Một số dạng toán về Ứng dụng Đạo hàm tìm gtln – gtnn của hàm số trong chương trình toán thpt

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN – GTLN CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT .... Đối với nhiều học sinh; việc nắm vững kiến thức; tính chất cũng như những ứn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

~~~~~~*~~~~~~

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài: Một số dạng toán về ứng dụng đạo hàm tìm GTLN – GTNN của

hàm số trong chương trình toán THPT

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt; cho phép tôi được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy; người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng; tôi xin gửi lời cảm ơn những ý kiến quý báu; sự động viên; giúp đỡ nhiệt tình của gia đình; người thân; bạn bè; nhất là các bạn lớp 20ST3 trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này

Trân trọng cảm ơn!

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2024

Sinh viên

Đặng Thị Hồng Phúc

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 0

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT 3

LỜI MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Đối tượng nghiên cứu 5

4 Phạm vi nghiên cứu 5

5 Phương pháp nghiên cứu 5

6 Bố cục khóa luận 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 7

1.1 Định nghĩa GTLN; GTNN của hàm số 7

1.2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 7

1.3 Định nghĩa đạo hàm hai biến 7

1.4 Các công thức đạo hàm 8

1.5 Một số yêu cầu cần đạt về đạo hàm theo CTGDPT 2018 11

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN – GTLN CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT 12

2.1 Dạng 1 Xác định GTLN – GTNN của hàm số trên đoạn[𝑎; 𝑏] 12

2.2 Dạng 2 Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên khoảng (𝑎; 𝑏) 18

2.3 Dạng 3 Tìm tham số m để hàm số đạt GTLN – GTNN bằng k 24

2.4 Dạng 4 Sử dụng đạo hàm tìm số nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số thông qua tìm GTLN - GTNN 29

2.5 Dạng 5 Tìm m để GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước 37

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

Chương trình giáo dục phổ thông CTGDPT

Giá trị lớn nhất GTLN

Giá trị nhỏ nhất GTNN

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học cơ bản; có vai trò quan trọng trong đời sống và được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Đây là một môn khoa học tương đối khó; mang tính tư duy cao; đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi; khám phá và niềm say mê nghiên cứu Kiến thức về đạo hàm trong chương trình toán là một nội dung rất quan trọng Bởi nó là nền tảng giúp người học tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình toán; vật lý; hoá học và sinh học Chính vì vậy; học sinh cần nghiên cứu kỹ nội dung này để có kiến thức cũng như các kỹ năng phục vụ cho việc học tập ở trường cũng như làm tốt các bài thi

Đối với nhiều học sinh; việc nắm vững kiến thức; tính chất cũng như những ứng dụng của đạo hàm vào các bài toán giải tích là một vấn đề hoàn toàn không đơn giản

Trong chương trình Toán THPT học sinh đã được làm quen và nắm được khái niệm của đạo hàm; bước đầu đã được làm quen với ứng dụng của đạo hàm

để tìm GTLN – GTNN nhưng đó mới chỉ là những dạng bài toán cơ bản; đơn giản Tuy nhiên nhiều em học sinh vẫn còn mắc nhiều sai lầm do chưa nắm vững được khái niệm đạo hàm; chưa biết cách làm những bài toán của ứng dụng đạo hàm Đạo hàm và ứng dụng của nó ngày càng được mở rộng, không chỉ là đạo hàm của hàm số một biến mà đạo hàm được ứng dụng mở rộng trong các bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số chứa tham số, hàm số lượng giác Lúc này, để giải quyết các vấn đề đó lại là một bài toán khó được đặt ra cho học sinh THPT Đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững những kiến thức cơ bản của đạo hàm như định nghĩa, tính chất,… mà học sinh cần phải có tư duy nhạy bén, phải biết sử dụng và kết hợp linh hoạt các cách làm Chính vì vậy không ít học sinh THPT lúng túng cũng như sợ khi gặp các bài toán ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN của hàm số

Là sinh viên ngành sư phạm sắp ra trường; với mong muốn nâng cao năng lực cho bản thân về dạy học các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm tìm

GTLN - GTNN; tôi chọn đề tài “Một số dạng toán về ứng dụng đạo hàm tìm

GTLN – GTNN của hàm số trong chương trình toán THPT ” để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số dạng toán giúp học sinh nhìn nhận và có hướng giải tốt cho bài toán liên quan đến GTLN – GTLN trong chương trình toán THPT

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán trắc nghiệm ứng dụng của đạo hàm tìm GTLN – GTNN trong chương trình THPT

4 Phạm vi nghiên cứu

Học sinh THPT tại quận Liên Chiểu, TP Đà Nẵng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan tới chuyên đề ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN trong chương trình THPT

- Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên THPT dạy chuyên đề ứng dụng đạo hàm tìm GTLN – GTNN để trao đổi những kinh nghiệm và cách giải hay thuận tiện cho học sinh

6 Bố cục khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận gồm 2 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Trong chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết về đặc điểm của đạo hàm thông qua những đặc điểm chung của môn Toán Đồng thời, hệ thống hóa các kiến thức

cơ bản về đạo hàm gồm:

1.1 Định nghĩa GTLN – GTNN của hàm số

1.2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1.3 Định nghĩa đạo hàm hai biến

1.4 Các công thức đạo hàm

1.5 Một số yêu cầu cần đạt về đạo hàm theo CTGDPT 2018

Chương 2 Một số dạng toán trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm tìm GTLN – GTNN trong chương trình toán THPT

2.1 Dạng 1 Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên đoạn [ a;b]

2.2 Dạng 2 Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên khoảng (a;b)

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa GTLN; GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f x ( )xác định trên miền D

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f x ( )trên D nếu

1.3 Định nghĩa đạo hàm hai biến

Xét hàm số u = f x y ( , ) xác định trong miền D và điểm P x y ( , )  D Khi cho x số gia  x(|  x | đủ nhỏ sao cho: P x '( + x y , )  D), hàm số u nhận số gia:

u f x( , ) ( , )

Tương tự, khi cho số gia  y (|  y | đủ nhỏ sao cho: P x y '( , +  y ) D), hàm số u nhận số gia

y = f x có đạo hàm tại 0

a Bảng công thức đạo hàm các hàm số cơ bản

Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm của hàm hợp ta chú ý ban đầu tính đạo hàm

của hàm số theo biến u rồi nhân với đọa hàm của hàm số u theo biến x

1.5 Một số yêu cầu cần đạt về đạo hàm theo CTGDPT 2018

a Các yêu cầu cần đạt về đạo hàm ( lớp 11)

- Nhận biết được một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm như: xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều; xác định tốc độ thay đổi của nhiệt độ

- Nhận biết được định nghĩa đạo hàm Tính được đạo hàm của một

số hàm đơn giản bằng định nghĩa

- Giải quyết được một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc

có liên quan đến thực tiễn gắn với đạo hàm

b Các yêu cầu cần đạt về đạo hàm (lớp 12)

- Nhận biết được tính đồng biến; nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó

- Thể hiện được tính đồng biến; nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên

- Nhận biết được tính đơn điệu; điểm cực trị; giá trị cực trị của hàm

số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số

- Nhận biết được giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước

- Vận dụng được đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn

đề liên quan đến thực tiễn

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN – GTLN CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG

• Bước 3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2; số nào lớn nhất trong

các giá trị đó chính là GTLN của 𝑓 trên đoan [a;b]; số nhỏ nhất trong

các giá trị chính là GTNN của 𝑓 trên đoan [a;b]

Lưu ý:

• Nếu 𝑓(𝑥) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

max[𝑎;𝑏] 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) ; min

[𝑎;𝑏]𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

• Nếu 𝑓(𝑥) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì

max[𝑎;𝑏] 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ; min

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 3 1

3

x y x

3 => Chọn C

3

y= − x +x = x+ trên đoạn 1;0

Ví dụ 4: Giá trị lớn nhất của hàm số f x( )= +x cos2x trên đoạn 0;

Ví dụ 5: Cho hàm số y= − +x4 x2 13tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x4−2x2+3 trên đoạn [0; 3]

2.2 Dạng 2 Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên khoảng (𝒂; 𝒃)

2.2.1 Phương pháp giải:

Bước 1: Tính y' Tìm các điểm thuộc x i( )a b; mà tại đó y =' 0 hoặc y'

không xác định

Bước 2: Lập BBT của hàm số trên ( )a b;

( ; )( ; )

Vậy max 158

27( 1;1)y

−

=

Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 (1 2)2

x

(0;+)

A Không tồn tại B − 3 C − + 1 2 D 0

Định hướng giải:

Hàm số xác định và liên tục trên khoảng (0; + )

2

2 ' 0

2

x y

x

y









−

=

=

= 

=−

= −

Bảng biến thiên

x − − 2 0 2 +

' y + 0 - - 0 +

y + +

− 3

Vậy min 3

(0;+)y = − Chọn B

1

x x

f x

x

− +

= − trên khoảng (1;+)

là

A min 3

(1;+)y = B (1;min+)y = −1 C (1;min+)y =5

min

3 (1;+)y = −

Định hướng giải:

( )

x x

− +

2

'( ) 1

x x

f x

−

0 '( ) 0

2

x

f x

x







=

= 

=

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (1; + )

Định hướng giải:

1 ' 1

2 ( 2) 1 ' 0

3

y

x x y

Ví dụ 5: Giá trị lớn nhất của hàm số f x( )=x3−3x2− +9x 10 trên khoảng

33 9

3 (0;min)y 3 9

+

Dựa vào BBT thì

3

12

x = hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên (0; + )Chọn D

−

= − trên tập hợp ( ; 1] [1; ]3

2.3 Dạng 3 Tìm tham số m để hàm số đạt GTLN – GTNN bằng k

2.3.1 Phương pháp giải:

- Tìm các điểm 𝑥1; 𝑥2; … ; 𝑥𝑚 thuộc khoảng [𝑎; 𝑏] mà tại đó hàm số 𝑓

có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

- Tính 𝑓(𝑥1); 𝑓(𝑥2); … ; 𝑓(𝑥𝑛); 𝑓(𝑎); 𝑓(𝑏)

- So sánh các giá trị tìm được ở bước 2; số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của 𝑓 trên đoạn [𝑎; 𝑏]; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của 𝑓 trên đoạn [𝑎; 𝑏]

Lưu ý:

- Nếu 𝑓(𝑥) đồng biến trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì max

[𝑎;𝑏]𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) ; min

[𝑎;𝑏]𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

- Nếu 𝑓(𝑥) nghịch biến trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì max

[𝑎;𝑏]𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ; min

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số y=x3−6x2+ +9x m có giá trị lớn

y + + +

y

1 2

m

m

S m

y

x x

Ví dụ 5: Cho hàm số y=2x3−3x2−m trên đoạn [ 1;1]− hàm số có giá trị nhỏ nhất là -1 Tính m?

[ 1;1]

min− y= −1 nên − − = −  = − 5 m 1 m 4Chọn C

• Bài tập củng cố

Câu 1: (Mã đề 123 BGD&ĐT 2017) Cho hàm số

1

x m y

x

+

= − ( m là tham số thực) thỏa mãn min 3

[2;4]y = Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 2: Cho hàm số y=2x3− 3x2−mtrên đoạn [ 1;1]− hàm số có giá trị nhỏ nhất là -1 Tính m?

Câu 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của hàm số y=x4 −m x2 3 −2x2 −mtrên đoạn [0;1] bằng 16 Tính tích các phần tử của S

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

x m y

x x

+

=+ + có giá trị

lớn nhất trên R nhỏ hơn hoặc bằng 1

m m

m m

2.4 Dạng 4 Sử dụng đạo hàm tìm số nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số thông qua tìm GTLN - GTNN

2.4.1 Phương pháp giải:

• Tìm điều kiện của tham số để phương trình f x m =( , ) 0 có

- Chuyển trạng thái tương giao : g x( )=h x x I( ), 

- Lập bảng biến thiên của g x( ) trên I

- Ycbt  x E  ( Miền giá trị của g x( ) trên I )

Đặc biệt: Phương trình g x( )=h x( ) có nghiệm x[ ; ]a b 

• Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình f x m ( , ) 0 có

m m

1( 3) 19, (4) 51, ( 1) 1, (1) 3

[ 3;4]− f x = khi x = −3, [ 3;4]−min f x = −( ) 51 khi x =4

Phương trình x3 3− +x 4m− =1 0 có ít nhất một nghiệm thực trong [ 3;4]−

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình

2

x

f x

x x

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình t+ + − 3 5 t m

nghiệm đúng với mọi x − ( ;log35)

−

−+

phương trình x2− +m (1−x2 3) 0 đúng với mọi x −[ 1;1] Số phần tử của hợp S bằng

có nghiệm x[1;+)

A m  1 B m  0 C m  2 D Đáp án khác

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

2 2 5 3

x − + + =x m có nghiệm

2.5 Dạng 5 Tìm m để GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước

- Đây là dạng bài tập tương đối khó nó nằm ở mức (9-10 điểm) đòi hỏi

ở học sinh nhiều kỉ năng cũng như khả năng tư duy Để làm tốt dạng bài toán này học sinh cần phải nhớ và hiểu rõ từng dạng bài nhỏ, phán đoán đề nhanh để đưa ra cách giải hợp lí Dưới đây là những dạng bài tập thường gặp ở dạng n

Để min

00

 + −

+ 

0 0

Đề hỏi tìm m  =m (m K m k+ )( +   −   −) 0 K m k Đề hỏi tìm

min của min

[ ; ]a b y giá trị này là 0

• Cho hàm số y=| ( )f x +m| Tìm m để max min

Ví dụ 1: Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của

x y





= +

=− +

Ví dụ 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị

Ví dụ 4: Cho hàm số f x( ) |= x4−2x3+x2+m|(m là tham số thực) Gọi S là

tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho min ( ) max ( ) 10

21

Dựa vào bảng biến thiên ta có

Ví dụ 5: Cho hàm số f x ( ) = x3−3x2+ +m 1 ( m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ 2020;2020]− sao cho

Ví dụ 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m so cho giá trị lớn

nhất của hàm số f x ( ) | = x3− + 3 x m | trên đoạn [0;3] bằng 16 Tổng tất cả các phần tử của S là:

Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của

4

f x

x x

Câu 3: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = | x3 3 − x+ 2m− 1| trên đoạn

[0; 2] là nhỏ nhất Giá trị của m thuộc khoảng nào?

KẾT LUẬN

Qua quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã làm được những vấn đề sau:

- Liệt kê những kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để tìm GTLN - GTNN

- Đưa ra 5 dạng về ứng dụng đạo hàm tìm GTLN – GTNN qua đó trang bị những phương pháp giải cũng như các bài toán vận dụng có liên quan

- Do thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các độc giả để cuốn khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bộ Giáo dục và đào tạo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán (ban

hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo)

[2] Toán (2023, ngày 26 tháng 6) Tài liệu chuyên giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - TOANMATH.com

[3]123doc - Thư viện tài liệu trực tuyến số 1 Việt Nam (n.d.) Retrieved from [4] 123doc - Thư viện tài liệu trực tuyến số 1 Việt Nam (n.d.-b) Retrieved from

[5] Toanmath (2020) Các Dạng Toán GTLN - GTNN của Hàm số Thường Gặp

TrongKỲ Thi thptqg, TOANMATH.com

[6] Toanmath (2023, June 26) Tài liệu chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - TOANMATH.com

[7] Học cùng Ms.Tuyết (2023, May 21) Toán 12 Chương 1 Tiết 7 Tìm m để

hàm số đạt GTLN - GTNN [Video file]

[8] LỘC CHÂU - LUYỆN THI THPT (2021, August 29) CHỦ ĐỀ 3 GTLN -

GTNN 7 (Bất phương trình chứa tham số m) [Video file]

[9] Khóa luận Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị hàm số - Luận văn, đồ án,

đề tài tốt nghiệp (n.d.)

[10] Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm giải và biện luận phương trình–bất phương trình–hệ chứa tham số - Giáo Án, Bài Giảng (n.d.)