Một số dạng toán ứng dụng của tỉ số đồng dạng

-1LỜI CẢM ƠN Như sau thời gian nghiên cứu với cố gắng thân, giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy giáo ThS Tần Bình giúp đỡ bạn sinh viên tập thể lớp 08ST luận văn hoàn thành Em xin gởi đến thầy bạn lời cảm ơn chân thành nhất, lời chúc sức khỏe thành đạt Em xin gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu thầy khoa Tốn trường ĐHSP Đà Nẵng tạo điều kiện cho em suốt trình học tập, rèn luyện thực đề tài Do lần đầu tham gia nghiên cứu khoa học trình độ lực cịn hạn chế nên hẳn luận văn cịn nhiều thiếu sót, kính mong q thầy bạn góp ý chân thành để luận văn hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Hoa -2- MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Mục đích nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Cấu trúc luận văn: MỘT SỐ KÍ HIỆU CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Tỉ số đồng dạng mặt phẳng 1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ 1.2 Định lí Talet mặt phẳng 1.2.1 Định lí thuận: 1.2.2 Định lí đảo: 1.3 Định lí Talet tam giác 1.3.1 Định lí thuận: 1.3.2 Định lí đảo: 1.3.3 Mở rộng: Định lí chùm đường thẳng đồng quy 1.3.3.1 Định lí thuận: 10 1.3.3.2 Định lí đảo: 10 1.4 Định lí tỉ số diện tích tam giác: 10 1.5 Định lí đường phân giác tam giác: 10 1.5.1.Đường phân giác 10 1.5.2 Đường phân giác 11 1.6 Tam giác đồng dạng 11 1.6.1 Định nghĩa 11 1.6.2 Dấu hiệu: 11 -31.6.3 Tính chất 12 Tỉ số đồng dạng không gian 12 2.1 Định lí Ta-lét khơng gian 12 2.1.1 Định lí thuận 13 2.1.2 Định lí đảo 13 2.2 Tỉ số thể tích 13 Phép đồng dạng phép vị tự mặt phẳng không gian 14 3.1 Phép đồng dạng 14 3.1.1 Định nghĩa: 14 3.1.2 Tính chất 14 3.1.3 Hai hình đồng dạng 14 3.1.4 Sự xác định phép đồng dạng: 15 3.1.4.1 Định lí 15 3.1.4.2 Định lý 15 3.2 Phép vị tự 15 3.2.1 Định nghĩa: 15 3.2.2 Tính chất: 15 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG 17 1.1 Áp dụng định lí Talet mặt phẳng tam giác 17 1.1.1 Tính độ dài đoạn thẳng 17 1.1.2 Chứng minh đẳng thức tích đoạn thẳng ……18 1.1.2.1 Phương pháp: 18 1.1.2.2 Ví dụ 19 1.1.3 Chứng minh đường thẳng song song 20 1.1.3.1 Phương pháp : Sử dụng định lí Talet đảo 20 1.1.3.2 Ví dụ: 20 1.1.5 Bài toán dựng hình 23 1.2 Áp dụng định lí tỉ số diện tích tam giác 25 Ví dụ1: 25 1.3 Áp dụng định lí đường phân giác tam giác 27 -41.4 Một số toán tam giác đồng dạng 30 1.4.1 Phương pháp: 30 1.4.2 Tính độ dài đoạn thẳng: 30 1.4.3 Tính góc: 32 1.4.4 Tính diện tích, tỉ số diện tích áp dụng tính chất diện tích tam giác để chứng minh đẳngthức………………………………………………33 2.1 Sử dụng định lí talet khơng gian 41 2.1.1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 41 2.1.2 Chứng minh mặt phẳng song song 42 2.1.3 Tập hợp điểm chia đoạn thẳng có hai mút di động hai đường chéo 43 2.2 Tỉ số thể tích 46 3.1 Các toán thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định, quan hệ vuông góc 51 3.1.1 Phương pháp 51 3.1.2 Các ví dụ : 51 3.2 Các tốn quỹ tích 55 3.2.1 Phương pháp 55 3.2.2 Các ví dụ 56 3.3 Bài tốn dựng hình 58 3.3.1 Phương pháp 58 3.3.2 Các ví dụ 59 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 -5MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Hình học lĩnh vực toán học mang lại cho người yêu toán nhiều điều hấp dẫn, thú vị Nó địi hỏi người học phải có suy nghĩ sáng tạo tinh tế Trong lĩnh vực này, “tỉ số đồng dạng” vấn đề mà em học sinh làm quen chương trình lớp kéo dài đến hết chương trình THPT Đây phần quan trọng hình học sơ cấp, cơng cụ đắc lực để giải tốn hình học toán tỉ lệ đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, chứng minh đoạn thẳng song song, đồng quy, ba điểm thẳng hàng, tính chu vi, diện tích hình, tốn quỹ tích dựng hình đặc biệt chứng minh tam giác đồng dạng sử dụng tính chất để giải tốn Đó dạng tốn bản, làm tảng cho tốn phức tạp hình học, mang lại nhiều rắc rối, khó khăn cho học sinh chưa quen với việc sử dụng chúng Các tỉ số phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn tính tốn, biến đổi vịng quanh, lẩn quẩn mà khơng dẫn đến kết Với lí trên, em chọn đề tài : “Một số dạng toán ứng dụng tỉ số đồng dạng” cho luận văn Mục đích nghiên cứu: Rèn luyện cho học sinh có nhìn tổng qt khả phân tích, xem xét tốn dạng đặc thù, riêng lẻ Phát huy khả tư duy, say mê sáng tạo tự tin giải toán liên quan đến “tỉ số đồng dạng” Nhiệm vụ nghiên cứu: Hệ thống kiến thức phân loại dạng tốn giải tỉ số đồng dạng Đưa vài phương pháp giải cho dạng tốn, giúp học sinh có định hướng đắn việc giải toán -64 Phương pháp nghiên cứu: Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên sách tham khảo, nâng cao, tài liệu liên quan wesite, từ hệ thống, phân loại dạng toán “tỉ số đồng dạng” Nghiên cứu lí thuyết tập, kết hợp phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc luận văn: MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Tỉ số đồng dạng mặt phẳng Tỉ số đồng dạng không gian Phép đồng dạng phép vị tự mặt phẳng không gian MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG Một số toán tỉ số đồng dạng mặt phẳng Một số tốn tỉ số đồng dạng khơng gian Ứng dụng phép đồng dạng vị tự KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO -7MỘT SỐ KÍ HIỆU ∆ - tam giác S - diện tích V - thể tích (α ) - mặt phẳng α // - song song ⊥ - vng góc - đồng dạng ∈ - thuộc ∩ - giao ⇒ - suy ⇔ - tương đương - góc -8CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Tỉ số đồng dạng mặt phẳng 1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ C’D’ có tỉ lệ thức: AB A 'B' AB CD = hay = CD C'D' A 'B' C'D' 1.2 Định lí Talet mặt phẳng 1.2.1 Định lí thuận: Ba đường thẳng song song định hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ 1.2.2 Định lí đảo: Cho đường thẳng song song a b định hai cát tuyến d d’ đoạn thẳng tương ứng AB A’B’ Nếu đường thẳng c cắt d d’ điểm tương ứng C ( không trùng với A) C’ phía đường thẳng b mà ta có đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ song với a b AB A 'B' = đường thẳng c song BC B'C' -91.3 Định lí Talet tam giác 1.3.1 Định lí thuận: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác khơng qua đỉnh đối diện chia ( ) hai cạnh tam giác thành đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ 1.3.2 Định lí đảo: Nếu đường thẳng khơng qua đỉnh tam giác chia ( ngồi ) hai cạnh tam giác thành đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ song song với cạnh cịn lại tam giác 1.3.3 Mở rộng: Định lí chùm đường thẳng đồng quy - 10 1.3.3.1 Định lí thuận: Nếu đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song chúng định đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ 1.3.3.2 Định lí đảo: Nếu đường thẳng có đường thẳng cắt nhau, định đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng đồng quy 1.4 Định lí tỉ số diện tích tam giác: Nếu góc BAC tam giác ABC góc B’A’C’ tam giác A’B’C’ bù tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số tích cạnh kề góc đó: S∆ABC AB.AC = S∆A ' B'C ' A 'B'.A 'C' 1.5 Định lí đường phân giác tam giác: Đường phân giác ( trong, ngoài) tam giác chia ( trong, ngoài) cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn 1.5.1.Đường phân giác Ta có : DB AC = DC AB - 50 Cộng (1) (2) vế theo vế ta : VSA1B1C1D1 SD1 = + 9 SD V VSA1B1D1 Tương tự : VSABD VSB1C1D1 VSBCD (3) = SA1 SB1 SD1 SD1 = SA SB SD SD (4) = SB1 SC1 SD1 SD1 = SB SC SD SD (5) Cộng (4) (5) vế theo vế ta : VSA1B1C1D1 SD1 = SD V (6) Từ (3) (6) ta có : SD1 SD1 = + SD 9 SD ⇒ SD1 = (đpcm) SD Bài tập tham khảo Cho hai đường thẳng chéo m n a,b,c ba đường thẳng di động, Lần lượt cắt m A, B, C ; n D, E, F cho AB DE = Gọi ( α ) AC DF mặt phẳng qua a song song với b Chứng minh a//( α ) Giả sử M điểm nằm tứ diện ABCD Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt đối diện A1, B1, C1, D1 Chứng minh rằng: MA1 MB1 MC1 MD1 + + + = AA1 BB1 CC1 DD1 - 51 Ứng dụng phép đồng dạng vị tự 3.1 Các toán thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định, quan hệ vng góc 3.1.1 Phương pháp * Bước : Từ giả thiết, kết luận tốn phân tích tính chất đoạn thẳng tỉ lệ , góc nhau, hình đồng dạng, quan hệ vng góc , quan tâm đến điểm cố định để xác định phép đồng dạng thích hợp * Bước : Dựa vào tính chất phép đồng dạng kết hợp với tính chất hình học để chứng minh * Bước : Kết luận tốn 3.1.2 Các ví dụ : Ví dụ : Trong ∆ ABC gọi đường tròn (O1), (O2), (O3) đường trịn có bán kính tiếp xúc với cạnh tam giác, cắt J Chứng minh điểm J, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC nằm đường thẳng Giải Gọi O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ ABC Hạ O1H ⊥ BC, O2K ⊥ BC ⇒ O1H//O2K, O1H=O2K O1HK = 90O ⇒ Tứ giác O1O2KH hình chữ nhật nên O1O2//HK hay O1O2//BC Tương tự, O2O3//AC, O3O1//AB - 52 Mà BI phân giác góc B nên BI phân giác O3O1O Tương tự, CI phân giác O3O 2O1 , AI phân giác O1O3O ⇒ I tâm đường tròn nội tiếp ∆ O1O2O3 Mặt khác, O1J=O2J=O3J=R ( giả thiết) ⇒ J tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ O1O2O3 Gọi r, r’ bán kính đường trịn nội tiếp ∆ ABC ∆ O1O2O3 Ta có IO1 IO IO3 r = = = =k IB IC IA r ' ⇒ IO1 = kIB , IO = kIC , IO3 = kIA ⇒ VkI : ∆ BCA ֏ ∆ O1O2O3 Mà O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ BCA, J tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ O1O2O3 Nên VkI : O ֏ J Vậy O I, J thẳng hàng (đpcm) Ví dụ Cho ∆ ABC đường tròn (C) tâm J thay đổi tam giác Gọi (CA), (CB), (CC) đường trịn tiếp xúc với cạnh góc A,B,C tiếp xúc ngồi với đường trịn (C) tương ứng A1, B1, C1 Chứng minh đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy điểm K đường thẳng JK qua điểm cố định Giải - 53 - Gọi R, RA, RB, RC bán kính (C), (CA), (CB), (CC) Xét phép vị tự VA1 − R /R A : (CA) ֏ (C) Gọi A’ ảnh A qua phép vị tự VA1 − R /R A Khi A, A1, A’ thẳng hàng Gọi đường thẳng A’x, A’y ảnh đường thẳng AB, AC qua phép vị tự VA1 − R /R A Khi A’x //AB, A’y//AC Mà AB tiếp xúc với (CA) nên A’x tiếp xúc với (C) Xét phép vị tự VB1 − R /R B : (CB) ֏ (C) Gọi B’ ảnh điểm B qua phép vị tự VB1 − R /R B Khi B, B1, B’ thẳng hàng Thực phép vị tự VB1 − R /R B : đường thẳng AB ֏ đường thẳng B’x’ Khi B’x’//AB Mà AB tiếp xúc với (CB) nên B’x tiếp xúc với (C) Ta có A’x B’x’ song song với AB tiếp xúc với (C) ⇒ A’x ≡ B’x’ nên A’B’//AB A’B’ tiếp xúc với (C) (1) Gọi C’ ảnh C qua phép vị tự VC1 − R /R C Khi C, C1, C’ thẳng hàng Chứng minh tương tự, ta có B’C’//BC, A’C’//AC B’C’,A’C’ tiếp xúc với (C) (2) Từ (1) (2) ta có ∆ ABC ∆ A’B’C’ có cặp cạnh tương ứng song song J tâm đường tròn nội tiếp ∆ A’B’C’ + Gọi K giao điểm AA’ BB’ - 54 Vì A’B’//AB nên KA ' = kKA , KB' = kKB ⇒ Phép vị tự VkK : A ֏ A’, B ֏ B’ Vì AC//A’C’ nên phép vị tự VkK : đường thẳng AC ֏ đường thẳng A’C’ Vì BC//B’C’ nên phép vị tự VkK : đường thẳng BC ֏ đường thẳng B’C’ Mà đường thẳng AC, BC cắt C A’C’, B’C’ cắt C’ Nên phép vị tự VkK : C ֏ C’ ⇒ C, K,C’ thẳng hàng hay AA’, BB’, CC’ đồng quy K Mặt khác, gọi I tâm đường trịn nội tiếp ∆ ABC Khi J tâm đường tròn nội tiếp ∆ A’B’C’ VkK : ∆ ABC ֏ ∆ A’B’C’ ⇒ Phép vị tự VkK : I ֏ J Vậy JK qua điểm I cố định Ví dụ Cho hai đường trịn (O1,r1) (O2, r2) tiếp xúc ngồi C tiếp xúc với đường tròn (O,r) theo thứ tự A1, A2 Tiếp tuyến chung (O1), (O2) C đường thẳng l cắt đường trịn (O) P Kẻ đường kính AB (O) vng góc với l cho A O2 nằm phía đường thẳng l Chứng minh B1 giao điểm PA1 với (O1), B2 giao điểm của PA2 với (O2) B1B2 vng góc với PO Giải - 55 Ta có A1O = r A1O1 r1 Nên phép vị tự VA1 k : (O1,r1) ֏ (O,r) với k= r r1 Khi đó, phép vị tự VA k : O1 ֏ O, B1 ֏ P ⇒ O1B1//OP POA1 = B1O1A1 `(1) Ta có phương tích PP/(O1)= PA1.PB1=PC2 PP/(O2)= PA2.PB2=PC2 ⇒ PA1.PB1=PA2.PB2 ⇔ PA1 = PA PB2 PB1 ⇒ ∆ PA1A2 ∆ PB2B1 ⇒ PB1B2 = PA A1 = ⇒ PB1B2 = POA1 B1O1A1 Trong (O1) gọi I trung điểm A1B1 Khi O1I ⊥ A1B1 Vì ∆ A1O1B1 cân nên B1O1I = B1O1A1 ⇒ PB1B2 = B1O1I ⇒ O1B1B2 = 1800 − ( O1B1I + PB1B2 ) = 1800 − ( O1B1I + B1O1I) = 1800-900=900 (2) ⇒ O1B1 ⊥ B1B2 Từ (1) (2) ta suy PO ⊥ B1B2 (đpcm) 3.2 Các tốn quỹ tích 3.2.1 Phương pháp * Bước : Phân tích giả thiết, kết luận tốn kết hợp với tính chất hình học khác để xét phép đồng dạng thích hợp * Bước : Sử dụng phép đồng dạng xác định ảnh hay tạo ảnh điểm cần tìm quỹ tích kết hợp với tính chất hình học khác để để xác định tính chất điểm hay hình liên quan đến điểm cần tìm quỹ tích - 56 * Bước : Từ định nghĩa, tính chất phép đồng dạng, tính chất khác kết hai bước để kết luận quỹ tích 3.2.2 Các ví dụ Ví dụ Trong mặt phẳng cho hai đường tròn đồng tâm (O,R) (O,r) (R>r) P điểm cố định (O,r), B điểm chuyển động (O,R) Đường thẳng BP cắt (O,R) C Và đường thẳng d vng góc với BP P cắt (O,r) điểm thứ A Tìm quỹ tích trung điểm M AB Giải Kéo dài OA cắt (O,r) D đường thẳng CM cắt OP I Trong ∆ DAB có OM đường trung bình ⇒ OM//DB OM = DB Mà DB = − PC nên OM = − PC ⇒ ∆ IOM ⇒ ∆ IPC IO IM OM = = = IP IC PC 1 ⇒ IO = − IP IM = − IC 2 - 57 Nên VI -1/2 : P ֏ O, C ֏ M Mà quỹ tích điểm C (O,R) nên quỹ tích M (O’, phép vị tự VI-1/2 với I điểm chia OP theo tỉ số R ) ảnh (O,R) qua I cố định Ví dụ : Cho góc tam diện Sxyz có Sx, Sy, Sz đơi vng góc Trên Sz lấy điểm A cố định cho SA=a B C điểm di động Sx, Sy cho SB+SC =a Tìm quỹ tích tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Giải Trên Sx, Sy lấy điểm B’, C’ cho SC’=SB’= a nên SC’B’ vuông cân Gọi J trung điểm BC , J’ đối xứng với S qua J Khi tứ giác SBJ’C hình chữ nhật ⇒ SB=CJ’=a- SC C'CJ ' = 900 Mặt khác CC’=SC’-SC=a- SC ⇒ CC’=CJ’ C'CJ ' = 900 nên ∆ C’CJ vuông cân C ⇒ CC'J '=450 Mà CC'B'= 450 nên C’,J’,B’ thẳng hàng - 58 ⇒ Quỹ tích điểm J’ đoạn thẳng B’C’ + Mặt khác tứ diện SABC kẻ d ⊥ (SBC) J Vì JS=JB=JC=JJ’ nên IS=IB=IC Ta có SA ⊥ (SBC) d ⊥ (SBC) nên SA//d ⇒ d ⊂ (AJ’S) Trong mặt phẳng (AJ’S), đường thẳng d cắt AJ’ I ⇒ Điểm I trung điểm AJ’ Suy IA=IJ’=IS=IB=IC ⇒ Điểm I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SACB Ta có AI = AJ ' nên phép vị tự VA1/2 : J’ ֏ I Mà quỹ tích điểm J’ đoạn thẳng B’C’ nên quỹ tích điểm I đoạn thẳng I1I2 ảnh B’C’ qua phép vị tự VA1/2 3.3 Bài toán dựng hình 3.3.1 Phương pháp * Bước : Phân tích Giả sử dựng hình thỏa mãn u cầu tốn.Xác định yếu tố dựng nên hình Phân tích giả thiết, kết luận tính chất hình để xét phép đồng dạng thích hợp Sử dụng phép đồng dạng tính chất hình học khác để tìm tính chất xác định yếu tố tạo nên hình cần dựng ảnh , tạo ảnh yếu tố Từ đưa cách dựng * Bước : Cách dựng Từ bước phân tích suy cách dựng Chú ý dựng ảnh hình qua phép đồng dạng * Bước : Chứng minh Sử dụng định nghĩa, tính chất bước dựng chứng minh cách dựng thõa mãn yêu cầu toán * Bước : Biện luận Dựa vào bước để biện luận số nghiệm hình Chú ý đến vị trí tương đối đường cong để biện luận số giao điểm - 59 3.3.2 Các ví dụ Ví dụ : Cho đường tròn (O,R), điểm A thuộc (O,R) đường thẳng d Dựng đường tròn (O’,R’) tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với d Giải a Phân tích Giả sử dựng đường tròn (O’,R’) tiếp xúc với đường tròn (O,R) A tiếp xúc với đường thẳng d M Xét phép vị tự : (O’) ֏ (O) Thực phép vị tự VAk : M ֏ M’ đường thẳng d ֏ đường thẳng d’ ⇒ VAk : O’M ֏ O M’ Vì d tiếp xúc với (O’) M nên O’M ⊥ d Do OM’ ⊥ d’ ⇒ Đường thẳng d’ tiếp xúc với (O) M’ d’//d Mà OM’ ⊥ d’ nên OM’ ⊥ d Gọi a đường thẳng OM’ vuông góc với d Khi đó, M’ giao điểm đường thẳng a đường tròn (O) Gọi a’là đường thẳng qua M vng góc với d ⇒ O’∈ a’ Mà O’ thuộc đường thẳng OA nên O’ giao điểm đường thẳng a’ đường thẳng OA - 60 b Cách dựng - Dựng đường thẳng a qua O vng góc với d - Đường thẳng a cắt (O,R) M’ - Nối M’A cắt đường thẳng d M - Kẻ đường thẳng a’ vng góc với d M - Kéo dài OA cắt a’ O’ Vậy đường tròn (O’, O’A) đường trịn cần dựng c Chứng minh Ta có M’M cắt OO’ A Vì a’ ⊥ d a ⊥ d nên a’//a ⇒ AO ' AM = = k Suy AO' = kAO AM = kAM ' AO AM ' ⇒ Phép vị tự VAk : M’ ֏ M , (O) ֏ (O’) Mà M’∈ (O) nên M ∈ (O’) Mà O’∈ a’ a’ ⊥ d (do cách dựng) Nên d tiếp xúc với (O’) M d Biện luận Vì đường thẳng a cắt (O) điểm nên tốn có nghiệm hình Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD Dựng hình lập phương nội tiếp hình chóp cho mặt hình lập phương nằm đáy hình chóp Mặt đối diện có đỉnh nằm cạnh bên hình chóp Giải - 61 - a.Phân tích Giả sử dựng hình lập phương thỏa đề Gọi d1, d2, d3, d4 đường thẳng qua điểm A, B, C, D vng góc với mặt phẳng (ABCD) Ta có A1’A1 ⊥ (ABCD) nên A1’A1//d1 ⇒ đường thẳng d1 chứa mặt phẳng (SA1’A1) Trong mặt phẳng (SA1’A1) kéo dài SA1 cắt đường thẳng d1 A’ ⇒ Trong ∆ SAA’, ta có SA '1 SA1 = =k SA SA ' ⇒ SA '1 = kSA , SA1 = kSA ' ⇒ Phép vị tự VSk : A ֏ A’1 A’ ֏ A1 Tương tự VSk : B ֏ B’1 B’ ֏ B1 VSk : C ֏ C’1 C’ ֏ C1 VSk : D ֏ D’1 D’ ֏ D1 ⇒ VS k : - 62 ABCDA’B’C’D’ ֏ A’1B’1C’1D’1A1B1C1D1 Mà A’1B’1C’1D’1A1B1C1D1 hình lập phương nên ABCDA’B’C’D’ hình lập phương b Cách dựng - Dựng hình lập phương ABCDA’B’C’D’ khác phía với S SA’, SB’, SC’, SD’ cắt (ABCD) A1, B1, C1, D1 - Dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) A1, B1, C1, D1 cắt SA, SB, SC, SD A’1, B’1, C’1, D’1 Khi hình lập phương cần dựng A1B1C1D1A’1B’1C’1D’1 c Chứng minh Do cách dựng ta có A1A’1//A’A nên ∆ SAA’ ta có SA '1 SA1 = = k ⇒ SA '1 = kSA , SA1 = kSA ' SA SA ' ⇒ Phép vị tự VSk : A ֏ A’1 A’ ֏ A1 Tương tự, suy phép vị tự VSk : ABCDA’B’C’D’ ֏ A’1B’1C’1D’1A1B1C1D1 Mà ABCDA’B’C’D’ hình lập phương nên A’1B’1C’1D’1A1B1C1D1 hình lập phương d.Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình Bài tập tham khảo 1.Cho đường tròn tâm O, dây cung BC cố định Điểm A di động cung BXC Tìm tập hợp hình chiếu trung điểm đoạn thẳng AB lên đường thẳng AC Cho góc ACB đường tròn tâm O’ cho trước cắt cạnh CB góc Hãy dựng đường trịn tiếp xúc với hai cạnh góc tiếp xúc với đường trịn tâm O’ - 63 KẾT LUẬN Như vậy, đề tài ““Một số dạng toán ứng dụng tỉ số đồng dạng” đạt kết sau: Hệ thống kiến thức phân loại dạng tốn giải tỉ số đồng dạng Đưa vài phương pháp giải cho dạng toán, giúp học sinh có định hướng đắn việc giải tốn Đề tài làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán, học sinh giáo viên THCS, THPT Em hi vọng vấn đề mở rộng tổng hợp nhiều dạng toán để cung cấp nguồn tài liệu tham khảo phong phú cho người dạy học - 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa, sách giáo viên lớp 8, lớp 11 [2] Sách “Các định lí toán đoạn thẳng tỉ lệ’’ Nhà xuất Giáo dục [3] Sách “196 tốn hình học 11” - Nguyễn Ánh [4] Sách “ Giải toán hình học 11” – Dùng cho học sinh lớp chuyên – Trần Thành Minh [5] Các Website: http://www.googole.com.vn http://www.diendantoanhoc.net http://www.maths.vn http://www.toanthpt.net ... MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Tỉ số đồng dạng mặt phẳng Tỉ số đồng dạng không gian Phép đồng dạng phép vị tự mặt phẳng không gian MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG Một số toán tỉ số. .. A’B’C’theo tỉ số đồng dạng k ⇒ ABC ABC A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng đồng dạng k * A’B’C’theo tỉ số đồng dạng m ABC A’B’C’ ABC theo tỉ số A’B’C’ A’’B’’C’’ theo tỉ số đồng dạng n ⇒ ABC A’’B’’C’ theo tỉ số. .. đường thẳng O1O2 phép tịnh tiến k.k’ = - 17 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG Một số toán tỉ số đồng dạng mặt phẳng 1.1 Áp dụng định lí Talet mặt phẳng tam giác 1.1.1 Tính độ dài