MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN – GTLN CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT .... Đối với nhiều học sinh; việc nắm vững kiến thức; tính chất cũng như những ứn
Mục đích nghiên cứu
Đưa ra một số dạng toán giúp học sinh nhìn nhận và có hướng giải tốt cho bài toán liên quan đến GTLN – GTLN trong chương trình toán THPT.
Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan tới chuyên đề ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN – GTNN trong chương trình THPT
Nghiên cứu thực tế đã tiến hành trao đổi với một số giáo viên THPT về chuyên đề ứng dụng đạo hàm trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Qua đó, các giáo viên chia sẻ kinh nghiệm và những phương pháp giải bài tập hiệu quả, giúp học sinh tiếp cận và hiểu bài học một cách thuận tiện hơn.
Bố cục khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận gồm 2 chương
Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết về đạo hàm, nhấn mạnh các đặc điểm chung trong môn Toán Bài viết cũng hệ thống hóa những kiến thức cơ bản liên quan đến đạo hàm, giúp người đọc hiểu rõ hơn về khái niệm này.
1.1 Định nghĩa GTLN – GTNN của hàm số
1.2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.3 Định nghĩa đạo hàm hai biến
1.4 Các công thức đạo hàm
1.5 Một số yêu cầu cần đạt về đạo hàm theo CTGDPT 2018
Chương 2 Một số dạng toán trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm tìm GTLN – GTNN trong chương trình toán THPT
2.1 Dạng 1 Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên đoạn [ a;b]
2.2 Dạng 2 Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên khoảng (a;b)
2.3 Dạng 3 Tìm tham số m để hàm số đạt GTLN – GTNN bằng K
2.4 Dạng 4 Sử dụng đạo hàm tìm số nghiệm của phương trình; bất phương trình chứa tham số thông qua tìm GTLN - GTNN
2.5 Dạng 5 Tìm m để GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước.
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Một số yêu cầu cần đạt về đạo hàm theo CTGDPT 2018
Chương 2 Một số dạng toán trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm tìm GTLN – GTNN trong chương trình toán THPT
2.1 Dạng 1 Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên đoạn [ a;b]
2.2 Dạng 2 Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên khoảng (a;b)
2.3 Dạng 3 Tìm tham số m để hàm số đạt GTLN – GTNN bằng K
2.4 Dạng 4 Sử dụng đạo hàm tìm số nghiệm của phương trình; bất phương trình chứa tham số thông qua tìm GTLN - GTNN
2.5 Dạng 5 Tìm m để GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa GTLN; GTNN của hàm số
Cho hàm số y= f x( )xác định trên miền D
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( )trên D nếu
- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) trên D nếu
1.2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Định nghĩa:
- Cho hàm số y= f x( )xác định trên khoảng ( ; )a b và x ( ; )a b ; đạo hàm của hàm số tại điểm 𝑥 0 là: '( ) lim ( ) ( 0)
Trong đó: f x'( )là kí hiệu của đọa hàm của hàm số y= f x( )tại một điểm
Giá trị của đọa hàm hàm số tại một điểm thể hiện chiều biến thiên và độ lớn biến thiên của hàm số
1.3 Định nghĩa đạo hàm hai biến
Xét hàm số u= f x y( , ) xác định trong miền D và điểm P x y( , )D Khi cho x số gia x (|x| đủ nhỏ sao cho: P x'( +x y, )D), hàm số u nhận số gia: u f x ( , ) ( , ) x = + x y f x y
Tương tự, khi cho số gia y (|y| đủ nhỏ sao cho: P x y'( , + y) D), hàm số u nhận số gia u f x y ( , ) ( , ) y = + y f x y
1.4 Các công thức đạo hàm
• Định lý: Cho các hàm số f và g xác định trong khoảng ( ; )a b và có đạo hàm tại điểm
0 ( ; ) x a b Khi đó fg, kf ( k là số thực bất kì),f ,g và fg cũng có đạo hàm tại điểm x 0và ta có:
• Đạo hàm của hàm số hợp : Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x = x 0 còn z=g y( )xác định trong khoảng chứa điểm
( 0) y0= f x có đạo hàm tại y= y 0 thì hàm hợp z=g f x[ ( )] có đạo hàm tại x = x 0và ta có: '( ) '( ) '( )
Đạo hàm của hàm số ngược được xác định cho hàm số y = f(x) liên tục và có tính chất tang nghiêm ngặt trên khoảng (a; b) Nếu x = φ(y) là hàm ngược được xác định trong lân cận của điểm (y), thì việc tính toán đạo hàm của hàm số ngược sẽ dựa trên các tính chất này.
0 f x 0 x 0 ( ; ) y= y = a b Khi đó nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x= x0 và '( ) 0 f x0 thì hàm số x=( )y có đạo hàm tại y= y 0và ta có : 1
a Bảng công thức đạo hàm các hàm số cơ bản
Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
Bảng 1.1: Bảng công thức đạo hàm các hàm số cơ bản b Đạo hàm của hàm hợp
Ta xét hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)) Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo 𝑥 như sau: 𝒚 𝒙 ′ = 𝒇 𝒙 ′ = 𝒇 𝒖 ′ 𝒖 𝒙 ′
Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
Bảng 1.2: Bảng công thức đạo hàm hàm hợp
Khi áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, cần chú ý rằng trước tiên phải tính đạo hàm của hàm số theo biến u, sau đó nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x.
1.5 Một số yêu cầu cần đạt về đạo hàm theo CTGDPT 2018 a Các yêu cầu cần đạt về đạo hàm ( lớp 11)
Đạo hàm là khái niệm quan trọng trong toán học, giúp xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều và tốc độ thay đổi của nhiệt độ Việc nhận biết các bài toán liên quan đến đạo hàm không chỉ nâng cao khả năng giải quyết vấn đề mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tiễn.
- Nhận biết được định nghĩa đạo hàm Tính được đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa
Đạo hàm không chỉ giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến môn học khác mà còn có ứng dụng thực tiễn quan trọng Để đạt yêu cầu về đạo hàm trong chương trình lớp 12, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và phương pháp tính đạo hàm, đồng thời áp dụng chúng vào các bài toán thực tế Việc hiểu rõ vai trò của đạo hàm sẽ hỗ trợ học sinh trong việc phát triển tư duy toán học và khả năng giải quyết vấn đề hiệu quả.
- Nhận biết được tính đồng biến; nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó
- Thể hiện được tính đồng biến; nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên
Nhận biết tính đơn điệu của hàm số, xác định điểm cực trị và giá trị cực trị có thể thực hiện thông qua bảng biến thiên hoặc hình ảnh đồ thị hàm số Việc phân tích này giúp hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số trong các khoảng giá trị khác nhau.
- Nhận biết được giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước
- Vận dụng được đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN – GTLN CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT
Dạng 5 Tìm m để GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định nghĩa GTLN; GTNN của hàm số
Cho hàm số y= f x( )xác định trên miền D
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( )trên D nếu
- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) trên D nếu
1.2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Định nghĩa:
- Cho hàm số y= f x( )xác định trên khoảng ( ; )a b và x ( ; )a b ; đạo hàm của hàm số tại điểm 𝑥 0 là: '( ) lim ( ) ( 0)
Trong đó: f x'( )là kí hiệu của đọa hàm của hàm số y= f x( )tại một điểm
Giá trị của đọa hàm hàm số tại một điểm thể hiện chiều biến thiên và độ lớn biến thiên của hàm số
1.3 Định nghĩa đạo hàm hai biến
Xét hàm số u= f x y( , ) xác định trong miền D và điểm P x y( , )D Khi cho x số gia x (|x| đủ nhỏ sao cho: P x'( +x y, )D), hàm số u nhận số gia: u f x ( , ) ( , ) x = + x y f x y
Tương tự, khi cho số gia y (|y| đủ nhỏ sao cho: P x y'( , + y) D), hàm số u nhận số gia u f x y ( , ) ( , ) y = + y f x y
1.4 Các công thức đạo hàm
• Định lý: Cho các hàm số f và g xác định trong khoảng ( ; )a b và có đạo hàm tại điểm
0 ( ; ) x a b Khi đó fg, kf ( k là số thực bất kì),f ,g và fg cũng có đạo hàm tại điểm x 0và ta có:
• Đạo hàm của hàm số hợp : Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x = x 0 còn z=g y( )xác định trong khoảng chứa điểm
( 0) y0= f x có đạo hàm tại y= y 0 thì hàm hợp z=g f x[ ( )] có đạo hàm tại x = x 0và ta có: '( ) '( ) '( )
Đạo hàm của hàm số ngược được xác định khi hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm dương trong khoảng (a; b) Nếu x = φ(y) là hàm ngược của y, thì nó được xác định trong lân cận của điểm (y).
0 f x 0 x 0 ( ; ) y= y = a b Khi đó nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x= x0 và '( ) 0 f x0 thì hàm số x=( )y có đạo hàm tại y= y 0và ta có : 1
a Bảng công thức đạo hàm các hàm số cơ bản
Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
Bảng 1.1: Bảng công thức đạo hàm các hàm số cơ bản b Đạo hàm của hàm hợp
Ta xét hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑢(𝑥)) Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho theo 𝑥 như sau: 𝒚 𝒙 ′ = 𝒇 𝒙 ′ = 𝒇 𝒖 ′ 𝒖 𝒙 ′
Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
Bảng 1.2: Bảng công thức đạo hàm hàm hợp
Khi áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, trước tiên cần tính đạo hàm của hàm số theo biến u, sau đó nhân với đạo hàm của hàm số u theo biến x.
1.5 Một số yêu cầu cần đạt về đạo hàm theo CTGDPT 2018 a Các yêu cầu cần đạt về đạo hàm ( lớp 11)
Đạo hàm là khái niệm quan trọng trong toán học, giúp xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động không đều và tốc độ thay đổi của nhiệt độ Việc nhận biết các bài toán liên quan đến đạo hàm không chỉ hỗ trợ trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn mà còn nâng cao khả năng phân tích và tư duy logic.
- Nhận biết được định nghĩa đạo hàm Tính được đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa
Đạo hàm không chỉ giúp giải quyết các vấn đề trong môn Toán mà còn liên quan chặt chẽ đến thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau Đối với học sinh lớp 12, việc nắm vững các yêu cầu về đạo hàm là rất quan trọng, bao gồm khả năng tính toán, phân tích và ứng dụng đạo hàm trong các bài toán thực tế Những kiến thức này không chỉ phục vụ cho kỳ thi mà còn là nền tảng cho việc học tập các môn học khác và phát triển kỹ năng tư duy logic.
- Nhận biết được tính đồng biến; nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó
- Thể hiện được tính đồng biến; nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên
Nhận biết tính đơn điệu, điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số có thể thực hiện thông qua bảng biến thiên hoặc hình ảnh đồ thị hàm số Việc phân tích này giúp người học hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số, từ đó áp dụng vào các bài toán thực tiễn một cách hiệu quả.
- Nhận biết được giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước
- Vận dụng được đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN – GTLN CỦA HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN THPT 2.1 Dạng 1 Xác định GTLN – GTNN của hàm số trên đoạn[𝒂; 𝒃]
• Bước 1: Tính 𝑦′; giải phương trình 𝑦 ′ = 0 tìm các nghiệm
• Bước 2: Tính các giá trị 𝑓(𝑎); 𝑓(𝑥 1 ); 𝑓(𝑥 2 ); … ; 𝑓(𝑥 𝑛 ); 𝑓(𝑏)
Bước 3: So sánh các giá trị đã tìm được ở bước 2; giá trị lớn nhất trong số đó là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm 𝑓 trên đoạn [a;b], trong khi giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm 𝑓 trên cùng đoạn.
• Nếu 𝑓(𝑥) đồng biến trên đoạn [a;b] thì max[𝑎;𝑏] 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏) ; min
• Nếu 𝑓(𝑥) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì max[𝑎;𝑏] 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) ; min
2.1.2 Các ví dụ và định hướng giải
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 trên đoạn [-3;3] bằng:
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số 3 1
Chúng ta thấy được là hàm số đã cho xác định trên [0;2]
3; 𝑦(2) = −5 Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 𝑀 = 1
Ví dụ 3: Giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của hàm số 1 3 2 2 1 y= −3x +x = x+ trên đoạn −1;0
Chúng ta thấy được là hàm số trên xác định trên −1;0
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7
3; giá trị nhỏ nhất của hàm số là − 1
Ví dụ 4: Giá trị lớn nhất của hàm số f x( )= +x cos2x trên đoạn 0;
Ta có: f x'( ) 1 2sin cos= − x x= −1 sin 2x
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
Ví dụ 5: Cho hàm số y= − +x 4 x 2 13tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 1;2]−
2 2 f − = f = f = f − = f Giá trị lớn nhất của hàm số y= − +x 4 x 2 13trên đoạn [ 1;2]− bằng 25
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x 4 −2x 2 +3 trên đoạn [0; 3]
(0) 3, (1) 2, ( 3) 6 y = y = y Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 6
Câu 1:( Đề minh họa 1-THPTQG 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số f x( )=x2− +3x 2 trên đoạn [ 1;2]− là:
3 2 y= x − x + x+ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [1;3] lần lượt tại hai điểm x 1 và x 2 Khi đó
Câu 4: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2.2 Dạng 2 Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên khoảng (𝒂; 𝒃)
Bước 1: Tính y ' Tìm các điểm thuộc x i ( ) a b ; mà tại đó y'=0 hoặc y' không xác định
Bước 2: Lập BBT của hàm số trên ( ) a b ;
= 2.2.2 Các ví dụ và định hướng giải:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=x3−2x2+ −x 6 trên khoảng ( 1;1)−
Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 (1 2)2
A Không tồn tại B − 3 C − + 1 2 D 0 Định hướng giải:
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng (0; + )
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (1; + ) x 1 2 +
Từ đó min 3 (1; )y + Chọn A Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
3 2 y x x = − + − + trên nửa khoảng [ 4; 2) − − A min 4 [ 4;2)y − B min 7 [ 4;2)y − C min 5 [ 4;2)y − D 15 min 2 [ 4;2)y − Định hướng giải: ' 1 1 ( 2) 2 ' 0 1 3 y x y x x = − + + = =− =− Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng [ 4; 2)− − x -4 -3 -2
Từ bảng biến thiên ta có min 7
Ví dụ 5: Giá trị lớn nhất của hàm số f x( )=x3−3x2− +9x 10 trên khoảng ( 2;2)−
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f x( )=x3−3x2− +9x 10 trên đoạn [ 2;2]− là 15
Ví dụ 6: Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số 4
Ví dụ 7: Với giá trị nào của x thì hàm số 2 1 y x
= + x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; + )?
1 x= 2 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên (0; + ) Chọn D
Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 5 1 y= − +x x trên khoảng (0;+) bằng bao nhiêu?
Câu 2: ( Đề tham khảo BGD&ĐT 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số
Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 2 1
Câu 4: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
+ + Khi đó tích m.M bằng bao nhiêu?
2 x x x y = + có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m Tính giá trị biểu thức P = M 2 + m 2
= − +− Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;4] Tính M +m
2.3 Dạng 3 Tìm tham số m để hàm số đạt GTLN – GTNN bằng k
- Tìm các điểm 𝑥 1 ; 𝑥 2 ; … ; 𝑥 𝑚 thuộc khoảng [𝑎; 𝑏] mà tại đó hàm số 𝑓 có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm
Trong bước 2, chúng ta so sánh các giá trị đã tìm được; giá trị lớn nhất sẽ là GTLN của hàm số 𝑓 trên đoạn [𝑎; 𝑏], trong khi giá trị nhỏ nhất sẽ là GTNN của hàm số 𝑓 trên cùng đoạn này.
- Nếu 𝑓(𝑥) đồng biến trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì max
- Nếu 𝑓(𝑥) nghịch biến trên đoạn [𝑎; 𝑏] thì max
2.3.2 Các ví dụ và định hướng giải
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x2+a ( a là tham số) trên đoạn [ 1;2]−
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng a khi x = 0
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hàm số y=x3−6x2+ +9x m có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;2] bằng -4
Ví dụ 3: Gọi S là tổng tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
3 ( m 2 1) x m 1 y = x + + − + có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;1] bằng 9 Giá trị của S bằng
Ví dụ 4: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên a để giá trị lớn nhất của hàm số
= − + + x trên đoạn [ 4; 1]− − là một số dương?
Ví dụ 5: Cho hàm số y=2x 3 −3x 2 −m trên đoạn [ 1;1]− hàm số có giá trị nhỏ nhất là -1 Tính m?
Theo đề bài ta có
Câu 1: (Mã đề 123 BGD&ĐT 2017) Cho hàm số
= +− ( m là tham số thực) thỏa mãn min 3
[2;4]y= Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 2: Cho hàm số y=2x 3 − 3 x 2 − m trên đoạn [ 1;1]− hàm số có giá trị nhỏ nhất là -1 Tính m?
Để tìm tập hợp S chứa tất cả các giá trị của m sao cho tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^4 - m*x^3 - 2*x^2 - m trên đoạn [0;1] bằng 16, ta cần phân tích hàm số và xác định các giá trị của m thỏa mãn điều kiện này Cuối cùng, tính tích các phần tử trong tập hợp S để có được kết quả cần thiết.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
= + + + có giá trị lớn nhất trên Rnhỏ hơn hoặc bằng 1
Câu 5: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
2.4 Dạng 4 Sử dụng đạo hàm tìm số nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số thông qua tìm GTLN - GTNN
• Tìm điều kiện của tham số để phương trình f x m( , ) 0= có nghiệm x K
- Chuyển trạng thái tương giao : g x( )=h x x I( ),
- Lập bảng biến thiên của g x( ) trên I
- Ycbt x E ( Miền giá trị của g x( ) trên I ) Đặc biệt: Phương trình g x( )=h x( ) có nghiệm x[ ; ]a b min ( ) ( ) max ( ) [ ; ]f x h m [ ; ]f x a b a b Đối với x [ ; ]a b
• Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình f x m( , ) 0 có nghiệm ( nghiệm đúng với mọi) x K
- Biến đổi BPT về dạng: g x( )h m( )(1), g x( )h m( ), ( ) ( ) g x h m , g x( )h m( ),x I
- Bất phương trình (1) có nghiệm x I max ( ) ( )
- Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x I min ( ) ( )
2.4.2 Ví dụ và định hướng giải
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
A Không tồn tại m B m{4;0} C m −{ 4;0} D m=0 Định hướng giải:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 0
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
3 3x 4m 1 0 x − + − = có ít nhất một nghiệm thực trong [ 3;4]−
Phương trình x3 3− +x 4m− =1 0 có ít nhất một nghiệm thực trong [ 3;4]− khi
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình t+ + − 3 5 t m nghiệm đúng với mọi x − ( ;log35)
= = + ( Có nghiệm đúng thì mmax ( )f t )
Ví dụ 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm: x+ + − 5 4 x m
Ví dụ 6: Cho bất phương trình 4 6+ −x x 2 −3x m ( x+ +2 2 3−x) Tìm m đẻ bất phương trình đã cho có nghiệm thực?
A m −2 B m −2 C m2 D 9 5 m − 5 Định hướng giải: Điều kiện: − 2 x 3 Đặt t= x+ +2 2 3−x x, −[ 2;3]
Từ bảng biến thiên suy ra: t[ 5;5]
+ Do t = x+ +2 2 3−x 4 6+ −x x 2 −3x t= − 2 14 nên bất phương trình đã cho trở thành:
Bất phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi
Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình x+ 9− − +x x 2 9x m+ (1) có nghiệm
4m Định hướng giải: Điều kiện: 0 x 9
Suy ra (1) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm 9
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị tham số m để bất phương trình
Câu 2: Tìm m để bất phương trình 4 x 1 m
Câu 3: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m[0;2019] để bất phương trình x2− +m (1−x2 3) 0 đúng với mọi x −[ 1;1] Số phần tử của hợp S bằng
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x4+2x2− =1 2m có nghiệm x +[1; )
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2.5 Dạng 5 Tìm m để GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước
Dạng bài tập này có độ khó cao, thường đạt từ 9-10 điểm, yêu cầu học sinh phải có nhiều kỹ năng và khả năng tư duy tốt Để làm tốt dạng bài này, học sinh cần nắm vững và hiểu rõ từng loại bài tập nhỏ, đồng thời phải có khả năng phán đoán đề nhanh chóng để đưa ra phương pháp giải phù hợp Dưới đây là những dạng bài tập thường gặp trong phần này.
Phương pháp: Đầu tiên tìm max ( ) ; min ( )
Phương pháp: Đầu tiên tìm max ( ) ; min ( )
= + không vượt quá giá trị M cho trước
Phương pháp: Đầu tiên tìm max ( ) ; min ( )
= + không vượt quá giá trị a cho trước
Phương pháp: Đầu tiên tìm max ( ) ; min ( )
Phương pháp Đầu tiên tìm max ( ) ; min ( )
= − Đề hỏi tìm min của max
Phương pháp Đầu tiên tìm max ( ) ; min ( )
[ ; ] [ ; ]f x K f x k a b a b = Đề hỏi tìm m =m (m K m k+ )( + − −) 0 K m k Đề hỏi tìm min của min
• Cho hàm số y=| ( )f x +m| Tìm m để max min
(h0) hoặc Min Max+ Phương pháp Đầu tiên tìm max ( ) ; min ( )
Phương pháp Đầu tiên tìm max ( ) ; min ( )
[ ; ] [ ; ]f x K f x k a b a b = BT1: Tìm m để min max | | | |
+ = + + + BT2: Tìm m để min *max | |*| |
= + + 2.5.2 Ví dụ minh họa và định hướng giải:
Ví dụ 1: Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y=|x2−2x m+ | trên đoạn [ 1;2]− bằng 5
Do đó yêu cầu bài toán tương đương max{ ( 1), (2), (1)} 5y − y y max{| 3 m m m|,| |,| 1|} 5
+ − + Trường hợp m −1, ta có max{| 3+m m m|,| |,| −1|} 5= + = | 3 m| 5 2 m max{| 3+m m m|,| |,| −1|} 5= − = = −|m 1| 5 m 4
Vậy tổng các giá trị m bằng -2
Ví dụ 2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
= + trên [1;2] bằng 2 Số phấn tử của tập S
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn
Ví dụ 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số |1 4 19 2 30 20 |
4 2 y= x − x + x m+ − trên đoạn [0;2] không vượt quá 20 Tổng các phần tử của S bằng
Vậy tổng các phần tử của S là 105
Ví dụ 4: Cho hàm số f x( ) |= x4−2x3+x2+m|(m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho min ( ) max ( ) 10
[ 1;2] f x +[ 1;2]f x − − Số phần tử của S là?
( ) g x m+4 m+4 1 m+16 m m Dựa vào bảng biến thiên của g x( ) ta suy ra bảng biến thiên của
4 3 2 ( ) | ( ) | | 2 | f x = g x = x − x +x +m Ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: m0 Bảng biến thiên của f x( ) | ( ) | |= g x = x4−2x3+x2+m| x -1 0 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có min ( ) max ( ) 10 4 10 3
16 16 m +m − m Ta có bảng biến thiên x -1 0 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có min ( ) max ( ) 10 0 4 10 6 [ 1;2]f x +[ 1;2]f x = + + = =m m − − Trường hợp 3: 1 1
16 0 16 m+ = = −m Tương tự ta có: min ( ) max ( ) 10 0 4 10 6 [ 1;2]f x +[ 1;2]f x = + + = =m m − − Trường hợp 4: 1 1
16 16 m+ + − −m m Ta có bảng biến thiên x -1 0 1
( ) g x m+4 −m −m m+4 1 m+16 0 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có min ( ) max ( ) 10
Trường hợp 5: m+ = = −4 0 m 4 Ta có min ( ) max ( ) 10 0 10 10
Trường hợp 6: m+ −4 0 m 4 Ta có: min ( ) max ( ) 10 4 10 7
Ví dụ 5: Cho hàm số f x ( ) = x 3−3 x 2+ + m 1 ( m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ 2020;2020]− sao cho max | ( )| 3min | ( )|
[1;4] f x [1;4] f x Số phần tử của S là
Nếu (m−3)(m+17) 0 − 17 m 3 max | ( ) | max{| 17 |;| 3|} max{ 17; 3} 0;min | ( ) | 0
[1;4] f x = m+ m− = m+ m− f x Khi đó, không thỏa điều kiện max | ( ) | 3min | ( ) |
kết hợp với m −[ 2020;2020] ta có m −[ 2020; 27] [13;2020]−
Vậy có 4002 giá trị nguyên của m thỏa mãn Chọn B
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m, để giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |x³ - 3x + m| trên đoạn [0; 3] bằng 16 Tổng tất cả các phần tử của S là kết quả cần tìm.
[0;3] max max{ (0), (1), (3)} max{ , 2, 18} 18 min min{ (0), (1), (3)} min{ , 2, 18} 2 u u u u m m m m u u u u m m m m
Do đó tổng tất cả các phần tử của S bằng -16 Chọn A
Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số | 2 2 |
= − trên đoạn [ 1;1]− bằng 3 Tính tổng tất cả các phần tử của S
= − 3 max{= −m m; +1}: Trường hợp này vô nghiệm
Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m 1 = −3, m 2 =2 Do đó tổng tất cả các phần tử của
Câu 1: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số |
| x mx 2 m y = − + x − trên đoạn [ 1;1]− bằng 3 Tính tổng tất cả các phần tử của
Xét hàm số f(x) = |x² + ax + b| với a, b là tham số Đặt M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [1; 3] Khi M đạt giá trị nhỏ nhất có thể, hãy tính a + 2b.
Câu 3: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = | x 3 3 − x + 2 m − 1| trên đoạn [0; 2] là nhỏ nhất Giá trị của m thuộc khoảng nào?