Một số nghiên cứu về nhóm BRAUER và ứng dụng của nó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh Lễ MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ NHÓM BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010 LỜI CẢM ƠN  Trước tiên qua luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành lời chúc sức khỏe tốt đẹp đến thầy : PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, PGS.TS BÙI XUÂN HẢI thầy cô trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức cho bạn học viên cao học khóa 18 Đặc biệt thành kính gửi lịng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ tận tình bảo tơi trình thực luận văn Qua xin chân thành cảm ơn đến tất bạn học viên cao học khóa 18 gắng bó với tơi q trình học tập trường q thầy khoa Tốn Phịng KHCN – Sau Đại Học tạo điều kiện thuận lợi để học tập, nghiên cứu Và cuối xin cảm ơn gia đình tơi người bạn hỗ trợ, động viên tơi để hồn thành luận văn ! TP Hồ Chí Minh , tháng 10 năm 2010 Tác giả luận văn Huỳnh Minh Lễ LỜI MỞ ĐẦU Do có vai trị quan trọng, nên Cấu trúc đại số trường nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu quan trọng Đại số đơn tâm trường Nhóm Brauer kết việc nghiên cứu đại số đơn tâm Việc hiểu rõ, cấu trúc tính chất nhóm Brauer giúp cho ta ứng dụng nhóm Brauer lĩnh vực khác Tốn học : Trong Lý Thuyết số, hình học đại số, lý thuyết biễu diễn… Nên chọn đề tài : “Một số nghiên cứu nhóm Brauer ứng dụng nó” Trong luận văn trình bày cách xây dựng nhóm Brauer nêu lên số ví dụ nhóm Brauer trường k cụ thể, giúp hệ thống hóa Cấu trúc đại số đơn tâm Từ nắm vững kiến thức cấu trúc đại số phục vụ cho công tác nghiên cứu học tập Do luận văn làm thời gian có hạn nên khơng thể tránh khỏi sai sót, có điều kiện tiếp tục nghiên cứu sâu nhóm Brauer Nội dung luận văn gồm chương Chương : Những vấn đề Lý thuyết vành Đại số khơng giao hốn trường ( Khái niệm Đại số, Định lý dày đặc, Wedderburn’s – Artin , vành , đại số … ) Chương : Đại số đơn tâm trường xây dựng khái niệm nhóm Brauer Chương : Mơ tả nhóm Brauer trường đại số đóng, trường hữu hạn chiều trường số thực ℝ CHƯƠNG : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 VÀNH 1.1.1 NHĨM Cho R phép tốn R, Ký hiệu : ( R, ) nửa nhóm thỏa đồng thức i) x(yz) = (xy)z ii) ∃ e ∈ R ∀ x ∈ R ta có e.x = x ; x.e = x iii) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R thỏa x.y = y.x = e Khi e gọi phần tử đơn vị thường ký hiệu 1, phần tử y tương ứng với x gọi nghịch đảo x thường ký hiệu x -1 Một nhóm (R,.) aben (giao hốn) thỏa đồng thức: x.y = y.x, ∀ x,y ∈ R 1.1.2 ĐỊNH NGHĨA VÀNH Cho tập R phép tốn hai ngơi +, , ( R,+, ) vành thỏa :  (R,+) nhóm abel  (R, ) nửa nhóm  x(y + z) = xy + xz ( y + z)x = yx + zx ∀ x, y, z ∈ R Khi R vành, - Phần tử đơn vị phép toán + ký hiệu gọi phần tử không - Nghịch đảo phần tử x phép toán + –x gọi đối x Tồn tự nhiên phép toán – R thỏa x – y = x + (- y) Vành R giao hoán phép tốn nhân giao hốn, có đơn vị phép tốn nhân có đơn vị 1.1.2.1 Tâm vành Cho vành R, tập hợp Z(R) = { a ∈ R | ax = xa, ∀ x ∈ R } gọi tâm R, hiển nhiên tâm R vành giao hoán 1.1.2.2 Ước Phần tử a ≠ vành R gọi ước tồn b ≠ R cho ab = 1.1.2.3 Miền nguyên Miền ngun vành giao hốn có đơn vị khơng có ước 1.1.2.4 Thể Thể vành R cho R\{0} nhóm nhân Trường thể giao hoán 1.1.2.5 Phần tử Lũy đẳng Trong vành R, phần tử e  thỏa e2 = e gọi phần tử lũy đẳng 1.1.2.6 Phần tử lũy linh Phần tử a  R gọi lũy linh có m  N cho am = 1.1.2.7 Tựa quy phải _ tựa nghịch đảo phải Phần tử a gọi tựa quy phải có b  R cho a + b + ab = Khi b gọi tựa nghịch đảo phải a Định nghĩa tương tự cho bên trái 1.1.2.8 Mệnh đề Tựa nghịch đảo phải tựa nghịch đảo trái phần tử a có trùng Khi a gọi tựa qui Hiển nhiên, x lũy linh x tựa qui 1.1.2.9 Vành đối Cho vành R, vành R* xây dựng từ R, giữ nguyên phép toán cộng, thay phép nhận R phép nhân định nghĩa sau : a*b ( R* ) = b.a ( R) R* gọi vành đối vành R 1.1.3 IDEAL VÀ VÀNH CON 1.1.3.1 Vành Trong vành R, giả sử có A  R B  R : AB = { ab | a  A, b  B } Một phận A   vành R vành R A hai phép toán R vành 1.1.3.2 Ideal Vành A ideal trái (phải ) vành R thỏa bao hàm thức : AR  A ( RA  A) Vành A ideal hai phía A vừa ideal trái, vừa ideal phải Một ideal vành R ideal thực A  R A  { } Phần tử a  R thỏa Aa = { } gọi linh hóa tử phải A 1.1.3.3 Ideal tối đại Ideal A R tối đại : A  R thỏa  B ideal R, A  B, A  B phải có B = R 1.1.3.4 Ideal tối tiểu Ideal A R tối tiểu A  {0}, thỏa : B ideal R, B  A, A  B phải có B = { 0} 1.1.3.5 Mệnh đề Nếu A ideal phải tối tiểu vành R A2 = { } A chứa phần tử lũy đẳng e cho A = eR Chứng minh Giả sử A2  {0}, Vậy có a  A, a  cho aA  {0} Hiển nhiên aA ideal phải R chứa A, A tối tiểu phải có aA = Al Mặt khác ( 0:a) = { x  R : ax = } R-ideal phải Vậy A   : a  R-ideal phải khác A, suy A   : a   Do A = aA có e  A cho a = a.e  ae = ae2  a ( e – e2) = Vậy e  e  A   : a   0 hay e  e , a  nên có e  Bây eR R-ideal phải chứa A, eR  {0} nên phải có eR = A 1.1.3.6 Ideal qui Một ideal phải J vành R gọi ideal qui có phần tử a  R cho x – ax  J,  x  R Phần tử a gọi đơn vị phải J Hiển nhiên vành R có đơn vị ideal phải R qui 1.1.3.7 Mệnh đề Mọi ideal thực qui chứa ideal tối đại qui Hệ Mọi vành có đơn vị có ideal thực qui 1.1.3.8 Mệnh đề - Nếu J ideal phải tối đại qui B ideal phải qui AB qui - Giao số hữu hạn ideal phải tối đại qui qui 1.1.3.9 Nil-ideal, Ideal lũy linh Cho A ideal phải vành R, : - A nil ideal phần tử A lũy linh - A ideal lũy linh có m  N cho a1 , , am  A a1 , , am  (điều kiện tương đương Am  0 ) Các khái niệm tương tự cho ideal trái hiển nhiên, phạm vi tài liệu, thuật ngữ ideal dùng để ideal phải không định thêm 1.1.3.10 Định nghĩa Cho ideal A, ta định nghĩa tập ( A : R ) sau :  A : R    x  R | Rx  A 1.1.3.11 Mệnh đề Nếu A tối đại qui (A: R) ideal hai phía lớn cịn chứa A 1.1.3.12 Ideal tựa qui phải Ideal A tựa qui phải  x  A, x tựa qui phải 1.1.3.13 Vành đơn Vành R gọi đơn R2  {0} R khơng có ideal hai phía thực ( Ideal khác (0) R ) 1.1.4 ĐỒNG CẤU VÀNH 1.1.4.1 Định nghĩa Cho (X,+, • ),(Y,+, • ) vành Ánh xạ f : X → Y gọi đồng cấu vành với a, b ∈ X, điều sau thỏa mãn 1) f(a + b) = f(a) + f(b) 2) f(a.b) = f(a) f(b) 3) f(1X) = 1Y Đồng cấu vành f gọi đơn cấu, tòan cấu, đẳng cấu f đơn ánh, tịan ánh, song ánh Nếu (X,+,•) (Y,+,•) tồn đẳng cấu vành, ta nói chúng đẳng cấu với nhau, viết X ≅ Y Nhận xét Nếu f : (X,+, • ) → (Y,+,•) đồng cấu vành f : (X,+) → (Y,+) đồng cấu nhóm VÍ DỤ 1) Cho (X, +, • ) vành End(X) vành đồng tự cấu nhóm (X,+) Khi ánh xạ f : (X, +, • ) → (End(X), +, •), a → fa với fa(x) = a.x đồng cấu vành 2) Giả sử I ideal vành X Xét ánh xạ ð : X → X / I, ð (x) = x + I ð tồn cấu vành, gọi tồn cấu tắc 1.1.4.2 Các tính chất đồng cấu vành Các tính chất sau tương tự nhóm mà việc chứng minh tương tự trực tiếp suy từ kết đồng cấu nhóm • Tính chất Hợp hai đồng cấu vành đồng cấu vành Hơn hợp hai đẳng cấu đẳng cấu • Tính chất Cho (X,+, •) (Y,+, •) vành f : X → Y đồng cấu vành Khi a) Nếu A vành (tương ứng : ideal ) X f(A) vành (tương ứng : ideal ) Y b) Nếu B vành (tương ứng : ideal ) Y f –1 (B) vành (tương ứng : ideal ) X Đặc biệt ta có Ker f = {x ∈ X : f(x) = 0Y} ideal X • Tính chất Cho (X,+, •) (Y,+, •) vành f : X → Y đồng cấu vành Khi a) f đơn cấu Kerf = {0 } b) f toàn cấu Imf = Y 1.1.5 MODUL 1.1.5.1 Định nghĩa Modul : Cho R vành, R-modul phải MR nhóm cộng abel M xác định ánh xạ  :M  R  M  m, r     m, r   mr  M Sao cho m, m1 , m2  M a, b  R ta có : m  a  b   ma  mb  m1  m2  a  m1a  m2 a  ma  b  m  ab  Đặc biệt R có đơn vị x1 = 1x,  x  M M R-modul unita Trường hợp đặc biệt R thể R modul phải gọi không gian vectơ phải trường R Khái niệm modul trái R M định nghĩa tương tự Một phận A M R R-modul thân A R-modul Modul A thực A  M A  {0} Từ khơng có thích thêm, thuật ngữ R-modul dùng để R-modul phải M 1.1.5.2 Định nghĩa End(M), Tr Giả sử M R-modul, đặt End(M) tập tự đồng cấu nhóm cộng M End(M) vành với hai phép toán + định nghĩa sau :  g1  g  m   g1  m   g  m  , m  M , g1 g  End  M   g1 g  m   g1  g  m   Khi M R-modul  r  R, ánh xạ Tr : M  M m  mr , m  M tự đồng cấu nhóm M Vậy Tr  End  M  , r  R Ánh xạ f(r) = Tr xác định đồng cấu vành từ R vào End(M) Ta định nghĩa tương tự cho lớp ánh xạ bên trái Lr  m   rm 1.1.5.3 Modul trung thành Cho R-modul M, A  M   rR|Mr 0  Kerf ,với f(r) = Tr định nghóa treân đặt M gọi modul trung thành có A(M) = {0} Nếu M R-modul trung thành R nhúng đơn cấu vào End(M) qua ánh xạ f xem R vành End(M) 1.1.5.4 Mệnh đề A(M) ideal hai phía R M R A M  -modul trung thành 1.1.5.5 Modul bất khả qui R-modul M bất khả qui : MR  {0} M khơng có modul thật 1.1.5.6 Tâm tập Cho R-modul M, ta gọi tâm tập M, ký hiệu C(M) tập hợp tự đồng cấu nhóm M giao hoán với Tr C  M    g  End  M  | gTr  Tr g , r  R Vậy g  C(M) : m  M , r  R | Tr g  m   g  m  r  gTr  m   g  mr  Hiển nhiên, C(M) tập hợp tự đồng cấu R-modul M hay ta có C  M   HomR  M , M  Trường hợp M không gian vectơ thể K g ánh xạ tuyến tính  Ta  Lb , Ta '  Lb '  Ar  Al   Ta  Lb  Ta '  Lb '     TaTa '  Lb Lb '   TaTa ' Lb Lb '  Ta LbTa ' Lb '  Ta Lb Ta ' Lb '    Ta  Lb   Ta '  Lb '  Ta có Ar Al đơn tâm F theo định lý Ar  Al đơn tâm Mà ker  ideal Ar  Al Suy Ker = nên  đơn cấu Do ánh xạ  đẳng cấu  A  A*  Ar Al  2 Bước Mặt khác n  dim k L  A   dim k Ar Al  dim k  A  A*    dim k A   n 2  dim k L  A   dim k Ar Al Do Ar Al không gian L(A) suy Ar Al  L  A   3 Từ (1) (2) (3), suy A  A*  Ar Al  L  A  ∎ Từ kết định lý bổ đề trên, ta có cơng cụ cần thiết để phục vụ cho việc xây dựng nhóm Brauer Ta bắt đầu xây dựng nhóm Brauer đại số đơn tâm truờng k cách định nghĩa quan hệ tương đương thích hợp 2.7 ĐỊNH NGHĨA ( QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG ) Nếu A B Đại số đơn tâm hữu hạn chiều trường k A ~ B có số nguyên m n cho A k km  B k kn Một cách xem xét khác quan hệ tương đương sau : Theo định lý Wedderburn A  D1  kn B  D2  km với D1 ; D2 Đại số chia chiều hữu hạn nhận k làm tâm.Khi A ~ B D1  D2 Hay nói cách khác, quan hệ tương đương ~ xác định đại số đơn trường F thành quan hệ ~ xác định đại số chia trường F 2.8 BỔ ĐỀ Nếu k trường, i) Rn R k kn với đại số R với đồng thức k ii) km  kn kmn Chứng minh i) xét ánh xạ tuyến tính k sau :  : R  kn  Rn  r, a    ra  ij ij Có mở rộng tuyến tính  thành ánh xạ tuyến tính k từ R k kn vào Rn Ánh xạ có :    r   aij  r '  a 'ij     rr '  aij   a 'ij   rr '  aij   a 'ij   r  aij  r '  a 'ij       a ij k    r  F  aij   r '  a 'ij  Và  đồng cấu k đại số Nếu rt  không gian vectơ sở R k Eij  sở thông thường kn ,   rt  Eij   rt Eij kéo theo  biến khơng gian vectơ sở vào không gian vectơ sở Do đó,  ánh xạ 1- ii) Từ kết câu (a) cho ta km k kn  km n phần tử  km n đồng với phần tử kmn ma trận cấp mn theo tính chất phép nhân ma trận.∎ 2.9 NHÓM BRAUER a Chứng minh ~ quan hệ tương đương  Phản xạ : A ~ A hiển nhiên A k kn  A k kn  Đối xứng : A ~ B  A k kn  B k km  B k km  A k kn  B ~ A  Bắc cầu : Theo bổ đề 2.8 ta có :  A ~ B  m, n : A k kn  B k km   B ~ C  t , l : B k kt  C k kl  A k kn  kt  B k km  kt   B k kt  km  C k kl  km  A k knt  B k kmt  (Theo bổ đề 2.8)  B k ktm  C k klm  A k knt  B k kmt   B k kmt  C k klm  A k knt  C k klm  A~C b Chứng minh quan hệ ~ định nghĩa tốt : Giả sử rằng, A A ' B B ' Ta có, với A Dm A ' Dm ' , B En , B ' En ' Trong D E đại số chia Khi đó, theo Bổ đề 2.8 ta có: A k B Dm k En D k km k E k kn D k km k kn k E D k kmn k E  D k E  k kmn  D k E mn Tương tự, A 'k B '  D k E m ' n ' Do đó, A k B A 'k B ' c Chứng minh B(k) nhóm Aben Đặt B(k) tập lớp tương đương theo quan hệ tương đương ~ đại số đơn tâm hữu hạn chiều k Ký hiệu [ A ] ∈ B(k) lớp Đại số đơn tâm hữu hạn chiều k tương đương với A Trên B(k) ta định nghĩa phép toán Nhân sau : Với [A], [B] ∈ B(k) ta có phép tốn  A  B    A k B  Theo định lý 2.3 B(k) đóng với phép tốn Ta chứng minh B(k) nhóm Aben với phép tốn  Kết hợp :  A. B  C    A  B .C    A  B   C    A   B  C     A  B  C    A  B .C  k k k k k k  Giao hoán :  A  B    A  k B    B  k A   B   A  Phần tử đơn vị  k   A. k    A k k    A A k k A  Phần tử nghịch đảo : Theo định lý 2.6 ta có A k A* kn Do   A  B  k  ,  A *  B  k  cho  A  A *   k  Nên  A*  phần tử đối phần tử  A Vậy B(k) nhóm Aben B(k) gọi nhóm Brauer k CHƯƠNG : CÁC VÍ DỤ VỀ NHÓM BRAUER Ở phần trên, ta chứng minh trường k B(k) nhóm Abel Tuy nhiên, định nghĩa nhóm Brauer trường k cố định định nghĩa trừu tượng nên trước tiên ta cần xây dựng hình ảnh cụ thể nhóm Brauer trường cụ thể sâu vào nghiên cứu tính chất ứng dụng Sau nhóm Brauer cịn có ứng dụng khác rộng rãi lý thuyết số hình học đại số, lý thuyết biễu diễn K-lý thuyết Vì trình độ có hạn người viết hình ảnh cụ thể nhóm Brauer thấy nhiều trường hợp cụ thể trường k nhóm Brauer nhóm tầm thường Riêng trường hợp với k = ℝ, từ mối quan hệ nhóm Brauer, Định lý Wedderburn Định lý Fobenius xây dựng nhóm Brauer khơng tầm thường TRONG TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ 3.1.ĐỊNH NGHĨA Một trường k gọi trường đóng đại số đa thức khác f  k  X  có nghiệm k Nhận xét Từ định nghĩa trên, ta có đa thức bậc n trường đóng đại số có đủ n nghiệm k nghiệm tính số lần số bội Một thí dụ điển hình trường đóng đại số tập số phức ℂ 3.2.ĐỊNH NGHĨA Nếu k K trường k trường K Chúng ta nói K mở rộng k, ký hiệu K | k Bậc mở rộng, ký hiệu  K : k  số chiều dimk  K  K | k mở rộng đại số với phần tử  K, tồn đa thức khác f  k  X  cho f    3.3 BỔ ĐỀ ( TOWER LAW) Nếu ta có mở rộng trường k  K  L  L : k    L : K  K : k  Chứng minh Cho ai  sở L K đặt b j  sở K k Cho v  L tồn  i   K cho v    i với  i , tồn ij   k cho  i   ij b j Vì v    ij b j Do đó, b j  tập sinh L k Từ độc lập tuyến tính, Bởi  ij  ij b j  với  ij  k Khi      ij  b j    b j  K , phải theo tính chất độc lập tuyến tính a Cuối cùng,  ij b j  kéo theo  ij  theo tính chất độc lập tuyến tính b j  Do đó, kết luận b j  tạo thành sở L k, đpcm ∎ Chú ý phần khơng dùng tính chất giao hốn trường kết luận cho modul vành chia 3.4.ĐỊNH NGHĨA K bao đóng đại số k K | k mở rộng đại số K trường đóng đại số 3.5 ĐỊNH LÝ Với trường k, bao đóng đại số K k sai khác đẳng cấu 3.6.MỆNH ĐỀ Cho k trường đóng đại số Nếu D k đại số chia hữu hạn chiều, k = D Chứng minh : Rõ ràng k  D Đặt n  dimk  D  x  D Khi đó, 1, x, x , , x n độc lập tuyến tính Tồn a0 , a1 , , an không đồng thời cho a0  a1 x  a2 x   an x n  Do đó, tồn đa thức không vô hạn f  k  X  cho f  x   Nhưng k trường đóng đại số, x ∈ k Suy ra, D  k ta kết luận k = D ∎ 3.7.HỆ QUẢ Nếu k trường đóng đại số, B(k) nhóm tầm thường Chứng minh Theo mệnh đề 3.6, ta có k-đại số chia hữu hạn chiều k Do đó, tồn lớp tương đương B(k),  k  Do đó, B(k) nhóm tầm thường Trong trường hợp đặc biệt thấy B(ℂ) nhóm tầm thường ℂ trường đóng đại số TRONG TRƯỜNG HỮU HẠN Mục đích tìm nhóm Brauer trường hữu hạn nhóm Brauer tập số thực ℝ Để làm điều đó, cần có Định lý Skolem-Noether 3.8 BỔ ĐỀ Cho A k-đại số M A-modul đơn Khi End A  M  đại số chia k 3.9 BỔ ĐỀ Với ký hiệu Đặt D đại số chia End A  M  Khi đó, End A  M n  Dn k-đại số 3.10 ĐỊNH LÝ Cho A đại số đơn, tồn M A-modul đơn trung thành Hơn A M n M n A-modul với n 3.11 BỔ ĐỀ Với M trên, A-modul đơn đẳng cấu với M 3.12 HỆ QUẢ Nếu A k-đại số đơn, A M n A-modun với n D k-đại số chia 3.13.MỆNH ĐỀ Dn k-đại số đơn với k-đại số chia D 3.14 BỔ ĐỀ Cho A đại số chia hữu hạn chiều k, Nếu M M A-modul hữu hạn sinh có số chiều k, Khi M M Chứng minh Theo định lý 3.10 bổ đề 3.11 A M n với M A-modul đơn ( sai khác đẳng cấu) Với N A-modul hữu hạn sinh N Am / B với m B modul Am Nhưng Am tổng trực tiếp M Vì có M M l M M l với l1 , l2 tùy ý Từ đó, có dim k  M i  li dimk  M  với i  1; Nhưng dim k  M   dim k  M  l1  l2 Do M M2 ∎ 3.15 ĐỊNH NGHĨA Một tự đẳng cấu  tự đẳng cấu có dạng   x   zxz 1 với phần tử z cố định Trong trường hợp này, viết  z thay cho  3.16 ĐỊNH LÝ ( SKOLEM-NOETHER) Cho A k-đại số đơn cho B k-đại số đơn tâm hữu hạn chiều Nếu f , g : A  B đồng cấu, tồn tự đẳng cấu  : B  B cho  f  g Chứng minh Theo hệ 3.12, B Dn với D k-đại số chia Theo bổ đề 3.9 End D  D n   End D D n D D-đại số đơn Như thấy chứng minh Hệ 3.12, EndC  C  C* với C đại số chia Vì   C  End C C n * n Cho C  D* , có B Dn End E  E n  , Trong E  D* k-đại số chia Suy Z  B   Z  D   Z  E   k Bây giờ, ý f g định nghĩa tác động A lên E n theo cách : a f v : f  a  v  a.g v : g  a  v  f  a  , g  a   End E  E n  Vì thế, có cấu trúc A-modul E n , gọi M f M g Rõ ràng chúng có số chiều k Vì theo bổ đề 3.14, chúng đẳng cấu với Do đó, tồn đẳng cấu từ M f đến M g Đó h  a f v   a.g h  v  , v  E n h  B Do đó, ta có h  f  a  v   g  a  h  v  Vì hf  a   g  a  h hay hf  a  h 1  g  a  nghĩa h f  g ∎ ĐỊNH LÝ TÂM TẬP Chúng ta cần giới thiệu khái niệm tâm tập để ta chứng minh định lý Wedderbur’s Định lý Frobenius, định lý giúp xác định nhóm Brauer trường hữu hạn nhóm Brauer trường ℝ phần cuối 3.17 ĐỊNH NGHĨA Nếu A đại số B tập A, tâm tập B A định nghĩa C  B   a  A : ab  ba, b  B Dễ dàng kiểm tra C  B  đại số A Bây giờ, ta chứng minh định lý tâm tập 3.18 ĐỊNH LÝ ( ĐỊNH LÝ TÂM TẬP) Cho A đại số đơn B với B k-đại số đơn tâm hữu hạn chiếu Cho D1 D2 đại số chia Khi C  A đơn 2.Nếu B ~ D1 A  D1* ~ D2 , C  A ~ D2*  B : k    A : k  C  A  : k  C  C  A    A Chứng minh Ta có B   D  End D D n với D đại số chia tâm k Tuy nhiên, đại số * n B, tác động lên D n , đó, D n A  D -modul Theo định nghĩa tự đồng cấu, thấy C  A  End A D ( D n ) D đơn tâm, A  D đơn Nên tồn N A  D -modul đơn N, E  End AD  N  đại số chia Bất kỳ A  D -modul có dạng N m Do đó, D n N m với m Vì C  A  End A D N m    End A D  N  m Theo 2.7 Em Theo mệnh đề 3.13 M n  E  đơn, nghĩa C  A đơn D2 B A  D1* D  * n , D1 D* Do đó, D  * * D, có A  D Do E A  D - modul đơn nhất, A  D ~ E * thấy hệ 3.11 Vì E * D2 Nhưng C  A En C  A ~ E yêu cầu C  A M m  E  theo định luật D2* C  A  : k    Em : E  E : k   m  E : k  Tuy nhiên D n N m , chúng  D n : k    D n : N   N : k   m  N : k   m  N : E  E : k  Lượt bỏ m ta có: ta   Dn : k     E:k C  A  : k         N : E  E : k      Dn : k     N : E E : k   D n : k   , với E đại số chia  End E  N  : E   E : k   D n : k     End E  N  : k   D n : k   A D : k  D n : k    A : k  D : k  Từ đẳng thức đơn giản ta có  D n : k   A : k  C  A  : k   D : k tower, có   D  n : D   D : k  D : k  n2  D : k    Dn : k    B : k  B    M n D* Rõ ràng A  C  C  A   Áp dụng phần vào C  A có  B : k   C  A : k  C  C  A : k  Nhưng có  B : k    A : k  C  A  : k  , lượt giản ta có C  C  A  : k    A : k  Theo kết từ tuyến tính đại số, ta A  C  C  A  ∎ 3.19 HỆ QUẢ Cho D đại số chia với tâm k  D : k   n Nếu K trường tối đại D ( quan hệ bao hàm),  K : k   n Chứng minh Ta có trường có tính giao hốn đại số đại số chia Theo tính giao hốn K, K  C  K  Cho a  C  K  , K  a  ( trường tối tiểu chứa K a ) Do đó, a  K kết luận C  K   K Do đó, K  C K  Theo phần định lý tâm tập ta có n   D : k    K : k  C  K  : k    K : k  Do ta có kết ∎ Hệ Cho ta  D : k  số phương 3.20 BỔ ĐỀ Cho K | k trường mở rộng cho A k-đại số Khi K k A K-đại số, ký hiệu AK Hơn nữa, ai  sở A k, sở AK K Đặc biệt,  A : k    AK : K  3.21 ĐỊNH LÝ Nếu D đại số chia hữu hạn chiều tâm k nó,  D : k  số phương Trong phần ta giả sử k trường hữu hạn Chúng ta B(k) lại nhóm tầm thường Đầu tiên, ta nhắc lại bổ đề lý thuyết nhóm 3.22 BỔ ĐỀ Nếu H  G nhóm hữu hạn với H  G G   gG  gHg 1  Chứng minh Bởi G : N G  H   số lượng nhóm G mà liên hợp với H, số lượng phần tử đơn vị  gG  gHg 1   G : N G  H    H  1  G : H   H  1 H  N G  H   G H H  1  G  G H  G  H  G Do đó, G   gG  gHg 1  ∎ 3.23 ĐỊNH LÝ ( WEDDERBURN) Bất kỳ vành chia hữu hạn giao hoán Chứng minh Cho D vành chia đặt k = Z  D  trường D Cho K trường tối đại D chứa k, k  K  D Nếu K=D, D trường giao hốn Vì giả sử K  D Theo định lý 3.21 hệ 3.19, có  D : k   n  K : k   n với n Do đó, K  k Theo lý thuyết trường, trường chứa k n với cấp k n đẳng cấu với nhau, liên hợp với theo định lý Skolem- Noether Vì thế, có K '  zKz 1 với trường tối đại K ' Chú ý phần tử D chứa trường tối đại, ta có D   zD  zKz 1  Bây giờ, ta đặt phép nhân nhóm, ta có D*   zD  zK * z 1  Nhưng điều mâu thuẫn với bổ đề 3.23 Do đó, việc giả sử K  D sai Vậy K = D D giao hoán ∎ 3.24 HỆ QUẢ k trường hữu hạn B(k) nhóm tầm thường Chứng minh Ta tìm phần tử B(k) Cho D k-đại số chia đơn tâm Theo định lý Wedderburn, ta có D giao hốn nên D tâm, Z  D   k  D Do đó, có phần tử thuộc B(k),  k  ∎ TRONG TRƯỜNG SỐ THỰC ℝ Những ví dụ cho nhóm Brauer nhóm tầm thường Trong phần ta thấy điều không tập số thực ℝ Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm Quarternions 3.25 ĐỊNH NGHĨA Quaternions, ký hiệu ℍ, không gian vectơ chiều ℝ với sở 1, i, j, k  , phép nhân định nghĩa cho phần tử đơn vị i  j  k  1 ij   ji  k jk  kj  i ki  ik  j Mặt khác ℍ q  a  bi  cj  dk   , q  0, a, b, c, d  , ta có ℝ-đại số  a  bi  cj  dk  Với a phần  b2  c2  d  tử phần tử nghịch đảo q Do đó, ℍ thực ℝ-đại số chia 3.26.BỔ ĐỀ Trường mở rộng ℝ ℝ ℂ Chứng minh Cho K mở rộng hữu hạn ℝ với số chiều n Lấy x  K , 1, x, x , , x n độc lập tuyến tính ℝ Vì tồn ao , a1 , , an không đồng thời cho an x n   a1 x  a0  Bởi ℂ trường đóng đại số Theo Định lý đại số, x  Do đó, K  Nếu x  , x  K , K  Nếu x  \ với x  K , gọi x  a  bi với b  i   x  a  / b  K  K Vậy ta kết luận K.∎ 3.27.ĐỊNH LÝ ( FROBENIUS) Nếu D đại số chia với ℝ nằm tâm  D : D , Chứng minh , ℍ Cho K trường tối đại D,  K : 3.26, K  K, Z  D   K  Giả sử K  Chú ý D tâm Theo hệ 3.19  D : Nếu K  , Z  D  Z  D   ℝ Z  D  trường chứa ℝ Nếu Z  D   chứa D Theo hệ 5.14  D :    D :    Theo bổ đề  Z  D  , theo tính tối đại   1, D ℂ trường tối đại chứa , D tâm -đại số ℂ   ,  K :   Do D  Cuối cùng, với trường hợp K  Z  D   , D tâm áp dụng lại hệ 3.19 để có  D :   C :   Cho f :  với f  a  bi   a  bi a, b  Khi f ℝ-đẳng cấu Theo định ly Skolem-Noether, tồn x  D , với x  cho x  a  bi  x 1  a  bi Bây giờ, áp dụng liên hợp lần, có x  a  bi  x 2  a  bi đó, x  a  bi    a  bi  x Vì x  C    Ta áp dụng f cho f  x   x Do đó, phần ảo x phải x  x có Ta có, rõ ràng x  mà x  điều khơng thẻ xảy Vì tồn y  \ 0 cho x   y Đặt j  x / y đặt k  ij Điều kiểm tra lại tích 1, i, j , k trùng khớp với định nghĩa tích sở ℍ Do  D :   , có D   ∎ 3.28 HỆ QUẢ B Chứng minh  Ta tìm phần tử B   Cho D ℝ-đại số chia hữu hạn chiều ℝ Theo Định lý Fobenius, D ℝ, ℂ ℍ Nhưng đó, có ℝ ℍ đại số chia hữu hạn chiều đơn tâm ℝ ( tâm ℂ khơng phải ℝ) Như vậy, có lớp tương đương bao gồm [ℝ] [ℍ] Suy B(ℝ) có xác phần tử Do đó, B   ∎ Chú ý phần tử đồng nhóm B(ℝ) [ℝ] phần tử khác đơn vị [ℍ] Vì ta có [ℍ][ℍ]=[ℝ], nghĩa    n , với n Vì ℍ có số chiều nên    có số chiều 16 Ta có    M   Ta kết luận đại số đơn tâm hữu hạn chiều ℝ đẳng cấu với ma trận đại số ℝ ℍ KẾT LUẬN Trong chương 1, luận văn trình bày kiến thức Trong chương 2, luận văn trình bày chi tiết xây dựng nhóm Brauer từ việc phân lớp đại số chia đơn tâm trường Chứng minh quan hệ ~ đại số đơn tâm hữu hạn chiều quan hệ tương đương định nghĩa tốt, nhóm Brauer nhóm Abel Trong chương 3, Luận văn mơ tả số ví dụ cụ thể nhóm Brauer trường đại số đóng, trường hữu hạn trường số thực ℝ Và thấy đa số trường hợp B(k) nhóm tầm thường, trừ trường hợp B(k) = ℝ B(k) có phần tử [ℝ] [ℍ] Nhóm Brauer có ứng dụng lớn lý thuyết số, hình học đại số, lý thuyết biểu diễn lý thuyết K-đại số… Một hướng mở rộng việc nghiên cứu nhóm Brauer trường nghiên cứu tích chéo đại số có liên kết chặc chẽ chúng Cuối cùng, chúng tơi làm luận văn khởi đầu cho hướng nghiên cứu TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh I N Herstein (1968), NONCOMMUTATIVE, Published Mathematical Association of America, USA Anthony W.Knapp (2007), ADVANCED ALGEBRA, Birkhauser Boston, Springer Science, USA Peter L.Clark, “On The Brauer Group – Notes For A Trivial Notions Seminar” Alan J Laub (2005), “Chapter13 KRONECKER PRODUCTS”, Matrix Analysis for Scientists and Engineers Tiếng Việt Trần Huyên (1998), MÔĐUN VÀ PHẠM TRÙ, Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh Ngơ Duy Khánh (1996), ĐIỀU KIỆN NGUN THỦY CỦA VÀNH VÀ ĐẠI SỐ NGUYÊN TỐ CÓ PHẦN TỬ LUỸ ĐẲNG, Luận văn thạc sĩ Toán học Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh ... số trường nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu quan trọng Đại số đơn tâm trường Nhóm Brauer kết việc nghiên cứu đại số đơn tâm Việc hiểu rõ, cấu trúc tính chất nhóm Brauer giúp cho ta ứng dụng. .. giúp cho ta ứng dụng nhóm Brauer lĩnh vực khác Tốn học : Trong Lý Thuyết số, hình học đại số, lý thuyết biễu diễn… Nên chọn đề tài : ? ?Một số nghiên cứu nhóm Brauer ứng dụng nó? ?? Trong luận văn trình... cần xây dựng hình ảnh cụ thể nhóm Brauer trường cụ thể sâu vào nghiên cứu tính chất ứng dụng Sau nhóm Brauer cịn có ứng dụng khác rộng rãi lý thuyết số hình học đại số, lý thuyết biễu diễn K-lý