Bài toán: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau và tính khoảng cách giữa hai đường đó... Xác định M là trung điểm đoạn AB. b) Viết phương trình đường vuông [r]
(1)ONTHIONLINE.NET Đường thẳng không gian A) Tóm tắt lý thuyết.
1 Phương trình tham số đường thẳng (d) là:
x = x0 + a1t
(d) y = y0 + a2t t R z = z0 + a3t
Với M (x0; y0; z0) điểm (d) qua
U= (a1; a2; a3) véc tơ phương.
2 Phương trình dạng tắc (d) là:
3 0 a z z a y y a x x
(Với a1; a2; a3) khác 0)
3 Vị trí tương đối hai đường thẳng.
Cho (d1) có phương trình x = x1 + a1t1 (d1) có VTCP a= (a1; a2; a3) y = y1 + a2t1 (d1) qua M1 = (x1; y1; z1) z = z1 + a3t1 Cho (d2) có phương trình x = x2 + b1t2 (d2) có VTCP b= (b1; b2; b3) y = y2 + b2t2 (d2) qua M1 = (x2; y2; z2) z = z2 + b3t2 Ta có trường hợp sau:
a) (d1) song song với (d2) <=> d M b k a
k R
b) (d1) trùng với (d2) <=> d M b k a
(2)y1+ a1t1 = y2 + b2t2 (I) z1+ a3t1 = z2 + b3t2
d) (d1) , (d2) chéo hệ (I) vô nghiệm akb
4 Vị trí tương đối đường mặt
Cho mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = Và đường thẳng (d) có phương trình
x = x0 + ta1 y = y0 + ta2 z = z0 + ta3 Xét phương trình ẩn t
A(x0 + ta1) + B (y0 + ta2) + C(z0 + ta3) + D = (1) Ta có trường hợp:
a) Nếu phương trình (1) vơ nghiệm (d) () khơng có điểm chung => (d) // ()
b) Nếu phương trình (1) có nghiệm t = t0 (d) cắt () điểm M0(x0+t0a1); y0 + t0a2; z+t0a3)
(3)B) Các dạng tập
I) Viết phương trình đường thẳng.
Dạng 1: Đi qua điểm véc tơ phương cho trước
Cách giải: - Xác định véc tơ phương - Chọn điểm qua
- áp dụng cơng thức
Dạng 2: Viết phương trình tham số đường thẳng (d) giao hai
mặt phẳng () ()
Cách giải: Xem ví dụ
Bài tập: Cho (): x + y + 2z = (): x - y + z + =
Do M thuộc giao tuyến () () => Toạ độ M thoả mãn hệ sau:
x + y + 2z = (I)
x - y + z + =
Chọn z = t => x + y = -2t x - y = - t => x = 3t
2
y = 2 t
=> Phương trình tham số (d) là: x = 2t
3 1
y = 2 t
z = t
Cách 2: Tìm điểm thuộc hệ (I)
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A cắt hai
(4)Cách giải: d giao (1) (2) với (1) qua A chứa (d1) (2) qua A chứa (d2)
(Nếu véc tơ phương d phương với VTCP d1 (hoặc d2 ) d khơng thoả mãn u cầu tốn)
Dạng 4: Đường thẳng (d) qua điểm A vng góc với hai đường thẳng d1,
d2 cho trước(u1
,u2
không phương) Cách giải: (d1) có VTCP u1
(d2) có VTCP u2
=> (d) có VTCP u u1;u2
Mà (d) qua A
áp dụng công thức để viết phương trình
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A, vng góc với (d1) cắt (d2)( u1
u2
0) Cách giải: - Viết PT () qua A vng góc với d1
- Xác định giao điểm B= ()d2
- Đường thẳng d qua A B
II) Vị trí tương đối đường thẳng.
A) Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng.
- Xác định VTCP u1
u2
- Nếu u1
= ku2
thay M1 vào d2 thoả mãn => d1 d2 - Nếu M1 d2 => d1 // d2
- Nếu u1
ku2
Giải hệ (I) có nghiệm d1 cắt d2 Nếu hệ (I) vơ nghiệm d1 chéo d2
B) Hai đường thẳng chéo tập liên quan.
(5)Cách giải: d1 có VTCP u1
d2 có VTCP u2
+ Lấy M1 thuộc d1, M2 thuộc d2 (có chứa tham số) + Giải hệ: M1M2 u1
= M1M2 u2
= => t1, t2 => M1 ; M2
- Đường thẳng qua M1M2 đường vng góc chung
- Độ dài đoạn M1M2 khoảng cách hai đường chéo
III) Hình chiếu vng góc.
Dạng 1: Hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng (P)
Cách giải: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (P) (d) cắt (P) điểm H => H điểm cần tìm
Dạng 2: Hình chiếu vng góc (d1) đường (d) nên mặt (P)
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) (Q)(P) - (d1) giao (Q) (P)
Dạng 3: Hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng (d)
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A (P) vng góc với (d) - Xác định giao điểm H (P) (d) => H điểm cần tìm
IV) Khoảng cách.
Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cách giải: áp dụng công thức
Dạng 2: Khoảng cách mặt phẳng song song
Cách giải: Bằng khoảng cách từ điểm mặt đến mặt
Dạng 3: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d)
(6)- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A (P) (d) - Tìm giao điểm H (P) (d)
=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) đoạn AH
Dạng 4: Khoảng cách từ đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//(P)
Cách giải: - Lấy M0 d
- Tính khoảng cách h từ M0 đến (P) => h khoảng cách cần tìm
Dạng 5: Khoảng cách đường thẳng chéo d1 d2
Cách giải:
- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d2) (P) song song với d1 - Lấy M1 thuộc (d1)
(7)C) Các tập luyện tập:
Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1; 0; -1) B(2;-1; 3)
Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M0 (2;1;3) có véc tơ phương u(1;2;5)
Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng qua A(-2;1;0) vng góc
với mặt phẳng x + 2y - 2z =
Bài tập 4: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A (4;3;1) song
song với đường thẳng x = + 2t y = -3t z = + 2t
Bài tập 5: Viết phương trình tham số (d) biết (d) giao mặt
phẳng (P) (Q) Với (P): x - 2z - = y + 2z + =
Bài tập 6: Viết phương trình đường thẳng qua A(1;2;3) cắt hai
đường thẳng
(d1):
3
2
1
y z
x
(d2): x = + t y = - t z = - t
Bài tập 7: Viết phương trình đường thẳng qua gốc O cắt hai đường thẳng
x = 2t + x = + u
d1 y = + t (d2) y = -3 + 2u
z = -3 + 3t z = + 3u
Bài tập 8:
1) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A (1;2;3) vng góc với hai đường thẳng (d1), (d2)
Với (d1) x = -1 +3t (d2) x = 2t
(8)z = - t z = 12 - 5t
2) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1;1;-2) song song với (P) vng góc với (d)
Biết (d):
2
1
1
y z
x
(P): x - y - z - =
Bài tập 9: Viết phương trình đường thẳng qua A(0; 1; 1) vng góc
với (d1) cắt (d2) biết
(d1): 1
2
1 y z
x
(d2) z t
t y x
1
Bài tập 10: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A (3; -2; -4)
song song với mặt phẳng (P): 3x - 2y - 3z - = cắt đường thẳng (d1) biết (d1) có phương trình
Bài tập 11: Xét VTTĐ đường thẳng sau
a) (d1) x = -3 + 2t (d2) x = t’
y = -2 + 3t y = 19 - 4t’
z = + 4t z = 15 + t’
b) (d1) x = + 2t (d2) x = + u
y = + t y = -3 + 2u
z = -3 + 3t z = + 3u
c) (d1) x = t x = t2
y = -1 - 2t y = + 2t2
z = - t z = 5t’ + 4
Bài tập 12: Cho d1, d2 có phương trình
(d1) x = + 2t1 (d2) x = + 2t2
y = - t1 y = -3 - t2
z = - t1 z = - t2
(9)b) Viết phương trình đường thẳng d song song, cách (d1); (d2) thuộc mặt phẳng chứa (d1), (d2)
Bài tập 13: Cho (d1), (d2) có phương trình
(d1) x = - t1 (d2) x = 2t2
y = t1 y = + t2
z = -1 z = t2
a) Chứng minh (d1) (d2) chéo
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song, cách (d1), (d2) Gợi ý câu b: Viết đường vng góc chung d1, d2
Tìm I trung điểm đoạn vng góc chung (P) qua I
(P) có n u1;u2
Bài tập 14: Cho (d1), (d2) có phương trình
(d1):
4
2
1
y z
x
(d2): x = -1 + t y = - t z = -2 + 3t
a) Chứng minh (d1), (d2) cắt I
b) Viết phương trình đường phân giác (d1), (d2) cho IA = IB Xác định M trung điểm đoạn AB Viết đường phân giác1 qua I M Viết đường phân giác 2
Bài tập 15: Cho (d1), (d2) có phương trình cho
x = -7 + 3t1 x = + t2
d1 y = - 2t1 d2 y = -9 + 2t2
z = + 3t1 z = -12 - t2
(10)Bài tập 16: Cho (d1), (d2) có phương trình
x = - t1 x = t2
d1 y = t1 d2 y = + t2
z = - z = t2
a) Chứng minh (d1) chéo (d2)
b) Viết mặt phẳng (P), (Q) song song với chứa (d1), (d2)
Bài tập 17: Cho d1, d2 có phương trình
x = + 2t1 x =
d1 y = -1 + t1 d2 y = + t2
z = - z = - t2
a) Chứng minh (d1) (d2) chéo b) Viết mặt phẳng (P) chứa (d1) // (d2) c) Tính khoảng cách (d1) (d2)
Bài tập 18: Xét VTTĐ (d) (P) biết:
a) x = + t (P) x - y + z + =
(d) y = - t z = + t
b) (d) x = 12 + 4t (P) y + 4z + 17 = y = + t
z = + t
c) (d) x = t (P) x + y - =
y = z = - t
Bài tập 19: Cho (P) đường thẳng (d) biết (P): 2x + y + z = (d):
3
2
y z
x
a) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P)
b) Lập (d1) qua A, (d1) vng góc với (d) (d1) mằm (P)
(11)(dm) giao mặt phẳng (xm): (2m + 1)x + (1 - m)y + m - = (m): mx + (2m + 1)z + 4m + = Xác định m để (dm) // (P)
Bài tập 21: Hãy viết phương trình hình chiếu vng góc (d1) đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) TH (d) (P) có phương trình sau:
a) x = + t (P): x + y + z - =
(d) y = t z = t
b) (d):
1
4
4
y z x
(P): x - y + 3z + = c) (P): 2x - z + =
(d) giao tuyến mặt phẳng (1): 3x - y + z - = (2): x+4y-5 =0
Bài tập 22: Cho A = (1,2,3) xác định hình chiếu vng góc A lên
trục ox, oy, oz
Bài tập 23: Cho A = (1, 2, -1) đường thẳng (d) có phương trình: x = 2t +
y = + t z = -3 + 3t
Xác định toạ độ hình chiếu A lên (d) từ tìm toạ độ điểm A’ đối xứng qua d
Bài tập 24: Cho A(2,1,-3) đường thẳng (d) có phương trình:
1
2
1
y z
x
Xác định toạ độ hình chiếu vng góc A lên (d), từ tìm A’, đối xứng với A qua d
Bài tập 25: Lập phương trình đường thẳng qua A (3, 2, 1) vng góc
với đường thẳng (d)
3
2
y z x
(12)Bài tập 26: Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) trường hợp sau:
a) A = (1, 2, 3) b) A = (1, 2, -1)
x = + 4t x = + 2t
y = -1 + t y = + t
z = t z = -3 + 3t
Bài tập 27: Cho (): 3x - 2y - z + =
():
3
7
1
y z
x
a) Chứng minh rằng: () // () b) Tính khoảng cách từ () đến ()
Bài tập28: Tính khoảng cách đường thẳng (d1) (d2) biết:
(d1): x = + 2t (d1):
3
2
2
y z
x y = -1 - t
z =
Bài tập 29: Cho (d1):
2
1
1
y z
x
(d2): 55
2
1
2
zyx
a) Chứng minh d1 d2 chéo