Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục O x. 11.[r]
(1)Chuyên đề
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm những
hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số thường gặp
Nguyên hàm những hàm số hợp ∫dx=x+C
∫xαdx=x
α+1
α+1+C(α ≠1)
∫dxx =ln|x|+C(x ≠0)
∫exdx
=ex+C
∫axdx
= a
x
lna+C(0<a ≠1) ∫cos xdx=sinx+C
∫sin xdx=−cosx+C
∫
cos2x dx=tanx+C
∫
sin2x dx=−cotx+C
∫d(ax+b)=1
a(ax+b)+C ∫(ax+b)αdx=1
a
(ax+b)α+1
α+1 +C(α ≠1)
∫dxax+b=1
aln|ax+b|+C(x ≠0) ∫eax+bdx=1
ae ax+b
+C
∫cos(ax+b)dx=1
asin(ax+b)+C ∫sin(ax+b)dx=−1
acos(ax+b)+C ∫cos2(ax1
+b) dx=
1
a tan(ax+b)+C
∫sin2(ax1
+b) dx=−
1
acot(ax+b)+C
∫du=u+C
∫uαdu=u
α+1
α+1+C(α ≠1)
∫duu =ln|u|+C(u ≠0)
∫eudu
=eu+C
∫audx
= a
u
lna+C(0<a ≠1) ∫cos udu=sinu+C
∫sin udu=−cosu+C
∫
cos2u du=tanu+C
∫
sin2udu=−cotu+C
I ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1 Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/ a
f[u(x)]u (x)dx ò
ta thực bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) tính dt =u (x)dx/
Bước 2. Đổi cận: x= Þa t= u(a)= a, x =bÞ t =u(b)= b Bước 3.
b
/ a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ò ò
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx I
x ln x =ò
Giải Đặt
dx t ln x dt
x
= Þ =
2
x= Þe t=1, x =e Þ t =2
2 1
dt
I ln t ln2
t
Þ = ị = =
(2)
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
cosx
I dx
(sin x cosx)
p
=
+ ò
Hướng dẫn:
4
3
0
cosx dx
I dx
(sin x cosx) (tan x 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
Đặt t =tan x +1
ĐS: I
8 =
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
1
dx I
(1 x) 2x =
+ +
ò
Hướng dẫn:
Đặt t = 2x+3
ĐS:
3 I ln
2 =
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3 x
I dx
1 x
-=
+ ò
Hướng dẫn:
Đặt
3 2
2
1
3 x t dt
t
1 x (t 1)
-= Þ
+ L ò +
; đặt t =tanuL
ĐS: I 3
p
= - +
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-=
+ ò
, đặt t = 1+x tính nhanh
2 Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính
( ) b
a
f x dx ∫
ta thực bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) tính dx u t dt/( )
Bước 2. Đổi cận: x a t , x b t
Bước 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
∫ ∫ ∫
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
2
1
I dx
1 x =
-ò
Giải
Đặt x sin t, t 2; dx costdt p p
ộ ự
= ẻ -ờ ỳị =
ë û
1
x t 0, x t
2
p
(3)6
0
cost cost
I dt dt
cost sin t
p p
Þ = =
-ò ò 6
0
dt t
6
p
p p p
= ò = = - =
Vậy I
p =
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
I =ò 4- x dx Hướng dẫn:
Đặt x=2sin t ĐS: I = p
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
dx I
1 x
=
+ ò
Giải Đặt
2
x tan t, t ; dx (tan x 1)dt
2 æ p pữử ỗ
= ẻ -ỗỗố ữữữị = +
ø
x t 0, x t
4 p
= Þ = = Þ =
4
2
0
tan t
I dt dt
4 tan t
p p
+ p
Þ = = =
+
ò ò
Vậy I
p =
Ví dụ 4. Tính tích phân
3
dx I
x 2x
-=
+ +
ò
Hướng dẫn:
3
2
0
dx dx
I
x 2x (x 1)
-
-= =
+ + + +
ò ò
Đặt x+ =1 tan t
ĐS: I 12
p =
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
dx I
4 x
=
-ò
ĐS: I
p =
Ví dụ 6. Tính tích phân
3
dx I
x 2x
-=
+ +
ò
ĐS: I 12
p =
3 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2
0
I cos x sin xdx
p
= ò
(4)Hướng dẫn:
Đặt t =cosx
ĐS: I
15 =
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
I cos xdx
p
= ò
Hướng dẫn:
Đặt t =sin x ĐS:
8 I
15 =
Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn). Tính tích phân
2
4
0
I cos x sin xdx
p
= ò
Giải
2
4 2
0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
p p
= ò = ò
2
2
0
1 (1 cos4x)dx cos2x sin 2xdx
16
p p
= ò - + ò
2
2
0
1 (1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)
16
p p
= ò - + ò
0
x sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
p
ổ ửữ p
ỗ
=ỗỗố - + ÷÷ =
ø .
Vậy I 32
p =
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
dx I
cosx sin x
p
=
+ +
ò
Hướng dẫn:
Đặt
x t tan
2 =
ĐS: I = ln2
Biểu diễn hàm số LG theo tan2 a t
:
2
2 2
2
sin ; cos ; tan
1 1
t t t
a a a
t t t
3.2 Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
xdx I
sin x
p
=
+ ò
Giải
Đặt x= p - tÞ dx= - dt x= Þ0 t = p, x = p Þ t=
( )
0
0
( t)dt t
I dt
sin( t) sin t sin t
p
p
p - p
Þ = - =
-p - + + +
ò ò
0
dt I I dt
sin t sin t
p p
p
= p - Þ =
+ +
(5)( )2 ( )
0
dt dt
t
t t
2 sin cos cos
2
2
p p
p p
= = p
-+
ò ò
t d
2 t
tan
2 cos t 2
2
p p
ổ pữử
ỗ - ữ
ỗ ữữ
ỗ ổ
ố ứ
p p ỗ pữ
= = ỗỗ - ữữữ = p
ổ pữử ố ứ
ỗ - ữ
ỗ ữữ
ỗố ứ
ũ
Vy I = p
Tổng quát:
0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
p p
p =
ị ị
Ví dụ 16. Tính tích phân
2 2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+ ò
Giải
Đặt x t dx dt
p
= - Þ =
-x t , x t
2
p p
= Þ = = Þ =
( )
( ) ( )
2007
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2
p
p
-Þ = - p p
- +
-ò 2007
2007 2007
0
cos t dx J
sin t cos t
p
= =
+ ò
(1)
Mặt khác
2
I J dx
2
p
p
+ = ò =
(2) Từ (1) (2) suy I
p =
Tổng quát:
2 n n
n n n n
0
sin x dx cos x dx ,n
sin x cos x sin x cos x
p p
+
p
= = Ỵ
+ +
ị ị Z
Ví dụ 17. Tính tích phân
6
0
sin x
I dx
sin x 3cosx
p
=
+ ò
6
0
cos x
J dx
sin x 3cosx
p
=
+ ò
Giải
I - 3J = -1 3 (1).
( )
6
0
dx dx
I J dx
2
sinx 3cosx sin x
3
p p
+ = = p
+ +
ò ò
Đặt t x dt dx
p
= + Þ =
1
I J ln3
4 + =
(2)
Từ (1) (2)
3 1
I ln , J ln3
16 16
-
-= + =
- Ví dụ 18. Tính tích phân
1
2
ln(1 x)
I dx
1 x
+ =
+ ò
Giải
(6)x t 0, x t p
= Þ = = Þ =
( )
4
2
0
ln(1 tan t)
I tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t
p p
+
Þ = + = +
+
ò ò
Đặt t u dt du
p
= - Þ =
-t u , t u
4
p p
= Þ = = Þ =
0
0
4
I ln(1 tan t)dt ln tan u du
4
p
p
ộ ỗp ữ
ờ ỳ
ị = + = - ờ + ỗỗ - ữữữỳ
è ø
ë û
ò ò
4
0
1 tanu
ln du ln du
1 tanu tanu
p p
ỉ - ư÷ ỉ ư÷
ỗ ỗ
= ỗỗ + ữữữ = ỗỗ ữữữ
è + ø è + ø
ò ò
( )
4
0
ln2du ln tanu du ln2 I
4
p p
p
= ò - ò + =
-
Vậy I 8ln2
p =
Ví dụ 19. Tính tích phân
4 x
cosx
I dx
2007
p
p
-=
+ ò
Hướng dẫn:
Đặt x= - t
ĐS:
2 I
2 =
Tổng quát:
Với a > 0, a >0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [- a a; ]
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a
a a
- a
= +
ò ò
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục ¡ thỏa f( x)- +2f(x)= cosx
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
p
p
-= ò
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx
p
p
-= ị
-, x= - Þt dx= - dt
x t , x t
2 2
p p p p
(7)-[ ]
2
2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
-
-Þ = ị - = Þ = + =ò - +
2
0
cosxdx cosxdx
p p
p
-=ò = ò =
Vậy
2 I
3 =
3.3 Các kết cần nhớ
i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ liên tục đoạn [–a; a]
a
a
f(x)dx
-= ò
ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [–a; a]
a a
a
f(x)dx f(x)dx
-=
ò ò
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
2
n n
0
(n 1)!! , n!! cos xdx sin xdx
(n 1)!! , n!!
p p ìïï
-ïïï
= = íï - p
ïï ïïỵ
ị ị n lẻ
n chẵn
Trong
n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =
6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = = .
Ví dụ 21.
11
10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ò
Ví dụ 22.
10
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx
10!! 2.4.6.8.10 512
p
p p p
= = =
ò
II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1 Cơng thức
Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có
(uv)/ =u v/ +uv/ Þ (uv dx)/ =u vdx/ +uv dx/ ( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv
Þ = + Þ ị = ị +ị
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu
Þ = ị +ị Þ ị = - ị
Công thức:
b b
b a
a a
udv= uv - vdu
ò ò
(8)b b b
/ /
a
a a
f(x)g (x)dx =f(x)g(x) - f (x)g(x)dx
ò ò
(2) 2 Phương pháp giải tốn
Giả sử cần tính tích phân
b
a
f(x)g(x)dx ò
ta thực Cách 1.
Bước 1. Đặt u =f(x), dv=g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) vi phân
/
du =u (x)dx khơng q phức tạp Hơn nữa, tích phân b
a
vdu ị
phải tính Bước 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết
Đặc biệt: i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x) sinaxdx, P(x) cosaxdx, e P(x)dx
ò ò ò
với P(x) đa thức đặt u =P(x)
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) ln xdx ị
đặt u=ln x
Cách 2.
Viết lại tích phân
b b
/
a a
f(x)g(x)dx= f(x)G (x)dx
ị ị
sử dụng trực tiếp cơng thức (2) Ví dụ 1. Tính tích phân
1 x
I =òxe dx
Giải Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= ì =
ì ï
ïï Þ ï
í = í
ï ï =
ï ï
ỵ ỵ (chọn C =0)
1
1
x x x x
0
0
xe dx xe e dx (x 1)e
Þ ị = - ị = - =
Ví dụ 2. Tính tích phân
e
1
I =òx ln xdx
Giải
Đặt
2
dx du
u ln x x
dv xdx v x
2 ìï = ï =
ìï ï
ï Þ ï
í í
ï = ï
ï ï
ỵ ïïỵ =
e 2 e e 2
1
1
x e
x ln xdx ln x xdx
2
+
Þ ị = - ị =
Ví dụ 3. Tính tích phân
2 x
I e sin xdx
p
=ò
(9)
Đặt
x x
u sin x du cosxdx
dv e dx v e
= ì =
ì ï
ïï Þ ï
í í
ï = ï =
ï ï
ỵ ỵ
2
x x x
0
0
I e sin xdx e sin x e cosxdx e J
p p
p p
Þ = ị = - ị =
- Đặt
x x
u cosx du sin xdx
dv e dx v e
= ì =
-ì ï
ïï Þ ï
í = í
ï ï =
ï ï
ỵ ỵ
2
x x x
0
0
J e cosxdx e cosx e sin xdx I
p p
p
Þ = ị = +ị = - +
2
2 e
I e ( I) I
2
p
p +
Þ = - - + Þ =
Chú ý:
Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
I cos xdx
p
=ò
Hướng dẫn:
Đặt t = x
2
0
I t costdt
p
Þ = ị = = p
-L L
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I = òsin(ln x)dx ĐS:
(sin1 cos1)e I
2
- +
=
III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán 1 Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I = ò f(x) dx
, ta thực bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x a x1 x2 b
f(x) + 0 - 0 +
Bước 2. Tính
1
1
b x x b
a a x x
I =ò f(x) dx=òf(x)dx- òf(x)dx+òf(x)dx Ví dụ 9. Tính tích phân
2
I x 3x dx
-=ò - +
Giải
B ng xét d uả ấ
(10)2
x - 3x+2 + -
( ) ( )
1
2
3
59
I x 3x dx x 3x dx
2
-= ò - + - ò - + =
Vậy
59 I
2 =
Ví dụ 10. Tính tích phân
2
2
I 4cos x 4sin xdx
p
=ò -
- ĐS: I
p
= -
- 2 Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b
a
I = ò f(x) ± g(x) dx
, ta thực Cách 1.
Tách
[ ]
b b b
a a a
I =ò f(x) ± g(x) dx= ò f(x) dx ±ò g(x) dx
sử dụng dạng Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) Ví dụ 11. Tính tích phân
( )
2
1
I x x dx
-=ò -
- Giải Cách 1.
( )
2 2
1 1
I x x dx x dx x dx
- -
-= ò - - = ò - ò
-0 2
1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
-
-= - ò +ò +ò - - ò
-0 2
2 2
1 1
x x x x
x x
2 - 2 -
ỉ ư÷ ỉ ư÷
ỗ ỗ
= - + +ỗỗ - ữữ - ỗỗ - ữữ =
ố ứ ố ứ .
Cách 2. Bảng xét dấu
x –1 x – + + x – – – +
( ) ( ) ( )
0
1
I x x dx x x dx x x dx
-= ò - + - +ò + - +ò - +
( 2 )
0
1
x- x x x
= - + - + = .
Vậy I =0
3 Dạng 3
Để tính tích phân
{ }
b
a
I =òmax f(x), g(x) dx
{ }
b
a
J = òmin f(x), g(x) dx
(11)Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) đoạn [a; b] Bước
+ Nếu h(x)>0 max f(x), g(x){ } =f(x) f(x), g(x){ } =g(x)
+ Nếu h(x)<0 max f(x), g(x){ } =g(x) f(x), g(x){ } =f(x)
Ví dụ 12. Tính tích phân
{ }
4
2
I =òmax x +1, 4x- dx Giải
Đặt h(x)=(x2 +1) - (4x- 2) = x2- 4x+3
Bảng xét dấu
x h(x) + – +
( ) ( ) ( )
1
2
0
80
I x dx 4x dx x dx
3
= ò + +ò - +ò + =
Vậy
80 I
3 =
Ví dụ 13. Tính tích phân
{ }
2
x
I =òmin , 4- x dx Giải
Đặt h(x)=3x - ( 4- x) =3x + -x
Bảng xét dấu
x h(x) – +
( )
1 x 1 2 2
x
0
0
3 x
I dx x dx 4x
ln3 ln3
ổ ửữ
ỗ
= + - = +ỗỗố - ữữ = +
ø
ò ò
Vậy
2
I
ln3
= +
IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán 1 Dạng 1
Để chứng minh
b
a
f(x)dx³ ò
(hoặc
b
a
f(x)dx£ ò
) ta chứng minh f(x)³ (hoặc f(x)£ 0) với
[ ]
x a; b " Ỵ .
Ví dụ 14. Chứng minh
1
3
0
1 x dx- ³ ò
Giải Với
[ ]
1
3
6 6
0
x 0; : x 1 x x dx
" ẻ Ê ị - ³ Þ ị - ³
2 Dạng 2
Để chứng minh
b b
a a
f(x)dx³ g(x)dx
ò ò
(12)Ví dụ 15. Chứng minh
2
10 11
0
dx dx
1 sin x sin x
p p
£
+ +
ò ò
Giải Với
11 10
x 0; : sin x sin x sin x
p
é ự
" ẻ ờ ỳ Ê Ê ị Ê £
ë û
10 11
10 11
1
1 sin x sin x
1 sin x sin x
Þ + ³ + > Þ £
+ + .
Vậy
2
10 11
0
dx dx
1 sin x sin x
p p
£
+ +
ò ò
3 Dạng 3
Để chứng minh
b
a
A £ òf(x)dx£ B
ta thực bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhỏ f(x) đoạn [a; b] ta m£ f(x)£ M Bước 2. Lấy tích phân
b
a
A =m(b- a)£ ịf(x)dx£ M(b- a) =B Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
2£ ị 4+x dx£ Giải
Với " Ỵx [0; : 4] £ 4+x2 £ 5Þ 2£ 4+x2 £ Vậy
1
2
2£ ị 4+x dx£
Ví dụ 17. Chứng minh
3
2
dx
4 2sin x
p
p
p £ £ p
-ò
Giải Với
2
3
x ; : sin x sin x
4 2
p p
é ù
" Î ê ú £ £ Þ £ £
ë û
2
2
1
1 2sin x
2 2sin x
Þ £ - £ Þ £ £
-( ) ( )
3
2
1 dx 1
2 4 2sin x 4
p
p
p p p p
Þ - £ £
-ò
Vậy
3
2
dx
4 2sin x
p
p
p £ £ p
-ị
Ví dụ 18. Chứng minh
3
4
3 cotxdx
12 x
p
p
£ ò £
(13)Xét hàm số
cotx
f(x) , x ;
x
ép pù
ê ú
= Ỵ
ê ú
ë û ta có
2 /
2
x
cotx sin x
f (x) x ;
4 x
ép pù
ê ú
= < " Ỵ ê ú
ë û
( ) ( )
ff (x) f x ;
3 4
p p ép pù
Þ £ £ " Ỵ ê ú
ë û
3 cotx
x ;
x
ép pù
ê ú
Þ £ £ " Ỵ ê ú
p p ë û
3
4
3 cotxdx
3 x
p
p
æp pửữ ổp pửữ
ỗ ỗ
ị ỗỗ - ữữữÊ Ê ỗỗ - ữữữ
ố ứ ố ứ
p ò p
Vậy
3
4
3 cotx
dx
12 x
p
p
£ ò £
4 Dạng (tham khảo)
Để chứng minh
b
a
A £ òf(x)dx£ B
(mà dạng không làm được) ta thực
Bước 1. Tìm hàm số g(x) cho
[ ]
b b
a a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B g(x)dx B
ỡ Ê " ẻ ùù
ùù ị Ê
íï =
ïï ïỵ
ị ị
Bước 2. Tìm hàm số h(x) cho
[ ]
b b
a a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx h(x)dx A
ỡ Ê " ẻ ùù
ùù ị Ê
íï =
ïï ïỵ
ị ị
Ví dụ 19. Chứng minh
2
2007
2 dx
2 x
p
£ £
-ò
Giải Với
2007
2
x 0; : x x
2
é ù
" Ỵ ê ú £ £ £
ê ú
ë û
2 2007
2007
1 1 x 1 x 1 1 1
2 1 x 1 x
Þ £ - £ - £ Þ £ £
-
-2 2
2 2
2007
0 0
dx dx
dx
1 x x
Þ £ £
-
-ò ò ò
Đặt x= sin tÞ dx= costdt
2
x t 0, x t
2
p
(14)2
2
2
0
dx costdt
cost
1 x
p
p
Þ = =
-ò ò
Vậy
2
2007
2 dx
2 1 x
p
£ £
-ò
Ví dụ 20. Chứng minh
1
3 xdx
4 x 2
+ £ £ +
+ -ò
Giải
Với " Ỵx [0; : 1] - £ x2 + -2 1£
-2
x x x
3 x 2
Þ £ £
- + -
-1 1
2
0 0
xdx xdx xdx
3 x 2
Þ £ £
- + -
-ò ò ò
Vậy
1
3 xdx
4 x 2
+ £ £ +
+ -ị
V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường y=f(x), x =a, x=b trục hoành
b
a
S= ị f(x) dx Phương pháp giải tốn
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx ị
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y=lnx, x =1, x =e Ox Giải
Do ln x ³ x" Ỵ [1; e] nên
( )
e e
e
1
S=ò ln x dx=òln xdx =x ln x- =1
Vậy S=1 (đvdt)
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= - x2 +4x- 3, x =0, x=3 Ox Giải
Bảng xét dấu
x y – +
( ) ( )
1
2
0
(15)1
3
2
0
x 2x 3x x 2x 3x
3 3
ỉ ư÷ ỉ ư÷
ỗ ỗ
= - -ỗỗ + + ữữ + -ỗỗ + + ữữ =
ố ứ ố ø .
Vậy S
3 =
(đvdt) 2 Diện tích hình phẳng
2.1 Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x), x =a, x=b
b
a
S= ò f(x)- g(x) dx Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) đoạn [a; b] Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x)- g(x) dx ò
2.2 Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x) S f(x) g(x) dx
b
a
=ị
- Trong a b, nghiệm nhỏ lớn
phương trình f(x)=g(x) (a£ a < b £ b)
Phương pháp giải tốn
Bước 1. Giải phương trình f(x)=g(x)
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) đoạn [a b; ] Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
b
a
-ò
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x3 +11x- 6, y =6x2, x= 0, x=2.
Giải
Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 = x3- 6x2 +11x-
h(x)= Û0 x= Ú = Ú =1 x x 3 (loại). Bảng xét dấu
x h(x) – +
( ) ( )
1
3
0
S= - ò x - 6x +11x- dx+ò x - 6x +11x- dx
1
4
3
0
x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x
4 2
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
= - ỗỗ - + - ữữ +ỗỗ - + - ÷÷ =
è ø è ø .
Vậy S
2 =
(đvdt)
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x3 +11x- 6, y =6x2 Giải
(16)h(x)= Û0 x = Ú = Ú =1 x x 3. Bảng xét dấu
x h(x) + –
( ) ( )
2
3
1
S= ò x - 6x +11x- dx- ò x - 6x +11x- dx
2
4
3
1
x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x
4 2
ỉ ư÷ ổ ửữ
ỗ ỗ
=ỗỗ - + - ữữ - ỗỗ - + - ữữ =
ố ø è ø .
Vậy
1 S
2 =
(đvdt) Chú ý:
Nếu đoạn [a b; ] phương trình f(x)=g(x) khơng cịn nghiệm ta dùng cơng
thức
[ ]
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
b b
a a
- =
-ị ị
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x , y3 =4x Giải
Ta có x3 =4x Û x= - xÚ = Ú =0 x
( ) ( )
0
3
2
S x 4x dx x 4x dx
-Þ = ị - + ị
-0
4
2
2
x 2x x 2x 8
4 -
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
= ỗỗ - ữữ + ỗỗ - ữữ =
ố ø è ø .
Vậy S=8 (đvdt)
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2- x +3 trục hoành Giải
Ta có x2- x + = Û3 t2- 4t+ =3 0, t = x ³
t x x
t x x
= = = ±
é é é
ê ê ê
Û ê Û ê Û ê
= = = ±
ë ë ë
3
2
3
S x x dx x 4x dx
-Þ = ị - + = ò - +
( ) ( )
1
2
0
2éê x 4x dx x 4x dx ùú
= ê - + + - + ú
ê ú
ëò ò û
1
3
2
0
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3
ộổỗ ửữ ổỗ ửữ ự
ờ ỳ
= ờỗỗ - + ữữ + ỗỗ - + ÷÷ ú=
è ø è ø
ë û .
Vậy
16 S
3 =
(đvdt)
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2- 4x+3 y= +x Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
2
(17)2
x
x
x 4x x
x
x 4x x
+ ³
ìïï é =
ïï é - + = + ê
Û í ê Û ê =
ïï ê ë
ï ê - + = -
-ïỵ ë .
Bảng xét dấu
x
2
x - 4x+3 + – +
( ) ( ) ( )
1
2 2
0
S x 5x dx x 3x dx x 5x dx
Þ = ị - +ò - + - +ò
-1
3 3
0
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 3
ổ ửữ ổ- ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ ỗ
= ỗỗ - ữữ +ỗỗ + - ữữ +ỗỗ - ÷÷ =
è ø è ø è ø .
Vậy
109 S
6 =
(đvdt)
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2 - , y= x +5 Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
2
x - = x + Û5 t - = +t 5, t = x ³
2
t x
t x
t t x 3
t
t t
= ³
ìïï ì = ³
ï ï
ï é - = + ï
Û íï ê Û íï = Û = ±
ï ê ïỵ
ï ê - = -ïỵ ë
( ) ( )
3
2
3
S x x dx x x dx
-Þ = ị - - + = ò - - +
Bảng xét dấu
x
2
x - – +
( ) ( )
1
2
0
S x x dx x x dx
Þ = ị - - - +ò -
-1
3
0
x x x x 73
2 4x 6x
3 3
ổ- ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
= ỗỗ - - ữữ +ỗỗ - - ữữ =
è ø è ø .
Vậy
73 S
3 =
(đvdt)
Chú ý:
Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
1 Trường hợp 1.
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y= f(x)³ x" Ỵ [a;b], y= 0,
x=a x= b (a<b) quay quanh trục Ox
b a
V = pịf (x)dx
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu hình trịn (C) : x2 +y2 =R2 quay quanh Ox Giải
(18)Phương trình (C) : x2 +y2 =R2 Û y2 =R2- x2
( ) ( )
R R
2 2
R
V R x dx R x dx
-Þ = pị - = pị
-R
3
2
0
x R
2 R x
3
æ ửữ p
ỗ
= pỗỗố - ữữ =
ø .
Vậy
3
4 R V
3 p =
(đvtt) 2 Trường hợp 2.
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x= g(y)³ y" Î [c;d], x=0,
y=c y=d (c<d) quay quanh trục Oy
d c
V = pịg (y)dy Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối ellipse
2
2
x y
(E) :
a +b = quay quanh Oy.
Giải Tung độ giao điểm (E) Oy
2
y 1 y b
b = Û = ± .
Phương trình
2 2
2
2 2
x y a y
(E) : x a
a +b = Û = - b
b 2 2 b 2 2
2
2
b
a y a y
V a dy a dy
b b
-æ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
ị = p ỗỗ - ữữ = p ỗỗ - ữữ
ố ø è ø
ò ò
R
2
2
2
a y a b
2 a y
3 3b
ổ ửữ p
ỗ
= pỗỗố - ÷÷ =
ø .
Vậy
2
4 a b V
3 p =
(đvtt) 3 Trường hợp 3.
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x), x=a
[ ]
x =b (a<b, f(x)³ 0,g(x) ³ x" Ỵ a; b ) quay quanh trục Ox là
b
2
a
V = pò f (x)- g (x) dx
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y=x2, y2 =x quay quanh Ox
Giải Hoành độ giao điểm
4
x x
x
x x
³ =
ì é
ïï Û ê
í ê =
ï =
ï ë
ỵ .
( )
1
4
0
V x x dx x x dx
Þ = pị - = p ò
-( )
5
0
1x 1x
5 10
p
= p - =
Vậy
3 V
10 p =
(19)Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x=f(y), x =g(y), y=c
[ ]
y= d (c<d, f(y)³ 0,g(y) ³ y" Ỵ c; d ) quay quanh trục Oy là
d
2
c
V = pị f (y)- g (y) dy
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x= - y2 +5, x= -3 y quay quanh Oy
Giải Tung độ giao điểm
2 y
y y
y
= -é ê
- + = - Û ê =
ë .
( ) ( )
2
2
2
V y y dy
-Þ = pị - + -
-( )
2
4
1
y 11y 6y 16 dy
-= p ò - + +
2
5
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 -
ổ ửữ p
ỗ
= p ỗỗ - + + ữữữ =
ố ø
Vậy
153 V
5 p =
(đvtt)
VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1. Tính I=
1
10
1
∫ x dx
Áp dụng kết tính tổng sau:
1 10
10 10 10
1 1
1
2 11
S C C C
2. Tính:
1
19
1
I ∫x x dx
Áp dụng kết tính tổng sau:
0 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1
2 20 21
S C C C C C
3. Chứng minh rằng:
1
1
1 1
1
2 1
n n
n n n
C C C
n n
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=
sin cos
sin cos
x x
x x
, biết F ln
2. Tính tích phân sau:
A=
1
2 -
e x x
dx x
∫
B=
2 -2
-1
x dx
∫
C=
0
2 ln 2x dx
∫
3. Tính tích phân sau:
A=
3 cos
sin x
e xdx
∫
B=
1
ln
e x
dx x
∫
C*=
2
5
dx x x
∫
D*=
2
11 -1
x dx
x
∫
4. Tính tích phân sau:
I=1
sin(ln )
e x
dx x
∫
J=
2
sin cot
dx
x x
∫
K=
10
1
lgxdx
(20)L=
ln
ln 3
x x
dx
e e
∫ M= 2 sin cos sin
xdx x x ∫ N= 2
1 -
dx x ∫ C= 2 sin (1 cos )
x dx
x
∫
5. Tính tích phân sau:
A=
1
0
-dx x ∫ B= 3 dx x ∫ C=
16 -x dx ∫ D= ln 1-1 x x e dx e ∫ E= 2 1dx x ∫
6. Tính tích phân sau:
A= ln e x dx x ∫
B*=0
sin cos
x x dx
x
∫
C*=
2
lnxdx x
∫
D*=1cos(ln )
e x dx ∫ E=
3x 2x
dx x ∫ * 1 x F dx x ∫ 7. Tính: A= cos xdx ∫ B= cos xdx ∫ C= x xe dx ∫ D= x e dx x ∫ E= ln x xdx ∫ F=1 ln e x dx x ∫ G= 2
x x dx
∫
H=
4
0
1
x xdx
∫ I= 1 x dx x ∫ J= 01 x dx x ∫
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
a x=1; x=e; y=0 y=
1 lnx x
b y=2x; y=3x x=0
c y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x=3
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) tiếp tuyến với đường
cong (C) điểm có hồnh độ
10.Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0
a Tính diện tích hình phẳng D
b Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox
11.Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1
khi quay quanh:
a)Trục Ox
b)Trục Oy