2_ =M (3.25 Z=2+2t

Cho mặt phẳng (f):*+y+z—4=0 Tìm điểm #⁄€Œ) sao cho |MA- MB| lớn nhất, biết

A(q:;Il:) 5(:1;0)

A M(:2;1) B M(0;2;2) C MŒ:1;2) D M@:1;0)

Lời giải

Trang 30

Cau 51:

° ° Œ®),

M

Ta cĩ (1+1+1- 4).(I+1+ 0— 4) >0 nên {M} = ABO (P) Minh nghi doan nay thay giai thich

vì sao M là giao của AB với (P) băng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác

Đường thắng (AB) qua điểm A(I:l;1) và cĩ vecto chỉ phương AB—= 0;0;—1

=]

x=1 * \ x=l

Suy ra M(1;1;2)

Cho mặt phẳng (f):*+y+z—4=0 Tìm điểm #⁄€Œ) sao cho |MA- MB| lớn nhất, biết

AQ;l:I) 8(0;1;5) Ì C m{ 202 D u{2.2.-3} 3 3 3 3 3 Loi giai > S Z— |— TT "— IS X— + ow Ss oN wo | nn wo | G3 [2 wZ| (P)

Ta c6 (1+1+1-4).(0+1+5-4)<0 nén A va B nam khac phia so véi mat phang (P) Goi A’ 1a diém đối xứng với A(;1;])

|MA— MB] <|MA'— MB] < A'B do đĩ |MA - MB| lớn nhất khi {M} = A'B¬(P)

x=1+t

Goi A là đường thắng qua A(;1;1)và vuơng gĩc với P Phương trình A :‡y=l+/ «=l+í

Trang 31

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Câu 52: rung 37/&5 _ 4 x=l+t na =l+í Gọi 7 = An P Xéthệ y >ly=`2I 44.4 z=l+í 3 3 3 3 x+y+z-4=0 |,_4 | 3 32 T Hà LAI / ~ 43.9.5 Khi đĩ 7 là trung diém AA’ suy ra toa d6 A 3°3°3

: ¬ — 2 1

Duong thang BA’ qua diém B(0;1;5) va cé vecto chi phuong BA'= Km

5

x=Hf

3

Phuong trinh BA’ : 1y a1451 z—5—15/ 3 Xét hệ phương trình | Ix+y+z—-4=0 1 Suy ra u(2.2,-3), 3 3 3

Cho mặt phẳng (P):x+ y+z—4=0 Tìm điểm # e(P) sao cho MA”+2MB” nhỏ nhất, biết

A(I:2;1), B(0;1;2)

B w[Š:22]

3 3

— — = 1 4 - Gọi Ï là điểm thỏa mãn: Iã+218=0=s1=| Si c5]

C M (1:1; 2)

Loi giai

_ —> —>~> —>x2 — ——\2

-Khi dé: MA? +2MB? =MA +2MB =(MI+IA) +2(M/+IB) =3MI? +A? +21B* =3MI? +2 = MA’ +2MB* nho nhat khi va chi khi M7 nho nhat khi va chi khi M là hình chiếu vuơng

gĩc của Ï trên mặt phẳng (P) Khi đĩ MI là đường thắng đi qua ! và nhận vectơ pháp

tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

Trang 32

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Câu 53: Fvang 32/85 1 x=-+f 3 , ` 4

Suy ra MíÏ cĩ phương trình 4 y=—+í

Z=—tt 2 t== x=_—*f 9 5 =“+f a) 5 14 17

- Điểm M cĩ tọa độ là nghiệm của hệ * 3 < =M-[Š:e:g |

_14 9.99

=> +Í ng

x+y+z-4=0 =a

Cho mat phang (P):x+y+z—-4=0 Tim diém M e(P) sao cho MA’ +2MB’ nho nhat, biết

A(1;2;1), B(0;1;4)

B m[ 02:2), 3 3 ; }

- Gọi Ï là điểm thỏa mãn: Iá+218=0= 1=| Si a3] C M ụ wl wo | wn D M (13152) Loi giai - Khi đĩ:

2 2— NZA c2nz8 _ fart i TAY " 2 2 2 2, 22

MA” +2MB? = MA +2MB =(MI+JA) +2(MI+1B) =3MI? + IA? +2IB* =3MI +>

—= MA’ +2MB’ nho nhat khi va chi khi M7 nho nhat khi va chi khi là hình chiếu vuơng

gĩc của / trên mat phang (P) Khi dé MI 1a dwong thang đi qua / và nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

Trang 33

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Fvang 33/85 2 t=-— x=_-+tí ? 3 1 ng 1 10 25

-Diém M cĩ tọa độ là nghiệm của hệ 4 y=~+í > ? =M=[S: 0ï”

3 _ 10 9 9 9

z=3+f a= 9

x+y+z-4=0 7-2

9

Cau 54: Cho mat phang (P):x+y+z—-4=0 Tìm điểm M e(P) sao cho [MA +3MB+2MC| nho

} D M[ S2] 3 2 nhất, biết A(I;1;1), 8(1;2;0), C(0;0;3) A M(kk2) B w[lộ:)) c Lời giải 277

9 9 [t2 uo ln wo | wm

= |MA+3MB+2MC| nhỏ nhất khi và chỉ khi #⁄/ nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuơng gĩc của / trên mặt phẳng (P).Khi đĩ M là đường thằng đi qua ! và nhận vectơ

pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

2

x=<+í

3

, ` 7

Suy ra MíI cĩ phương trình + y= +:

7 z=—+*f 6 1 x=“+í f=— 3 =—+%i vet 3 3

-Diém M co tọa độ là nghiệm của hệ "6 & ạ =M =| kŠ |

yt

z=—+í 2

_3

x+y+z-4=0 “Sa

Câu 55: Cho mặt phẳng (P):x+y+z—-4=0 Tìm điểm M e(P) sao cho [MA +3MB + 4MC| nho

nhất, biét A(1;2;1), B(1;2;0), C(0;0;3)

Trang 34

Cau 56:

saan, a(S) a(S), BIR

Loi giai

- Gọi Ï là điểm thỏa mãn: I4 +31B +4IC =0 — ï (5:02)

- Khi dé:|MA +3MB + 4MC| =|8MI + IA +3/B +41C|=8|Mi|=8.1M

=|MA+3MB+4MC| nhỏ nhất khi và chỉ khi M7 nhỏ nhất khi và chỉ khi 4 là hình chiếu vuơng gĩc của l trên mặt phẳng (P) Khi đĩ Mi là đường thằng đi qua / và nhận vectơ

pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

1

x=—+t

2

Suy ra Mĩ cĩ phương trình 4 y=l+ứ

13 Z=—TÍ 8 7 t=— x=—tí 24 2 x=19 , " „| y=l+í —24

- Điểm j cĩ tọa độ là nghiệm của hệ , < 24 _ y = 19 31.28

13 31 24 24 12 Z=—TÍ »}=—- 24 x+y+z-4=0 23 12 x-5 ytl z-ll

Trong khéng gian voi hé truc Oxyz, cho hai dwong chéo nhau d,: 5 ï

.x+4_ y-3_ z-

4, = Tim diém I khéng thuộc d,;d, sao cho d(I;d,)+d(I;d,) nho nhat

—7 2

A 1(5;2:5) B /(7;3;9) C /(7-2;-11) D !( 7,211) Lời giải

x=5+í x=-Ä4~1u

Phương trình tham số d, la , y=—1+2r; Phuong trình tham số đ, là y=3+2w ;

z=ll-í z=4+3u

d,;d, Tần lượt cĩ vtcp là (1;2:—1).w„(—7:2;3) Gọi AB là đoạn vuơng gĩc chung của đ;đ,

với A(Š+/;—1+2/;11—r); B(—4- 7u;3+2u;4+ 3u)

Ta cĩ AB=(~7u—t—9;2u— 21 +4;3u +t—7)

Trang 35

Chuyên đề: Cực trị hình giỏi tích Feang 35/85 Cau 57: Cau 58: Cau 59:

- |ABu,=0 S {(-6u—6t+6=0 u=—-l suy ra: A(7;3;9); B(3;1;1)

ay oS

ae =0 62u + 6+50=0 t=2

d(1;d,)+d(I;d,)> AB đẳng thức xấy ra khi J thu6c doan AB Ma với 1(5;2;5) thi

—

Ai - AB 2

Trong khơng gian với hệ trục Øxyz, cho A(—1;3;4), B(2;1;2) Tìm điểm M sao cho biểu thức

P=|MA+ MP| đạt giá trị nhỏ nhất

A M320), B w{Š:=k¬1] C M[-Sct!) D M (-3;2;2) Loi giai

tl

Goi / la trung diém cua AB suy ra tọa độ Ï (+233)

Ta cĩ: P=|MA+ MB|=|ÐMI|= 2MI >0 đẳng thức xay ra khi M sĩ Chọn A

Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC với A(2;0;-3); B(-1;-2;4); C (2:-1; 2) Tìm điểm È sao cho biểu thức P= |EA+ EB +EC| dat gia tri nho nhat

A E(;1;1) B E(—l;]) C E(-I-2;-1) D E(0;2;-3) Lời giải

Gọi Œ là trọng tâm tam giác ABC > G(1;-1;1)

Ta cĩ: P=|EA + EB+ EC| =|3EGÌ=3EG >0 = P„„ =0 khi E=G(I;—1:I)

Trong khơng gian với hệ trục Øxyz, cho 4 điểm A(0:1;5); B(2;0;0); C(0;0;6); D(2;4:-3)

Tìm điểm E sao cho biểu thức P=|EA+ EE~CE~ DEÌ đạt giá trị nhỏ nhất

^.ErŠn}, B [0-35] C E(-1;-3;0) D E(2;0;-1) Loi giai

` 7A? 2 ~ ~~ _—.x —_ ~~ _ 5

Goi G la diém thoa man GA+GB+GC+GD=0=> a{ 1532]

>= >> “—>

Ta cĩ: P.=|EA + EB~ CE~ DE| =|EA + EB+ EC + ED| =|äEơ|=4EG >0

=> PB„„ =0 khi E=o|kŠ:2],

Trang 36

Cau 60:

Cau 61:

Trong khơng gian với hé toa dé Oxyz, cho mat cau (S):(x— 3) +(y+ 2Ý +(z -1)° =100 và mặt

phẳng (P):2x-2y~z+9=0 Tìm M trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn

nhất

.C, u(2.28,-2), D u(-2:28.2),

Loi giai

Mat cau (S) cĩ tâm /(3;-2;1) va ban kinh R =10

2.3-2.(-2)-1.14+9 z

Khoảng cách từ I đến (P) là 4a ((P))=' 2-11: ber nén (P) cat (S) theo giao J2+(-22+(-ĐŸ

tuyến là một đường trịn (C)

Với điểm M bất kì trên (S) thì ta cĩ đ(M.(P))< MI +d(1.(P))=16

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của (S) và đường thẳng d đi qua I và vuơng

gĩc với (P)

Đường thẳng d vuơng gĩc với (P) nên cĩ VICP u= Xp) =(2:-2:-1)

x=3+2/

Đường thăng d cĩ phương trình tham số là 4 y=-2- 2¡ > M(3+2/;~2—2r;I—r)e đ

z=l-f

Lại cĩ M e(S) =4 441? 4? 1001-2

+) Với r= 5 ou( 26.) khi dé d(M,(P))=16 (théa man)

c- I —11 14 +) Voi =-Daom (St 2

3 3 3)°

khi đĩ đ(M.(P))=4 (khơng thỏa mãn)

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz„ cho tam giác ABC với A(2;3;4) ; 8(-2;-3;0) ; C(2;3;0) Goi I la tâm mặt cầu đi qua đi 3 điểm A,B, C Tìm I để mặt cầu cĩ bán kính nhỏ nhất

A 1(0;0;2) B /(2;3;2) C /(0;0;0) D /(-2;3,2)

Lời giải

Tacé AB=J68, AC=4, BC=VJ52

Ta thấy AB” = AC” + BC” =68 nên tam giác ABC vuơng tại C

Gọi J là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC thì J là trung điểm của AB do đĩ 7(0;0;2)

Mat cau tam I cĩ bán kính R=JA>JA=VI7 nén mat cầu cĩ bán kính nhỏ nhất thỏa mãn đề

bài cĩ tâm I trùng với điểm J Vậy /(0;0;2)

Trang 37

Câu 62: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho lăng trụ đứng ABC.A'#C' với A(0;0;0); B(0;1;0)

Câu 63:

cŠ : 3 0) ; A/(0;0;2).Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh AA' sao cho diện tích tam giác M CD đạt giá trị lớn nhất, với D la trung diém cua BB’

^ M000) B M(0;0;2) C M(0;0;1) D M{0:0:2] Lời giải

Ta cĩ: A,A'eOz, M €AA', gọi M(0;0:n),0<m<2 Do ABC A'E'C lăng trụ đứng nên AA'= BB'=CC'

Suy ra, B'(0;1;2); oft 3 z|m D là trung điểm của BB'nên D(0;1;1)

Suy ra, wể =Ê : 3 : 2m ;MD =(0 ;1;1—m)

—,—-7 (1 343 45 x2 _lI> 3

= | MC ; MD | -[ m3 a 2 | do do ACp =5||Mc :MD |

tha) (mai 34 fan am 3

Dựa vào bbt cĩ diện tích tam giác M C'D dat gia tri lon nhat khi m=0

Vậy M (0:0;0)

b2

[C2

Trong khơng gian với hệ trục Oxyz„ cho mặt cầu (S):(x+1)”+(y—4) +z?=8 và hai điểm

A(3;0;0); B(4:2;1) Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (5Š) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

MA+2MB

A W2 B 4/2 C 6/2 D 32

Lời giải

Trang 38

Cau 64:

M

Mat cau (S) co tam 7(—1;4;0), bán kính R=242

Tacé IA=V4? +4? +0 =2V2 =2R

Gọi E(1;2;0) la trung diém cua JA=> E€(S) Goi F(0;3;0) la trung điểm cua JE

, ` , IF 1 TM `, A

Xét tam giác /M' và tam giác JAM cĩ WD TA va goc MIA chung nén AIMF ~ AIAM

Do đĩ “T“ =~ — AM =2MF , AM 2

Ta cé MA+ 2MB = 2MF +2MB > 2BF =2V4 +7 +1 =6V2

Dấu bằng xảy ra khi {M} = BF ¬(S)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA+ 28⁄4 là 62/2

Trong khơng gian với hệ tọa độ Òxyz„, cho ba điểm A(1;2;0), B (3,451), D(-1;3; 2) Tim toa

d6 diém C sao cho ABCD la hinh thang cé hai canh day AB, CD vacé géc C bang 45° A C(5;9;5) B C(15;3) C C(-3;1;I) D C(3:7;4) Loi giai D C Taco AB=(2;2:1), AD =(-2:1;2) Suy ra AB | AD va AB=AD

Khi đĩ, tam giác ABD, BCD Ian luot la cac tam giác vuơng cân tại A va B nén

Trang 39

Cau 65:

Cau 66:

DC = BDV2 =2AB

Suy ra DC = 2AB & (x, +1 y¢ -352¢ -2) = (45452) @ C(3:734)

X=íi x=l x=l

Trong khơng gian với hệ tọa độ Øxyz , cho ba đường thắng đ,:4 y=0, đ,:4y=/,, đ.:4y=0

z=0 z=0 z=,

Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm H (3;2;1) va cat ba dwong thang d,, d,, d, lần

luot tai A, B, C saocho H la truc tam tam giac ABC

A 2x+2yt+z-11=0 B xty+z-6=0 C 2x4+2y-z-9=0.D 3x+2y+z-14=0 Loi giai

Gọi A(a;0;0), B(1;b;0), C(1;0;c)

AB =(1—a;b;0), BC =(0;-b;c), CH =(2;2;1-c), AH =(3—a;2;1)

A la trực tâm tam giác ABC

[ AB, BC |.CH =0 2be+2e(a~1)+(I—e)b(a—1)=0 b=0

BC.AH =0 c=2b 2

Nếu b=Osuy ra B=C (loai)

⁄ ^ 11 ` vu u

Néu b= 7 tọa độ a{ S03 0|, đ k2), C(1;0;9) Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC)

là 2x+2y+z-11=0

(NGUYỄN KHUYEN TP HCM) Trong khéng gian voi hé toa d6 Oxyz, cho hinh hép chit nhat ABCD.A'B'C'D’ cé A trung voi géc toa dé O, cac dinh B(m;0;0), D(O;m;0), A’(0;0;7) với m,n>0 và m+n=4 Gọi M là trung điểm của cạnh CC” Khi đĩ thể tích tứ diện

BDAM đạt giá trị lớn nhất bằng

A , 108 B 2 4 p 2 32

Loi giai

Trang 40

Cau 67:

Ta cĩ 41(0.0:n):B(ml0):D(0n0):C (memsn)sC(mmn6):M | momnE ) với O<m,n<4

Khi đĩ

BD (-m:m:0); BA'(-m:0;n), BM | 0m5 ) BE, BA’ | = (mn;mn;m”);| BD, BA’ |BM = Sm Mat

pan ny Lege qe mw, 1x 04 4 Lập bảng biến thiên, ta thấy V đạt giá trị lớn nhất là ss tai m= su =

(NGUYỄN KHUYEN TPHCM) Trong khơng gian với hệ toa dé Oxyz, hai mat phẳng

4x—4y+2z—7=0và 2x—2y+z+I=0 chứa hai mặt của hình lập phương Thể tích khối lập phương đĩ là

8 2 27

Loi giai

Goi a la do dai cua canh cua hinh lap phuong

Goi (a):4x-4y+2z-7=0,(f):2x-2y+z+1=0

Cạnh của hình lap phương là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho Lấy A0 0; ; thuộc mặt phẳng 4x—4y+2z—7=0

0-204 244 9 Khi đĩ a=d(A(6))=————=~= 44+4+l WN | Bw

Định dạng
Số trang	85
Dung lượng	5,19 MB