Chuyên đề bài tập tích phân - Phân dạng tích phân - Luyện thi đại học tích phân

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục O x. 11.[r]

(1)

Chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CÔNG THỨC

Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm những

hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số thường gặp

Nguyên hàm những hàm số hợp ∫dx=x+C

∫xαdx=x

α+1

α+1+C(α ≠1)

∫dxx =ln|x|+C(x ≠0)

∫exdx

=ex+C

∫axdx

= a

x

lna+C(0<a ≠1) ∫cos xdx=sinx+C

∫sin xdx=−cosx+C

∫

cos2x dx=tanx+C

∫

sin2x dx=−cotx+C

∫d(ax+b)=1

a(ax+b)+C ∫(ax+b)αdx=1

a

(ax+b)α+1

α+1 +C(α ≠1)

∫dxax+b=1

aln|ax+b|+C(x ≠0) ∫eax+bdx=1

ae ax+b

+C

∫cos(ax+b)dx=1

asin(ax+b)+C ∫sin(ax+b)dx=−1

acos(ax+b)+C ∫cos2(ax1

+b) dx=

1

a tan(ax+b)+C

∫sin2(ax1

+b) dx=−

1

acot(ax+b)+C

∫du=u+C

∫uαdu=u

α+1

α+1+C(α ≠1)

∫duu =ln|u|+C(u ≠0)

∫eudu

=eu+C

∫audx

= a

u

lna+C(0<a ≠1) ∫cos udu=sinu+C

∫sin udu=−cosu+C

∫

cos2u du=tanu+C

∫

sin2udu=−cotu+C

I ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1 Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân

b

/ a

f[u(x)]u (x)dx ò

ta thực bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) tính dt =u (x)dx/

Bước 2. Đổi cận: x= Þa t= u(a)= a, x =bÞ t =u(b)= b Bước 3.

b

/ a

f[u(x)]u (x)dx f(t)dt

b

a

=

ò ò

Ví dụ 7. Tính tích phân

2

e

dx I

x ln x =ò

Giải Đặt

dx t ln x dt

x

= Þ =

2

x= Þe t=1, x =e Þ t =2

2 1

dt

I ln t ln2

t

Þ = ị = =

(2)

4

3

cosx

I dx

(sin x cosx)

p

=

+ ò

Hướng dẫn:

4

3

0

cosx dx

I dx

(sin x cosx) (tan x 1) cos x

p p

= =

+ +

ò ò

Đặt t =tan x +1

ĐS: I

8 =

3

1

dx I

(1 x) 2x =

+ +

ò

Hướng dẫn:

Đặt t = 2x+3

ĐS:

3 I ln

2 =

1

0

3 x

I dx

1 x

-=

+ ò

Hướng dẫn:

Đặt

3 2

2

1

3 x t dt

t

1 x (t 1)

-= Þ

+ L ò +

; đặt t =tanuL

ĐS: I 3

p

= - +

Chú ý:

Phân tích

1

0

3 x

I dx

1 x

-=

+ ò

, đặt t = 1+x tính nhanh

2 Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính

( ) b

a

f x dx ∫

ta thực bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) tính dx u t dt/( )

Bước 2. Đổi cận: x  a t , x  b t 

Bước 3.

/

( ) [ ( )] ( ) ( )

b

a

f x dx f u t u t dt g t dt

 

 

 

∫ ∫ ∫

1

2

1

I dx

1 x =

-ò

Giải

Đặt x sin t, t 2; dx costdt p p

ộ ự

= ẻ -ờ ỳị =

ë û

1

x t 0, x t

2

p

(3)

6

0

cost cost

I dt dt

cost sin t

p p

Þ = =

-ò ò 6

0

dt t

6

p

p p p

= ò = = - =

Vậy I

p =

2

I =ò 4- x dx Hướng dẫn:

Đặt x=2sin t ĐS: I = p

1

2

dx I

1 x

=

+ ò

Giải Đặt

2

x tan t, t ; dx (tan x 1)dt

2 æ p pữử ỗ

= ẻ -ỗỗố ữữữị = +

ø

x t 0, x t

4 p

= Þ = = Þ =

4

2

0

tan t

I dt dt

4 tan t

p p

+ p

Þ = = =

+

ò ò

Vậy I

p =

3

dx I

x 2x

-=

+ +

ò

Hướng dẫn:

3

2

0

dx dx

I

x 2x (x 1)

-

-= =

+ + + +

ò ò

Đặt x+ =1 tan t

ĐS: I 12

p =

2

dx I

4 x

=

-ò

ĐS: I

p =

3

dx I

x 2x

-=

+ +

ò

ĐS: I 12

p =

3 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân

2

0

I cos x sin xdx

p

= ò

(4)

Hướng dẫn:

Đặt t =cosx

ĐS: I

15 =

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân

2

I cos xdx

p

= ò

Hướng dẫn:

Đặt t =sin x ĐS:

8 I

15 =

Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn). Tính tích phân

2

4

0

I cos x sin xdx

p

= ò

Giải

2

4 2

0

1

I cos x sin xdx cos x sin 2xdx

p p

= ò = ò

2

0

1 (1 cos4x)dx cos2x sin 2xdx

16

p p

= ò - + ò

2

0

1 (1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)

16

p p

= ò - + ò

0

x sin 2x

sin 4x

16 64 24 32

p

ổ ửữ p

ỗ

=ỗỗố - + ÷÷ =

ø .

Vậy I 32

p =

2

dx I

cosx sin x

p

=

+ +

ò

Hướng dẫn:

Đặt

x t tan

2 =

ĐS: I = ln2

Biểu diễn hàm số LG theo tan2 a t

:

2

2 2

2

sin ; cos ; tan

1 1

t t t

a a a

t t t



  

  

3.2 Dạng liên kết

xdx I

sin x

p

=

+ ò

Giải

Đặt x= p - tÞ dx= - dt x= Þ0 t = p, x = p Þ t=

( )

0

( t)dt t

I dt

sin( t) sin t sin t

p

p - p

Þ = - =

-p - + + +

ò ò

0

dt I I dt

sin t sin t

p p

p

= p - Þ =

+ +

(5)

( )2 ( )

0

dt dt

t

t t

2 sin cos cos

2

p p

= = p

-+

ò ò

t d

2 t

tan

2 cos t 2

2

p p

ổ pữử

ỗ - ữ

ỗ ữữ

ỗ ổ

ố ứ

p p ỗ pữ

= = ỗỗ - ữữữ = p

ổ pữử ố ứ

ỗ - ữ

ỗ ữữ

ỗố ứ

ũ

Vy I = p

Tổng quát:

0

xf(sin x)dx f(sin x)dx

p p

p =

ị ị

2 2007

2007 2007

0

sin x

I dx

sin x cos x

p

=

+ ò

Giải

Đặt x t dx dt

p

= - Þ =

-x t , x t

2

p p

= Þ = = Þ =

( )

( ) ( )

2007

2007 2007

2

sin t

2

I dx

sin t cos t

2

p

-Þ = - p p

- +

-ò 2007

2007 2007

0

cos t dx J

sin t cos t

p

= =

+ ò

(1)

Mặt khác

2

I J dx

2

p

+ = ò =

(2) Từ (1) (2) suy I

p =

Tổng quát:

2 n n

n n n n

0

sin x dx cos x dx ,n

sin x cos x sin x cos x

p p

+

p

= = Ỵ

+ +

ị ị Z

6

0

sin x

I dx

sin x 3cosx

p

=

+ ò

6

0

cos x

J dx

sin x 3cosx

p

=

+ ò

Giải

I - 3J = -1 3 (1).

( )

6

0

dx dx

I J dx

2

sinx 3cosx sin x

3

p p

+ = = p

+ +

ò ò

Đặt t x dt dx

p

= + Þ =



1

I J ln3

4 + =

(2)

Từ (1) (2)

3 1

I ln , J ln3

16 16

-

-= + =

- Ví dụ 18. Tính tích phân

1

2

ln(1 x)

I dx

1 x

+ =

+ ò

Giải

(6)

x t 0, x t p

= Þ = = Þ =

( )

4

2

0

ln(1 tan t)

I tan t dt ln(1 tan t)dt

1 tan t

p p

+

Þ = + = +

+

ò ò

Đặt t u dt du

p

= - Þ =

-t u , t u

4

p p

= Þ = = Þ =

0

4

I ln(1 tan t)dt ln tan u du

4

p

ộ ỗp ữ

ờ ỳ

ị = + = - ờ + ỗỗ - ữữữỳ

è ø

ë û

ò ò

4

0

1 tanu

ln du ln du

1 tanu tanu

p p

ỉ - ư÷ ỉ ư÷

ỗ ỗ

= ỗỗ + ữữữ = ỗỗ ữữữ

è + ø è + ø

ò ò

( )

4

0

ln2du ln tanu du ln2 I

4

p p

p

= ò - ò + =

-

Vậy I 8ln2

p =

4 x

cosx

I dx

2007

p

-=

+ ò

Hướng dẫn:

Đặt x= - t

ĐS:

2 I

2 =

Tổng quát:

Với a > 0, a >0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [- a a; ]

x

0

f(x)

dx f(x)dx

a

a a

- a

= +

ò ò

Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục ¡ thỏa f( x)- +2f(x)= cosx

Tính tích phân

2

I f(x)dx

p

-= ò

Giải

Đặt

2

J f( x)dx

p

-= ị

-, x= - Þt dx= - dt

x t , x t

2 2

p p p p

(7)

-[ ]

2

I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx

p p

-

-Þ = ị - = Þ = + =ò - +

2

0

cosxdx cosxdx

p p

p

-=ò = ò =

Vậy

2 I

3 =

3.3 Các kết cần nhớ

i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ liên tục đoạn [–a; a]

a

f(x)dx

-= ò

ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [–a; a]

a a

a

f(x)dx f(x)dx

-=

ò ò

iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)

2

n n

0

(n 1)!! , n!! cos xdx sin xdx

(n 1)!! , n!!

p p ìïï

-ïïï

= = íï - p

ïï ïïỵ

ị ị n lẻ

n chẵn

Trong

n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn:

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =

6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = = .

Ví dụ 21.

11

10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx

11!! 1.3.5.7.9.11 693

p

= = =

ò

Ví dụ 22.

10

9!! 1.3.5.7.9 63

sin xdx

10!! 2.4.6.8.10 512

p

p p p

= = =

ò

II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Cơng thức

Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có

(uv)/ =u v/ +uv/ Þ (uv dx)/ =u vdx/ +uv dx/ ( )

b b b

a a a

d uv vdu udv d(uv) vdu udv

Þ = + Þ ị = ị +ị

b b b b

b b

a a

a a a a

uv vdu udv udv uv vdu

Þ = ị +ị Þ ị = - ị

Công thức:

b b

b a

a a

udv= uv - vdu

ò ò

(8)

b b b

/ /

a

a a

f(x)g (x)dx =f(x)g(x) - f (x)g(x)dx

ò ò

(2) 2 Phương pháp giải tốn

Giả sử cần tính tích phân

b

a

f(x)g(x)dx ò

ta thực Cách 1.

Bước 1. Đặt u =f(x), dv=g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) vi phân

/

du =u (x)dx khơng q phức tạp Hơn nữa, tích phân b

a

vdu ị

phải tính Bước 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết

Đặc biệt: i/ Nếu gặp

b b b

ax

a a a

P(x) sinaxdx, P(x) cosaxdx, e P(x)dx

ò ò ò

với P(x) đa thức đặt u =P(x)

ii/ Nếu gặp

b

a

P(x) ln xdx ị

đặt u=ln x

Cách 2.

Viết lại tích phân

b b

/

a a

f(x)g(x)dx= f(x)G (x)dx

ị ị

sử dụng trực tiếp cơng thức (2) Ví dụ 1. Tính tích phân

1 x

I =òxe dx

Giải Đặt

x x

u x du dx

dv e dx v e

= ì =

ì ï

ïï Þ ï

í = í

ï ï =

ï ï

ỵ ỵ (chọn C =0)

1

x x x x

0

xe dx xe e dx (x 1)e

Þ ị = - ị = - =

e

1

I =òx ln xdx

Giải

Đặt

2

dx du

u ln x x

dv xdx v x

2 ìï = ï =

ìï ï

ï Þ ï

í í

ï = ï

ï ï

ỵ ïïỵ =

e 2 e e 2

1

x e

x ln xdx ln x xdx

2

+

Þ ị = - ị =

2 x

I e sin xdx

p

=ò

(9)

Đặt

x x

u sin x du cosxdx

dv e dx v e

= ì =

ì ï

ïï Þ ï

í í

ï = ï =

ï ï

ỵ ỵ

2

x x x

0

I e sin xdx e sin x e cosxdx e J

p p

Þ = ị = - ị =

- Đặt

x x

u cosx du sin xdx

dv e dx v e

= ì =

-ì ï

ïï Þ ï

í = í

ï ï =

ï ï

ỵ ỵ

2

x x x

0

J e cosxdx e cosx e sin xdx I

p p

p

Þ = ị = +ị = - +

2

2 e

I e ( I) I

2

p

p +

Þ = - - + Þ =

Chú ý:

Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần

2

4

I cos xdx

p

=ò

Hướng dẫn:

Đặt t = x

2

0

I t costdt

p

Þ = ị = = p

-L L

e

1

I = òsin(ln x)dx ĐS:

(sin1 cos1)e I

2

- +

=

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán 1 Dạng 1

b

a

I = ò f(x) dx

, ta thực bước sau

Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x1 x2 b

f(x) + 0 - 0 +

Bước 2. Tính

1

b x x b

a a x x

I =ò f(x) dx=òf(x)dx- òf(x)dx+òf(x)dx Ví dụ 9. Tính tích phân

2

I x 3x dx

-=ò - +

Giải

B ng xét d uả ấ

(10)

2

x - 3x+2 + -

( ) ( )

1

2

3

59

I x 3x dx x 3x dx

2

-= ò - + - ò - + =

Vậy

59 I

2 =

2

I 4cos x 4sin xdx

p

=ò -

- ĐS: I

p

= -

- 2 Dạng 2

[ ]

b

a

I = ò f(x) ± g(x) dx

, ta thực Cách 1.

Tách

[ ]

b b b

a a a

I =ò f(x) ± g(x) dx= ò f(x) dx ±ò g(x) dx

sử dụng dạng Cách 2.

Bước 1. Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) Ví dụ 11. Tính tích phân

( )

2

1

I x x dx

-=ò -

- Giải Cách 1.

( )

2 2

1 1

I x x dx x dx x dx

- -

-= ò - - = ò - ò

-0 2

1 1

xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx

-

-= - ò +ò +ò - - ò

-0 2

2 2

1 1

x x x x

x x

2 - 2 -

ỉ ư÷ ỉ ư÷

ỗ ỗ

= - + +ỗỗ - ữữ - ỗỗ - ữữ =

ố ứ ố ứ .

Cách 2. Bảng xét dấu

x –1 x – +  + x – – – +

( ) ( ) ( )

0

1

I x x dx x x dx x x dx

-= ò - + - +ò + - +ò - +

( 2 )

0

1

x- x x x

= - + - + = .

Vậy I =0

3 Dạng 3

Để tính tích phân

{ }

b

a

I =òmax f(x), g(x) dx

{ }

b

a

J = òmin f(x), g(x) dx

(11)

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) đoạn [a; b] Bước

+ Nếu h(x)>0 max f(x), g(x){ } =f(x) f(x), g(x){ } =g(x)

+ Nếu h(x)<0 max f(x), g(x){ } =g(x) f(x), g(x){ } =f(x)

{ }

4

2

I =òmax x +1, 4x- dx Giải

Đặt h(x)=(x2 +1) - (4x- 2) = x2- 4x+3

Bảng xét dấu

x h(x) + – +

( ) ( ) ( )

1

2

0

80

I x dx 4x dx x dx

3

= ò + +ò - +ò + =

Vậy

80 I

3 =

{ }

2

x

I =òmin , 4- x dx Giải

Đặt h(x)=3x - ( 4- x) =3x + -x

Bảng xét dấu

x h(x) – +

( )

1 x 1 2 2

x

0

3 x

I dx x dx 4x

ln3 ln3

ổ ửữ

ỗ

= + - = +ỗỗố - ữữ = +

ø

ò ò

Vậy

2

I

ln3

= +

IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Phương pháp giải toán 1 Dạng 1

Để chứng minh

b

a

f(x)dx³ ò

(hoặc

b

a

f(x)dx£ ò

) ta chứng minh f(x)³ (hoặc f(x)£ 0) với

[ ]

x a; b " Ỵ .

Ví dụ 14. Chứng minh

1

3

0

1 x dx- ³ ò

Giải Với

[ ]

1

3

6 6

0

x 0; : x 1 x x dx

" ẻ Ê ị - ³ Þ ị - ³

2 Dạng 2

Để chứng minh

b b

a a

f(x)dx³ g(x)dx

ò ò

(12)

2

10 11

0

dx dx

1 sin x sin x

p p

£

+ +

ò ò

Giải Với

11 10

x 0; : sin x sin x sin x

p

é ự

" ẻ ờ ỳ Ê Ê ị Ê £

ë û

10 11

1

1 sin x sin x

Þ + ³ + > Þ £

+ + .

Vậy

2

10 11

0

dx dx

1 sin x sin x

p p

£

+ +

ò ò

3 Dạng 3

Để chứng minh

b

a

A £ òf(x)dx£ B

ta thực bước sau

Bước 1. Tìm giá trị lớn nhỏ f(x) đoạn [a; b] ta m£ f(x)£ M Bước 2. Lấy tích phân

b

a

A =m(b- a)£ ịf(x)dx£ M(b- a) =B Ví dụ 16. Chứng minh

1

2

2£ ị 4+x dx£ Giải

Với " Ỵx [0; : 4] £ 4+x2 £ 5Þ 2£ 4+x2 £ Vậy

1

2

2£ ị 4+x dx£

3

2

dx

4 2sin x

p

p £ £ p

-ò

Giải Với

2

3

x ; : sin x sin x

4 2

p p

é ù

" Î ê ú £ £ Þ £ £

ë û

2

1

1 2sin x

2 2sin x

Þ £ - £ Þ £ £

-( ) ( )

3

2

1 dx 1

2 4 2sin x 4

p

p p p p

Þ - £ £

-ò

Vậy

3

2

dx

4 2sin x

p

p £ £ p

-ị

3

4

3 cotxdx

12 x

p

£ ò £

(13)

Xét hàm số

cotx

f(x) , x ;

x

ép pù

ê ú

= Ỵ

ê ú

ë û ta có

2 /

2

x

cotx sin x

f (x) x ;

4 x

ép pù

ê ú

= < " Ỵ ê ú

ë û

( ) ( )

ff (x) f x ;

3 4

p p ép pù

Þ £ £ " Ỵ ê ú

ë û

3 cotx

x ;

x

ép pù

ê ú

Þ £ £ " Ỵ ê ú

p p ë û

3

4

3 cotxdx

3 x

p

æp pửữ ổp pửữ

ỗ ỗ

ị ỗỗ - ữữữÊ Ê ỗỗ - ữữữ

ố ứ ố ứ

p ò p

Vậy

3

4

3 cotx

dx

12 x

p

£ ò £

4 Dạng (tham khảo)

Để chứng minh

b

a

A £ òf(x)dx£ B

(mà dạng không làm được) ta thực

Bước 1. Tìm hàm số g(x) cho

[ ]

b b

a a

f(x) g(x) x a; b

f(x)dx B g(x)dx B

ỡ Ê " ẻ ùù

ùù ị Ê

íï =

ïï ïỵ

ị ị

Bước 2. Tìm hàm số h(x) cho

[ ]

b b

a a

h(x) f(x) x a; b

A f(x)dx h(x)dx A

ỡ Ê " ẻ ùù

ùù ị Ê

íï =

ïï ïỵ

ị ị

2

2007

2 dx

2 x

p

£ £

-ò

Giải Với

2007

2

x 0; : x x

2

é ù

" Ỵ ê ú £ £ £

ê ú

ë û

2 2007

2007

1 1 x 1 x 1 1 1

2 1 x 1 x

Þ £ - £ - £ Þ £ £

-

-2 2

2 2

2007

0 0

dx dx

dx

1 x x

Þ £ £

-

-ò ò ò

Đặt x= sin tÞ dx= costdt

2

x t 0, x t

2

p

(14)

2

0

dx costdt

cost

1 x

p

Þ = =

-ò ò

Vậy

2

2007

2 dx

2 1 x

p

£ £

-ò

1

3 xdx

4 x 2

+ £ £ +

+ -ò

Giải

Với " Ỵx [0; : 1] - £ x2 + -2 1£

-2

x x x

3 x 2

Þ £ £

- + -

-1 1

2

0 0

xdx xdx xdx

3 x 2

Þ £ £

- + -

-ò ò ò

Vậy

1

3 xdx

4 x 2

+ £ £ +

+ -ị

V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường y=f(x), x =a, x=b trục hoành

b

a

S= ị f(x) dx Phương pháp giải tốn

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) dx ị

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y=lnx, x =1, x =e Ox Giải

Do ln x ³ x" Ỵ [1; e] nên

( )

e e

e

1

S=ò ln x dx=òln xdx =x ln x- =1

Vậy S=1 (đvdt)

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= - x2 +4x- 3, x =0, x=3 Ox Giải

Bảng xét dấu

x y – +

( ) ( )

1

2

0

(15)

1

3

2

0

x 2x 3x x 2x 3x

3 3

ỉ ư÷ ỉ ư÷

ỗ ỗ

= - -ỗỗ + + ữữ + -ỗỗ + + ữữ =

ố ứ ố ø .

Vậy S

3 =

(đvdt) 2 Diện tích hình phẳng

2.1 Trường hợp 1.

Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x), x =a, x=b

b

a

S= ò f(x)- g(x) dx Phương pháp giải toán

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) đoạn [a; b] Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x)- g(x) dx ò

2.2 Trường hợp 2.

Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x) S f(x) g(x) dx

b

a

=ị

- Trong a b, nghiệm nhỏ lớn

phương trình f(x)=g(x) (a£ a < b £ b)

Phương pháp giải tốn

Bước 1. Giải phương trình f(x)=g(x)

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) đoạn [a b; ] Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

f(x) g(x) dx

b

a

-ò

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x3 +11x- 6, y =6x2, x= 0, x=2.

Giải

Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 = x3- 6x2 +11x-

h(x)= Û0 x= Ú = Ú =1 x x 3 (loại). Bảng xét dấu

x h(x) – +

( ) ( )

1

3

0

S= - ò x - 6x +11x- dx+ò x - 6x +11x- dx

1

4

3

0

x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x

4 2

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= - ỗỗ - + - ữữ +ỗỗ - + - ÷÷ =

è ø è ø .

Vậy S

2 =

(đvdt)

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= x3 +11x- 6, y =6x2 Giải

(16)

h(x)= Û0 x = Ú = Ú =1 x x 3. Bảng xét dấu

x h(x) + –

( ) ( )

2

3

1

S= ò x - 6x +11x- dx- ò x - 6x +11x- dx

2

4

3

1

x 2x 11x 6x x 2x 11x 6x

4 2

ỉ ư÷ ổ ửữ

ỗ ỗ

=ỗỗ - + - ữữ - ỗỗ - + - ữữ =

ố ø è ø .

Vậy

1 S

2 =

(đvdt) Chú ý:

Nếu đoạn [a b; ] phương trình f(x)=g(x) khơng cịn nghiệm ta dùng cơng

thức

[ ]

f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx

b b

a a

- =

-ị ị

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x , y3 =4x Giải

Ta có x3 =4x Û x= - xÚ = Ú =0 x

( ) ( )

0

3

2

S x 4x dx x 4x dx

-Þ = ị - + ị

-0

4

2

x 2x x 2x 8

4 -

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= ỗỗ - ữữ + ỗỗ - ữữ =

ố ø è ø .

Vậy S=8 (đvdt)

Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2- x +3 trục hoành Giải

Ta có x2- x + = Û3 t2- 4t+ =3 0, t = x ³

t x x

= = = ±

é é é

ê ê ê

Û ê Û ê Û ê

= = = ±

ë ë ë

3

2

3

S x x dx x 4x dx

-Þ = ị - + = ò - +

( ) ( )

1

2

0

2éê x 4x dx x 4x dx ùú

= ê - + + - + ú

ê ú

ëò ò û

1

3

2

0

x x 16

2 2x 3x 2x 3x

3 3

ộổỗ ửữ ổỗ ửữ ự

ờ ỳ

= ờỗỗ - + ữữ + ỗỗ - + ÷÷ ú=

è ø è ø

ë û .

Vậy

16 S

3 =

(đvdt)

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2- 4x+3 y= +x Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

2

(17)

2

x

x 4x x

x

x 4x x

+ ³

ìïï é =

ïï é - + = + ê

Û í ê Û ê =

ïï ê ë

ï ê - + = -

-ïỵ ë .

Bảng xét dấu

x

2

x - 4x+3 + – +

( ) ( ) ( )

1

2 2

0

S x 5x dx x 3x dx x 5x dx

Þ = ị - +ò - + - +ò

-1

3 3

0

x 5x x 3x x 5x 109

6x

3 3

ổ ửữ ổ- ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ ỗ

= ỗỗ - ữữ +ỗỗ + - ữữ +ỗỗ - ÷÷ =

è ø è ø è ø .

Vậy

109 S

6 =

(đvdt)

Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y= x2 - , y= x +5 Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

2

x - = x + Û5 t - = +t 5, t = x ³

2

t x

t t x 3

t

t t

= ³

ìïï ì = ³

ï ï

ï é - = + ï

Û íï ê Û íï = Û = ±

ï ê ïỵ

ï ê - = -ïỵ ë

( ) ( )

3

2

3

S x x dx x x dx

-Þ = ị - - + = ò - - +

Bảng xét dấu

x

2

x - – +

( ) ( )

1

2

0

S x x dx x x dx

Þ = ị - - - +ò -

-1

3

0

x x x x 73

2 4x 6x

3 3

ổ- ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

= ỗỗ - - ữữ +ỗỗ - - ữữ =

è ø è ø .

Vậy

73 S

3 =

(đvdt)

Chú ý:

Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

1 Trường hợp 1.

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y= f(x)³ x" Ỵ [a;b], y= 0,

x=a x= b (a<b) quay quanh trục Ox

b a

V = pịf (x)dx

Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu hình trịn (C) : x2 +y2 =R2 quay quanh Ox Giải

(18)

Phương trình (C) : x2 +y2 =R2 Û y2 =R2- x2

( ) ( )

R R

2 2

R

V R x dx R x dx

-Þ = pị - = pị

-R

3

2

0

x R

2 R x

3

æ ửữ p

ỗ

= pỗỗố - ữữ =

ø .

Vậy

3

4 R V

3 p =

(đvtt) 2 Trường hợp 2.

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x= g(y)³ y" Î [c;d], x=0,

y=c y=d (c<d) quay quanh trục Oy

d c

V = pịg (y)dy Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối ellipse

2

x y

(E) :

a +b = quay quanh Oy.

Giải Tung độ giao điểm (E) Oy

2

y 1 y b

b = Û = ± .

Phương trình

2 2

2

2 2

x y a y

(E) : x a

a +b = Û = - b

b 2 2 b 2 2

2

b

a y a y

V a dy a dy

b b

-æ ửữ ổ ửữ

ỗ ỗ

ị = p ỗỗ - ữữ = p ỗỗ - ữữ

ố ø è ø

ò ò

R

2

a y a b

2 a y

3 3b

ổ ửữ p

ỗ

= pỗỗố - ÷÷ =

ø .

Vậy

2

4 a b V

3 p =

(đvtt) 3 Trường hợp 3.

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y=f(x), y=g(x), x=a

[ ]

x =b (a<b, f(x)³ 0,g(x) ³ x" Ỵ a; b ) quay quanh trục Ox là

b

2

a

V = pò f (x)- g (x) dx

Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y=x2, y2 =x quay quanh Ox

Giải Hoành độ giao điểm

4

x x

x

x x

³ =

ì é

ïï Û ê

í ê =

ï =

ï ë

ỵ .

( )

1

4

0

V x x dx x x dx

Þ = pị - = p ò

-( )

5

0

1x 1x

5 10

p

= p - =

Vậy

3 V

10 p =

(19)

Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x=f(y), x =g(y), y=c

[ ]

y= d (c<d, f(y)³ 0,g(y) ³ y" Ỵ c; d ) quay quanh trục Oy là

d

2

c

V = pị f (y)- g (y) dy

Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x= - y2 +5, x= -3 y quay quanh Oy

Giải Tung độ giao điểm

2 y

y y

y

= -é ê

- + = - Û ê =

ë .

( ) ( )

2

V y y dy

-Þ = pị - + -

-( )

2

4

1

y 11y 6y 16 dy

-= p ò - + +

2

5

2

1

y 11y 153

3y 16y

5 -

ổ ửữ p

ỗ

= p ỗỗ - + + ữữữ =

ố ø

Vậy

153 V

5 p =

(đvtt)

VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

1. Tính I=

 

1

10

1

∫ x dx

Áp dụng kết tính tổng sau:

1 10

10 10 10

1 1

1

2 11

    

S C C C

2. Tính:

 

1

19

1

I ∫x  x dx

Áp dụng kết tính tổng sau:

0 18 19

19 19 19 19 19

1 1 1

2 20 21

S C  C  C   C  C

3. Chứng minh rằng:

1

1 1

1

2 1

n n

n n n

C C C

n n



     

 

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=

sin cos

x x



 , biết F ln



 

 

 

2. Tính tích phân sau:

A=

1

2 -

e x x

dx x



∫

B=

2 -2

-1

x dx

∫

C=

0

2 ln 2x dx

∫

A=

3 cos

sin x

e xdx

 ∫

B=

1

ln

e x

dx x

∫

C*=

2

5

dx x x 

∫

D*=

2

11 -1

x dx

x

 ∫

I=1

sin(ln )

e x

dx x

∫

J=

2

sin cot

dx

x x



∫

K=

10

1

lgxdx

(20)

L=

ln

ln 3

x x

dx

e e

  ∫ M= 2 sin cos sin

xdx x x   ∫ N= 2

1 -

dx x ∫ C= 2 sin (1 cos )

x dx

x





∫

A=

1

0

-dx x ∫ B= 3 dx x  ∫ C=

16 -x dx ∫ D= ln 1-1 x x e dx e  ∫ E= 2 1dx x  ∫

A= ln e x dx x ∫

B*=0

sin cos

x x dx

x





∫

C*=

2

lnxdx x

∫

D*=1cos(ln )

e x dx  ∫ E=

3x 2x

dx x  ∫ * 1 x F dx x     ∫ 7. Tính: A= cos xdx  ∫ B= cos xdx  ∫ C= x xe dx ∫ D= x e dx x ∫ E= ln x xdx ∫ F=1 ln e x dx x  ∫ G= 2

x  x dx

∫

H=

4

0

1

x  xdx

∫ I= 1 x dx x ∫ J= 01 x dx x  ∫

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:

a x=1; x=e; y=0 y=

1 lnx x



b y=2x; y=3x x=0

c y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x=3 

9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) tiếp tuyến với đường

cong (C) điểm có hồnh độ

10.Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0

a Tính diện tích hình phẳng D

b Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox

11.Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1

khi quay quanh:

a)Trục Ox

b)Trục Oy

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	2,63 MB