Phép tính vi phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

„I HÅC € NŽNG TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  VƠ THÀ THỊY V…N LUŠN V‹N TH„C Sž T–N — T€I PH’P TNH VI PH…N CÕA H€M VECTÌ V€ MËT SÈ ÙNG DƯNG CHUY–N NG€NH: TON GIƒI TCH M¢ sè: 8.46.01.02 Ngữới hữợng dăn khoa hồc : TS HONG NHT QUY € NŽNG - N‹M 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990033592511000000 Mưc lưc LÍI CAM OAN MÐ †U Ki¸n thùc cì sð 1.1 Nhưc lÔi cĂc kián thực và vectỡ 1.2 Giợi hÔn v liản tửc cừa hm vectỡ mởt bián số 15 1.3 Ôo h m cõa h m vectì mët bi¸n sè 18 1.4 CĂc quy tưc tẳm Ôo hm 19 1.5 Tẵch phƠn cừa hm vectỡ mởt bián số 20 1.6 Sì l÷đc v· h m vectì nhi·u bi¸n sè 22 Mët số ựng dửng cừa php tẵnh vi phƠn cừa hm vectì 2.1 Ùng dưng h m vectì c¡c b i to¡n hẳnh hồc nh lữủng 24 2.1.1 ở di cung 24 2.1.2 ë cong cõa mët ÷íng 28 2.1.3 Vectì ph¡p tuy¸n ìn 32 2.1.4 Vectì trịng ph¡p tuy¸n 33 2.1.5 Ph¡p di»n, m°t ph¯ng mªt tiáp v ữớng trỏn mêt tiáp 35 2.1.6 ở cong v ữớng trỏn mêt tiáp cừa ữớng cong phng y = f (x) 2.2 24 Ùng dửng nghiản cựu trữớng vectỡ 37 38 2.2.1 Trữớng vectỡ v trữớng vổ hữợng 38 2.2.2 Gradian cừa mởt trữớng vổ hữợng 42 2.2.3 Ræta cõa mët tr÷íng vectì 46 2.2.4 2.3 2.4 ivecgiông cừa trữớng 49 Ùng döng c¡c bi toĂn vêt lẵ 53 2.3.1 Vectì vªn tèc, tèc ë v  vectì gia tèc cừa chĐt im 53 2.3.2 Trữớng vectỡ mởt chiÃu vêt lỵ 58 2.3.3 Tr÷íng vectì hai chi·u vêt lỵ 61 75 Ùng dưng nghi¶n cùu dÔng vi phƠn 2.4.1 Vi phƠn cừa hm vectỡ mởt bi¸n sè 75 2.4.2 Vi ph¥n cõa mët h m vectì nhi·u bi¸n sè 77 T i li»u tham kh£o 82 LÍI CAM OAN Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa riảng tổi CĂc số liằu, kát quÊ nảu luên vôn l trung thỹc v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt kẳ cổng trẳnh no khĂc TĂc gi£ Vơ Thà Thịy V¥n TRANG THƠNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH – K38 Họ tên học viên: VŨ THỊ THÙY VÂN Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng Tóm tắt: *Những kết luận văn: Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học: “ Phép tính vi phân hàm vecto số ứng dụng” đạt số kết sau đây: - Đã hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan tới vectơ, hàm vectơ, giới hạn tính liên tục hàm véc tơ, đạo hàm hàm véctơ - Trình bày số ứng dụng hàm vectơ phép tính vi phân hàm vectơ nghiên cứu số trường vectơ vật lý, nghiên cứu dạng vi phân toán học Các kết ứng dụng đưa luận văn nhiều *Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn: Tác giả tìm hiểu viết luận văn dựa việc tham khảo kết từ tài liệu chuyên ngành lĩnh vực, xuất NXB uy tín nước giới Các kết thu chứng minh cách chặt chẽ đầy đủ, luận văn có sở khoa học Về ý nghĩa thực tiễn, tài liệu tham khảo tiếng Việt bổ ích cho học viên cao học ngành Tốn Giải tích độc giả quan tâm lĩnh vực hàm véctơ ứng dụng Xác nhận giáo viên hướng dẫn TS HOÀNG NHẬT QUY Người thực đề tài VŨ THỊ THÙY VÂN INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: The differential calculus of vector functions and some applications Major: Mathematical analysis Full name of Master student: VU THI THUY VAN Supervisors: PhD HOANG NHAT QUY Training institution: The University of Danang, University of Education Summary * The main results of the thesis: The research topic of the Master of Science thesis: “The differential calculus of vector functions and some applications” has achieved the following results: - Systematized a number of concepts and results related to vectors, vector functions, limits and continuity of vector functions, derivatives of vector functions - Presenting some applications of vector functions and differential calculus of vector functions in the study of some vector fields in physics, in the study of differential forms in mathematics The application results given in the thesis are quite numerous * The applicability in practice and subsequent research of the thesis: The author researches and writes the thesis based on the reference to new results from the documents specialized in the field, published by prestigious domestic and international publishers The obtained results are rigorously and fully demonstrated, thus the thesis has a scientific basis In terms of practical significance, this can be a useful reference in Vietnamese for graduate students majoring in Analytical Mathematics and interested readers in the field of vector functions and applications Supervior’s confirmation PhD HOANG NHAT QUY Student VU THI THUY VAN MÐ †U Lỵ chồn à ti: Trong chữỡng trẳnh toĂn hồc phờ thổng,  thĐy nhiÃu bi toĂn hẳnh hồc phng v hẳnh hồc khổng gian ữủc giÊi quy¸t bði c¡c cỉng cư cõa vectì Ngo i c¡c ùng dưng h¼nh håc, vectì cán câ ùng dưng vêt lẵ v nhiÃu lắnh vỹc khĂc nỳa Hm vectỡ l  sü mð rëng kh¡i ni»m vectì b¬ng c¡ch °t t÷ìng ùng méi gi¡ trà t ∈ I ⊂ R vỵi mët vectì m°t ph¯ng ho°c khỉng gian (v  têng qu¡t hìn l  mët vectì khỉng gian vectì n o â) Khi â méi vectì câ thº xem l  mët h m vectì h¬ng Câ thº nâi h m vectì l sỹ kát hủp cừa lỵ thuyát và phữỡng phĂp tồa ở, vectỡ v lỵ thuyát hm số Vợi sỹ hộ trủ cừa cĂc cổng cử mÔnh cừa giÊi tẵch nhữ php tẵnh vi phƠn, php tẵnh tẵch phƠn, hm vectì trð n¶n húu hi»u c¡c ùng dưng hẳnh hồc, vêt lỵ v k thuêt Dữợi gõc ở to¡n håc, vi»c nghi¶n cùu h m vectì cho chóng ta cĂi nhẳn mợi, phữỡng phĂp tiáp cên mợi, tứ õ tẳm ữủc nhỳng lới giÊi hay cừa cĂc bi toĂn, cĂc ựng dửng hỳu ẵch cừa lỵ thuyát toĂn hồc nõi chung v lỵ thuyát và php tẵnh vi phƠn nõi riảng nhiÃu lắnh vỹc khĂc Mc dũ php tẵnh vi phƠn nõi chung v php toĂn Ôo h m nâi ri¶ng câ nhi·u ùng dưng to¡n cao cĐp v cĂc lắnh vỹc khĂc Tuy nhiản, nhỳng vai trỏ ny cừa Ôo hm khổng ữủc th hiằn ró nt chữỡng trẳnh toĂn hồc phờ thổng Viằc ựng dửng cừa Ôo hm mởt số lắnh vỹc quen thuởc (vêt lỵ, k thuêt, kinh tá ) khổng ữủc à cêp úng mực vổ tẳnh  gƠy sỹ ỡn iằu cừa khĂi niằm ny v khổng gƠy ữủc ởng lỹc v niÃm am m¶ håc to¡n cõa håc sinh Vi»c nghi¶n cùu khĂi niằm php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ cõ th em lÔi sỹ mợi m phữỡng phĂp tiằp cên khĂi niằm ny, mang lÔi gõc nhẳn mợi chữỡng trẳnh toĂn hồc phờ thổng Ngoi ra, à t i cơng ÷đc ký vång s³ l  cì sð º xƠy dỹng cĂc chuyản à o sƠu v m rởng c¡c kh¡i ni»m to¡n håc phê thỉng nh¬m ¡p ùng dÔy hồc phƠn hõa theo nh hữợng cừa chữỡng trẳnh giĂo dửc phờ thổng nôm 2018 Vợi nhỳng lỵ nhữ trản, dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa Nhêt Quy , tỉi ¢ chån · t i mët sè ùng dửng TS Hong Php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ v  thỹc hiằn luên vôn ThÔc sắ cừa mẳnh Mửc tiảu nghiản cựu: - Hằ thống lÔi c¡c ki¸n thùc cì b£n v· vectì - Ph¡t biºu khĂi niằm hm vectỡ v cĂc kián thực liản quan án hm vectỡ nhữ: hm vectỡ, tẵnh liản tửc cừa hm vectỡ, Ôo hm, php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ khổng gian tuyán tẵnh nh chuân hỳu hÔn chiÃu - ng dửng cừa php tẵnh Ôo hm cừa hm vectỡ nghiản cựu mởt số mổ hẳnh vêt lỵ ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu: 3.1 ối tữủng nghiản cựu Trong luên vôn ny, chúng tổi nghiản cựu mởt số vĐn à cỡ bÊn và php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ nhữ: hm vectỡ, tẵnh liản tửc cừa hm vectỡ, Ôo hm, php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ khổng gian tuyán tẵnh nh chuân hỳu hÔn chiÃu v ựng dửng cừa php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ 3.2 PhÔm vi nghiản cựu à ti nghiản cựu thuởc chuyản ngnh giÊi tẵch toĂn håc Cö thº, · t i s³ h» thèng hâa c¡c c¡c ki¸n thùc v· vectì , kh¡i ni»m h m vectì, tẵnh chĐt liản tửc cừa hm vectỡ, Ôo hm cừa hm vectỡ, php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ khổng gian tuyán tẵnh nh chuân hỳu hÔn chiÃu v ựng dửng cừa php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ Phữỡng phĂp nghiản cựu - Thu thêp, tờng hủp, hằ thống cĂc ti liằu liản quan án nởi dung à ti luên vôn - ồc, tra cựu ti liằu tham kh£o, nghi¶n cùu khoa håc mët c¡ch logic v  h» thèng - Trao êi, th£o luªn, tham kh£o ỵ kián cừa ngữới hữợng dăn ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn cừa à ti Kát quÊ nghiản cùu cõa · t i gióp tỉi hiºu s¥u s­c hìn và php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ, gõp phƯn nƠng cao chĐt lữủng giÊng dÔy mổn bêc THPT m tổi ang Êm nhên c biằt, cĂc kát quÊ nghiản cựu ữủc s tr thnh tữ liằu chẵnh  tổi xƠy dỹng cĂc chuyản à tỹ chồn v cĂc hoÔt ởng trÊi nghiằm sĂng tÔo theo yảu cƯu cừa chữỡng trẳnh phờ thổng mợi s trin khai bưt Ưu tứ nôm 2020 CĐu trúc luên vôn Nởi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by chữỡng Chữỡng dnh  trẳnh by lÔi mởt số khĂi niằm v kát quÊ cỡ bÊn và vectỡ, hm vectỡ, giợi hÔn liản tửc cừa hm vectỡ v Ôo hm cừa hm vectì Ch÷ìng l  mët sè ùng dưng cõa h m vectỡ viằc nghiản cựu mởt số mổ hẳnh vêt lỵ liản quan v nghiản cựu dÔng vi phƠn toĂn hồc Chữỡng Kián thực cỡ s Chữỡng ny ữủc dnh  hằ thống lÔi mởt số khĂi niằm v kát quÊ liản quan tợi vectỡ; hm vectỡ; cĂc php toĂn giợi hÔn, Ôo hm v tẵch phƠn cừa hm vectỡ Ơy l nhỳng kián thực cỡ bÊn cƯn thiát cho viằc nghiản cựu cĂc ựng dửng cừa Ôo hm cừa hm vectỡ chữỡng CĂc khĂi niằm v kát quÊ chữỡng ny ữủc tham khÊo tø c¡c t i li»u [1], [2], [4], [5], [6] 1.1 Nhưc lÔi cĂc kián thực và vectỡ Trong chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng, vectỡ ữủc nh nghắa l mởt oÔn th¯ng â quy ành mët ¦u mót l  iºm ¦u (iºm gèc) v  ¦u mót cán l  l  iºm cuối (im ngồn) Khi õ, ở di oÔn thng õ gồi l ở di (ở lợn) cừa vectỡ, ữớng thng chựa oÔn thng õ gồi l phữỡng v chiÃu tứ im Ưu án im cuối gồi l chiÃu cừa vectỡ Php cởng hai vectỡ cho ta mởt vectỡ mợi ữủc x¡c ành bði quy t­c ba iºm ho°c quy t­c hẳnh bẳnh hnh Php nhƠn mởt số thỹc phữỡng vợi a, cõ ở di bơng ngữủc chiÃu vợi a náu λ vỵi mët vectì ⃗a cho ta mët vectì mỵi |||a| v cõ chiÃu chiÃu vợi a náu > 0, < Trong chữỡng trẳnh toĂn cao cĐp, vectỡ ữủc hiu l mởt phƯn tỷ cừa K {R, C} mởt khổng gian vectỡ trản trữớng số trản trữớng K l mởt têp hủp V = é Ơy, khổng gian vectỡ m trản õ nh nghắa hai php toĂn Nhên xt 1.2.1 D R Cho y = f (x) l  h m sè mët bián số xĂc nh trản têp Khi õ, hm số ¢ cho câ thº chuyºn th nh h m vectì x¡c ành bði cæng thùc sau ⃗r(t) = t⃗i + f (t)⃗j, Vẵ dử 1.2.1 têp hủp (t D) → − √ → − → − r (t) = t i + t + j + ln (2 − t) k → − x¡c ành cõa h m vectì r → − C¡c h m sè th nh ph¦n cõa h m vectì r l  Cho h m vectì T¼m Gi£i: x(t) = t, y(t) = √ t + 1, z(t) = ln(2 − t) Tªp hđp x¡c ành cõa h m vectỡ cĂc hm thnh phƯn r l têp hđp t§t c£ c¡c t∈R cho x(t), y(t), x(t) ỗng thới xĂc n Vêy ta cõ iÃu kiằn l: ( t+1≥0 ⇔ −1 ≤ t < 2−t>0 Vªy tªp hđp x¡c ành cõa h m vectì → − r l khoÊng [1, 2) Sau Ơy ta nhưc lÔi khĂi niằm giợi hÔn cừa hm vectỡ nh nghắa 1.2.2 − → − → − → − r = x i + y j + z k x¡c ành tr¶n → − → − → − → − mët l¥n cªn cõa iºm t0 ∈ R (câ thº trø iºm t0 ) Cho l = l1 i +l2 j +l3 k → − → − l  mët vectì khỉng êi Ta nõi rơng hm r cõ giợi hÔn tÔi im t0 l  l v  → − → − vi¸t l  lim r (t) = l n¸u Gi£ sû h m vectì t→t0   lim x(t) = l1    t→t0 lim y(t) = l2 t→t0     lim z(t) = l t→t0 N¸u h m vectì → r xĂc nh trản khoÊng thẳ lim tt0 (t→t+ 0) → − → − r (t) = l ⇔              16 (α, t0 ) ho°c tr¶n kho£ng lim x(t) = l1 , lim y(t) = l2 , lim z(t) = l3 , + t→t− (t→t0 ) + t→t− (t→t0 ) + t→t− (t→t0 ) (t0 , ) Vẵ dử 1.2.2 Tẳm − → − → − r (t) = − t i + t2 j + − − lim → r (t) v  lim− → r (t) t→0 t→1 → − Tªp hđp x¡c ành cõa r l  (−∞, 0) ∪ (0, 1) − sin t → t k Cho h m vectì Gi£i  lim ⃗r(t) = lim lim t→0 t→0 √ t→0   → → → − sin t −  − − t i + lim t2 j + lim k t→0 t→0 t = ⃗i + ⃗k       √ → − sin t → − → − lim− = lim− lim− − t i + lim− t2 j + lim− k t→1 t→1 t→1 t→1 t→1 t → − → − = j + (sin 1) k Tứ nh nghắa 1.2.2 ta thĐy rơng giợi hÔn cừa hm vectỡ ữủc chuyn qua giợi hÔn cừa cĂc hm số thnh phƯn Dỹa vo tẵnh chĐt giợi hÔn cừa h m sè thüc mët bi¸n v  ph²p to¡n tåa ë cõa h m vectì ta câ thº chùng minh ÷đc ành lỵ sau Ơy nh lỵ 1.2.2 Náu hai hm vectỡ u v v cõ giợi hÔn tÔi im t0 R thẳ a) t→t lim [→ u (t) + → v (t)] = lim → u (t) + lim → v (t) t→t t→t − − lim → u (t) (c ∈ R) b) t→t lim c → u (t) = c t→t − − − − c) t→t lim [→ u (t).→ v (t)] = lim → u (t) lim → v (t) t→t t→t 0 0 0 − − d) t→t lim [→ u (t) ∧ → v (t)] = 0    − − lim → u (t) ∧ lim → v (t) tt0 tt0 Sau Ơy ta nhưc lÔi khĂi niằm liản tửc cừa hm vectỡ nh nghắa 1.2.3 im t0 ∈ R a) Gi£ sû h m vectì Ta nâi r¬ng h m vectì → − r → − r x¡c ành trản mởt lƠn cên cừa liản tửc tÔi im t0 n¸u − − lim → r (t) = → r (t0 ) t→t0 b) H m vectì → − r (α, t0 ] hoc im t0 náu xĂc nh trản khoÊng ữủc gồi l liản tửc trĂi (liản tửc phÊi) tÔi tr¶n kho£ng [t0 , β) lim ⃗r(t) = ⃗r(t0 ) ( lim+ ⃗r(t) = ⃗r(t0 ) t→t− c) H m vectỡ im thuởc r(t) tt0 ữủc gồi l liản tửc trản têp T 17 T náu nõ liản tửc tÔi mồi Tứ nh nghắa và giợi hÔn cừa hm vectỡ (nh nghắa 1.2.2) cõ th dng chựng minh ữủc nh lỵ sau Ơy nh lỵ 1.2.3 Cho hm vectỡ ⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t)⃗k x¡c ành tr¶n mởt lƠn cên cừa im t0 Khi õ, hm r(t) liản tửc tÔi im t0 náu v ch náu cĂc hm số x(t), y(t), z(t) liản tửc tÔi im t0 1.3 Ôo hm cừa hm vectỡ mởt bián số nh nghắa 1.3.1 r xĂc nh trản mởt lƠn cên cừa im r t0 R Ôo hm cừa hm vectỡ r tÔi im t0 , k½ hi»u l  → r ′ (t0 ) ho°c d⃗ dt |t=t0 , Gi£ sû h m vectì ÷đc cho bði cæng thùc → − − r ′ (t0 + h) − → r ′ (t0 ) → − ′ , r (t0 ) = lim h→0 h (1) n¸u giợi hÔn vá phÊi cừa cổng thực (1) tỗn tÔi Ôo hm phÊi v Ôo hm trĂi cừa hm vectỡ tÔi t0 ữủc nh nghắa tữỡng ựng giợi hÔn cừa vá phÊi (1) ữủc tẵnh cho t → 0− v  t → 0+ Bði ành ngh¾a và giợi hÔn cừa hm vectỡ (nh nghắa 1.2.2), ta cõ kát quÊ sau Ơy và mội liản hằ giỳa Ôo hm cừa hm vectỡ vợi Ôo hm cừa cĂc h m sè th nh ph¦n → − → − → − nh lỵ 1.3.1 Hm vectỡ r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k cõ Ôo hm tÔi im t0 v ch cĂc hm số thnh phƯn x, y, z cừa nõ cõ Ôo hm tÔi t0 Náu hm vectỡ r cõ Ôo hm tÔi im t0 thẳ cổng thực o h m cho bði ⃗r′ (t0 ) = (x′ (t0 ) , y ′ (t0 ) , z ′ (t0 )) = x′ (t0 )⃗i + y ′ (t0 ) ⃗j + z ′ (t0 ) ⃗k V½ dư 1.3.1 T½nh Ôo hm cừa hm vectỡ sau r(t) = e2ti + cos tj ln |t|k GiÊi: p dửng nh lỵ 1.3.1 ta câ ⃗r′ (t) = 2e2t⃗i − sin t⃗j − ⃗k t 18 1.4 C¡c quy t­c t¼m Ôo hm Cõ th m rởng cĂc quy tưc tẳm Ôo hm cừa hm số thỹc cho hm vectỡ nh lỵ 1.4.1 GiÊ sỷ u v v l hai hm vectỡ cõ Ôo hm, l mởt hm số thỹc cõ Ôo hm v c l mët sè thüc khæng êi Khi â ′ − − − − a) h[→ u (t) + → vi(t)] h= → u ′ (t) + i→ v ′ (t), ′ − − b) c → u (t) = c → u ′ (t) , ′ − − − c) [φ(t)→ u (t)] = φ′ (t)→ u (t) + φ(t)→ u ′ (t), ′ − − − − − − d) [→ u (t).→ v (t)] = → u ′ (t).→ v (t) + → u (t).→ v ′ (t), ′ − − − − − − e) [→ u (t) ∧ → v (t)] = → u ′ (t) ∧ → v (t) + → u (t) ∧ → v ′ (t), ′ − − f) [→ u (φ(t))] = φ′ (t)→ u ′ (φ(t)) Chùng minh C¡c c¥u a), b), d), f) suy tứ cổng thực Ôo hm cừa cĂc hm thnh phƯn é Ơy ta s chựng minh hai cæng thùc c) v  e) c) Gi£ sû → − u (t) = (x(t), y(t), z(t)) Khi â − φ(t)→ u (t) = (φ(t)x(t), φ(t)y(t), φ(t)z(t)) Do â
′ − [φ(t)→ u (t)] = [φ(t)x(t)]′ , [φ(t)y(t)]′ , [φ(t)z(t)]′ = (φ′ (t)x(t) + φ(t)x′ (t), φ′ (t)y(t) + φ(t)y ′ (t), φ′ (t)z(t) + φ(t)z ′ (t)) = φ′ (t)(x(t), y(t), z(t)) + φ(t)(x′ (t), y ′ (t), z ′ (t)) − − = φ′ (t)→ u (t) + φ(t)→ u ′ (t) |h| > õ nhä, ta câ → − − − − u (t + h) ∧ → v (t + h) − → u (t) ∧ → v (t) e) Vỵi h → − → − − − − − − − u (t + h) ∧ v (t + h) − → u (t) ∧ → v (t + h) → u (t) ∧ → v (t + h) − → u (t) ∧ → v (t) = + h h → − → − → − → − u (t + h) − u (t) → v (t + h) − v (t) − = ∧− v (t + h) + → u (t) ∧ h h → Dạ thĐy h thẳ vá phÊi cừa ng thực trản dăn án u (t) ∧ v (t) + ′ → − − − − − − u (t) ∧ → v ′ (t) Do õ hm u v cõ Ôo hm tÔi iºm t v  [→ u (t) ∧ → v (t)] = → − − − − u ′ (t) ∧ → v (t) + → u (t) ∧ → v (t) 19 nh lỵ 1.4.2 GiÊ sỷ hm vectỡ r cõ Ôo hm trản khoÊng I Náu vợi mồi t I, õ c l mởt hơng số thẳ vectỡ r (t) vng − gâc vỵi vectì → r (t) vỵi måi t ∈ I − ∥→ r (t)∥ = c − − − − − Chùng minh V¼ ∥→ r (t)∥ = c2 = → r (t).→ r (t) n¶n → r (t).→ r (t) = c2 vỵi måi t I LĐy Ôo hm hai vá cừa ỗng nhĐt thực trản, ta ữủc: = [ r (t).→ r (t)] = → − − − − − − − − r (t).→ r (t) + → r (t).→ r (t) = 2→ r (t).→ r (t), â → r (t).→ r (t) = vỵi måi t ∈ I → −′ → − Vªy r (t) vuổng gõc vợi r (t) Tứ nh lẵ 1.4.2, ta suy rơng náu ữớng cong thẳ tiáp tuyán cừa nơm trản mởt mt cƯu tÔi mội im vuổng gõc vợi bĂn kẵnh cừa mt cƯu i qua im õ 1.5 Tẵch phƠn cừa hm vectỡ mởt bián số Tữỡng tỹ cĂc php toĂn giợi hÔn, php lĐy Ôo hm, php tẵnh pẵch phƠn cừa mởt hm vectỡ ữủc nh nghắa v tẵnh toĂn qua cĂc hm sè th nh ph¦n cõa nâ Cư thº ta câ ành nghắa sau Ơy nh nghắa 1.5.1 → − → − r = x i + y j + z k liản tửc trản oÔn [a, b] Tẵch phƠn cừa hm r trản [a, b] ÷đc cho bði cỉng thùc  b   b   b  Zb Z Z Z → − → − → − → − r (t)dt =  x(t)dt i +  y(t)dt j +  z(t)dt k a Gi£ sû h m vectì a V½ dư 1.5.1 Gi£i: T½nh I= a R1 a → − → − → − √ (t2 i − + t j + e2t k )dt Theo ành ngh¾a, ta câ Z1 I=     Z Z √
→ → − − → − t2 dt i −  + tdt j +  e2t dt k 0 → − 1→ √ − → − = i − (2 − 1) j + (e2 − 1) k 3 Náu r l mởt hm vectỡ liản tửc trản oÔn [a, b] v hm −′ → − → − vectì R l  mët nguy¶n hm cừa r trản oÔn [a, b] (tực l R (t) = r (t) vợi nh nghắa 1.5.2 20 b → − → − → − → − måi t ∈ [a, b] ) th¼ r (t)dt = R (t) = R (b) − R (a) a a → ch mởt nguyản hm bĐt kẳ cừa hm vectỡ r Rb V½ dư 1.5.2 K½ hi»u R→ − r (t)dt Tẳm nguyản hm cừa hm vectỡ sau − → − → − → − r (t) = cos t i − t sin t2 j + 2t k Gi£i: Z Trong Theo ành ngh¾a 1.5.2 ta câ Z  Z   → − → − → − → − 2tdt k t sin t2 dt j + r (t)dt = cos tdt i −  
→ − → − → − = (2 sin t + C1 ) i + cost + C2 j + t2 + C3 k → − → − → − → − = sin t i + cost2 j + t2 k + C → − â C = c1⃗ i + c2j + c3k l mởt vectỡ hơng tũy ỵ Z nh lỵ 1.5.1 GiÊ sỷ u , v l hai vectỡ liản tửc trản oÔn [a, b] , c l  mët → − h¬ng sè v  C l  mët vectì khỉng êi Khi â Rb − Rb − Rb − − a) [→ u (t) + → v (t)]dt = [→ u (t)]dt + [→ v (t)]dt, a b) a Rb h a i Rb → → − u (t)]dt, c u (t) dt = c [− a a i Rb h → − Rb → − → − c) C u (t) dt = → C [− u (t)]dt, a a Rb Rb → − − d) u (t)dt ≤ ∥→ u (t)∥dt a a Chùng minh Chùng p dưng ành ngh¾a tẵch phƠn cừa hm vectỡ, dng chựng minh ữủc c¡c cæng thùc a), b), c) Ta chùng minh d) °t Rb → → − C = [− u (t)]dt Theo c¥u c) ta câ a Z b Zb h → i → − → − − ⃗ ⃗ ⃗ ⃗u(t)dt = C u (t) dt C = C.C = C a a 21 V¼ → → − → − → − C u (t) ≤ C ∥− u (t)∥ vỵi måi t ∈ [a, b] Zb → → Zb − → − − → − u (t)∥dt = C ∥→ u (t)∥dt C ≤ C ∥− a • nản tứ ng thực trản suy Náu C ̸= th¼ → − C > a Chia hai vá cừa bĐt ng thực trản cho C , ta cõ ữủc bĐt ng thực cƯn chựng ã Náu C =0 thẳ hin nhiản ta cõ bĐt ng thực cƯn chựng 1.6 Sỡ lữủc và hm vectỡ nhiÃu bián số Mửc ny chừ yáu giợi sỡ lữủc và hm vectỡ hai bián số nhên giĂ tr khổng gian ba chiÃu Trữớng hủp hm vectỡ nhiÃu hỡn hai bián số v nhên gi¡ trà c¡c khỉng gian kh¡c ba chi·u ÷đc xem xt tữỡng tỹ nh nghắa 1.6.1 (Ănh D l mët tªp cõa R2 (D ⊂ R2 ) Khi õ, hm xÔ) r : D R3 , (u, v) 7→ ⃗r(u, v) ÷đc gåi l  h m vectì xĂc nh trản Cho D ã Trữớng hủp R3 ữủc trang bà h» tåa ë ba chi·u Oxyz th¼ ta câ biºu thùc tåa ë cõa h m vectì l  ⃗r(u, v) = x(u, v)⃗i + y(u, v)⃗j + z(u, v)⃗k = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) â x(u, v), y(u, v), z(u, v) l  c¡c h m sè hai bián xĂc nh trản D v gồi l cĂc hm số thnh phƯn cừa hm vectỡ ã Náu hm vectỡ ⃗r(u, v) cho bði biºu thùc tåa ë m  khæng nõi ró têp xĂc nh thẳ ta hiu têp xĂc ành cõa nâ l  giao cõa c¡c tªp x¡c ành cừa cĂc hm số thnh phƯn ã Cho z = f (x, y) l  h m sè hai bi¸n sè x¡c ành vỵi (x, y) ∈ D ⊂ R2 Khi â, ta câ h m vectì t÷ìng ùng l  ⃗r(u, v) = (u, v, f (u, v)) vìi (u, v) ∈ D Tø biºu thùc tåa ë cõa h m vectì ta thĐy cĂc php toĂn giợi hÔn, liản tửc cừa hm vectì ÷đc chuyºn mët c¡ch tü ëng qua c¡c ph²p toĂn tữỡng ựng ối vợi hm tồa ở thnh phƯn Cử th ta cõ nh lỵ sau Ơy 22 nh lỵ 1.6.1 Cho hm vectỡ r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), vỵi (u, v) ∈ D v  (u0, v0) ∈ D Khi â ta câ (a) H m vectỡ r cõ giợi hÔn tÔi im (u0, v0) v  ch¿ c¡c h m th nh ph¦n x(u, v), y(u, v), z(u, v) Ãu cõ giợi hÔn tÔi (u0, v0) v  ta câ cæng thùc lim (u,v)→(u0 ,v0 ) ⃗r(u, v) = ( lim x(u, v), (u,v)→(u0 ,v0 ) lim y(u, v), (u,v)→(u0 ,v0 ) lim z(u, v)) (u,v)→(u0 ,v0 ) (b) Hm vectỡ r liản tửc tÔi im (u0, v0 náu v ch náu cĂc hm số thnh phƯn x(u, v), y(u, v), z(u, v) Ãu liản tửc tÔi im õ Ôo hm riảng cừa hm vectỡ cụng ữủc nh nghắa thổng qua Ôo hm riảng cừa cĂc hm sè th nh ph¦n Cư thº ta câ c¡c cỉng thùc sau ∂y ∂z ∂x ∂⃗r = ⃗i + ⃗j + ⃗k ∂u ∂u ∂u ∂u ∂⃗r ∂x ∂y ∂z = ⃗i + ⃗j + ⃗k ∂v ∂v ∂v ∂v C¡c Ôo hm riảng cĐp cao hon ton ữủc thỹc hiằn t÷ìng tü 23 Ch÷ìng Mët sè ùng dưng cõa php tẵnh vi phƠn cừa hm vectỡ Trong chữỡng ny chóng tỉi s³ tr¼nh b y mët sè ùng dưng cõa Ôo hm cừa hm vectỡ nghiản cựu và trữớng vectỡ, mởt số bi toĂn vêt lỵ v dÔng vi phƠn toĂn hồc CĂc nởi dung cừa chữỡng ny ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2], [3], [4], [5], [6] 2.1 Ùng dưng h m vectì c¡c bi toĂn hẳnh hồc nh lữủng 2.1.1 ở di cung Ta biát rơng cung phng C thuởc lợp C1 vợi biºu di¹n tham sè x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b] , 24 câ ë d i l  Zb q l= x′ (t) + y (t)dt (1) a V  cung C khỉng gian thc lỵp C1 vợi biu diạn tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] câ ë d i l  Zb q x′ (t) + y ′ (t) + z ′ (t)dt (2) l= a Câ thº vi¸t gån hai cỉng thùc (1) v  (2) dữợi cĂc dÔng sau Ơy: DÔng 1: Cung C thuởc lợp C1 biu diạn hm vectỡ r trản oÔn [a, b] cõ ở di l Zb → l = r (t) dt a Vỵi cung ph¯ng C, ta câ → − → − → − r (t) = x(t) i + x(t) j , t ∈ [a, b] v  → q −′ ′ ′ r (t) = x (t) + y (t) Vỵi cung C → − → − → − → − r (t) = x(t) i + x(t) j + z(t) k , t ∈ [a, b] → q −′ ′ ′ ′ r (t) = x (t) + y (t) + z (t) khổng gian, DÔng 2: GiÊ sû C l  mët cung thc lỵp C1 v  vỵi phữỡng trẳnh vectỡ − r (t) = x(t) i + x(t) j + z(t) k , t ∈ [a, b] Khi â, ë d i cõa cung câ iºm ¦u M (x(a), y(a), z(a)) A (x(a), y(a), z(a)) l  Zt s = s(t) = − ∥→ r ′ (u)∥du, t ∈ [a, b] a 25 v  iºm cuèi