Một số kiến thức về vectơ trong mặt phẳng và không gian
Trong chương trình toán phổ thông, vectơ được định nghĩa là một đoạn thẳng với điểm đầu (điểm gốc) và điểm cuối (điểm ngọn) Độ dài của đoạn thẳng được gọi là độ dài (độ lớn, module) của vectơ, trong khi đường thẳng chứa đoạn thẳng đó được gọi là phương Chiều của vectơ được xác định từ điểm đầu đến điểm cuối Phép cộng hai vectơ tạo ra một vectơ mới theo quy tắc ba điểm hoặc quy tắc hình bình hành Khi nhân một số thực λ với vectơ ⃗a, ta nhận được vectơ mới cùng phương với ⃗a, có độ dài bằng |λ||⃗a|; chiều của vectơ mới sẽ cùng chiều với ⃗a nếu λ > 0, ngược chiều nếu λ < 0, và trở thành vectơ không nếu λ = 0.
Trong chương trình toán cao cấp, vectơ được định nghĩa là một phần tử thuộc không gian vectơ trên trường số K, với K có thể là R hoặc C Không gian vectơ này là một tập hợp không rỗng V, trong đó hai phép toán cơ bản là phép cộng vectơ và phép nhân một số với vectơ được thực hiện Các phép toán này phải tuân theo các tiên đề nhất định liên quan đến các phần tử u, v, w trong V và các số λ, β thuộc K.
(3) Tồn tại vectơ không (ký hiệu là 0) sao cho u+ 0 = 0 +u = u;
(4) Với mọi vectơ u, tồn tại vectơ đối (ký hiệu là −u) sao cho u+ (−u) (−u) + u = 0;
(6) 1.u = u, ở đây 1 là số đơn vị thuộc trường K;
Trong toán học cao cấp, các không gian vectơ đã phát triển thành nhiều loại không gian khác như không gian định chuẩn, không vectơ tô pô và không gian Banach Để ứng dụng lý thuyết vectơ một cách hiệu quả, người ta đã xác định các đặc trưng quan trọng của vectơ, bao gồm độ lớn (hay còn gọi là độ dài, module) và hướng (bao gồm phương và chiều).
Và lúc này ta có hai loại đại lượng: đại lượng vô hướng (chỉ có độ lớn) và đại lượng vectơ (có độ lớn và hướng).
• Các đại lượng vật lí như: khối lượng, thể tích, công, năng lượng, là đại lượn vô hướng.
Các đại lượng vật lý như độ dời, vận tốc, gia tốc và lực đều là các đại lượng vectơ Đặc biệt, các vectơ có độ lớn bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị.
Trong một số tài liệu, vectơ đơn vị được ký hiệu bằng dấu mũ, ví dụ như vectơ −→ ˆ a, đại diện cho vectơ đơn vị có hướng tương ứng với vectơ gốc.
Trong hệ trục tọa độ Descartes Oxyz, các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz được ký hiệu lần lượt là ⃗i, ⃗j, và ⃗k Định nghĩa vectơ là một đại lượng có độ lớn và hướng, trong đó vectơ không được xác định là vectơ có độ lớn bằng không và không có hướng, ký hiệu là −→.
Vectơ đối của vectơ ⃗a, ký hiệu là −⃗a, là vectơ có độ lớn bằng với vectơ ⃗a nhưng hướng ngược lại Hai vectơ được coi là bằng nhau khi chúng có cùng độ lớn và cùng hướng.
CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ Định nghĩa 1.1.5 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ ⃗a,⃗b được biểu diễn lần lượt bởi −→
QR Khi đó vectơ biểu diễn bởi −→
P R là tổng của hai vectơ ⃗a và ⃗b, được biểu diễn dưới dạng ⃗a + ⃗b, theo quy tắc 3 điểm của phép cộng vectơ Định nghĩa 1.1.6 mô tả phép trừ hai vectơ, trong đó hiệu giữa hai vectơ ⃗a và ⃗b được viết là ⃗a - ⃗b, và theo quy tắc của đại số vô hướng, nó được biểu diễn dưới dạng tổng.
⃗a+ (−⃗b) Biểu diễn ⃗a,⃗b bởi các vectơ −→
QR như trước, khi đó −→
QR ′ sẽ đại diện cho −⃗b, với QR’ = QR.
Nên⃗a−⃗b hoặc ⃗a+ (−⃗b) được biểu diễn bởi −−→
P R ′ (hình vẽ) Định nghĩa 1.1.7(Tổng của nhiều vectơ) Giả sử cónvectơ⃗a 1 , ⃗a 2 , , ⃗a n Cho⃗a 1 được biểu diễn bởi −−→
OA 1 , ⃗a 2 được đại diện bởi A 1 A 2 , , ⃗a n được biểu diễn bởi A n−1 An Vậy thì −−→
Trong toán học, phép nhân một vectơ với một số thực m (m ∈ R, m ≠ 0) được định nghĩa như sau: nếu vectơ ⃗a khác vectơ không, thì tích của m và vectơ ⃗a, ký hiệu là m−→a, tạo ra một vectơ có độ lớn bằng ma Vectơ này có cùng phương và cùng chiều với ⃗a khi m > 0, và ngược chiều với ⃗a khi m < 0.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các kết quả quan trọng liên quan đến phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ Định lý 1.1.1 nêu rõ rằng nếu các vectơ ⃗a và ⃗b được biểu diễn bởi các ký hiệu tương ứng, thì sẽ có những quy tắc cụ thể áp dụng cho việc thực hiện các phép toán này Việc hiểu rõ các định lý này sẽ giúp nâng cao khả năng làm việc với vectơ trong toán học và ứng dụng thực tiễn.
OQ và m, n là các hằng số dương, khi đó m⃗a+n⃗b = (m+n)⃗c, với ⃗c được biểu diễn bởi vectơ −→
OR,R là một điểm trên PQ sao cho mPR = nRQ. Định nghĩa 1.1.9 (Tọa độ vectơ trong mặt phẳng) Cho vectơ ⃗r trong hệ trục tọa độ Oxy Đặt ⃗r = −→
OP Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của P lên các trục tọa Ox, Oy Đặt OA = x, OB = y Khi đó, ta có −→
Cặp(x, y)gọi là tọa độ của vectơ⃗r trong hệ tọa độOxy Ký hiệu là⃗r = (x, y). Đặt (Ox, ⃗r) = α,(⃗r, Oy) = β Ta có
Từ đây suy ra cos 2 α+ cos 2 β = 1. Định nghĩa 1.1.10 (Tọa độ vectơ trong không gian) Cho vectơ ⃗r trong hệ trục tọa độ Oxyz Đặt ⃗r = −→
OP Gọi A, B, C lần lượt là các hình chiếu vuông góc của P lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz Đặt OA = x, OB y, OC = z Khi đó ta có −→
Bộ (x, y, z) gọi là tọa độ của vectơ ⃗r trong hệ tọa độ Oxyz.
Ký hiệu ⃗r = (x, y, z). Đặt (⃗r, Ox) = α,(⃗r, Oy) = β,(⃗r, Oz) = γ Khi đó ta có
Từ công thức cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1, ta có thể suy ra mối quan hệ giữa các góc Định nghĩa về tổng và hiệu của các vectơ theo tọa độ được áp dụng cho các vectơ ⃗r 1, ⃗r 2, ⃗r 3, được biểu diễn qua các thành phần của chúng trong các trục vuông góc.
= (x 1 +x 2 +x 3 + )⃗i+ (y 1 +y 2 +y 3 + .)⃗j + (z 1 +z 2 +z 3 + .)⃗k. Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các thành phần của chúng Hoàn toàn tương tự khi trừ các vectơ.
TÍCH CỦA CÁC VECTƠ Định nghĩa 1.1.12 (Tích vô hướng) Tích vô hướng của hai vectơ −→a và
→b tạo với nhau một góc θ được định nghĩa là đại lượng vô hướng a.b.cosθ và được ký hiệu là −→a −→ b
Rõ ràng, phép nhân vô hướng của các vectơ là có tính giao hoán vì:
• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong mặt phẳng: Cho các vectơ
⃗a = (x 1 , y 1 ),⃗b = (x 2 , y 2 ) Khi đó tích vô hướng của⃗a và⃗b là
• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian: Cho các vectơ
⃗a = (x 1 , y 1 , z 1 ),⃗b = (x 2 , y 2 , z 2 ) Khi đó ta có biểu thức tọa độ là
• Cho ⃗a = (x, y, z) Khi đó ta có
Từ Định nghĩa 1.1.12 ta có kết quả sau đây. Định lý 1.1.2 Cho các vectơ⃗a,⃗b Khi đó ta có
−||⃗a||||⃗b|| ≤⃗a⃗b ≤ ||⃗a||||⃗b||. Đẳng thức của bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai xảy ra khi lần lượt hai vectơ
⃗a và⃗b là cùng phương ngược chiều và cùng phương cùng chiều. Định nghĩa 1.1.13 (Tích có hướng)
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) được định nghĩa là một vectơ có độ lớn bằng \(a \cdot b \cdot \sin \theta\), với phương vuông góc cả hai vectơ và chiều theo quy tắc cái đinh ốc Chiều của vectơ tích sẽ tương ứng với chiều quay từ vectơ \(\vec{a}\) đến vectơ \(\vec{b}\) Ký hiệu của vectơ tích này là \(\vec{a} \wedge \vec{b}\) hoặc \([\vec{a}, \vec{b}]\).
•Biểu thức tọa độ của tích có hướng: Cho⃗a = (x 1 , y 1 , z 1 ),⃗b = (x 2 , y 2 , z 2 ). khi đó
!. Định nghĩa 1.1.14 (Tích hỗn tạp) Tích hỗn tạp của ba vectơ ⃗a,⃗b, ⃗c là biếu thức sau
• Biểu thức tọa độ của tích hỗn tạp: Cho ba vectơ ⃗a = (x 1 , y 1 , z 1 ),⃗b (x 2 , y 2 , z 2 ), ⃗c= (x 3 , y 3 , z 3 ) Khi đó tích hỗn tạp được xác định bởi
Hàm vectơ
Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét hàm vectơ cùng một số kết quả liên quan, được tham khảo từ tài liệu [1] Định nghĩa 1.2.1 nêu rõ rằng giả sử T là một tập hợp con của tập số thực, tức là T ⊂ R.
Hàm (ánh xạ) −→r : t 7→ −→r (t) từ tập hợp T vào không gian các vectơ hai chiều hoặc ba chiều gọi là một hàm vectơ.
Giả sử rằng −→r (T) là một tập hợp trong không gian ba chiều, với mỗi t ∈ T, vectơ ⃗r(t) có các thành phần x(t), y(t), z(t) Khi đó, x = x(t), y = y(t), z = z(t) là các hàm số thực xác định trên T, và chúng được gọi là các hàm số thành phần của hàm vectơ −→r.
Ví dụ 1.2.1 Cho hàm vectơ⃗r(t) = t⃗i+√ t+ 1⃗j+ ln(2−t)⃗k Tìm tập hợp xác định của hàm vectơ −→r
Giải Các hàm số thành phần của hàm vectơ −→r là x(t) =t, y(t) = √ t+ 1, z(t) = ln(2−t).
Tập hợp xác định của hàm vectơ −→r bao gồm tất cả các giá trị t ∈ R mà tại đó các hàm thành phần của ⃗r(t) được xác định Các biểu thức x(t), y(t), z(t) sẽ đồng thời xác định khi chúng thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Tập hợp xác định của hàm vectơ −→r là khoảng [−1,2) Giả sử hàm vectơ −→r = x−→ i + yj + z−→ k xác định trên một lân cận của điểm t0 ∈ R (có thể trừ điểm t0) và⃗l = l1−→ i + l2−→ j + l3−→ k là một vectơ không đổi Hàm −→r có giới hạn tại điểm t0 là ⃗l nếu lim t→t0 ⃗r(t) = ⃗l.
Nếu hàm vectơ −→r xác định trên khoảng (α,t 0 ) (hoặc trên khoảng (t 0 , β)) thì lim t→t − 0 ( t→t + 0)⃗r(t) =⃗l⇔
Ví dụ 1.2.2 Cho hàm vectơ ⃗r(t) = √
1−t⃗i+t 2 ⃗j + sint t ⃗k. Tìm lim t→0 ⃗r(t) và lim t→1 − ⃗r(t).
Giải Tập hợp xác định của −→r là (−∞,0)∪ (0,1]. limt→0⃗r(t) = lim t→0
Định lý 1.2.1 khẳng định rằng nếu hai hàm vectơ ⃗u và ⃗v có giới hạn tại điểm t0 ∈ R, thì có các tính chất sau: a) Giới hạn tổng của hai hàm vectơ bằng tổng của các giới hạn riêng biệt; b) Giới hạn của hàm vectơ nhân với một hằng số bằng hằng số nhân với giới hạn của hàm vectơ; c) Giới hạn của tích hai hàm vectơ bằng tích của các giới hạn; d) Giới hạn của phép tích chéo hai hàm vectơ bằng phép tích chéo của các giới hạn Định nghĩa 1.2.3 nêu rằng một hàm vectơ ⃗r được coi là liên tục tại điểm t0 nếu giới hạn của nó khi t tiến đến t0 tồn tại và bằng giá trị của hàm tại t0.
⃗r(t) =⃗r(t 0 ). b) Hàm vectơ ⃗r xác định trên khoảng (α, t 0 ] (hoặc trên khoảng [t 0 , β)) được gọi là liên tục trái (liên tục phải) tại điểm t0 nếu lim t→t − 0
Hàm vectơ liên tục tại mỗi điểm trong tập hợp mở T ⊂ R được gọi là liên tục trên T Đối với đoạn [a, b], hàm vectơ −→r được xem là liên tục nếu nó liên tục trên khoảng (a, b), đồng thời phải liên tục tại điểm a và liên tục từ trái tại điểm b.
Hàm vectơ −→r = x−→ i + yj + z−→ k được coi là liên tục khi và chỉ khi các thành phần x, y, z của nó đều liên tục Đường tham số được định nghĩa trong khoảng I thuộc R, có thể là khoảng mở, đóng, nửa mở, bị chặn hoặc không bị chặn.
→r (t) = x(t)−→ i + y(t)−→ j + z(t)−→ k (1) là một hàm vectơ liên tục trên I Tập hợp các điểm
Trong không gian R³, một đường tham số được định nghĩa bởi tập hợp C = {(x(t),y(t),z(t)) : t ∈ I} Các phương trình x = x(t), y = y(t), z = z(t) với t ∈ I được gọi là biểu diễn tham số của đường C, trong đó t là tham số Phương trình này cũng được gọi là phương trình vectơ của đường C Nếu I là đoạn [a, b], đường C sẽ được xem là một cung trong không gian, với điểm (x(a), y(a), z(a)) là điểm đầu và (x(b), y(b), z(b)) là điểm cuối của cung Nếu điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, C được gọi là một cung kín.
C được vạch nên bởi điểm cuối M(x(t),y(t),z(t)) của vectơ ⃗r(t) = −−→
OM khi t biến thiên trên khoảng I.
Các phương trình x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt, với t ∈ R, mô tả một đường thẳng trong không gian ba chiều Trong đó, x0, y0, z0, l, m, n là các số thực đã cho, và điều kiện (l, m, n) ≠ (0, 0, 0) đảm bảo rằng đường thẳng này đi qua điểm (x0, y0, z0) với vectơ chỉ phương (l, m, n).
Ví dụ 1.2.4 Viết một biểu diễn tham số của đường cong C, giao tuyến của mặt trụ x 2 + 4y 2 = 4 và mặt phẳng x+ y+ z = 2.
Giải. Đường cong C nằm trên mặt trụ đứng có đường chuẩn là elip x 2
4 + y 2 = 1 trong mặt phẳng Oxy Ta biết rằng elip đó có một biểu diễn tham số là x = 2 cost, y = sint, z = 0,0≤ t≤ 2π.
Đường cong giao tuyến C nằm trên mặt phẳng x + y + z = 2, với z được xác định bởi công thức z = 2 - 2cos(t) - sin(t) Các phương trình tham số của đường cong này được biểu diễn như sau: x = 2cos(t), y = sin(t), z = 2 - 2cos(t) - sin(t), với t trong khoảng từ 0 đến 2π Phương trình vectơ tương ứng của đường cong C cũng được xác định từ các biểu thức này.
Đạo hàm và tích phân hàm vectơ
Đạo hàm của hàm vectơ
Đạo hàm của hàm vectơ −→r được định nghĩa tại một điểm t0 ∈ R, với ký hiệu −→r ′ (t 0 ) hoặc d⃗r dt t=0, cho phép xác định sự biến đổi của hàm vectơ trong lân cận của điểm đó.
) được cho bởi công thức ⃗r ′ (t 0 ) limh→0
⃗r(t 0 + h)−⃗r(t 0 ) h nếu giới hạn này tồn tai. Đạo hàm phải và đạo hàm trái của hàm vectơ được định nghĩa tương tự.
Theo định nghĩa 1.3.1 và định nghĩa giới hạn của hàm vectơ, hàm vectơ ⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t)⃗k sẽ có đạo hàm tại điểm t₀ nếu và chỉ nếu các hàm số thành phần x, y, z đều có đạo hàm tại t₀ Nếu hàm vectơ −→r có đạo hàm tại điểm t₀, điều này cho thấy sự liên kết giữa các thành phần của hàm vectơ và sự tồn tại của đạo hàm tại điểm đó.
→r ′ (t 0 ) = (x ′ (t 0 ),y ′ (t 0 ),z ′ (t 0 )) = x ′ (t 0 )−→ i + y ′ (t 0 )−→ j + z ′ (t 0 )−→ k. Định nghĩa 1.3.3 Giả sử đường C với phương trình vectơ
⃗ r(t) = x(t)⃗i+y(t)⃗j +z(t)⃗k. có đạo hàm tại điểm t 0 Khi đó
Gọi M và N là các điểm cuối của hai vectơ −→r (t 0 ) và −→r (t 0 + h) :
−−→MN có cùng phương với vectơ −−→
Khi t tiến đến 0, đường thẳng MN quay quanh điểm M và dần tiệm cận với đường thẳng MT, đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương −→r ′ (t0) Vectơ −→r ′ (t0) được gọi là vectơ tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M Đường thẳng MT, đi qua điểm M và nhận vectơ −→r ′ (t0) làm vectơ chỉ phương, được xem là tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M.
Tiếp tuyến của đường C tại điểm M được xem là vị trí giới hạn của cát tuyến MN khi điểm N di chuyển dần đến điểm M Phương trình vectơ của tiếp tuyến tại điểm M của đường C được xác định như sau.
∥⃗r ′ (t)∥, trong đó ∥⃗r ′ (t)∥ = px ′2 (t) +y ′2 (t) +z ′2 (t) là độ dài của vectơ ⃗r ′ (t), được gọi là vectơ tiếp tuyến đơn vị tại điểm (x(t),y(t),z(t)) của đường C.
Ví dụ 1.3.1 Viết một biểu diễn tham số của tiếp tuyến của đường xoắn ốc
Vectơ tiếp tuyến của đường xoắn ốc tại điểmM là⃗r ′ π
= −a⃗i+⃗k Tiếp tuyến của đường xoắn ốc tại điểmM là đường thẳng đi qua điểmM và có vectơ chỉ phương là −→r ′ π
Biểu diễn tham số của tiếp tuyến đó là x = −at,y = b,z = π
2 + t,t ∈ R. Định nghĩa 1.3.4 Giả sử C là một đường với phương trình vectơ
→r (t) = x(t)−→ i + y(t)−→ j + z(t)−→ k,t ∈ I. trong đó I là một khoảng Ta nói rằng C thuộc lớp C 1 trên I nếu hàm vectơ
→r có đạo hàm −→r ’ liên tục trên I Ngoài ra, nếu −→r ′ (t) ̸= −→
Đường cong phẳng được định nghĩa qua phương trình vectơ, và với mọi t thuộc tập I (có thể loại trừ điểm đầu hoặc điểm cuối nếu I là khoảng nửa mở hoặc khoảng đóng), thì C được gọi là một đường trơn.
C là một đường thuộc lớp C 1 nhưng không phải là một đường trơn.
Tại điểm (1,0), ảnh của t = 0, đường cong không có tiếp tuyến Điểm I(1,0) gọi là điểm lùi của C. Đường C gồm mỗi phần là một trơn Người ta gọi C từng khúc.
Một cách tổng quát, ta có Định nghĩa 1.3.6 Đường C gồm một số hữu hạn đường trơn gọi là trơn từng khúc.
Các quy tắc tìm đạo hàm có thể áp dụng cho hàm vectơ tương tự như hàm số thực Định lý 1.3.1 cho biết rằng nếu −→u và −→v là hai hàm vectơ có đạo hàm, φ là hàm số thực có đạo hàm và c là hằng số, thì: a) Đạo hàm của tổng hai hàm vectơ là tổng của các đạo hàm; b) Đạo hàm của một hàm vectơ nhân với hằng số là hằng số nhân với đạo hàm của hàm vectơ; c) Đạo hàm của tích giữa hàm số thực và hàm vectơ được tính theo quy tắc tích; d) Đạo hàm của tích vô hướng giữa hai hàm vectơ được tính bằng quy tắc sản phẩm; e) Đạo hàm của tích có hướng giữa hai hàm vectơ cũng được tính theo quy tắc tương tự; f) Cuối cùng, đạo hàm của hàm vectơ phụ thuộc vào hàm số thực được tính theo quy tắc chuỗi.
Chứng minh Ta chứng minh hai công thức c) và e) Các công thức còn lại được chứng minh một cách tương tự. c) Giả sử −→u (t) = (x(t),y(t),z(t)) Khi đó φ(t)−→u (t) = (φ(t)x(t), φ(t)y(t), φ(t)z(t))
= φ ′ (t)⃗u(t) +φ(t)⃗u ′ (t) e) Với |h|> 0 đủ nhỏ, ta có
Dễ thấy khi h → 0 thì vế phải của đẳng thức trên dần đến −→u ′ (t)∧ −→v (t) +
Do đó hàm vectơ −→u ∧ −→v có đạo hàm tại điểm t, và
[−→u (t)∧ −→v (t)] ′ = −→u ′ (t)∧ −→v (t) +−→u (t)∧ −→v ′ (t).□. Định lý 1.3.2 Giả sử hàm vectơ⃗r có đạo hàm trên khoảng I Nếu ∥⃗r(t)∥= c với mọi t ∈ I, trong đó c là một hằng số thì vectơ ⃗r ′ (t) vuông góc với vectơ
Chứng minh Vỡ ∥−→r (t)∥ 2 = −→r (t)ã −→r (t) nờn −→r (t)ã −→r (t) = c 2 với mọi t ∈ I. Lấy đạo hàm hai vế của đồng nhất thức trên, ta được
0 = [−→r (t)ã −→r (t)] ′ = −→r ′ (t)ã −→r (t) +−→r (t) ã −→r ′ (t) = 2−→r ′ (t)ã −→r (t) do đú −→r ′ (t)ã −→r (t) = 0 với mọi t ∈ I Vậy −→r ′ (t) vuụng gúc với −→r (t).□
Nếu đường cong C nằm trên một mặt cầu, thì tiếp tuyến của C tại mỗi điểm sẽ vuông góc với bán kính của mặt cầu đi qua điểm đó.
Tích phân của hàm vectơ
Tích phân của một hàm vectơ được xác định thông qua các thành phần của nó Cụ thể, nếu hàm vectơ −→r = x−→ i + y−→ j + z−→ k liên tục trên đoạn [a, b], thì tích phân của hàm −→r trên đoạn này được tính theo công thức đã được định nghĩa.
1 + t−→ j + e 2t −→ k dt. Giải Theo định nghĩa, ta có
2 e 2 −1 ⃗k. Định nghĩa 1.3.8 Nếu−→r là một hàm vectơ liên tục trên đoạn[a,b]và hàm vectơ −→
R là một nguyên hàm của −→r trên đoạn [a,b] (tức là −→
Kí hiệu R −→r (t)dt chỉ một nguyên hàm bất kì của hàm vectơ −→r
Ví dụ 1.3.3 Tìm nguyên hàm của hàm vectơ
C là một vectơ hằng. Định lý 1.3.3 Giả sử −→u,−→v là hai vectơ liên tục trên đoạn [a; b],c là một hằng số và −→
C là một vectơ không đổi Khi đó a) Rb a[⃗u(t) +⃗v(t)]dt = R a b ⃗u(t)dt+ R a b ⃗v(t)dt b) Rb a c⃗u(t)dt = cR a b ⃗u(t)dt c) Rb a[C⃗ ã⃗u(t)]dt= C⃗ ãR a b ⃗u(t)dt d)
Chứng minh Áp dụng định nghĩa tích phân của hàm vectơ, dễ dàng chứng minh được các công thức a), b), c).
C∥∥−→u (t)∥ với mọi t ∈ [a; b] nên từ đẳng thức trên suy ra
C∥ > 0 Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho ∥−→
C∥, ta được bất đẳng thức cần chứng minh Nếu −→
0 thì hiển nhiên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Mặt tham số
Để bắt đầu, chúng ta xem xét các hàm vectơ xác định trên một tập hợp con của R² Giả sử D là một tập hợp con của R², thì hàm vectơ ⃗r : (u, v) 7→ ⃗r(u, v) từ D vào không gian ba chiều được gọi là một hàm vectơ trên D Nếu vectơ ⃗r(u, v) có các thành phần x(u,v), y(u,v) và z(u,v), thì x, y, z là những hàm số thực xác định trên D.
Ta gọi đó là các hàm số thành phần của hàm vectơ ⃗r Khi đó, ta viết
Hàm vectơ−→r được gọi là liên tục trên D nếu các hàm số thành phần của nó liên tục trên D.
NếuD là một tập hợp mở thì các đạo hàm riêng của hàm vectơ −→r được định nghĩa như sau :
Hàm vectơ ⃗r được xem là thuộc lớp C 1 trên D khi các thành phần của nó cũng thuộc lớp C 1 trên D, nghĩa là có các đạo hàm riêng liên tục trên D Định nghĩa 1.4.2 xác định mặt tham số với D là một tập hợp con của R 2.
⃗ r(u, v) = x(u, v)⃗i+ y(u, v)⃗j +z(u, v)⃗k,(u, v) ∈ D (1) là một hàm vectơ liên tục trên D Tập hợp các điểm
S = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) ∈ D} ⊂ R 3 gọi là một mặt tham số Các phương trình x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v) ∈ D được gọi là một biểu diễn tham số của mặt S Các biến số u,v được gọi là các tham số.
(1) gọi là phương trình vectơ của mặt tham số S (gọi tắt là mặt S ) Người ta cũng gọi (1) là một biểu diễn tham số của mặt S.
Gọi M là ảnh của (u,v) ∈ D qua ánh xạ
OM = −→r (u,v) Có thể xem măt S được tạo nên bởi điểm cuối M của vectơ −→r(u,v) khi (u,v) chạy trên D Để cho tiện người ta cũng nói điểm
S được gọi là một mặt đơn nếu ánh xạ
Ví dụ 1.4.1 Viết một biểu diễn tham số của nửa trên của mặt nón tròn xoay có đỉnh O, trục Oz và đường sinh tạo với trục góc π
Giả sử M(x,y,z) là một điểm bất kỳ trên nửa mặt nón, với N là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxy, và điều kiện z ≥ 0 Khi z > 0, tam giác OMN sẽ là tam giác cân, từ đó suy ra ON = z Gọi φ là số đo của góc định hướng (Ox,−→).
ON),0≤ φ ≤2π Ta có x = zcosφ,y = z sinφ,z = z, 0 ≤ φ≤ 2π,z ≥ 0 (2) Đảo lại, nếu điểm M có các toạ độ x, y, z thoả mãn (3) thì x 2 +y 2 = z 2 Từ đó dễ dàng chứng minh được rằng −−→
OM tạo với trục Oz góc π
4 Do đó M nằm trên nửa măt nón tròn xoay đã cho.
Vậy các phương trình trong (2) là một biểu diễn tham số của nửa mặt nón tròn xoay đã cho.
Ví dụ 1.4.2 Xác định măt S với phương trình vectơ
Giải Biểu diễn tham số của măt S là x = 2u, y = 3 cosv, z = 3 sinv, u ∈ R,0≤ v ≤ 2π
Điểm M(x, y, z) nằm trên mặt S nếu thỏa mãn điều kiện y² + z² = 9, tương ứng với mặt trụ tròn xoay có đường chuẩn là đường tròn tâm O bán kính R = 3 trong mặt phẳng Oyz Ngược lại, nếu M(x, y, z) là một điểm của mặt trụ tròn xoay y² + z² = 9, thì tồn tại góc v ∈ [0; 2π] sao cho y = 3 cosv, z = 3 sinv, và một số thực u sao cho x = 2u Do đó, S chính là mặt trụ tròn xoay y² + z² = 9.
Trường vectơ
Trường vectơ là một dạng đặc biệt của hàm vectơ, đóng vai trò quan trọng trong vật lý và kỹ thuật Bài viết này sẽ giới thiệu các loại trường vectơ phổ biến như trường vận tốc, trường hấp dẫn và điện trường Từ các trường vô hướng và trường vectơ đã cho, ta có thể xây dựng các trường vectơ như градиент (gradient), rôta (rotationnel) và trường vô hướng đivecgiăng (divergence) Những khái niệm này rất quan trọng và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.
F (x,y) từ tập hợp D vào không gian vectơ hai chiều gọi là một trường vectơ hai chiều.
F là một trường vectơ hai chiều xác định trên D ⊂ R 2 thì với mỗi điểm M(x,y) ∈ D,−→
F (x,y) là một vectơ hai chiều Do đó ta có
F⃗(x, y) =P(x, y)⃗i+ Q(x, y)⃗j (hay F⃗(M) = P(M)⃗i+Q(M)⃗j). trong đó P và Q là hai hàm số thực xác định trên D Đẳng thức trên được viết gọn dưới dạng
→F = P−→ i + Q−→ j b) Giả sử E là một tập hợp con của không gian R 3 E ⊂ R 3 Hàm vectơ (x,y,z) 7→−→
F (x,y,z) từ tập hợp E vào không gian vectơ ba chiều gọi là một trường vectơ ba chiều.
F là một trường vectơ ba chiều xác định trên E ⊂ R 3 thì với mỗi điểm M(x, y, z) ∈ E, ⃗F(x, y, z) là một vectơ ba chiều Do đó ta có
F (M) = P(M)−→ i + Q(M)−→ j + R(M)−→ k ). trong đó P,Q và R là ba hàm số thực xác định trên E Đẳng thức trên được viết gọn dưới dạng
→F = P−→ i + Q−→ j + R−→ k. Để dễ hình dung trường vectơ ba chiều −→
F xác định trên tập hợp E ⊂ R 3 , người ta thường vẽ một số vectơ −→
F (M), có điểm đầu M(x,y,z) ∈ E. c) Nếu U là một tập hợp con của R 2 hoăc R 3 thì mỗi hàm số f : U → R xác định trên U được gọi là một trường vô hướng.
Giả sử trên mặt phẳng Oxy có một lớp nước mỏng chảy xoáy quanh điểm gốc O với vận tốc góc không đổi w rađian/giây theo hướng ngược chiều kim đồng hồ Cần xác định vectơ vận tốc của nước tại mỗi điểm (x,y) trên mặt phẳng.
Giải Tại mỗi điểm (x,y) của mặt phẳng Oxy, nước chuyển động với tốc độ v = Rω theo tiếp tuyến tại điểm (x,y) của đường tròn tâm O bán kính
R =px 2 + y 2 , hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ Vectơ vận tốc của nước tại điểm (x,y) được cho bởi công thức
(Dễ dàng thấy rằng vectơ⃗v(x, y) xác định bởi (1) có độ dài là ωpx 2 +y 2 Rω, hướng ngược với chiều quay của kim đồng hồ.
Vỡ −→v ã −→r = ω(−y−→ i + x−→ j )ã(xi + y−→ j ) = 0 nên −→v (x,y) là vectơ tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính OM tại điểm M(x, y)).
Trường vectơ −→v xác định trên R 2 bởi công thức (1) là một trường vectơ hai chiều, được gọi là trường vận tốc của lớp nước chảy quanh điểm gốc.
Hãy tưởng tượng một dòng chất lỏng chảy trong ống dẫn, tại mỗi điểm M(x,y,z) trong ống, vectơ vận tốc được ký hiệu là −→v (M) = −→v (x,y,z) Trường vectơ ⃗v xác định trên tập hợp E của các điểm trong ống dẫn được gọi là trường vận tốc của dòng chất lỏng Mỗi mũi tên gốc từ điểm M trong tập hợp E biểu diễn vectơ vận tốc −→v (M) tại điểm đó.
Hướng của mũi tên tại điểm M cho biết hướng dòng chảy của chất lỏng, trong khi độ dài của mũi tên biểu thị tốc độ dòng chảy v(M) = ∥−→v (M)∥ Hình ảnh minh họa cho thấy chất lỏng chảy nhanh hơn trong đoạn ống hẹp.
Theo định luật hấp dẫn của Newton, hai vật có khối lượng M và m sẽ hút nhau với cường độ lực hút tỷ lệ thuận với tích của hai khối lượng và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng Trong đó, G là hằng số hấp dẫn Nếu coi trái đất có khối lượng M và lấy tâm trái đất làm điểm gốc, ta có thể áp dụng định luật này để hiểu rõ hơn về lực hấp dẫn giữa trái đất và các vật thể khác.
R 3 Một vật có khối lượng một đơn vị đặt tại điểm P(x,y,z) ngoài trái đất chịu một lực hút của trái đất với cường độ là MG r 2 , trong đór = ∥−→r || (⃗r = −→
OP = x⃗i+y⃗j+z⃗k là vectơ xác định vị trí của điểm
Lực hút của Trái Đất tác động lên vật tại điểm P hướng về tâm Trái Đất, được biểu diễn bằng vectơ đơn vị −r r Điều này cho thấy rằng lực hấp dẫn của Trái Đất là một yếu tố quan trọng trong việc xác định chuyển động của vật thể.
Hàm vectơ F⃗ xác định bởi công thức trên là một trường vectơ ba chiều, gọi là trường hấp dẫn Có thể viết công thức trên dưới dạng
Ví dụ 1.5.4 Giả sử một điện tích Q được đặt tại điểm gốc O của R 3 Theo định luật Culông (Coulomb), lực điện −→
F (P) tác dụng lên một điện tích q đặt tại điểm P(x,y,z) khác gốc O được cho bởi công thức
Lực điện tác dụng lên điện tích một đơn vị tại điểm P(x, y, z) do điện tích Q đặt tại điểm gốc được biểu diễn bằng công thức OP = x−→ i + y−→ j + z−→ k, trong đó r = ∥−→r ∥ và ε là hằng số phụ thuộc vào các đơn vị sử dụng.
E xác định bởi công thức trên là một trường vectơ ba chiều, được gọi là điện trường của điện tích Q.
Trường vô hướng được định nghĩa trong không gian ba chiều R³, với Ω là một tập hợp mở và f : Ω → R là một hàm thuộc lớp C¹, tức là hàm f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω Trường vectơ ∇f được xác định trên Ω.
∂z(M)⃗k, M ∈ Ω được gọi là građian của trường vô hướng f ∇f(M) được gọi là građian của trường vô hướng f tại điểm M Trường vectơ ∇f còn được kí hiệu là grad f.
Có thể viết công thức trên dưới dạng
Trường vô hướng hai biến số được định nghĩa tương tự như trường vô hướng một biến Cụ thể, giả sử D là một tập hợp mở trong R² và f : D → R là một trường vô hướng thuộc lớp C¹ trên D Trường vectơ hai chiều ∇f được xác định trên D.
∂y(x,y)−→ j ,(x,y) ∈ D được gọi là građian của trường vô hướng f Công thức trên được viết gọn dưới dạng
Từ định nghĩa của građian suy ra Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 (hoặc R 2 ), f,g là hai trường vô hướng thuộc lớp C 1 trên Ω Khi đó a) ∇(f +g) = ∇f +∇g b) ∇(λf) =λ∇f c) ∇(f g) = f∇g +g∇f.
Ta chứng minh c) cho trường hợp Ω là một tập hợp mở trong R 3 Theo định nghĩa của građian, ta có
Ví dụ 1.5.5 Cho hàm số f(x, y, z) = 3x 2 +xy −2y 2 −yz +z 2 a) Tìm ∇f. b) Tìm đạo hàm của hàmf tại điểm M(1,−2,−1)theo hướng2−→ i −2−→ j −−→ k. Giải. a) ∇f(x, y, z) = (6x+y)⃗i+ (x−4y−z)⃗j+ (2z−y)⃗k với mọi (x, y, z) ∈ R 3 b) ∇f(M) = 4−→ i + 10−→ j + 0−→ k Vectơ đơn vị cùng hướng với 2−→ i −2−→ j −−→ k là −→u = 2
→k Đạo hàm của hàm số f tại điểm M theo hướng −→u là ∂f
Đạo hàm theo hướng −→u của hàm số f tại điểm M cho thấy tốc độ biến thiên của hàm số này theo hướng −→u Để xác định hướng mà tại đó giá trị của hàm số f tăng nhanh nhất, ta giả sử rằng ∇f(M) ̸= 0.
∂−→u (M) = ∇f(M)−→u ≤ ∥∇f(M)∥∥−→u∥ = ∥∇f(M)∥ vì ∥⃗u∥ = 1 Dễ thấy ta có đẳng thức với ⃗u = ∇f(M)
∥∆f(M)∥ Vậy ∇f(M) là hướng theo đó giá trị của f tăng nhanh nhất Hiển nhiên −∇f(M) là hướng theo đó giá trị của f giảm nhanh nhất.
Ví dụ 1.5.6 Nhiệt độ của tấm kim loại tại điểm (x,y) đặt trên mặt phẳng tọ độ Oxy được cho bởi công thức
T(x,y) = x 2 + y 2 a) Tìm tỉ suất biến thiên của nhiệt độ tại điểm ( 1,2 ) theo hướng tạo với trục Ox góc π
6. b) Xác định hướng theo đó tỉ suất biến thiên của nhiệt độ tại điểm(−1,√
Giải a) Vectơ đơn vị xác định hướng đã cho là −→u √3 2
3−→ j là hướng theo đó tỉ suất biến thiên của nhiệt độ tại điểm (−1,√
3) là lớn nhất Hướng này tạo với trục Ox góc α xác định bởi tanα = −√
Giả sửΩ là một tập hợp mở trong R 3 và −→
F là một trường vectơ trên Ω Nếu tồn tại một hàm số f : Ω → R thuộc lớp C 1 (tức là f có các đạo hàm riêng liên tục) trên Ω sao cho
F được gọi là một trường thế trên Ω và hàm số f được gọi là hàm số thế vị của trường vectơ −→
F trên Ω. (Từ định nghĩa suy ra rằng trường vectơ −→
Không phải mọi trường vectơ đều là trường thế Tuy nhiên, trong Vật lí, ta thường gặp những trường thế Chẳng hạn, trường hấp dẫn −→
F trong Ví dụ 1.2.3 trong 1.2 là một trường thế Hàm số f(x, y, z) = M G px 2 +y 2 +z 2 là một hàm số thế vị của trường vectơ −→
RÔTA CỦA MỘT TRƯỜNG VECTƠ Định nghĩa 1.5.4 Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 và −→
Q−→ j + R−→ k là một trường vectơ thuộc lớpC 1 trên Ω(tức là các hàm số thành phần P,Q,Rcủa −→
F thuộc lớp C 1 trên Ω ) Rôta của trường vectơ−→
F, là trường vectơ xác định trên Ω bởi rotF⃗ ∂R
⃗k. Để dễ nhớ, ta đưa vào một kí hiệu hình thức
(đọc là nabla) Ta lập một cách hình thức tích vectơ của hai "vectơ" ∇ và
Ví dụ 1.5.7 Cho trường vectơ−→
Từ định nghĩa của rôta, dễ dàng duy ra. Định lý 1.5.2 Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 ,−→
G là hai trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω và λ là một số thực không đổi Khi đó a) rot(−→
Nếu hàm số f : Ω → R thuộc lớp C 2 trên Ω (tức là f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên Ω thì rot(∇f) = −→
Chứng minh Vì f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên Ω nên các đạo hàm riêng ∂f
∂z có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω, tức là
∂z là những hàm số thuộc lớp C 1 trên Ω Do đó
→k là một trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω Ta có rot(∇f)
Vì hàm số f có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên Ω nên, theo đinh lí Svác (Schwarz), từ đó suy ra rot(∇f) = −→
0 trên Ω. Định lý 1.5.3 Giả sử Ω là một tập hợp lồi mở trong R 3 và −→
F là một trường thuộc lớp C 1 trên Ω Nếu rot −→
Ví dụ 1.5.8 Cho trường vectơ
− z pa 2 −x 2 −y 2 −z 2 ⃗k với mọi (x,y,z) ∈ V, trong đó V là hình cầu mở có tâm là điểm gốc và bán kính a> 0. a) Chứng minh rằng −→
F là một trường thế trên V. b) Tìm hàm số thế vị f của trường vectơ −→
0 với mọi (x,y,z) ∈ V Vì V là một tập hợp lồi mở nên, từ đó suy ra rằng −→
F là một trường thế. b) Ta tìm hàm số f : V →R sao cho ∇f = F⃗ trên V, tức là
Khi lấy nguyên hàm (1) theo biến x, ta thu được f(x, y, z) = pa² - x² - y² - z² + φ(y, z) với mọi (x, y, z) thuộc miền V, trong đó φ là một hàm số liên tục bậc C1 trên hình tròn y² + z² < a² trong mặt phẳng x = 0 Tiếp theo, khi lấy đạo hàm hai vế của phương trình (4) theo biến y, ta có kết quả như sau.
∂y(y, z) = 0 Do đó φ(y, z) =ψ(z), trong đó ψ là hàm số thuộc lớp C 1 trên khoảng (−a,a) và từ (4), ta có f(x, y, z) =pa 2 −x 2 −y 2 −z 2 +ψ(z)
Lấy đạo hàm hai vế của đồng nhất thức trên theo z, ta được
Từ các giả thiết (3) và (6), ta suy ra rằng ψ ′ (z) = 0, dẫn đến ψ(z) = λ, trong đó λ là một hằng số thực Kết quả cuối cùng là f(x,y,z) = pa² − x² − y² − z² + λ, với (x,y,z) thuộc V và λ là một hằng số không đổi Định nghĩa 1.5.5 về ĐIVECGIĂNG CỦA MỘT TRƯỜNG VECTƠ chỉ ra rằng Ω là một tập hợp mở trong R³.
Q−→ j + R−→ k là một trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω Đivecgiăng của trường vectơ −→
F, là hàm số thực xác định trên Ω bởi div−→
∂z (Ta viết một cách hình thức : div−→
∂z ã(Pi + Q−→ j + R−→ k ), tức là xem div−→
F là tích vô hướng của "vectơ"∇ = −→ i ∂
Từ định nghĩa của đivecgiăng suy ra
Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 ,−→
G : Ω → R 3 là hai trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω và λ là một số thực Khi đó a) div(F⃗ +G) = div⃗ F⃗ + divG⃗, b) div(λ−→
Ví dụ 1.5.9 Cho trường vectơ
= 2xy + 2x−3z+ 2,(x, y, z) ∈ R 3 Định lý 1.5.4 Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3
F = P−→ i + Q−→ j + R−→ k là một trường vectơ thuộc lớp C 2 trên Ω thì div(rot−→
Chứng minh Ta có rotF⃗ ∂R
Theo định lí Svác, từ đó suy ra div(rot−→
Từ định lí trên suy ra
Giả sử Ω là một tập hợp mở trong R 3 và −→
F là một trường vectơ thuộc lớp C 1 trên Ω Nếu tồn tại một trường vectơ −→
G thuộc lớp C 2 trên Ω sao cho rot−→
F = 0 trên Ω. Điều ngược lại không đúng Tuy nhiên, nếu chẳng hạn Ω là một tập hợp lồi mở thì điều ngược lại cũng đúng.
Nhận xét 1.5.5 Nếu rot G⃗ = F⃗ trên Ω và f : Ω →R là một hàm số thực thuộc lớp C 2 trên Ω thì rot(G⃗ +∇f) = rotG⃗ + rot(∇f) = F ⃗ vì rot(∇f) = −→
0 Do đó, nếu với một trường vectơ−→
F cho trước, phương trình có nghiệm −→
G thì nghiệm đó không phải là duy nhất.
F⃗(x, y, z) = 2xy⃗i+ y 2 −3z ⃗j +xyz⃗k có phải là rôta của một trường vectơ trên R 3 hay không ?
F (x,y,z) = 2y + 2y + xy = 4y + xy ̸= 0. từ đó suy ra rằng −→
F không phải là rôta của bất kì một trường vectơ nào trên
Ví dụ 1.5.11 Cho trường vectơ F⃗ : R 3 → R 3 xác định bời
→F (x,y,z) = y 2 −z 2 −→ i + z 2 −x 2 −→ j + x 2 −y 2 −→ k a) Chứng minh rằng tồn tại một trường vectơG⃗ : R 3 →R 3 sao chorotG⃗ = F⃗ trên R 3 (1) b) Tìm một trường vectơ −→
F c) Từ đó tìm tất cả các trường vectơ −→
G : R 3 →R 3 thoả mãn (1) trong a). Giải. a) Ta có div−→
Vì R 3 là một tập hợp lồi mở nên tồn tại một trường vectơ G⃗ : R 3 →R 3 sao cho rotG⃗ = F⃗ trên R 3 b) Với −→
⃗k Do đó phương trình rot−→
F tương đương với hệ phương trình sau
∂y = x 2 −y 2 (4) Lấy nguyên hàm hai vế của (2) theo z, ta được
3 −y 2 z +φ(x, y) (5) trong đó φ là một hàm số thuộc lớp C 1 trên R 2
Lấy nguyên hàm hai vế của (3) theo z, ta được
3 −x 2 z +ψ(x, y) (6) trong đó ψ là một hàm số thuộc lớp C 1 trên R 2 Từ (5) và (6) suy ra
Do đó từ (4), ta có
Dễ dàng thấy rằng cặp hàm số φ(x,y) = x 3
3,(x,y) ∈ R 2 thoả mãn (7) Thay các hàm số này vào (5) và (6), ta được
R 3 từ b) suy ra nếu f : R 3 →R là một hàm số thực bất kì thuộc lớp C 2 trên R 3 thì trường vectơ
G 0 +∇f (8) thoả mãn hệ thức (1) trong a). Để kết thúc, ta chứng minh rằng mọi trường vectơ −→
C 1 trên R 3 thoả mãn (1) trong a) đều có dạng (8).
Thật vậy, ta có rotG⃗ = −→
G0 = F⃗ −F⃗ = O⃗ trên R 3 từ đó suy ra rằng−→
G 0 là một trường thế trênR 3 , tức là tồn tại một hàm số f : R 3 → R thuộc lớp C 2 trên R 3 sao cho ∇f = −→
Trong không gian R³, với hàm số f: R³ → R thuộc lớp C², tất cả các trường vectơ thỏa mãn điều kiện (1) được định nghĩa Định nghĩa 1.5.6 đề cập đến Laplacian của hàm số, trong đó Ω là tập hợp mở trong R³ và f: Ω → R là hàm số thuộc lớp C² trên Ω Khi đó, công thức div(∇f) = ∇²(∇f) được áp dụng.
Vế phải của (1) được gọi là Laplaxian của hàm số f và được kí hiệu là ∇ 2 f. Như vậy, ta có
∂z 2 Hiển nhiên ∇ 2 f là một hàm số (trường vô hướng) xác định trên Ω Phương trình
Phương trình ∂z² = 0, hay còn gọi là phương trình Laplace, có nghiệm là hàm số f, được gọi là hàm số điều hòa Các hàm số điều hòa này có ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu âm học, truyền nhiệt và từ trường.
Sơ lược về dạng vi phân
Dạng vi phân bậc 1 được định nghĩa là ánh xạ ω: U → (R n ) ∗, trong đó U là một tập hợp mở trong không gian R n, và (R n ) ∗ là không gian đối ngẫu của R n Các tính chất cơ bản của dạng vi phân bậc 1 sẽ được thảo luận trong bài viết này.
Nếu ω là một dạng vi phân bậc 1 trên U thì với mỗi M ∈ U, ω(M) là một dạng tuyến tính trên R n
Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian R n, có hai dạng vi phân bậc 1 ω 1 và ω 2 trên U, thì ánh xạ ω 1 + ω 2 : U → (R n ) ∗ được xác định bởi (ω 1 + ω 2)(M) = ω 1(M) + ω 2(M) cũng là một dạng vi phân bậc 1 trên U Ngoài ra, nếu ω là một dạng vi phân bậc 1 trên U và f là một hàm số thực xác định trên U, thì ánh xạ fω cũng được xác định.
(f ω)(M) =f(M)ω(M), M ∈ U cũng là một dạng vi phân bậc 1 trên U. Đặc biệt, nếu λ là một số thực thì ánh xa λω xác định bởi (λω)(M) λω(M),M ∈ U cũng là một dạng vi phân bậc 1 trên U.
Ví dụ 1.6.1 Ta đã biết, hàm u(z) = z n , n ∈ N ∗ là hàm chỉnh hình trên C. Vậy hàm f(z) =nlog|z| là điều hòa dưới trên C.
Nếu U là một tập hợp mở trong không gian R^n và f: U → R là hàm khả vi trên U, thì vi phân df: U → (R^n)*, M ↦ df(M) của f được định nghĩa là một dạng vi phân bậc 1 trên U.
Dạng tổng quát của một dạng vi phân bậc I
Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian R^n, và ω: U → (R^n)* là một dạng vi phân bậc 1 trên U Đối với mỗi điểm M thuộc U, ω(M) là một dạng tuyến tính trên R^n, có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng ω(M) = P1(M)e*1 + P2(M)e*2 + + Pn(M)e*n.
Cơ sở đối ngẫu {e ∗ 1 , , e ∗ n } của cơ sở tự nhiên {e 1 , e n } trong R n có thể được biểu diễn qua công thức ω(M) = P1(M)dx1(M) + P2(M)dx2(M) + + Pn(M)dxn(M), trong đó P 1 (M), , P n (M) là các số thực Điều này cho thấy rằng tồn tại một cách duy nhất các hàm số thực P 1 , , P n xác định trên miền U sao cho công thức trên được thoả mãn cho mọi điểm M thuộc U.
Theo định nghĩa 1.5.1, một dạng vi phân bậc 1 có thể được biểu diễn dưới dạng ω = P1 dx1 + P2 dx2 + + Pn dxn Định nghĩa 1.6.2 cho rằng nếu U là một tập hợp mở trong không gian Rn và ω : U → (Rn)* là một dạng vi phân bậc 1 trên U, thì tồn tại một hàm số f : U → R thuộc lớp C1 trên U sao cho df = ω trên U Khi đó, f được gọi là nguyên hàm của ω trên U, với điều kiện ω phải liên tục trên U.
Dạng vi phân bậc một ω : U → (R n ) ∗ có nguyên hàm trên U gọi là một dạng vi phân đúng trên U.
Nếu f là một nguyên hàm của ω trên U và λ là một số thực thì d(f +λ) = df = ω tức là f +λ cũng là một nguyên hàm của ω trên U.
Nếu U là một tập hợp mở liên thông trong R^n và f là một nguyên hàm của ω trên U, thì tập hợp {f + λ : λ ∈ R} chứa tất cả các nguyên hàm của ω trên U Giả sử g: U → R là một nguyên hàm bất kỳ của ω trên U.
U Khi đó d(g −f) =dg −df = ω −ω = 0 trên U suy ra g - f là không đổi trên U.
Nếu n = 1 và U là một khoảng mở của R, thì một dạng vi phân bậc 1 liên tục ω trên U có dạng ω = gdx, với g là hàm số thực liên tục trên U Hàm số f: U → R được coi là nguyên hàm của g trên U nếu f thuộc lớp C1 trên U và df = f' dx = gdx trên U, tức là f' = g trên U Đối với trường hợp n ≥ 2, nếu U là một tập hợp mở trong không gian Rn và ω = P1dx1 + + Pndxn là một dạng vi phân bậc 1 trên U, thì ω được gọi là một dạng vi phân đóng nếu nó thuộc lớp C1 trên U.
Trong không gian R n, cho một tập hợp mở U và một số nguyên dương p, ánh xạ ω từ U vào các dạng p-tuyến tính thay phiên được gọi là dạng vi phân bậc p trên U Khi p = 1, định nghĩa này trở thành dạng vi phân bậc 1 đã được biết đến.
Nếu p > n, thì mọi dạng vi phân bậc p trên miền U đều là dạng không Một hàm số xác định trên U được gọi là dạng vi phân bậc 0 trên U Định nghĩa 1.6.5 (Dạng tổng quát của dạng vi phân bậc p) giả sử
U là một tập hợp mở trong không gian R^n, trong khi w là một dạng vi phân bậc p trên U Đối với mỗi điểm M thuộc U, ω(M) trở thành một dạng p - tuyến tính thay phiên trên R^n Vì vậy, ω(M) có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng ω(M) = X.
({e ∗ 1 , , e ∗ n } là cơ sở đối ngẫu của cơ sở tự nhiên {e 1 , , e n } của không gian R n ) hay ω(M) = X
Trong toán học, biểu thức P i 1 i 2 i p (M)dx i 1 (M)∧dx i 2 (M)∧ ∧dx i (1) thể hiện một tập hợp các số thực Điều này cho thấy rằng tồn tại các hàm số thực P i 1 i 2 i p được xác định một cách duy nhất trên tập hợp U, sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn với mọi M thuộc U.
Một số ứng dụng của phép tính tích phân hàm vectơ
Chương này giới thiệu các định nghĩa, định lý và ứng dụng của tích phân đường và tích phân mặt của hàm vectơ, cũng như tích phân của dạng vi phân trong vật lý và kỹ thuật Nó cũng đề cập đến một số ứng dụng trong hình học vi phân, với nội dung được tham khảo từ nhiều tài liệu.
Tích phân đường của hàm vectơ và ứng dụng
Tích phân một lớp đã quen thuộc với chúng ta, liên quan đến việc tính toán hàm số trên một đoạn Trong lĩnh vực vật lý và kỹ thuật, có những bài toán yêu cầu xác định các hàm số và hàm vectơ trên một cung phẳng hoặc trong không gian Điều này dẫn đến việc tìm giới hạn của các tổng tương tự như tổng tích phân trong tích phân một lớp Từ đó, tích phân đường của một hàm số và của một trường vectơ dọc theo một cung được hình thành Định nghĩa 2.1.1 đề cập đến tích phân đường của một hàm số dọc theo một cung phẳng.
Giả sử C là một cung phẳng trơn được biểu diễn bằng tham số x = x(t), y = y(t) với t thuộc đoạn [a;b] Hàm số f : C → R, với (x,y) 7→ f(x,y), là một hàm thực liên tục trên C Tích phân đường của hàm số f dọc theo cung C được ký hiệu là R.
Cfds được cho bởi công thức Z
Người ta còn viết công thức trên dưới dạng
Lấy f(x,y) = 1 với mọi (x,y) ∈ C, ta được
∥−→r ′ (t)∥dt = l trong đó l là độ dài của cung C. Ý nghĩa hình học của tích phân đường
Nếu C là một cung phẳng trơn nằm trong mặt phẳng Oxy và f : C → R là một hàm số liên tục không âm trên C thì R
Cfd là diện tích của mặt trụ, được xác định bởi đường chuẩn C và đường sinh song song với trục Oz Phần này được giới hạn bên dưới bởi cung C và bên trên bởi cung Γ, với Γ được mô tả bởi tập hợp {(x,y,f(x,y)) : (x,y) ∈ C}.
Cx 2 (1 + y)ds trong đó C là đường tròn x 2 + y 2 a 2 , a > 0.
Giải Biểu diễn tham số của đường tròn là x = acost, y = asint, t ∈ [0,2π].
= px ′2 (t) +y ′2 (t) = p(−asint) 2 + (acost) 2 = a Do đó Z
Ví dụ 2.1.2 Tính I = R C xyds, trong đó C là cung với biểu diễn tham số x = 3t, y = t 4 , t ∈ [0,1].
24. Định nghĩa 2.1.2 Nếu C 1 ,C 2 , ,C n là một họ hữu hạn cung phẳng trơn, trong đó điểm cuối của cung C i là điểm đầu của cung C i+1 thì tập hợp
C = C 1 ∪C 2 ∪ .∪C n được gọi là một cung trơn từng khúc.
Nếu C là một cung trơn từng khúc vừa nêu và f : C →R là một hàm số liên tục trên C thì ta định nghĩa
Cyds, trong đó C gồm hai cung : cung C 1 của parabol y 2 = x từ điểm (0,0) đến điểm (4,2) và đoạn thẳng C 2 nối điểm (4,2) với điểm (2,0).
Giải Dễ thấy C là một cung trơn từng khúc Biểu diễn tham số của cung
Theo định nghĩa 2.1.2, ta có
Tích phân đường đối với hai biến số thành phần x và y
Giả sử C là một cung phẳng trơn với biểu diễn tham số x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b] và f : C → R là một hàm số liên tục trên C Ta giữ nguyên các kí hiệu trong 2.1.1 Trong tổng σ n
X i=1 f (x (τ i ),y (τ i )) ∆s i thay ∆s i bởi ∆x i = x i −x i−1 = x (t i )−x (t i−1 ), ta được tổng σ x n
Theo định lí về số gia hữu hạn, với mỗi i, tồn tại một điểm τi ∈ (t i−1 , ti) sao cho ∆x i = x (t i )−x (t i−1 ) = x ′ (τ i ) ∆t i Do đó σx n
X i=1 f (x (τi),y (τi)) x ′ (τi) ∆ti. dễ dàng chứng minh được rằng d(π)→0lim σ x Z b a f(x(t),y(t))x ′ (t)dt
Giới hạn trên được gọi là tích phân đường của hàm số f dọc theo cung C đối với biến số x và kí hiệu là
Tích phân đường của hàm số f dọc theo cung C đối với biến số y được định nghĩa và kí hiệu một cách tương tự :
Trong nhiều trường hợp hai tích phân nêu trên đồng thời xuất hiện Giả sử
C là một cung trơn và P : C → R, Q : C → R là hai hàm số liên tục trên
C Khi đó, người ta thường viết
P(x, y)dx+Q(x, y)dy thay cho tổng R
CP(x, y)dx+R C Q(x, y)dy.Từ (1) và (2) suy ra Z
Cydx − xdy, trong đó C là đoạn thẳng AB từ điểm A(0,1) đến điểm B(1,0).
Giải Biểu diễn tham số của đoạn thẳng C là x = t, y = 1−t, t ∈ [0,1] Áp dụng công thức (3), ta được
Cydx−xdy, trong đó C là nửa đường tròn tâm O, bán kính a nằm bên trên trục Ox từ điểm A(a,0) đến điểm B(−a,0).
Giải Biểu diễn tham số của nửa đường tròn C là x = acost, y = asint, t ∈ [0, π].
Khi t lấy các giá trị tăng từ 0 đến π thì điểm M(x, y) = M( acost, asint) chay trên nửa đường tròn C từ điểm A(a,0) đến điểm B(−a,0) Áp dụng công thức (3), ta được
[asint(−asint)−acost(acost)]dt
Tích phân đường của một hàm số dọc theo một cung trong không gian được định nghĩa tương tự như tích phân đường của hàm số dọc theo một cung phẳng Điều này cho thấy sự tương đồng trong cách tính toán và ứng dụng của tích phân đường trong cả hai không gian.
Giả sử C là một cung trơn với biểu diễn tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] Hàm số f : C → R, (x, y, z) 7→ f(x, y, z) là một hàm liên tục trên C Tích phân đường của hàm số f dọc theo cung C được ký hiệu là
C fds được cho bởi công thức
C f(x,y,z)ds Z b a f(x(t),y(t),z(t))∥−→r ′ (t)∥dt (1) trong đó ∥−→r ′ (t)∥ = px ′2 (t) + y ′2 (t) + z ′2 (t) Người ta cũng viết công thức
C f(⃗r(t))∥⃗r ′ (t)∥dt. Định nghĩa 2.1.4 Lấy f(x,y,z) = 1 với mọi (x,y,z) ∈ C, ta được R
Cds = R a b ||⃗r ′ (t)∥dt= l, trong đó l là độ dài của cung C Định nghĩa 2.1.5 cho biết rằng các tích phân đường của hàm số dọc theo cung C đối với mỗi biến số x, y, z được định nghĩa tương tự như trong trường hợp C là một cung phẳng Nếu C là một cung trơn với biểu diễn tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a,b] và f : C → R là một hàm số liên tục trên C, thì tích phân đường có thể được tính theo các quy tắc tương ứng.
Tương tự như trong trường hợp cung phẳng, nếu cả ba tích phân đường
R(x, y, z)dz đều tồn tại thì ta dùng kí hiệu
P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz để chỉ tổng
Rdz Nếu P,Q,R là ba hàm số liên tục trên cung trơn C với biểu diễn tham số x= x(t), y = y(t), z = z(t), t∈ [a, b] thì
C x 2 +y 2 + z 2 ds, trong đó C là cung của đường xoắn ốc x = cost, y = sint, z = 2t, t∈ [0,2π].
Giải Phương trình vectơ của cung C là
5. Áp dụng công thức (1), ta được
Czdx+xdy +ydz, trong đó C gồm cung C 1 với biểu diễn tham số x = t,y = t 2 ,z = t 3 , 0≤ t ≤ 1 và đoạn thẳng C2 từ điểm (1,1,1) đến điểm (0,1,0).
C là một cung trơn từng khúc bao gồm hai cung trơn C1 và C2, với điểm cuối của C1 là điểm đầu của C2 Tích phân đường của một hàm số theo cung trơn từng khúc trong không gian được tính tương tự như trong trường hợp cung phẳng trơn từng khúc Áp dụng công thức (2) để tính toán.
60. Biểu diễn tham số của đoạn thẳng C 2 là x = 1−t,y = 1,z = 1−t,t ∈ [0,1] Áp dụng công thức (2), ta được
60. Định nghĩa 2.1.6 (Tích phân đường của một trường vectơ)
Giả sử C là một cung trơn với phương trình vectơ
F⃗ : (x, y, z) 7→ P(x, y, z)⃗i+Q(x, y, z)⃗j +R(x, y, z)⃗k là một trường vectơ liên tục trên C Tích phân đường của trường vectơ −→
F dọc theo cung C, kí hiệu là R
→F ã −→r , được cho bởi cụng thức Z
Trong trường hợp C là một cung phẳng trơn với phương trình vectơ −→r (t) x(t)−→ i + y(t)−→ j ,t ∈ [a,b] và −→
F = P−→ i + Q−→ j là một trường vectơ liên tục trên C, ta có
Ví dụ 2.1.8 Tính tích phân đường của trường vectơ
F⃗(x, y, z) =−zy⃗i+zx⃗j +xy⃗k dọc theo cung C của đường xoắn ốc
F⃗ ãd⃗r Z 2π 0 tsin 2 t+tcos 2 t+ sintcost dt
CF⃗ ãd⃗r, trong đú F⃗(x, y) = 2xy⃗i+ x 2 +y 2 ⃗j và C là cung của parabol y 2 = x từ điểm (0,0) đến điểm (1,−1).
Cung C của parabol nằm dưới trục hoành, được biểu diễn bằng phương trình y = −√x Bằng cách đặt x = t² và y = −t với t ∈ [0,1], ta có phương trình vectơ của cung C: −→r(t) = t² −→i − t −→j, với t trong khoảng [0,1] Cung C bắt đầu từ điểm (0,0) và kết thúc tại điểm (1,−1).
Tính chất của tích phân đường a) Nếu C là một cung định hướng trơn từng khúc, −→
G là hai trường vectơ liên tục trên C và λ là một hằng số thì
C(λ ⃗F)ãd⃗r = λR C F⃗ ãd⃗r b) Nếu đổi hướng của cung thì tích phân đường của một trường vectơ đổi dấu Nói một cách khác, nếu −→
F là một trường vectơ liên tục trên một cung trơn từng khúc định hướng C thì
Để chứng minh định nghĩa tích phân đường của một trường vectơ, ta chỉ cần xem xét trường hợp C là một cung trơn Giả sử phương trình vectơ của cung C được xác định, từ đó có thể suy ra các tính chất của tích phân đường trong không gian.
Khi đó, phương trình vectơ của cung −C là
R ′ (u)du (1) Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được
F⃗(⃗r(a+bưu))⃗r ′ (a+bưu)du Đổi biến số t = a+bưu, ta có dt = ưdu và
Quan hệ giữa tích phân đường của một trường vectơ và tích phân của một hàm số
Giả sử C là một cung trơn với phương trình vectơ
F = P−→ i + Q˜j + R−→ k là một trường vectơ liên tục trên C.
T (t) là vectơ tiếp tuyến đơn vị của cung C tại điểm
Theo định nghĩa tích phân đường của một hàm số, vế phải của (3) là
C(F⃗ ãT⃗)ds, trong đú (F⃗ ãT⃗)(M) =F⃗(⃗r(t))ãT⃗(t)
Vậy tích phân đường của một trường vectơ −→
F dọc theo cung C bằng tích phõn đường của hàm số F⃗ ã T⃗ dọc theo cung C, trong đú −→
T là hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị trên C. b) Ta giữ nguyên các giả thiết và kí hiệu trong a) Khi đó
= R a b P(−→r (t))x ′ (t) + Q(−→r (t))y ′ (t) + R −→r(t)z ′ (t) dt (4) vế phải của (4) bằng R
CPdx + Qdy + Rdz Do đó Z
Vế phải của công thức là tích phân của các hàm số P, Q, R theo các biến x, y, z Nếu P, R, Q là các hàm số liên tục trên cung trơn C, thì điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc áp dụng các định lý về tích phân.
F = P−→ i + Q−→ j + R−→ k Định lý 2.1.1, được gọi là định lý cơ bản của tích phân đường, khẳng định rằng nếu C là một cung trơn từng khúc với phương trình vectơ −→r (t) = x(t)−→ i + y(t)−→ j + z(t)−→ k, với t trong khoảng [a,b], và f : Ω → R là một hàm số thuộc lớp C 1 trên một tập mở Ω trong R 3 chứa C, thì f có các đạo hàm riêng liên tục trên Ω.
Chứng minh Chỉ cần chứng minh cho trường hợp C là một cung trơn Theo định nghĩa của tích phân đường, ta có
Do đó, từ (2) suy ra
Nếu C là một cung phẳng trơn từng khúc thì
Định lý 2.1.2 khẳng định rằng nếu D là một miền đóng bị chặn trong mặt phẳng với biên là đường cong kín đơn trơn từng khúc C định hướng dương, và P cùng Q là hai hàm số thuộc lớp C^1 trên một tập hợp mở U chứa D, thì có thể áp dụng các tính chất của hàm số để phân tích sự biến đổi của chúng trong miền D.
∂y(x,y) dxdyCông thức trên được gọi là công thức Grin.
C−x 2 ydx+x 3 dy, trong đó C là đường tròn x 2 +y 2 = 4 định hướng dương.
Giải C là biên của hình tròn D = (x,y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 4 Áp dụng công thức Grin, ta có
Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = r cosφ,y = r sinφ, ta được
Tính tích phân I = ∫C (R C y 3 dx - x 3 dy), trong đó C là biên của nửa hình vành khăn D nằm phía trên trục hoành, giữa hai đường tròn x² + y² = 1 và x² + y² = 4 Đường đi C được định hướng dương, và trục Oy chia miền D thành hai phần đơn giản.
Giải Áp dụng công thức Grin, ta được
D x 2 +y 2 dxdy Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = r cosφ,y = rsinφ, ta được
Định lý Grin (Định lý 2.1.3) khẳng định rằng, với miền đóng D bị chặn trong mặt phẳng có biên ∂D gồm các đường cong kín đơn, trơn từng khúc không giao nhau và được định hướng dương, nếu P và Q là hai hàm số thuộc lớp C^1 trên một tập hợp mở chứa D, thì có những tính chất nhất định được đảm bảo.
Chứng minh Áp dụng công thức Grin trong định lý 2.1.2, ta được
Cộng hai đẳng thức trên, ta được
Vì các tích phân đường dọc theo hai đoạn thẳng KL và MN được lấy theo hai hướng đối nhau nên chúng triệt tiêu lẫn nhau và ta có
Cho D là một miền đóng bị chặn có biên là đường cong kín C đơn, trơn từng khúc và định hướng dương trong mặt phẳng Oxy Cần chứng minh rằng nếu đường cong C không đi qua điểm gốc O, thì một số tính chất hình học và toán học liên quan đến miền D sẽ được xác lập.
−ydx + xdy x 2 + y 2 ( 0 nếu điểm O nằm 2π nếu O ∈ D
(x 2 + y 2 ) 2 = 0. với mọi(x,y) ̸= (0,0) Nếu điểm O(0,0) nằm ngoài D thì áp dụng công thức Grin, ta được
−y x 2 +y 2 dxdy = 0. Nếu điểm gốc O là một điểm trong của D thì với ε > 0 đủ nhỏ, đường tròn
Cε tâm O, bán kính ε nằm trong D và không có điểm chung với C.
Tích phân mặt của hàm vectơ và ứng dụng
Khi giải bài toán vật lý liên quan đến việc xác định khối lượng của một mặt S, ta cần biết mật độ khối lượng diện tích của mặt đó Tương tự, để tính thông lượng của một dòng chất lỏng qua mặt S, cần có thông tin về trường vận tốc của dòng chảy Định nghĩa tích phân mặt của một hàm số giúp chúng ta thực hiện các phép tính này một cách chính xác.
Giả sử S là một mặt đơn trơn với phương trình vectơ
→r(u, v) =x(u, v)⃗i+y(u, v)⃗j +z(u, v)⃗k,(u, v) ∈ D trong đó D là một miền đóng đo được trong R 2 và f : S → R,(x,y,z) 7→ f(x,y,z) là một hàm số liên tục trên S Tích phân mặt của hàm số f trên mặt S được kí hiệu là
S f dS và được cho bởi công thức
Nhận xét 2.2.1 Trong công thức (1) của 2.2.1, nếu f(x,y,z) = 1 với mọi
Trường hơp đặc biêtGiả sửS là đồ thị của hàm sốz = g(x, y)thuộc lớp
C 1 trên một miền đóng đo được D trongR 2 và f : S →R,(x,y,z) 7→f(x,y,z) là một hàm số liên tục trênS Ta biết rằng khi đó S là một mặt đơn trơn với phương trình vectơ
S(1 +z)dS, trong đó S là nửa của mặt cầu có tâm là điểm gốc O, bán kính a nằm bên trên mặt phẳng Oxy.
Giải Phương trình vectơ của nửa mặt cầu đã cho là
→r (θ, φ) =asinθcosφ−→ i +asinθsinφ−→ j +acosθ−→ k ,(θ, φ) ∈ D = h0, π
∂φ = a 2 sin 2 θcosφ⃗i+ a 2 sin 2 θsinφ⃗j+a 2 sinθcosθ⃗k
= a 2 sinθ Áp dụng công thức (1) trong định nghĩa của tích phân mặt, ta có
Ví dụ 2.2.2 Cho mặt S với phương trình z 2 = x 2 + y 2 ,0 ≤ z ≤ 1 và hàm số f : S →R xác định bởi f(x,y,z) = 2x 2 y 2 z
Giải Ta viết một phương trình vectơ của mặt S : Ta có
2. Áp dụng công thức (1) trong định nghĩa, ta có
0 dS, trong đó S là phần của mặt nón tròn xoay z px 2 + y 2 nằm giữa hai mặt trụ x 2 + y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4
Giải Gọi D là hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn x 2 + y 2 = 1 và x 2 + y 2 = 4 trong mặt phẳng Oxy Áp dụng công thức (2) , ta có
Thay z x ′ = x px 2 +y 2 và z y ′ = y px 2 + y 2 vào đẳng thức trên, ta được
Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = r cosφ,y = rsinφ, ta có
S(x + y + z)dS, trong đó S là phần của mặt phẳng x + y = 1 nằm trong góc phần tám thứ nhất và giới hạn bởi mặt phẳng z = 1.
Giải Hình chiếu của mặt S trên mặt phẳng Ozx là hình vuông
Mặt S là đồ thị của hàm số y = g(z,x) = 1−x,(z,x) ∈ D. Áp dụng công thức (2), ta được
2 2 ỨNG DỤNG VẬT LÍ CỦA TÍCH PHÂN MẶT
Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận về khối lượng, mômen quán tính và khối tâm của một mặt Khối lượng của một mặt được định nghĩa là khối lượng diện tích tại điểm cụ thể trên mặt đó, với S là một mặt đơn trơn có diện tích |S| và ρ(M) là mật độ khối lượng diện tích của S.
M Nếu hàm số ρ : S→ R liên tục thì số thực m Z Z
D ρ(M)dS được gọi là khối lượng của mặt S Nếu phương trình vectơ của mặt S là
(u,v) ∈ D, trong đó D là một miền đóng đo được trong R 2 thì khối lượng của mặt S là m Z Z
Chú ý Một bản phẳng (trong R 2 ) có thể xem là một mặt trongR 3 chứa trong R 2 × {0}.
Ví dụ 2.2.5 Tìm khối lượng của mặt S, phần của mặt nón z = px 2 + y 2 , 1≤ z ≤2 biết rằng mật độ khối lượng diện tích của mặt S tại điểm (x,y,z) là ρ(x, y, z) = x 2
Mặt S là đồ thị của hàm số z = px² + y², với (x,y) thuộc miền D, nơi D là hình vành khăn trong mặt phẳng Oxy, được giới hạn bởi hai đường tròn x² + y² = 1 và x² + y² = 4 Khối lượng của mặt S được tính toán bằng công thức m = ∫∫.
Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = r cosφ,y = rsinφ, ta được m = √
Mômen quán tính của một mặt được định nghĩa cho mặt đơn trơn S với diện tích |S| và mật độ khối lượng diện tích ρ(M) tại điểm M Hàm số ρ : S → R liên tục trên S cho phép tính toán mômen quán tính của mặt S khi có một điểm, đường thẳng hoặc mặt phẳng E liên quan.
S đối với E được kí hiệu là I E và được cho bởi công thức
S ρ(M)(d(M,E)) 2 dS trong đó d(M,E) là khoảng cách từ điểm M dến E.
Như vậy a) Mômen quán tính của mặt S đối với gốc toạ độ O là
S x 2 +y 2 +z 2 ρ(x, y, z)dS. b) Mômen quán tính của mặt S đối với trục Ox là
S y 2 +z 2 ρ(x, y, z)dS c) Mômen quán tính của mặt S đối với mặt phẳng Oxy là
Để tìm mômen quán tính của chỏm cầu đồng chất S x² + y² + z² = R² với z ≥ a (0 < a < R), chúng ta cần xem xét hai trường hợp: a) Đối với gốc tọa độ O và b) Đối với trục Oz Trong đó, mật độ khối lượng diện tích của mặt S được xác định là ρ, với ρ là một hằng số.
Giải Chỏm cầu S là đồ thị của hàm số z = pR 2 −x 2 −y 2 , (x, y) ∈ D trong đó D là hình tròn x 2 + y 2 ≤ R 2 −a 2 trong mặt phẳng Oxy. a) Mômen quán tính của chỏm cầu đối với điểm O là
Ta có z x ′ = −x pR 2 −x 2 −y 2 , z y ′ = −y pR 2 −x 2 −y 2 và x 2 +y 2 +z 2 = R 2
D dxdy pR 2 −x 2 −y 2 Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = rcosφ,y = rsinφ, ta được
0 = 2πρR 3 (R−a) = 2πρR 3 h trong đó h = R−a là chiều cao của chỏm cầu. b) Mômen quán tính của chỏm cầu đối với trục Oz là
D x 2 + y 2 R pR 2 −x 2 −y 2 dxdy Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = rcosφ,y = r sinφ, ta được
0 r 2 dpR 2 −r 2 Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được
Khối tâm của một mặt được định nghĩa trong trường hợp S là một mặt đơn trơn có diện tích |S| và hàm mật độ khối lượng diện tích ρ : S → R liên tục trên S Điểm G (xG,yG,zG) được xác định với xG = 1 m.
S zρ(x, y, z)dS trong đóm = RR S ρ(M)dS là khối lượng của mặt S, được gọi là khối tâm của mặt S.
Có thể viết gọn ba đẳng thức trên trong một đẳng thức vectơ
−−→OMp(M)dS Nếu mặt S là đồng chất thì x G = 1
Ví dụ 2.2.7 Xác định khối tâm của chỏm cầu đồng chất S x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ,z ≥ a,0 < a< R
Để xác định tọa độ khối tâm G của chỏm cầu, chúng ta xem mặt S là đồ thị của hàm số z = pR² - x² - y², với (x,y) thuộc miền D, trong đó D là hình tròn x² + y² ≤ R² - a² trong mặt phẳng Oxy Từ đó, dễ dàng nhận thấy rằng tọa độ xG = 1.
Ta biết rằng |S| = 2πR(R−a) Do đó z G = R
Tích phân của dạng vi phân
Phần này trình bày về tích phân của các dạng vi phân bậc 1, 2, 3 theo thứ tự, trên một cung định hướng trong R³, trên một mặt định hướng trong R³ và trên một tập hợp trong R³ Định nghĩa 2.3.1 nêu rõ tích phân đường của dạng vi phân bậc 1, ký hiệu là ω = Pdx + Qdy + Rdz, dọc theo cung định hướng trơn C, được tính theo công thức R ω.
Nếu ω = Pdx+ Qdy là một dạng vi phân bậc 1 liên tục trên tập hợp mở
U trong R 2 và C là một cung phẳng định hướng trơn chứa trong U với biểu diễn tham số r(t) = (x(t),y(t)),t ∈ [a,b] thì
Trong ví dụ 2.3.1, chúng ta xét dạng vi phân bậc một ω trên tập hợp mở U = R² \ {(0,0)} được định nghĩa bởi ω(x, y) = xdy - ydx/(x² + y²) Để tính tích phân R ω, ta sử dụng đường tròn C với tâm O và bán kính a, tích phân được thực hiện theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Giải Hiển nhiên C ⊂ U Biểu diễn tham số của đường tròn định hướng
Chuyển dịch của dạng vi phân ω qua ánh xa r là
(r ∗ ω) (t) = acostd(asint)−asintd(acost) a 2 cos 2 t+a 2 sin 2 t
= acost(acost)dt−asint(−asint)dt a 2 (j)(s)
Trong không gian R³, nếu U là một tập hợp mở và ω = Pdx + Qdy + Rdz là một dạng vi phân đúng trên U, thì tích phân đường của ω qua một cung định hướng trơn C, được biểu diễn bởi tham số r(t) = (x(t), y(t), z(t)) với t ∈ [a, b], được định nghĩa là ∫C ω = ∫a^b ω(r(t)) · r'(t) dt.
Khi đó, tồn tại một nguyên hàm g : U → R của ω trên U, tức là g là một hàm số thuộc lớp C 1 trên U sao cho ω = dg = ∂g
= (g◦r)(t)| b a = g(r(b))−g(r(a)) = g(B)−g(A) trong đó A = r(a) là điểm đầu và B = r(b) là điểm cuối của cung C.
Đẳng thức vẫn đúng khi C là một cung định hướng trơn từng khúc Nếu hàm số f khả tích trên tập hợp D, thì dạng vi phân ω được coi là khả tích trên mặt định hướng S Tích phân mặt của dạng vi phân ω trên mặt định D hướng S được ký hiệu là RR f(u,v) dudv.
Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian R³, ω là một dạng vi phân bậc 2 trên U, và S là mặt định hướng nằm trong U với biểu diễn tham số r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), trong đó (u, v) thuộc D, với D là một tập hợp đo được trong R², đảm bảo rằng phần trong D là một tập hợp liên thông Khi đó, D được xác định là một miền đo được trong R².
(u,v) 7→r| 0 D (u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v) ∈ D là một mặt định hướng đơn trơn (hiển nhiên S 0 ⊂ S ) Khi đó, nếu ω khả tích trên S0 thì ta nói rằng ω khả tích trên mặt S và định nghĩa
Ví dụ 2.3.2 Tính I = RR Σ xdy ∧dz+ydz∧dx+zdx∧dy, trong đó P la mặt ngoài của mặt cầu với biểu diễn tham số r(θ, φ) = (sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ), (θ, φ) ∈ ∆ = [0, π]×[0,2π]
Giải Trong đó tập hợp D = (0, π) × (0,2π) được thay bởi tập hợp
∆ = D nên, theo định nghĩa mở rộng của tích phân mặt, ta có
Một số ứng dụng trong hình học vi phân
I Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng tham sốCho đường cong
x = x(t) y = y(t) z = z(t) vàM (x0, y0, z0) là một điểm chính quy - Phương trình tiếp tuyến tại M x−x(t 0 ) x ′ (t0) = y −y(t 0 ) y ′ (t0) = z −z(t 0 ) z ′ (t0)
- Phương trình pháp diện tại M.
Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong được xác định bởi phương trình f(x, y, z) = 0 tại một điểm chính quy M (x0, y0, z0) trên mặt cong S Tại điểm M, phương trình pháp tuyến được biểu diễn dưới dạng x − x0 f_x′(M) = y − y0 f_y′(M) = z − z0 f_z′(M).
- Phương trình tiếp diện tại M
(P) : f x ′ (M)ã(x−x0) +f y ′ (M)ã(y −y0) +f z ′ (M)ã(z −z0) = 0. Đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z(x, y) thì phương trình tiếp diện tại M là (P) : z−z 0 = z x ′ (M)ã(x−x 0 ) +z y ′ (M)ã(y−y 0 ).
Ví dụ 2.4.1 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường thẳng a.
x = asin 2 t y = bsintcost tại điểm ứng với t= π
√2 y = 1 tại điểm ứng với t= 2. z = e t cost
Giải a Phương trình tiếp tuyến: (d) : x− a 2 a y − b 2
Ví dụ 2.4.2 Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong: a) x 2 −4y 2 + 2z 2 = 6 tại điểm (2,2,3). b) z = 2x 2 + 4y 2 tại điểm (2,1,12). c) z = ln(2x+y) tại điểm (−1,3,0)
Giải a Phương trình pháp tuyến: (d) : x−2
12 Phương trình tiếp diện: (P) : 4(x−2)−16(y −2) + 12(z −3) = 0. b Phương trình pháp tuyến: (d) : x−2
Phương trình tiếp diện: (P) : 8(x−2) + 8(y −1)−(z−12) = 0. c Phương trình pháp tuyến: (d) : x+ 1
Ví dụ 2.4.3 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: a.
Vậy: Phương trình tiếp tuyến (d) : x−1
3 Phương trình pháp diện (P) : 21(x−1)−8(y −3) + 3(z −4) = 0. b Tương tự,
KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu "Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng" đã đạt được một số kết quả sau đây:
• Hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vectơ và phép tính tích phân của hàm vectơ
Hàm vectơ và phép tính tích phân của chúng có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu các trường vectơ trong vật lý, chẳng hạn như trường điện từ và trường hấp dẫn Ngoài ra, chúng cũng đóng vai trò thiết yếu trong việc nghiên cứu dạng vi phân và hình học vi phân trong toán học, giúp giải quyết các bài toán phức tạp và hiểu rõ hơn về cấu trúc không gian.
Nghiên cứu cho thấy các hàm số có thể được chuyển đổi thành mô hình hàm vectơ, tạo ra một cách tiếp cận mới mẻ và thiết thực cho chương trình toán phổ thông Kết quả của đề tài này sẽ là cơ sở quan trọng để đổi mới nội dung và phương pháp dạy học toán theo định hướng của chương trình giáo dục phổ thông 2018.
Mặc dù đã nỗ lực hoàn thành luận văn, nhưng do hạn chế về năng lực và thời gian, luận văn vẫn còn những thiếu sót Em rất mong nhận được ý kiến phản biện và góp ý từ quý Thầy trong Hội đồng để giúp luận văn hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn Hội đồng!
[1] Nguyễn Xuân Liêm (2009), Giải Tích Vectơ, NXB Giáo Dục Việt Nam.
[2] Nguyễn Xuân Liêm (1998), Giải Tích (Tập 1, 2), NXB Giáo Dục Việt Nam.
[3] Đoàn Quỳnh (2000), Hình Học Vi Phân, NXB Giáo Dục Việt Nam.
[4] Trần Bình (2000), Phép Tính Vi Phân Và Tích Phân (Tập 1, 2), NXB Khoa Học - Kĩ Thuật.
[5] James Stewart (2008), Calculus , Book/Cole Publishing Company, 2 nd edition.
[6] George F Simmons (1996), Calculus with analytic geometry, McGrawHill Inc. ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN
Họ và tên học viên: Hồ Anh Điền
Ngành: Toán giải tích Khóa: K39
Tên đề tài luận văn: Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Nhật Quy
Ngày bảo vệ luận văn: 28/11/2021
Sau khi tiếp thu ý kiến của Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tôi giải trình một số nội dung sau:
1.Những điểm đã bổ sung, sửa chữa:
- Sửa lại một số lỗi chính tả
- Đánh số các đề mục và ví dụ lại cho hợp lý
- Định dạng lại tên chương (tên chương chữ in hoa và canh giữa)
2 Những điểm bảo lưu ý kiến, không sửa chữa, điều chỉnh (nếu có) bởi những lý do sau:
……… Đà Nẵng, ngày 31 tháng 12 năm 2021
Cán bộ hướng dẫn xác nhận Học viên
Xác nhận của BCN Khoa
BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1 Tên đề tài: Phép tính tích phân của hàm véctơ và một số ứng dụng
2 Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT
3 Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ 2041/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5 Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG
1 TS Lương Quốc Tuyển Chủ tịch
2 TS Lê Văn Dũng Thư ký
3 TS Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện 1
4 TS Lê Quang Thuận Phản biện 2
5 PGS.TS Nguyễn Văn Đức Ủy viên a Thành viên có mặt: 5 b Thành viên vắng mặt: 0
6 Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7 Học viên cao học trình bày luận văn
8 Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo)
9 Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng
10 Hội đồng họp riêng để đánh giá
11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả
12 Kết luận của Hội đồng a) Kết luận chung: ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Luận văn đã đạt yêu cầu và đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết quả chấm luận văn của Hội đồng Đồng thời, cần yêu cầu chỉnh sửa một số nội dung trước khi cấp bằng thạc sĩ cho học viên.
Sửa luận văn theo các góp ý từ Hội đồng, đặc biệt chú trọng vào nhận xét của hai phản biện Các ý kiến khác không được đề cập Điểm đánh giá đạt 8,3, tương đương với "tám ba".
14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(Dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)
Tên đề tài luận văn: Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng
Ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8460102
Họ và tên học viên: Hồ Anh Điền
Người nhận xét: TS Lê Quang Thuận Đơn vị công tác: Trường Đại học Quy Nhơn
1 Tính cấp thiết của đề tài:
Trong Giải tích toán học, hàm véctơ là hàm nhận giá trị trên không gian véctơ, có thể là một biến hoặc nhiều biến Chúng là công cụ hữu ích để mô tả đường cong qua các phương trình tham số và có ứng dụng rộng rãi trong vật lý, kỹ thuật, và hình học vi phân Các kết quả của phép tính vi phân và tích phân cho hàm một biến đã được mở rộng cho hàm véctơ Đề tài này nghiên cứu các kết quả về phép tính tích phân của hàm véctơ cùng với ứng dụng trong nghiên cứu trường véctơ và dạng vi phân, mang lại ý nghĩa thiết thực cho học viên thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.
2 Cơ sở khoa học và thực tiễn:
Luận văn được xây dựng dựa trên 06 tài liệu tham khảo tiếng Việt và 02 tài liệu tiếng Anh từ các nhà xuất bản uy tín Tác giả đã chọn lọc và trình bày các kết quả theo chủ đề quan tâm, mang đến một cái nhìn cá nhân Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho học viên cao học ngành Toán Giải tích và những độc giả quan tâm đến lĩnh vực này.
Học viên đã áp dụng phương pháp sưu tầm và phân tích tài liệu liên quan đến đề tài, từ đó làm rõ các kết quả nghiên cứu Họ đã tổng hợp và trình bày một cách rõ ràng hệ thống kiến thức dựa trên nền tảng Giải tích cổ điển Phương pháp nghiên cứu được sử dụng là phù hợp với loại đề tài đang được khảo sát.
- Đã hệ thống hóa một số khái niệm và các kết quả liên quan tới vectơ, hàm vectơ và phép tính tích phân của hàm vectơ
Hàm vectơ và phép tính tích phân của chúng có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu các trường vectơ trong vật lý, chẳng hạn như trường điện từ và trường hấp dẫn Ngoài ra, chúng còn đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu dạng vi phân và hình học vi phân trong toán học Việc áp dụng các khái niệm này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các trường vật lý cũng như các đối tượng hình học phức tạp.
Luận văn được chia thành hai chương: Chương 1 giới thiệu kiến thức cơ bản về hàm véc tơ, đạo hàm, tích phân hàm véc tơ và trường véc tơ Chương 2 tập trung vào các ứng dụng của phép tính tích phân hàm véc tơ.
- Luận văn có bố cục hợp lý và hình thức trình bày đạt yêu cầu của một luận văn thạc sĩ
- Tuy nhiên, luận văn còn một số sai sót nhỏ về câu chữ, lỗi chính tả, về cách viết cần phải sửa chữa:
+ Các ví dụ đôi khi không được đánh số trong luận văn
+ Việc đánh số phương trình chưa hợp lý
Đánh giá chung về luận văn của học viên Hồ Anh Điền cho thấy đề tài hoàn toàn phù hợp với chuyên ngành Toán Giải tích Luận văn đã đáp ứng đầy đủ các yêu cầu về nội dung và hình thức, đủ điều kiện để bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ của Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Tôi đồng ý cho học viên được bảo vệ luận văn và khẳng định rằng tác giả xứng đáng nhận học vị thạc sĩ toán học chuyên ngành Toán Giải tích.
Bình Định , ngày 15 tháng11 năm 2021
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)
Tên đề tài luận văn: Phép tính tích phân của hàm vectơ và một số ứng dụng
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02
Họ và tên học viên: Hồ Anh Điền
Người nhận xét: TS Nguyễn Thị Thùy Dương Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN
Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương đã được duyệt
1 Tính cấp thiết của đề tài: đề tài luận văn mang tính thời sự và được nhiều người quan tâm nghiên cứu
Luận văn được xây dựng dựa trên các tài liệu khoa học uy tín, cung cấp nguồn thông tin đáng tin cậy cho sinh viên và những người quan tâm.
3 Phương pháp nghiện cứu: Nghiên cứu lí thuyết
Nghiên cứu đã tổng hợp các kết quả trước đây, hệ thống hóa kiến thức cơ bản về hàm vectơ, phép tính tích phân của hàm vectơ và ứng dụng của chúng Tuy nhiên, phần ứng dụng vẫn chưa rõ ràng, với nhiều ví dụ về tính tích phân đường và tích phân mặt được trình bày.
5 Hình thức luận văn: Luận văn được biên soạn bằng Word khá dài trên 70 trang, gồm 2 chương: Chương I: Kiến thức cơ sở Chương II: Một số ứng dụng