Một số dạng toán thường gặp về phép tính vi phân hàm một biến trong các kỳ thi olympic toán học sinh viên – học sinh toàn quốc

Những kết quả chính: Đề tài nghiên cứu: “Một số dạng toán thường gặp về phép tính vi phân hàm một biến trong các kỳ thi Olympic toán học sinh viên - học sinh toàn quốc” đã đạt được một

TRUGNG DAI HOC SU PHAM

PHAN THI VAN

MOT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MOT BIEN TRONG CAC KY THI OLYMPIC TOAN HOC

SINH VIEN-HOC SINH TOAN QUOC

LUAN VAN THAC SI TOAN HOC

Da Nang - 2024

TRUONG DAI HOC SU PHAM

PHAN THI VAN

MOT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MOT BIEN TRONG CAC KY THI OLYMPIC TOAN HOC

SINH VIEN-HOC SINH TOAN QUOC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LOI CAM DOAN

MO DAU

LOI CAM ON

Chương 1 KIÊN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN CUA HAM SO MOT BIEN

11 Kiến thứccơ bản vềhàmsố

1.2 Phép tính vi phân của hàm số một biến

Chương 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 2.1 Chứng minh đẳng thức và tính giới hạn hàm số

2.2 Chứng minh bất đắng thức

2.3 Chứng minh sự tôn tại nghiệm của phương trình

2.4 Chứng minh phương trình có nghiệm

2.5 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bất phương trình

26 Timcuc tricia ham s6 0 0 00004 2.7 X&y dung m6 hinh toén

KET LUAN

DANH MUC TAI LIEU THAM KHAO

14

17

27

64

65

69

70

87

88

Toi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết

quả nêu trong luận văn là trung thực, được trích dẫn nguồn rõ ràng và/ hoặc chưa

từng được al cong bố trong bất kì công trình nào khác

TEN DE TAI: MOT SO DANG TOAN THUONG GAP VE PHEP TINH VI PHAN HAM MOT BIEN TRONG CAC KY THI OLYMPIC

TOAN HOC SINH VIEN - HOC SINH TOAN QUOC

Họ tên học viên: Phan Thi Van

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Quý Mười

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm — Đại học Đà Nẵng

Tóm tắt:

I1 Những kết quả chính:

Đề tài nghiên cứu: “Một số dạng toán thường gặp về phép tính vi phân hàm một biến

trong các kỳ thi Olympic toán học sinh viên - học sinh toàn quốc” đã đạt được một số

kết quả sau đây:

a) Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm số một biến

b) Nêu được phương pháp giải và các ví dụ minh họa một số dạng toán về phép tính vi

phân của hàm số một biến thường xuất hiện trong Kỷ yếu các kỳ thi Olympic toán 2.Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:

Đề tài trình bày chỉ tiết lí thuyết cơ bản về phép tính vi phân của hàm số một biến,

một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và những người quan tâm nghiên cứu các dạng

toán thường gặp về phép tính vi phân hàm một biến trong các kỳ thi Olympic toán

học

3 Hướng nghiên cứu tiếp theo:

Trong thời gian tới, tôi sẽ nghiên cứu thêm:

a) Các bài toán từ các kỳ thi đại học, kỳ thi HSG ở bậc Trung học phổ thông có thể

được giải quyết khi sử dụng phép tính vi phân hàm môt biến

b) Các dạng toán thường gặp về phép tính tích phân trong các kỳ thi Olympic toán

học

Từ khóa: Hàm số, phép tính vi phân, đạo hàm, hàm khả vi, Olympic toán học

Name of thesis : SOME COMMON FORMS OF MATH ON

DIFFERENTIAL CALCULUS OF ONE-VARIABLE FUNCTIONS IN

MATHEMATICS OLYMPIC EXAMS FOR STUDENTS - STUDENTS

NATIONWIDE Major: Elementary Mathematics Methods

Full name of Master student: Phan Thi Van

Supervisor: Associate Prof., PhD Pham Quy Muoi

Training institution: The University of Danang - University of Science and Education Summary:

1 Main results:

Thesis topic “Some common mathematical forms of differential calculus of functions of

one variable in the national student mathematics Olympiad” have achieved some of the

following results:

a) Systematize the basic knowledge of differential calculus of functions of one variable

b) State the solution method and examples illustrating some mathematical forms of

differential calculus of functions of one variable that often appear in the Proceedings

of the Math Olympiads

2 Scientific and practical significance:

The topic presents in detail the basic theory of differential calculus of functions of

one variable, some common mathematical forms and solution methods The thesis can

serve as a reference for students, graduate students and those interested in research-

ing common mathematical forms of single-variable differential calculus in mathematics

Olympiads

3 Further research directions:

In the near future, I will research:

a) Problems from university exams and HSG exams at the high school level can be

solved using differential calculus of one variable functions

b) Common mathematical forms of integral calculus in mathematics Olympiads

Key words: Functions, differential calculus, derivatives, differentiable functions, Math Olympics

1 Lý do chọn đề tài

Olympic toán học sinh viên - học sinh là một hoạt động thường niên do Hội Toán học Việt Nam phối hợp cùng Bộ Giáo dục và Đào tạo, Liên hiệp các Hội khoa học và kỹ thuật Việt Nam và Trung ương Hội Sinh viên Việt Nam tổ chức

Kỳ thi nhận được sự hưởng ứng của rất nhiều trường đại học, cao đẳng, các trường 'THPT chuyên cũng như các học viện trong toàn quốc Khởi đầu từ một kỳ thi với

sự có mặt của 3 trường đại học tại Hà Nội (Đại học Bách khoa Hà Nội, Đại học

Sư phạm Hà Nội, Đại học Tổng hợp Hà Nội), được tổ chức năm 1993 tại Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội (nay là Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc

gia Hà Nội) Qua các năm, số lượng các đoàn tham gia bắt đầu tăng lên nhanh

chóng và Olympic toán học thực sự trở thành một kỳ thi toàn quốc về Toán dành

cho hoc sinh, sinh viên Đến năm 2022, đã có hơn 100 đoàn đăng ký tham gia (58

trường đại học, học viện, cao đẳng và 44 trường THPT trên toàn quốc) với 767 thí sinh và trên 800 lượt thi (có gần 100 sinh viên đăng ký thi hai môn) Đây là con

số kỷ lục cả về số đoàn dự thi và số thí sinh

Kỳ thi Olympic toán học sinh viên và học sinh được tổ chức với mục đích khuyến

khích, động viên niềm say mê, tình yêu toán học trong các bạn sinh viên và học

sinh Điều đặc biệt là đa số sinh viên tham dự Olympic toán học không phải là sinh viên ngành toán, nhưng tất cả các bạn đều có chung niềm say mê với toán

hoc!

Mỗi bài thi Olympic toán học gồm các bài toán được lựa chọn trong các lĩnh vực đại số và giải tích ( đối với sinh viên); Số học và hình học (đối với học sinh) Theo đó, phép tính vi phân là một trong những nội dung toán học luôn có mặt

trong hầu hết các kỳ thi Đây là một mảng không kém phần quan trọng trong đề

thi Để hiểu và vận dụng phép tính vi phân vào việc giải các bài toán Olympic,

sinh viên cần phải có kiến thức nền tảng tốt, sự phân loại các dạng toán và phương

pháp giải tương ứng Các bài toán Olympic thường không thể được giải quyết ngay

lập tức mà phải kiên nhẫn, tiếp cận và thử nghiệm bằng nhiều phương pháp khác

nhau

Là một giáo viên toán, với mong muốn tiếp cận, tìm hiểu sâu hơn về nội dung

các đề thi Olympic toán học, đặc biệt là phép tính vi phân, giúp cho người học dễ

dàng nắm được các dạng bài tập, có những phương pháp giải quyết phù hợp, góp phần nâng cao chất lượng học tập, đồng thời mong muốn là người truyền lửa cho

học sinh, khơi dậy niềm say mê toán của học sinh, và cùng với sự định hướng của giáo viên hướng dẫn, tôi quyết định chọn đề tài: “ Một số dạng toán thường gặp về phép tính vi phân hàm một biến trong các ky thi olympic todn hoc sinh vién-hoc sinh toàn quốc” để làm đề tài luận văn thạc sĩ

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

- Phân loại các dạng bài toán về phép tính vi phân trong các kỳ thi olympic

toán học của các năm, giúp học sinh, sinh viên dễ dàng, thuận tiện hơn trong việc

tiếp cận, nhận định dạng và phương pháp giải các bài toán

- Dưa ra một số phương pháp giải, tạo cơ sở và tiền đề giúp các em giải quyết

được bài toán và đạt hiệu quả trong các kỳ thi olympic toán học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đôi tượng nghiên cứu

- Lý thuyết cơ bản về phép tính vi phân hầm một biến

- Các dạng toán về phép tính vi phân hàm một biến trong các kỳ thi olympic

toán học

* Phạm vi nghiên cứu

- Một số dạng toán thường gặp về phép tính vi phân hàm một biến trong các

kỳ thi olympic toán học học sinh - sinh viên toàn quốc trong các năm gần đây

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tìm hiểu các tài liệu về phép tính vi phân và các dạng toán liên

- Doc hiéu, phan tich các tài liệu và hệ thống, chon lọc những nội dung mau chốt để trình bày vào luận văn

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn để tiến tới hoàn thiện luận

van

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài trình bày chỉ tiết lí thuyết cơ bản về phép tính vi phân của hàm số một biến, một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải Luận văn có thể làm

tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và những người quan tâm nghiên cứu các dạng toán thường gặp về phép tính vi phân hàm một biến trong các kỳ thi olymple toán học sinh viên-học sinh

6 Kết cầu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn được chia thành hai chương: Chương I: Kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm số một biến

Chương này trình bày kiến thức cơ bản về hàm số và hàm số khả khi bao gồm: Khái niệm hàm số, đồ thị của hàm số, tính chẵn, lẻ, tính đơn điệu, giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của hàm số; Đạo hàm, vi phân, các định lý cơ bản về hàm khả vi, quy

tac Hospital, công thức Taylor và công thức Maclaurin

Chương II: Một số dạng toán thường gặp

Chương này trình bày một số dạng toán về phép tính vi phân của hàm số một biến thường xuất hiện trong Kỷ yếu các kỳ thi Olympic toán bao gồm: chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, chứng minh sự tồn tại và/hoặc duy nhất

nghiệm của phương trình, chứng minh phương trình có ø nghiệm, chứng minh sự tồn tại nghiệm của bất phương trình, tìm cực trị của hàm số và xây dựng mô hình toán Mỗi dạng đều đưa ra phương pháp giải và các ví dụ minh họa

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầy hướng dẫn, PGS TS Phạm Quý Mười, Khoa toán học, Trường Đại học Sư phạm

- Dại học Đà Nẵng Thầy đã truyền cảm hứng và động lực để tôi tìm tòi nghiên cứu các bài toán trong đề tài, Thầy cũng đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi

trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này Nhân địp này tôi xin bày

tổ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến 'Thầy

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại

học Đà Nẵng, Phòng Đào tạo, Khoa Toán học, quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao

học K43 Phương pháp Toán sơ cấp về công sức giảng dạy và tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài

Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tỉnh thần của gia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học và luận văn này

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân,

nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận

được những góp ý của quý thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả

Phan Thi Van

KIÊN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA

HAM SO MOT BIEN

Chương này trình bày Kiến thức cơ bản về hàm số và hàm số khả vi, bao gồm: khái niệm hàm số, đồ thị của hàm số, tính chẫn, lẻ, tính đơn điệu, giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của hàm số, đạo hàm, vi phân, các định lý cơ bản về hàm khả vi, quy

tác l’Hospital, cong thức Taylor và công thức Maclaurin Nội dung của chương này

được tham khảo từ các tài liệu: [1-6]

1.1 Kiến thức cơ bản về hàm số

Định nghĩa 1.1.1 ([14|) Một quan hệ (hai ngôi) trên R la mot tập hợp gồm các

cặp có thứ tự Biểu diễn các điểm của các cặp thứ tự này trong một mặt phẳng tọa độ được gọi là đô thị của quan hệ, hay còn gọi là đường cong Hai quan hệ bằng

nhau nêu chúng có cùng đồ thị

Định nghĩa 1.1.2 ([14|) Hàm (số thực) ƒ là một quan hệ, trong đó không có hai

cặp thứ tự khác nhau nào có cùng tọa độ thứ nhất

Miền xác định của hàm ƒ, ký hiệu là D;, được xác định bởi

D¿ ={z| (z,u) € ƒ đối với một số }

Miền giá trị của ƒ, ký hiệu là ïy, được xác định bởi

Ry = {y| (a, y) € f d6i véi mot sd x € Dy}

Về mặt hình học, một quan hệ cho trước là một hàm nếu mỗi đường thắng đứng

cắt đồ thị của nó không quá một điểm

Nhận xét 1.1.3 ([14|) 1) Nếu ƒ là một hàm thì với mỗi phần tử a € D2; có đúng

một phần tử be Ry sao cho (a, b) € ƒ Giá trị a được gọi là một biến độc lập Giá

trị b được gọi là böến phụ thuộc hay hàm số, thường ký hiệu b = f(a)

2) Néu Dp = A va Ry = B thi ta có thể xem hàm ƒ là một ánh xạ từ 4 đến B

và ký hiệu ƒ: A — Ö Nói cách khác, hàm ƒ: A4 — B la mé6t ánh xa ƒ từ tập hợp

A đến Ø Trong ký hiệu này, chúng ta thường sử dụng một tập lớn hơn #¿ vì

đôi khi 7; rất khó tìm Như vậy, một hàm có thể được coi như một quy tắc tương

syides eer apt dis Pee Je) Le ricat i

fete P r†?it+2? c(4y~

V (a1, 22) € X*, a1 < 29 > f (x1) < f (x2)

4 f la ham giam nghiêm ngặt nêu

V(zi,za) € X”,z¡ < #a = f (x1) > f (x2)

5 f la ham don điệu nếu ƒ là hàm tăng hoặc f là hàm giảm

6 ƒ là hàm đơn điệu nghiêm ngặt nếu ƒ là hàm tăng nghiêm ngặt hoặc ƒ là hàm

giảm nghiêm ngặt

Định nghĩa 1.1.6 ([1|) Cho hàm số y = ƒ(z) xác định trên tập Dy

1 Số Mĩ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số = ƒ(z) trên tập D2; nếu

ƒ(z) <M với mọi z thuộc Dy; va ton tai zo € Dy sao cho f (zo) = M Ki hiéu

M= mars f(x) |

2 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hầm số = ƒ(z) trên tập D¿ nếu ƒ(z) > m

với mọi z thuộc D¿ và ton tai xo € Dy sao cho f (xo) = m Ki hiéu

m= min f(z)

Định lý 1.1.7 ([1|) Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất uà

giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

1.2 Phép tính vi phân của hàm số một biến

Trong phần này, 7 là một khoảng (mở, đóng, nửa mở, nửa đóng) trong R

Định nghĩa 1.2.1 ([5]) Cho ac 7 và ƒ: 7 — lR Ta nói ƒ khả ơi tại a nếu

Định nghĩa 1.2.2 (|5]) Cho a€ 7 và ƒ: 7 — R

1 Ta noi f kha vi phai tại a nêu

"x

h—>0+ h tồn tại hữu hạn Giới han này được ký hiệu là ƒ '(a+), và được gọi là đạo hàm phat cua f tai a

2 Ta nói ƒ kha vi trai tai a nêu

og {at h) =f)

h—>0~ h

tồn tại hữu hạn Giới hạn này được ký hiệu là f’(a—), va được gọi là đạo hờm

trái của ƒ tại a

Nhận xét 1.2.3 ([5]) Nếu 7 = [a,b) ((a,b) e R^,a < b) thì các định nghĩa " ƒ khả

H

vị tại œ " và ” ƒ khả vi phải tại a" là tương đương

Mệnh đề 1.2.4 (|5]) Cho a là một điểm trong của I uà ƒ : I —> R

Điều kiện cần uà đủ để ƒ khả uì tại a là ƒ khả vi trai va phai taia va f'(a+) = f'(a-)

Hơn nữa, uới các giả thiết trên, ta có ƒf{a) = Ƒ'(a+) = f'(a—)

Mệnh đề 1.2.5 ([5]) Cho øc I,ƒ:1>ÌR Nếu Ƒ khả ơi tại a thà ƒ liên tục tại a

Định lý 1.2.6 ([B]) Cho ac I,ÀAc R,ƒ,g: I —y IR là hai hàm số khả tì tại a Ta

Có:

1 Ƒ+g khả ơi tại a 0à (ƒ + g)'(4) = ƒƑ(a) + g(a)

2 Af kha vi tai a va (Af)'(a) = Af! (a)

3 fg kha vi tat a va (fg)'(a) =

Định lý trên được mở rộng một cách dễ dàng cho các đạo ham phải và đạo hàm tral

Dinh ly 1.2.7 ((5]) Cho I,J la hai khoang cia R,a€1,f:13R,g: JR, sao

cho ƒ(T) C J Ta kú hiệu: go Ƒ: I —> RÑ,z+ c> g(ƒ(ø))

Nếu f kha vi tai a va g kha vi tat f(a), thigof kha vi taia va

(go f)'(a) =9' (f(a) f(a)

Dinh ly 1.2.8 ([5]) ChoaeI,f:1—4R la mét anh za don diéu nghiém ngat va lién tuc trén I, kha vi taia va f'(a) 40 Khả đó, hàm nguoc ctia f la f-!: f(I) + R

1

khé vi tai f(a) va ai Fa) v0 (FY (f-")' (F(a) = a) = sạn

Định nghĩa 1.2.9 ([5]) Cho hàm số ƒ : 7 — R khả vi trên 7 Khi đó, ƒ là một

hàm số xác định trên 7 Nếu f’ có đạo hàm tại ø e 7 thì đạo hàm đó được gọi là

đạo hàm cấp hai của hàm số ƒ tại điểm a, kí hiệu ƒ”“(a) hoặc ƒ(2)(øa) Khi đó, hàm

số ƒ được gọi là khả vi hai lần tại a Một cách tổng quát, ta giải sử hàm số ƒ có

đạo hàm đến cấp ø — 1 trên 7 Nếu hàm đạo hàm cấp nø — 1 ƒ~!) có đạo hàm tại

a € I thi đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số ƒ tại điểm a, kí hiệu

ƒ(a) Khi đó, hàm số ƒ được gọi là khả vi n lần tai a Néu ham ƒ khả vi n lan

tại mọi điểm thuộc 7, ta nói ƒ khả n lan trén J

Ta nói ƒ khả vì vô hạn lần trên 7 khi và chỉ khi f kha vi n lan trên 7 với mọi

nc Ñ Chúng ta quy ước ƒ' chỉ ƒ

Định lý 1.2.10 ([5|) Cho ÀclR,n cÑ*,ƒ,ø:7 +] khả ơi n lần trên I Khi đó,

1 (f +9) kha vin lan trén I va (f +9) = fM 4+ GM

2 rf kha vin lan trén I va (Af)™ = aAf™

3 fg kha vin lan trén I va (fg) = » Ck f(g —*) (công thúc Leibniz)

=0

4 Néu Vx € I, g(x) £0 thi : kha vin lan trén I

Dinh nghia 1.2.11 ({5])) Choae/ va f: 1 > R Giả sử ƒ khả vi tai a.

Ta gọi ánh xạ, ký hiệu là d„ƒ, xác định bởi d„ƒ :lR — R, h > ƒf{a)h là vi phân

của, ƒ tại a

Từ định nghĩa, ta suy ra vi phân của ƒ tại a là một ánh xạ tuyến tính và tồn

tại một hàm số e : {h €]R;ø+ h € T} — R sao cho:

vh €Rsao choa+hel: f(a+h) = f(a) + (daf) (kh) + he (h)

vh € ïR,(daƒ) (h) = ƒ (a)h = ƒ (a)dz0)

Từ đây ta có ký hiệu d„ƒ = ƒf(ø)dz Đôi khi người ta bỏ ø trong dạƒ và một

cách lạm dụng, thay a bởi z trong ƒ“(a) để có biểu thức cô đọng han: df = ƒ'(z)dz;

điều này cho thay lại quan hé f’(x) = a Điều đó lý giải cho cách viết of dé chi ƒ)

Ménh dé 1.2.13 ([5]) ChoaéI,A\€R,f,g:13R kha ơi tạia Khi đó,

1 da(f +9) =def + dag

Dinh ly 1.2.14 ([2, Định lý Fermat]) Giá sử hàm số ƒ xác dinh trén (a,b) va dat

cực trị địa phương tại diém xo € (a,b) Néu f khả tì tại điểm xo thi f' (zo) = 0 Định lý 1.2.15 ([2, Dinh ly Rolle]) Gid sti

i) Ƒ(%) liên tục trên |a, bỊ

ii) f(x) kha vi trén (a,b)

iii) f(a) = f(b)

Khi d6, ton tai c € (a,b) sao cho f'(c) =0

Dinh ly 1.2.16 (2, Dinh ly Lagrange]) Gid sv

i) f(x) lién tục trên, đoạn [a, b|

ii) f(x) c6 dao ham hữu hạn trong (a,b)

Khi đó, tồn tại íL nhất một điểm c € (a,b) sao cho

i) f(x) va @(œ) liên tục trên đoạn |a, bỊ

ii) f(x) va v(x) c6 dao ham hitu han trong (a,b)

iti) [Ƒ'(+)]ˆ+ [e'(+)]ˆ #0, nghĩa là các đạo hàm không đồng thời bằng 0

iv) g(a) # 2Ñ)

Khi đó tìm được điểm c e (a.b) sao cho:

Định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lý Cauchy Định lý Rolle cũng

là trường hợp riêng của định lý Lagrange với điều kién f(a) = f(b)

Định lý 1.2.18 (4, Quy tác LHospital]) Giả stt hat ham f(x) va v(x) thỏa mãn

các điều kiện,

Giả sử ƒ(z) và v(x) théoa mãn các điều kiện ii) và ii) của định lý trên đây còn

điều kiện i) được thay bởi điều kiện:

Dinh ly 1.2.19 ([2, Cong thttc Taylor va cong thittc Maclaurin]) Néu ham sé f(z)

có đạo hàm đến cap n trong khodng đóng [a,b] va cé dao ham caép n+1 trong khoang

mé (a,b) va xo € (a,b), thi ton tai diém c € (a,b) sao cho vdi moi x € (a,b) ta co:

fo) =f (00) +) (ew — 9) + EO) (w — 09)? + ¢ A) (we — ap)"

+ ƒ+1)(e) (— zạ) "#1, (1.1) (n+ 1)!

trong đó c = xo + 8 (x— xọ),0 < Ø9 < 1

Công thức (1.1) gọi là công thúc Tuylor, số hạng cuối ở về phải gọi là số hạng

du Lagrange Biéu diễn của hàm số ƒ(z) dưới dạng (1.1) gọi là khai triển hữu hạn

của ƒ(z) ở lân cận điểm xạ

Công thức (1.1) cho phép xấp xỉ hàm số ƒ(z) bởi đa thức bac n:

Khi xọ =0, công thức (1.1) trở thành:

CHUONG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GAP

Chương này trình bày một số dạng toán về phép tính vi phân của hàm số một biến thường xuất hiện trong Kỷ yếu các kì thi Olympic toán bao gồm: Chứng minh đẳng thức; Chứng minh bất đẳng thức; Chứng minh sự tồn tại và/hoặc duy nhất

nghiệm của phương trình; Chứng minh phương trình có » nghiệm;chứng minh sự

tồn tại nghiệm của bất phương trình; Tìm cực trị của hàm số; Xây dựng mô hình

toán Mỗi dạng đều đưa ra phương pháp giải và các ví dụ minh họa Các ví dụ

trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [5] , [4], [14], ,[13]

lí này nhiều lần hoặc áp dụng kết hợp các định lí này thì mới có thể giải được

Chúng ta hãy xem xét các ví dụ cụ thể sau đây:

Ví dụ 2.1.1 (j9, Bài đề xuất - Trường đại học Hồng Đức - 2016]) Cho hàm số

f : [a,b] C (0,+00) > R khả vi liên tục Chứng minh rằng tồn tại e,d € (ø,b) thỏa man c <d va

cle — a) f'(c) = a(b— e)ƒ (4)

Lai gidi Xét ham F(x) = SAGO I) Ty 66 F(a) = F(b) =0 va F(a) 1A ham khả vi liên tục Theo định lý Rolle, tồn tại e € (a,b) sao cho F’(c) = 0 Suy ra

Mặt khác, theo dinh ly Lagrange, tén tai d € (c,b) sao cho

f(b) — fe) = ƒ(4)— ©)

Do đó, c< d và

c(c— 4) {e) = a(b— e)ƒ (4)

Ví dụ 3.1.2 ([10, Bài đề xuất -Trường CĐSP Nam Định - 2017]) Cho ƒ : [0:1] —› IR

khả vi trên |0; 1] sao cho ƒ(0) =0, ƒ(1) = 1 Chứng minh răng tồn tại 0 < 21 < x2 <

my < ƒ(1) = I nên tôn tại a € (0,1) sao cho f(a) = 5017 Vì f(a) = 2017 ^

17 * 1 = f(1) va ham ƒ(z) liên tục trên đoạn [a, 1](C [0,1]) nén tồn tại b € (ø, 1)

Ví dụ 2.1.3 ([7, Bài đề xuất - Học Viện Bưu chính Viễn thông - 2014, 2015]) Cho

ham f(x) kha vi trên |0,+oo] và lim ƒf{z) =0 Chứng minh rằng lim f(x)

#z->+co LZ+00 2

Cộng (2.1), (2.2), (2.3) theo về ta có: = 2017

= 0

Ví dụ 2.1.4 ([11, Bài đề xuất - Trường đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long -

2018]) Cho ƒ : (0;+oo) — JR có đạo hàm cấp 2 liên tục, thỏa mãn

Néu lim (s(x)e") = oo thi áp dung quy tac l’Hospital, ta c6

lim ƒ(z)= lim (et) = lm ev (f(a) + 2x f(x)

r—+oo #->+oo (c) #->+oo 2mez7

Các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện trong các đề thi

Olympic toán học sinh viên toàn quốc Có nhiều phương pháp khác nhau để giải những bài toán dạng này Các phương pháp thường được sử dụng là chọn các hàm

số phù hợp và áp dụng tính đơn điệu của hàm số để có được điều phải chứng minh

hoặc dùng khai triển Taylor để khai triển hàm ƒ rồi dùng giả thiết để đánh giá

Trong một số trường hợp, chúng ta cần áp dụng định lí Fermat, bất đẳng thức tích

phân, Chúng ta hãy xem xét các ví dụ cụ thể sau đây

Vi dụ 2.2.1 ([7, Bài đề xuất - Trường đại học Nông nghiệp - 2014 ]) Cho ƒ : R › IR

khả vi liên tục đến cấp 3 trên R Chứng minh rằng tồn tại số thực ø sao cho

fla) f(a) f(a f(a) 2 0

Lời giải

Nếu mỗi một trong các hàm ƒ(z), ƒ{z), ƒ'(z) ƒ“{+) đổi dấu, chẳng hạn ƒ“(z)

đổi dấu thì do nó liên tục nên tồn tại a để ƒ”{a) = 0, tức ta có dấu đẳng thức

Giả sử cả bốn hàm trên đều không đổi dấu Ta chứng minh ƒ(z) và ƒ“(z) cùng

ƒt(

Từ đó nếu ƒ“(z) > 0 thì ƒ(z) >

Tương tự nếu ƒ”(z) < 0 thì ƒ(z) < 0, tức f(x) và ƒ”(z) cùng dấu Tương tự ƒf(z)

và ƒ““(z) cùng dấu Do vậy tồn tại a để ƒ(a)ƒ'(a)ƒ'{a)ƒ'ta) > 0

Ví dụ 2.2.2 (j9, Bài đề xuất - Trường đại học Phạm Văn Đồng - 2016|) Giả sử ƒ: 0,1] — R là hàm số khả vi hai lần trên đoạn [0, 1], thỏa mãn điều kiện ƒ(1) > 0,

và với mọi z € |0,1] : ƒ”(z) <1 Chứng minh rằng

Ví dụ 2.2.4 ([7, Bài đề xuất - Irường đại học Quảng Bình - 2014 ]) Cho P(z) la

một đa thức bậc n > 1 thỏa mãn P(z) > 0Vz e R Chứng minh

P(z) + Pl(#) + - + P)(z) > 0,Vz e TR

Lời giải

Gia stt P(x) = an#” + an_ 1# ”—! + ‹‹‹ + ao (a„ # 0):

Vì P(z) > 0 với mọi z € l nén n chan va ay, > 0

Xét hàm (+) = P(z) + P!(œ) + - + P™ (2)

Vì Ƒ cũng là đa thức bậc ø với hệ số của z” là a„ nên „im F(a) = +œ

Do đó tồn tại z¿ € JR sao cho #'(z¿) = minzer F(z)

Theo dinh ly Fermat: F’ (x,) = F (a9) — P (xo) = 0

Như vậy F (#9) = min F(x) = P (a) > 0, va F(x) > 0,Vz c R

xER

Vi du 2.2.5 (([8, Bai dé xuat - Trudng dai hoc K¥ Thuat Hau Can CAND - 2015))

Cho ƒ e C!(a, b), lim f(x) = +00, lim ƒ(z) = —œ và ƒf(z) + ƒ”(z) > —1,Vz € (a,b)

wa y-> ~

Chứng minh rằng b— a> va cho ví dụ để có b— a =z

Lời giải Từ giả thiết, ta có

Ta (arctan ƒ(#) +) = aa + 12> 0,Vax € (a,b)

Suy ra arctan ƒ(z) + z là hàm don diéu tang trong (a,b), va do dé

lim (arctan f(a) +a) < lim (arctan f(x) +2)

hay S+a<—5+b Tức là b—øa>

Vi du f(x) =cotanz,a =0,b=7

Vi du 2.2.6 ([9, Bai dé xuat - Truong đại học Đồng Tháp - 2016]) Cho ƒ : I — IR

là hàm số khả vi đến cấp hai, thỏa mãn ƒ(0) = 1,ƒ/'(0) = 0 và ƒ“{z) — 7ƒf() + 12ƒ(z) +24 > 0 với mọi x € (0,+oo) Chứng minh rằng ƒ(z) > 12e2* — 9e## — 2 với

Suy ra (ø(z)e~?02)ˆ > 0 với mọi x € (0,00) Do đó

Chứng minh rằng ƒ(z) > “ vdi moi x € [0; +00)

Lời giải Cho z =0 Ta có: 2ƒ(0) > 0 => f(0) > 0 Ma f(0) <0 = f(0) =0

V6i ag, a2,-++ ,a2914 € R, Jao] < 1 c6 thé nhận những giá trị dương và cũng có thể nhận những giá trị âm trong khoảng [0, 2m)

Lời giải Xét tích phân

Do đó tồn tại x2 € [0; 27] sao cho f (x2) < 0

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.2.10 ([7, Bài đề xuất - Trường đại học Quy Nhơn - 2014|) Cho hàm

liên tục trên ƒ : [o: | + R thoa man [ fovte = 1 Chứng minh rằng tồn tại

Do đó xảy ra hai trường hợp

Nếu ø(z) là hàm đồng nhất không trên [o: 5| thi f(x) = sinz

Sử dụng bất đắng thức

„3

#— <sinz < z,z € |0;/2]

ta suy ra điều phải chứng minh

Giả sử ø không đồng nhất bằng không trên [o: =| Vi g lién tuc nén vita nhan

giá trị âm, vừa nhận giá trị dương trên [o: 5| Theo định lý giá trị trung gian, tồn

tal x9 € (0; 5) sao cho ø(zog) =0 Do đó ƒ (zo) = sinzọo và ta cũng có điều phải

chứng minh

Vi du 2.2.11 ((7, Bai dé xuat - Trudng dai hoc Hing Vuong, Phi Tho - 2014)) Chứng minh rằng nếu hàm số ƒ khả vi liên tục trên |0;2] và thỏa mãn các điều

Ví dụ 2.2.12 ([11, Bài đề xuất - Trường đại học Quốc tế - 2018]) Cho hàm ƒ liên

tục, không âm trên |0, 1| Giả sử

Vi du 2.2.13 ([11, Bài đề xuất - Trường đại học Ngoại thương Hà Nội - 2018])

Tìm giá trị lớn nhất của ø và giá trị nhỏ nhất của b sao cho với mọi số tự nhiên n

1 1 Xét hà ét ham f(x) =—————_— in(l +a) - với # € (0; | VỚI O; 1}

Suy raa= POTD f(1) = Ty : I và b= li 77877 5 M3 f(a) =~

Ví dụ 2.2.14 ([7, Bài đề xuất - Trường đại học Ngoại thương Hà Nội - 2014

|) Giả sử hàm số ƒ khả vi hai lần trên R và thỏa mãn điều kiện f(0) = f(1) =

251, min f(r) = 2 Chitng minh rang

Met Ou(-o) J le+ 80-9) = Faq ae 5 om

Mặt khác, do ¿+ Øị(—c),ec + Øa(1 — c) € |0; 1| nên

2 10072-4< ƒ”“le+4(—e)|- ƒ”[e+Øa(1T— e)] < F ro)

Do đó max ƒ”(z) > 2014

x€[051]

Vi du 2.2.15 ([8, Bai dé xuat - Truong đại học Sư Phạm Hà Nội 2 - 2015|) Chứng

Tiếp theo, ta phải chứng minh |u(A,z)| < 4 với mọi 3 <À <1

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm ƒ trên đoạn [Az,z], suy ra tồn tại ¿„ € (Az,z)

sao cho p(A, x2) = xf" (Cz) Ta c6

Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh (2.7) đúng với À € (0 3]: Dễ thấy ƒ là hàm giảm

Vi du 2.2.16 ({9, Bài đề xuất - Trường đại học sư phạm Hà Nội 2 - 2016]) Giả

sử ƒ là hàm số có đạo hàm tới cấp 2 trên R Gia sit

sup |f (a )| < 00, sup | f(a )| < 00

Chứng minh rằng sup |ƒ“(z)| < 2 [sup | f(a ) sup | f(x) |

Lời giải Với mỗi z c R cé dinh va h 1a s6 duong nao đó Áp dụng công thức khai triển Taylor, tồn tại số zọ € (z,z + 2h) sao cho

Chon h = smpl77m)j ta CO kêt quả như yêu câu

2.3 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

Các bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình thường xuất hiện khá nhiều trong các đề thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc Cũng như dạng

toán chứng minh đẳng thức, có nhiều phương pháp khác nhau để giải những bài toán dạng này Các phương pháp thường được sử dụng là chọn các hàm số phù hợp và ấp dụng Định lí Rolle, Định lí Lagrange hoặc Định lí Cauchy Trong một

số trường trường, chúng ta cần áp dụng các định lí này nhiều lần hoặc áp dụng

kết hợp các định lí này thì mới có thể giải được Chúng ta hãy xem xét các ví dụ

cụ thể sau đây

Vi du 2.3.1 ([11, Bài đề xuất - Trường Sĩ quan Không quân - 2018]) Cho f(z)

là một hàm số thực khả vi trên {a;b] và có dao ham f”(x) trén (a;b) Chứng minh

rằng với mọi z e (a;b) có thể tìm được ít nhất một điểm c e (a;b) sao cho

Theo giả thiết và định nghĩa hàm ø(z) suy ra ø liên tục, khả vi trên [a; zọ]

Ap dụng định lý Rolle với z e [a:zo], tồn tại c¡ € [a;zo] sao cho ø (e¡) =0 Tương tự, tồn tại e¿ € [zo; b] sao cho ø (ca) = 0

Mặt khác, từ định nghĩa, suy ra

g'(z) = f'(x)- f(b) — fla) _k (:- )

Theo giả thiết, ƒ có đạo hàm cấp hai trên (a;b) nên ø cũng có đạo hàm cấp hai

trên (a;ð) Và vì ø (e1) = ø (ea) = 0 nên cũng theo định lý Rolle, tồn tại e € (ci; ca) sao cho ø”(e) = ƒ“(c)—k=0 Do đó:

(0) = wo(1) = Law (5) = 50+ vT-A)

Điều kiện của đề bài dẫn tới một trong hai khả năng

Nên phương trình ø(z) = 0 có nghiệm e€ |s.1), tức là ƒ(e) = mi(0)

Sử dụng định lý Lagrang cho hàm ƒ(z) trên các đoạn [0,c] va [e,1] thi ton tai céc diém 71 € (0,c), x2 € (c,1), 41 # z2 sao cho

Nên phương trinh h(x) = 0 c6 nghiem dé (0, 5], tite là f(a) = wala)

Sử dụng định lý Lagrang cho hàm f(x) trên các đoạn [0,d] va [d,1] thi ton tai các điểm z¡ € (0,đ),za € (d,1),z¡ # #s sao cho

f! (1) — ƒ) _ ƒ0) — 1U) „ (øs) — ƒ)— ƒ() _1~— „()

d—0 d I—-d 1I-d _

Ví dụ 2.3.3 ([7, Bài đề xuất - DH Bách khoa Hà Nội - 2014|) Cho hàm số ƒ(z)

liên tục trên |0; +o), có đạo hàm trên (0; +o), lim f(x) = ƒ(0) Chứng mình rằng

va g(0) = g(1) Ap dung dinh ly Rolle cho ham g, ta suy ra diéu phai ching minh

Ví dụ 2.3.4 ([7, Bài đề xuất - Trường đại học Hùng Vương, Phú Thọ - 2014|)

Cho hàm ƒ liên tục trên |0;1|, khả vi trên (0;1) thỏa mãn ƒ(1) = 0 Chứng mình

số liên tục trên đoạn |a; b| và khả vi trên khoảng (a; b) thoa man f(a) =

g(a) - g(b) < 0 do dé ton tai xz sao cho ø (+o) = 0 hay ƒ (zo) = = — £9

Ap dung dinh ly Lagrange cho hàm ƒ trên các khoảng (ø;#o) và (zo;b) thì tồn tai c¡ € (4;#o) và ca € (#o;b) sao cho

f (to) — F(a) _ b— ro,

Hơn nữa, ƒ là hàm liên tục trên |a;b| và khả vi trên (a;b) cho nên theo định lý

Lagrange tồn tại e3 € (a;b) sao cho

Vậy ƒ (ei) - ƒ (ca) - ƒ (ca) = 1

Ví dụ 2.3.6 ([7, Bài đề xuất - Trường đại học Quảng Nam - 2014|) Cho hàm số

ƒ(z) liên tục trên JR Chứng minh rằng nếu hàm số

ato) = fe) f float

0

Suy ra y’ (x) = g(x), Vx ER

Với z > 0 và < 0, theo định lý Lagrange ta cố

)< DI - HỖ — 2 (a,) < g0) =0 <g(a,) = SE < 0

Do đó ¿(z) =0 vdi moi x € R, dan dén f(x) = 0 véi moi x € R

Ví dụ 2.3.7 ([7, Bài đề xuất - Trường đại học Sao Đỏ - 2014]) Cho f(x) la ham

Do đó, hàm ø phải đạt cực trị địa phương tại 1 điểm nào đó

Thật vậy, giả sử tồn tại zo sao cho ø(zo) > 0

Vì lim ø(z)=0< ø(zo) nên tồn tại b đủ nhỏ để

Tương tự cho trường hợp tồn tai x9 sao cho g(x) < 0

Ví dụ 2.3.8 ([7, Bài đề xuất - Trường đại học Sao Đỏ - 2014]) Cho f là một hàm

số khả vi liên tục đến cấp 2 trên [0,7] va thoa man: f(0) = f(r) = 0 Chứng minh

rằng tồn tại e € (0,z) sao cho ƒ”(e) = —ƒ(©)