Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a.. Câu V.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 (Đề số 2) Mơn thi: TỐN Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số:
2 1
1 x y
x
(C).
1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
2. Gọi I giao điểm hai tiệm cận, M điểm (C), tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A, B Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi M thay đổi (C)
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình
3
sin sin 3 os cos3 1 8
tan .tan
6 3
x x c x x
x x
2 Giải phương trình
3
2
1 1 x 1x 1 x 2 1 x
.
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
1
2
ln 1
I x x x dx
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có ABAD a ,
3 AA '
2 a
, góc BAD 600 Gọi M, N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng minh AC’ vng góc với mặt phẳng (BDMN) tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a
Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương a b c, , thỏa mãn a2b2c2 1, ta có:
5 5
2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
.
B PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh làm hai phần (phần A B) I Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm hai đường thẳng: d1: x – y – = 0, d2: x + y – = Trung điểm cạnh giao điểm d1 tia Ox Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật
2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1;1) đường thẳng d:
14 5
4 1 2
x y z
Viết
phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt d hai điểm A, B cho độ dài đoạn thẳng AB 16
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x2 khai triển: 1 2
n
x x
, biết n số nguyên dương thỏa mãn:
2
0 2 2 2 6560
2
2 3 1 1
n n
n n n n
C C C C
n n
.
II Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng có đỉnh (-4; 8) đường chéo có phương trình 7x – y + = Viết phương trình cạnh hình vng
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 1 0 hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA MB đạt giá trị lớn
Câu VII.b (2.0 điểm) Cho hệ phương trình
2
3
3 2
1
log log 0
2 ,( )
0
x y
m R
x y my
Tìm m để hệ có nghiệm.
Hết
(2)ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 – Đề 2 Môn thi: TOÁN
.
Câu Ý Đáp án Điểm
I 1,0
TXĐ : D = R\ 1 Sự biến thiên:
y’ =
2
1 0,
1 x D
x
Hàm số nghịch biến trên: ;1 1;v
0,25
Giới hạn: xlim xlim 2; tiệm cận ngang: y =
limx1, limx1
; tiệm cận đứng: x =
0,25
Bảng biến thiên: 0,25
Đồ thị: 0,25
2 1,0
Gọi M(m;
2 1
1 m m
)
Tiếp tuyến (C) M:
2
1 2 1
1 1
m
y x m
m m
0,25
A(1;
2 1 m
m ), B(2m-1; 2) 0,25
IA =
2 1
2 2
1 1
m
m m , IB = 2m 2m1 0,25
1
. 2
2
IAB
S IA IB
Vậy diện tích tam giác IAB khơng đổi M thay đổi (C)
0,25
II 1,0
Điều kiện: 6 2 k x
Ta có
tan .tan tan .cot 1
6 3 6 6
x x x x
0,25
Phương trình tương đương với: sin sin 33x x c os cos33x x =
1 8
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1
. .
2 2 2 2 8
1 2 os2 os2 os4
2
c x c x c x c x c x c x
c x c x c x
0,25
3 1 1
os os2
8 2
c x c x
0,25
ai
6 ,
6
x k lo
k Z
x k
Vậy :x 6 k
(3)2 1,0
Đk: -1 x 1
Đặt u =
3
1x
, v =
3
(1 x) ; u,v 0
Hệ thành:
2
3
2
1 ( ) 2
u v
uv u v uv
0,25
Ta có:
2 2
3 2
1 1 1
1 2 2 2
2 2 2
( ) 2
uv uv u v uv u v
u v u v u v vu u v uv
0,25
2
2 2
2 2
1 2 2
u v
u
u v
0,25
2 2 x
0,25
III 1,0
Đặt
2
2
2 1
ln 1 1
2 x
du dx
u x x x x
x
dv xdx v
2
2
1 2 2
ln 1
2 0 2 1
x x x
I x x dx
x x
0,25
1
2
0
0
0
1 1 1 3
ln 3 ln( 1)
2 2 4 4 1
3 3
ln 3
4 4
dx
x x x x
x x
J
0,25
1
2
0 1 3
2 2
dx J
x
Đặt
1 3
tan , ;
2 2 2 2
x t t
3
2 3 3
3 9
J dx
0,25
Vậy I = 3
ln 3 4 -
3 12
0,25
IV 1,0
Gọi O tâm ABCD, S điểm đối xứng với A qua A’ M, N trung
điểm SD SB
AB = AD = a, góc BAD = 600 ABD OA = 3
, 3
2 a
AC a
SA = 2AA’ = a
3 3, ' AA '
2 a
CC
0,25
~ '
'
AO SA
SAO ACC
AC CC
' ~
ACC AIO
(I giao điểm AC’ SO)
'
SO AC
(1)
Mặt khác BD(ACC A' ') BDAC' (2) Từ (1) (2) đpcm
(4)2
2 2
'
1 3
3
3 2 4
1 3 3
3 2 4 2 32
SABD
SA MN
a
V a a
a a a
V
0,25
2
AA' '
7 32
BDMN SABD SA MN
a
V V V 0,25
V 1,0
Do a, b, c > a2b2c2 1 nên a, b, c 0;1
Ta có:
2
5
3
2 2
1 2
1 a a
a a a
a a
b c a
BĐT thành:
3 3 2 3
3
a a b b c c
0,25
Xét hàm số
3 , 0;1
f x x x x
Ta có: ax 0;1 M
f x =
2 3 9
0,25 0,25
2 3
3
f a f b f c
đpcm
Đẳng thức xảy
1 3 a b c
0,25
VI.a 1,0
I 9 3
; 2 3
, M3;0 0,25
Giả sử M trung điểm cạnh AD Ta có: AB = 2IM =
12 2
ABCD
S AB AD AD
AD qua M vng góc với d1 AD: x + y – =
0,25
Lại có MA = MB =
Tọa độ A, D nghiệm hệ:
2
3 0 2
1
3 2
x y x
y
x y
4 1 x y
0,25
Chọn A(2 ; 1) D4; 1 C7; v B5;4 0,25
2 1,0
Gọi H trung điểm đoạn AB HA8 0,25
IH2 = 17 0,25
IA2 = 81 R9 0,25
C : x12 y12z12 81 0,25
VII.a 1,0
Ta có:
2
2
0
0
2 2 2
2 1
2 3 1
n
n n
n n n n
C C C C x dx
n
0,25
1
1
3 1 6560
3 6561 7
1 1
n
n n
n n
0,25
7 7 14 3
0
1 1
2 2
k k k
x C x
x
(5)Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa: 14 3
2 7
4 k
k
Vậy hệ số cần tìm là: 21
4
0,25
VI.b 1,0
Gọi A(-4; 8) BD: 7x – y + = 0 AC: x + 7y – 31 = 0 0,25
Gọi D đường thẳng qua A có vtpt (a ; b) D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D hợp với AC góc 450 a = 3, b = -4 a = 4, b =
AB: 3x 4y32 0; AD: 4x3y 1 0
0,25
Gọi I tâm hình vng I(
1 9 ; ) 2 2
C3; 4
: 4 3 24 0; : 3 4 7 0
BC x y CD x y
0,25
KL: 0,25
2 1,0
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ điểm đối xứng với B qua (P)
B’(-1; -3; 4) 0,25
' '
MA MB MA MB AB
Đẳng thức xảy M, A, B’ thẳng hàng M giao điểm (P) AB’ 0,25
AB’: 1
3 2
x t
y
z t
0,25
M(-2; -3; 6) 0,25
VII.b 1,0
Đk: x 0, y > 0
3
3
3
2
1
log log
log log 0
2
0 0
, 1 , 2 0
x y
x y
x y ay
x y my
y x
y x
y y a
y y ay
0,25
Hệ có nghiệm (2) có nghiệm y >
Ta có : f(y) =y2y>0 ,y > 0 0,25
Do pt f(y) = a có nghiệm dương a>0 0,25