Ứng dụng Đa thức giải một số dạng toán sơ cấp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC Kiều Văn Long KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG ĐA THỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN SƠ CẤP Đà Nẵng – 2024... Sử dụng đa thức trong

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC

Kiều Văn Long

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG ĐA THỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG

TOÁN SƠ CẤP

Đà Nẵng – 2024

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN HỌC

Kiều Văn Long

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

LỜI CẢM ƠN 5

MỞ ĐẦU 6

CHƯƠNG 1: Kiến thức cơ sở 8

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 8

1.2 Đa thức 9

1.2.1.Phép chia có dư: 9

1.2.3.Nghiệm của đa thức 10

1.2.4 Nghiệm bội 10

1.2.5.Định lý Bezout 10

1.2.6.Biểu diễn đa thức thông qua các nghiệm của nó 10

1.2.7.Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên 10

1.3 Công thức viete, lược đồ hoocner 11

1.3.1.Công thức Viete 11

1.3.2.Lược đồ Hooner 12

1.4 Đa thức đồng dư 12

1.5 Xây dựng các vành đa thức nhiều ẩn 13

1.7 Đa thức đối xứng 14

1.7.1.Định nghĩa đa thức đối xứng 14

1.7.2.Ví dụ các đa thức đối xứng sau gọi là đa thức đối xứng cơ bản 14

1.7.3.Đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản 14

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG ĐA THỨC TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 15

2.1 Sử dụng đa thức trong việc giải các bài tập đại số 15

2.2 Sử dụng đa thức trong việc giải các bài tập số học 22

2.3 Sử dụng đa thức trong việc giải các bài toán phương trình hàm 31 2.3.1 Kiến thức cơ sở31

2.4.1 Kiến thức cơ sở 32 KẾT LUẬN CHUNG 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên em xin chân thành cảm ơn đến thầy giáo hướng dẫn TS Lê Văn Dũng Bước đầu tiếp cận còn nhiều khó khăn nhưng được thầy tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và đưa

ra những lời khuyên để em hoàn thành được bài khóa luận này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học

Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa

Vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn chỉnh và phát triển hơn đề tài

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 21 tháng 04 năm 2024

SINH VIÊN

Kiều Văn Long

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và cũng là công

cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác

và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy

Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó đa thức là một khái niệm cơ bản

và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số mà còn trong giải tích, toán cao cấp và toán ứng dụng

Tuy nhiên cho đến nay, vấn đề đa thức và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán sơ cấp mới chỉ được trình bày sơ lược, chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết Tài liệu về đa thức còn ít, chưa được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nên việc nghiên cứu về đa thức còn nhiều khó khăn

Với lý do trên, em xin được chọn đề tài: “ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại,

hệ thống một số bài toán về đa thức và các ứng dụng của nó trong môn toán ở nhà trường phổ thông

Nội dung khóa luận được chia làm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ứng dụng đa thức giải một số dạng toán sơ cấp

2 Mục đích nghiên cứu

Với mục đích hệ thống hóa lại lý thuyết về đa thức, phân loại và tổng hợp lại các dạng bài tập thường gặp về đa thức, sử dụng làm tài liệu cho học sinh lớp chuyên toán tham khảo

ôn thi học sinh giỏi các cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đa thức và các phép toán trên đa thức

- Nghiệm của đa thức, định lý Viet

- Vành đa thức

- Một số bài toán sơ cấp có thể ứng dụng đa thức để giải

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu liên quán đến nội dung đề tài cụ thể: Đa thức bất khả quy, Đa thức,…

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân, các bạn học xung quanh để tổng hợp và hệ thống các kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học kết hợp đưa ra các bài toán cụ thể để hiểu rõ sâu hơn về vấn đề

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thức của đề tài nghiên cứu

5 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm hai chương:

Chương I: Cơ sở lý thuyết về đa thức

Chương này trình bày định nghĩa về đa thức và các phép toán trên đa thức, nghiệm của đa thức, … và những định lý có liên quan Chương này cung cấp các nội dung làm cơ sở cho chương sau

Chương II: Ứng dụng đa thức trong giải toán sơ cấp

Chương này là phần chính của khóa luận, trình bày những ứng dụng của đa thức trong giải toán sơ cấp Chương này chia thành hai phần chính là ứng dụng trong giải bài tập đại số và bài tập số học

CHƯƠNG 1: Kiến thức cơ sở

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn

Cho A là vành giao hoán có đơn vị (ký hiệu là 1) Khi đó:

P={( , , ,a a0 1 a n, ) /a iA a, i =  0 i }, cùng với hai phép toán:

Lập thành một vành giao hoán có đơn vị 1=(1, 0, 0, , 0, )

Ta gọi P là vành đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là một đa thức

Xét ánh xạ:

:( ,0, ,0, )

(0, 0,1, 0, , 0, ),(0, 0, 0,1, 0, , 0, ),

0, , 0,1, 0, , 0,

n

n

x x

Thay cho P viết [ ] A x và gọi là vành đa thức của ẩn x , lấy hệ tử trong A Mỗi phần

tử thuộc [ ]A x gọi là đa thức của ẩn x được ký hiệu là: ( ), ( ), f x g x

1.2 Đa thức

Định nghĩa 1.2 Cho F là một vành giao hoán và a a0, , ,1 a n với F a 0 0 Ta gọi

f là một đa thức nếu f là hằng số hoặc tồn tại n  sao cho

1

f x =a x +a − x − + +a x+ Đa thức này được gọi là đa thức một biến a x

+) a a0, , ,1 a được gọi là các hệ số của đa thức; n a  được gọi là hệ số cao nhất, n 0 a 0

được gọi là hệ số tự do, các a x i i i( =0,n) được gọi là hạng tử của đa thức

+) Tập tất cả các đa thức một biến x lấy hệ số trên F (với F là một vành giao hoán ) được ký hiệu là F x  

Ngoài ra với những đa thức có nhiều biến có dạng:

, 0( , )

Nếu ( )r x  thì deg ( )0 r x deg ( )g x Đa thức ( )q x được gọi là thương và ( ) r x

được gọi là dư của phép chia ( )f x cho ( ) g x

Nếu ( )r x = thì ( )0 f x g x trong [ ]( ) A x

1.2.3 Nghiệm của đa thức

Định nghĩa 1.2.1

Cho K là một vành chứa vành A Phần tử K gọi là nghiệm của đa thức ( ) [ ]

f x A x nếu và chỉ nếu ( )f  = 0

Ta cũng có thể nói  là nghiệm của phương đại số ( )f x = trong K 0

Nếu deg ( )f x = thì phương trình ( ) 0n f x = gọi là phương trình đại số bậc

Phần tử A là nghiệm của đa thư ( )f x A x[ ] khi và chỉ khi ( ) (f x x− a)

1.2.6 Biểu diễn đa thức thông qua các nghiệm của nó

*Định lý:

Cho đa thức f x( )=a x0 n +a x1 n−1+ + a(n−1)x+a nA x a[ ]; 0 0 thì tồn tại

trường K  và ( )A f x có thể viết dưới dạng:

f x =a x− x− x− trong vành K x [ ]

với  1, 2, ,n là những nghiệm của đa thức ( )f x trong K

1.2.7 Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

a) Nhận xét:

Với mọi ( )f x Q x[ ] luôn tìm được aQ* để f x( )=a f x ( ); ( )1 f x1  [ ].x

Do đó f x = khi và chỉ khi ( ) 0 f x =1( ) 0 Để tìm nghiệm hữu tỉ của f x ta ( )chuyển về tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên f x1( ).

b) Định lý 1:

Cho f x( )=a x0 n +a x1 n−1+ + a n−1x+ a n [ ]x

Nếu phân số tổi giản p

q là nghiệm của đa thức ( )f x thì: p a n và q a0

c) Định lý 2:

Nếu phân số tổi giản p

q là nghiệm của đa thức với:

1

f x =a x +a x − + +a− x+ a x

thì với mọi số nguyên m ta có ( )f m chia hết cho ( p−mq)

Trường hợp đặc biệt p+q là ước của ( 1),f − p− là ước của (1).q f

d) Nhận xét:

(1)1

f



− và

( 1)1

f



−+ đều nguyên

1.3 Công thức viete, lược đồ hoocner

1.3.1 Công thức Viete

Cho f x( )=a x0 n +a x1 n−1+ + a n−1x+ a n A x[ ]; deg ( )f x = Giả sử ( )n f x có n

nghiệm  1, 2, n  với K K  Khi đó: A

a a

a a

a a a

Ki hiệu 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥), (x) ∈ 𝐴[𝑥]

1 Nếu 𝑝(𝑥) ≡ 𝑝(𝑥) (𝑚𝑜𝑑(𝑥)) thì 𝑞(𝑥) ≡ 𝑝(𝑥) (𝑚𝑜𝑑(𝑥))

2 Nếu 𝑝(𝑥) ≡ 𝑝(𝑥) (𝑚𝑜𝑑(𝑥)) và 𝑝(𝑥) ≡ 𝑟(𝑥) (𝑚𝑜𝑑(𝑥)) thì:

𝑝(𝑥) ≡ 𝑟(𝑥) (𝑚𝑜𝑑(𝑥))

3 Cho các đa thức bất kỳ 𝑝1(𝑥), 𝑝2(𝑥),… , 𝑝𝑛(𝑥), 𝑞1(𝑥), 𝑞2(𝑥), … , 𝑞𝑛(𝑥) và

𝑢1(𝑥), 𝑢2(𝑥),… , 𝑢𝑛(𝑥) ∈ 𝐴[𝑥] Nếu 𝑝𝑖(𝑥) ≡ 𝑝𝑖(𝑥) (𝑚𝑜𝑑(𝑥)) với mọi i=1, 𝑛̅̅̅̅̅ thì

1.5 Xây dựng các vành đa thức nhiều ẩn

ta xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

giả sử A là vành giao hoán có đơn vị 1

Đặt 𝐴1 = 𝐴[𝑥1] Khi đó 𝐴1 là vành giao hoán có đơn vị 1

Đặt 𝐴2 = 𝐴[𝑥2] = 𝐴[𝑥1, 𝑥2] Khi đó 𝐴2 là vành giao hoán có đơn vị 1

Cứ tiếp tục như vậy

1.7 Đa thức đối xứng

1.7.1 Định nghĩa đa thức đối xứng

Đa thức 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛) ∈ 𝐴[𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛] được gọi là đa thức đối xứng nếu 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝑛) với (𝑖1, 𝑖2, 𝑖𝑛 )là hoán vị bất kì của {1,2,…,n} Nói cách khác, một đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển của nó

1.7.2 Ví dụ các đa thức đối xứng sau gọi là đa thức đối xứng cơ bản

b) Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản

- Phương pháp dựa theo hạng tử cao nhất của đa thức

- Phương pháp hệ tử bất định

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG ĐA THỨC TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

2.1 Sử dụng đa thức trong việc giải các bài tập đại số

Bài toán 2.1 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ thỏa mãn 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6 𝑣à 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 9

Bài toán 2.2 Tìm ba số 𝑎, 𝑏, 𝑐 biết rằng đa thức 𝑃(𝑥) = 𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 chia hết cho

𝑥 − 2 và chia cho 𝑥2 − 1 dư 2𝑥

Lời giải

Ta có:

𝑃(𝑥) chia hết cho 𝑥 − 2, suy ra 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)𝑄(𝑥)

𝑃(𝑥) chia cho 𝑥2− 1 dư 2𝑥, suy ra 𝑃(𝑥) = (𝑥2− 1)𝑄(𝑥) + 2𝑥

Từ đó suy ra

{

𝑃(2) = 0𝑃(1) = 2𝑃(−1) = −2

𝑎 = −10

3

𝑏 = 1

𝑐 = 103Vậy 𝑎 = −10, 𝑏 = 1, 𝑐 =10

Bài toán 2.3 Giả sử phương trình 𝑥3− 𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 có 3 nghiệm Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 2 Khi đó: 𝑎 = 12, 𝑏 = 8

Bài toán 2.5 Tìm những giá trị của tham số a sao cho những nghiệm 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 của đa thức 𝑃(𝑥) = 𝑥3+ 2𝑥2+ 𝑎𝑥 − 4 thỏa mãn 𝑥12+ 𝑥22 = 𝑥32

⟺ 𝑥3 = 𝑎

Từ đó ta có: 𝑎2 = 2 − 𝑎 ⟺ 𝑎 = 1 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑎 = −2

Bài toán 2.6 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2.7 Tìm tất cả các cặp số a, b sao cho 𝑥4+ 4𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 1 là bình phương của một đa thức

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được:

{

𝐴2 = 12𝐴𝐵 = 42𝐴𝐶 + 𝐵2 = 𝑎2𝐵𝐶 = 𝑏

𝐶2 = 1Không mất tính tổng quát, giả sử 𝐴 = 1, suy ra 𝐵 = 2, 𝐶 = ±1

Nếu 𝐶 = 1 thì 𝑎 = 6, 𝑏 = 4

Nếu 𝐶 = −1 thì 𝑎 = 2, 𝑏 = −4

Vậy có hai cặp số (a,b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là (6,4) và (2, −4)

Bài toán 2.8 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là 3 nghiệm của phương trình 𝑥3− 3𝑥 + 1 = 0 Lập phương trình bậc ba có nghiệm là

a) 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2;

b) 1−𝑎

1+𝑎,1−𝑏

1+𝑏,1−𝑐1+𝑐

𝑥3 + 3𝑥2− 𝑥 −1

3= 0

Bài toán 2.9 Xét tất cả các tam thức bậc hai 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 > 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ sao cho f(x) có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng (0,1) Trong các tam thức như thế, tìm tam thức có hệ số a nhỏ nhất

Từ (1) và (2) suy ra 1 ≤ 𝑓(0) 𝑓(1) <𝑎2

16⟹ 𝑎 > 4 ( vì 𝑎 > 0)

Mà 𝑎 ∈ ℤ 𝑛ê𝑛 𝑎 ≥ 5 Chọn tam thức có hệ số a nhỏ nhất nên nếu a=5 thì

Lời giải,

Xét đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3+ (𝑚 + 𝑏)𝑥2+ (𝑛 + 𝑐)𝑥 + 𝑝 + 𝑑 Ta có:

𝑓(𝑥2) = 𝑎𝑥6+ (𝑚 + 𝑏)𝑥4+ (𝑛 + 𝑐)𝑥2+ 𝑝 + 𝑑 Khi đó 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥6 + 𝑚𝑥5+ 𝑏𝑥4+ 𝑛𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑑

Từ đó, do hàm số g(x) liên tục trên ℝ nên phương trình 𝑔(𝑥) = 0 có nghiệm trong [−√𝑥 ; √𝑥 ] (điều phải chứng minh)

Bài toán 2.11 Cho 𝑓1(𝑥) = 𝑎1𝑥2+ 𝑏1𝑥 + 𝑐1 và 𝑓2(𝑥) = 𝑎2𝑥2+ 𝑏2𝑥 + 𝑐2 là hai đa thức bậc hai với hệ số nguyên dương đều có nghiệm nhưng chúng không có nghiệm chung Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ gọi 𝑑𝑛 = (𝑓1(𝑛); 𝑓2(𝑛)) Chứng minh rằng dãy dn bị chặn

Nếu Δ=0 thì

𝑓1(𝑥) = (𝑎3𝑎1𝑥 + 𝑎3𝑏1− 𝑎1𝑏3)𝑓3(𝑥)

𝑎32 𝑣à 𝑓2(𝑥) =𝑎2𝑓1(𝑥) − 𝑓3(𝑥)

𝑎1Suy ra 𝑓3(𝑥)|𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥) Do đó chúng có nghiệm chung 𝑥0 = −𝑏3

𝑎3 (vô lý)

Nếu Δ≠0 thì |𝑑𝑛| ≤ |𝛥| suy ra (dn) bị chặn

2.2 Sử dụng đa thức trong việc giải các bài tập số học

Bài toán 2.12 Cho đa thức 𝑃(𝑥) và hai số 𝑎, 𝑏 phân biệt Biết rằng 𝑃(𝑥) chia cho (𝑥 − 𝑎)

dư A, 𝑃(𝑥) chia cho (𝑥 − 𝑏) dư B Hãy tìm dư của phép chia 𝑃(𝑥) cho (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)

Lời giải

Giả sử 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)𝑄(𝑥) + 𝐶𝑥 + 𝐷 Lần lượt thay 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 ta được:

𝑃(𝑎) = 𝐶𝑎 + 𝐷; 𝑃(𝑏) = 𝐶𝑏 + 𝐷

Mà 𝑃(𝑥) chia cho (𝑥 − 𝑎) dư A ⟹ 𝑃(𝑎) = 𝐴

𝑃(𝑥) chia cho (𝑥 − 𝑏) dư B⟹ 𝑃(𝑏) = 𝐵

𝐶𝑥 + 𝐷 =𝐴 − 𝐵

𝑎 − 𝑏 𝑥 +

𝑎𝐵 − 𝑏𝐴

𝑎 − 𝑏

Bài toán 2.13 Cho số tự nhiên lẻ P và các số nguyên 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 thỏa mãn các điều kiện

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 và tổng 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2+ 𝑑2+ 𝑒2 đều chia hết cho P Chứng minh rằng

Ta có: 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) + 𝑓(𝑐) + 𝑓(𝑑) + 𝑓(𝑒) = 0

Chuyển vế ta được 𝑎5+ 𝑏5+ 𝑐5+ 𝑑5+ 𝑒5− 5𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒

= 𝐴(𝑎4+ 𝑏4+ 𝑐4+ 𝑑4+ 𝑒4) − 𝐵(𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3+ 𝑑3+ 𝑒3)

+ 𝐶(𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2+ 𝑑2+ 𝑒2) − 𝐷 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒) ⋮ 𝑃 ( do A, B, 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2+ 𝑑2+ 𝑒2, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 đều chia hết cho P)

Suy ra vế trái cũng chia hết cho P (điều phải chứng minh)

Bài toán 2.14 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ thỏa mãn các đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

và 𝑔(𝑥) = (𝑐 − 𝑏)𝑥2+ (𝑐 − 𝑎)𝑥 + 𝑎 + 𝑏 có nghiệm chung Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 +2𝑐 ⋮ 3

Lời giải:

Ta có 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(𝑥2+ 𝑥 − 1)

Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình 𝑓(𝑥) = 0 và 𝑔(𝑥) = 0 Khi đó

+ Nếu 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 0 thì do 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 ≡ 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 3) nên 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 ⋮ 3 + Nếu 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 ≠ 0 thì do x0 là nghiệm chung của 𝑓(𝑥) = 0 và 𝑔(𝑥) = 0 nên x0

là nghiệm của phương trình 𝑥2+ 𝑥 − 1 = 0 Theo định lý về phép chia với dư, ta có

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥2+ 𝑥 − 1) + 𝑟(𝑥) (1) Trong đó 𝑟 ∈ ℤ[𝑥] và 𝑑𝑒𝑔 𝑟 < 2 Trong (1), thay 𝑥 = 𝑥0, ta được

= 𝑆𝑥2+ (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝑑𝑒 − 𝑒𝑓 − 𝑓𝑑)𝑥 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑑𝑒𝑓

Ta có 𝑓(𝑑) = (𝑑 + 𝑎)(𝑑 + 𝑏)(𝑑 + 𝑐)

= 𝑆𝑑2+ (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝑑𝑒 − 𝑒𝑓 − 𝑓𝑑)𝑑 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑑𝑒𝑓

Suy ra (𝑑 + 𝑎)(𝑑 + 𝑏)(𝑑 + 𝑐) ⋮ 𝑆

Mà 0 < 𝑑 + 𝑎, 𝑑 + 𝑏; 𝑑 + 𝑐 < 𝑆 nên S không thể là số nguyên tố Vậy S là hợp số

Bài toán 2.16 Tìm các đa thức dạng:

𝑃(𝑥) = ±(𝑥2+ 𝑥 − 1) 𝑣à 𝑃(𝑥) = ±(𝑥2− 𝑥 − 1) Với 𝑛 = 3 ta thu được các đa thức:

𝑃(𝑥) = ±(𝑥3+ 𝑥2− 𝑥 − 1) 𝑣à 𝑃(𝑥) = ±(𝑥3− 𝑥2− 𝑥 + 1) Vậy các đa thức cần tìm là

𝑃(𝑥) = ±(𝑥 ± 1) 𝑣à 𝑃(𝑥) = ±(𝑥 − 1) 𝑃(𝑥) = ±(𝑥2+ 𝑥 − 1) 𝑣à 𝑃(𝑥) = ±(𝑥2− 𝑥 − 1) 𝑃(𝑥) = ±(𝑥3+ 𝑥2− 𝑥 − 1) 𝑣à 𝑃(𝑥) = ±(𝑥3− 𝑥2− 𝑥 + 1)

Bài toán 2.17 Cho k là số nguyên dương Tìm đa thức P(x) thỏa mãn:

(𝑥 − 2001)𝑘𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2002)𝑘𝑃(𝑥 + 1) (1)

Lời giải:

Với 𝑥 = 2002 ta có: 𝑃(2002) = 0 ⟹ 𝑥 = 2002 là nghiệm của P(x)

Lại thấy 𝑥 = 2002 là nghiệm bội k của P(x)

• Khi 𝑚 = 2 thì 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 thay vào (1) ta được:

[𝑎(𝑥 − 1)2+ 𝑏(𝑥 − 1) + 𝑐] [𝑎(𝑥 + 1)2+ 𝑏(𝑥 + 1) + 𝑐]

= 𝑎(𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐)2+ 𝑏(𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑐

⟺ 𝑎2𝑥4+ 2𝑎𝑏𝑥3+ (−2𝑎2+ 2𝑎𝑐 + 𝑏2)𝑥2− 2(𝑎𝑏 − 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑎2+ 2𝑎𝑐 + 𝑐2− 𝑏2

= 𝑎3𝑥4+ 2𝑎2𝑏𝑥3 + (𝑎𝑏2+ 2𝑎2𝑐 + 𝑎𝑏)𝑥2+ (2𝑎𝑏𝑐 + 𝑏2)𝑥 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐2+ 𝑐 Đồng nhất hệ số ta được:

{

𝑎2 = 𝑎32𝑎𝑏 = 2𝑎2𝑏

⟺ 2𝑎𝑥2+ 2𝑎 = 0

⟺ 2𝑎(𝑥2+ 1) = 0

⟺ 𝑎 = 0 ⟹ 𝑄(𝑥) = 𝑏

Vậy đa thức cần tìm là 𝑃(𝑥) = 𝑏𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑏 ∈ ℝ

Bài toán 2.20 Tồn tại hay không đa thức 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑏 với a, b nguyên thỏa mãn

𝑎2− 4𝑏 ≠ 0 và nhận giá trị chính phương tại 2010 điểm phân biệt

Lời giải:

Tồn tại đa thức bậc hai có tính chất như vậy Thật vậy,

Xét 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑏, ta có 4𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑎𝑥 + 4𝑏 = (2𝑥 + 𝑎)2+ 4𝑏 − 𝑎2

Giả sử tồn tại 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥2010; 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦2010, (𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗, ∀1 ≤ 𝑖 ≠ 𝑗 ≤ 2010) là các số nguyên thỏa mãn:

{

2𝑦𝑖− 2𝑥𝑖 − 𝑎 = 4𝑃𝑖2𝑦𝑖 + 2𝑥𝑖+ 𝑎 = 4𝑃1 𝑃2… 𝑃2010