Phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những lĩnh vực nghiêncứu quan trọng của toán học, là thành tựu nổi bật nhất giai đoạn thế kỷXVII của Isaac Newton, Gottfried Wihelm Leibn
Hàm số nhiều biến
Định ngĩa hàm số nhiều biến
Xét không gian Euclide n chiều R n với n > 1, một phần tử x ∈ R n được định nghĩa là một bộ n số thực (x 1 , x 2 , , x n ) Cho D là một tập con trong R n, ánh xạ f : D 7→R xác định bởi x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ D → u = f(x) = f(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R được gọi là hàm số của n biến số trên miền D Trong đó, D là miền xác định của hàm f, x1, x2, , xn là các biến số độc lập Nếu coi x 1 , x 2 , , x n là tọa độ của điểm M ∈ R n trong một hệ tọa độ nhất định, ta có thể viết u = f(M).
Tập hợp trong R n
Giả sử M(x1, x2, , xn), N(y1, y2, , yn) là hai điểm trong R n Khoảng cách giữa hai điểm ấy, kí hiệu là d(M, N), được cho bởi công thức: d(M, N) v u u t n
Có thể chứng minh được rằng với ba điểm A, B, C bất kì trong R n , ta có:d(A, C) ≤ d(A, B) +d(B, C) (Bất đẳng thức tam giác)
Miền xác định của hàm số nhiều biến
Trong bài viết này, chúng ta quy ước rằng hàm số u được xác định bởi biểu thức u = f(M) mà không nêu rõ miền xác định Miền xác định của u sẽ được hiểu là tập hợp tất cả các điểm M mà tại đó biểu thức f(M) có nghĩa, thường là một tập hợp liên thông.
Hàm số z = p4−x 2 −y 2 được xác định trong miền x 2 + y 2 ≤ 4, tức là trong quả cầu đóng tâm O bán kính 2. y
Miền xác định của hàm số z log 2 (2−x−y) là miền x+ y < 2 x y
Giới hạn của hàm số nhiều biến
Ta nói rằng dãy điểm {M n (xn, yn)} dần đến điểm M0(x0, y0), ký hiệu
Khi n→∞, lim x_n = x_0 và lim y_n = y_0 Đối với hàm z = f(x, y) xác định trong lân cận M(x_0, y_0), chúng ta có thể loại bỏ điểm M_0 Hàm f(M) được coi là có giới hạn L khi M(x, y) tiến gần đến M(x_0, y_0), nếu với mọi dãy điểm M_n (x_0, y_0) trong lân cận, ta đều có n→∞, lim f(x_n, y_n) = L.
Khi xem xét giới hạn của hàm số một biến số, có thể chứng minh rằng định nghĩa giới hạn của hàm số f(M) bằng l khi M tiến gần đến M0 tương đương với điều kiện: Với mọi ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho nếu khoảng cách d(M0, M) nhỏ hơn δ thì độ lệch |f(M) - l| nhỏ hơn ε.
(x,y)→(0,0)f(x, y), với f(x, y) = 4x 2 x 2 + 2y 2 Hàm số y = f(x, y) xác định trên R 2 \ {(0,0)} Nếu cho (x, y) → (0,0) theo phương của đường thẳng y = ax, ta có: f(x, ax) = 4
1 + 2a 2 Vậy khi (x, y) → (0,0) theo những phương khác nhau f(x, y) dần tới những giới hạn khác nhau Do đó không tồn tại lim
(x,y)→(0,0)g(x, y), với g(x, y) = x 2 y px 4 +y 4 Hàm số y = g(x, y) xác định trên R 2 \ {(0,0)}.
Tính liên tục của hàm số nhiều biến
Giả sử hàm số f(M) xác định trên miền D và điểm M 0 thuộc D Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M 0 nếu tồn tại giới hạn:
Nếu miền D đóng, M0 là một điểm biên của D thì lim
M →M 0 f(M) được hiểu là giới hạn của f(M) khi M dần đến M 0 ở bên trong D.
Giả sử M 0 có tọa độ là (x 0 , y 0 ), M có tọa độ là (x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) Đặt
Hàm số f(x, y) được coi là liên tục tại điểm (x 0 , y 0 ) nếu nó có giá trị xác định tại điểm đó và khi ∆x và ∆y tiến tới 0, thì sự thay đổi của hàm số ∆f cũng tiến tới 0.
Hàm số f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm trên miền D. Định nghĩa 1.1.7 (Xem trong [5])
Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 sao cho với mọi cặp điểm M ′ , M ′′ thuộc D mà d(M ′ , M ′′ ) < δ ta đều có:
Hàm số nhiều biến liên tục có những tính chất tương tự như hàm số một biến liên tục Cụ thể, nếu hàm số nhiều biến liên tục trong một miền đóng và bị chặn, thì nó sẽ bị chặn trong miền đó, đồng thời đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong miền ấy, và cũng liên tục trên toàn bộ miền.
Ví dụ 1.1.5 Khảo sát tính liên tục của hàm số: f(x, y)
Dễ thấy f(x, y) liên tục ∀(x, y) ̸= (0,0) Ta chỉ cần xét tại điểm (0,0).
Đạo hàm và vi phân
Đạo hàm riêng
Hàm số u = f(x, y) được xác định trong miền D, với M0(x0, y0) là một điểm thuộc D Nếu cho y = y0, hàm số một biến x 7→f(x, y0) có đạo hàm tại x = x0, thì đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại điểm M0, ký hiệu là f x ′ (x0, y0) hay ∂f.
∂x(x0, y0). Đặt ∆ x f = f(x 0 + ∆x, y 0 )− f(x 0 , y 0 ) Biểu thức đó được gọi là số gia riêng của f(x, y) theo x tại (x0, y0) Ta có:
∆x Tương tự như vậy người ta định nghĩa đạo hàm riêng của f đối với y tại
Các đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến (n ≥ 3) được định nghĩa tương tự như trong trường hợp hai biến Khi tính đạo hàm riêng theo một biến, ta coi hàm số chỉ phụ thuộc vào biến đó, trong khi các biến khác được xem như hằng số Sau đó, áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số một biến để thực hiện phép tính.
Ví dụ 1.2.1 Với hàm số z = 2x y 3 (x > 0), ta có:
Ví dụ 1.2.2 Với hàm số u = 4x 2 zln z y 2 + 1
Vi phân toàn phần
Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D Lấy các điểmM(x 0 , y 0 ) ∈
D,M(x 0 +∆x, y 0 +∆y) ∈ D Biểu thức ∆f = f(x 0 +∆x, y 0 +∆y)−f(x 0 , y 0 ) được gọi là số gia toàn phần củaf tạiM 0 Nếu có thể biểu diễn nó dưới dạng:
∆f = A.∆x+B∆y +α∆x+β∆y, (1.2) trong đó A, B là những chỉ số phụ thuộc x 0 , y 0 , còn α, β dần tới 0 khi
M → M 0 , tức là khi ∆x → 0,∆y → 0, thì ta nói rằng hàm số z là khả vi tại
M 0 , còn biểu thức A∆x+B∆y được gọi là vi phân toàn phần của z = f(x, y) tại M 0 và được kí hiệu là dz hay df. Định nghĩa 1.2.3 (Xem trong [5])
Hàm số z = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm cuả miền ấy.
Chú thích Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại M 0 (x 0 , y 0 thì từ đẳng thức (1.2) suy ra rằng ∆f →0 khi ∆x →0,∆y →0, vậy f(x, y) liên tục tại M 0 Định lý 1.2.1.
Nếu hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M 0 thì f(x, y) khả vi tại M 0 và ta có: dz = f x ′ ∆x+ f y ′ ∆y (1.3)
Chứng minh Thật vậy, ta có:
= [f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)−f(x0, y0 + ∆y)] + [f(x0, y0 + ∆y)−f(x0, y0)]. Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm số một biến số, ta được: f(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y)−f(x 0 , y 0 + ∆y) = ∆x.f x ′ (x 0 +θ 1 ∆x, y 0 + ∆y). f(x 0 , y 0 + ∆y)−f(x 0 , y 0 ) = ∆y.f y ′ (x 0 , y 0 +θ 2 ∆y).
Trong đó 0 < θ 1 < 1,0 < θ 2 < 1 Nhưng vì f x ′ và f y ′ liên tục tại M 0 nên: f x ′ (x 0 + θ 1 ∆x, y 0 + ∆y) =f x ′ (x 0 , y 0 ) +α, f y ′ (x 0 , y 0 +θ 2 y) = f ′ (x 0 , y 0 ) + β.
Trong đó α →0, β → 0 khi ∆x → 0,∆y → 0 Do đó:
∆f = f x ′ (x0, y0).∆x+ f y ′ (x0, y0)∆y+ α∆x+ β∆y.Chú thích Cũng như đối với hàm số một biến số, nếu x, y là biến số độc lập thì dx= ∆x, dy = ∆y, do đó: dz = f x ′ dx+f y ′ dy.
Vi phân toàn phần df chỉ khác số gia toàn phần ∆f một lượng rất nhỏ, được xác định bởi ρ = p∆x² + ∆y² Khi ∆x và ∆y có giá trị tuyệt đối nhỏ, ta có thể coi ∆f ≈ df, dẫn đến công thức f(x₀ + ∆x, y₀ + ∆y) ≈ f(x₀, y₀) + f_x′(x₀, y₀)∆x + f_y′(x₀, y₀)∆y.
Ví dụ 1.2.3 Tính gần đúng arctan1,08
Xét hàm số z = arctan y x Ta cần tính z(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) với x 0 = 1, y 0 = 1,∆x = −0,15,∆y = 0,08.
Ta có: z x ′ = −y x 2 + y 2 , z y ′ = x x 2 +y 2 Theo công thức (1.4) ta có: z(1−0,15; 1 + 0.08) ≈z(1,1) + 1.0,15 + 1.0,08
Ví dụ 1.2.4 Tính gần đúng re+ 0,1 e−0,2. Xét hàm số z ry x Ta cần tính z(x0 + ∆x, y0 + ∆y) với x0 = e, y0 = e,∆x = −0,2,∆y = 0,1.
√xy 2x 2 , z y ′ √xy 2xy Theo công thức (1.4) ta có: z(e−0.2, e+ 0,1) ≈z(e, e) + e.0,2 +e.0,1
Đạo hàm của hàm số hợp
D là một tập hợp trong R n Xét hai ánh xạ φ : D → R m , f : φ(D) →R. Ánh xạ tích f ◦φ : xác định bởi: f ◦φ:(x 1 , , x n ) ∈ D −→ φ (u 1 (x 1 , , x n ), , u m (x 1 , , x n )) ∈ φ(D)
→ f(u 1 (x 1 , , x n ), , u m (x 1 , , x n )) ∈ R. được gọi là hàm số hợp của các biến số x1, , xn qua các biến số trung gian u 1 , , u m Để đơn giản, ta xét trường hợp n = m = 2. Đặt F = f ◦φ, ta có:
Nếu f có các đạo hàm riêng ∂f
∂v liên tục trong φ(D) và nếu u, v có các đạo hàm riêng ∂u
∂y trong D thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng ∂F
Chứng minh Giả sử (x0, y0) ∈ D,(x0 +h, y0) ∈ D. Đặt δ = F(x 0 + h, y 0 )−F(x 0 , y 0 )
∂v liên tục trong ∆ nên công thức số gia giới nội áp dụng vào f(u1, v1)−f(u0, v1) và f(u0, v1)−f(u0, v0) cho ta: δ h = ∂f
∂v(u 0 , v 2 ).v 1 −v 0 h ,trong đó u 2 = u 0 +θ 1 (u 1 −u 0 ), v 2 = v 0 +θ 2 (u 0 , v 2 ),0 < θ 1 < 1,0< θ 2 < 1.Cho h →0, ta được: limh→0 δ h = ∂F
∂x(x0, y0). đó là đẳng thức đầu của (1.5) Đẳng thức thứ hai của (1.5) được chứng minh tương tự.
Các công thức (1.5) ta có thể viết dưới dạng ma trận:
Ma trận Jacobi của ánh xạ φ, hay ma trận Jacobi của các hàm u, v đối với các biến x, y, được xác định để phân tích sự biến thiên của các hàm này Định thức của ma trận Jacobi được gọi là định thức Jacobi của u, v đối với x, y, và được ký hiệu là D(u, v).
D(x, y). Trong tính toán, người ta không phân biệt f và F, chúng lấy cùng giá trị tại những điểm tương ứng (u, v) và (x, y) Có thể viết:
Ví dụ 1.2.5 Cho z = e u lnv, u = x 2 + y 2 , v = 4xy, ta có:
Ví dụ 1.2.6 Cho z = u 2 cosv, u = 3xyz, v = x 4 +y 4 + 2z 4 , ta có:
Chú thích Nếu z = f(x, y), y = y(x) thì z là hàm số hợp của x, z f(x, y(x)) Khi đó ta có: dz dx = ∂f
∂yy ′ (x). Nếu z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua hai biến trung gian x, y Khi đó ta có: dz dt = ∂f
Chú thích.Nếu giả thiết thêm rằng ∂u
∂y liên tục thì từ (1.5) suy ra rằng ∂f
∂y liên tục, do đóz xem như hàm số của x, y là khả vi và ta có: dz = ∂f
∂ydy. Thế các công thức (1.5) vào, ta có: dz ∂f
Vi phân toàn phần của hàm số z = f(u, v) giữ nguyên dạng thức, bất kể u và v là các biến số độc lập hay là các hàm số phụ thuộc vào các biến số độc lập khác.
Do đó vi phân toàn phần của hàm số nhiều biến cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm số một biến số.
Các công thức: d(u±v) =du±dv, d(uv) =udv +vdu, d u v
= vduưudv v 2 „ đúng khi u, v là các biến số độc lập nên cũng đúng khi u, v là những hàm số của các biến số khác.
Đạo hàm và vi phân cấp cao
Cho hàm số z = f(x, y), các đạo hàm riêng f_x' và f_y' được gọi là đạo hàm riêng cấp một Nếu các đạo hàm riêng cấp một này tồn tại, chúng có thể có các đạo hàm riêng cấp hai Tổng cộng, có bốn đạo hàm riêng được ký hiệu tương ứng.
Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba,
Ví dụ 1.2.7 z = 3x 2 y 4 +x 3 z x ′ = 6xy 4 + 3x 2 z ′ y = 12x 2 y 3 z x ′′ 2 = 6y 4 + 6x z y ′′ 2 = 36x 2 y 2 z xy ′′ = 24xy 3 z yx ′′ = 72xy 3 Định lý 1.2.3 (Schwarz) (Xem trong [5])
Nếu trong một lân cận của điểm M0 (x0, y0), hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy'' và fyx'' và các đạo hàm này liên tục tại M0, thì ta có fxy'' = fyx'' tại M0.
Chứng minh Giả sử h, k là những số đủ nhỏ, khác 0 sao cho các điểm (x 0 +h, y 0 ),(x 0 , y 0 +k),(x 0 + h, y 0 + k) thuộc miền U Tính biểu thức
∆ = [f(x 0 +h, y 0 +k)−f(x 0 , y 0 +k)]−[f(x 0 +h, y 0 )−f(x 0 , y 0 )] theo hai các khác nhau Trước hết đặt: φ(y) =f(x 0 +h, y 0 )−f(x 0 , y 0 ).
∆ = φ(y 0 + k)−φ(y 0 ). Theo công thức số gia giới nội, ta được:
∆ = kφ ′ (y 0 +θ 1 k), trong đó 0< θ1 < 1, nhưng: φ ′ (y) =f y ′ (x 0 +h, y 0 )−f y ′ (x 0 , y), vì vậy ∆ = k f y ′ (x0 +h, y0 +θ1k)−f y ′ (x0, y0 +θ1k) Lại áp dụng công thức số gia giới nội đối với biến x ở vế phải , ta được:
∆ = khf yx ′′ (x 0 +θ 2 h, y 0 +θ 1 k). trong đó 0< θ 2 < 1 Ta viết lại:
Cũng như lập luận ở trên, tồn tại hai số θ 3 , θ 4 ,0 < θ 3 < 1,0 < θ 4 < 1, sao cho ∆ = hφ(x 0 +θ 3 h) = h[f x ′ (x 0 +θ 3 h, y 0 +k)−f x ′ (x 0 + θ 3 h, y 0 )]
So sánh hai kết quả tính toán, ta có f yx ′′ (x 0 + θ 2 h, y 0 + θ 1 k) = f xy ′′ (x 0 +θ 3 h, y 0 +θ 4 k) Khi h và k tiến gần về 0, nhờ giả thiết liên tục của f yx ′′ và f xy ′′ tại M 0, ta suy ra f yx ′′ (x 0 , y 0 ) = f xy ′′ (x 0 , y 0 ) Định lý này cũng áp dụng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của hàm số nhiều biến với n ≥ 3 Ví dụ, nếu u = f(xy, z), thì các đạo hàm u ′′′ xyz, u ′′′ yzx, u ′′′ zxy, u ′′′ xzy sẽ bằng nhau nếu các đạo hàm này liên tục Xét hàm số z = f(x, y), vi phân toàn phần của nó được biểu diễn là dz = f x ′ dx + f y ′ dy.
Nếu hàm số z tồn tại, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng hàm số của x và y Vi phân toàn phần của dz, nếu có, sẽ là vi phân toàn phần cấp hai của z, ký hiệu là d²z Cụ thể, d²z được tính bằng cách lấy vi phân của dz, tức là d(fx' dx + fy' dy).
Cứ tiếp tục như vậy người ta định nghĩa các vi phân cấp cao hơn: d 3 z = d(d 2 z) d n z = d(d n−1 z).
Giả sử x và y là các biến số độc lập, khi đó dx = ∆x và dy = ∆y, đây là những hằng số không phụ thuộc vào x và y Nếu d²z tồn tại, ta có công thức: d²z = d(dz) = (f'x dx + f'y dy)'x dx + (f'x dx + f'y dy)'y dy.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét công thức d²z = f_x'' 2dx² + 2f_xy'' dxdy + f_y'' 2dy², với giả thiết rằng f''_xy và f''_yx liên tục và bằng nhau Điều này cho phép chúng ta biểu diễn biến thiên bậc hai của hàm số z theo các đạo hàm bậc hai của f Kí hiệu d²z thường được sử dụng để đại diện cho sự biến đổi này trong toán học.
2 f, (1.6) trong đó các bình phương của ∂
∂y chỉ là phép lấy đạo hàm riêng hai lần đối với x, hai lần đối với y, ∂ 2
∂x∂y chỉ phép lấy đạo hàm riêng một lần đối với y, một lần đối với x.
Tiếp tục tính toán như vậy, ta được công thức lũy thừa tượng trưng d n z ∂
Giả sử x và y là các hàm số phụ thuộc vào các biến độc lập s và t, thì dx và dy không còn là hằng số mà trở thành các đại lượng phụ thuộc vào s và t Do đó, công thức cho đạo hàm bậc hai của z được biểu diễn như sau: d²z = d(dz) = d(fx' dx + fy' dy).
= f x ′′ 2dx 2 + 2f xy ′′ dxdy +f y ′′ 2dy 2 +f x ′ dx 2 +f y ′ dy 2
Trong trường hợp này, công thức (1.6) không còn chính xác Vi phân toàn phần cấp lớn hơn hoặc bằng hai của hàm số nhiều biến không có dạng bất biến.
Ví dụ 1.2.8 Tìm vi phân cấp hai của hàm z = e x 2 +y 2 tại điểm M(1; 1). Đạo hàm riêng cấp một: f x ′ (x, y) = 2x.e x 2 +y 2 f y ′ (x, y) = 2y.e x 2 +y 2 Đạo hàm riêng cấp hai: f x ′′ 2(x, y) = 2.e x 2 +y 2 + 4x 2 e x 2 +y 2 ⇒f x ′′
2(1,1) = 6e 2 f xy ′′ (x, y) = 4xy.e x 2 +y 2 ⇒ f xy ′′ (1,1) = 4e 2 f y ′′ 2(x, y) = 2.e x 2 +y 2 + 4y 2 e x 2 +y 2 ⇒f y ′′ 2 (1,1) = 6e 2 Thay vào công thức (1.6) ta thu được kết quả:
Đạo hàm theo hướng Građiên
Cho u(x, y, z) là một hàm số xác định trong một miền D ⊂R 3 Qua điểm
M0(x0, y0, z0) ∈ D vẽ một đường thẳng định hướng mà vectơ là −→ i ;M là một điểm trên đường thẳng ấy, ta có −−−→
M 0 M = ρ−→ i , trong đó ρ là độ dài đại số của vectơ −−−→
M 0 M Nếu khi ρ → 0 (tức là M dần tới M 0 theo hướng −→ i ), tỉ số
∆u ρ = u(M)−u(M 0 ) ρ dần tới một giới hạn hữu hạn thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm số u theo hướng −→ i tại M 0 và được kí hiệu là ∂u
Nếu −→ i trùng với vectơ đơn vị −→ i của trục Ox thì:
∂x chính là đạo hàm của u theo hướng của trục Ox.
∂z là đạo hàm của u theo hướng Oy, Oz. Đạo hàm của hàm số u theo hướng −→ i biểu thị tốc độ biến thiên của u theo hướng −→ i Định lý 1.2.4 (Xem trong [5])
Nếu hàm số u = u(x, y, z) khả vi tại điểm M0(x0, y0, z0) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi hướng −→ i và ta có:
∂z cosγ, (1.8) trong đó cosα,cosβ,cosγ là các thành phần của −→ i Chứng minh Vì u(x, y, z) khả vi tại M, nên:
∂z(M 0 )∆z +α(ρ), trong đó α(ρ) là vô cùng bé bậc cao đối với ρ, vì:
Khi ρ tiến tới 0, ta nhận được (1.8) Hàm số u(x, y, z) có các đạo hàm riêng tại điểm M 0 (x 0, y 0, z 0) Građiên của u tại M 0 được định nghĩa là vectơ có các thành phần tương ứng.
∂x(M0). và kí hiệu nó là −−→ grad u(M 0 ) Nếu −→ i ,−→ j ,−→ k là các vectơ đơn vị của trục
Ox, Oy, Oz, ta có:
Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại M 0 thì tại đó ta có:
Thật vậy, vì −→ l = cosα−→ i + cosβ−→ j + cosγ−→ k , nên công thức (1.8) có thể viết là:
= −−→ grad u(M 0 ) = |−→ l |.ch − → l −−→ grad u(M 0 ) =ch − → l −−→ grad u(M 0 ).
Chú thích Từ (1.10) suy ra rằng
∂−→ l đạt giá trị lớn nhất bằng
Khi −→ l đồng phương với −−→ grad u Vậy −−→ grad u(M 0 ) cho ta biết phương theo nó tốc độ biến thiên của u tại M0 có giá trị tuyệt đối cực đại.
Ví dụ 1.2.9.Cho u= x 2 +y 2 +z 2 −4xyz Tính−−→ grad u và ∂u
∂−→ l tạiM 0 (1,1,1) biết −→ l là vectơ đơn vị của −−−→
Ta có: u x = 2x−4yz, u y = 2y−4zx, u z = 2z−4xy.
M 0 M 1 có các thành phần là {1,0,−2} nên: cosα = 1
Ví dụ 1.2.10 Cho u = x 4 + y 4 + z 4 + xyz Tính −−→ grad u và ∂u
M 0 (1,−1,0) biết −→ l là vectơ đơn vị của −−−→
Ta có: u x = 4x 3 +yz, u y = 4y 3 +zx, u z = 4z 3 +xy.
M 0 M 1 có các thành phần là {−2,−2,1} nên: cosα = −2
Công thức Taylor
Giả sử hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp (n+1) trong lân cận của điểm M0(x0, y0) Nếu điểm M0(x0 + ∆x, y0 + ∆y) cũng nằm trong lân cận này, ta có thể biểu diễn sự thay đổi của hàm số như sau: f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0) = df(x0, y0) + 1.
Công thức (1.11) được gọi là công thức Taylor đối với hàm số f(x, y).
Vế trái của (1.11) được xác định là F(1)−F(0) Do hàm f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp (n+ 1), nên hàm F(t) cũng có các đạo hàm liên tục đến cấp (n+ 1) trong khoảng [0,1] Áp dụng công thức Taylor cho hàm F(t) sẽ cho chúng ta kết quả cần thiết.
Thế các đẳng thức này vào (1.12) ta được (1.11).
Dùng công thức lũy thừa tượng trưng để biểu diễn vi phân cấp cao ta có thể viết công thức Taylor (1.11) như sau: f(M)−f(M 0 ) n
(1.13) với M1 nằm trên đoạn thẳng nối M0 với M.
Ví dụ 1.2.11 Khai triển hàm số f(x, y) = 2x 3 + 3x 2 − y 3 + 2y −4 theo công thức Taylor ở lân cận điểm (1,1). f(x, y) =f(1,1) +df(1,1) + d 2 f(1,1)
Cực trị
Cực trị của hàm số hai biến
Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D, điểm M 0 (x 0 , y 0 ) được coi là cực trị của f(x, y) nếu hiệu số f(M)−f(M 0 ) có dấu không đổi với mọi điểm M trong lân cận của M 0, ngoại trừ M 0.
Nếu f(M) −f(M0) > 0, ta có cực tiểu; nếu f(M) −f(M0) < 0, ta có cực đại.
Ta sử dụng các kí hiệu sau đây: p = f x ′ (M), q = f y ′ (M), r = f x ′′ 2(M), s = f xy ′′ (M), t = f y ′′ 2(M). Định lý 1.3.1 (Xem trong [5])
Nếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M 0 mà tại đó các đạo hàm riêng p= f x ′ (M), q = f y ′ (M) tồn tại thì các đạo hàm riêng ấy thì bằng không: p = 0, q = 0 tại M0 (1.14)
Khi hàm số f đạt cực trị tại M0, nếu giữ y = y0, hàm số một biến x 7→ f(x, y0) cũng đạt cực trị tại x = x0, do đó đạo hàm riêng f x ′ (x0, y0) phải bằng không theo định lý Fermat Tương tự, f ′ (x 0 , y 0 ) cũng bằng 0 Điều kiện (1.14) là điều kiện cần thiết để xác định cực trị, giúp thu hẹp việc tìm kiếm cực trị tại những điểm mà cả p và q đều triệt tiêu hoặc tại những điểm mà p và q không tồn tại, được gọi là điểm tới hạn.
Giả sử hàm số z = f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của M 0 (x 0 , y 0 ) Giả sử tại M 0 ta có p = 0, q = 0. Khi đó tại M0:
1 Nếu s 2 −rt < 0 thì f(x, y) đạt cực trị tại M 0 Đó là cực tiểu nếu r > 0, là cực đại nếu r < 0.
2 Nếu s 2 −rt > 0 thì f(x, y) không đạt cực trị tại M 0
3 Nếu s 2 −rt = 0 thì f(x, y) có thể đạt cực trị tại M 0 Cũng có thể không đạt cực trị tại M 0 (trường hợp nghi ngờ).
Chứng minh Giả sử điểm M(x 0 + h, y 0 + k) ở lân cận M 0 Đặt ∆ =f(M)−f(M 0 ) Theo công thức Taylor, ta có:
2(rh 2 + 2shk+tk 2 ) +R(h, k), (1.15) trong đó R(h, k) là một vô cùng bé bậc ba đối với ρ = √ h 2 +k 2 Do đó khi h và k khá nhỏ thì ∆ thì cùng dấu với g(h, k) = rh 2 + 2shk +tk 2
Nếu k ̸= 0, g(h, k) =k 2 (ru 2 + 2su+t), trong đó u= h k. Giả sử s 2 −rt < 0, tam thức bậc hai ru 2 + 2su+ t luôn cùng dấu với r,
∆ cũng cùng dấu với r Còn nếu k = 0 thì g(h, k) = rh 2 , nó luôn cùng dấu với r (r ̸= 0, vì s 2 −rt < 0).
Giả sử s 2 −rt > 0, tam thức ru 2 + 2su+ t đổi dấu khi u biến thiên, do đó ∆ cũng đổi dấu, f không đạt cực trị tại M 0
Giả sử s^2 - rt = 0, thì tam thức ru^2 + 2su + t có một nghiệm kép u_0 Nếu h_k = u_0, thì dấu của ∆ sẽ tương ứng với dấu của một số rất nhỏ bậc ba R(h, k) theo công thức (1.15) Phần này sẽ không được xem xét thêm.
Ví dụ 1.3.1 Tìm cực trị của hàm số z = x 3 −2y 3 −12x+ 6y.
Khi đó p = 0, q = 0 thì x = ±2, y = ±1 Vậy ta có bốn điểm tới hạn là
Tại M 1 ta có r = 12, s = 0, t = −12, s 2 −rt = 144 > 0, M 1 không phải là điểm cực trị.
Tại M 2 ta có r = −12, s = 0, t = −12, s 2 −rt = −144 < 0, do đó M 2 là điểm cực đại.
Tại M 3 ta có r = 12, s = 0, t = 12, s 2 − rt = −144 < 0, do đó M 3 là điểm cực tiểu.
Tại M 4 ta có r = −12, s = 0, t = 12, s 2 −rt = 144 > 0, do đó M 4 không phải là điểm cực trị.
Ví dụ 1.3.2 Tìm cực trị của hàm số z = 1
Ta có: p = 2x 3 −2x, q = 3y 2 −12y, r = 6x 2 −2, s = 0, t = 6y −12. Khi đó p = 0, q = 0 thì x = 0, x = ±1, y = 0, y = 4 Vậy ta có sáu điểm tới hạn là M1(0,0), M2(0,4), M3(1,0), M4(1,4), M5(−1,0) và M6(−1,4). Tại M 1 ta có r = −2, s = 0, t = −12, s 2 −rt = −24 < 0, do đó M 1 là điểm cực đại.
Tại M 2 ta có r = −2, s = 0, t = 12, s 2 −rt = 24 > 0, do đó M 2 không phải là điểm cực trị.
Tại M 3 ta có r = 4, s = 0, t = −12, s 2 −rt = 48 > 0, do đó M 3 không phải là điểm cực trị.
Tại M 4 ta có r = 4, s = 0, t = 12, s 2 −rt = −48 < 0, do đó M 4 là điểm cực tiểu.
Tại M5 ta có r = 4, s = 0, t = −12, s 2 −rt = 48 > 0, do đó M5 không phải là điểm cực trị.
Tại M 6 ta có r = 4, s = 0, t = 12, s 2 −rt = −48 < 0, do đó M 6 là điểm cực tiểu.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số
trong một miền đóng bị chặn
Mọi hàm số nhiều biến số liên tục trong miền đóng và bị chặn D đều đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại một điểm trong miền D, điểm đó phải là điểm cực trị và cũng là điểm tới hạn Ngoài ra, hàm số có thể đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên biên của miền D Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong miền đóng D, ta cần xác định các điểm tới hạn trong D, tính giá trị hàm số tại những điểm này và so sánh với các giá trị trên biên của D.
Ví dụ 1.3.3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: z = x 4 −8x 2 + 4y 4 −2y 2 + 1.
Trong miền tròn đóng D xác định bởi x 2 +y 2 ≤ 1.
Rõ ràng z liên tục với mọi x, y nên nó đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên miền D Ta có: p = 4x 3 −16x q = 16y 3 −4y.
2 Vì x 2 +y 2 ≤ 1 nên ta có ba điểm tới hạn là gốc O, A
Tính giá trị của z tại các điểm ấy, ta được: z(O) = 1, z(A) = z(B) = 3
4. Bây giờ ta xét các giá trị của z trên biên của miền D Trên biên ấy, x 2 +y 2 = 1, vậy y 2 = 1−x 2 , do đó: z = x 4 −8x 2 + 4(1−x 2 ) 2 −2(1−x 2 ) + 1
Ta phải tìm giá trị của hàm số ấy ấy với −1 ≤x ≤ 1.
Hàm số ấy đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = 0 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng −6 khi x = ±1.
Hàm số z đạt giá trị lớn nhất M = 3 tại điểm (0,1) và giá trị nhỏ nhất m = −6 tại các điểm khác.
CHƯƠNG2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI
Phép tính vi phân có ứng dụng rộng rãi trong toán học và thực tiễn, đặc biệt trong việc giải quyết các bài toán tối ưu trong kinh tế, tìm tiếp tuyến và chiều dài đường cong, cũng như xác định gia tốc và vận tốc tại các điểm tức thời trong vật lý Trong bài viết này, tôi sẽ tập trung vào ứng dụng của phép tính vi phân trong việc tính gần đúng và tìm cực trị.
2.1 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng
Ví dụ 2.1.1 Tính gần đúng
0,97 2 Xét hàm số z √x y 2 Ta cần tính z(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) với x 0 = 1, y 0 = 1,
2y 2 √ x, z ′ y = −2√ x y 3 Theo công thức (1.4) ta có: z(1 + 0,05; 1−0.03) ≈ z(1,1) +z x ′ (1,1).∆x+z y ′ (1,1).∆y
Ví dụ 2.1.2 Tính gần đúng p
2,98 3 + 3,07 3 Xét hàm số z = px 3 + y 3 Ta cần tính z(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) với x 0 = 3, y 0 = 3,∆x = −0,02,∆y = 0,07.
2px 3 +y 3 Theo công thức (1.4) ta có: z(3−0,02; 3 + 0.07) ≈ z(3,3) +z x ′ (3,3).∆x+z ′ y (3,3).∆y
Ví dụ 2.1.3 Tính gần đúng giá trị của biểu thức:
3p 3 (x 3 + 2y 2 −8) 2 Theo công thức (1.4) ta có: z(2 + 0,05; 2−0.02) ≈ z(2,2) +z x ′ (2,2).∆x+z y ′ (2,2).∆y
Ví dụ 2.1.4 Một khối trụ bằng kim loại có chiều cao h = 30cm và bán kính đáy r = 5cm Khi nóng lên h và r nở thêm các đoạn ∆h = 0,2cm và
∆r = 0,1cm Hãy tính gần đúng thể tích khối trụ khi nóng lên.
Khi khối trụ nóng lên, chiều cao của khối trụ là 30,2cm và bán kính đáy là
Ta có: V h ′ = πr 2 , V r ′ = 2πrh Theo công thức (1.4) ta có:
Ví dụ 2.1.5 Tính gần đúng giá trị của biểu thức:
Xét hàm số f(x, y) = sinx.cosy.
Ta có: z x ′ = cosx.cosy, z y ′ = −sinx.siny Theo công thức (1.4) ta có: z(30 o + 2 o ; 60 o −1 o ) ≈ z(30 o ,60 o ) +z x ′ (30 o ,60 o ).∆x+z y ′ (30 o ,60 o ).∆y
Ví dụ 2.1.6 Tính gần đúng giá trị của biểu thức:
(2x 3 −3y 2 + 1) 2 Theo công thức (1.4) ta có: z(4−0,02; 4 + 0,01) ≈ z(4,4) +z x ′ (4,4).∆x+z y ′ (4,4).∆y
2.2 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị
Ví dụ 2.2.1 Tìm cực trị của hàm số z = 4(x−y)−x 2 −y 2
Ta có: p= −2x+ 4, q = −2y−4, r = −2, s = 0, t = −2 Khi đó p = 0, q = 0 thì x = 2, y = −2 Vậy ta có một điểm tới hạn là M(2,−2)
Tại M ta có r = −2, s = 0, t = −2, s 2 −rt = −4< 0, M là điểm cực đại.
Ví dụ 2.2.2 Tìm cực trị của hàm số z = x 3 +y 2 + 12xy + 1.
Vậy ta có hai điểm tới hạn là M 1 (0,0) và M 2 (24,−144).
Tại M1 ta có r = 0, s = 12, t = 2, s 2 −rt= 12 > 0, do đó M1 không phải là điểm cực trị.
Tại M 2 ta có r = 144, s = 12, t = 2, s 2 −rt= −144< 0, do đó M 2 là điểm cực tiểu.
Ví dụ 2.2.3 Tìm cực trị của hàm số: z = x 3 +y 2 + 12xy+ 1.
x = 0, y = 0 x = 24, y = −144. Vậy ta có hai điểm tới hạn là M 1 (0,0) và M 2 (24,−144).
Tại M 1 ta có r = 0, s = 12, t = 2, s 2 −rt= 12 > 0, do đó M 1 không phải là điểm cực trị.
Tại M2 ta có r = 144, s = 12, t = 2, s 2 −rt= −144< 0, do đó M2 là điểm cực tiểu.
Ví dụ 2.2.4 Tìm cực trị của hàm số: z = x 4 + y 4 −2xy−x 2 −y 2 + 2024.
Vậy ta có ba điểm tới hạn là M 1 (0,0), M 2 (1,1) và M 3 (−1,−1).
Tại M 1 ta có r = −2, s = −2, t = −2, s 2 −rt= 0, chưa thể kết luận M 1 Tại M 2 ta có r = 10, s = −2, t = 10, s 2 −rt = −96 < 0, do đó M 2 là điểm cực tiểu.
Tại M 3 ta có r = 10, s = −2, t = 10, s 2 −rt = −96 < 0, do đó M 3 là điểm cực tiểu.
Ví dụ 2.2.5 Tìm cực trị của hàm số: z = x 2 y −(x−1)y 2 −xy + 3.
Ta cần giải hệ phương trình:
3. Vậy ta có bốn điểm tới hạn là M 1 (0,0), M 2 (1,0), M 3 (1,1) và M 4
.Tại M 1 , ta có r = 0, s = −1, t = 2, s 2 −rt = 1> 0, do đó M 1 không phải là điểm cực trị.
Tại M 2 , ta có r = 0, s = 1, t = 2, s 2 −rt = 1 > 0, do đó M 2 không phải là điểm cực trị.
Tại M 3 , ta có r = 2, s = −1, t = 0, s 2 −rt = 1> 0, do đó M 3 không phải là điểm cực trị.
9 < 0, do đó M 4 là điểm cực tiểu.
Ví dụ 2.2.6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: z = x 2 −y 2
Trong miền tròn đóng D xác định bởi x 2 + y 2 ≤ 4.
Rõ ràng z liên tục với mọi x, y nên nó đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên miền D Ta có p = 2x, q = −2y.
Vậy ta có một điểm tới hạn là gốc O(0,0).
Tính giá trị của z tại điểm ấy, ta được: z(O) = 0.
Bây giờ ta xét các giá trị của z trên biên của miềnD Trên biên ấy, x 2 +y 2 4, vậy y 2 = 4−x 2 , do đó: z = x 2 −(4−x 2 ) = 2x 2 −4
Ta phải tìm giá trị của hàm số ấy ấy với −2≤ x ≤ 2.
Hàm số ấy đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = ±2 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng −4 khi x = 0.
Giá trị lớn nhất của hàm số z = x 2 −y 2 trên miền đóng x 2 +y 2 ≤ 4 là 4 tại hai điểm (−2,0) và (2,0).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số z = x 2 −y 2 trên miền đóng x 2 +y 2 ≤ 4 là −4 tại gốc O(0,0).
Ví dụ 2.2.7 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: z = (x 2 +y 2 )e 2x 2 +3y 2
Trong miền tròn đóng D xác định bởi x 2 + y 2 ≤ 1.
Rõ ràng z liên tục với mọi x, y nên nó đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên miền D.
Ta có: p= 2xe 2x 2 +3y 2 + (x 2 +y 2 )e 2x 2 +3y 2 4x = 2x(1 + 2x 2 + 2y 2 )e 2x 2 +3y 2 q = 2ye 2x 2 +3y 2 + (x 2 +y 2 )e 2x 2 +3y 2 4y = 2y(1 + 2x 2 + 2y 2 )e 2x 2 +3y 2 Cho p = 0, q = 0 ta được x = 0, y = 0.
Vậy ta có một điểm tới hạn là gốc O(0,0).
Tính giá trị của z tại điểm ấy, ta được: z(O) = 0.
Bây giờ ta xét các giá trị của z trên biên của miềnD Trên biên ấy, x 2 +y 2 1, vậy y 2 = 1−x 2 , do đó: z = e 2x 2 +3−3x 2 = e 3−x 2
Ta phải tìm giá trị của hàm số ấy ấy với −1≤ x ≤ 1.
Hàm số ấy đạt giá trị lớn nhất bằnge 3 khi x = 0 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng e 2 khi x = ±1.
Giá trị lớn nhất của hàm số z = (x 2 +y 2 )e 2x 2 +3y 2 trên miền đóng x 2 +y 2 ≤1 là e 3 tại hai điểm (0,1) và (0,−1).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số z = (x 2 +y 2 )e 2x 2 +3y 2 trên miền đóng x 2 +y 2 ≤1 là 0 tại gốc O(0,0).
2.3 Ứng dụng trong kinh tế
Trong lĩnh vực kinh tế, việc xác định trị số tối ưu của các chỉ tiêu như năng suất, lợi nhuận hay chi phí là rất quan trọng Bài toán này thường liên quan đến việc tìm cực tiểu hoặc cực đại của hàm mục tiêu z = f(M) trong một không gian nhất định Khoá luận này sẽ tập trung vào ứng dụng của cực trị không có điều kiện của hàm hai biến số trong các bài toán kinh tế, đặc biệt là trong việc tối đa hoá lợi nhuận cho doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo.
Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm, được ký hiệu là Q1 và Q2, tương ứng với số lượng của mặt hàng thứ nhất và thứ hai Đơn giá cho hai mặt hàng này lần lượt là P1 và P2.
P 1 = 300;P 2 = 400 và hàm tổng chi phí là:
Tìm Q1 và Q2 để lợi nhuận của công ty là tối đa?
Ta có hàm lợi nhuận của công ty là:
Ta có một điểm tới hạn là M(149,99).
Vậy với Q 1 = 149, Q 2 = 99 thì lợi nhuận của công ty đạt được tối đa và bằng
Ví dụ 2.3.2 (Xem trong [3] và [5])
Giả sử một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và phân phối tại hai thị trường khác nhau Đơn giá bán ở thị trường 1 là P1, trong khi đơn giá bán tại thị trường 2 là P2.
Tổng chi phí được xác định bởi công thức C = C(Q) + tq², trong đó Q là tổng lượng hàng bán (Q = q₁ + q₂), với q₁ và q₂ lần lượt là lượng hàng bán tại thị trường 1 và 2 Chi phí tăng thêm trên mỗi đơn vị sản phẩm ở thị trường 2 được ký hiệu là t Mục tiêu là tìm giá trị tối ưu cho q₁ và q₂ nhằm tối đa hóa tổng lợi nhuận của công ty.
Ta có hàm lợi nhuận là:
Ta có một điểm tới hạn là M(350,200).
Vậy với q 1 = 350, q 2 = 200 thì lợi nhuận của công ty đạt được tối đa và bằng
Ví dụ 2.3.3 (Xem trong [3] và [5])
Một công ty sản xuất độc quyền một sản phẩm duy nhất và phân phối nó tại hai thị trường riêng biệt Các hàm cầu trên hai thị trường này được xác định lần lượt, cho thấy sự khác biệt trong nhu cầu và giá cả giữa hai khu vực tiêu thụ.
2 , biết hàm tổng chi phí là C = Q 2 1 +Q 2 2 + 2Q 1 Q 2 + 5.
Tìm sản lượng Q 1 , Q 2 mà công ty cung cấp cho thị trường sao cho thu được lợi nhuận cao nhất?
Ta có hàm lợi nhuận là:
Ta có một điểm tới hạn là M(2,1).
Vậy với Q 1 = 2, Q 2 = 1 thì lợi nhuận của công ty đạt được tối đa và bằng
Khóa luận đã đạt được các mục tiêu đề ra, tập trung vào việc nghiên cứu ứng dụng của phép tính vi phân trong việc tính gần đúng và xác định cực trị của hàm số hai biến Kết quả thu được từ nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực toán học và ứng dụng thực tiễn.
• Trình bày tổng quan được các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân hàm nhiều biến.
• Giới thiệu được các kiến thức về cực trị của hàm số hai biến.
• Đưa ra được các bài tập ứng dụng phép tính vi phân để tính gần đúng và tìm cực trị của hàm số hai biến:
- Cực trị của hàm số hai biến.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền đóng bị chặn.
- Ứng dụng trong kinh tế.
Khóa luận này hy vọng sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, hỗ trợ quá trình học tập và nghiên cứu các bài toán tìm cực trị của hàm số hai biến một cách thuận lợi.