Toán thực tế ứng dụng hệ thức lượng

TUYỂN TÂP BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG (CĨ BÀI GIẢI CHI TIẾT) Bài 1: Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vng để đo chiều cao dừa, với kích thước đo hình bên Khoảng cách từ vị trí gốc đến vị trí chân người thợ 4,8m từ vị trí chân đứng thẳng mặt đất đến mắt người ngắm 1,6m Hỏi với kích thước người thợ đo chiều cao bao nhiêu? (làm trịn đến mét) Bài giải:  Hình vẽ minh họa toán: C B D 1,6m 4,8m A H  Xét tứ giác ABDH có: ^ B= ^ H=90 ^ A= (hình vẽ) ⇒ Tứ giác ABDH hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) ⇒ BA=DH=1,6m ; BD=AH=4,8m  Xét ∆ADC vuông D DB đường cao, ta có: DB =BA BC (hệ thức lượng) ⇒ BC= DB 4,8 = =14,4m BA 1,6 ⇒ AC=AB+BC=1,6+14,4=16m  Vậy chiều cao dừa 16m Bài 2: Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B nằm bên bờ sơng, ơng Việt vạch từ A đường vng góc với AB Trên đường vng góc lấy đoạn thẳng AC = 30m, vạch CD vng góc với phương BC cắt AB D (xem hình vẽ) Đo AD = 20m, từ ơng Việt tính khoảng cách từ A đến B Em tính độ dài AB số đo góc ACB Bài giải:  Xét ∆BCD vng C CA đường cao, ta có: AB AD=AC (hệ thức lượng) AC 30 ⇒ AB= = =45m AD 20  Xét ∆ABC vng A, ta có: tanACB= AB 45 = =1,5 AC 30 (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ A C^ B≈56 18'  Vậy tính độ dài AB = 45m số đo góc ACB 56018’ Bài 3: Một cau có chiều cao 6m Để hái buồn cau xuống, phải đặt thang tre cho đầu thang tre đạt độ cao đó, góc thang tre với mặt đất bao nhiêu, biết thang dài 8m (làm tròn đến phút) Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: C 8m 6m ? B A  Xét ∆ABC vuông A, ta có: sinB= AC = = BC (tỉ số lượng giác góc nhọn) ^ ⇒ B≈48 35'  Vậy góc thang tre với mặt đất 48 35' Bài 4: Một máy bay bay độ cao 12km Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường máy bay tạo góc nghiêng so với mặt đất a) Nếu cách sân bay 320km máy bay bắt đầu hạ cánh góc nghiêng (làm trịn đến phút)? b) Nếu phi cơng muốn tạo góc nghiêng cách sân bay kilơmét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)? Bài giải: a)  Hình vẽ minh họa toán: C 320km 12km ? B A  Xét ∆ABC vng A, ta có: sinB= AC 12 = = BC 320 80 (tỉ số lượng giác góc nhọn) ^ ⇒ B≈2 9'  Vậy góc nghiêng 9' b)  Hình vẽ minh họa toán: C ? 12km 50 B  Xét ∆ABC vng A, ta có: A sinB= ⇒ BC= AC BC (tỉ số lượng giác góc nhọn) AC 12 = ≈137,7km sinB sin5  Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh cách sân bay 137,7km Bài 5: Hải đăng kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận hải đăng trung tâm sách kỷ lục Việt Nam xác nhận hải đăng cao nhiều tuổi Hải đăng Kê Gà xây dựng từ năm 1897 – 1899 toàn đá Tháp đèn có hình bát giác, cao 66m so với mực nước biển Ngọn đèn đặt tháp phát sáng xa 22 hải lý (tương đương 40km) Một người thuyền thúng biển, muốn đến hải đăng có độ cao 66m, người đứng mũi thuyền dùng giác kế đo góc thuyền tia nắng chiều từ đỉnh hải đăng đến thuyền 250 Tính khoảng cách thuyền đến hải đăng (làm trịn đến m) Bài giải:  Hình vẽ minh họa toán: B 66m 250 A  Xét ∆ABC vng A, ta có: ? C tanC= ⇒ AC= AB AC (tỉ số lượng giác góc nhọn) AB 66 = ≈142m tanC tan250  Vậy khoảng cách thuyền đến hải đăng 142m Bài 6: Trường bạn An có thang dài mét Cần đặt chân thang cách chân tường khoảng cách để tạo với mặt đất góc “an tồn” 650 (tức đảm bảo thang không bị đổ sử dụng) Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: C 6m 650 B A  Xét ∆ABC vng A, ta có: cosB= AB BC (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ AB=BC.cosB=6 cos65 ≈2,5m  Vậy cần đặt chân thang cách chân tường khoảng 2,5m Bài 7: Thang xếp chữ A gồm thang đơn tựa vào Để an toàn, thang đơn tạo với mặt đất góc khoảng 750 Nếu muốn tạo thang xếp chữ A cao 2m tính từ mặt đất thang đơn phải dài bao nhiêu? Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: A 750 B 750 H C  Do tam giác ABC cân nên đường cao AH trung tuyến hay H trung điểm BC  Xét ∆ABH vng H, ta có: sinB= ⇒ AB= AH AB (tỉ số lượng giác góc nhọn) AH = ≈2,07m sinB sin750  Vậy thang đơn cần có chiều dài 2,07m Bài 8: Từ đài quan sát cao 350m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy thuyền bị nạn góc 200 so với phương ngang mực nước biển Muốn đến cứu thuyền phải quãng đường dài mét? Bài giải:  Hình vẽ minh họa toán: x B 20 350m 200 C A  Theo đề bài, ta có: B C^ A=C B^ x=20 (vì AC // Bx góc vị trí so le trong)  Xét ∆ABC vng A, ta có: tanACB= ⇒ AC= AB AC (tỉ số lượng giác góc nhọn) AB 350 = ≈961,6m tanACB tan200  Vậy muốn cứu thuyền phải quãng đường dài khoảng 961,6m Bài 9: Một khối u bệnh nhân cách mặt da 5,7cm chiếu chùm tia gamma Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) 8,3cm (xem hình vẽ) Tính góc tạo chùm tia với mặt da chùm tia phải đoạn dài để đến khối u? Bài giải:  Dựa vào hình vẽ tốn, ta có: B 8,3cm A 5,7cm C  Xét ∆ABC vng A, ta có: tanB= AC 5,7 = AB 8,3 (tỉ số lượng giác góc nhọn) ^ ⇒ B≈34 28' 2  Và: BC =AB + AC (định lý Pytago) ⇒ BC=√ AB2 +AC2 =√ ( 8,3 )2 + ( 5,7 )2 ≈10,1 ( cm )  Vậy góc tạo chùm tia với mặt da 34028’ chùm tia phải đoạn dài khoảng 10,1cm để đến khối u Bài 10: Một người quan sát đứng cách tháp 10m, nhìn thẳng đỉnh tháp chân tháp góc 55 100 so với phương ngang mặt đất Hãy tính chiều cao tháp Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: C 550 H A 100 B 10m D  Dựa vào hình vẽ minh họa, ta có: AH = BD = 10m  Xét ∆AHB vng H, ta có: tanBAH= BH AH (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ BH=AH tanBAH=10 tan10 ( m )  Xét ∆AHC vng H, ta có: tanCAH= CH AH (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒CH=AH tanCAH=10 tan55 ( m ) 0  Ta có: BC=BH+CH=10 tan10 +10 tan55 ≈16m ^ B^ '≈800 ⇒ B=  Vậy góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất 800 b)  Ta có: tanB= AC AB ⇒ AC=AB tanB=47,3 (tỉ số lượng giác góc nhọn) 15 ≈268,8m 2,64  Vậy chiều cao tịa nhà 268,8m Bài 15: Giơng bão thổi mạnh, tre gãy gập xuống làm chạm đất tạo với mặt đất góc 300 Người ta đo khoảng cách từ chỗ chạm đất đến gốc tre 8,5m Giả sử tre mọc vng góc với mặt đất, tính chiều cao tre (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: B D 300 C  Xét ∆ADC vng C, ta có: 8,5m A tanDCA = AD AC (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ AD=AC tanDCA=8,5 tan30 ( m )  Và: cosDCA= ⇒ DC= AC DC (tỉ số lượng giác góc nhọn) AC 8,5 = (m) cosDCA cos300 ⇒ AB=AD+ DC=8,5 tan30 + 8,5 ≈14,72m cos300  Vậy chiều cao tre 14,72m Bài 16: Tính chiều cao trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu cho biết hai điểm cách 89m mặt sông người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng 400 300 Bài giải:  Hình vẽ minh họa toán: B 400 A 300 D 89m C  Xét ∆ABD vng A, ta có: tanADB= ⇒ AD= AB AD (tỉ số lượng giác góc nhọn) AB AB = m tanADB tan400 (1)  Xét ∆ABC vng A, ta có: tanACB= ⇒ AC= AB AC (tỉ số lượng giác góc nhọn) AB AB = m tanACB tan300  Ta có: AD+ DC=AC (2) (vì D thuộc AC) AB AB +89= tan40 tan30 AB AB ⇔ − =89 tan30 tan40 1 ⇔ AB − =89 tan30 tan40 89 ⇔ AB= 1 − tan30 tan40 ⇔ AB≈164,7m ⇔ ( )  Vậy chiều cao trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu 164,7m Bài 17: Hai người A B đứng bờ sơng nhìn cồn sơng Người A nhìn cồn với góc 430 so với bờ sơng, người B nhìn cồn với góc 28 so với bờ sông, người đứng cách 250m Hỏi cồn cách bờ sông hai người đứng m? Bài giải:  Hình vẽ minh họa toán: C 430 280 A B H 250km  Xét ∆AHC vng A, ta có: CH tanC { A^ H= ¿ AH (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ AH= CH CH H= (m) ¿ ^ tanC { A tan430 (1)  Xét ∆BHC vuông A, ta có: CH tanC { B^ H = ¿ BH (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ BH= CH CH H= ¿ tanC { B^ tan280 (2) Từ  ⇒ AH+ BH= (1) CH CH 1 1 + ⇔ AB=CH + ⇔2 50=CH + 0 0 tan43 tan28 tan43 tan28 tan43 tan280 ⇔CH= ( ) ( (2) ) 250 ≈84,66m 1 + tan43 tan28  Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng 84,66m Bài 18: Hai thuyền A B vị trí minh họa hình vẽ Tính khoảng cách chúng (làm tròn đến mét) Bài giải:  Xét ∆AIK vng I, ta có: tanAKI= AI IK (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ AI=IK tanAKI=380 tan50 ≈453m  Xét ∆BIK vuông I, ta có: tanBKI= BI IK (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒ BI=IK tanBKI=380 tan ( 150 +500 )=380 tan65 ≈815m  Ta có: AB+ AI=BI ⇒ AB=BI−AI=815−453=362m  Vậy khoảng cách chúng 362m Bài 19: Lúc sáng, bạn An từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên xuống dốc hình vẽ Cho biết đoạn AB dài 762m, góc A = 0, góc B = 40 C 60 40 A B H a) Tính chiều cao dốc b) Hỏi bạn An đến trường lúc giờ? Biết tốc độ lên dốc 4km/h tốc độ xuống dốc 19km/h Bài giải: a)  Xét ∆ACH vng H, ta có: tanCAH= ⇒ AH= CH AH (tỉ số lượng giác góc nhọn) CH CH = ( m) tanCAH tan6 (1)  Xét ∆BCH vuông H, ta có: tanCBH= ⇒ BH= CH BH (tỉ số lượng giác góc nhọn) CH CH = (m) tanCBH tan4 (2) Từ  ⇒ AH+ BH= (1) (2) CH CH 1 1 + ⇔AB=CH + ⇔762=CH + 0 0 tan6 tan4 tan6 tan4 tan6 tan4 ( ⇒CH= ) 762 ≈32m 1 + tan60 tan4  Vậy chiều cao dốc 32m b)  Xét ∆ACH vuông H, ta có: sinCAH= CH AC (tỉ số lượng giác góc nhọn) ( )