TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNGUYỄN THỊ Ý NHƯ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2024... TRƯỜNG ĐẠI HỌC S
Nguyên hàm và tích phân bất định
Định nghĩa 1.1.1 Hàm F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm f(x) trong khoảng (a;b) nếu F(x) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc (a;b) và
Hàm F'(x) = f(x) cho thấy rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) Theo định lý 1.1.2, mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C, trong đó C là hằng số Định nghĩa 1.1.2 xác định rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), thì F(x) + C được gọi là tích phân bất định của hàm f(x).
Kí hiệu: R f (x)dx = F (x) +C. Định lý 1.1.3 Với các hàm f (x), g(x) khả tích trên [a;b] và k là hằng số tùy ý Khi đó, ta có
Tích phân Riemann được định nghĩa cho hàm f xác định trên đoạn [a;b] với p = {x0; x1; ; xn} là một phân hoạch của đoạn này, trong đó a = x0 < x1 < < xn = b Chúng ta đặt ∆xi = xi+1 - xi và λ = max(i=0, ,n-1) ∆xi.
Trên mỗi đoạn[x i , x i+1 ] (i = 0,1,2, , n−1), ta chọn điểmξ i ∈ [x i , x i+1 ] tùy ý và lập biểu thức (được gọi là tổng tích phân):
Nếu giới hạn hữu hạn I = lim λ→0S n không phụ thuộc vào phương pháp phân hoạch [a;b] và cách chọn điểm ξ i, thì I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên đoạn [a;b] và được ký hiệu là I b.
Tổng tích phân trên và dưới của hàm f được định nghĩa khi hàm f bị chặn trên đoạn [a;b] và p = {x₀; x₁; ; xₙ} là một phân hoạch của đoạn này Tổng dưới và tổng trên của hàm f trên đoạn [a;b] lần lượt được ký hiệu là Sₙ và Sₙ₋₁.
{f (x)}. Định lý 1.1.4 (Tiêu chuẩn khả tích) Điều kiện cần và đủ để hàm f (x) khả tích trên [a;b] là n→0lim S n −S n = 0.
Các hàm liên tục, liên tục từng khúc và đơn điệu trên một đoạn được chứng minh là khả tích trên đoạn đó Theo Định lý 1.1.5, nếu f(x) và g(x) khả tích trên đoạn [a;b] và k là một số thực, thì các điều kiện liên quan đến khả tích của chúng được xác lập.
3) Rb ak.f (x)dx = kR b a f (x)dx.
6) Nếu f(x) ≥ 0 trên đoạn [a;b] thì Rb af (x)dx ≥ 0
7) Nếu f(x) ≥ g(x) trên đoạn [a, b] thì Rb af (x)dx≥ R b a g(x)dx.
Hàm khả vi có nhiều tính chất quan trọng được thể hiện qua các định lý như sau: Định lý Fermat khẳng định rằng nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và đạt cực trị tại điểm x₀, thì đạo hàm f′(x₀) = 0 Định lý Rolle cho biết nếu hàm f liên tục trên [a;b] và khả vi trong (a;b) với f(a) = f(b), thì tồn tại điểm c trong (a;b) sao cho f′(c) = 0 Định lý Lagrange chỉ ra rằng với hàm f liên tục trên [a;b] và khả vi trong (a;b), tồn tại điểm c sao cho f′(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) Định lý Cauchy mở rộng khái niệm này cho hai hàm f và g liên tục trên [a;b] và khả vi trong (a;b), với điều kiện g′(x) ≠ 0, cho phép tìm điểm c sao cho f′(c)g′(c) = (f(g(b)) - f(g(a))) / (b - a) Cuối cùng, định lý giá trị trung bình tích phân thứ nhất và thứ hai cung cấp các mối liên hệ giữa các hàm khả tích, cho thấy rằng có những giá trị ξ trong [a;b] sao cho các tích phân của f và g có thể so sánh với nhau.
Rb af (x)g(x)dx = g(a)R ξ a f (x)dx+g(b)R b ξ f (x)dx.
Tích phân suy rộng
Định nghĩa 1.2.1 (Tích phân suy rộng loại I) Giả sử f (x) xác định trên [a; +∞)và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a;b]vớia ≤ b < +∞ Ta gọi giới hạn I= lim b→+∞
Rb af (x)dx là tích phân suy rộng loại I của f (x) trên [a; +∞) và kí hiệu
Nếu I hữu hạn ta nói tích phân suy rộng R+∞ a f (x)dx hội tụ, ngược lại
(giới hạn không tồn tại hoặc lim b→+∞
Khi tích phân Rb af (x)dx = ∞, ta nói rằng tích phân suy rộng R+∞ a f (x)dx phân kỳ Theo Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Côsi), tích phân (1.2) hội tụ nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại X > a sao cho khi X' > X và X'' > X thì điều kiện hội tụ được thỏa mãn.
< ε. Định lý 1.2.2 (Dấu hiệu so sánh) Giả sử các hàm f 1 (x) và f 2 (x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b], không âm và f 1 (x) ≤ Cf 2 (x) (C > 0) trên (a,+∞) Khi đó,
1) Nếu R+∞ a f 2 (x) hội thụ thì R+∞ a f 1 (x) hội tụ.
2) Nếu R+∞ a f 1 (x) phân kỳ thì R+∞ a f 2 (x) phân kỳ.
Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng kết quả sau: R+∞ a
Một số điểm quan trọng trong bài viết là: Một chuỗi 1 x λ hội tụ khi λ > 1 và phân kỳ khi λ ≤ 1 Định nghĩa về tích phân suy rộng loại II chỉ ra rằng nếu hàm f(x) khả tích trong từng đoạn [a+ε;b] nhưng không khả tích (hoặc không giới nội) trên toàn bộ đoạn [a;b], thì tích phân này được xác định theo định nghĩa b.
Nếu giới hạn tồn tại, tích phân (1.3) được gọi là hội tụ, ngược lại thì gọi là phân kỳ Định lý 1.2.3 (Tiêu chuẩn Côsi) chỉ ra rằng, nếu hàm f(x) xác định và liên tục trên nửa đoạn a < x ≤ b, thì tích phân (1.3) hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại σ > 0 sao cho từ bất đẳng thức 0 < x1 - a < σ và 0 < x2 - a < σ suy ra x2.
< ε. Định lý 1.2.4(Dấu hiệu so sánh) Nếu khix → a+0, f(x) =∗ 1
(f (x)là vô cùng lớn cấp λ khi x → a + 0), thì với λ < 1thì tích phân (1.3) hội tụ,còn λ ≥ 1 thì nó phân kỳ.
Nhận xét 1.2.3 Giả sử hàm số f (x) xác định trên [a; +∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b] với b > a Khi đó, với mọi số thực a ′ > a, ta có
Rb af (x)dx = R a a ′ f (x)dx+R b a ′f (x)dx.
Rb af (x)dx tồn tại (hữu hạn hoặc vô cùng) khi và chỉ khi lim b→+∞
Rb a ′ f (x)dxtồn tại và ta cóR+∞ a f (x)dxhội tụ khi và chỉ khiR+∞ a ′ f (x)dx hội tụ.
Nếu một trong hai tích phân suy rộng tồn tại, thì có thể viết: \( R_{+\infty} a f(x)dx = R_{+\infty} a' f(x)dx + R_{+\infty} a' f(x)dx \) Định lý 1.2.5 cho biết rằng nếu các tích phân suy rộng \( R_{+\infty} a f(x)dx \) và \( R_{+\infty} a g(x)dx \) hội tụ, thì tích phân \( R_{+\infty} a [f(x) + g(x)]dx \) cũng hội tụ và có thể viết là \( R_{+\infty} a [f(x) + g(x)]dx = R_{+\infty} a f(x)dx + R_{+\infty} a g(x)dx \) Ngoài ra, nếu tích phân \( R_{+\infty} a f(x)dx \) tồn tại và \( k \) là một hằng số thực, thì tích phân cũng sẽ có tính chất tương tự.
Tích phân R+∞ a kf (x)dx hội tụ, dẫn đến kR +∞ a f (x)dx = R+∞ a kf (x)dx Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa tích phân trên các khoảng (−∞;b] và (−∞; +∞) Định nghĩa 1.2.4 nêu rõ rằng hàm f: (−∞;b] → R là hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] với a < b, và tích phân suy rộng của f trên [−∞;b] được xác định là giới hạn.
Nếu giới hạn là hữu hạn thì ta nói rằng Rb
Tích phân từ âm vô cực đến dương vô cực của hàm f(x)dx được gọi là hội tụ nếu nó có giá trị hữu hạn Ngược lại, nếu tích phân không có giá trị hữu hạn, nó được gọi là phân kỳ Định nghĩa 1.2.5 nêu rõ rằng hàm f: (−∞; +∞) → R là hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn và với mỗi số thực a, hai tích phân suy rộng Ra cần được xem xét.
−∞f (x)dx và R+∞ a f (x)dx hội tụ, thì ta gọi tổng Ra
−∞f (x)dx+R +∞ a f (x)dx là tích phân suy rộng của f trên (−∞; +∞) và ký hiệu là R+∞
−∞f (x)dx Khi đó, tích phân R+∞
−∞f (x)dx được gọi là hội tụ.
Nhận xét 1.2.6 Sự phân kỳ hay hội tụ của R+∞
−∞f (x)dx và giá trị của nó không phụ thuộc vào a.
Tích phân phụ thuộc tham số
Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm số f (x, y) liên tục trên [a;b]×[c;d] Khi đó,
I(y) = R b a f (x;y)dx là một hàm số xác định trên [c;d], và được gọi là một tích phân phụ thuộc tham số.
Tính chất liên tục, khả vi và khả tích của tích phân phụ thuộc tham số được nêu rõ trong các định lý Định lý 1.3.1 khẳng định tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số.
Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b]×[c;d] thì I (y) là hàm số liên tục trên [c;d] và y→ylim0 b
Z a y→ylim0 f (x, y)dx. Định lý 1.3.2 (Tính khả vi) Nếu i) f (x, y)dx là hàm số liên tục trên [a;b]×[c;d] , ii) f ′ y (x, y) là hàm số liên tục trên [a;b]×[c;d] , thì hàm số I(y) khả vi trên (c;d) và
Z a f ′ y (x, y)dx. Định lý 1.3.3 Tính khả tích
Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên [a;b]×[c;d] thì I (y) là hàm số khả tích trên [c;d], và d
Định lý 1.3.4 đề cập đến tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I(y) = ∫[a, +∞] f(x, y)dx, với y trong khoảng [c, d] Tích phân này được coi là hội tụ tại y₀ ∈ [c; d] nếu tích phân ∫[a, +∞] f(x, y₀)dx hội tụ Điều này có nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại b = b(ε, y₀) sao cho
< ε,∀A > b ii) Hội tụ trên [c;d] nếu I(y) hội tụ tại mọi y ∈ [c;d]. iii) Hội tụ đều trên [c;d] nếu ∀ε > 0,∃b = b(ε) > a sao cho
Tính liên tục, khả vi và khả tích của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số được trình bày qua Định lý 1.3.5 Định lý này khẳng định rằng nếu hàm số f(x, y) liên tục trên miền [a; +∞)×[c;d] và tích phân suy rộng I(y) = ∫[a, ∞) f(x, y)dx hội tụ đều trên [c;d], thì tích phân I(y) sẽ liên tục trên khoảng [c;d] khi y tiến đến giới hạn.
Định lý 1.3.6 về tính khả tích nêu rằng nếu hàm số f(x, y) liên tục trên miền [a; +∞)×[c;d] và tích phân I(y) = ∫[a, +∞] f(x, y)dx hội tụ đều trên [c;d], thì I(y) sẽ khả tích trên khoảng [c;d].
Các phương pháp tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Đạo hàm qua dấu tích phân
Bước 1 Tính I ′ (y) bằng cách I ′ (y) =R +∞ a f ′ y (x, y)dx.
Một số hàm cơ bản
Định nghĩa 1.4.1 (Hàm Beta) Hàm Beta được định nghĩa bởi
Hàm Beta, ký hiệu B(a, b), là một hàm hội tụ, liên tục và hội tụ đều với mọi a > 0 và b > 0, với các tính chất sau: i) B(a, b) = B(b, a) cho mọi a > 0 và b > 0; ii) B(a, b) = (a+b−1)/(b−1) B(a, b−1) cho mọi a > 0 và b > 1; iii) B(a, 1−a) = sin(π) / (πa) với 0 < a < 1 Hàm Gamma, ký hiệu Γ(a), được định nghĩa bởi tích phân từ 0 đến +∞.
0 x a−1 e −x dx,∀a > 0. Định lý 1.4.2 Hàm Gamma là hàm hội tụ, hội tụ đều, liên tục với mọi a > 0 và i) Γ (a+ 1) = aΓ (a), a > 0. ii) Γ (n+ 1) = n!,∀n ∈ N. iii) Γ (a).Γ (1−a) = sin π πa ,0< a < 1. iiii) B(a, b) = Γ(a).Γ(b) Γ(a+b) , a > 0, b > 0.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tính tích phân
Để tính tích phân, chúng ta thường sử dụng các phương pháp cơ bản như công thức Newton Leibniz, tích phân từng phần và đổi biến số Trong các kỳ thi Olympic sinh viên, bên cạnh những phương pháp này, cần kết hợp với các phương pháp khác như tách miền tính tích phân và áp dụng tính chất đặc biệt của hàm dưới dấu tích phân Việc kết hợp những kỹ thuật này sẽ giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tích phân.
Chúng ta minh họa các phương pháp trên thông qua một số ví dụ cụ thể sau đây.
Ví dụ 2.1.1 ([2, Bài 5.10]) Cho f là hàm số dương và liên tục trên [0,1]. Hãy tính tích phân I = R 1 0 f (x)+f f (x) (1−x) dx.
Ví dụ 2.1.2([1, Bài 1]) Tính tích phânI = R 0 2π ln sinx+ p1 + sin 2 x dx. Lời giải Ta có
Ví dụ 2.1.3 ([1, Bài 2]) Tính tích phân I = R 1 −1 dx
Lời giải.Xét hàm số g(x) = 1
1+x+x 2 + √ x 4 +3x 2 +1 vớix ∈ [0,1] Ta thấy rằng g(0) = 1 2 và g(x) +g(−x) = 1+x 1 2 Do đó,
4. Vậy tích phân cần tính bằng π 4
Trong ví dụ trên, bên cạnh việc áp dụng phương pháp tách miền, chúng ta cần chú ý đến tính chất g(x) + g(−x) = 1 + x 1 2 Tính chất này gợi ý cho việc tách miền trong khoảng [−1; 1].
Ví dụ 2.1.5 ([1, Bài 3]) Tính tích phân I = R 1 −1 (2012 x +1)(1+x dx 2 ).
Vậy tích phân cần tính là π 4
Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán với hàm chẵn f(x) và các số thực a, b lớn hơn 0, dẫn đến đẳng thức tích phân quan trọng sau đây.
Hàm số g(x) = b x + 1 có đặc điểm là g(x) + g(−x) = 1, cho phép chúng ta thay thế nó bằng một hàm số khác với tính chất tương tự, ví dụ như g(x) = ln(sin x) + π/2 + sin(2x).
Ví dụ 2.1.7 ([1, Bài 5]) Cho hàm f liên tục trên đoạn [0,1], khả vi trong khoảng(0,1)và thỏa mãnf(1) = 0,R 1 0 (f ′ (x)) 2 dx = 2 3 vàR1
0 f (x)dx. Đẳng thức cuối tương đương với R1
Ví dụ 2.1.8 ([2, Bài 5.11]) Tính tích phân Rπ
Lời giải Với x > 0 ta có x
0 f (t)dt. Áp dụng công thức trên, ta có I n = R π −π (1+2019 sin nx x ) sin xdx = R π 0 sin sin nx x dx. Với n = 1 ta có I1 = π Với n ≥ 2, thì sin (nx) = sin (nx−2x) cos 2x+ cos (nx−2x) sin 2x
= sin (nx−2x) 1−sin 2 x + 2 cos (nx−2x) sinxcosx
= sin (nx−2x) + 2 sinx[cos (nx−2x) cosx−sin (nx−2x) sinx]
0 sin (nx−2x) sinx + 2 cos (nx−x) dx
Ví dụ 2.1.9 ([3, Bài 5.5]) Tính tích phân I 1
0 ln(1+x) 1+x 2 dx. Lời giải Đặt x = tant Khi đó, 1+x dx 2 = dt Do đó,
0 ln (1 + tant)dt. Đặt t = π 4 −u Ta có dt= −du, tant = 1−tan 1+tan u u Do đó, π / 4
0 ln (1 + tanu)du. Đẳng thức cuối trở thành I = π 4 ln 2−I hay I = π 8 ln 2.
Ví dụ 2.1.10 ([3, Bài 5.12]) Tính tích phân sau I 1
(x+1) 2 + √ x 4 +6x 2 +1 với x ∈ [−1; 1] Ta có g(0) = 1 2 và g(x) +g(−x) = 1+x 1 2 Do đó,
Ví dụ 2.1.11 ([3, Bài 5.3]) Tính tích phân
√ ln(7−x)+√ ln(x+2)dx Lời giải. Đặt x = 5−t Ta có
7−x = t+ 2, dx = −dt. với x = 2 ⇒t = 3 và với x = 3 ⇒ t= 2 Do đó, I = −
Ví dụ 2.1.12 ([3, Bài 5.5]) Tính tích phân I π
Lời giải Đặt u = π −x Ta có, dx = −du, x = 0 nếu u = π và x = π nếu u = 0 Do đó,
1 sin u 2 + cos u 2 2 d u 2 −I Điều này tương đương với
Chứng minh bất đẳng thức tích phân
Phương pháp 1 Chúng ta xét bài toán chứng minh bất đẳng thức tích phân b
Z a f (x) ≤ A. Để giải bài toán dạng này, chúng ta thường thử đi tìm một hàm số g(x) thỏa mãn các điều kiện i) f (x) ≤g(x),∀x ∈ [a, b], ii) Rb ag(x) ≤ A.
Trong phương pháp này, việc xác định hàm số g(x) thỏa mãn hai điều kiện là nhiệm vụ quan trọng nhất Một trong những cách phổ biến để chọn hàm g là sử dụng hàm hằng, cụ thể là giá trị lớn nhất của hàm f(x) trên đoạn.
Các hàm số trội hơn được xác định từ các bất đẳng thức cơ bản Đối với việc chứng minh bất đẳng thức theo chiều ngược lại, chúng ta có thể áp dụng phương pháp tương tự để đạt được kết quả.
Sau đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài toán này và phương pháp giải được trình bày ở trên.
Ví dụ 2.2.1 ([4, Bài 5.1]) Cho hàm số f (x) liên tục trên [0,1] và thỏa mãn điều kiện x 2
[f (x)] 2 dx ≤ x 3 2 −x 3 3 1 , với mọi x 1 , x 2 ∈ [1; 2] sao cho x 1 ≤ x 2 Chứng minh rằng
1 f (x)dx ≤ 3 2 Lời giải Ta có x 2
Suy ra tồn tại c ∈ [x 1 , x 2 ] sao cho [f (c)] 2 = c 2 ≤ 0.
Do hàm h(x) = x 2 −[f (x)] 2 liên tục trong [1; 2]
1 xdx = 3 2 Bài toán trên sử dụng kỹ thuật nhằm mục đích đưa ra |f (x)| ≤ x để đi đến kết luận bài toán.
Ví dụ 2.2.2 ([4, Bài 8]) Chứng minh rằng
Lời giải Xét hàm số y = sin x x với x ∈ π 6 ; π 3 Ta có y ′ = x cos x−sin x 2 x (x−tan x) cos x x 2 < 0,∀x ∈ π 6 ; π 3
Xét hàm số z = tanx−x Ta có z ′ = tan 2 x > 0,∀x ∈ (0,+∞) Do đó, z(x) > z(0) = 0 hay tanx−x > 0 Điều này suy ra y = sin x x là hàm nghịch biến trên π
Lấy tích phân hai vế trên miên khảo sát, ta có
Phương pháp 2 Chúng ta xét bài toán chứng minh bất đẳng thức tích b
Để giải bài toán có dạng Z a f (x) ≤ A, ngoài phương pháp 1, chúng ta có thể áp dụng các bất đẳng thức cơ bản Hãy cùng xem xét một số ví dụ để hiểu rõ hơn về cách giải này.
Ví dụ 2.2.3 ([6, Bài 1]) Cho f (x) ∈ C 1 [0; 1] và f (0) = 0 Chứng minh rằng
0 f ′ (t)dt. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Bài toán yêu cầu không chỉ tìm ra sự kết hợp khéo léo giữa các điều kiện của đạo hàm và tích phân, mà còn áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để giải quyết.
Ví dụ 2.2.4 ([6, Bài 2]) Cho hàm số f : [0; 1] → R có đạo hàm cấp hai liên tục và f ′′ (x) > 0 trên [0; 1].
Lời giải Ta sử dụng tích phân từng phần với
0 f (t)d √ t Đặt u = f (t)dv = d √ t thì du = f ′ (t) và chọn v = √ t−1.
Tiếp tục áp dụng tích phân từng phần với
0 f (t)dt, ta đặt u = f (t), dv = dt thì u = f ′ (t) và chọn v = t−1,
(1−t)f ′ (t)dt Tiếp tục áp dụng tích phân từng phần với
1−t 2 f ′′ (t)dt Bất đẳng thức cần chứng minh là
2t 3 2 + 1−3t dt. Tuy nhiên, dễ thấy (1−t) 2 ≥ 2t 3 2 + 1 −3t,∀t ∈ [0; 1].vì bất đẳng thức này tương đương với t+t 2 ≥ 2t 3 2 ⇔ 1 +t≥ 2√ t , đúng theo bất đẳng thức Cauchy.
Sử dụng tích phân từng phần để chuyển đổi tích phân về dạng phù hợp là một phương pháp phổ biến và quan trọng Qua đó, chúng ta có thể biến đổi hàm số dưới dấu tích phân từ f(t^2) thành f(x), từ đó áp dụng giả thiết f''(x) ≥ 0 cho mọi x trong khoảng [0; 1].
Ví dụ 2.2.5 ([5, Bài 3]) Cho hàm số liên tục f : [0; 1] → [0,+∞] Đặt g(x) = 1 + 2
0 f (t)dt và ta giả sử rằng luôn có g(x) ≥ [f (x)] 2 ,∀x ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng: g(x) ≤ (1 +x) 2
Lời giải Đặt F (x) là hàm số thỏa mãn F (x) x
Ta cần chứng minh 1 + 2F (x) ≤(1 +x) 2 ⇔ p1 + 2F (x)−(1−x) ≤ 0. Xét hàm số h(x) =p1 + 2F (x)−(1−x) thì ta có h ′ (x) = 2F
1+2F (x) −1≤ 0 nên nghịch biến trên [0; 1]. Suy ra h(x) ≤ h(0) = p1 + 2F (0)−1.
Hàm h(x) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trong khoảng [0; 1], đồng thời hàm g(x) không vượt quá (1 + x)² trong cùng khoảng Bài toán này trở nên thú vị khi kết hợp các điều kiện giữa hàm số và tích phân của nó, dẫn đến việc khảo sát hàm số và đạo hàm Thay vì chỉ xét đạo hàm của căn bậc hai, chúng ta có thể mở rộng sang căn bậc n để tạo ra các bài toán tương tự.
Ví dụ 2.2.6 ([4, Bài 5]) Cho hàm số f (x) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn điều kiện xf (y) +yf (x) ≤1 ∀x, y ∈ [0; 1].
Lời giải Đặt x = sinφ với φ ∈ 0; π 2 thì ta có
Mặt khác, nếu đặt x = cosφ, φ ∈ 0; π 2 thì ta có
(f (sint) cost+f (cost) sint)dt.
Theo giả thiết xf (y) +yf (x) ≤1 ∀x, y ∈ [0; 1].
Ví dụ 2.2.7 ([6, Bài 5]) Cho hàm số liên tục trên [0; +∞] Giả sử rằng
Lời giải Từ giả thiết Rx
0 f 2 (t)dt≤ R x 0 t 2 dt. Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz, ta có
0tf (t)dt 2 ≤ R x 0 t 2 dtR x 0 f 2 (t)dt≤ R x 0 t 2 dt 2
0 tf (t)dt ≤R x 0 t 2 dt hay là F (x) = R x 0 t(t−f (t))dt≥ 0. Mặt khác, x
Trong một số bài toán, bên cạnh việc áp dụng Phương pháp 1 và Phương pháp 2, chúng ta cần chú ý đến các tính chất quan trọng của tích phân, đặc biệt là các định lý giá trị trung bình đã được đề cập trong chương trước Cụ thể, có thể thấy rằng tích phân từ 0 đến f(t) dt không vượt quá tích phân từ 0 đến x của t dt, kết quả là x^2/2.
1) Định lý giá trị trung bình thứ I
Giả sử các hàm số f(x) và g(x) khả tích trên đoạn [a;b], với g(x) không đổi dấu trong khoảng (a;b) Đặt m = inf x∈[a,b] f(x) và M = sup x∈[a,b] f(x) Khi đó, tồn tại một số a ∈ [m, M] sao cho ∫[a,b] f(x)g(x)dx = a ∫[a,b] g(x)dx Hơn nữa, nếu f(x) liên tục trong đoạn [a;b], thì tồn tại c ∈ [a;b] thỏa mãn điều kiện này.
2) Định lý giá trị trung bình thứ II a) Nếu các hàm số f (x), g(x) khả tích trên đoạn [a, b] và g(x) là hàm đơn điệu trong khoảng (a;b) thì
Rb af (x)g(x)dx = g(a+ 0)R ξ a f (x)dx+g(b−0)R b ξ f (x)dx trong đó a ≤ ξ ≤ b. b)Hơn nữa, nếu g(x) là hàm đơn điệu không âm trong khoảng (a;b) thì
Rb af (x)g(x)dx = g(b−0)R b ξ f (x)dx, a ≤ ξ ≤b. c)Nếu g(x) là hàm đơn điệu tăng, không âm trong khoảng (a;b) thì
3) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Nếu f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên [a;b].
Cho p, q > 0 thỏa 1 p + 1 q = 1 và f,g là các hàm số liên tục trên [a, b] Khi đó: b
Cho a ∈ R + , f : [0, a] →R là một ánh xạ thuộc lớp C 1 sao cho
Ta kí hiệu: f −1 : [0, f (a)] → R là ánh xạ ngược của f (x).
Khi đó, ∀x ∈ [0, a], y ∈ [0, f (a)]R x 0 f (x)dx+R y 0 f −1 (x)dx ≥ xy.Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp này.
Ví dụ 2.2.8 ([3, Bài 5.6]) Chứng minh rằng nếu f khả tích Riemann trên [a, b] thì b
Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
Z a f 2 (x)dx. Ở ví dụ này ta thấy ngay dấu hiệu cần dụng bất đẳng thức khi nhìn vế bên trái và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là thích hợp nhất.
Ví dụ 2.2.9 ([4, Bài 5.2]) Chứng minh rằng nếu f khả tích Riemann trên [a;b] thì
R a dx f (x). Hơn nữa nếu 0 < m ≤f (x) ≤ M thì b
R a dx f (x) ≤ (m+M 4mM ) 2 (b−a) 2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
Hàm số đạt cực đại tại t = k 2 với giá trị cực đại là k 4 2
Ví dụ 2.2.10 ([5, Bài 5.1]) Cho a ∈ R + là một ánh xạ thuộc lớp ∁ 1 sao cho f ′ (x) > 0 , g : [0, f(a)] →R liên tục sao cho ∀x ∈ [0,1], g(f (x)) ≥ x. Chứng minh rằng:
Ví dụ 2.2.11 ([5, Bài 5.2]) Tìm giá trị lớn nhất của S = ( R 1 0 f (x)dx) 2011
0 f 2011 (x)dx với f liên tục, dương trên [0,1].
Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
Ví dụ 2.2.12 ([3, Bài 3.1]) Chứng minh rằng
Lời giải. Đặtf (x) = e −ax x = xe 1 ax.f (x)là một hàm giảm∀x ∈ [a, b], α ≥ 0, |sinx| ≤
1. Áp dụng định lý giá trị trung bình 2 ta được:
R a sinxdx = e −ax x (cosa−cosc) ∀a ≤ c ≤b. Suy ra |I| e −ax x (cosa−cosc)
Tính diện tích, thể tích, độ dài đường cong
Để tính diện tích, thể tích và độ dài đường cong, tích phân có ý nghĩa hình học quan trọng Cụ thể, theo Định lý 2.3.1, diện tích S của phần mặt phẳng A1A2B2B1 được giới hạn bởi đường cong liên tục y = y1(x) và y = y2(x) (với y2(x) ≥ y1(x)) cùng hai đường thẳng x = a và x = b (với a < b) có thể được tính toán một cách chính xác.
Định lý 2.3.2 mô tả diện tích S của phần mặt được giới hạn bởi đường cong C, được biểu diễn dưới dạng tham số với x = x(t) và y = y'(t) trong khoảng [0 ≤ t ≤ T] Đường cong này là một đường cong kín đơn, trơn từng khúc và chạy theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, với diện tích S nằm bên trái của nó Công thức tính diện tích S được đưa ra là S = − ∫[y2(x) − y1(x)]dx.
[x(t)y ′ (t)−y(t)x ′ (t)]dt. Định lý 2.3.3 (Diện tích trong tọa độ cực) Diện tích được giới hạn bởi đường liên tục ρ = ρ(φ) và hai nửa đường thẳng φ = α, φ = β(α < β) sẽ bằng S = 1 2 β
Tìm diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường cho trong hệ tọa độ vuông góc (tất cả các tham số được xem là dương).
Sau đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài toán này và phương pháp giải được trình bày ở trên.
Ví dụ 2.3.1 ([9, Bài 216]) Tính diện tích mặt phẳng giới hạn bởi ax y 2 ;ay = x 2
Lời giải Theo công thức trên ta có S a
Ví dụ 2.3.2 ([9, Bài 223]) Tính diện tích mặt phẳng được giới hạn bởi y = a 2 a +x 3 2 ;y = 0.
Lời giải y → 0 khi x → ∞; hàm không khả tích theo nghĩa thông thường.
Do hàm y(x) chẵn cho nên S A A
Độ dài của một cung trong hệ tọa độ vuông góc được tính bằng tích phân, theo Định lý 2.3.4 Cụ thể, độ dài của đoạn thẳng cong trơn y = y(x) trong khoảng a ≤ x ≤ b được xác định thông qua công thức tích phân Kết quả cuối cùng cho thấy A→+∞S A = 2a 2 π 2 = πa 2.
Định lý 2.3.5 mô tả độ dài cung của đường cong được biểu diễn dưới dạng tham số Nếu đường cong được xác định bởi các phương trình x = x(t) và y = y(t) trong khoảng thời gian từ t0 đến T, với x(t) và y(t) thuộc không gian liên tục trên đoạn [t0, T], thì độ dài L của cung đường cong có thể tính toán được.
R t 0 px ′ 2 (t) + y ′ 2 (t) dt. Định lý 2.3.6 (Độ dài cung trong tọa độ cực) Nếu ρ = ρ(φ) (α ≤ φ ≤β), ở đây ρ(φ) ∈ ∁ (1) [α, β] thì độ dài cung của đoạn đường cong tương ứng sẽ bằng:
Sau đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài toán này và phương pháp giải được trình bày ở trên.
Ví dụ 2.3.3 ([9, Bài 259]) Tìm độ dài cung của đường cong sau: y = x 3 2 (0 ≤ x ≤ 4).
Lời giải.Theo công thức ở mục 1 ta cóL 4
Ví dụ 2.3.4 ([9, Bài 262]) Tìm độ dài cung của đường cong sau: y = e x
Lời giải Sử dụng công thức ở mục 1 ta có:
√ 1+z 2 z dz Tích phân từng phần: Đặt dz = dv;v = z;u √ 1+z 2 z ,du = − dz z 2 (1+z 2 ) 1 2
Ví dụ 2.3.5 ([9, Bài 270]) Tìm độ dài cung của đường cong sau: x = cos 4 t, y = sin 4 t.
Lời giải Vì khi t thay đổi từ 0 đến π 2 , thì điểm chuyển động (x(t), y(t)) chạy dọc theo khắp đường cong, nên 0≤ t≤ π 2 ;x ′ (t) = −4cos 3 t.sint y ′ (t) = 4sin 3 t.costx ′ 2 (t) +y ′ 2 (t) = 16cos 6 t.sin 2 t+ 16sin 6 t.cos 2 t
Định lý 2.3.7 cho biết rằng thể tích V của một vật thể có thể được tính bằng cách sử dụng tích phân, dựa trên diện tích thiết diện ngang S = S(x) trong khoảng a ≤ x ≤ b Diện tích thiết diện này được xác định theo mặt phẳng vuông góc với trục, cho phép tính toán thể tích của vật một cách chính xác.
Thể tích của vật tròn xoay được tính bằng cách quay quanh trục Ox một hình phẳng trong khoảng a ≤ x ≤ b và 0 ≤ y ≤ y(x), với y(x) là hàm liên tục và đơn trị Công thức tính thể tích là V = π ∫[a,b] (y(x))^2 dx.
Thể tích của hình xuyến được tính bằng cách quay một hình phẳng quanh trục Ox, với điều kiện a ≤ x ≤ b và y1(x) ≤ y ≤ y2(x), trong đó y1 và y2 là các hàm liên tục không âm Công thức tính thể tích này là V = π * b.
R a y 2 2 (x)−y 2 1 (x) dx. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài toán này và phương pháp giải được trình bày ở trên.
Để tính thể tích của một khối hình chữ nhật, chúng ta cần biết các thông số: chiều dài cạnh dưới là a, chiều rộng là b, cạnh trên là c và chiều cao là h Thể tích được xác định bằng công thức V = a * b * h, với a và b là kích thước của đáy khối, và h là chiều cao từ đáy đến mái nhà.
Diện tích mặt cắt S(x) của hình chữ nhật vuông góc với chiều cao được tính bằng công thức S(x) = h * (1/2) * b * (a - c) * x^2 + h * b * c * x.
Theo công thức trên, ta có:
Để tính thể tích của một đài kỷ niệm có đáy song song hình chữ nhật với các cạnh A, B, a, b và chiều cao h, ta áp dụng công thức thể tích V = h * [(A * B) + (a * b)] / 2 Công thức này cho phép xác định thể tích dựa trên diện tích của hai đáy và chiều cao của đài kỷ niệm.
Ký hiệu S(x) đại diện cho diện tích của thiết diện hình chữ nhật vuông góc với đường cao h, cách đáy đài kỷ niệm một khoảng x Qua các biến đổi sơ cấp, ta có thể xác định công thức S(x) = ab + (aB - 2ab + bA)x/h + (A - a)(B - b)x²/h².
Ví dụ 2.3.8 ([9, Bài 290]) Tìm thể tích của một hình nón cụt, mà các đáy là những elip với các bán trục là A, B và a,b còn chiều cao bằng h.
Thiết diện của mặt phẳng vuông góc với chiều cao của hình nón cụt, cách đáy trên một khoảng nhất định, tạo thành một elip Các bán trục của elip này được xác định bởi công thức z1(x) = a + (A - a) * (h / x) và z2(x) = B - (b / h) * x.
Diện tích elip đó như ta biết là bằng:
0 ab+ aB −2ab+ bA h x+ AB −Ab−aB +ab h 2 x 2 dx
Ví dụ 2.3.9 ([9, Bài 292]) Giả sử có một vật mà diện tích S = S(x) của thiết diện vuông góc với trục Ox biến thiên theo quy luật bậc hai:
S(x) = Ax 2 + Bx + C (a ≤ x ≤ b), trong đó A, B, C là những hằng số.
Chứng minh rằng thể tích của vật đó bằng
Aa 2 +Ba+ C + Ab 2 +Bb+C + 2Aab+ 2B(a+b) + 4C +Aa 2 +Ab 2
Khi đó ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.3.10 ([9, Bài 294]) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x 2 a 2 + y b 2 2 = 1;z = a c x;z = 0.
Lời giải Ta cắt vật thể bằng mặt phẳng x = x 0 , thiết diện là hình chữ nhật.
Từ sự đồng dạng của tam giác OAB và ODC ta có DC AB = OA OD
Từ đó DC = AB.OD OA = cx a 0
Diện tích của thiết diện bất kì vuông góc với trục Ox sẽ bằng
Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, trước tiên cần tìm hàm thỏa mãn điều kiện bài toán Sau đó, áp dụng các định lý như định lý Rolle để khẳng định sự tồn tại của nghiệm.
Sau đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài toán này và phương pháp giải được trình bày ở trên.
Ví dụ 2.4.1 ([4, Bài 3.24]) Cho hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và khả vi trên(a;b)với a > 0vàRb af (x)dx = 0 Chứng minh rằng tồn tại số c ∈ (a;b) sao cho 2014c.R c a f (x)dx−2013xf (c) + 2012.R c a f (x)dx = 0.
Rx af (t)dt. Khi đó g là hàm liên tục trên [a;b] và khả vi trên (a;b).
Do đó, áp dụng định lý Rolle cho hàm g trên [a;b] thì tồn tại c sao cho g ′ (c) = 0.
Hay ta có được 2014c.R c a f (x)dx−2013xf (c) + 2012.R c a f (x)dx = 0.
Ví dụ 2.4.2 ([4, Bài 4.4]) Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [0; 1], g(x) > 0, ∀x ∈ [0; 1] và R1
0g(x)dx = m Chứng minh rằng tồn tạif ∈ [0; 1] sao cho R1
Lời giải Do f (x) liên tục trên [0; 1] nên tồn tại các số x 1 , x 2 ∈ [0; 1] sao cho f (x 1 ) = minf(x) : x ∈ [0; 1], f (x 2 ) =maxf (x) : x ∈ [0; 1].
0g(x)f (x1)dx ≤ R 1 0 g(x)f (x)dx ≤ R 1 0 g(x)f (x2)dx. Khi đó f (x 1 ) ≤ m 1 R 1 0 g(x)f (x)dx ≤ f (x 2 ).
Do f (x) liên tục trên [0; 1], nên tồn tại số c ∈ [0; 1] sao cho
Ví dụ 2.4.3 ([4, Bài 4.8]) Giả sử f là hàm số liên tục và dương, xác định trên đoạn [0; 1] Chứng minh với mỗi α ∈ [0; 2], phương trình (ẩn là α ) x 2
Lời giải Xét hàm số
Vì F (x) liên tục và 0≤ αR 1 0 f (t)dt≤ 2R 1 0 f (t)dt.
Nên tồn tại x(α) ∈ [0; 1] sao cho F (x(α)) =αR 1 0 f (t)dt.
Mặt khác, F ′ (x) = 2x f x 2 +f 1−x 2 ≥ 0 Do đó, hàm F (x) là hàm đơn điệu tăng, dẫn đến x(α) là duy nhất.
Ví dụ 2.4.4 ([8, Bài 5.2]) Cho 0< a < b và hàm f : [a;b]→ R liên tục. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (a;b) sao cho
Theo định lý Rolle tồn tại c ∈ (a;b) sao cho g ′ (c) = 0
Ví dụ 2.4.5 ([2, Bài 5.4]) Cho f : [0; 1] → R khả vi liên tục trên đoạn
[0; 1], f (1) = 0 Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (0; 1) sao cho:
Do đó F ′ (t) =f (t) và F (0) = 0, F ′ (1) = f (1) = 0. Đặt g(t) = sin (2019.F ′ (t)).F (t) trên đoạn [0; 1] Do f (t) khả vi liên tục trên [0; 1]
Nên g(t) khả vi liên tục trên đoạn [0; 1]. g ′ (t) = F ′ (t).sin (2019F ′ (t) + 2019F (t).F ′′ (t).cos(2019F ′ (t)). g(0) = F (0).sin (2019F ′ (0) = 0, g(1) = sin 2019F ′ (1)).F (1) = 0
Vậy hàm g(t) thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle.
Vậy tồn tại c ∈ (0; 1) sao cho g ′ (c) = 0.
Tính giới hạn của biểu thức chứa tích phân
Phương pháp Một trong những phương pháp tính giới hạn của biểu thức là sử dụng định nghĩa của tích phân xác định Ta sử dụng kết quả sau:
Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a;b] vàp = {x 0 ;x 1 ; ;x n } là một phân hoạch của đoạn [a;b] thì n→+∞lim S n Z b a f(x)dx, trong đó S n n
P i=1 f (ξ i ) (x i −x i−1 ). Để tìm giới hạn tổng
S n = u 1 +u 2 + +u n limS n n→∞ phụ thuộc vào n∈ N trong nhiều trường hợp ta có thể dẫn đến dạng tổng của tích phân n
P i=1 f (ξ i ) ∆ i rồi tính tích phân tương ứng. Đặc biệt, nếu p là một phân hoạch đều, tức là chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau, thì ta có x 0 = a;x 1 = a+ b−a n ;x 2 = 2(b−a) n ; .;x n = a+n b−a n = b.
Hơn nữa, nếu ξi = xi ∈ [x i−1 ;xi], i = 1, n thì ξi = a + i b−a n Khi đó,
+ + f a+n b−a n i Bằng cách tính tích phân ta tính được giới hạn cần tìm.
Sau đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài toán này và phương pháp giải được trình bày ở trên.
Ví dụ 2.5.1 ([4, Bài 4.6]) Cho hàm số f dương, khả vi liên tục đến cấp 2 trên R sao cho f (0) = 1, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = −1 Tìm lim x→+∞ h f √ 2 x i x
Lời giải Vì hàm số f (x) liên tục trên [0; 1]
Nên tồn tại M = max x∈[0;1] (|f (x)|+ 1)< +∞ Khi đó, với ε > 0, ta chọn δ sao cho 0< δ < min M ε ; 1
Vì ε > 0 là tùy ý nên dẫn đến lim n→∞
Ví dụ 2.5.2 ([4, Bài 4.7]) Tính lim x→+∞
Lời giải Hàm sin x x là hàm giảm trên [0;π] = 1 và lim x→0 + sin x x = 1. Với dương đủ nhỏ, xét t∈ [x; 2013x].
Ví dụ 2.5.3([4, Bài 4.22]) Cho hàm f liên tục trên(0; +∞)có lim x→+∞f (x) 2014 Tính lim x→+∞
0f (t)dt. Lời giải Ta có
|f (t)−2014|dt là hàm số tăng không âm.
Nếu g(x) → +∞ thì lim x→+∞ |f (x)−2014| = 0 Cho nên x→+∞lim
Ví dụ 2.5.4 ([5, Bài 1.10]) Tính n→∞lim Sn √ 1 4n 2 −1 + √ 1
Lời giải Ta có: Sn = 1 n √ 1
Xét f (x) = √ 4−x 1 2 trên đoạn [0; 1] thì f (x) liên tục trên [0; 1].
Chia [0; 1] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia x i = n i , i = 0, n Trên mỗi đoạn [x i−1 ;x i ] lấy ξ i = n i i = 1, n ,∆ i = x i −x i−1 = n 1
Ta có tổng tích phân: n
Ví dụ 2.5.5 ([5, Bài 1.15]) Cho hàm số S : [0; 1] →R liên tục.
Lời giải Vì f liên tục tại 1 nên với mọi ε > 0, tồn tại δ ∈ (0; 1) sao cho
Nên ta có được kết quả cần tìm là f (1).
Ví dụ 2.5.6 ([8, Bài 5.5]) Giả sử hàm f xác định trên R , tuần hoàn chu kỳ
T, T >0, khả tích trên đoạn Tính giới hạn lim x→∞
Lời giải Vì hàm f tuần hoàn chu kỳ T nên tích phân của nó trên các đoạn có độ dài bằng T bằng nhau.
Ta chứng minh được công thức nT
0 f (t)dt (2.1) với mọi số n nguyên.
Thật vậy, với n nguyên dương ta có nT
Với n nguyên âm ta có nT
Cuối cùng rõ ràng (2.1) đúng với n = 0.
Với x ∈ R tồn tại duy nhất số nguyên n thỏa mãn nT ≤x < (n+ 1)T.
Dễ thấy hàm |f (t)| tuần hoàn chu kỳ T nên
Mà |x| 1 dần đến 0 nên n x − T 1 dần đến 0 khi x dần đến vô cực, Hay x→∞lim n x = 1
Trong luận văn này, tôi đã thực hiện được các công việc sau đây.
Luận văn này trình bày nhiều dạng toán về tích phân, bao gồm tính tích phân, chứng minh bất đẳng thức tích phân, và ứng dụng tích phân trong việc tính diện tích, thể tích, và độ dài đường cong Ngoài ra, luận văn cũng chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình và tính giới hạn của biểu thức chứa tích phân Mỗi dạng toán được minh họa bằng các phương pháp giải cụ thể và ví dụ thực tiễn Đặc biệt, luận văn đã chọn lọc các bài toán điển hình, trong đó nhiều bài được lấy từ các đề thi Olympic sinh viên trong những năm gần đây.
Các bài toán về tích phân thường đa dạng và phức tạp, đòi hỏi sự chú ý đặc biệt để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh Để cung cấp cái nhìn toàn diện hơn về các dạng toán này, tôi sẽ nghiên cứu các bài toán tích phân thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi, bao gồm giải phương trình tích phân và ứng dụng của tích phân trong thực tế.
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đề thi Olympic toán sinh viên môn giải tích năm 2007
[2] Trường đại học Nha Trang (2019),Kỷ yếu kỳ thi Olympic Toán sinh viên lần thứ 27 Hội toán học Việt Nam và Đại học Nha Trang.
[3] Trường đại học Khoa học tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội (2022), Kỷ yếu kỳ thi Olympic Toán sinh viên lần thứ 28, Nhà Xuất bản Giáo dục.
[4] Trường Đại học Phạm Văn Đồng (2014), Kỷ yếu kỳ thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 22, Hội toán học Việt Nam và Đại học Phạm Văn Đồng.
[5] Trường Đại học Huế (2015), Kỷ yếu kỳ thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 23., Hội toán học Việt Nam và Đại học Huế.
[6] Đào Thị Kim Chi (2018), Tạp chí khoa học số 18, Nhà xuất bản Đại học Phú Yên.
[7] Trường Đại học Phú Yên (2017), Kỷ yếu kỳ thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 25, Hội toán học Việt Nam và Đại học Phú Yên.
[8] Trường Đại học Quảng Bình (2018), Kỷ yếu kỳ thi Olympic Toán Sinh viên lần thứ 26, Hội toán học Việt Nam và Đại học Quảng Bình.
[9] Y.Y.Liasko, A.C.Boiatruc, I.A.G.Gai, G.P.Golobac (1978), Giải tích toán học Các ví dụ và các bài toán, Nhà xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp.
TRUONGD~IHQCSBPH~M DQc l~p - T\I' do - H~nh philc
S6: Ajoo IQD-DHSP Dô Nang, ngayl-9 thang:}- nam 2023
QUYETDINH v~ vi~c giao d~ Uti va tnlch nhi~m hU'o'ng dftn lu~n van thac sl
HI-eU TRUONG TRUONG D~I HQC SU PH~ - DHDN
Can dt: Nghi dinh s6 321CP ngay 041411994 cua Chinh phu vJ viec thanb lap Dai h9C Di: Nang;
Quyết định số 08/INQ-HDDH ngày 12/12/2021 của Hội đồng Đại học Đà Nẵng liên quan đến việc ban hành Quy chế tổ chức và hoạt động của Đại học Đà Nẵng, cùng với Nghị quyết số 13/INQ-HDDH ngày 07/12/2021, đã sửa đổi, bổ sung một số điều của Quy chế tổ chức và hoạt động này.
Quyết định số 12INQ-HDT ngày 08/16/2021 của Hội đồng trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng quy định về chức năng và hoạt động của trường.
Can etc Thong tu s6 15120141TT-BGDDT ngay 151512014cua Br) Giao d1;lcva Dao t(to vJ vi¢c ban hanh Quy chi aao t(to trinh ar) th(tc sf;
Vào ngày 01/11/2016, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã ban hành Quy định số 1060IQD-DHSP liên quan đến quy trình hoạt động và quản lý Quy định này nhằm nâng cao chất lượng giáo dục và đảm bảo sự phát triển bền vững của nhà trường.
Can dt: To' trinh ngay 261712023cua Khoa Toan h9CvJ vi¢c aJ nghi giao aJ tai tU(1n van thqc sf cho h9C vien cao h9C nganh Phuong phap loan sO' cap khoa 43;
Xet aJ nght cua Truong phong Phong Dao l(tO
Di~u 1.Giao cho 19 h9C vien cao h9C nganh Phuang phap toan sa cfrp kh6a 43 lap K43.PPTSC.Ol th\Ic hi~n d~ tai lu~n van thl;lcsi (co danh sach kbn theo)
Di~u 2 H9C viện và ngưới huang dfin có tên a Di~u 1 được huang các quyền lợi và thực hiện nhiệm vụ V\l dung theo Quy chế đạo tạo trình độ thạc sĩ do BQ Giao dục và Đào tạo ban hành và Quy định về đào tạo trình độ thạc sĩ của Trường Đại học.
Su phl;lm - Dl;lih9C Da N~ng.
- Nhu DiSu 3 (db t1wc hi~n);
- Ban Giam hi~u (db bi~t);
DAI HOC DA NANG TRUaNGD~IHQCSUPH~M
CQNG HOA xA HQI CHIJNGHiA VI~T NAM
DANH SACH HQC VIEN DUQ'C GIAO DE TAl LU~N VAN TH~C st
NGANH PHUONG PHAP ToAN SO cApLO]> K43.PPTSC.OI
(Kem thea Quyit dinh s6,A'!JOOIQD-DHSPngay rg thong + nam 2023 cua Hieu truong Truong DC;Zi h9C Su pham - DC;Zi hoc Da N6ng)
STT Ho va ten Ten il~ tai Giao vien luning din
1 Tr~n Thl NgQc Bich BAt d~ng thirc Schur, bAt d~ng thirc TS, Nguyen Hoang Thanh
(Truong Dai hoc Su pham - Muirhead va irng dung
Nguyen Thi Ngoc Biru Ky thuat str dung bAt d~ng thirc TS Luong Q1I6c TlIy~n
2 AM-GM trong cac bai toan ph6 (Truong Dai hoc Sir pharn - thong Dai hoc Da N~ng)
" Nguyen Thi Huyen Dieu Phuong phap giai va sang tao cac
PGS.TS Nguy~n Thanh Chung
) bai toan s6 hoc trong clnrong trinb pho thong (Truong Dai hoc Quang Binh)
4 Le Thuy H~ng PhuO'ng phap giai va sang t~o cac
PGSTS Nguyln Thanh Chur ~ ~ bai toan da thtrc trong chuO'ng trinh TR ph6thong (Tnro'ng D:;ti hQc Quang Biq I f)~
5 Le Qu6c Hoang MQt s6 d~ng toan hinh hQc lien quan TS Hoang Nh~t QlIY ~
~ d~n cac Mthuc luqng trong tam giac (Tmo'ng D:;ti hQc Su ph:;tm -
6 Tr~n Thl ThtlY Ki~u (r ng dVng ph~n m~m Geogebra vao PGS.TS, Le Van Dung
(Truong D~i hQc Su plWm - vi~c d~y va hQC hinh hQc khong gian
TS, ChLr Van Ti~p (Truo'ng D?i hQc Su ph:;tm -
7 VG.Thl Thuy Lan Phuang trinh ham luqng giac va D:;ti hQCDa N~ng) ung dVng - Hu6"ng d~n 2:
TS, TrAn Nam Sinh (Tmo'ng D:;ti hQc Su ph:;tm - D:;ti hQc Da N~ng)
8 Ha Truang My Linh (r ng dVng to{m hQc trong mQt s6 vAn PGS,TS, Le Van Dung d~ lien quan d~n tai chinh (Tmo'ng D:;ti hQc Su ph:;tm -
STT Ho va ten Ten (1~ tai Ghlo vien Inro'ngdftn
MQt s6 dang toan v6 day s6 trong cac PGS,TS PI1C;lITI QlIY Muoi
9 r.e Th! Thanh Luan (Truong Dai hoc Sir plWITI- ki thi Olympic toan hoc DC;li hoc Dil N£ng)
10 Phan Tht Minh Nguyet Mot s6 v~n d~ vS da thirc hac ba (Truong Dai hoc S,:t'plWITI-
Nguyen Thi Y Nim MQt s6 dang toan vS phep tinh tich PGS.TS PhC;lITI QlIY Miroi
11 phan ham mot bien trong cac ki thi (Truong Dai hoc S~rpharn -
Olympic toan hoc Dai hoc Da Nang)
Mot sb phuong phap clnrng minh b~t TS Ton Th~t Ttl
12 D6 r.e Ki6u Oanh (Truong Dai hoc S~rpharn - d~l~g thirc khong dbi xirng Dai hoc Da Nang)
TS Luong Quoc Tuyen D~ng H6ng Phuc MQt sb phuong phap giai phirong
13 (Truong DC;lihQc S~rplWITI - trinh va b~t phuong trinh va ti DC;lihQCDil Nang)::: ,,
14 Truong Tht PhuQ'ng Chu6i va mQt vai tmg dvng (Tnro'ng DC;lih9C Su rl alV o ~ ~
DC;lih9C Dil NgnWoc ,.: t< h' Ie:
15 Luu Thi Suong (J'ng dVng ham 16i mQt ph~n trong
(Tnro'ng DC;lihQc Sq:)1'1Til ~./i' chung minh b~t d~ng thuc DC;li hQc Dil Na~ ,
B~t d~ng thtTC ham ntTa 16i va ung TS Phan D(rc TlI~n
16 Nguy~n VU Doan Thvc (Tnro'ng DC;li hQc S~rph,;lITI - d\mg DC;lihQc Dil Nang)
(J'ng d\mg ph~n m~m yeogeb;a vao PGS.TS Le Van Dung
17 VO Thi Kim Thoa vi~c dc;t.yva hQc xac suat va thong ke (Tnro'ng DC;li h9C S~rplWITI- toim hQc DC;lih9C Da Nang)
Phuong phap giai cac bai toan lien TS Trfin Van S~r
18 Nguy~n TIl! Thanh Trim (Tnro'ng DC;lihQc S~rphC;ll11 - quan d@nduO'ng tron DC;lihQc Da Nang)
Phuong phap giai cac bai toan lien TS Trfin Van S~r
19 Nguy~n TIl! Bao Uyen (Tnro'ng DC;li hQc S~rphC;lm - quan d@ntam giac DC;lihQc Da Nang)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN
Họ và tên học viên: NGUYỄN THỊ Ý NHƯ
Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Khóa: K43
Tên đề tài luận văn: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM QUÝ MƯỜI
Ngày bảo vệ luận văn: 22/06/2024
Sau khi tiếp thu ý kiến của Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 22/06/2024, chúng tôi giải trình một số nội dung sau:
1 Những điểm đã bổ sung, sửa chữa:
- Tách phần mở đầu thành các mục sau: lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu.
- Thống nhất cách viết thuật ngữ Cauchy, căn lề giữa các công thức khi xuống dòng.
- Rà soát định nghĩa 1.3.2, định lý 1.3.4, 1.3.5 và nội dung trang 19.
- Chỉnh sữa lỗi chính tả.
- Đánh số tự động ở các công thức toán.
2 Những điểm bảo lưu ý kiến, không sửa chữa, điều chỉnh (nếu có) bởi những lý do sau:
Không có. Đà Nẵng, ngày 16 tháng 07 năm 2024
Cán bộ hướng dẫn xác nhận Học viên
- Đã kiểm tra luận văn và các lỗi sau chỉnh sửa
- Đã kiểm tra thông tin luận văn bằng tiếng Việt và tiếng Anh
Xác nhận của BCN Khoa
Xác nhận luận văn sau chỉnh sửa và đồng ý cho học viên nộp lưu chiểu