Một số dạng toán về phép tính tích phân hàm một biến trong các kì thi olympic toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNGUYỄN THỊ Ý NHƯ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2024... TRƯỜNG ĐẠI HỌC S

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ Ý NHƯ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ Ý NHƯ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫnPGS.TS PHẠM QUÝ MƯỜI

Đà Nẵng - 2024

MỤC LỤC

1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 9

1.2 Tích phân suy rộng 12

1.3 Tích phân phụ thuộc tham số 15

1.4 Một số hàm cơ bản 17

1.5 Một số bất đẳng thức tích phân quan trọng 18

Chương 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN-HỌC SINH TOÀN QUỐC 20 2.1 Tính tích phân 20

2.2 Chứng minh bất đẳng thức tích phân 27

2.3 Tính diện tích, thể tích, độ dài đường cong 37

2.4 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 43

2.5 Tính giới hạn của biểu thức chứa tích phân 45

KẾT LUẬN 50

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,kết quả nêu trong luận văn là trung thực, được trích dẫn nguồn rõ ràngvà/hoặc chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Ý Như

TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP TÍNH TÍCHPHÂN HÀM MỘT BIẾN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC

TOÁN HỌCNgành: Phương pháp Toán sơ cấp

Họ tên học viên: Nguyễn Thị Ý Như

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Quý Mười

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

Từ khóa: tích phân hàm một biến, nguyên hàm, tích phân bất định, định

lý trung bình tích phân thứ nhất, định lý trung bình tích phân thứ hai, bấtđẳng thức

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài

NAME OF THESIS: SOME FORMS OF MATH ABOUTINTEGRATNG FUNTIONS OF ONE VARIABLE IN THE

OLYMPIC MATH EXAM

Major: Elementary Mathematics Methods

Full name of Master student: Nguyen Thi Y Nhu

Supervisors: Assoc Prof Pham Quy Muoi

Training institution: The University of Danang - University of Science andEducation

- Main results of the thesis: Present some methods to solve problems ofintegrating funtions of one variable through examples

- Scientific and practical significance of thesis: The topic provides system

of functions of one variable in the general curriculum In addition, the topicalso provides some practical math on calculating the area and volume of anobject

Keywords: integral function of one variable, primitive function, first meanintegral theorem, second mean integral theorem, inequality

Supervior’s confirmation Student

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầyhướng dẫn PGS TS Phạm Quý Mười, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng.Thầy đã truyền cảm hứng và động lực để tôi tìm tòi nghiên cứu các bài toántrong đề tài, Thầy cũng đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn này Nhân dịp này tôi xin bày tỏ sự kínhtrọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm

Đà Nẵng, Phòng Đào tạo, Khoa Toán học, cùng quý thầy cô giáo giảng dạylớp cao học K43 Phương pháp Toán sơ cấp tại Đà Nẵng đã dày công giảngdạy trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình họctập và thực hiện đề tài

Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần củagia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốtkhóa học và luận văn này

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Nguyễn Thị Ý Như

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm Trung học phổ thông, học sinh đã làm quen với kháiniệm tích phân, bước đầu đã biết vận dụng để tính diện tích hình phẳng, thểtích vật thể và ứng dụng trong vật lý tìm công, lực tác dụng của một vậtnhưng mới chỉ là những bài toán đơn giản Trong chương trình đại học, tíchphân và ứng dụng của nó ngày càng được mở rộng trong các bài toán tìmnghiệm phương trình, chứng minh bất đẳng thức, Lúc này để giải quyếtcác vấn đề đó lại là một bài toán khó Nó yêu cầu người học không chỉ nắmvững kiến thức cơ bản mà còn đòi hỏi phải có tư duy Toán học phát triểnđồng thời biết sử dụng và kết hợp một cách khéo léo các công cụ trong đại

số và hình học giải tích để giải toán

Trong thời gian vừa qua tôi đã thu thập, tích lũy và hệ thống được một sốdạng toán về tích phân nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy và nghiên cứu.Mục tiêu của đề tài là trình bày lý thuyết về tích phân và đưa ra phươngpháp giải các bài toán về tích phân trong Kỷ yếu kỳ thi Olympic toán sinhviên và học sinh các năm gần đây, giúp học sinh, sinh viên tiếp cận một sốdạng toán đặc trưng về tích phân Các bài toán được lựa chọn chủ yếu chonhững học sinh giỏi Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Quý Mười, tôi

đã hoàn thành luận văn với đề tài: “Một số dạng toán về phép tính tích phânhàm một biến trong các kỳ thi Olympic Toán”

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bảnthân, nhưng do trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chếnên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được nhữnggóp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hơn.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Chương I: Kiến thức cơ bản về tích phân

Chương II: Một số dạng toán và phương pháp giải trong kỳ thi olympictoán sinh viên-học sinh toàn quốc

Chương I trình bày lý thuyết cơ bản của tích phân Chương II phân thànhcác dạng toán trong đề thi Olympic toán học, sự phân chia thành các dạngtoán theo quan điểm chủ quan vốn kiến thức của tôi Vì vậy, kính mong cácthầy cô và các bạn đồng nghiệp đọc và cho ý kiến góp ý để luận văn đượchoàn thiện hơn

3 Đối tượng nghiên cứu

- Tích phân hàm một biến

- Một số bài toán về tích phân hàm một biến

CHƯƠNG1KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương I trình bày lý thuyết cơ bản của tích phân, gồm nguyên hàm vàtích phân bất định, tích phân xác định và một số phương pháp tính, các định

lý về trung bình tích phân, tích phân suy rộng, Tích phân phụ thuộc tham

số, bất đẳng thức tích phân Trích nguồn từ các tài liệu: [1], [2], [3], [4],[5],[6], [7], [8], [9]

Trong luận văn này, khi đề cập đến đoạn [a; b], ta luôn giả sử a, b ∈ R và

Định lý 1.1.2 Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C

Định nghĩa 1.1.2 Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thìF(x)+C (C là hằng số) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x)

Kí hiệu: R f (x) dx = F (x) + C

Định lý 1.1.3 Với các hàm f (x) , g (x) khả tích trên [a; b] và k là hằng sốtùy ý Khi đó, ta có

1) R f′(x) dx = f (x) + C

2) dxd R f (x) dx = (R f (x) dx)′ = f (x)

3) R a.f (x) dx = a.R f (x) dx

4) R [f (x) + g (x)] dx = R f (x) dx +R g (x) dx

Định nghĩa 1.1.3 (Tích phân Riemann) Giả sử hàm f xác định trên [a; b]

và p = {x0; x1; ; xn} là một phân hoạch của đoạn [a; b] ( tức là a = x0 <

x1 < < xn = b) Ta đặt: ∆xi = xi+1 − xi, λ = maxi=0, ,n−1∆xi

Trên mỗi đoạn[xi, xi+1] (i = 0, 1, 2, , n − 1), ta chọn điểmξi ∈ [xi, xi+1]tùy ý và lập biểu thức (được gọi là tổng tích phân):

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn I = lim

λ→0Sn (không phụ thuộc vào phươngpháp phân hoạch [a; b] và phương pháp chọn điểm ξi) thì I được gọi là tíchphân xác định của hàm f (x) trên [a; b] và ký hiệu là I =

b

R

a

f (x) dx.Định nghĩa 1.1.4 (Tổng tích phân trên và dưới) Giả sử hàm f bị chặn trên[a; b] và p = {x0; x1; ; xn} là một phân hoạch của đoạn [a; b] Tổng dưới vàtrên của hàmf (x)trên[a; b]tương ứng làSn =

x∈[xi,xi+1] {f (x)} , Mi = sup

x∈[x i ,x i+1 ]

{f (x)} Định lý 1.1.4 (Tiêu chuẩn khả tích) Điều kiện cần và đủ để hàm f (x) khảtích trên [a; b] là

Định lý 1.1.5 Giả sử f (x) và g(x) khả tích trên [a; b] và k là một số thực.Khi đó, ta có

7) Nếu f (x) ≥ g (x) trên đoạn [a, b] thì Rbaf (x) dx ≥ Rbag (x) dx

8) Nếu m ≤ f (x) ≤ M trên đoạn [a; b] thì

Định lý 1.1.8 (Định lý Lagrange) Giả sử hàm f : [a; b] → R liên tụctrên [a; b] và khả vi trong (a; b) Khi đó, tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho

f′(c) = f (b)−f (a)b−a

Định lý 1.1.9 (Định lý Cauchy) Giả sử các hàm f, g : [a; b] → R liên tụctrên [a; b] , khả vi trong (a; b) và g′(x) ̸= 0, ∀x ∈ (a; b) Khi đó, tồn tại điểm

c ∈ (a; b) sao cho

f′(c)

g ′ (c) = f (b)−f (a)g(b)−g(a).Định lý 1.1.10 (Định lý giá trị trung bình tích phân thứ nhất) Giả sử cáchàm f, g khả tích trên [a; b] Nếu g là hàm không âm (hoặc không dương)trên [a; b] thì Rbaf (x) g (x) dx = µRbag (x) dx với µ ∈ [m; M ] Hơn nữa, nếu

f ∈ C [a; b] thì ∃ξ ∈ [a; b] sao cho Rbaf (x) g (x) dx = f (ξ)Rbag (x) dx Ởđây, m = inf

x∈[a;b]f (x) , M = sup

x∈[a;b]

f (x).Định lý 1.1.11 (Định lý giá trị trung bình tích phân thứ hai) Xét các hàm

f, g khả tích và g là hàm đơn điệu trên [a; b] Khi đó, ∃ξ ∈ [a; b] sao cho

Định lý 1.2.2 (Dấu hiệu so sánh) Giả sử các hàm f1(x) và f2(x) khả tíchtrên mọi đoạn hữu hạn [a, b], không âm và f1(x) ≤ Cf2(x) (C > 0) trên(a, +∞) Khi đó,

1) Nếu Ra+∞f2(x) hội thụ thì Ra+∞f1(x) hội tụ

2) Nếu Ra+∞f1(x) phân kỳ thì Ra+∞f2(x) phân kỳ

Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng kết quả sau: Ra+∞ x1λ (với a > 0) hội

tụ nếu λ > 1 và phân kỳ nếu λ ≤ 1

Định nghĩa 1.2.2 (Tích phân suy rộng loại II) Nếu hàm f (x) và khả tíchtrong mỗi đoạn [a + ε; b], nhưng không khả tích (hoặc không giới nội) trêntất cả đoạn [a; b], thì theo định nghĩa

Định lý 1.2.3 (Tiêu chuẩn Côsi) Nếu f (x) xác định và liên tục trên nửađoạn a < x ≤ b thì để tích phân (1.3) hội tụ, khi và chỉ khi ∀ε > 0, ∃σ > 0sao cho từ bất đẳng thức 0 < x1 − a < σ, 0 < x2 − a < σ suy ra bất đẳngthức

< ε

Định lý 1.2.4 (Dấu hiệu so sánh) Nếu khix → a+0, f (x) = ∗ 1

(x−a)λ

(f (x)là

vô cùng lớn cấp λ khi x → a + 0), thì với λ < 1thì tích phân (1.3) hội tụ,còn λ ≥ 1 thì nó phân kỳ

Nhận xét 1.2.3 Giả sử hàm số f (x) xác định trên [a; +∞) và khả tíchtrên mọi đoạn [a, b] với b > a Khi đó, với mọi số thực a′ > a, ta có

Định nghĩa 1.2.5 Cho hàm f : (−∞; +∞) → R là hàm khả tích trên mọiđoạn hữu hạn Nếu với mỗi số thực a, hai tích phân suy rộng Ra−∞f (x) dx

và R+∞a f (x) dx hội tụ, thì ta gọi tổng Ra−∞f (x) dx +R+∞a f (x) dx là tíchphân suy rộng của f trên (−∞; +∞) và ký hiệu là R+∞−∞f (x) dx Khi đó,tích phân R+∞−∞f (x) dx được gọi là hội tụ

Nhận xét 1.2.6 Sự phân kỳ hay hội tụ của R+∞−∞f (x) dx và giá trị của nókhông phụ thuộc vào a.

1.3 Tích phân phụ thuộc tham số

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm số f (x, y) liên tục trên [a; b] × [c; d] Khi đó,

I (y) =Rbaf (x; y) dx là một hàm số xác định trên [c; d], và được gọi là mộttích phân phụ thuộc tham số

Tính chất liên tục, khả vi và khả tích của tích phân phụ thuộc tham sốđược trình bày trong các định lí dưới đây

i) f (x, y) dx là hàm số liên tục trên [a; b] × [c; d] ,

ii) f′y (x, y) là hàm số liên tục trên [a; b] × [c; d] ,

Định lý 1.3.4 (Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số) Xét tích phân suyrộng phụ thuộc tham số I (y) = R+∞a f (x, y) dx, y ∈ [c, d] Ta nói tích phânphụ thuộc tham số là

i) Hội tụ tại y0 ∈ [c; d] nếu R∞a f (x, y0) dx hội tụ, tức là, ∀ε > 0, ∃b =

b (ε, y0) sao cho

=