Ứng dụng hệ thức lượng vào nhận dạng và giải tam giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMDƯƠNG THỊ HỒNG THẮM ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG VÀO NHẬN DẠNG VÀ GIẢI TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2024... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMDƯƠNG THỊ HỒNG THẮM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ HỒNG THẮM

ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG

VÀO NHẬN DẠNG

VÀ GIẢI TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ HỒNG THẮM

ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG

VÀO NHẬN DẠNG

VÀ GIẢI TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2024

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo - TS Phan Đức Tuấn,Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng người đã tận tình hướng dẫn

và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện để em có thể hoàn thànhluận văn này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Ban lãnh đạo TrườngĐại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Phòng Đào tạo sau Đại học khoaToán, cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học K43 - Phương phápToán sơ cấp tại Quảng Ngãi đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học,tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện

đề tài

Nhân đây em cũng xin chân thành cảm ơn đến sự hỗ trợ về mặt tinhthần của gia đình, bạn bè và tập thể lớp K43 - Phương pháp Toán sơ cấp

đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để em có thể hoàn thành tốt khóa học

và luận văn này

Dương Thị Hồng Thắm

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

a, b, c Độ dài các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C của tam giác ABC

A, B, C Độ lớn các góc tương ứng với các đỉnh A, B, C

ha, hb, hc Độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C

la, lb, lc Độ dài các đường phân giác kẻ từ đỉnh A, B, C

ma, mb, mc Độ dài các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C

R, r Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU v

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3

1.1 Hàm lượng giác 3

1.2 Công thức biến đổi của hàm lượng giác 4

1.2.1 Các hệ thức lượng giác cơ bản 4

1.2.2 Công thức cộng cung 4

1.2.3 Công thức nhân cung 4

1.2.4 Công thức hạ bậc 5

1.2.5 Công thức biến đổi tổng thành tích 5

1.2.6 Công thức biến đổi tích thành tổng 5

1.2.7 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt 6 1.3 Hệ thức lượng cơ bản trong tam giác 7

1.3.1 Các hệ thức lượng trong tam giác 7

1.3.2 Các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác 9

1.4 Hệ thức lượng mở rộng 10

CHƯƠNG 2 NHẬN DẠNG TAM GIÁC 14

2.1 Nhận dạng tam giác cân 14

2.1.1 Tính chất và hệ thức lượng cơ bản của tam giác cân 14

2.1.2 Bài toán nhận dạng tam giác cân 16

2.2 Nhận dạng tam giác đều 26

2.2.1 Tính chất vè hệ thức lượng cơ bản của tam giác đều 26

2.2.2 Bài toán nhận dạng tam giác đều 28

2.3 Nhận dạng tam giác vuông 41

2.3.1 Tính chất và hệ thức lượng cơ bản của tam giác vuông 41

2.3.2 Bài toán nhận dạng tam giác vuông 42

CHƯƠNG 3 GIẢI TAM GIÁC 50

3.1 Phương pháp giải 50

3.1.1 Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc 50

3.1.2 Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa 51

3.1.3 Giải tam giác khi biết ba cạnh 52

3.2 Tính toán các đại lượng 53

3.3 Ứng dụng trong thực tế 58

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Cũng như mọi khoa học và các phân môn khác của Toán học, lượnggiác học ra đời và phát triển do nhu cầu của đời sống, nảy sinh từ việc cầnthiết phải đo lại ruộng đất sau những trận lũ lụt hằng năm ở sông Nin Nócũng được ứng dụng vào việc xây dựng Kim Tự Tháp - một kì quan củathế giới Với sự phát triển của hình học, lượng giác học được hình thành.Lượng giác được xem là một nhánh của Toán học đã tồn tại và phát triểntrong hàng nghìn năm qua, được dùng để tìm hiểu về hình tam giác vàmối quan hệ giữa các giá trị của góc và độ dài các cạnh của hình tam giác.Lượng giác có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn thuộcnhiều lĩnh vực khác nhau, từ thiên văn học đến nghiên cứu hình học hay kĩthuật, vật lý, kiến trúc, Có rất nhiều bài toán cần nhờ đến sự can thiệpcủa lượng giác để đo đạc, tính toán, mô phỏng, Đó là lí do vì sao lượnggiác có vai trò quan trọng trong chương trình THPT Tuy nhiên trongchương trình THPT hiện hành chỉ giới thiệu tới học sinh một số chủ đề

cơ bản như công thức lượng giác, phương trình lượng giác, hệ thức lượnggiác cũng như dừng lại ở một số bài toán cho thấy ứng dụng của nó ở mộtmức độ nhất định Cũng cần chú ý rằng, các bài toán liên quan đến chủ

đề hệ thức lượng và ứng dụng của nó là một chuyên đề tương đối khó vàxuất hiện khá thường xuyên trong các cuộc thi Toán học, đặc biệt là trongcác đề thi tuyển sinh vào đại học và các kì thi học sinh giỏi các cấp.Trong quá trình giảng dạy và được tiếp cận trực tiếp với học sinh, tôinhận thấy rằng học sinh bậc THPT gặp rất nhiều trắc trở và khó khănliên quan đến hệ thức lượng và các bài toán về ứng dụng của nó Với mongmuốn có được cái nhìn toàn cảnh cũng như tìm hiểu chuyên sâu về vấn

đề này và được sự định hướng của giảng viên hướng dẫn TS Phan ĐứcTuấn, tôi chọn đề tài “Ứng dụng hệ thức lượng vào nhận dạng vàgiải tam giác ” làm đề tài nghiên cứu của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu ứng dụng

hệ thức lượng vào nhận dạng và giải tam giác Để đạt được mục tiêu trên

đề tài sẽ nghiên cứu những nội dung sau:

- Tìm hiểu một số kiến thức cơ sở như: hàm lượng giác và công thức biếnđổi của hàm lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác

- Ứng dụng hệ thức lượng vào nhận dạng các tam giác đặc biệt như tamgiác cân, tam giác đều, tam giác vuông

- Ứng dụng hệ thức lượng vào giải tam giác

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các hệ thức lượng trong tam giác

- Pham vi nghiên cứu: Ứng dụng hệ thức lượng vào nhận dạng các tamgiác đặc biệt và giải tam giác

4 Phương pháp nghiên cứu: Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tàiliệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách vở có liên quan đến đềtài luận văn Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn,của đồng nghiệp Tìm hiểu, phân tích, nghiên cứu và trình bày các kết quả

về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn ngọn, theo hệ thống khoa học vớicác chứng minh chi tiết

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Đề tài này có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn, có thể sử dụng làmtài liệu tham khảo cho học sinh THPT và sinh viên ngành Toán, học sinhtham gia bồi dưỡng HSG Toán, giáo viên dạy Toán Việc hoàn thành đềtài nghiên cứu sẽ góp phần nâng cao năng lực chuyên môn và chất lượnggiảng dạy của bản thân

6 Nội dung của luận văn:

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành 3 chương.Trong đó:

Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ thức lượng trongtam giác;

Chương 2 Trình bày các phương pháp nhận dạng tam giác;

Chương 3 Trình bày một số phương pháp giải tam giác và ứng dụngtrong thực tế

Chương 1

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về các hàm lượng giác,các hệ thức lượng giác để làm cơ sở cho các chương sau Các kết quả trongchương này được tham khảo trong các tài liệu [5, 6, 8]

1.1 Hàm lượng giác

Hàm lượng giác là các hàm toán học của góc hoặc cung, thường đượcdùng khi nghiên cứu tam giác, các hiện tượng có tính chất tuần hoàn Cáchàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỉ lệ chiều dài haicạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỉ lệ chiều dài giữa các đoạnthẳng nối các điểm đặc biệt trên đường tròn đơn vị

Định nghĩa 1.1 Cho tam giác ABC vuông tại A, có số đo góc B bằng

1.2 Công thức biến đổi của hàm lượng giác1.2.1 Các hệ thức lượng giác cơ bản

sin2α + cos2α = 1; tan α cot α = 1;

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β;

sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β;

cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β;

cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β

1.2.3 Công thức nhân cung

sin 2α = 2 sin α cos α;

cos 2α = cos2α − sin2α = 2 cos2α − 1 = 1 − 2 sin2α;

tan 2α = 2 tan α

1 − tan2α;

sin 3α = 3 sin α − 4 sin3α;

cos 3α = 4 cos3α − 3 cos α;

tan 3α = 3 tan α − tan

3α

1 − 3 tan2α .

1.2.5 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos α + cos β = 2 cosα + β

2 cos

α − β

2 ;cos α − cos β = −2 sinα + β

2 sin

α − β

2 ;sin α + sin β = 2 sinα + β

2 cos

α − β

2 ;sin α − sin β = 2 cosα + β

2 sin

α − β

2 ;tan α + tan β = sin (α + β)

cos α cos β;tan α − tan β = sin (α − β)

cos α cos β;cot α + cot β = sin (α + β)

sin α sin β;cot α − cot β = sin (α − β)

sin α sin β.

1.2.6 Công thức biến đổi tích thành tổng

cos α cos β = 1

2[cos (α + β) + cos (α − β)] ;sin α sin β = 1

2 [cos (α − β) − cos (α + β)] ;sin α cos β = 1

2[sin (α + β) + sin (α − β)]

1.2.7 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

a Hai góc đối nhau

bsin B =

csin C = 2R.

2

2 + cot

C2



= b cos C + c cos B;

b = r

cotC

2 + cot

A2



= c cos A + a cos C;

c = r

cot A

2 + cot

B2

1.3.2 Các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác

Trong mọi tam giác ABC, ta có:

1 sin A + sin B + sin C = 4 cosA

2 sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C;

3 sin2A + sin2B + sin2C = 2 (1 + cos A cos B cos C) ;

6 cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C;

7 cos2A + cos2B + cos2C = 1 − 2 cos A cos B cos C;

Mệnh đề 1.1 Mọi tam giác ABC, ta có

cot A + cot B + cot C = a

2+ b2+ c2

Chứng minh Áp dụng Định lý sin và Định lý cosin ta có

cot A+cot B+cot C = (b

p(p − a)(p − b)(p − c)

2A

2.Vậy

sin A

2 =

r(p − b)(p − c)

Mệnh đề 1.3 Mọi tam giác ABC, ta có

bc(b2− c2) cos A + ca(c2− a2) cos B + ab(a2− b2) cos C = 0.Chứng minh Áp dụng Định lý cos, ta có

2− a2)(c2+ a2− b2)

c4− a4− b2c2+ a2b2

2ab(a2− b2) cos C = (a

bc(b2− c2) cos A + ca(c2− a2) cos B + ab(a2− b2) cos C = 0

Mệnh đề 1.4 Mọi tam giác ABC, ta có

a sin(B − C) + b sin(C − A) + c sin(A − B) = 0

Chứng minh Ta có

a sin(B − C) = a sin B cos C − cos B sin C

= a

b2R.



= b

2− c2

2R .Tương tự ta có

a sin(B −C)+b sin(C −A)+c sin(A−B) = b

a sin(B − C) + b sin(C − A) + c sin(A − B) = 0

Mệnh đề 1.5 Trong tam giác ABC, ta có

sinA2cos B

2 cos

C2+

sinB2cos C

2 cos

A2+

sinC2cos A

2 cos

B2

sin A + sin B + sin C = 4 cos A

Mệnh đề 1.6 Trong tam giác ABC, ta có

sin A + sin B − sin Ccos A + cos B − cos C + 1 = tan

Chứng minh Sử dụng hệ thức lượng cơ bản trong tam giác, ta có

=

4 cosC2

cos A

cos A − B

2 − sinA

2 sin

B2

Do đó

sin A + sin B − sin C

cos A + cos B − cos C + 1 = cot

2.2 cos

A

2 cos

B2

Chương 2 NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Trong chương này, tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản củatam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, các phương pháp nhận dạngtam giác từ đó sáng tạo nên các bài toán mới

2.1 Nhận dạng tam giác cân

2.1.1 Tính chất và hệ thức lượng cơ bản của tam giác cân

Định nghĩa 2.1 Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau Haicạnh bằng nhau đó được gọi là cạnh bên Đỉnh của một tam giác cân làgiao điểm của hai cạnh bên Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh,hai góc còn lại gọi là góc ở đáy

Tính chất 2.1 Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau

Tính chất 2.2 Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnhđáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao của tamgiác đó

Nhận xét 2.2 Trong một tam giác cân thì trực tâm, trọng tâm, tâm củađường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm của đường tròn nội tiếp tam giác sẽthẳng hàng với nhau Đường thẳng đó chính là đường trung tuyến, đồngthời cũng là đường phân giác, đường trung trực và đường cao ứng vớicạnh đáy.

Định nghĩa 2.3 Tam giác vuông cân là tam giác có hai cạnh góc vuôngbằng nhau

Nhận xét 2.4 Ta có một số nhận xét đối với tam giác vuông cân như sau:

• Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng nhau và bằng 45o

• Các đường đồng quy như đường cao, đường trung tuyến, đường phângiác kẻ từ đỉnh góc vuông của tam giác vuông cân trùng nhau và bằngmột nửa cạnh huyền

Chú ý 2.5 Để chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta có thể sửdụng hai cách sau đây:

• Chứng minh hai cạnh của tam giác bằng nhau.

• Chứng minh hai góc của tam giác bằng nhau

2.1.2 Bài toán nhận dạng tam giác cân

Các bài toán về nhận dạng tam giác cân thường có dạng: "Cho tamgiác ABC thỏa mãn tính chất nào đó và chứng minh tam giác ABC cân"

Để giải quyết dạng toán này, ta có thể làm như sau:

Bước 1: Dự đoán tam giác ABC cân tại đâu

Bước 2: Chú ý vào tính đối xứng của tam giác cân Chẳng hạn như dựđoán tam giác ABC cân tại A, khi đó ta cần tập trung vào việc chứngminh bB = bC hoặc AB = AC

Bước 3: Sử dụng dữ kiện của bài toán để chứng minh

Để cụ thể hơn, tôi chia bài toán nhận dạng tam giác cân thành 2dạng chính:

Cách 2: Sử dụng tính đối xứng của tam giác cân và xét hàm số.

Chú ý 2.6 Cho hàm số y = f (x) tăng hoặc giảm trong (a; b) Khi đó,

f (u) = f (v) ⇔ u = v, ∀u, v ∈ (a, b)

Ví dụ 2.7 ([5]) Cho ∆ABC có

1 + cos Bsin B =

2a + c

√4a2− c2.Chứng minh tam giác ABC cân

Chứng minh Từ giả thiết đề bài, bình phương hai vế ta có

(1 + cos B)2sin2B =

(2a + c)2(√

4a2− c2)2.Điều này tương đương với

(1 + cos B)2

1 − cos2B =

(2a + c)24a2− c2 ,khi đó

Thay vào (2.1) ta được

1 + cos B

1 − cos B =

2 sin A + sin C

2 sin A − sin C

⇔2 sin A − sin C + 2 sin A cos B − sin C cos B

=2 sin A + sin C − 2 sin A cos B − sin C cos B

Do đó

4 sin A cos B = 2 sin C ⇔ 2 [sin(A + B) + sin(A − B)] = 2 sin C

⇔ 2 [sin C + sin(A − B)] = 2 sin C

⇔ sin(A − B) = 0

⇔ A = B

Như vậy, tam giác ABC cân tại C

Ví dụ 2.8 (Bài tập sáng tạo) Cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn

1 + sinC

2cos C2

=2(a + c) + ac + c

2

ar

4(a + c)2− (a + c)

2c2

a2

Chứng minh tam giác ABC cân

Chứng minh Từ giả thiết đề bài, bình phương hai vế ta có

=

2(a + c) + (a + c)c

1 − c2a

sin A = cosC

2

⇔ sin A = sin π

2 − C2



⇔2 cos

A + π

2 − C2

A − π

2 +

C2

A + π − A − B

π2

Do đó

A = B

Vậy tam giác ABC là tam giác cân

Ví dụ 2.9 ([5]) Cho tam giác ABC thỏa mãn

cos2A + cos2Bsin2A + sin2B =

1

2(cot

2A + cot2B)

Chứng minh tam giác ABC cân

Chứng minh Từ giả thiết, ta có được

1sin2B).

Khi đó

(sin2A + sin2B)2 = 4sin2Asin2B

Điều này tương đương với

sin2A = sin2B ⇔

 a2R

2

=

b2R

2

⇔ a = b

Như vậy, tam giác ABC cân tại C

Ví dụ 2.10 (Bài tập sáng tạo) Cho tam giác ABC có bC ̸= 900 và thỏamãn

cos2A + cos2Bsin2A + sin2B = tan

2 C

2.Chứng minh tam giác ABC cân

Chứng minh Từ giả thiết, ta có được

cos2A + cos2Bsin2A + sin2B + 1 = tan

2 C

2 + 1.

Điều này tương đương với

2sin2A + sin2B =

1cos2C2

Khi đó

sin2A + sin2B = 2 cos2C

2.Suy ra

2 + 2 cos A cos B cos C − sin2C = 1 + cos C

⇔ 2 cos A cos B cos C + cos2C = cos C

Vì bC ̸= 900 nên ta suy ra được

2 cos A cos B + cos C = 1

⇔ cos(A + B) + cos(A − B) + cos C = 1

⇔ − cos C + cos(A − B) + cos C = 1

⇔ cos(A − B) = 1

Suy ra

A = B

Như vậy, tam giác ABC cân tại C

Ví dụ 2.11 ([3]) Cho tam giác ABC thỏa mãn

Chứng minh Ta giả thiết của bài toán, ta có

A = B.

Như vậy, tam giác ABC cân tại C

Ví dụ 2.12 (Bài tập sáng tạo) Cho tam giác ABC thỏa mãn

Chứng minh Từ giả thiết bài toán ta có

⇔ tan A

2.

1cosn−1A

2

= tan B

2.

1cosn−1B

Nhận xét 2.13 Trong bài toán nhận dạng tam giác cân, ta sẽ gặp trườnghợp tam giác cân đặc biệt như tam giác vuông cân, tam giác cân có mộtgóc bằng 2π

3 , Ta xét bài toán sau:

Cho tam giác ABC thỏa mãn

cos 2A + x(cos 2B + cos 2C) + x

2

2 + 1 = 0, − 2 < x < 2, x ̸= 0.Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân và tính số đo góc A

1 Lấy x = 1, ta có bài toán:

Cho tam giác ABC thỏa mãn

cos 2A + cos 2B + cos 2C + 3

2 = 0.

Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân và tính số đo góc A

Đối với dạng toán này, ta có thể làm theo các bước sau đây:

Bước 1: Từ hệ thức đã cho, ta cần biến đổi thành hệ thức thuận lợi choviệc chứng minh bất đẳng thức

Bước 2: Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh

Bước 3: Tìm điều kiện để dấu bằng xảy ra và ta có điều phải chứng minh.Chú ý 2.14 Bất đẳng thức Cauchy

Với a1, a2, , an không âm, ta có

Ví dụ 2.16 ([3]) Cho tam giác ABC có chiều cao ha = pp (p − a) Chứngminh tam giác ABC cân.

Như vậy, tam giác ABC cân tại A

Ví dụ 2.17 ([3]) Cho tam giác ABC Biết rằng

4p − a − b = 2pc2+ bc + ac + ab

Chứng minh tam giác ABC cân

Chứng minh Từ giả thiết của đề bài, ta có

4.a + b + c

2 − a − b = 2p(c + a)(c + b) ⇔ 2c + a + b = 2p(c + a)(c + b).Điều này tương đương với

Ví dụ 2.18 (Bài tập sáng tạo) Cho tam giác ABC thỏa mãn

a2b2+ c4 = 2abc2.Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân

Chứng minh Từ giả thiết của đề bài, ta có được

a2b2+ c4+ a2c2+ b2c2 = a2c2+ 2abc2+ b2c2.Điều này tương đương với

a2(b2+ c2) + c2(c2+ b2) = (ac + bc)2.Khi đó,

(b2+ c2)(c2+ a2) = (bc + ca)2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có được

(b2+ c2)(c2+ a2) ≥ (bc + ca)2.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

bc = ca ⇔ b = a

Vậy tam giác ABC cân tại C

2.2 Nhận dạng tam giác đều

2.2.1 Tính chất vè hệ thức lượng cơ bản của tam giác đều

Định nghĩa 2.19 Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

Tính chất 2.3 Trong một tam giác đều, ba góc bằng nhau và bằng 60o.

Tính chất 2.4 Trong một tam giác đều, đường trung tuyến của tam giácđồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giácđó

Nhận xét 2.20 Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâmđường tròn nội tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác trùng nhau.Chú ý 2.21 Để chứng minh tam giác đều, ta có thể chứng minh bằngcác cách sau đây:

• Chứng minh ba cạnh của tam giác bằng nhau

• Chứng minh ba góc của tam giác bằng nhau

• Chứng minh tam giác cân có một góc bằng 60o.

• Tam giác có hai góc bằng 60o

2.2.2 Bài toán nhận dạng tam giác đều

Nhận xét 2.22 Nhìn chung tất cả các Bất đẳng thức đối xứng với bagóc A, B, C hoặc ba cạnh a, b, c đều xảy ra dấu bằng tại A = B = C = π

3hoặc a = b = c, tức là lúc đó tam giác ABC đều Vì thế ta có thể chuyểntất cả các bài toán Bất đẳng thức đối xứng trong tam giác về các bài toánnhận dạng tam giác đều

Định lý 2.5 Tam giác ABC thỏa mãn một trong các hệ thức sau là tamgiác đều

1 cos A + cos B + cos C = 3

6 cot A + cot B + cot C = √

cos A + cos B + cos C = 2 cosA + B

A − B

2 + 1 − sin

2C2

⇔ 2P =

cos A

2 − B2



− cos A

2 +

B2

2 − B2



+ cos2 A

2 − B2

+ 1 − cos2 A

2 − B2

2

+ sin2 A

2 − B2

sin A

2 − B2



= 0

Điều này tương đương với

A = B = C

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

(3): Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số cos A, cos B, cos C ta được

27 cos A cos B cos C ≤ (cos A + cos B + cos C)3.Điều này suy ra

(cos A + cos B + cos C)3 ≥ 27

8 ⇔ cos A + cos B + cos C ≥ 3

2.

Từ kĩ thuật chứng minh của ý (1), ta suy ra

cos A + cos B + cos C = 3

2.

Từ ý (1), suy ra tam giác ABC đều.

cos(A − B) = 1 và cos C = cos(A − B)

Do đó

A = B và C = π

3.Vậy nên, tam giác ABC đều

(5): Từ hệ thức lượng cơ bản trong tam giác, ta có:

2

≥ 3

tanA



= 3.1 = 3Suy ra