Giáo trình giải tích ii + iii phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến (in lần thứ ba) phần 2

Chương 12 P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N § K H Á I N I Ệ M C B Ả N 1.1 Các bà i t o n mở đ ẩ u Trong tích phân bất định ta giải tốn: Tìm hàm số F{x) miền đó, biết đạo hàm nó: F(x) = f(x) miền (bài tốn tìm ngun hàm) Trong ta xét tốn tổng qt hơn: Tìm hàm số y = y(x), biết hàm số đó, đạo hàm biến độc lập X liên hệ với phương trình Nhiều tốn khoa học kỷ thuật đưa đến việc giải toán này, chẳng hạn: 1) Tìm quy luật chuyển động vật khối lượng m rơi từ độ cao đó, biết lực càn cùa khơng khí tỷ lệ với vận tốc rơi Gọi s = s(í) (t thời gian) quy luật chuyển động theo định luật Newton ý nghĩa học cùa đạo hàm ta có phương trình để tìm s: g gia tốc trọng trường, K hệ số tỷ lệ đặc biệt K = (sức cản khơng khí khơng đáng kể) ta có: s" = g, gọi phương trình quy luật rơi tự _ dh Kds di (1) 246 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn »̂ 'lvim quy luật phân huy rađium biết tốc độ phân huy tỷ lệ với lượng radium có Gọi quy luật phải tìm R = Rự) (t thời gian) theo ý nghĩa học cùa đạo hàm theo giả thiết ta có phương trình để xác định R là: ~- = KR dí K hệ sơ tỷ lệ (2) / / i 3) Tim điíờng cong Trong mặt phang biết hệ số góc tiếp tuyến điểm cùa đường cong hai lần hệ số góc đường thẳng nối gốc toạ độ tiếp điểm Gọi y = y(x) phương trình đường cong phải tìm theo ý nghĩa hình học đạo hàm theo già thiết ta có phương trình để xác định y(xy (H.17t») y = 2- (3) Hình 179 Các phương trình (1), (2), (3) vừa lập gọi phương trình vi phân Các hàm phải tìm sự), Rự), y(x) gọi ẩn hàm phương trình 1.2 Định nghĩa phương trình vi phân Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến dóc láp hàm phải tìm đạo hàm hay vi phân hàm phải tìm Nếu hàm phải tìm hàm biến phương trình gọi phương trình vi phân thường hay gọi tắt phương trình vi phân Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu hàm phải tìm hàm n biến độc lập ị TI > 2) phương trình vi phân gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng hay gọi tắt phương trình đạo hàm riêng Trong chương ta chi xét phương trình vi phân (thường) Ta gói cấp phương trình vi phân cáp cao đạo hàm có mát phương trình Thí dụ : Các phương trình (1), (2), (3) 1.1 phương trình cấp 2, Ì, Dạng tổng qt phương trình vi phân cấp n là: F(x, y,y', y)) = Ta gói nghiệm phương trình vi phân hàm số y = y(x), X c X: thay vào phương trình ta đươc mót đồng thức Mỗi nghiệm phương trình vi phân ứng mót đường cong gọi đường cong tích phân phương trình vi phân 2v Thí dụ : Xét phương trình (3) lập 1.1: y = — X Rõ ràng hàm y = X2 nghiệm phương trình y = 2x Thay vào phương trình ta có: 2x2 2x = — ộc * 0) X Tổng quát : y = ex2, c = const, tuỳ ý nghiệm phương trình này, phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc sốtuỳ ý Bài tốn tìm nghiệm cùa phương trình vi phân gọi giải phương trình đó, việc giải thường dùng phép tích phân bất định nên việc giải phương trình vi phân gọi phép lấy tích phân phương trình vi phân 248 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Bài toán Cauchy- Nghiệm r iêng , nghiệm tổng t phương t r ì n h v i p h â n cấp Dang tống quát phương trình vi phân cấp mót là: y> y') = 0, hay giải ta đươc ý': y = f(x,ỵ) (1) 5j V 1.2 ta biết phương trình ý = — có vơ số nghiệm cho bởi: y = cx2 với X c = const ý Vậy muốn có nghiệm xác định hay đường cong xác định ta phải cho bổ sung điều kiện chẳng hạn điều kiện X = Ì y = Ì (đường cong qua điểm (Ì, 1)) Ì = e Ì hay c = Vậy ta có nghiệm xác định y = X2 phương trình Tổng q t : Để giải phương trình (1) ta phải thêm điều kiện bổ sung, chẳng hạn điều kiện X = xữ y -y0, ký hiệu: y(xữ) = y0 hay y\ = yQ (2) X — XQ gọi điểu kiện ban đầu, sơ kiện hay điều kiện Cauchy Bài tốn tìm nghiệm phương trình vi phân (ĩ) thoa mãn điều kiên (2) gói tốn Cauchy đơi với phương trình vi phân cấp Một vấn đề lốn đặt ra: Khi tốn Cauchy có nghiệm hay tồn nghiệm nghiệm Để trà lời, ta có: Đ ịnh lý t n t i : Nếu hàm f(x, y) liên tục miền có chứa điểm (Xg, ỵo) phương trình (1) tẩn nghiệm y = y(x) lân cận cùa điểm x0 thoa mãn sơ kiện (2), nghĩa X = x0 y = ya — liên túc tai nghiêm ày Ta cơng nhận định lý chứng minh vượt ngồi phạm vi giáo trình 249 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Thí dụ : Bài tốn Cauchy phương trình y'= — có nghiệm X điểm f{x,y) = — , — = — liên tục, nghĩa điểm X ày X mặt phảng trừ gốc toạ độ X = 0, y = trục Oy: X = Chẳng hạn tạ i (Ì, 1) theo thí dụ trên, nghiệm toán _ y = x • Về hình học, định lý phát biểu: f(x, y) fy(x,y) liên tục miền có chứa điểm (x0, y0) có đường cong tích phân nhA't phương trình qua điểm (x0, y0) Nghiêm tốn Cauchy gói nghiêm riêng phương trình vi phân Nghiêm phương trình (1) phụ thuộc số ý c: y - y(x, c) mà từ sơ kiên (2) ta xác đinh đước c đê có nghiêm riêng gói nghiêm tơng qt phương trình 'đó Nếu X, y, c có liên hê: ọ(x, y, c) = thức gói tích phân tổng qt phương trinh, hình hoe nghiêm tơng qt hay tích phân tổng qt biểu diễn mót ho đường cong phu thc mót tham số c Khi c = c0 e D gọi điểm bất thường hay điểm kỳ dị phương trình (1) phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn điều kiên ban đầu vị = y0 hay phương trình có hai nghiệm phân biệt lân cận điểm x0 thoa mãn điều kiện ban đầu Rõ ràng điểm (x0, y0) điểm kỳ dị phương trình (1) cần là: điều kiện định lý tồn tạ i nghiệm khơng thoa mãn lân cận điểm đó, đặc biệt f(x, y) liên tục — không bị chặn tạ i lân cận Nghiệm phương trình (1) gọi nghiêm bất thường hay kỳ di điểm đường cong tích phân tương ứng điểm bất thường phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Rõ ràng (p(x, y, c) = (2) tích phân tổng qt phương trình (1) họ (2) có hình bao hình bao tương ứng nghiệm bất thường phương trình P(x V) Nếu f(x,y) = ; P(x, y), Q(x, y) đa thức X, y phương Q(x,y) trình (1) khơng có nghiệm bất thường (?), có điểm bất thường (Xo, y0) mà P(x0, y0) = Q(x0, y0) = Thí dụ: Xét y= 3^// (a) thừ trực tiếp ta thấy y = (x - c)3 (b) nghiệm tổng quát (a) Hình bao họ (a) xác định từ hệ: ẹ(x,y,c) =y-(x-c)3 =0 ệe(x,y,c) =3(x-c)2 =0 Khử c ta có y = 0, họ (b) khơng có điểm bất thường nên y = hình bao họ (b) nghiệm bất thường phương trình (a) §2 MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PHƯƠNG TRÌNH CẤP ì: y ' = f ( x , y) 2.1 Phương trình biến số phân ly Phương trình biến số phàn ly phương trình có dạng M(x) dx + N(ỵ) dy = (1) Trong M(x) hàm số X, N(y) hàm số củay Cách giải: Để giải (1) giả sừy = y(x) nghiệm (1), thay vào (1) ta có đồng thức: M(x)dx + N[y(xWdx = Tích phân vế ta có: ỊM(x)dx + Ị N[y(x)]y dx = c 252 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn ị N[y(x)]ỷ dx = Ị N(y)dy Do dó: ỊM(x)dx + ịN(y)dy = C tích phân tổng qt phương trình (1) Thí du: 1) Giải: (2x + cosx)dx + ôy*dy - Tích phân vế ta có: X2 + sin* + y5 = c tích phân tổng quát cùa phương trình, suy y = ijc- X2 - sin X nghiệm tổng quát cùa phương trình 2) Giải: y' = — X flỉy _ , cỉv 2v ựy 2cỉx Vì y' = — nê n — = — hay — = —— (X, y * 0) dx dx X y X Tích phân vế ta có In ly I = 21n\x I + In I c I (C = const * In I C| = const bất kỳ) Do y = Cx2 (C * 0, JC * 0) nghiệm tổng quát phương trình cho Phương trình cho viết: 2ydx - xảy - Do ta thấy phương trình cịn có nghiệm y = (x * 0), X = (y*0) (nghiệm riêng) Nghiệm y = (x * 0) để nghiệm tổng quát với c = Vậy họ đường cong tích phân phương írình họ paraboles y = Cx2 (x * 0) trục Oy (trừ điểm oy X = (y * 0) Điểm (0, 0) điểm bất thường phương trình ( l i 181) Phương trình khơng có nghiệm bất thường 3) Giải tốn tìm quy luật phân huy radium cho biết lượng radium ban đầu i ? | í = = Ro , xác định hệ số tỷ lệ K cho biết: l g radium sau 26,7 phút phân huy 0,5g Ta biết phương trình xác định quy luật phân huy radium R = R(t) ^Ệ- = KR (1.1) Do : di 253 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn — = Kdt , tích phân vế ta 'R có: \n\R \ =Kt + ìn\C\ (C * 0) hay R = C.eKt Cho thoa mãn sơ kiện ta có: R0 = CeK0 hay C = R0 Vậy ta có qui luật: R=R0.elữ (a) Bây ta xác định K Theo già Hình 1X1 thiết theo (a) ta có: 0,5 = Le* hay tf = " = -0,026 26,7 R = R0 e - ° ' í , suy t -> X i ĩ -> Nhưng thực t ế khơng có í -» X nên lượng radium không phân huy hết Chú ý: Phương trình dạng: MịựịN^dx + Mĩ(x)N2(y)dy = đưa phương trình biến số phân ly Thực chia vế cho Nl(y).Mì(x) với già thiết JV,(y).Af2(x) * Ta có: M2(x) N2(y) phương trình dạng biến số phân ly Th í dụ : Giải x(y2 - l)dx +y(xỉ-l)dy = Chia vế cho (y2 - l ) (x -1) với giả thiết x*±\,y* ±1 Ta có: 254 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn file:///n/R file:/// _ ẹ * ụ ^ L = o hay ^ L + ^ = o x - l > - l X - y - Tích phân ta có: l n l * - l i +\n\y2-li = In I c I c * hay (x2 -1) (y2 -1) = c tích phân tổng quát phương trình Rõ ràng X = ±1, y = ±1 nghiệm phương trình (nghiệm riêng) Phương trình khơng có nghiệm bất thường 2.2 P h n g t r ì n h đẳng cấp Phương trình ý" = f(x, ỵ) (1) gọi phương trình đẳng cấp X, ỵ hàm f(x, y) hàm đẳng cấp bậc không X, y (hàm f(x, y) gọi đẳng cấp bậc n X, y vx € R, Ả * 0: f(lx, ly) = xaf(x, ý); bậc không: f(Xx, Ấy) = Ằ°f(x, y) = f(x, y), Ằ * 0) Thí dụ : í , 1) Phương trình xỳ =xex +y phương trình đẳng cấp, với X * 0, - V ỳ = e* + — , đậy X f(x,y)= c- + 2-,fQjc,ky)= e« +2- =fo,y), ọ * 0) 2) Phương trình 2xyđx ^ 2 X' -.y phương trình đẳng cấp to*, ly) = *£2* - *ZẺL = f { x , y) (x * 0) x2(x2-y2) x l - ỳ í 255 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn P(x v) ĩ Nêu ỳ = P(JC, ý), Q(x, y) đa thức dăng cáp Q(x,y) bậc X, y (các số hạng cùa chúng bậc) phương trình phương trình vi phân đẳng cấp Cách giải Xét phương trình đẳng cấp (1) theo định nghĩa: f(lx, Ấy) = f(x, y), đặt X = — , X * (1) có dạng: X ỷ=f(X, ị) =) (2) X X Đặt u= — y = xu, y = u +x— (2) viết được: X dx du , u+x^-= 2-ý'-— ý2 = * X Ì Đặt z = y z' = — > y , thay vào phương trình ta có: o > - u -x 2z - — z- x hay 2= — X X Đây phương trình tuyến tính đơi với z Giải phương trình ta có z = cx2 Coi c = c(x) coi z = c(x).x2 nghiệm phương trình khơng nhất; z - c'x2 + 2xc, ta có: c'x2 + 2xc - —cxi = — hay c = — * 0) X 2* c(x) = — In \ x I + c , c = const Do đó: = (— In U I + c)x2 y - zĩ = x*(c +— In |x|)2 (b) nghiệm tổng quát (a) Ta thấy y = nghiệm cùa (a), nghiệm bất thường cùa (a) dễ dàng thấy hình bao cùa họ (b) Chú ý: Trong phương trình Bernoulli (1) ta già thiết P(x), Q(x) liên tục miền X Từ già thiết suy ra: NếuX=(a, 6) thì: Nghiệm tốn Cauchy (nghiệm phương trình (1) với điều kiện y\ = y0) tồn với a < x0 < b, yữ * 0, y0 > ũ Nếu a Q (hữu tỳ), a > 0, phương trình Bernoulli có nghiệm y = 0, nghiệm nghiệm riêng a > Ì nghiệm bất thường < a < 26Õ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.5 P h n g t r ì n h v i p h â n tồn phần Thừa số t ích p h â n a Đ ịnh nghĩa cách g i ả i Phương trình P(x, ỵ)dx + Q(x, y)dy = (1) gọi phương trình vi phân tồn phần vế phải mót vi phân tồn phân hàm số Như phương trình (1) phương trình vi phân tồn phần Pdx + Qdy = du, u hàm số X, y: u = u(x, y) lúc (1) viết được: du - suy u(x, y) - c tích phân tổng quát phương trình Ta biết: Điều kiên cần đủ để biểu thức P(x, yịdx + Q(x, y)dy vi phân tồn phần mót hàm số u mót miên đơn liên D p, Ọ có đao hàm riêng liên túc thoa mãn thức: ÔP cộ -— = —- D ây õx Ta lại biết du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy li xác định theo công thức: u(x,y)= XịP(x,y0)dx + yỊQ(x,y)dy + c, *0 ýo X y hay u(x,y)= ỊP(x,y)dx+ ỊQ(xữ,y)dy+ cl với (x0,y0) D *0 ỹo Vậy tích phân tổng quát phương trình vi phân tồn phấn (l)là: ]p(x,y0)dx+]Q(x,y)dy = C (2) x0 y hay )P(x,y)dx + y\Q(x0,y)dy = c (2') Xo ỹo 26(> Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình vi phân tồn phần khơng có nghiệm bát thường Thí dụ : Giãi phương trình: (3*2 + 6xy*)dx + (6x2y + Ay3)dy = — = \2xyt — = \2xy õy õx Vậy phương trình cho phương trình vi phân tồn phần Theo (2) ta có tích phân tổng quát phương trình là: (lấy theo x0 - 0, y0 - e D=R2) X y ị 3x2dx + Ị (6x2y + Áy3 )dy = c ố ' ó hay X3 + 3xY + ý* - c Chú ý: 1) Ta giải phướng trình vi phân tồn phần (1) cách nhóm họp số hạng cùa phương trình để vi phân tồn phần hàm u Thí dụ : Giải phương trình: 2^., y2-3*2 yẵ / Ta có ÕP -Gx ÕQ _ -ẽx õy y* õx y* Vậy phương trình cho phương trình vi phân tồn phần Ta nhóm họp số hạng cùa phương trình: x J„ 3x , dy n / / / X2 Ì hay d(^)-d(-) = y y •lùi Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Do (ỉó X2 Ì ~ c y3 y tích phân tổng qt phương trình 2) Bằng cách dựa vào định nghĩa: Ị- = P(x,y) (à); Ị- = Q(x,y) (6) õx õy Từ (a): u = ỊP(x,y)dx + C(y); C(y) hàm tuỷ ý cùa y (coi y số số tuỳ ý c phụ thuộc y:c = C(y)) đó: Ị- = (í P(x, y)dxị +ơ(y) = Q(x,y) õy Từ ta có C(y) ta có u Thí dụ: 1) Giải: (3x2y +y2)dx + (x3 + 2xy +lỌy)ựy = 0, p = 3x2y + y2, Q = X3 + 2xy +lỌy ẼL = 3x2+2y, ụ = 3x2+2y ày õx Vậy Õ-L = ẼQ õy õx phương trình phương trình vi phân tồn phần Tim hàm u từ ỠM ~ÕX •• 3x2y + y2 suy ra: u(x, y) = x3y + xyì + C(ỵ) du Q Q ^ = * +2xy + c\y) = xỏ +2xy + 10y Do C(y) = lũy, suy C(y) = 5/ + c 2(58 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Vậy u(x, y) = x3y + xy2 + 5y2 = c tích phân tổng qt phương trình 2) Giải: (2x + y)dx + (x - 4y)dy = đằyP = 2x+y,Q=x ~4y ẹp_ õQ õy õx Tìm u, từ ^ = 2x + y suy u = x2 + xy + C(y) — = x + c'(y) = x-4y, dx õy hay C(y) = -4y, suy C(y) = - / + c U(JC, y) = xỉ + xy -2y2 =c tích phân tổng qt phương trình Ta thấy phương trình củng phương trình đẳng cấp đưa được: dy _ 2x+ ỵ _ _ x y dx x-4y ĩ _ l X X nên giải theo phương pháp giải phương trình đẳng cấp b) Thừa số tích phân Xét phương trình P(x, y)dx + Q(x, y)dx - (1) Giả sử phương trình khơng phải phương trình vi phân tồn phần, có mót hàm fi(x, y) cho phương trình: ụ(x, y) P(x, y)dx + fi(x, y) Q(x, y)dx = mót phương trình vi phân tồn phần ụ(x, y) gọi mót thừa số tích phân phương trình (1) Bây ta giả sử có hàm ụ.(x, y) thì: d(ịiP) = ÕÌỊỊQ) õy õx 2tfí) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn nghĩa là: ÕP D ỡ n ÕQ „dịi ụ.— + p — = li — + Q — ôy õy dx õx hay P ^ _ Q Ể ^ = ỂQ_^ (2) õy dx õx õy Rõ ràng hàm uột, Jí) thoa mãn (2) thừa số tích phân phướng trinh (1) Phương trình (2) phương trình vi phân đạo hàm riêng, người ta chứng minh với điều kiện đó, phương trình (2) có vơ số nghiệm Nhưng trường hợp tổng quát việc tìm ịi(x, y), thoa mãn (2) cịn khó khăn việc giải phương trình (1) Sau ta xét số trường hợp đặc biệt cho việc tìm ụ cách dễ dàng 1) Già sử n(x, y) = \i(y) (chì phụ thuốc y), lúc Ểinii = phương õx trình (2) viết được: ÕQ ÕP d In ụ _ õx õy áy p Rõ ràng phương trình chi có nghiệm vế phải khơng phụ thuộc X 2) Giả sử ụ(x, y) = ụ(x) (chi phụ thuộc x) Tương tự ta có phương trình để xác định ịi(x) với điều kiện vế phải ỔQ ổP dinịi _ õx dy dx ~ Q không phụ thuộc y 270 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Thí dụ : Giải phương trình: (Ì - x2y)dx + x2(y x)dy = Ta có: ? = -*2, ẼQ=2xy-3x2 vậyẼL*ẼQ õy dx õy õx Mặt khác ÕQ _ áp ổ* ỡy - , d l n n -2 , , x - = — ——- = — ịi(x) = Q X dx X X Nhân hai vế phương trình cho với ụ.(x) = -Ị- ta có-phương trình X2 vi phán toàn phần: (\-y)dx + {y-x)dy = 0, x*ữ Nhóm họp số hạng ta có: dx — - (ydx + xảy) + ydy = xz Ị _ Do - — XV - — = c h a y y - 2xy - — = c tích phân tổng quát cùa X X phương trình, Oe * 0) Chú ý: Việc nhân thừa số tích phân ịi(x, y) với vế cùa phương trình (1) để có phương trình vi phân tồn phần làm nghiệm phương trình (1), nghiệm nghiệm bất thường Chẳng hạn xét thí dụ trên, ta sử dụng thừa số tích phân ịí(x) = , x z X * Rõ ràng X = nghiệm phương trình cho, nghiệm riêng (?), khơng chứa nghiệm tổng quát: y - 2xy - — = c, X X * (hay thế, chứa nghiệm tổng quát với c = ao!) 271 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.6 P h n g t r ì n h Clairaut Lagrange Ta xét phương trình vi phân cấp giãi đơi với đạo hàm: ý = f{x, ý) Bây ta xét vài phương trình vi phân cấp khơng giải đạo h m / a) P h n g t r ì n h Clairaut: Phương trình Clairaut phương trình có dạng: y = xy'+ v(y') (ỉ) ọ(y') hàm ý o)(-r, À I Do ta có giá tri gần cùa nghiệm tạ i X = JC, là: >1 = yo + /teo,- >o)(*i - *o) (a) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Tương tự y2 =yt + K*u yi)(*i - Xỉ) (b) yn =yn-l + /frn-l yn-ì)(*n - *„-l) (n) Từ đẳng thức (a), (b), ,(n) ta có: yn-y0+ f(x0„ yữ) (x, - Xo) + /í*!, y,)(x2 - X,) + + f(*2, y2)(*3 - *2) + - + /(*„-! ;y„-l)(*„ - *n-l) Nếu n lớn, nghĩa chia đoạn [x0, x] làm nhiều phần nghiệm riêng tìm xác Phương pháp cho ta trị số gần nghiệm riêng ứng với trị số cụ thể cùa biến số độc lập mà khơng cần tìm hàm số biểu diễn nghiệm riêng Th i dụ : Giải gần phương trình: ỳ = xy2 + Ì với sơ kiện y\ = = [0, 1] Ta chia khoảng [0, 1] làm phần điểm x0 - 0, Xị - 0,25, x = 0,5, x3 = 0,75, Xị = Ì theo sơ kiện ta có: y Xo = 0, y0 = 0, ^0 = 0, + Ì = Ì yl = 0+ 1(0,20 -0) = 0,25, y\ = 0,25 (0,25)2 + Ì = 1,016, y1 = 0,25 + 1,016.0,25 = 0,504, ỳ2 = 0,5.(0,504)2 + =1,127, y3 = 0,504 + 1,127.0,25 = 0,786, y3 =0,75.(0,786)2+ Ì = 1,463 yA = 0,786 + 1,463.0,25 = 1,152 X) x2 ~ j Hình 190 Đường cong tích phân gần biểu diễn trơn hình 111 19 ) x4 X 283 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn § P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N C Á P CAO 5.1 Khái n i êm Bây giị ta chuyển sang xét phương trình cấp n dạng: y(n) = f(x,y,y, ,y(nl)) (1) Đối với phương trình này, khái niệm sơ kiện toán Cauchy định lý tồn nhất, nghiệm riêng nghiệm tổng quát phát biểu cách tương tự phương trình cấp dạng (1) ỗ §1 Bài tốn Cauchỵ phương trình (1) tốn tìm nghiêm thoa mãn điều kiên ban đầu (n-ll < n l ) w = yl=xo - x» y'LX0 = y'o, ,y(n-vl_x - y(on-1} (2) Thí dụ Xét phương trinh dùng để xác định quy luật rơi tự s" = g Tích phân vế ta có s' = gt + c, lại tích phân lần ta có: gi1 s = hCjí+ c2 Như ta nghiệm phụ thuộc số ý c, c2 Muốn có quy luật xác định, ta phải thêm vào điểu kiện độ cao s tốc độ V = s' thời điểm ban đầu bao nhiêu? Chẳng hạn s| =0 s'| _ = Lúc từ nghiệm ta có: s'=gt + Clvả = •^.0 + c1.0 + c2; 0=^.0 + Cj et2 Suy c, = c2 = quy luật phải tìm s = ^ - Đơi với tốn Cauchy (1), (2) ta có: 281 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Đ ịnh lý t ổ n t i (của nghiệm) Nếu hàm f(x, y, y% ý*" * ) liên tục lân cận điểm (x»> y»t yo>•••> y^'^) phương trình (1) có nghiệm y = ỵ(x) lân cận điểm x0 thỏa mãn điều kiên ban đầu (2) Hơn T< T T ' - ' tí-i\ c ủ n s l i ê n tục đ i ê m (x0» y», y'o,-,yonthì dy õy õ f n ' l y nghiêm y = y(x) Nghiệm tốn Cauchy (1), (2) củng gói nghiệm riêng phương trình vi phân (1) Nghiệm tổng quát (1) hàm y = y(x, Cj, C2,, ,cJ thoa mãn hai điều kiên: - Là nghiêm phương trinh V Cj, ct), ,cn c R - Cho điều kiên ban đầu (2) xác định Cj, CỊ, , C„ gi2 Thí dụ : Theo thí dụ s = 2— + cxt + c2 nghiệm tơng qt gt2 cùa phương trình s" = g s = =— nghiệm riêng cùa phương trình 5.2 Phương trình cấp cao hạ thấp cấp Ta biết dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n giải y(n) y n ) = f(x,y,y', ,y{n~1)) Trong phần ta xét số dạng đặc biệt phương trình hạ thấp cấp a) Phương trình dạng y(n) = f(x) (1) Già sử/là hàm liên tục (a, b) Để giải phương trình ta hạ thấp cấp cùa Vì y{n) = ( / n _ ) ) ' nên phương trình viết được: ( y i n - i ) y = f ( x y 285 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Tích phân ta có: yin - l ) = ị f(x)dx + Cj Nhưng yin~l) = (y(n_2))' nên phương trình lại viết (y{n'2))'=Ịf(x)dx + cl Tích phân ta có: y(n'2) = í (ị f(x)dx)dx + cxx + c2 Quá trình tiếp tục, ta đến phương trình cấp Giải phương trình cấp ta có nghiệm phải tìm Thí dụ: 1) Giải: /"= 2x, hạ cấp ta có: X3 y"=x2+cị, y' = -— + CịX + c2 ố X* X2 y = + c! + c2* + c3 2) Giải y" = sinAx với sơ kiện y\ =0 = 0, y| = Ì Ta có , coskx sinkx y=Ịsmkxdx = :— + Cị, y = —-— + CjX + c2 * Az Theo sơ kiện / l o = Ì ta có Ì = - Y + Cj suy Cj = Ì + ì y\ =0 =0 ta có = + c, + c2 suy c2 = Do nghiệm riêng là: Chú ý: Theo cách giải trên, nghiệm tổng quát cùa (1) là: y = ỊỊ Ị f(x)dxdx dx + cỉxn-l+c2xn-2+ +cn n lần •Am Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn miền: a < X < b ly l < + co , l y I < + » , l y - "Ị < + co Nghiệm cùa toán Cauchy (1) *L»=*> 4-*0=*> = *on_1) (2) miổn là: y= Ị J J/rx>(ixdx dx+-^-r*-x0/-w + + ^ rx-x0/"-^+ + 3'0^-^^ + 3'0- (ri-2)1 b) Phương trình dạng: ý = f(x, ý") Để hạ cấp ta đặt ý = p(x) y" = p phương trình viết p = f(x, p) giải phương trình ta có p - (p(x c,) trở lại p =/, ta có phương trình cấp = ẹ(x, cx) Giải ta cóy Thí dụ: 1) Giải: /'(Ì + X2) = 2x/ với sơ kiện y\x=0 = Ì, y|x=0 = Oặt y = p ý = p phương trình viết được: p'(l + X2) = 2xp hay -2- = ——=- p Ì + X tích phân ta có: lnp = ln(l+x2) + In le, I hay p = c, (x2 + 1) trở lại p=y ta có / = c,(x2 + 1) từ sơ kiện /| =0 = ta xác định c,: = c,(0 + 1) suy c, = lúc ta có: y = 3