Ứng dụng Định lý thalès và Định lý thalès Đảo Để giải một số bài toán hình học phẳng thường gặp bậc trung học cơ sở theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ THALÈS VÀ ĐỊNH LÝ THALÈS ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG GẶP BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018 .... Sử dụng định lý Thalès

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán trường Đại học

Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp

Đặc biệt, cho phép tôi được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu đề tài Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động viên, giúp

đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 20ST1 trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2024

Sinh viên

Huỳnh Lâm Huyền Diệu

Ý KIẾN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN I

Ý KIẾN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC II

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Bố cục của đề tài 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 3

1.1.Một số kiến thức cơ bản 3

1.1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ 3

1.1.2 Định lý Thalès trong tam giác 3

1.1.3 Hệ quả của định lý Thalès 4

1.1.4 Một số kiến thức vận dụng liên quan 5

1.1.5 Yêu cầu cần đạt của học sinh khi học về định lý Thalès và định lý Thalès đảo theo CTGDPT 2018 6

1.2 Một số thuận lợi và khó khăn khi ứng dụng “ Định lý Thalès và định lý Thalès đảo” để giải một số bài toán thường gặp ở Trung học cơ sở 6

* Thuận lợi 6

* Khó khăn 3

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ THALÈS VÀ ĐỊNH LÝ THALÈS ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG GẶP BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018 8

2.1 Dạng 1 Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng, tính tỉ số của hai đoạn thẳng 8

2.2 Dạng 2 Tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ 12

2.2.1 Loại 1 Tính độ dài đoạn thẳng 12

2.2.2 Loại 2 Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ 172.3 Dạng 3 Sử dụng hệ quả của định lý Thalès để tính độ dài đoạn thẳng 202.4 Dạng 4 Sử dụng định lý Thalès đảo để chứng minh các đường thẳng song song 242.5 Dạng 5 Sử dụng hệ quả của định lý Thalès để chứng minh hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau 292.6 Dạng 6 Ứng dụng của định lý Thalès vào giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn 35KẾT LUẬN 44TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Đây là một môn học tương đối khó, mang tính tư duy cao, đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say mê nghiên cứu Kiến thức về định lý Thalès và Thalès đảo trong chương trình toán ở bậc Trung học là một nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu về sự tương đồng tỷ

lệ giữa các độ dài đoạn thẳng Đây là một định lý đơn giản nhưng rất hữu ích trong việc giải các bài toán hình học phẳng, giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề

Ứng dụng “Định lý Thalès” là phương pháp ứng dụng tính chất tỉ lệ thức, tỉ số hai đoạn thẳng, trên cơ sở đó tìm ra hướng giải các dạng toán hình học Tuy nhiên, việc vận dụng kiến thức ấy vào giải những bài toán cụ thể ở một số học sinh còn rất nhiều hạn chế Để học sinh có thể tự chứng minh giải được các bài toán bằng việc sử dụng kiến thức định lý Thalès giáo viên cần giúp học sinh định hướng và tập trung khai thác kiến thức nêu trên thông qua các ví dụ minh họa cụ thể trong các tiết dạy liên quan

Là sinh viên sư phạm Toán sắp ra trường, với mong muốn nâng cao năng lực bản thân về việc giảng dạy các kiến thức liên quan đến định lý Thalès, tôi chọn đề tài

nghiên cứu: “Ứng dụng định lý Thalès và định lý Thalès đảo vào giải một số bài toán hình học phẳng thường gặp bậc trung học cơ sở theo chương trình giáo dục phổ thông 2018”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Đưa ra một số dạng toán về hình học phẳng thường gặp mà việc tìm lời giải

có sử dụng định lý Thalès và định lý Thalès đảo trong CTGDPT 2018 môn Toán bậc THCS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau:

- Hệ thống hóa những kiến thức và kĩ năng cần thiết để học sinh nắm vững các kiến thức về định lý Thalès và định lý Thalès đảo

- Đưa ra một số dạng toán liên quan đến đề tài

- Một số thuận lợi và khó khăn khi ứng dụng “Định lý Thalès và định lý Thalès đảo ” để giải một số bài toán ở THCS

4 Đối tượng nghiên cứu:

- Một số dạng toán về hình học phẳng thường gặp mà việc tìm lời giải có sử dụng định lý Thalès và định lý Thalès đảo trong CTGDPT 2018 môn Toán bậc THCS

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu từ một số tài liệu, sách, báo hay truy cập

các Website để thu thập thông tin, nghiên cứu các đề tài có liên quan trực tiếp đến đề tài nhằm làm rõ các khái niệm cũng như kiến thức cơ bản, ban đầu Từ đó, hình thành cơ sở lý luận cho đề tài

- Nghiên cứu thực tế: trao đổi với một số giáo viên dạy bậc trung học cơ sở

về thực tế dạy và học các bài toán liên quan đến định lý Thalès và định lý

Thalès đảo

6 Bố cục của đề tài

Đề tài gồm 2 chương:

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ THALÈS VÀ ĐỊNH LÝ THALÈS ĐẢO

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG GẶP BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

CDC′D′

1.1.2 Định lý Thalès trong tam giác

1.1.3 Hệ quả của định lý Thalès

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với

cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỷ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho

GT ∆ABC, B′C′//BC (B′ ∈ AB, C′ ∈ AC)

Hệ quả 2: Có một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với

cạnh còn lại thì sẽ tạo ra một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

Hệ quả 3-Thalès mở rộng: Ba đường thẳng đồng quy thì chắn trên hai đường

thẳng song song các cặp đoạn thẳng tỉ lệ

1.1.4 Một số kiến thức vận dụng liên quan

GT ∆ABC, (B′ ∈ AB, C′ ∈ AC)

c Hệ quả của định lý Thalès

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho

GT ∆ABC, B′C′//BC (B′ ∈ AB, C′ ∈ AC)

1.1.5 Yêu cầu cần đạt của học sinh khi học về định lý Thalès và định lý Thalès theo CTGDPT 2018

- Mô tả được định nghĩa của định lý Thalès

- Giải quyết được những dạng toán liên quan (tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh các hệ thức, )

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với việc vận dụng kiến thức

về định lý Thalès và định lý Thalès đảo (ví dụ: đo gián tiếp chiều cao của vật; tính khoảng cách giữa hai vị trí trong đó có một vị trí không thể tới được, )

1.1.6 Một số thuận lợi và khó khăn khi ứng dụng “Định lý Thalès” để giải một số bài toán ở Trung học cơ sở

* Thuận lợi

+ Việc sử dụng “Định lý Thalès” là công cụ chính giúp ta tính toán nhanh chóng các dạng toán đặc trưng về tính tỷ lệ, chứng minh hệ thức, các bài tập chứng minh các cạnh, các góc bằng nhau

+ Với một số dạng toán quen thuộc như chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, chứng minh song song phương pháp “Định lý Thalès” có thể cho

ta những cách giải quyết gọn gàng, ngắn hơn các phương pháp truyền thống khác như sử dụng tính chất tam giác, định lí, tính chất tam giác vuông Học sinh

sẽ vận dụng linh hoạt, nhuần nhuyễn khi giải toán

+ Phương pháp “Định lý Thalès” giúp rèn luyện tốt khả năng tư duy logic của học sinh, rèn luyện tính sáng tạo, phát triển trí tuệ cho học sinh một cách hiệu quả Từ đó học sinh đam mê học toán

* Khó khăn

+ Ứng dụng “Định lý Thalès và định lý Thalès đảo” còn lạ lẫm với một số học sinh Các em chưa quen với việc sử dụng một phương pháp mới để giải toán thay cho các cách chứng minh truyền thống, đặc biệt là với các

học sinh lớp 8

+ Việc sử dụng các tỷ số cạnh dễ dẫn đến nhầm lẫn trong tính toán, biến đổi vòng quanh, không rút ra ngay được các tỷ số cần thiết, không có kỹ năng

chọn cặp tam giác cần thiết phục vụ cho hướng giải bài toán

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ THALÈS VÀ ĐỊNH LÝ THALÈS ĐẢO ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG GẶP BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ

3:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, AB = 4 cm, AC = 6 cm Gọi M, N làn lượt là

trung điểm của AB và AC Hãy tính tỉ số AM

a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng 𝐴𝐵 và 𝐴′𝐵′

b) Cho biết đoạn thẳng MN = 55 cm và M′N′.’=77 cm Hỏi hai đoạn thẳng

AB và A′B′ có tỉ lệ với đoạn thẳng MN và M′N′ không?

Vậy hai đoạn thẳng AB và A′B′ tỉ lệ với đoạn thẳng MN và M′N′

Ví dụ 4: Cho biết độ dài của MN gấp 5 lần độ dài của PQ và độ dài đoạn thẳng M′N′ gấp 12 lần độ dài của PQ

a) MN

12 b) DE

Vậy hai đoạn thẳng 𝑀𝑁 và 𝑀′𝑁′ không tỉ lệ với đoạn thẳng 𝐷𝐸 và 𝐷′𝐸′

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến Điểm E thuộc AM

sao cho AE = 3EM Tia BE cắt AC tại N Tính tỉ số AN

NC

Định hướng giải:

Lấy điểm F trên tia AM sao cho M là trung điểm của EF

Tứ giác MEFC có hai hai đường chéo BC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác MEFC là hình bình hành

Suy ra CF // BE và CF // EN

Ta có AE = 3EM và ME = MF (vì M là trung điểm của EF)

Khi đó, AE

EF = 3

2Xét ∆ACF có CF // EN nên theo định lí Thalès, ta có: AN

2Vậy AN

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC Trên đoạn thằng BC lấy điểm D sao cho

BC = 2BD Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho AO

OD = 3

2Gọi I là giao điểm của

OC và AB Tính tỉ số đoạn thẳng AI

IH

Kẻ thêm DH // CI (H thuộc AB) => DH // IO

Áp dụng định lý Thalès trong △ADH, ta có DH // OI, suy ra:

AI

IB =

3t4t =

34

2.2 Dạng 2 Tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ

2.2.1 Loại 1 Tính độ dài đoạn thẳng

A Phương pháp giải

 Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Thalès

 Bước 2: sử dụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất

của tỷ lệ thấp để tìm độ dài của đoạn thẳng

Ví dụ 6: Tính x trong các trường hợp sau

Hình 1 Hình 2

Áp dụng định lý Thalès trong △ABC, ta có:

3 (cm)

Ví dụ 11: Cho hình vẽ bên, có AB // CD Biết rằng EA = 4 cm, EB = 5 cm,

ED + EC = 18 cm, AB + CD = 22,5 cm Tính EC, ED, AB, DC

Ta có EA

EDHay 4

Câu 2: Cho hình vẽ, biết DE // BC, EH // AB và BC = 12 Độ dài x, y, z trong

hình lần lượt là:

Câu 3: Cho hình vẽ, biết MN // BC, ND // AB, BC = 9 Độ dài y trong hình

gần với giá trị nào dưới đây?

Câu 4: Cho hình vẽ, biết HK // BC Độ dài x bằng:

Câu 5 Cho hình vẽ, trong đó DE // MN, MD = 6 cm, NE = 5 cm, NP = 9 cm

Độ dài MP bằng:

Câu 6: Tìm độ dài DE trong hình vẽ dưới đây Biết AB = 5 cm, AC = 6 cm,

AD = 7,5 cm và BD // CE

2.2.2 Loại 2 Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ

A Các ví dụ và định hướng giải

Ví dụ 12 Cho hình thang ABCD có (AB // CD) và AB < CD Đường thẳng

song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M, N Chứng minh

AC suy ra d // BC ( theo định lý Thalès đảo)

 Vì B’C’ // BC nên theo định lý Thalès ta có AB

Ví dụ 14: Trong Hình 26, các thanh AA’, BB’, CC’, DD’ của giàn gỗ song

song với nhau Không sử dụng thước đo, hãy giải thích vì sao độ dài các đoạn AB, BC, CD lần lượt tỉ lệ với độ dài các đoạn A’B’, B’C’, C’D’

Định hướng giải:

Xét ∆ECC’với DD’ // CC’, ta có: ED

D’C’ (định lý Thalès) Suy ra ED

D’C’ (1) Xét ∆EBB’với DD’ // BB’, ta có: ED

D’B’ (định lý Thalès) Suy ra ED

D’A’ (định lý Thalès) Suy ra ED

Câu 1:Tam giác ABC , đường cao AH Đường thẳng d song song với

BC , cắt các cạnh AB , AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B’, C’, H’ Chứng minh

Câu 3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, N, Q, P Chứng minh

a) DN

ACb) MN = PQ

2.3 Dạng 3 Sử dụng hệ quả của định lý Thalès để tính độ dài đoạn thẳng

A Phương pháp giải

 Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ nhờ hệ quả của định lý Thalès

 Bước 2: Sử dụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tính

Ví dụ 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, MN // BC (MAB, NAC), AB =

24 cm, AM =16 cm, AN= 12 cm Tính độ dài của các đoạn thẳng NC và NB

Lại có tam giác ANB vuông tại A Tính được 𝑁𝐵 = √𝐴𝑁2 + 𝐴𝐵2 = 12√5

Ví dụ 17: Cho hình sau, Biết MN // BC và AM

2; BC = 6 cm Tính MN

C Bài tập đề nghị

Bài 1: Tìm độ dài y trong hình dưới đây, biết IK // MN

Bài 2: Cho tam giác ABC, một đường thẳng d song song với BC cắt 2 cạnh

AB và AC lần lượt tại M và N sao cho AM = 13cm, MB = 11 cm và MN = 8

cm Tính BC

Bài 3: Cho hình vẽ, biết DE // BC, EH // AB và BC = 12 Độ dài x, y, z trong

hình lần lượt là:

Bài 4: Cho tam giác MNP, đường thẳng d song song với NP cắt hai cạnh MN

và MP lần lượt tại R và Q Chu vi tam giác MNP là 60cm và chu vi tam giác MQR là 20cm, PN = 12cm Tính RQ

Bài 5: Cho tam giác ABC CÓ AB = 5 cm, AC = 9 cm Kẻ đường thẳng d

song song với BC cắt AB, AC thứ tự tại E, F Xác định vị trí điểm E sao cho

AE = CF

Bài 6: Cho hình vẽ, biết MN // BC, ND // AB, BC = ? Tính độ dài y?

1.4 Dạng 4 Sử dụng định lý Thalès để chứng minh các đường thẳng song

song

A Phương pháp giải

• Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác

• Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Thalès để chứng minh đoạn thẳng song song

B Các ví dụ và định hướng giải

Ví dụ 18: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi trung điểm của các

đường chéo AC và BD lần lượt M, N Chứng minh MN, AB và CD song song với nhau

∆AMC có ME là đường phân giác của 𝐴𝑀𝐶̂ nên ta có:

Ví dụ 20: Tìm các cặp đường thẳng song song dưới dình sau và chứng minh

(giải thích) vì sao chúng song song với nhau?

Ví dụ 21: Cho tứ giác ABCD Lấy điểm E thuộc đường chéo AC

Kẻ EM // BC ( M ∈ AB), EN // CD (N ∈ AD) Chứng minh MN // BD

Định hướng giải:

Áp dụng định lý Thalès ta có

AM

EC (do ME // BC ) AN

EC ( do EN // DC) Nên AM

ND, theo định lý Thalès đảo ta có MN // BD

Ví dụ 22: Cho △ABC, lấy D tuỳ ý thuộc cạnh BC, M tuỳ ý thuộc cánh AD, gọi I, K thứ tự trung điểm BM, CM Các tia DI, DK cắt AB, AC thứ tự tại E,

F Chứng minh IK // EF

Gọi N là trung điểm của AM

IN là đường trung bình của ΔAMB

 IK // EF ( định lý Thalès đảo)

C Bài tập đề nghị:

Câu 1: Cho tam giác vuông ở A, đường cao AH Từ điểm D nằm giữa H và

C, vẽ DE vuông góc DC; DK vuông góc AC Chứng minh BE // HK

Câu 2: Cho tam giác ABC, AD là đường trung tuyến của tam giác, dựng các

đường phân giác của các góc ADB và ADC cắt AB, AC, tại E và F

Chứng minh rằng: EF // BC

Câu 3: Cho tứ giác ABCD, gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác

ABC và tam giác BCD Chứng minh rằng KL // AD

Câu 5: Cho △ABC, lấy D tuỳ ý thuộc cạnh BC, M tuỳ ý thuộc cánh AD, gọi

I, K thứ tự trung điểm BM, CM Các tia DI, DK cắt AB, AC thứ tự tại E, F Chứng minh IK // EF

Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD Gọi I là

giao điểm của AM và BC và K là giao điểm của BM và AC

Chứng minh rằng: IK // AB

2.5 Dạng 5 Sử dụng hệ quả của định lý Thalès để chứng minh hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau

MK

AI (1) (hệ quả định lý Thalès) Trong ∆AIC vì MN // BC hay KN//IC nên:

AK

IC (2) (hệ quả định lý Thalès)