Kiến thức về xác suất trong chương trình môn Toán là một nội dung rất quan trọng nhằm xác lập những quy luật tất nhiên ẩn giấu sau những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên khi nghiên cứu mộ
Mục đích nghiên cứu
Để giúp học sinh bậc THPT nắm vững kiến thức xác suất theo chương trình giáo dục phổ thông 2018, cần giới thiệu một số dạng toán cơ bản Những dạng toán này không chỉ giúp học sinh nhận diện vấn đề mà còn hướng dẫn cách giải quyết hiệu quả Việc tiếp cận các bài toán thực tiễn và áp dụng lý thuyết sẽ tạo điều kiện cho học sinh phát triển kỹ năng tư duy logic và khả năng phân tích.
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về xác suất bao gồm việc khảo sát các tài liệu liên quan để nắm bắt các dạng toán khác nhau Qua đó, chúng ta có thể rút ra các phương pháp giải hiệu quả, giúp nâng cao khả năng áp dụng lý thuyết vào thực tiễn.
Nghiên cứu thực tế đã được thực hiện thông qua việc trao đổi với một số giáo viên THPT chuyên dạy về xác suất và các giáo viên luyện thi HSG, ôn thi đại học Mục tiêu là thu thập các kinh nghiệm quý báu trong việc hướng dẫn học sinh giải toán hiệu quả Những chia sẻ từ các giáo viên này sẽ giúp cải thiện phương pháp giảng dạy và hỗ trợ học sinh trong việc nắm vững kiến thức xác suất.
Bố cục khóa luận
Khoá luận bao gồm các chương sau:
Chương 1 Cơ sở lý luận
1.1 Một số lý thuyết cơ bản về xác suất
1.2 Các yêu cầu cần đạt về xác suất theo CTGDPT 2018
Chương 2 Một số dạng toán về xác suất theo CTGDPT 2018
2.1 Dạng 1 Dạng toán liệt kê, đếm số phần tử
2.2 Dạng 2 Dạng toán sắp xếp
2.3 Dạng 3 Dạng toán sử dụng công thức cộng xác suất
2.4 Dạng 4 Dạng toán sử dụng công thức nhân xác suất
2.5 Dạng 5 Dạng toán sử dụng phương pháp tổ hợp
2.6 Dạng 6 Dạng toán sử dụng phương pháp chỉnh hợp
2.7 Dạng 7 Dạng toán sử dụng biến cố đối
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Các lý thuyết cơ bản về xác suất
1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên, hay còn gọi là phép thử, là một thí nghiệm hoặc hành động mà kết quả của nó không thể được dự đoán trước khi thực hiện.
Không gian mẫu của phép thử, ký hiệu là , bao gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.
- Kết quả thuận lợi cho một biến cố A liên quan tới phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra
❖ Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả
Biến cố ngẫu nhiên, hay còn gọi là biến cố, là một tập con của không gian mẫu , bao gồm tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
- Kí hiệu của các biến cố:
• Giao hai biến cố: A B (hoặc A.B)
• Hai biến cố xung khắc: A B =
1.1.3 Xác suất của biến cố
- Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), trong một phép thử có không gian mẫu được xác định bởi công thức:
• n(A) là số phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến cố A
• n()là số phần tử của không gian mẫu , cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T
+ Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất
+ Với mọi biến cố A, ta có 0 P(A) 1
+ Với mỗi biến cố chắc chắn, ta có P() = 1
+ Với mỗi biến cố không thể, ta có P() = 0
Xác suất của mỗi biến cố phản ánh khả năng xảy ra của nó, với những biến cố có khả năng xảy ra cao sẽ có xác suất gần 1.
+ Nếu A và B xung khắc với nhau, thì ta có P(A B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)
+ Nếu A và B độc lập với nhau, thì ta có P(A.B) = P(A) P(B) (công thức nhân xác suất)
1.1.4 Nguyên lý xác suất bé
- Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra
Xác suất của một biến cố được coi là nhỏ hay lớn phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể Ví dụ, xác suất một chiếc điện thoại gặp lỗi kỹ thuật là 0,001 có thể được xem là rất thấp, trong khi xác suất cháy nổ động cơ máy bay ở mức 0,001 lại không được coi là nhỏ.
1.1.5 Hai biến cố độc lập
Hai biến cố được coi là độc lập khi sự xảy ra hay không xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố còn lại Điều này có nghĩa là khả năng xảy ra của biến cố này không tác động đến khả năng xảy ra của biến cố kia.
Nếu A và B là hai biến cố trong cùng một phép thử với P(A) > 0 và P(B) > 0, thì A và B được coi là độc lập khi và chỉ khi xác suất của A xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất của B xảy ra, và ngược lại.
P(A.B) = P(A) P(B) b) Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau: A và B̅, A̅ và B, A̅ và B̅
1.1.6 Hai biến cố xung khắc
- Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu A và B không đồng thời xảy ra
- Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A B =
- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A B) = P(A) + P(B)
(cộng xác suất của hai biến cố xung khắc).
- Cho A1, A2, A3,…,Ak đôi một xung khắc Khi đó:
- Cho A và B là hai biến cố Biến cố: “Cả A và B đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của A và B
- Biến cố giao của A và B là tập con của không gian mẫu
- Cho A và B là hai biến cố Biến cố: “A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của A và B
- Biến cố hợp của A và B là tập con của không gian mẫu
- Biến cố đối của biến cố A là biến cố “A không xảy ra”
- Biến cố đối của biến cố A được kí hiệu là A̅
- Hai biến cố A và A̅ đối nhau khi và chỉ khi: P(A) + P(A̅) = 1.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018
Dạng 7 Dạng toán sử dụng biến cố đối
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 Các lý thuyết cơ bản về xác suất
1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên, hay còn gọi là phép thử, là một thí nghiệm hoặc hành động mà kết quả của nó không thể được dự đoán trước khi thực hiện.
Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử, và được ký hiệu là .
- Kết quả thuận lợi cho một biến cố A liên quan tới phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra
❖ Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả
Biến cố ngẫu nhiên, hay còn gọi là biến cố, là một tập con của không gian mẫu , bao gồm tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
- Kí hiệu của các biến cố:
• Giao hai biến cố: A B (hoặc A.B)
• Hai biến cố xung khắc: A B =
1.1.3 Xác suất của biến cố
- Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), trong một phép thử có không gian mẫu được xác định bởi công thức:
• n(A) là số phần tử của tập hợp A, cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T thuận lợi cho biến cố A
• n()là số phần tử của không gian mẫu , cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử T
+ Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất
+ Với mọi biến cố A, ta có 0 P(A) 1
+ Với mỗi biến cố chắc chắn, ta có P() = 1
+ Với mỗi biến cố không thể, ta có P() = 0
Xác suất của mỗi biến cố thể hiện khả năng xảy ra của biến cố đó; nếu biến cố có khả năng xảy ra cao, xác suất của nó sẽ gần với 1.
+ Nếu A và B xung khắc với nhau, thì ta có P(A B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)
+ Nếu A và B độc lập với nhau, thì ta có P(A.B) = P(A) P(B) (công thức nhân xác suất)
1.1.4 Nguyên lý xác suất bé
- Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra
Trong thực tế, xác suất của một biến cố được coi là nhỏ hay lớn phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể Ví dụ, xác suất một chiếc điện thoại gặp lỗi kỹ thuật là 0,001 thường được xem là rất nhỏ, trong khi xác suất cháy nổ động cơ máy bay cùng mức 0,001 lại không được đánh giá là nhỏ.
1.1.5 Hai biến cố độc lập
Hai biến cố được coi là độc lập khi sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố còn lại Nói cách khác, việc xảy ra của biến cố này không làm thay đổi khả năng xảy ra của biến cố kia.
Nếu A và B là hai biến cố liên quan đến cùng một phép thử với P(A) > 0 và P(B) > 0, thì A và B được coi là độc lập khi và chỉ khi xác suất xảy ra của A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của B.
P(A.B) = P(A) P(B) b) Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau: A và B̅, A̅ và B, A̅ và B̅
1.1.6 Hai biến cố xung khắc
- Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu A và B không đồng thời xảy ra
- Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A B =
- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A B) = P(A) + P(B)
(cộng xác suất của hai biến cố xung khắc).
- Cho A1, A2, A3,…,Ak đôi một xung khắc Khi đó:
- Cho A và B là hai biến cố Biến cố: “Cả A và B đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của A và B
- Biến cố giao của A và B là tập con của không gian mẫu
- Cho A và B là hai biến cố Biến cố: “A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của A và B
- Biến cố hợp của A và B là tập con của không gian mẫu
- Biến cố đối của biến cố A là biến cố “A không xảy ra”
- Biến cố đối của biến cố A được kí hiệu là A̅
- Hai biến cố A và A̅ đối nhau khi và chỉ khi: P(A) + P(A̅) = 1
1.2 Một số yêu cầu cần đạt về xác suất theo CTGDPT 2018 bậc THPT
1.2.1 Các yêu cầu cần đạt về xác suất lớp 10
Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình mà kết quả không thể dự đoán trước, trong khi không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra từ phép thử đó Biến cố, là tập con của không gian mẫu, đại diện cho một hoặc nhiều kết quả cụ thể Biến cố đối là biến cố mà khi xảy ra biến cố này thì biến cố kia không xảy ra Định nghĩa cổ điển của xác suất được xác định là tỷ lệ giữa số lượng kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể xảy ra trong không gian mẫu.
- Tính xác suất trong một số bài toán đơn giản bằng phương pháp tổ hợp (trường hợp xác suất phân bố đều)
- Tính xác suất trong một số bài toán đơn giản bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
1.2.2 Các yêu cầu cần đạt về xác suất lớp 11
- Nhận biết được khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập, biến cố xung khắc
- Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố xung khắc bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất và phương pháp tổ hợp
- Tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập bằng cách sử dụng công thức nhân xác suất và sơ đồ hình cây
CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT
THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018
2.1 Dạng 1 Dạng toán liệt kê, đếm số phần tử
2.1.1 Dạng toán liệt kê đơn giản
- Bước 1: Tìm không gian mẫu n()
- Bước 2: Gọi biến cố cần tìm là A, B, C,…
Liệt kê số phần tử của biến cố, từ đó tìm n(A), n(B), n(C),…
- Bước 3: Tìm xác suất của biến cố được xác định bởi công thức:
- Những bài toán thực tế có phép thử ngẫu nhiên trong phạm vi nhỏ
- Số trường hợp có hạn chế và dễ đếm
- Xác suất của mỗi trường hợp có thể được tính toán một cách trực tiếp dễ dàng
- Không có mối quan hệ phức tạp giữa các sự kiện
Khi gieo một con xúc xắc có sáu mặt, xác suất xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4 được tính bằng cách xem xét các trường hợp có thể xảy ra Cụ thể, các mặt có số chấm nhỏ hơn 4 bao gồm mặt 1 chấm, mặt 2 chấm và mặt 3 chấm Do đó, để giải bài toán này, ta sẽ xác định tổng số trường hợp có thể và số trường hợp mong muốn để tính toán xác suất.
Gọi không gian mẫu là
Vì xúc xắc có 6 mặt nên sẽ có 6 trường hợp có thể xảy ra khi gieo xúc xắc
Gọi A là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4”
Vậy xác suất để xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 4 là 1
Cho lục giác đều ABCDEF, ta có 6 tấm thẻ tương ứng với các chữ cái A, B, C, D, E, F Khi lấy ngẫu nhiên 2 thẻ, ta cần tính xác suất để đoạn thẳng nối giữa hai điểm trên các thẻ đó là: a) Cạnh của lục giác; b) Đường chéo của lục giác; c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.
Do lục giác đều có số cạnh và đường chéo tương đối ít, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp liệt kê để giải quyết bài toán một cách trực quan hơn Cách tiếp cận này giúp dễ dàng nhận diện và phân tích các yếu tố liên quan đến lục giác đều.
Gọi không gian mẫu là
Lấy ngẫu nhiên 2 trong 6 thẻ nên n() = C 6 2 = 15 a) Gọi biến cố A: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành cạnh của lục giác”
Vì lục giác có 6 cạnh nên n(A) = 6
Vậy xác suất để 2 thẻ lấy ra là 2 đỉnh tạo thành cạnh của lục giác bằng 2
5. b) Gọi biến cố B: “Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành đường chéo của lục giác”
Ta có số đường chéo của lục giác là số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của lục giác trừ đi số cạnh của lục giác nên n(B) = 15 – 6 = 9
Vậy xác suất để hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành đường chéo của lục giác bằng 3
5. c) Gọi biến cố C: “Hai thẻ lấy ra là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”
Vì lục giác có 3 cặp đỉnh đối diện tạo thành một đường chéo là: A-D,
Vậy xác suất để hai thẻ lấy ra là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác là 1
Khi gieo một đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi xuất hiện mặt ngửa lần đầu hoặc cả 6 lần mặt sấp, ta cần tính xác suất cho các sự kiện sau: a) A: “Số lần gieo không vượt quá ba”; b) B: “Số lần gieo là năm”; c) C: “Số lần gieo là sáu” Nhiều học sinh có thể gặp khó khăn trong việc xác định không gian mẫu do không quen với các bài toán không có số lần gieo cố định Để hỗ trợ, giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi gợi ý nhằm giúp học sinh nhận diện và phân tích số lần gieo cần thiết cho bài toán này.
• Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng xu bao nhiêu lần?
• Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng xu tối đa bao nhiêu lần?
Khi được hỏi về khả năng xuất hiện mặt sấp trong 100 lần gieo, học sinh nhận thấy không thể đưa ra con số cụ thể vì có thể xảy ra trường hợp tất cả đều là mặt sấp Tuy nhiên, học sinh đã hình dung được dạng các phần tử đầu tiên Đối với câu hỏi thứ hai, học sinh xác định rằng số lần gieo tối đa là 6, từ đó có thể xác định không gian mẫu Vậy, chúng ta sẽ giải quyết bài toán này theo cách sau:
Gọi không gian mẫu là
= {N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, SSSSSN, SSSSSS}
⇒ n() = 7 a) Gọi A là biến cố: “Số lần gieo không vượt quá ba”
Vậy xác suất để số lần gieo không vượt quá ba là 3
7 b) Gọi B là biến cố: “Số lần gieo là năm” nên B = {SSSSN}
Vậy xác suất để số lần gieo là năm bằng 1
7 c) Gọi C là biến cố: “Số lần gieo là sáu” nên C = {SSSSSN, SSSSSS}
Vậy xác suất để số lần gieo là sáu bằng 2
Bài 1: Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất ba lần Tính xác suất để tổng số chấm trong ba lần gieo bằng 6
Khi gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần, xác suất để số chấm xuất hiện trên cả hai lần gieo bằng nhau có thể được tính toán Để đạt được điều này, ta cần xem xét các trường hợp có thể xảy ra và xác định tần suất xuất hiện của các số giống nhau trên xúc xắc.
Bài 3: Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất của biến cố: “Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 1”
Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 10 Tìm xác suất của biến cố A: “Số được chọn là số chẵn”
Bài 5: Một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp đó Tính xác suất để lấy được thẻ ghi số lẻ và chia hết cho 3
Bài 6: Chọn ngẫu nhiên 3 số khác nhau từ tập {1; 2;…; 10} Tìm xác suất để tổng ba số được chọn bằng 12
Bài 7: Gieo một đồng xu cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần
Bài 8: Gieo hai con xúc xắc cân đối Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc bé hơn 7