Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— HỒ ANH ĐIỀN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990033602121000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— HỒ ANH ĐIỀN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học : TS Hoàng Nhật Quy Đà Nẵng - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng" khơng có trùng lặp với đề tài luận văn khác Tôi xin khẳng định luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi hướng dẫn TS Hồng Nhật Quy Các kết luận văn tổng hợp từ tài liệu có nguồn gốc rõ ràng Tác giả Hồ Anh Điền LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Hồng Nhật Quy, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán, quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học K39 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Tác giả Hồ Anh Điền TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng Ngành: Tốn giải tích Họ tên học viên: Hồ Anh Điền Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Nhật Quy Cơ sở đào tạo: Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng Tóm tắt   Những kết luận văn: - Đã hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan tới vectơ, hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ - Trình bày số ứng dụng hàm vectơ phép tính tích phân hàm vectơ nghiên cứu số trường vectơ vật lý (như trường điện từ, trường hấp hẫn, ), nghiên cứu dạng vi phân hình học vi phân toán học Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn: - Luận văn viết sở tham khảo kết từ 06 tài liệu tham khảo Tiếng Việt 02 tài liệu tham khảo Tiếng Anh sách chuyên khảo nhà xuất uy tín nước giới Do vậy, tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học ngành Tốn Giải Tích độc giả quan tâm lĩnh vực Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực đề tài INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Integral calculus of vector functions and some applications Major: Mathematical analysis Full name of Master student: Ho Anh Dien Supervisors: PhD Hoang Nhat Quy Training institution: The University of Danang - University of Education Summary   The main results of the thesis: - Systematically presenting some concepts and results related to vectors, vector functions and integral calculus of vector functions - Presenting some applications of vector functions and integral calculus of vector functions in the study of some vector fields in physics (such as electromagnetic fields, gravitational fields, ), in the study of differential forms and geometry differential in mathematics The applicability in practice and subsequent research of the thesis: - The thesis is written on the basis of referencing results from 06 references in Vietnamese and 02 references in English, which are monographs of prestigious domestic and international publishers Therefore, this can be a useful reference for graduate students majoring in Calculus and readers interested in this field Supervior’s confirmation Student Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức sở 1.1 1.2 Một số kiến thức vectơ mặt phẳng không gian Hàm vectơ 12 1.3 Đạo hàm tích phân hàm vectơ 1.3.1 Đạo hàm hàm vectơ 15 15 1.4 1.3.2 Tích phân hàm vectơ Mặt tham số 19 20 1.5 1.6 Trường vectơ Sơ lược dạng vi phân 23 37 Một số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ 40 2.1 Tích phân đường hàm vectơ ứng dụng 40 2.2 2.3 Tích phân mặt hàm vectơ ứng dụng Tích phân dạng vi phân 59 67 2.4 Một số ứng dụng hình học vi phân 70 Tài liệu tham khảo 74 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn học phổ thông, phương pháp tọa độ vectơ đề cập mức độ bản, mang lại phương pháp tiếp cận mới, lời giải hay cho nhiều tốn hình học Dựa lý thuyết tọa độ, vectơ hàm số, khái niệm hàm vectơ xây dựng nghiên cứu Tiếp cận lý thuyết hàm số theo hướng giúp có nhìn đa dạng khái niệm tốn học, mang lại mẻ tìm ứng dụng hữu ích cho nội dung tốn học nói chung nội dung phép tính tích phân nói riêng Phép tính tích phân hàm vectơ có nhiều ứng dụng nghiên cứu trường vectơ vật lý (như trường điện từ, trường hấp dẫn, dòng chất lỏng, ), nghiên cứu dạng vi phân hình học vi phân tốn học Là giáo viên dạy tốn trường phổ thơng với mong muốn tìm hiểu sâu phép tính tích phân hàm vectơ ứng dụng nó, mong muốn có cách tiếp cận mẻ để từ đưa cách truyền đạt để học sinh nắm bắt tiếp cận kiến thức tích phân cách dễ dàng thú vị hơn, hướng dẫn khoa học TS Hoàng Nhật Quy, tơi chọn đề tài “Phép tính tích phân hàm vectơ số ứng dụng” để thực luận văn Thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài là: • Hệ thơng hóa lại kiến thức liên quan tới vectơ, hàm vectơ phép tốn tích phân hàm vectơ • Nghiên cứu số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ nghiên cứu trường vectơ vật lý, nghiên cứu dạng vi phân hình học vi phân tốn học Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu số vấn đề phép tính tích phân hàm vectơ: khái niệm, số tính chất ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ b Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu thuộc chun ngành giải tích tốn học Cụ thể, đề tài hệ thống hóa khái niệm, kết mở rộng khái niệm hàm vectơ, tích phân hàm vectơ, trường vectơ nghiên cứu số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ số lĩnh vực vật lý toán học Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: Phần nhằm giới thiệu sơ lược đối tượng nghiên cứu chun ngành Giải tích vectơ nói chung hàm vectơ nói riêng • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương Kiến thức sở: Chương trình bày số kiến thức vectơ mặt phẳng khơng gian, định nghĩa hàm vectơ,trường vectơ, tích phân hàm vectơ sơ lược dạng vi phân Chương Một số ứng dụng phép tính tích phân hàm vectơ: Chương giành để giới thiệu tích phân đường hàm vectơ ứng dụng, tích phân mặt hàm vectơ ứng dụng Ngồi cịn giới thiệu sơ lược tích phân dạng vi phân số ứng dụng hình học vi phân • Kết luận • Tài liệu tham khảo z3 x3 x y3 1.2 Hàm vectơ Trước hết ta đề cập tới hàm vectơ số kết liên quan Các kết mục tham khảo tài liệu [1] Định nghĩa 1.2.1 ([1]) Giả sử T tập hợp tập số thực (T ⊂ R) − −r (t) từ tập hợp T vào không gian vectơ hai Hàm (ánh xạ) → r : t 7→ → chiều ba chiều gọi hàm vectơ −r (T) tập hợp không gian vectơ ba chiều với Giả sử → t ∈ T , vectơ ⃗r(t) có thành phần x(t), y(t), z(t) Khi x = x(t), y = y(t), z = z(t) hàm số thực xác định T Ta gọi chúng −r viết hàm số thành phần hàm vectơ → → − − → − → −r (t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)→ i + y(t) j + z(t) k , t ∈ T → − − → − −r = x→ viết gọn → i +y j +zk Ví dụ 1.2.1 Cho hàm vectơ ⃗r(t) = t⃗i + −r xác định hàm vectơ → √ t + 1⃗j + ln(2 − t)⃗k Tìm tập hợp −r Giải Các hàm số thành phần hàm vectơ → x(t) = t, y(t) = √ t + 1, z(t) = ln(2 − t) −r tập hợp tất t ∈ R cho Tập hợp xác định hàm vectơ → hàm thành phần ⃗r(t) xác định Các biểu thức x(t), y(t), z(t) đồng thời 12 xác định ( t+1≥0 ⇔ −1 ≤ t < 2−t>0 −r khoảng [−1, 2) Vậy tập hợp xác định hàm vectơ → → − − −r = x→ Định nghĩa 1.2.2 Giả sử hàm vectơ → i + yj + z k xác định → − → − → − lân cận điểm t0 ∈ R (có thể trừ điểm t0 ) ⃗l = l1 i + l2 j + l3 k −r có giới hạn điểm t ⃗l vectơ không đổi Ta nói hàm → viết limt→t0 ⃗r(t) = ⃗l    limt→t0 x(t) = l1 , limt→t0 y(t) = l2 ,   limt→t0 z(t) = l3 −r xác định khoảng (α, t ) (hoặc khoảng (t , β)) Nếu hàm vectơ → 0   limt→t− (t→t+ ) x(t) = l1   0  lim ⃗r(t) = ⃗l ⇔ limt→t−0 (t→t+0 ) y(t) = l2 −  t→t0 (t→t+  0)   limt→t− t→t+ z(t) = l3 0( 0) Ví dụ 1.2.2 Cho hàm vectơ ⃗r(t) = √ sin t ⃗ k − t⃗i + t2⃗j + t Tìm limt→0 ⃗r(t) limt→1− ⃗r(t) −r (−∞, 0) ∪ (0, 1] Giải Tập hợp xác định →       √ sin t ⃗k lim ⃗r(t) = lim − t ⃗i + lim t ⃗j + lim t→0 t→0 t→0 t→0 t = ⃗i + ⃗k       √ sin t ⃗k lim ⃗r(t) = lim− − t ⃗i + lim− t ⃗j + lim− t→1 t→1− t→1 t→1 t = ⃗j + (sin 1)⃗k Định lý 1.2.1 Nếu hai hàm vectơ ⃗u ⃗v có giới hạn điểm t0 ∈ R a) limt→t0 [⃗u(t) + ⃗v (t)] = limt→t0 ⃗u(t) + limt→t0 ⃗v (t), b) limt→t0 c⃗u(t) = c limt→t0 ⃗u(t)(c ∈ R), c) limt→t0 [⃗u(t) · ⃗v (t)] = (limt→t0 ⃗u(t)) · (limt→t0 ⃗v (t)), d) limt→t0 [⃗u(t) ∧ ⃗v (t)] = (limt→t0 ⃗u(t)) ∧ (limt→t0 ⃗v (t)) 13 Định nghĩa 1.2.3 a) Giả sử hàm vectơ ⃗r xác định lân cận điểm t0 ∈ R Ta nói ⃗r liên tục điểm t0 lim ⃗r(t) = ⃗r (t0 ) t→t0 b) Hàm vectơ ⃗r xác định khoảng (α, t0 ] (hoặc khoảng [t0 , β)) gọi liên tục trái (liên tục phải) điểm t0   lim− ⃗r(t) = ⃗r (t0 ) lim+ ⃗r(t) = ⃗r (t0 ) t→t0 t→t0 c) Hàm vectơ ⃗r liên tục điểm tập hợp mở T ⊂ R gọi liên tục −r xác định đoạn [a, b] gọi liên tục đoạn T Hàm vectơ → liên tục (a, b), liên tục phải a liên tục trái b → − − −r = x→ Hiển nhiên hàm vectơ → i + yj + z k liên tục (liên tục phải, liên tục trái) hàm số thành phần x, y, z liên tục (liên tục phải, liên tục trái) Định nghĩa 1.2.4 (Đường tham số) Giả sử I khoảng R (I khoảng mở đóng nửa mở, bị chặn khơng bị chặn) → − − → − → −r (t) = x(t)→ i + y(t) j + z(t) k (1) hàm vectơ liên tục I Tập hợp điểm C = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ I} R3 gọi đường tham số khơng gian Các phương trình x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I gọi biểu diễn tham số đường C, t gọi tham số (1) gọi phương trình vectơ đường C Người ta gọi (1) biểu diễn tham số C Nếu I đoạn [a, b] đường C gọi cung không gian Điểm (x(a), y(a), z(a)) gọi điểm đầu điểm (x(b), y(b), z(b)) gọi điểm cuối cung C Nếu điểm đầu điểm cuối trùng với C gọi cung kín Có thể xem đường −−→ C vạch nên điểm cuối M(x(t), y(t), z(t)) vectơ ⃗r(t) = OM t biến thiên khoảng I 14 Ví dụ 1.2.3 Các phương trình x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt, t ∈ R x0 , y0 , z0 , l, m, n số thực cho trước, với (l, m, n) ̸= (0, 0, 0) biểu diễn tham số đường thẳng qua điểm (x0 , y0 , z0 ) với vectơ phương (l, m, n) Ví dụ 1.2.4 Viết biểu diễn tham số đường cong C , giao tuyến mặt trụ x2 + 4y = mặt phẳng x + y + z = Giải x2 + y2 = mặt phẳng Oxy Ta biết elip có biểu diễn tham số Đường cong C nằm mặt trụ đứng có đường chuẩn elip x = cos t, y = sin t, z = 0, ≤ t ≤ 2π Vì C nằm mặt phẳng x + y + z = nên z = − cos t − sin t Do phương trình x = cos t, y = sin t, z = − cos t − sin t, ≤ t ≤ 2π biểu diễn tham số đường cong giao tuyến C Phương trình vectơ tương ứng đường cong C ⃗r(t) = cos t⃗i + sin t⃗j + (2 − cos t − sin t)⃗k, ≤ t ≤ 2π 1.3 1.3.1 Đạo hàm tích phân hàm vectơ Đạo hàm hàm vectơ −r xác Định nghĩa 1.3.1 (Đạo hàm hàm vectơ) Giả sử hàm vectơ → −r định lân cận điểm t0 ∈ R Đạo hàm hàm vectơ → −r ′ (t ) (hoặc d⃗r điểm t0 , kí hiệu → ) cho cơng thức ⃗r′ (t0 ) = dt t=0 ⃗r (t0 + h) − ⃗r (t0 ) limh→0 giới hạn tồn tai h Đạo hàm phải đạo hàm trái hàm vectơ định nghĩa tương tự Từ định nghĩa 1.3.1 định nghĩa giới hạn hàm vectơ suy 15 Định nghĩa 1.3.2 Hàm vectơ ⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t)⃗k có đạo hàm điểm t0 hàm số thành phần x, y, z có đạo hàm −r có đạo hàm điểm t t Nếu hàm vectơ → 0 → − − → − → −r ′ (t ) = (x′ (t ) , y′ (t ) , z′ (t )) = x′ (t ) → ′ ′ 0 0 i + y (t0 ) j + z (t0 ) k Định nghĩa 1.3.3 Giả sử đường C với phương trình vectơ ⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t)⃗k có đạo hàm điểm t0 Khi → − → − → −r ′ (t ) = lim r (t0 + h) − r (t0 ) h→0 h −r (t ) → −r (t + h) : Gọi M N điểm cuối hai vectơ → 0 M (x (t0 ) , y (t0 ) , z (t0 )) , N (x (t0 + h) , y (t0 + h) , z (t0 + h)) → −−→ −−→ −r (t + h) − → −r (t ) = − Ta có → ON − OM = MN 0 −→ −−→ → −r (t )] = − [−r (t0 + h) − → MN có phương với vectơ MN Vectơ h h → − → − ′ Nếu r (t0 ) ̸= t → 0, đường thẳng MN quay quanh điểm M −r ′ (t ) dần đến đường thẳng MT qua điểm M có vectơ phương → → − ′ Vectơ r (t0 ) gọi vectơ tiếp tuyến đường C điểm M Đường −r ′ (t ) làm vectơ phương gọi thẳng MT qua điểm M nhận → tiếp tuyến đường C điểm M Như vây, xem tiếp tuyến đường C điểm M vị trí giới hạn cát tuyến MN điểm N theo đường C dần đến điểm M Phương trình vectơ tiếp tuyến đường C điểm M −r (t ) + λ→ −r ′ (t ) , λ ∈ R ⃗ R(λ) =→ 0 ⃗r′ (t) → − Nếu ⃗r′ (t) ̸= vectơ T⃗ (t) = ′ , ∥⃗ r (t)∥ p ∥⃗r′ (t)∥ = x′2 (t) + y ′2 (t) + z ′2 (t) độ dài vectơ ⃗r′ (t), gọi vectơ tiếp tuyến đơn vị điểm (x(t), y(t), z(t)) đường C Ví dụ 1.3.1 Viết biểu diễn tham số tiếp tuyến đường xoắn ốc ⃗r(t) = a cos t⃗i + b sin t⃗j + t⃗k, t ∈ R  π điểm M 0, b, 16 Giải Ta có ⃗r′ (t) = −a sin t⃗i + b cos t⃗j + ⃗k   π  π π −−→ Điểm M 0, b, ảnh t = OM = ⃗r Vectơ tiếp tuyến 2  π 2 = −a⃗i+⃗k Tiếp tuyến đường xoắn ốc đường xoắn ốc điểm M ⃗r′   → − ′ π điểm M đường thẳng qua điểm M có vectơ phương r π Biểu diễn tham số tiếp tuyến x = −at, y = b, z = + t, t ∈ R Định nghĩa 1.3.4 Giả sử C đường với phương trình vectơ → − − → − → −r (t) = x(t)→ i + y(t) j + z(t) k , t ∈ I I khoảng Ta nói C thuộc lớp C I hàm vectơ − → −r có đạo hàm → −r ’ liên tục I Ngoài ra, → −r ′ (t) ̸= → với t ∈ I (có thể trừ điểm đầu điểm cuối I I khoảng nửa mở khoảng đóng) C gọi đường trơn Định nghĩa 1.3.5 Xét đường cong phẳng với phương trình vectơ
⃗r(t) = + t3 ⃗i + t2⃗j, t∈R − → − − −r ′ (t) = 3t2 → −r ′ (0) = → Ta có → i + 2t j → C đường thuộc lớp C1 đường trơn Tại điểm (1, 0), ảnh t = 0, đường cong khơng có tiếp tuyến Điểm I(1, 0) gọi điểm lùi C Đường C gồm phần trơn Người ta gọi C khúc Một cách tổng quát, ta có Định nghĩa 1.3.6 Đường C gồm số hữu hạn đường trơn gọi trơn khúc CÁC QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM Có thể mở rộng quy tắc tìm đạo hàm hàm số thực cho hàm vectơ − − Định lý 1.3.1 Giả sử → u → v hai hàm vectơ có đạo hàm, φ hàm số thực có đạo hàm c số thực không đổi Khi − − − − a) [→ u (t) + → v (t)]′ = → u ′ (t) + → v ′ (t) 17 − − b) [c→ u (t)]′ = c→ u ′ (t) c) [φ(t)⃗u(t)]′ = φ′ (t)⃗u(t) + φ(t)⃗u′ (t) − − − − − − d) [→ u (t) · → v (t)]′ = → u ′ (t) · → v (t) + → u (t) · → v ′ (t) − − − − − − e) [→ u (t) ∧ → v (t)]′ = → u ′ (t) ∧ → v (t) + → u (t) ∧ → v ′ (t) − − f) [→ u (φ(t))]′ = φ′ (t)→ u ′ (φ(t)) Chứng minh Ta chứng minh hai công thức c) e) Các cơng thức cịn lại chứng minh cách tương tự − c) Giả sử → u (t) = (x(t), y(t), z(t)) Khi − φ(t)→ u (t) = (φ(t)x(t), φ(t)y(t), φ(t)z(t)) Do [φ(t)⃗u(t)]′ = ([φ(t)x(t)]′ , [φ(t)y(t)]′ , [φ(t)z(t)]′ ) = (φ′ (t)x(t) + φ(t)x′ (t), φ′ (t)y(t) + φ(t)y ′ (t), φ′ (t)z(t) + φ(t)z ′ (t)) = φ′ (t)(x(t), y(t), z(t)) + φ(t) (x′ (t), y ′ (t), z ′ (t)) = φ′ (t)⃗u(t) + φ(t)⃗u′ (t) e) Với |h| > đủ nhỏ, ta có ⃗u(t + h) ∧ ⃗v (t + h) − ⃗u(t) ∧ ⃗v (t) h ⃗u(t + h) ∧ ⃗v (t + h) − ⃗u(t) ∧ ⃗v (t + h) ⃗u(t) ∧ ⃗v (t + h) − ⃗u(t) ∧ ⃗v (t) = + h h ⃗u(t + h) − ⃗u(t) ⃗v (t + h) − ⃗v (t) = ∧ ⃗v (t + h) + ⃗u(t) ∧ h h − − Dễ thấy h → vế phải đẳng thức dần đến → u ′ (t) ∧ → v (t) + → − → − u (t) ∧ v ′ (t) − − Do hàm vectơ → u ∧→ v có đạo hàm điểm t, − − − − − − [→ u (t) ∧ → v (t)]′ = → u ′ (t) ∧ → v (t) + → u (t) ∧ → v ′ (t).□ Định lý 1.3.2 Giả sử hàm vectơ ⃗r có đạo hàm khoảng I Nếu ∥⃗r(t)∥ = c với t ∈ I , c số vectơ ⃗r′ (t) vng góc với vectơ ⃗r(t) với t ∈ I 18