Sử dụng thao tác tư duy phân tích giúp học sinh tìm ra lời giải một số dạng toán về xác suất trong chương trình giáo dục phổ thông 2018

Sử dụng phương pháp tổ hợp Trong nhiều bài toán, để tính số phần tử của không gian mẫu, của các biến cố, ta thường sử dụng các quy tắc đếm, các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp và tổ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

  

-KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SỬ DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH GIÚP HỌC SINH TÌM RA LỜI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

VỀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép tôi được gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 20ST4 trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2024

Sinh viên

Hồ Thị Huỳnh Thư

Ý KIẾN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn

Ngô Thị Bích Thủy

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Ý kiến của cán bộ hướng dẫn khoa học ii

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phạm vi nghiên cứu 1

5.Phương pháp nghiên cứu 1

6 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 2

1.1.Phép thử, không gian mẫu, biến cố 2

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên 2

1.1.2 Không gian mẫu 2

1.1.3 Biến cố 2

1.1.4 Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập, biến cố xung khắc 3

1.2 Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển 3

1.3 Các phương pháp tính xác xuất 3

1.3.1 Sử dụng phương pháp tổ hợp 4

1.3.2 Sử dụng sơ đồ hình cây 4

1.3.3 Xác suất của biến cố đối 4

1.4 Công thức tính xác suất 4

1.4.1 Cộng xác suất 4

1.4.2 Công thức nhân xác suất cho 2 biến cố độc lập 4

1.5 Một số yêu cầu cần đạt đối với học sinh khi học về xác suất theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 4

CHƯƠNG 2 SỬ DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH GIÚP HỌC SINH TÌM RA LỜI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018 6

2.1 Dạng 1 Bài toán áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất 6

2.1.1 Phương pháp tổ hợp 6

2.1.2 Các ví dụ 7

2.1.3 Phương pháp sơ đồ hình cây 13

2.1.4 Các ví dụ 13

2.2 Dạng 2 Bài toán sử dụng biến cố đối 19

2.2.1 Phương pháp giải 19

2.2.2 Các ví dụ 20

2.3 Dạng 3 Bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất 27

2.3.1 Phương pháp giải 27

2.3.2 Các ví dụ 28

2.4 Dạng 4 Bài toán sử dụng quy tắc nhân xác suất 40

2.4.1 Phương pháp giải 40

2.4.2 Các ví dụ 41

2.5 Các bài tập áp dụng 47

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Xác suất là một mảng kiến thức có vai trò quan trọng trong đời sống và được áp dụng rộng rãi trong thực tiễn Việc học các kiến thức về xác suất trong chương trình môn Toán bậc trung học phổ thông đòi hỏi người học phải nắm vững lý thuyết, phải biết phân tích bài toán, tình huống để tìm ra lời giải theo yêu cầu, qua đó phát triển năng lực của bản thân

Thực tế dạy và học xác suất ở trường trung học phổ thông vẫn còn một số hạn chế như giáo viên truyền thụ kiến thức một chiều, ít rèn tư duy cho học sinh Còn học sinh thì học thụ động, ghi nhớ các lời giải mẫu và thuộc dạng làm dẫn đến khi gặp tình huống yêu cầu mới, học sinh hay lúng túng, nản chí, thiếu kiên trì để phân tích bài toán đưa từ lạ thành quen

Là sinh viên Sư phạm Toán, với mong muốn nâng cao năng lực sử dụng thao tác tư duy phân tích cho học sinh, trong quá trình dạy học xác suất, tôi chọn đề tài “Sử dụng thao tác tư duy phân tích giúp học sinh tìm ra lời giải một

số dạng toán về xác suất trong chương trình giáo dục phổ thông 2018” để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua nghiên cứu các công thức, lí thuyết của chương trình xác suất,

từ đó hệ thống lại, tìm hiểu các dạng toán xác suất thường xuyên xuất hiện trong bài học mà ta có thể đề xuất các giải pháp hợp lí, gần gũi để nâng cao

sự hiểu biết và tỉ lệ giải bài của học sinh trong các bài toán xác suất

3 Đối tượng nghiên cứu

Các khái niệm và các quy tắc tính xác suất, các bài toán tính xác suất

4 Phạm vi nghiên cứu

Các kiến thức cơ bản về xác suất, các dạng toán học sinh thường gặp

trong chương trình SGK môn toán chương trình phổ thông 2018

5.Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu như: các tạp chí, các tài liệu phương pháp giảng

dạy toán cũng như tài liệu có liên quan: chương trình xác suất và sách Kết nối

tri thức với cuộc sống … các lớp 10, 11

Hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến chủ đề xác suất từ đó đưa ra các

hệ thống các dạng bài tập kèm theo cùng biện pháp nâng cao kỹ năng giải các tuyến bài tập xác suất thuộc chương trình toán lớp 10, 11 cũng như đề xuất them bài tập luyện tập, củng cố kỹ năng giải các bài toán liên quan

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu khóa luận kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục Nội dung chính của khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận

Chương 2 Sử dụng thao tác tư duy phân tích giúp học sinh tìm ra lời giải một số dạng toán về xác suất trong chương trình giáo dục phổ thông 2018

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1.Phép thử, không gian mẫu, biến cố

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện

1.1.2 Không gian mẫu

Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể khi thực hiện phép thử Không gian mẫu của phép thử được kí hiệu là Ω

1.1.3 Biến cố

Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu Ω Tập con này là tập tất

cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó

Kết quả thuận lợi cho một biến cố 𝐸 liên quan tới phép thử 𝑇 là kết quả của phép thử 𝑇 làm cho biến cố đó xảy ra

Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử 𝑇 và được

kí hiệu là tập

Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử

𝑇 được kí hiệu là tập ∅

Biến cố đối của biến cố là biến cố “ không xảy ra”

Biến cố đối của biến cố được kí hiệu là 𝐸̅

Nếu biến cố là tập con của không gian mẫu Ω thì biến cố đối 𝐸̅ là tập tất

cả các phần tử của Ω mà không là phần tử của

Vậy biến cố 𝐸̅ là phần bù của trong Ω : 𝐸̅ = 𝐶Ω𝐸

1.1.4 Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập, biến cố xung khắc

Tập Ω ∖ 𝐴 được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu 𝐴̅ Giả sử và

là hai biến cố liên quan đến một phép thử Ta có:

Biến cố hợp: Cho 𝐴 và 𝐵 là hai biến cố Biến cố “𝐴 hoặc 𝐵 xảy ra” được gọi là biến cố hợp của 𝐴 và 𝐵 , kí hiệu là 𝐴 ∪ 𝐵

Biến cố hợp của 𝐴 và 𝐵 là tập con 𝐴 ∪ 𝐵 của không gian mẫu Ω

Biến cố giao: Cho 𝐴 và 𝐵 là hai biến cố Biến cố “ cả 𝐴 và 𝐵 đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của 𝐴 và 𝐵, kí hiệu là 𝐴𝐵

Biến cố giao của 𝐴 và 𝐵 là tập con 𝐴 ∩ 𝐵 của không gian mẫu Ω

Biến cố độc lập: Cặp biến cố 𝐴 và 𝐵 được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia

Biến cố xung khắc: Biến cố 𝐴 và biến cố 𝐵 được gọi là xung khắc nếu 𝐴

và 𝐵 không đồng thời xảy ra Hai biến cố 𝐴 và 𝐵 xung khắc khi và chỉ khi

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

1.2 Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Cho phép thử 𝑇 có không gian mẫu là 𝑀̅ Giả thiết rằng các kết quả có thể của 𝑇 là đồng khả năng Khi đó nếu là một biến cố liên quan đến phép thử 𝑇 thì xác suất của 𝐸 được cho bởi công thức

trong đó và tương ứng là số phần tử của tập và tập

1.3.1 Sử dụng phương pháp tổ hợp

Trong nhiều bài toán, để tính số phần tử của không gian mẫu, của các biến

cố, ta thường sử dụng các quy tắc đếm, các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1.3.2 Sử dụng sơ đồ hình cây

Trong một số bài toán, phép thử 𝑇 được hình thành tử một vài phép thử, chẳng hạn: gieo xúc xắc liên tiếp bốn lần, lấy ba viên bi, mỗi viên từ một hộp, Khi đó ta sử dụng sơ đồ hình cây để có thể mô tả đầy đủ, trực quan không gian mẫu và biến cố cần tính xác suất

1.3.3 Xác suất của biến cố đối

Ta có công thức sau đây liên hệ giữa xác suất của một biến cố với xác suất của biến cố đối

Cho E là một biến cố Xác suất của biến cố 𝐸̅ liên hệ với xác suất của 𝐸 bởi công thức sau:

Chú ý: Hai biến cố đối là hai biến cố xung khắc Tuy nhiên; hai biến cố

xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối

1.4 Công thức tính xác suất

1.4.1 Cộng xác suất

Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Nếu 𝐴 và 𝐵 là hai biến cố xung khắc thì

Công thức cộng xác suất cho hai biến cố độc lập

Cho hai biến cố 𝐴 và 𝐵 Khi đó, ta có:

1.4.2 Công thức nhân xác suất cho 2 biến cố độc lập

Nếu hai biến cố 𝐴 và 𝐵 độc lập với nhau thì

1.5 Một số yêu cầu cần đạt đối với học sinh khi học về xác suất theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

Nhận biết được một số khái niệm về xác suất cổ điển: phép thử ngẫu nhiên; không gian mẫu; biến cố (biến cố là tập con của không gian mẫu); biến cố đối; định nghĩa cổ điển của xác suất; nguyên lí xác suất bé

Mô tả được không gian mẫu, biến cố trong một số thí nghiệm đơn giản (ví dụ: tung đồng xu hai lần, tung đồng xu ba lần, tung xúc xắc hai lần)

Tính được xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản bằng

phương pháp tổ hợp (trường hợp phép thử ngẫu nhiên)

Tính được xác suất trong một số phép thử ngẫu nhiên lặp bằng cách sử dụng

sơ đồ hình cây (ví dụ: tung xúc xắc hai lần, tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần tung bằng 7)

Nhận biết được các tính chất cơ bản của xác suất

Tính được xác suất của biến cố đối

Nhận biết được một số khái niệm về xác suất cổ điển: hợp và giao các biến cố; biến cố độc lập

Tính được xác suất của biến cố hợp bằng cách sử dụng công thức cộng Tính được xác suất của biến cố giao bằng cách sử dụng công thức nhân (cho trường hợp biến cố độc lập)

Tính được xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản bằng phương pháp tổ hợp

Tính được xác suất trong một số bài toán đơn giản bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây

CHƯƠNG 2 SỬ DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH GIÚP HỌC SINH TÌM RA LỜI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

VỀ XÁC SUẤT TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC

PHỔ THÔNG 2018

2.1 Dạng 1 Bài toán áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất

2.1.1 Phương pháp tổ hợp

Với dạng này học sinh thực hiện theo 3 bước sau:

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu (số khả năng xảy ra của phép thử):n( )

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố A đang xét (số kết quả thuận lợi): n A( )

Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi:

 Cần chọn phần tử từ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

 phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự

Khái niệm tổ hợp được áp dụng khi:

 Cần chọn phần tử từ phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

 Không quan tâm đến thứ tự phần tử đã chọn

Các bài toán trong dạng này cần sử dụng công thức và kĩ năng của toán tổ hợp Để vận dụng được phương pháp một cách thuần thục trong giải các bài toán thì giáo viên phải cho học sinh:

- Hệ thống và ghi nhớ kiến thức các bước giải

- Nắm vững cách sử dụng các phép toán tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị để áp dụng vào bài toán

- Cần chú ý đến phần liệt kê các phần tử của biến cố để không dẫn đến thiếu sót, sai sót trong kết quả

2.1.2 Các ví dụ

Ví dụ 1: ( bài 9.7 trang 86 sách toán 10 kết nối tri thức với cuộc sống) Một

hộp đựng các tấm thẻ đánh số 10,11, 20 Rút ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ Tính xác suất của các biến cố sau:

a) C “ Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ”

b) D “ Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn”

Phân tích:

Phép thử rút ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ thì xác suất rút ra thẻ mang số lẻ và xác suất rút ra thẻ mang số chẵn là như nhau

Trong bài toán này thì

 Cần chọn 2 phần tử từ 11 phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần (mỗi thẻ

sẽ có 1 lần xuất hiện)

 Không quan tâm đến thứ tự 2 phần tử đã chọn (không cần biết thẻ nào xuất hiện trước hay sau)

Nên ta sẽ sử dụng công thức tổ hợp cho bài toán

GV nhắc lại cho học sinh nhớ về phép tính tổ hợp Cụ thể trong bài toán này, rút ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ, và ta biết trong hộp có tổng cộng 11 thẻ nên không gian mẫu sẽ là:

Tiếp đến ta tính các phần tử của biến cố sau đó thay số vào công thức để được đáp án

Vậy bài toán này sử dụng phương pháp tổ hợp để tính

Do đó, không gian mẫu là

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố A đang xét (số kết quả thuận lợi):

Cả hai thẻ được rút ra đều mang số lẻ, nên 2 thẻ rút ra thuộc tập {11; 13; 15; 17; 19}

Do đó, không gian mẫu là

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi):

Cả hai thẻ được rút ra đều mang số chẵn, nên 2 thẻ rút ra thuộc tập {10; 12; 14; 16; 18,20}

Bước 3: Tính xác suất theo công thức:

Ví dụ 2: (câu 40 – đề minh họa 2019) Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy

có 3 ghế Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam, 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế

đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện một học sinh nữ bằng:

 Mỗi phần tử xuất hiện một lần.(mỗi học sinh sẽ được xếp một chỗ ngồi)

 Có thứ tự giữa các phần tử

Nên ta sử dụng hoán vị để tính toán trong dạng toán này

Suy ra bài toán này ta sử dụng phương pháp tổ hợp

(vì xếp ngẫu nhiên 6 học sinh)

Ta sẽ xét đến cách xếp các học sinh nam trước:

Học sinh nam thứ nhất có 6 cách xếp, học sinh nam thứ 2 có 4 cách xếp, học sinh nam thứ 3 có 2 cách xếp

Còn các học sinh nữ còn lại sẽ được xếp ngẫu nhiên

Từ đó ta tính được số phần tử của biến cố, sau đó thay vào công thức để được kết quả

Vậy bài toán này sử dụng phương pháp tổ hợp để tính

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu

- Phép thử T: “Xếp học sinh vào ghế”

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố

- Xét biến cố A: “Mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ”

- Học sinh nam thứ nhất có 6 cách xếp, học sinh nam thứ 2 có 4 cách xếp, học sinh nam thứ 3 có 2 cách xếp

- Học sinh nữ có: 3! cách xếp

(phần tử)

Ví dụ 3: Có 6 hành khách lên đoàn tàu gồm 4 toa Mỗi hành khách độc lập

với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất 1 toa có 4 người, 1 toa

có 2 người, 2 toa còn lại không có ai

Phân tích:

Vì mỗi hành khách sẽ có 4 cách chọn toa nên ta tính được =

Ta chia thành hai công đoạn:

- Chọn 1 trong 4 toa, chọn 4 trong 6 hành khách

- Chọn 1 trong 3 toa còn lại, 2 hành khách còn lại

Ta thấy bài toán lúc này:

 Cần chọn 𝑘 phần tử từ 𝑛 phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

 Không quan tâm đến thứ tự 𝑘 phần tử đã chọn

Nên ta sử dụng công thức tổ hợp để tính được số kết quả thuận lợi

Sau đó ta tính xác suất theo công thức

Vậy bài toán này sử dụng phương pháp tổ hợp để tính

Hướng dẫn giải:

Phép thử T “ xếp 6 hành khách lên đoàn tàu gồm 4 toa”

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu

Vì mỗi hành khách sẽ có 4 cách chọn toa nên = 4.4.4.4.4.4 =

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố

Biến cố A “ 1 toa có 4 người, 1 toa có 2 người, 2 toa còn lại không có ai” Xét hai công đoạn liên tiếp

- Chọn 1 toa trong 4 toa là , chọn 4 trong 6 hành khách lên toa đó là

- Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp 2 hành khách còn lại lên toa đó là

Bước 3: Tính xác suất theo công thức:

Ví dụ 4: Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt được

chọn từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Lấy ngẫu nhiên một số thuộc T Tính xác suất lấy một số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số cũng chia hết cho 11

Phân tích

Tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt

Ta thấy trong trường hợp này ta sử dụng công thức chỉnh hợp để tính được không gian mẫu vì:

 Cần chọn 𝑘 phần tử từ 𝑛 phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

 𝑘 phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự

Vậy tập hợp các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt là

Biến cố 𝐴 “ lấy được số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11”

Ở đoạn này chúng ta sẽ sử dụng kết hợp công thức tổ hợp và hoán vị

Từ các dữ kiện trên tìm ra số phần tử rồi thay vào công thức tính xác suất của biến cố cần tính

Vậy bài toán này sử dụng phương pháp tổ hợp để tính

Hướng dẫn giải

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu

Vì T là tập hợp các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt nên = =

3024

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố

Biến cố 𝐴 “ lấy được số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11”

Bước 3: Tính xác suất theo công thức:

=

Ví dụ 5: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm sáu chữ số phân biệt

được chọn từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có tổng ba chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm lớn hơn tổng ba chữ số còn lại 3 đơn vị

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu

Vì S là tập hợp các số tự nhiên gồm sáu chữ số phân biệt nên = 6.5.4.3.2.1= 6! = 720

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố

-Tổng ba chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm lớn hơn tổng ba chữ số còn lại 3 đơn vị tức là:

Và

Nên

Các cặp lần lượt là (1;2;6) ; (1;3;5) ; (2;3;4)

Các cặp lần lượt là (3;4;5) ; (3;4;6) ; (1;5;6)

Bước 3: Tính xác suất theo công thức:

2.1.3 Phương pháp sơ đồ hình cây

Với dạng này học sinh thực hiện theo 3 bước sau:

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu (số khả năng xảy ra của phép thử):n( ) bằng cách vẽ sơ đồ hình cây một cách trực quan

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố A đang xét (số kết quả thuận lợi): n A( ) Bước 3: Tính xác suất theo công thức:

Chú ý:

Sơ đồ cây là một công cụ hữu ích để tính toán xác suất khi có một số sự kiện độc lập liên quan, đây là một dạng toán khá đơn giản trong chương trình xác suất

Tuy nhiên khi sử dụng sơ đồ hình cây chúng ta cần chú ý cho học sinh mỗi nhánh chúng ta vẽ ra phải có xác suất xảy ra giống nhau, nếu xác suất xảy ra không đồng đều thì bài toán sẽ sai

2.1.4 Các ví dụ

Ví dụ 6: (ví dụ 2 trang 84 sách toán 10 kết nối tri thức với cuộc sống)

Có ba chiếc hộp Hộp I có chứa ba viên bi: 1 viên bi màu đỏ, 1 viên bi màu xanh và 1 viên bi màu vàng Hộp II chứa hai viên bi : 1 viên bi màu xanh và

1 viên bi màu vàng Hộp III chứa hai viên bi : 1 viên bi màu đỏ và 1 viên bi màu xanh Từ mỗi hộp ta lấy ra ngẫu nhiên một viên bi

a Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu

b Tính xác suất để ba viên bi lấy ra có đúng viên bi màu xanh

Phân tích:

Trong bài toán này có 3 trường hợp có thể xảy ra: màu đỏ, màu xanh, màu vàng Và có ba lần bốc Việc sử dụng sơ đồ hình cây lúc này sẽ trực quan hơn, dễ liệt kê các trường hợp có thể xảy ra

Ta kí hiệu từng màu bằng một chữ cái: ví dụ như kí hiệu Đ, X, V tương ứng

là viên bi màu đỏ, màu xanh và màu vàng, sau đó vẽ sơ đồ hình cây ở hộp một, ta chẻ ra thành ba nhánh và điểm kết thúc ở 3 nhánh là 3 màu khác nhau, tiếp tục ở hộp hai bao gồm 2 màu, mỗi nhánh lại có thể chẻ thành 2 nhánh tiếp theo (màu xanh hoặc màu vàng), tiếp tục ở hộp thứ III sẽ bắt đầu từ các nhánh từ hộp II, hộp III có hai màu, ta lại tiếp tục chẻ hai nhánh ở các nhánh

ở hộp II

Tính số trường hợp xảy ra trên hình vẽ vừa làm được

Áp dụng công thức tính xác suất ta được kết quả cần tìm

Vậy bài toán này ta sẽ sử dụng sơ đồ hình cây

Hướng dẫn giải:

a Kí hiệu Đ, X, V tương ứng là viên bi màu đỏ, màu xanh và màu vàng

Nhìn vào hình vẽ sơ đồ cây, ta có thể liệt kê các kết quả có thể là:

Trong một cuộc tổng điều tra dân số, điều tra viên chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba người con và quan tâm giới tính của ba người con này

a Vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các phần tử của không gian mẫu

b Giả thuyết rằng khả năng sinh con trai và khả năng sinh con gái là như nhau Tính xác suất để gia đình đó có một con trai và hai con gái

ta lại tiếp tục chẻ thành hai nhánh, từ đây ta có được 4 nhánh Ở đứa con thứ

ba, tương tự ta sẽ vẽ được sơ đồ hình cây

Nhìn vào hình ta chỉ được các trường hợp có thể xảy ra trong một gia đình 3 con: Gái Gái Gái, Gái Gái Trai, Gái Trai Gái, Gái Trai Trai, Trai Gái Gái, Trai Gái Trai, Trai Trai Gái, Trai Trai Trai

Sau đó từ các trường hợp trên ta chỉ ra trường hợp thuận lợi của biến cố trên

đề bài

Áp dụng công thức tính xác suất cho biến cố ta có được kết quả

Vậy bài toán này ta sẽ sử dụng sơ đồ hình cây

Hướng dẫn giải:

a Theo đề bài ra, ta vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu như sau:

Ví dụ 8: (bài 9.10 trang 87 sách toán 10 tập 2 kết nối tri thức và cuộc sống)

Trên một phố có hai quán ăn X,Y Ba bạn Sơn, Hải, Vân mỗi người chọn

ngẫu nhiên một quán ăn

a Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu

b Tính xác suất của biến cố “ Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y”

Phân tích:

Đề bài cho rằng ba bạn Sơn, Hải, Vân mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán

ăn trong hai quán X hoặc Y, và chú ý rằng xác suất của biến cố ta cần tính

là “Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y”

Việc sử dụng sơ đồ hình cây lúc này sẽ trực quan hơn, dễ liệt kê các trường

hợp có thể xảy ra

Ta cho Sơn là điểm đầu tiên, Sơn có hai lựa chọn vậy thì có hai nhánh được

chẻ ra từ điểm đầu tiên (ta kí hiệu mỗi trường hợp là hai màu khác nhau)

Tiếp theo tới Hải, cũng tương tự như vậy, từ hai nhánh của Sơn, ta vẽ từ mỗi

đầu nhánh thành hai nhánh nữa, tiếp tục…

Ta sẽ vẽ được sơ đồ hình cây, từ đó tính ra các trường hợp có thể xảy ra: XXX; XXY; XYX; XYY; YXX; YXY; YYX; YYY

Từ đó ta tính được số kết quả không gian mẫu, tính được số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tính Áp dụng công thức ta tính được xác suất của biến cố đề bài cho

Vậy bài toán này ta sẽ sử dụng sơ đồ hình cây

b Gọi biến cố 𝐴 “ Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y”

Khi đó nhìn vào sơ đồ thì ta dễ dàng chỉ ra các kết quả thuận lợi của biến cố

𝐴 bao gồm: XXY; XYX; YXX

Do đó A = { XXY; XYX; YXX}

Suy ra

Áp dụng công thức tính xác suất:

Vậy xác suất của biến cố : “Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y” là

Ví dụ 9: (luyện tập 2 trang 85 sách toán lớp 10 tập 2 sách kết nối tri thức với

cuộc sống) Trong trò chơi "Vòng quay may mắn", người chơi sẽ quay hai

bánh xe Mũi tên ở bánh xe thứ nhất có thể dừng ở một trong hai vị trí: Loại

xe 50cc và Loại xe 110cc Mũi tên ở bánh xe thứ hai có thể dừng ở một trong bốn vị trí: màu đen, màu trắng, màu đỏ và màu xanh Vị trí của mũi tên trên hai bánh xe sẽ xác định người chơi nhận được loại xe nào, màu gì Tính xác suất để người chơi nhận được loại xe 110cc có màu trắng hoặc màu xanh

Phân tích:

Việc sử dụng sơ đồ hình cây lúc này sẽ trực quan hơn, dễ liệt kê các trường hợp có thể xảy ra

Đề bài cho mũi tên ở bánh xe thứ nhất có thể dừng ở một trong hai vị trí: Loại

xe 50cc và Loại xe 110cc nên ta chia thành hai nhánh cây Tiếp theo mũi tên

ở bánh xe thứ hai có thể dừng ở một trong bốn vị trí: màu đen, màu trắng, màu đỏ và màu xanh nên từ các nhánh ở đầu ta chia mỗi nhánh thành 4 nhánh nhỏ tiếp Theo như sơ đồ cây, ta có các trường hợp có thể xảy ra là 50cc màu đen, 50cc màu trắng, 50cc màu đỏ, 50cc màu xanh, 110cc màu đen, 110cc màu trắng, 110cc màu đỏ, 110cc màu xanh Như vậy ta có thể tính được số phần tử của không gian mẫu cũng như số phần tử thuận lợi của biến cố và áp dụng vào công thức ta tìm được kết quả

Vậy bài toán này chúng ta sử dụng sơ đồ hình cây để giải

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra, ta vẽ được sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu của phép thử T như sau:

Theo như sơ đồ cây, ta có các trường hợp có thể xảy ra là 50cc màu đen, 50cc màu trắng, 50cc màu đỏ, 50cc màu xanh, 110cc màu đen, 110cc màu trắng, 110cc màu đỏ, 110cc màu xanh Vậy ta thấy không gian mẫu sẽ bằng

Gọi biến cố A: “Người chơi nhận được loại xe 110 cc có màu trắng hoặc màu xanh”

Vậy thì số kết quả thuận lợi của biến cố A là 110cc màu trắng, 110cc màu xanh Suy ra

Ở dạng toán này, chúng ta thực hiện theo 3 bước

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố E là

Bước 3: Tính xác suất của biến cố 𝐸 theo công thức:

Chú ý:

Để vận dụng được phương pháp biến cố đối một cách thuần thục trong giải các bài toán thì giáo viên phải cho học sinh:

- Hệ thống và ghi nhớ kiến thức về biến cố đối

- Phân biệt, biết khi nào nên sử dụng biến cố đối trong bài tập, cụ thể: những bài toán có các cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”, “tất cả”… hoặc tính chẵn, lẻ,

vô nghiệm, có nghiệm (không phải là hầu hết, tuy nhiên nếu bài toán có các dấu hiệu trên thì chúng ta thử kiểm tra xem bài toán này nên dùng cách nào

sẽ mang lại thời gian làm bài ngắn hơn, ít sai sót hơn)

- Xác định tốt mệnh đề phủ định và nắm vững cách sử dụng các phép toán tổ hợp

2.2.2 Các ví dụ

Ví dụ 10: Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Tính xác suất của các

biến cố:

a Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”

b Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”

Phân tích:

Học sinh có thể sẽ suy nghĩ và giải theo cách giải truyền thống thông thường như ở dạng 1 Ở đây, tôi sẽ làm rõ vì sao mình nên chọn cách giải ở dạng 2:

Theo cách giải ở dạng 1:

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu

Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Mỗi lần sẽ có hai trường hợp xảy

ra : sấp hoặc ngửa nên

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố

Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa tức là có 3 trường hợp

sẽ xảy ra: trong 3 lần có 1 lần xuất hiện mặt ngửa, trong 3 lần có 2 lần xuất hiện mặt ngửa và trong 3 lần có cả 3 lần xuất hiện mặt ngửa

Tức là

Bước 3: Tính xác suất theo công thức:

Tuy nhiên ở các dạng toán liệt kê như thế này sẽ khá dài và dễ dàng thiếu trường hợp dẫn đến sai kết quả

Các kết quả thuận lợi của biến cố cần tìm chia thành quá nhiều nhóm khác nhau, khó để tính đủ số lượng

Vì thế ta sử dụng biến cố đối để giải quyết bài toán

Ta xét biến cố : “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa”

Trường hợp trong 3 lần gieo không xuất hiện mặt ngửa nào chỉ có 1 trường hợp là 3 lần đều xuất hiện mặt sấp

Câu b biến cố “Trong 3 lần gieo không xuất hiện mặt ngửa nào hoặc không xuất hiện mặt sấp nào”

Trường hợp trong 3 lần gieo không xuất hiện mặt ngửa nào chỉ có 1 trường hợp là 3 lần đều xuất hiện mặt sấp

Trong bài toán này, việc sử dụng biến cố đối sẽ giải quyết rất nhanh chóng

Hướng dẫn giải:

a Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu

Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Mỗi lần sẽ có hai trường hợp xảy

ra : sấp hoặc ngửa nên

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố 𝐴 là

Biến cố A “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa” thì biến

cố “Trong 3 lần gieo không xuất hiện mặt ngửa nào”

Trường hợp trong 3 lần gieo không xuất hiện mặt ngửa nào chỉ có 1 trường hợp là 3 lần đều xuất hiện mặt sấp (trong bài này sấp kí hiệu là S, ngửa kí hiệu là N) tức là tức là:

Bước 3: Tính xác suất của biến cố theo công thức:

Vậy

Tương tự ta áp dụng cách này cho câu b

b Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu

Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Mỗi lần sẽ có hai trường hợp xảy

ra : sấp hoặc ngửa nên

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố B là

Biến cố B “Trong 3 lần gieo có hai mặt sấp, ngửa” thì biến cố “Trong 3 lần gieo không xuất hiện mặt ngửa nào hoặc không xuất hiện mặt sấp nào”

Trường hợp trong 3 lần gieo không xuất hiện mặt ngửa nào chỉ có 1 trường hợp là 3 lần đều xuất hiện mặt sấp tức là tức là

Bước 3: Tính xác suất của biến cố theo công thức:

Ví dụ 11: Trong một buổi liên hoan có 10 nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ

chồng Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ Tính xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào