Giáo trình giải tích ii + iii phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến (in lần thứ ba) phần 1

T R Â N P C Ủ H A É P V À H T Í N B Ì N H H V T Í À M I P m N H I H Â N I Ế i Ề U B NHÀ XUẤT BẢN KHOA H Ọ C VÀ KỸ THUẬT N TRẦN BÌNH G I A I T Í C H l i + H I PHÉP TÍNH VI PHÂN & TÍCH PHÂN CÙA HÀM NHIỀU BIẾN Dùng cho sinh (Cao đẳng, viên kỹ thuật đại học, sau đại (In lần thứ ba có sửa chữa học) bổ sung) NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT HÀ NỘI Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI GIỚI THIỆU Trong năm gần u cầu giảng dạy học tập mơn tốn cao cấp trường Đại học kỹ thuật (Cao đẳng, Đại học sau Đại học) ngày cấp bách số lượng chất lượng Các sinh viên kỹ thuật cần nhiều giáo trình tốn cao cấp theo hướng đại lý thuyết tập Các thầy giáo cần nhiều giáo trình t h ế để tham khảo, chuẩn bị giảng chọn cho chiến lược giảng dạy thích hợp Trong lúc số lượng giáo trình toán cao cấp dành cho trường kỷ thuật đếm đầu ngón tay Nhiều giáo trình toán cao cấp xuất bàn chưa đạt trình độ cao, sâu sắc, đáp ứng yêu cầu học toán dạy toán cho kỹ sư thịi đại khoa học kỹ thuật thơng tin phát triển bùng nổ Giáo trình tác giả đời đáp ứng nhiều nhu cầu cấp bách mặt giáo trình tốn cao cấp cho sinh viên trường Đại học kỹ thuật (Cao đẳng, Đại học sau Đại học), v ề tồn cục nội dung giáo trình bao gồm vấn đề quan trọng toán học cao cấp cần thiết cho kỹ SƯ: sở quan trọng phép tính vi phân hàm biến hàm nhiều biến, định lý phương pháp bàn cùa phép tính tích phân hàm biến hàm nhiều biến, sở giải tích vecteur, hình học vi phân, lý thuyết phương trình vi phân, chuỗi hàm, chuỗi Fourier tích phân Fourier Các thông tin đề cập đến vấn để tác giả bản, đảm bảo tính xác nội dung tốn học Các chứng minh đưa ngắn gọn, chặt chẽ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặc biệt phần đề cập đến lý thuyết hàm nhiều biến vấn đe tinh t ế giải tích tốn học, nhiều tình xảy phức tạp nhiều Topo nhiều chiều so với Topo chiều Do năm vững kiến thức cùa giải tích tốn học dựa kinh nghiệm giảng dạy toán học cho trường Đại học kỹ thuật nước nhiêu năm qua, tác già trình bày tồn giáo trình nói riêng nội dung cua phần đầy đù đại (ví dụ phần đề cập đến cực trị cùa hàm nhiều biến, tác già sử dụng nhuần nhuyễn cấc định lý vê dạng toàn phương để chứng minh điểu kiện đù cực trị) Giáo trình viết cách sáng sủa chặt chẽ theo dây chuyền tư logique, hai yếu t ố khó đề cập đến vấn đề tốn học Thơng thường để vấn đề đặt đảm bảo tính chặt chẽ xác cùa tốn học người đọc r ấ t khó hiểu, phải có khả tư tốt, nói cách khác thói quen tư tốn học Ỏ tác giả kết hợp hai điều nói trên: khơng xác mà đảm bào tính dễ hiểu cho sinh viên (ví dụ phần xây dựng hệ tiên đề số thực, phần tích phân phụ thuộc tham số, tích phân suy rộng ) Giáo trình để cập đến số vấn đề đại toán học mà trước giáo trình tốn cao cấp đề cập tói khái niệm khơng gian métrique, hội tụ đều, chuỗi Fourier tổng quát, Ngoài tác giả đưa vào bổ sung cần thiết cho người kỹ sư phần: toán tử Laplace giải phương trình vi phân, tốn cùa vật lý tốn học (truyền nhiệt, truyền sóng, ), phần phụ lục cơng thức tốn học Việc mạnh dạn đưa vào giáo trình vấn đề t h ế việc làm r ấ t cần thiết để nâng cao chất lượng đào tạo người kỹ sư, ngày người kỹ sư cần toán học mức độ sâu sắc đ i trình học tập để tiếp cận với công nghệ tin học đại Hà nội, ngày 30 tháng năm 1997 GS TSKII Lê H ù n g Sơn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Trong năm vừa qua, khoa toán trường Đại học Bách khoa Hà Nội nghiên cứu để tài: " Xây dựng nội dung chương trình tốn cao cấp cho ngành kỹ thuật sở trung học, học sinh học tốn theo chương trình (12 năm)" đề chương trình tốn cao cấp theo u cầu Qua giảng dạy mơn giải tích Đại học kỹ thuật nước nhiều năm qua, dựa theo chương trình tốn đề ra, tơi viết giáo trình này, nhằm mục đích giúp sinh viên kỹ thuật có tài liệu tham khảo, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo, để trình độ tốn cùa người kỹ sư ta hoà nhập vào khu vực quốc t ế Trong phần đầu giáo trình, sinh viên học số nội dung ỗ trung học, nên mục đích hệ thống hoa nâng lên mức độ tương đối đại (Phương pháp tiên để số thực) nhằm giúp sinh viên có tư logique chặt chẽ việc học tập toán ngành khác Trong phần sau giáo trình, dựa sở phần đầu trình bày, giáo trình cung cấp kiến thức giải tích từ thấp đến cao phù hợp với yêu cầu người kỹ sư t i tương lai Giáo trình dừng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên kỹ thuật ba đôi tượng: cao đẳng, đại học, sau đại học Giáo trình chia thành hai tập: Tập ì: Phép tính vi phân tích phân hàm biến (Giải tích ì) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Tập li: Phép tính vi phân tích phân cùa hàm nhiều biến Phương trình vi phân lý thuyết chuỗi (Giải tích l i + III) Các phần nâng cao tập khó đểu đánh dấu * (tương ứng vói ba học kỳ đầu khoa học theo chương trình cùa ban hành) Tôi cảm ơn Hội đồng khoa học khoa Toán trường Đại học Bách khoa Hà Nội bạn đồng nghiệp khoa giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi viết giáo trình này, đồng chí Trần Xuân Hiến, Đặng Khải, Lê Hùng Sơn, Dương Quốc Việt, Nguyễn cảnh Lương đọc r ấ t kỹ thào cho nhiều ý kiến quý báu Giáo trình lũy xuất bàn lần hai, khơng tránh khỏi thiếu sót mong bạn đọc cho nhiều ý kiến Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Lời giới thiệu Lời nói đầu Chương 15 Á P DỤNG P H É P T Í N H V I PHÂN VÀO H Ì N H H Ọ C A - Đ Ư Ờ N G CONG PHANG 15 § K h ả o sát sơ 15 1.1 Phương trình đường cong 16 1.2 Tiếp tuyến pháp tuyến 1.3 V i phân cung 18 §2 Độ cong 18 2.1 Định nghĩa 19 2.2 Cơng thức tính độ cong 21 § Đường t r ò n mật tiếp - Bán kính cong t â m cong 21 3.1 Định nghĩa 21 3.2 Cơng thức tính bán kính cong 22 3.3 Toa độ tâm cong 26 §4 Đường túc b ế đường t h â n khai 26 4.1 Định nghĩa 26 4.2 Tính chất 28 § Hình bao họ đường cong 31 5.1 Điểm bất thường đường cong 31 5.2 Hình bao họ đường cong 34 B- ĐƯỜNG TRONG KHƠNG GIAN 39 § Sơ lược giải tích vecteur 39 1.1 Hàm vecteur đ ố i vơ hướng 39 1.2 Đạo hàm hàm vecteur 40 §2 P h n g t r ì n h tiếp tuyến p h p tuyến đường Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 43 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ì Phương trình 2.2 Tiếp tuyến pháp tuyến Tam diện Frénet § Độ cong độ xoàn 3.1 Độ cong 3.2 Độ xoắn c- M Ậ T , TIẾP DIỆN VÀ PHÁP TUYÊN V Ớ I MỘT MẶT § M t cho theo phương t r ì n h khơng giải §2 M t cho theo phương trình tham số Bài tập Hướng dẫn trả lời tập Chương TÍCH PHÂN BỘI A - TÍCH PHÂN KÉP § Khái niệm tổng q u t 1.1 Định nghĩa 1.2 Điều kiện khả tích 1.3 Ý nghĩa hình học học tích phân kép 1.4 Tính chất tích phân kép §2 Cách tính tích phản kép 2.1 Tọa độ Descartes 2.2 Tọa độ độc cực 2.3 Quy tấc tổng quát đ ổ i biến số tích phân kép § Áp dụng tích p h â n kép 3.1 Áp dụng hình học 3.2 Áp dụng học B - TÍCH PHÂN B Ộ I BA § K h i niệm tổng q u t 1.1 Định nghĩa 1.2 Ý nghĩa hình học học tích phân bơi ba §2 Cách tính tích p h â n bội ba 2.1 Tọa độ Descartes 2 Tọa độ cong - quy tắc tổng quát đổi biến số § Áp dụng tích p h â n bội ba Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1 Áp dụng hình học 3.2 Áp dụng học c - TÍCH PHÂN B Ộ I SUY RỘNG § Định nghĩa 1.1 Miền lấy tích phân vơ hạn (khơng bị chặn) 1.2 Hàm dấu tích phân khơng bị chặn §2 Cách tính Bài tập T r ả lời tập 118 120 122 122 124 125 129 138 Chương 10 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM số § Tích phản thường phụ thuộc tham số 149 1.1 Định nghĩa 149 1.2 Định lý §2 Tích p h n suy rộng phụ thuộc tham số 149 153 2.1 Định nghĩa 153 2.2 Tiêu chuẩn 154 2.3 Định lý §3 Hàm Euler 155 158 3.1 Hàm Gamma r 158 3.2 H m B ê t a B 3.3 Liên hệ r B 159 160 3.4 Áp dụng 161 Bài tập T r ả lời tập 162 166 Chương li TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ MẶT A- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG § Tích p h â n đường loại 169 1.1 Định nghĩa 169 1.2 Ý nghĩa học 171 1.3 Cách tính §2 Tích p h â n đường loại hai 171 173 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn a) du =' (3** - 2xy + y ) dx - (x - 2xy + Zy )dy b) du = ) d u = yte-xdy 3x -2xỵ + 3y C 2 (x + y - z ) d » + (jc + y - ) d y + ( x + y + z)ữ o b theo hướng ngược chiều kim đồng hồ 2) Tìm công lực: I ĩ 1= , r = Jx + y +z tác dụng lên chất r điểm khối lượng m chuyển động từ Mịt*!, y Zị) đến Aí (x , y , Zjj) 2 u 2 1) Xác định P(* y), Q(x, y) hai lần khả vi liên tục cho I = ị P(x+a y + $)dx + Q(x+a, y +ệ)dy không phụ thuộc số a, p với c c khép kín tuỹ ý 2) Hàm ị f(x yKydx + x d khả yì vi f(x, y) phải thoa mãn s P v thuộc đường nôi Á, B k h ô n điều kiện để h AB 231 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn *3) Tìm lim — ịFsids; S: diện tích miền D, giới hạn c bao quanh d —»0 s Q điểm (Xo, y ); ả đưịng kính miền D, n pháp tuyến c, F = P ỉ + Õ J khả v i liên tục miền đóng D *4) Dùng cơng thức Green chứng minh: a) li ầudxdy = ị — ds ó côn Q2 =2 _ Au = —7T+—T n(cosa,cosP) vecteur pháp c õx ty du du du „ -— = —cos a + — cos p ôn dx õy ,„ , , f f , ổ u ổu ỠM dư., D ó che õx ty dy c) \UvAu-uAv)dxdy ó = - duJ c ơn t ị(v^-u^Ị-)ds ơn an c Tính tích phân mặt: 1) / = ịị{x +y )dS, s s mặt: X + / + = a 2) J = JJ Jx +y dS, s mặt bên hình nón: z ỉ J! ĩ v2 ,2 S í - £ d a o 3) / = JJ(ry+yz+zx)dS s + = > z - - s phần mặt nón z = ijx +y ĩ bị cắt bối mặt X + y* = 2ox 4) ì = ịị yzdydz + xzdzdx + xydxdy, s s phía ngồi tứ diện x=y = z = 0,x+y + z = a 232 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn x 5) ì =[[ zdxdy , S: phía ngồi mặt — s a y z\_ t r " "T o c ? + t 6) ì = lí x d ^ + y dzd* + z d*cỉ;y 2 z s phía ngồi nửa hình cầu X + y + z = o , z 2 s phía ngồi mặt nón: X + / = , z ắ h *8) F(t) = ịịf(x,y,z)dS (x -^ S:x?+y + z = t với /x*-? z) = ỉ 2 2 z*Jx +y z< v * + / ĩ 1) Tìm toạ độ trọng tâm của: a) Phần mặt đồng chất (Y = 1): az = X + y (0 ú z