ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY NGHÞ HÖ GHI C¥ Sè Vµ MéT Sè øng dông LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY NGHị Hệ GHI CƠ Số Và MộT Số ứng dơng LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY NGHị Hệ GHI CƠ Số Và MộT Số ứng dơng Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2015 Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu HÖ ghi số 1.1 Khái niệm hệ ghi sè 1.2 Các phép toán vấn đề đổi c¬ sè Mét sè øng dụng hệ ghi số 16 2.1 Định lý Legendre Định lý Kummer 16 2.2 Xây dựng đa thức bất khả quy từ số nguyên tố 21 2.3 Mét sè øng dông hệ ghi số toán sơ cấp 28 KÕt luËn 39 Tµi liƯu tham kh¶o 40 Lêi c¶m ơn Trớc hết, xin đợc tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Mặc dù bận rộn công việc nhng Cô dành thời gian tâm huyết việc hớng dẫn Cho đến hôm nay, luận văn thạc sĩ đà đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ nhiệt tình Cô Tôi xin cảm ơn chân thành tới Trờng Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi đà nhận đợc học vấn sau đại học xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trờng, Khoa Toán - Tin Phòng Đào tạo trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô đà tận tình truyền đạt kiến thức quý báu nh tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, ngời đà không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập thực luận văn Luận văn đợc thực hoàn thành Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Lời nói đầu Do nhu cÇu thùc tiƠn cđa cc sèng, cã thĨ nãi hệ ghi số lí thuyết toán học xuất hiện, đợc hình thành phát triển song hành với phát triển văn minh nhân loại Hệ ghi số nội dung quan träng sè häc vµ cã nhiỊu øng dụng khác khoa học thực tiễn Lí thuyết hệ ghi số liên quan đến nhiều lĩnh vùc kh¸c cđa to¸n häc nh− LÝ thut sè; To¸n rời rạc; Phơng trình nghiệm nguyên phơng trình hàm; Đa thức; Qui nạp toán học; Các toán trò ch¬i v.v Mét sè hƯ ghi c¬ sè quan träng hệ thập phân (cơ số 10), hệ nhị phân (cơ số 2), hệ bát phân (cơ số 8), hệ thập lục phân (cơ số 16) Hệ ghi số đợc sử dụng phổ biến hệ thập phân, xuất ấn độ vào Thế kỷ sau công nguyên Đến năm 1202 nhờ tác phẩm Liber hệ Abacci L Fibonacci (một nhà toán học thơng gia ngời Y), ghi thập phân đợc truyền bá vào châu Âu Hệ nhị phân đợc sử dụng ngời Babylon (khoảng Thế kỉ đến Thế kỉ rớc Công Nguyên), ngày hệ nhị phân, hệ bát phân hệ thập lục phân đợc sử dụng rộng rÃi lĩnh vực khoa học máy tính bảo mật thông tin Nhiều hệ ghi số khác nh số 12, số 7, số 3, v.v đến đợc quan tâm sử dụng Luận văn quan tâm đến vấn đề biểu diễn hệ ghi số số ứng dụng toán sơ cấp Luận văn gồm chơng Trong Chơng 1, trình bày khái niệm hệ ghi số, số tính chất sở, phép toán toán đổi số Chơng trình bày số ứng dụng hệ ghi số Trớc hết, thông qua mét biĨu diƠn cđa sè n hƯ ghi số p với p số nguyên tố, tính đợc số tự nhiên t lớn cho pt ớc n! (Định lí cđa Legendre) Cịng th«ng qua biĨu diƠn cđa hai số tự nhiên a b hệ ghi sè p víi p nguyªn tè, a chóng ta cã thể tính đợc số t lớn cho pt ớc Ca+b , a Ca+b số tổ hợp chập a a + b phần tử (Định lí Kummer) Hai định lí đợc trình bày Tiết 2.1 luận văn Trong Tiết 2.2, trình bày ứng dụng hệ ghi số vấn đề xây dựng đa thức (với hệ số nguyên) bất khả quy Q Khi p số nguyên tố b > số tự nhiên, p = (an a1a0 )b lµ biĨu diƠn cđa p hệ ghi số b đa thức f (x) = an xn + + a1 x + a0 bất khả quy Q (Định lí Murty) Tiết 2.3 quan tâm đến ứng dụng hệ ghi số để giải số dạng toán số học sơ cấp, đặc biệt toán thi học sinh giỏi bậc phổ thông trung học Ngoài số thông tin hệ ghi số đợc tham khảo trang Wikipedia, luận văn đợc viết dựa tài liệu sau Lê Thanh Nhàn, Lí thuyết đa thức (Giáo trình sau đại học), NXB §HQGHN, 2015 David Anthony Santos, Number Theory for Mathematical Contests, GNU Free Documentation License, October 31, 2007 J Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2003 M Ram Murty, Prime numbers and irreducible polynomials, The American Math Monthly, 109 (2002), 452-458 Ch−¬ng HƯ ghi c¬ số độ vào Thế kỷ (sau Công Hệ thập phân xuất Ân Nguyên) Đến năm 1202, nhờ tác phẩm Liber Abacci L Fibonacci hệ thập phân (một nhà toán học đồng thời thơng gia ngời Y) đợc truyền bá vào Châu Âu Với phát minh nghề in vào Thế kỉ 15 10 chữ số có hình dạng cố định nh Ngời ta cố lý giải hệ ghi thập phân lại đợc đa số nớc giới sử dụng ®Õn nh− vËy Cã nhiÒu lÝ cho r»ng hai bàn tay có 10 ngón dễ dàng đếm 10 ngón tay Ngoài hệ ghi thập phân có hệ ghi số khác mà nớc, dân tộc giới đà sử dụng Hệ ghi số 60 ngời Babilon (khoảng Thế kỉ thứ đến Thế kỉ thứ trớc Công Nguyên), hệ ghi số 60 ngày đợc dùng để đo góc thời gian Có giả thuyết cho 60 có nhiều ớc số (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) nên thực phép chia thu đợc nhiều số chẵn (tức số nguyên) Còn số 10 có ớc nên thực phép chia thu đợc nhiều số lẻ (phân số) Thời cổ đại, tộc nguyên thđy th−êng dïng hƯ ghi c¬ sè 5, nã t−¬ng ứng với việc đếm năm ngón tay Hiện ngời Trung Quốc ngời Nhật Bản dùng bàn tính gẩy dựa hệ ghi số Với hệ ghi số 20, có dân tộc dùng 10 ngón chân 10 ngón tay để đếm Hệ ghi đợc ngời Maya cổ sử dụng Cho đến ngày Đan Mạch Pháp ngời ta sử dụng hệ ghi số 20 Trong đo lờng ngời ta sử dụng nhiều hệ ghi khác Hệ ghi số 12 đợc sử dụng nhiều nớc giới ngày đợc sử dụng nhiều Anh (một thớc Anh 10 tấc Anh, mµ b»ng 12 tÊc Anh) Chóng ta vÉn hay dùng đơn vị inch, 18 inch th−íc vµ tÊc mµ lµ mét th−íc Anh vµ tấc Anh Ngời ta dùng đơn vị tá, mét t¸ b»ng 12 chiÕc Cã lÏ ng−êi Trung Quèc đà sử dụng hệ ghi số 12 (chu kì 12 giáp) Tùy theo yêu cầu thực tế mà ngời ta lại dùng hệ ghi với c¬ sè míi HƯ ghi c¬ sè hay hƯ ghi nhị phân đợc cài máy tính Phép đếm nhị phân với phép toán logic sở hoạt động máy tính Do có hai ký tù nªn viƯc biĨu diƠn cđa mét sè hệ ghi số dài, máy tính sử dụng hệ ghi số hệ ghi số 16, thuận tiện biểu diễn số, ớc 16 Thực hệ ghi số 16 đà có Trung Quốc từ xa, thời trớc cân Trung Quốc có tới 16 lạng Hệ ghi số 24 dùng đếm số ngày Hệ ghi số 30 đếm số ngày tháng Hệ ghi số dùng để đếm số tháng quí Hệ ghi số đếm số ngày tuần, v.v Mục đích chơng trình bày khái niệm hệ ghi số, tính chất, phép toán vấn đề đổi số 1.1 Khái niệm hệ ghi số Tiết trình bày số khái niệm tÝnh chÊt c¬ së cđa hƯ ghi c¬ sè Ln văn quan tâm đến hệ ghi số thờng gặp nh: Hệ thập phân, hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ thập lục phân 1.1.1 Định nghĩa Cho a > số hữu tỷ, b > số tự nhiên Giả sử a = an bn + an−1 bn−1 + + a1 b + a0 b0 + a−1 b−1 + a−2 b−2 + + a−mb−m , ®ã n, m ∈ N, an , , a0 , a−1 , , a−m ∈ {0, 1, , b − 1} an 6= Khi ta nói a = (an a0, a−1 a−m )b biểu diễn a hệ ghi sè b 1.1.2 VÝ dơ Mét sè hƯ ghi c¬ số thờng gặp nh Hệ thập phân: Chúng ta dùng chữ số 0, 1, , để biểu diễn số hệ thập phân Chẳng h¹n (12568, 36)10 = 1.104 + 2.103 + 5.102 + 6.101 + 8.100 + 3.10−1 + 6.10−2 HƯ nhÞ phân: Chúng ta dùng chữ số để biểu diễn số hệ nhị phân Chẳng h¹n (111010, 01)2 = 1.25 + 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 + 0.2−1 + 1.2−2 Hệ bát phân: Chúng ta dùng chữ số 0, 1, , để biểu diễn số hệ bát phân Chẳng hạn (20365, 68)8 = 2.84 + 0.83 + 3.82 + 6.81 + 5.80 + 6.8−1 + 8.8−2 HƯ thËp lơc ph©n: Chóng ta dïng c¸c sè 0, 1, , chữ A, B, C, D, E, F để biểu diễn số hệ ghi số thập lục phân, A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 Chẳng hạn 3.165 + A.164 + 0.163 + B.162 + 1.161 + F.160 + 3.16−1 + A.16−2 cã biểu diễn hệ thập lục phân (3A0B1F, 3A)16 Nh− vËy dï ë hƯ ghi c¬ sè b bao gồm hai phần: phần nguyên phần b-phân (hay gọi phần lẻ), hai phần đợc ngăn 26 f (z) z n ≥ a n + ≥