Kián thực cỡ sð
Sỡ lữủc vã phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt giÊi ữủc ối vợi Ôo
X²t phữỡng trẳnh: y 0 = f(x, y), (1.1) y(x 0 ) = y 0 , (1.2) vợi f liản tửc trong mởt miãn D ⊂ R 2
Định lý Cauchy cho phương trình vi phân cấp một cho phép xác định nghiệm y(x) của phương trình (1.1) qua điểm (x₀, y₀) Định nghĩa 1.1.1 (xem [5]) cho rằng D ⊂ R² là miền xác định cho phương trình (1.1) và y = y(x, C) là nghiệm phụ thuộc vào tham số C, được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1).
1 Vợi mội iãu kiằn ban Ưu (x0, y0) ∈ D ta luổn tẳm ữủc C dữợi d¤ng:
2 H m y = y(x, C) thọa mÂn (1.1) vợi mội giĂ trà cừa C ữủc xĂc ành bði (1.3) khi (x 0 , y 0 ) ch¤y kh p D.
Phương trình 0 + y = 0 có nghiệm tổng quát là y(x) = Ce^(-x), với C là hằng số tùy ý Nếu cho x = 0, y = 2, ta có y(0) = 2 = C, do đó y = 2e^(-x) là một nghiệm của phương trình đã cho Nghiệm của phương trình (1.1) tại mỗi điểm (x0, y0) là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy: y' = f(x, y) với y(x0) = y0, được gọi là nghiệm riêng Ngược lại, nghiệm của phương trình (1.1) tại mỗi điểm của nó là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy và được gọi là nghiệm ký hiệu.
Phữỡng trẳnh vợi bián số phƠn ly
ành nghắa 1.2.1 (xem [3]) Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt dÔng:
M(x)dx+ N(y)dy = 0, (1.4) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vợi bián số phƠn ly (hay cỏn gồi l phữỡng trẳnh tĂch bián).
Trong phữỡng trẳnh (1.4) cĂc h m số M(x), N(y) ữủc giÊ thiát l liản tửc trản cĂc khoÊng n o õ Khi õ ch¿ cƯn tẵch phƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh trản ta thu ữủc:
Biºu thực cuối cũng chẵnh l nghiằm cƯn tẳm cừa phữỡng trẳnh  cho. Vẵ dử 1.2.2 GiÊi phữỡng trẳnh: xdx+ydy = 0.
Tẵch phƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh  cho ta thu ữủc:
Phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn
ành nghắa 1.3.1 (xem [5]) Phữỡng trẳnh vi phƠn dÔng:
P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (1.5) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn náu nhữ tỗn tÔi h m U(x, y) thọa mÂn: dU(x, y) = P(x, y)dx+Q(x, y)dy.
Khi õ tẵch phƠn tờng quĂt cừa (1.5) cho bði:
U(x, y) = C. ành lẵ 1.3.2 (xem [5]) (DĐu hiằu nhên biát phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn) º cho phữỡng trẳnh (1.5) l to n phƯn thẳ iãu kiằn cƯn v ừ l :
∂x. Chùng minh. iãu kiằn cƯn GiÊ sỷ trong phữỡng trẳnh (1.5) cĂc h m P(x, y),
Q(x, y) ữủc cho trản hẳnh chỳ nhêt J 1 ì J 2 , ð Ơy J 1 , J 2 l cĂc oÔn trong R v liản tửc cũng vợi cĂc Ôo h m riảng ∂P ∂y v ∂Q ∂x Vẳ (1.5) l to n phƯn nản:
∂x∂y. án Ơy Ăp dửng ành lỵ Schwartz 1 vã sỹ bơng nhau cừa Ôo h m hộn hủp cho h m hai bián ta cõ ∂P ∂y = ∂Q ∂x ((x, y) ∈ J 1 ìJ 2 ). iãu kiằn ừ.
0Q(x, ξ)dξ + C(x) L§y ¤o h m theo x biºu thực nhên ữủc cho ta:
Do õ C 0 (x) =P(x, y 0 ) Tứ Ơy ta nhên ữủc:
1 Cho f : U → R , U l têp mð trong m°t ph¯ng R 2 GiÊ sỷ f cõ cĂc Ôo h m riảng cĐp hai f xy , f yx : U → R l cĂc h m liản tửc tÔi (x 0 , y 0 ) ∈ U Khi õ f xy (x 0 , y 0 ) = f yx (x 0 , y 0 )
Nhữ vêy h m U(x, y) tẳm ữủc dữợi dÔng:
Q(x, ξ)dξ, ð ¥y x 0 , y 0 l c¡c iºm cè ành t÷ìng ùng trong J 1 v J 2
Vẵ dử 1.3.3 GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn:
∂x, do õ phữỡng trẳnh  cho l to n phƯn.
U = x 2 y +C(y). Ôo h m biºu thực nhên ữủc theo y cho ta:
Tứ Ơy ta nhên ữủc C y 0 = −y 2 , do õ C(y) = − 1 3 y 3 + C.
Nhữ vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho l : x 2 y − 1 3 y 3 = C.
Thứa số tẵch phƠn
Cõ nhỳng trữớng hủp phữỡng trẳnh (1.5) không phải là phương trình vi phân tổng quát của các hàm số (x, y) sao cho phương trình: à(x, y)[P(x, y)dx + Q(x, y)dy] = 0, thể hiện những phương trình vi phân tổng quát Hàm à(x, y) thỏa mãn (1.6) được gọi là thứa số tách phần của phương trình (1.6) Hiện nay, à(x, y) là thứa số tách phần thỏa mãn điều kiện này.
Khổng cõ phữỡng phĂp tờng quĂt º giÊi (1.7), tuy nhiản trong cĂc trữớng hủp °c biằt ta cõ thº tẳm ữủc à(x, y). a à ch¿ phử thuởc v o x Khi õ ∂à ∂y = 0 v (1.7) trð th nh:
Chia cÊ hai vá cho àQ ta nhên ữủc
Nhữ vêy yêu cầu b i toĂn ữủc thọa thẳ và phÊi cừa (1.9) chỉ có thể thực hiện với x Kẵ hiằu và phÊi cừa biểu thực cuối bơng ϕ(x) và lĐy tẵch phƠn cÊ hai, và ̄ng thực nhên ữủc: à(x) = e.
(1.10) b à ch¿ phử thuởc v o y Tián h nh tữỡng tỹ ta nhên ữủc: à(y) = e R ψ(y)dy , (1.11) ð ¥y ψ(y) = − P 1 ( ∂P ∂y − ∂Q ∂x ).
Vẵ dử 1.4.2 Tẳm thứa số tẵch phƠn rỗi giÊi phữỡng trẳnh sau Ơy:
Lúc n y phữỡng trẳnh (1.12) viát lÔi ữủc dữợi dÔng: e 2x (x 2 + y 2 +x)dx+ye 2x dy = 0, (1.13) v l phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn.
Tián h nh giÊi (1.13) ta thu ữủc nghiằm: y 2 e 2x +x 2 e 2x = C.
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt
ành nghắa 1.5.1 (xem [1]) Phữỡng trẳnh dÔng: dy dx +P(x)y = Q(x), (1.14) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt.
Trong phương trình (1.14), chúng ta luôn mục đích xác định khoảng (a, b) cho P(x) và Q(x) Ta xây dựng tâm nghiệm của (1.14) dưới dạng y = u(x)v(x) (1.15), trong đó u và v là các hàm số phụ thuộc vào x Vi phân của hai vế trong (1.15) cho ta công thức y' = u'v + uv' Bằng cách thay thế vào (1.14), ta nhận được uv' + (u' + P(x)u)v = Q(x) (1.16) Trong (1.16), ta chọn u sao cho u' + P(x)u = 0, từ đó suy ra u = e^(-∫P(x)dx).
. Thay biºu thực nhên ữủc v o (1.16) ta nhên ữủc: v 0 = e − R P (x)dx = Q(x).
GiÊi phữỡng trẳnh cuối ta nhên ữủc: v Z Q(x)e
Do õ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.14) tẳm ữủc dữợi dÔng: y = uv = e −
Vẵ dử 1.5.2 Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh: y 0 + 3xy = x, i qua iºm (0,1).
Ta cõ: P(x) = 3x, do õ R P(x)dx = 3 2 x 2 v nhữ thá nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho l : y = e − 3x
Do nghiằm cừa phữỡng trẳnh i qua (0,1) nản thay x = 0, y = 1 v o biºu thực cuối ta thu ữủc C = 2 3 Nhữ vêy nghiằm cƯn tẳm chẵnh l : y = e − 3x
Phữỡng trẳnh Bernoulli
Phương trình động của dạng (1.17) được gọi là phương trình Bernoulli Khi n = 0 hoặc n = 1, phương trình (1.17) trở thành phương trình tuyến tính Để giải phương trình này, ta đặt y = uv, từ đó có biểu thức (1.18) Ta chọn u sao cho u' + P(x)u = 0, dẫn đến u = e^(-∫P(x)dx) Thay vào biểu thức (1.18), ta có v' e^(-∫P(x)dx) = v^n e^(-n∫P(x)dx) Q(x).
NhƠn cÊ hai vá cừa biºu thực cuối vợi e R P(x)dx ta nhên ữủc: v 0 = v n e (1−n)
Q(x). dv dx = v n e (1−n) R P (x)dx Q(x), hay: dv v n = e (1−n)
Tẵch phƠn cÊ hai vá hằ thực cuối:
Hằ thực cuối cũng cho ph²p ta xĂc ành ữủc v(x) v ta kẵ hiằu bơng ψ(x, C) Nhữ vêy nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh Bernoulli xĂc ành bði cổng thực: y = e −
Vẵ dử 1.6.2 Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh: dy dx + 4y x = −x 2
Ta câ n = 2, P(x) = x 4 , R P(x)dx = −lnx 4 , u = x 1 4, Q(x) =−1. L¤i câ:
1 + 3C.x 3 Nhữ vêy nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho l : y = 1 x 4 −3x 3
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n hằ số bián thiản
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng y(n) + P1(x)y(n−1) + + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y = f(x), trong đó Pi(x) (i = 1, n) là các hàm số đã cho trước, còn y(n), y(n−1), , y0 là các hàm số cần tìm Hàm f(x) là hàm số bên phải của phương trình Các hàm Pi(x) được gọi là hệ số của phương trình, trong khi f(x) được gọi là hằng số của phương trình.
Trong toán học, phương trình vi phân bậc n thường được biểu diễn dưới dạng f(x), với i = 1, n Nếu f(x) khác 0, phương trình này được gọi là phương trình vi phân không thuần nhất Ngược lại, nếu phương trình này là tuyến tính không thuần nhất, nó có thể được viết dưới dạng: y(n) + P1(x)y(n−1) + + Pn−1(x)y' + Pn(x)y = 0, được gọi là phương trình vi phân thuần nhất tương ứng với phương trình trước đó.
Phương trình vi phân tuyến tính bậc n có dạng L[y] = y(n) + P1(x)y(n−1) + + Pn−1(x)y0 + Pn(x)y Để giải phương trình này, cần áp dụng các điều kiện ban đầu như x = x0, y = y0, y0 = y0(0), , y(n−1) = y0(n−1) Các hàm P1(x), P2(x), , Pn(x) và f(x) cần được xác định trong không gian thích hợp.
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt cĐp n hằ số bián thiản
ành nghắa 1.8.1 (xem [5]) y (n) +P 1 (x)y (n−1) + +P n−1 (x)y 0 + P n (x)y = 0, (1.23) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt bêc n vợi hằ số bián P 1 (x), P 2 (x), , P n (x).
Ta s³ m°c ành cĂc hằ số P1(x), P2(x), , Pn(x) xĂc ành v liản tửc trong mởt khoÊng (a, b) n o õ Ta cõ thº viát gồn lÔi phữỡng trẳnh (1.23) dữợi dÔng:
1 Náu nhữ cĂc h m y 1 (x) = y 1 , y 2 (x) = y 2 n lƯn khÊ vi trong (a, b) thẳ L[y1 +y2] = L[y1] +L[y2].
Chựng minh Thêt vêy ta cõ:
2 Vợi mồi h m y = y(x) vi phƠn cĐp n trong (a,b) v vợi số α ∈ R bĐt kẳ ta cõ: L[αy] = αL[y].
1 Náu y 1 = y 1 (x) v y 2 = y 2 (x) l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn thuƯn nhĐt bêc n (1.20) thẳ y 1 +y 2 = y cụng l nghiằm cừa (1.20). Chùng minh.
Ta cõ L[y 1 ] = 0 = L[y 2 ] Sỷ dửng tẵnh chĐt 1 (1.8.1) ta nhên ữủc:
0 = L[y 1 ] + L[y 2 ] = L[y 1 +y 2 ] iãu n y nghắa l h m y = y 1 + y 2 cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.20).
2 Náu h m y = y 1 (x) l nghiằm cừa (1.20) thẳ vợi mồi α ∈ R bĐt kẳ αy cụng l nghiằm cừa (1.20).
Chựng minh Vẳ L[y] = 0 nản vợi mồi α R ta cõ αL[y] = 0.
Sỷ dửng tẵnh chĐt 2 [1.8.1] ta cõ iãu phÊi chựng minh.
3 Náu cĂc h m y1 = y1(x), y2 = y2(x), , yn = yn(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.20) thẳ h m: y = α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) + + α n y n (x), cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.20), trong õ αi, i = 1, n l cĂc hơng số bĐt kẳ.
Một cách rõ ràng, các hàm số y1 = y1(x), y2 = y2(x), , yn = yn(x) là các nghiệm riêng của phương trình (1.20) Trong điều kiện n không bằng 0, các hàm này tạo thành một tổ hợp tuyến tính với c1y1 + c2y2 + + cny n, trong đó ci ∈ R, i = 1, n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1.20) Nếu các hàm số y i(t), i = 1, n được gọi là phương trình tuyến tính trong khoảng (a, b), thì tồn tại các hệ số αi, i = 1, n không đồng thời bằng 0 sao cho tổng Pn i=1 αi yi = 0 thỏa mãn Nếu Pn i=1 αi yi = 0 suy ra αi = 0 cho mọi i = 1, n, thì các hàm số này được gọi là độc lập tuyến tính trong khoảng (a, b).
Vẵ dử 1.8.4 Vợi mồi n ∈ N hằ: 1, t, t 2 , , t n ởc lêp tuyán tẵnh trong mồi khoÊng (a, b).
Giả sử \( f(t) = \alpha_0 + \alpha_1 t + + \alpha_n t^n \) là một đa thức bậc n với các hệ số \( \alpha_i \) thuộc \( \mathbb{R} \) cho \( i = 0, n \) Để tồn tại ít nhất một nghiệm trong khoảng \( (a, b) \), điều kiện cần thiết là \( f(t) = 0 \) phải có nghiệm trong khoảng này Nếu \( f(a) \) và \( f(b) \) có dấu khác nhau, theo định lý giá trị trung gian, sẽ tồn tại ít nhất một giá trị \( t \in (a, b) \) sao cho \( f(t) = 0 \).
Vẵ dử 1.8.5 Hằ e x , e 2x , , e nx l ởc lêp tuyán tẵnh trản to n bở trửc số.
Ta chựng minh bơng quy nÔp mằnh ã Â cho.
GiÊ sỷ iãu kh¯ng ành trản l úng trong trữớng hủpk = n−1, tực l : n−1
Ta i xem x²t trong trữớng hủp k = n, tực l ta phÊi kiºm chựng: n
X k=1 α k e kx = 0 ⇒ α k = 0, k = 1, n, vợi iãu kiằn (1.24) Chia cÊ hai vá ¯ng thực nhên ữủc cho e nx ta nhên ữủc: α 1 e (1−n)x +α 2 e (2−n)x + +α n−1 e (n−1−n)x +α n = 0.
Vi phƠn cÊ hai vá ¯ng thực trản theo x cho ta: α 1 (1−n)e x + α 2 (2−n)e 2x + +α n−1 (n−1−n)e (n−1)x = 0.
Tứ (1.24) ta cõ biºu thực cuối: α1 = α2 = = α n−1 , tứ Ơy ta suy ra α n = 0.
Vẵ dử 1.8.6 Hằ gỗm cĂc h m: 1, sin 2 t, cos 2 t l phử thuởc tuyán tẵnh.
Thêt vêy, khổng khõ º ta nhên thĐy ð Ơy α 1 = 1, α 2 = −1, α 2 = −1.
Do õ theo ành nghắa hằ trản l phử thuởc tuyán tẵnh. ành lẵ 1.8.7 (xem [5]) º hằ hai h m y 1 = y 1 (x) 6= 0, y 2 = y 2 (x) 6= 0 l ởc lêp tuyán tẵnh trong khoÊng (a, b) thẳ iãu kiằn cƯn v ừ l : y 1 (x) y 2 (x) 6= const.
Chùng minh. iãu kiằn cƯn: Ta giÊ sỷ iãu ngữủc lÔi: y 1 (x) y 2 (x) = C ⇒ −y 1 +Cy 2 = 0.
Bài viết này trình bày về biện luận thực của hai hàm số y1 và y2 trong hệ phương trình tuyến tính Để chứng minh, chúng ta cần xác định rằng các hệ số C1 và C2 không bằng 0, từ đó khẳng định rằng phương trình C1y1 + C2y2 = 0 có nghiệm không tầm thường Qua đó, chúng ta có thể suy ra mối quan hệ giữa y1 và y2, cụ thể là y1 y2 = -C2.
C 1 = hằng số, và trong không gian ba chiều, việc thiết lập các điều kiện cần thiết là rất quan trọng Để chứng minh điều này, ta cần áp dụng các định nghĩa liên quan Theo định nghĩa 1.8.8, một hàm gộp n biến y_i = y_i(x) với i = 1, n là một phần của phương trình vi phân thuần nhất (1.20), được gọi là hàm gộp cỡ s Định nghĩa 1.8.9 cho biết rằng giá trị hàm y_i = y_i(x) với i = 1, n, (n−1) nằm trong khoảng (a, b) Khi đó, các điều kiện thực tế cần được xem xét.
Hàm Wronxki (hay Wronxkian) được sử dụng để phân tích tính độc lập tuyến tính của các hàm số Để xác định tính độc lập của n hàm số y1(x), y2(x), , yn(x) trong khoảng (a, b), ta tính định thức W(x) = 0 Nếu định thức này không bằng 0 tại một số điểm trong khoảng đó, các hàm số được coi là độc lập tuyến tính.
GiÊ sỷ hằ yi (i = 1, n) (n−1) lƯn khÊ vi trản (a, b) v phử thuởc tuyán tẵnh, khi õ tỗn tÔi c i (i = 1, n) khổng ỗng thới bơng khổng º cho: n
X i=1 ciyi(x) = 0 ∀x ∈ (a, b) (1.26) Ôo h m cÊ hai vá cừa hằ thực (1.26) (n-1) lƯn cho ta: c1y 0 1 +c2y 2 0 + +cny n 0 = 0. c 1 y 00 1 +c 2 y 2 00 + +c n y n 00 = 0.
Kát hủp cĂc biºu thực nhên ữủc vợi (1.26) v cố ành x = x 0 ∈ (a, b) ta nhên ữủc hằ phữỡng trẳnh Ôi số cĐp n:
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các hàm số c thực (i = 1, n) và điều kiện để chúng được coi là lân cận của hàm (1.27) Theo giả thiết, các hàm này không được bằng 0, vì giá trị thực của hàm (1.27) phải khác 0 Một khẳng định quan trọng là giá trị thực của hàm (1.27) luôn dương.
Nhên ữủc tÔi mồi x0 ∈ (a, b)): W(x0) = 0 Nhữ vêy W(x) = 0 (x ∈ (a, b)) ành lỵ ữủc chựng minh. ành lẵ 1.8.11 (xem [5]) Vợi mội hằ nghiằm cỡ sðy 1 (x), y 2 (x), , y n (x), cừa phữỡng trẳnh vi phƠn thuƯn nhĐt cĐp n: y (n) +p 1 (x)y (n−1) + +p n (x)y = 0, (1.29) hay:
LĐy mởt hằ nghiằm cỡ sð tũy ỵ y i (x), i = 1, n cừa phữỡng trẳnh vi phƠn thuƯn nhĐt cĐp n (1.29) v ta giÊ sỷ ành thực Wronxki cừa nõ bơng
0 tÔi mởt iºm x 0 ∈ (a, b) n o Đy, nhữ vêy: y10 y20 yn0 y 10 0 y 20 0 y n0 0 y (n−1) 10 y 20 (n−1) y n0 (n−1)
= 0, (1.32) ð Ơy yi0 = yi(x0), i = 1, n, y i0 (∧) = y i (∧) (x0), ∧ = 0, n−1 X²t hằ (thuƯn nhĐt) n phữỡng trẳnh Ôi số:
Do ành thực Wronxki cừa (1.33): W(x 0 ) = 0, do õ (1.33) cõ mởt nghiằm khĂc khổng (c ∗ 1 , c ∗ 2 , , c ∗ n ), khi õ ta cõ:
Tứ (1.34) cho thấy rằng y 0 ∗ = y ∗ (x 0 ) = 0 và y 0 0∗ = y 0∗ (x 0 ) = 0, đồng thời y 0 (n−1) y (n−1) (x 0 ) = 0 Theo ảnh lỹ 1.7.3, ta có y ∗ = 0 Hệ số y mơ thuẫn với giá trị 1, y 2, , x n nằm trong khoảng của phương trình (1.29) với các yếu tố phụ thuộc tuyến tính Từ đó, ta cần chứng minh điều này Ảnh lẫy 1.8.12 (xem [5]) đề cập đến ảnh lỹ và nghiằm tường quát của phương trình vi phân thuần nhất cấp n với số biến Với mỗi hàm nghiằm cỡ sð y 1 (x), y 2 (x), , y n (x), phương trình vi phân thuần nhất cấp n được biểu diễn dưới dạng y = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + + c n y n (x), trong đó c 1, , c n là các hằng số tùy ý, thể hiện nghiằm tường quát của (1.29).
LĐy mởt hằ nghiằm cỡ sð tũy ỵ y i (x), i = 1, n cừa (1.29) Ta i chựng tọ y n
Ta có: \( y_1 = y_1(x), \ldots, y_n = y_n(x) \) là các nghiệm riêng của (1.29) Một cách khác, ta cũng có \( y = c_1y_1 + \ldots + c_ny_n \) cũng là nghiệm của (1.29) Việc còn lại là chứng tỏ \( y \) là nghiệm tổng quát Từ việc với mọi sửa chữa cho \( y \), ta nhận được một nghiệm riêng tương ứng với (1.29) Điều này dẫn đến việc xác định và sửa đổi các hệ số tồn tại duy nhất của nghiệm phương trình vi phân bậc n, khi áp dụng cho mọi nghiệm riêng \( y = y(x) \) và điều kiện xác định trước mọi điều kiện ưu: \( x = x_0, y = y_0, y_0 = y_0^{(0)}, \ldots, y^{(n-1)} = y_0^{(n-1)} \) (1.35).
Nhữ vêy ta cƯn phÊi chựng minh l vợi iãu kiằn Ưu (1.35) thẳ cõ thº xĂc ành ữủc ci º choy = y(x) = c1y1(x)+ +cnyn(x) thọa mÂn (1.35). X²t hằ:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ phương trình với các giá trị tại điểm x0, trong đó y i0 = y i (x 0 ) và y (∧) i0 = x (∧) i (t 0 ) với ∧ = 0, n−1 Đặc biệt, định nghĩa của hàm Wronxki W(x 0 ) cho thấy rằng nếu W(x 0 ) khác 0, thì hệ phương trình (1.36) có nghiệm duy nhất Chúng ta có thể viết nghiệm tổng quát dưới dạng y = c1y1 + + cnyn, với các hệ số c1, , cn, đảm bảo rằng nó thỏa mãn điều kiện (1.35) Cuối cùng, điều này sẽ được chứng minh trong bài viết.
Cổng thực Ostragradxki Louiville
Phương trình vi phân bậc hai với hệ số biến thiên có dạng: \(y'' + p(x)y' + q(x)y = 0\), trong đó \(p(x)\) và \(q(x)\) là các hàm số xác định trên khoảng \((a, b)\) Để giải phương trình này, ta cần phát biểu các nghiệm \(y_1 = y_1(x)\) và \(y_2 = y_2(x)\) của phương trình (1.37).
Chứng minh rằng hệ phương trình bậc hai có dạng y1 = y1(x), y2 = y2(x) được xác định bởi (1.38) khi ta có: y1'' + p(x)y1' + q(x)y1 = 0 và y2'' + p(x)y2' + q(x)y2 = 0 (1.39) Trong hệ này, chúng ta có thể nhận thấy hai phương trình thứ nhất với y2 và hai phương trình thứ hai với y1, từ đó có thể dẫn đến các biểu thức cần thiết cho việc giải quyết bài toán.
= y 2 0 y 1 −y 2 y 1 0 ,v W 0 (x) = (y 2 0 y 1 −y 2 y 1 0 ) 0 y 1 y 00 2 − y 2 y 1 00 Kát hủp cĂc biºu thực nhên ữủc vợi (1.40) ta nhên ữủc phữỡng trẳnh:
Giải phương trình cuối cùng cho ta nghiệm chính là cổng thực (1.38) Ứng dụng Chọn y1 = y1(x) cho phương trình (1.37), trong đó q(x) là xác định và liên tục trong khoảng (a, b) Ta cần tìm y2 = y2(x) ở lớp tuyến tính với y1 Không khó để thấy rằng:
Nhên ữủc nghiằm y 2 = y 2 (x) ởc lêp tuyán tẵnh vợi y 1 = y 1 (x) ( y y 2 1 6= C = const.)
Vẵ dử 1.9.2 Tẳm nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh:
Phữỡng trẳnh  cho viát lÔi ữủc dữợi dÔng: y 00 + 4x 2x+ 1y 0 − 4
Ta cõ: y = x l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh, v : p(x) = 4x
= −e −2x Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho:
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt
Giải sỹ ta có phương trình vi phân: \( y^{(n)} + P_1(x)y^{(n-1)} + + P_{n-1}(x)y' + P_n(x)y = f(x) \), trong đó các hàm số \( P_i(x) \) và \( f(x) \) không bằng 0 trên khoảng \( (a, b) \) Giải sỹ \( y_1, , y_n \) là một hàm nghiệm của phương trình: \( y^{(n)} + P_1(x)y^{(n-1)} + + P_{n-1}(x)y' + P_n(x)y = 0 \), khi \( u = c_1 y_1 + + c_n y_n \) là nghiệm tổng quát của (1.42) Ta cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1.41).
Y = Y(x) là một nghiệm riêng cừa phương trình (1.41) Ta phát biểu ảnh hưởng sau đây: Ảnh 1.10.1 Nghiệm tường quát cừa phương trình vi phân không thuần nhất (1.41) có dạng: y = Y + u, (1.43) trong đó u là nghiệm tường quát cừa phương trình (1.42) còn Y là một nghiệm riêng cừa phương trình (1.41).
Để chứng minh điều này, ta có thể bắt đầu từ công thức (1.43) và áp dụng nó vào (1.41) Cụ thể, ta có L[y] = L[Y + u] = L[Y] + L[u] = f(x) + 0 = f(x) Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng y là nghiệm của phương trình (1.41) Điều này có thể được thực hiện với các điều kiện sau: x₀ ∈ (a, b), y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y₀₀, , yⁿ⁻¹(x₀) = yⁿ⁻¹₀ Từ đó, ta cần chỉ ra rằng tồn tại các hằng số (c₁, , cₙ) sao cho hàm y = c₁y₁ + + cₙyₙ + Y là nghiệm của phương trình (1.44).
(1.45) Ơy l hằ phữỡng trẳnh Ôi số vợi cĂc ân l c i , i = 1,2, , n, trong õ y i0 = y i (x 0 ), i= 1,2, , n, y (∧) i0 = y i (∧) (x 0 ) ành thực cừa hằ (1.45) chẵnh l detW, m°t khĂc y 1 , , y n l hằ nghiằm cỡ sð cừa (1.42), nghắa l tỗn tÔi nghiằm ci, i = 1,2, , n cừa hằ (1.45).
Phữỡng phĂp bián thiản hơng số
Hàm y = c₁y₁ + + cₙyₙ, với cᵢ, i = 1, n là các hệ số được ký hiệu, còn yᵢ, i = 1, n là hàm nghiệm của phương trình thuần nhất (1.42), là nghiệm tường quát của phương trình (1.42) Dựa vào đó, chúng ta có thể mở rộng một nghiệm riêng Y = Y(x) của phương trình không thuần nhất (1.41) bằng cách thay thế các hệ số cᵢ, i = 1, n bằng các hàm cᵢ(x), i = 1, n Như vậy, ta có thể tiến hành tìm nghiệm Y = Y(x) dưới dạng:
Y = c₁(x)y₁(x) + + cₙyₙ(x), trong đó cᵢ(x) là hệ số phụ thuộc vào biến x, và yᵢ, i = 1, n là hàm số của phương trình tuyến tính (1.42) Để xác định cᵢ(x), i = 1, n, cần n phương trình Một trong số đó được biểu diễn dưới dạng Y = Y(x) trong phương trình (1.41).
(n−1) phữỡng trẳnh cỏn lÔi ta lỹa chồn sao cho cĂc Ôo h m y 0 , , y (n−1) cõ dÔng ỡn giÊn nhĐt, hay nõi cĂch khĂc, ta chồn chúng sao cho:
Y (n) = c 0 1 (x)y (n−1) 1 +c 0 2 (x)y 2 (n−1) + +c 0 n (x)yn (n−1) +c 1 (x)y (n) 1 + +c n (x)yn (n) °t cĂc biºu thực nhên ữủc v o (1.41) ta nhên ữủc: c1(x)L[y1] + +cn(x)L[yn] +c 0 1 (c)y 1 (n−1) + +c 0 n (c)y (n−1) n = f(x).
Kát hủp phưỡng trẳnh nhên ữủc vợi (1.46) cho phép xác định phưỡng trẳnh tữỡng ựng vợi ân l c 0 i (x), với i = 1, nm và điều kiện thực cừa nõ chẵnh là detW ≠ 0, x thuộc (a, b) Từ đó, ta có thể nhên ữủc các hệ số duy nhĐt (c 0 1 (x), , c 0 n (x)) Nếu gán c 0 1 (x) =ϕ 1 (x), , c 0 n (x) =ϕ n (x), ta có thể tính toán các hệ số này qua các tích phân: c 1 (x) = ∫ ϕ 1 (x)dx, , c n (x) = ∫ ϕ n (x)dx.
Vẵ dử 1.11.1 Tẳm nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh: xy 00 −y 0 = x 2 (1.47)
X²t phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt tữỡng ựng vợi (1.47): xy 00 −y 0 = 0 (1.48)
GiÊi phữỡng trẳnh nhên ữủc cho ta: y 00 y 0 = 1 x ⇔ dy 0 y 0 = dx x
Tứ Ơy ta cõ: ln|y 0 | = ln|x|+ lnC 1 Nhên ữủc: y 0 = C 1 x, y = 1
2C 1 x 2 +C 2 Nhữ vêy h m dÔng u = C 1 +C 2 x 2 l nghiằm tờng quĂt cừa (1.47) Ta câ y 1 = 1, y 2 = x 2
Ta tián h nh i tẳm nghiằm riảng cừa (1.47) dữợi dÔng:
GiÊi hằ (1.49) ta nhên ữủc C 1 (x) = − 1 6 x 3 ; C 2 (x) = 1 2 x Do õ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho tẳm ữủc dữợi dÔng: y = 1
Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n hằ số hơng
1.12.1 Phữỡng trẳnh tuyán tẵnh cĐp hai hằ số hơng ành nghắa 1.12.1 (xem [5]) Phữỡng trẳnh dÔng: y 00 +py 0 +qy = f(x), (1.50) ð Ơy p, q l cĂc hơng số, cỏn f(x) l mởt h m  biát (ữủc m°c ành l xĂc ành v liản tửc trản mởt khoÊng n o õ), ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn bêc hai hằ số hơng.
Trong phương trình vi phân bậc hai dạng chuẩn \(y'' + py' + qy = 0\), với \(p\) và \(q\) là các hằng số, ta có thể tìm nghiệm tổng quát bằng cách giả sử nghiệm có dạng \(y = e^{rx}\), trong đó \(r\) là một số thực Từ đó, ta tính được đạo hàm \(y' = re^{rx}\) và \(y'' = r^2 e^{rx}\) Thay các biểu thức này vào phương trình vi phân, ta nhận được phương trình đặc trưng \(e^{rx}(r^2 + pr + q) = 0\) Điều này dẫn đến việc giải phương trình bậc hai \(r^2 + pr + q = 0\) để tìm các giá trị của \(r\), từ đó xác định nghiệm tổng quát cho phương trình vi phân đã cho.
Phương trình bậc hai có dạng r² + pr + q = 0 (1.52) là một phương trình có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của phương trình (1.51) Hàm thực F(r) = r² + pr + q được gọi là hàm thực đặc trưng của phương trình (1.51).
GiÊi phữỡng trẳnh (1.52) ta nhên ữủc cĂc nghiằm r 1 , r 2 Cõ thº xuĐt hiằn 3 trữớng hủp sau Ơy:
Giải sỹ ta có trướng hợp 1 Như vậy, r1 và r2 là nghiệm của phương trình (1.52), với r1 ≠ r2 ∈ R Khi đó, các hàm y1 = e^(r1x) và y2 = e^(r2x) là các nghiệm riêng của phương trình thuần nhất (1.51) Chúng có mối quan hệ tuyến tính với y1 và y2 = e^((r1 - r2)x) ≠ const Khi áp dụng hàm: y = C1 e^(r1x) + C2 e^(r2x), với C1 và C2 là các hằng số, là nghiệm của (1.51).
Vẵ dử 1.12.3 Tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh: y 00 −7y 0 + 10y = 0.
Phữỡng trẳnh °c trững r 2 −7r + 10 = 0 cừa phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm r1 = 2, r2 = 5 Do õ nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho tẳm ữủc dữợi dÔng: y = C 1 e 2x +C 2 e 5x
Giá trị sỷ bờ giới r1, r2 là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.52) với r1 = r2 = r Khi xét nghiệm riêng của (1.51), ta tìm nghiệm riêng thực cho hai lớp tuyến tính với nghiệm tổng quát của (1.51) dưới dạng y2 = u(x)e^(rx), trong đó u(x) là một hàm chưa biết phụ thuộc vào x Ta có: y2' = re^(rx)u(x) + e^(rx)u'(x) và y2'' = r^2e^(rx)u(x) + 2re^(rx)u'(x) + e^(rx)u''(x) Từ các biểu thức này, ta thu được phương trình: e^(rx)u''(x) + (2r + p)u'(x) + (r^2 + pr + q)u(x) = 0.
Khi \( e^{rx} \neq 0 \), thì \( r \) là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.52) và phương trình cuối cùng trở thành \( L_0(y) = 0 \) Hiện tại, \( u = x \) là nghiệm của phương trình này, vì \( y_2 = xe^{rx} \) là nghiệm riêng của phương trình (1.51) Nó tạo thành một hệ phương trình tuyến tính với \( y_1 \) như sau: \( y_2 - y_1 = xe^{rx} - e^{rx} = x \neq \text{const} \).
Tứ Ơy ta nhên ữủc nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.51) là: y = C1 y1 + C2 y2 = e^rx (C1 + C2 x) Một số khái niệm và giải thích phức ảnh nghĩa 1.12.4 (xem [5]) cần hiểu dòng a + ib, với a, b ∈ R, i là đơn vị ảo và số phức.
Số phức được biểu diễn dưới dạng c = a + ib, trong đó a là phần thực (Re) và b là phần ảo (Im) Hai số phức c1 = a1 + ib1 và c2 = a2 + ib2 được gọi là bằng nhau nếu a1 = a2 và b1 = b2 Số phức liên hợp của c = a + ib được ký hiệu là c̄ = a - ib.
Ta cõ mởt v i tẵnh chĐt sau Ơy:
2. Náu r = a+ib l nghiằm cừa phữỡng trẳnh r 2 +pr+q = 0 thẳ số phực liản hủp cừa nõ r¯ = a−ib cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản Thêt vêy:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm phức w = u + iv, với u(x) và v(x) là các hàm thực xác định trên tập X Hàm f: X → C được định nghĩa bởi f(x) = u(x) + iv(x), trong đó u(x) là phần thực và v(x) là phần ảo của f(x) Đạo hàm của hàm f(x) được xác định bởi biểu thức f'(x) = u'(x) + iv'(x) Ngoài ra, hàm w = e^z, với z = x + iy, được xác định bởi công thức e^z = e^x (cos y + i sin y), cho thấy sự liên hệ giữa các hàm mũ trong miền phức Từ đó, ta có u = e^x cos y và v = e^x sin y.
Tứ (1.53) ta cõ: e −ix = cosx−isinx, e ix = cosx+isinx.
2 e ix +e −ix CĂc cổng thực trản cõ tản gồi l cổng thực Euler.
Ta phĂt biºu mằnh ã sau Ơy:
Mằnh ã 1.12.9 Náu y = u+iv = u(x) +iv(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.53) hay L[y] = 0 thẳ phƯn thỹc u(x) v phƯn Êo v(x) cụng l nghiằm cừa (1.53).
0 = L[y] = L[u(x)+iv(x)] = L[u(x)]+iL[v(x)] = L[u(x)] = L[v(x)] 0. iãu n y chựng tọ u(x), v(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh L[y] = 0.
Bài viết này trình bày về các nghiệm của phương trình bậc hai với các nghiệm phức, cụ thể là r₁ = a + ib và r₂ = a - ib, với b khác 0 Chúng ta có thể chứng minh rằng hàm y = e^(rx) = e^(ax)(cos(bx) + i sin(bx)) là nghiệm của phương trình (1.51) Khi đặt u = e^(ax)cos(bx) và v = e^(rx)sin(bx), chúng ta nhận thấy rằng đây là các nghiệm thực của phương trình (1.51) Các hàm này có mối liên hệ tĩnh tại với u và v = cot(bx) không bằng hằng số, do đó ta có y = e^(ax)(C₁cos(bx) + C₂sin(bx)), là nghiệm tổng quát của phương trình (1.51).
Vẵ dử 1.12.10 Tẳm nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh: y 00 + 4y 0 + 9y = 0.
Phữỡng trẳnh °c trững r 2 + 2r + 3 = 0 cõ nghiằm r 1,2 = −2±i√
5, do õ nghiằm tờng quĂt tẳm ữủc: y = e −2x C 1 cos√
1.12.3 Phữỡng trẳnh tuyán tẵnh cĐp cao hằ số hơng ành nghắa 1.12.11 (xem [5])
A 0 d n y dx n +A 1 d n−1 y dx n−1 + +A n−1 dy dx +A n y = 0, (1.54) vợi Ai, i = 0, n l hơng số, A0 6= 0, ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n thuƯn nhĐt vợi hằ số hơng, tữỡng ựng vợi nõ, phữỡng trẳnh:
A 0 d n y dx n +A 1 d n−1 y dx n−1 + .+A n−1 dy dx +A n y = f(x), (1.55) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n khổng thuƯn nhĐt. Phữỡng trẳnh (1.54) cõ thº viát lÔi dữợi dÔng toĂn tỷ nhữ sau:
F(D)y = A 0 D n +A 1 D n−1 + .+A n−1 D +A n y = 0, ð Ơy D = dx d Nhữ vêy biºu thực ð trong dĐu ngo°c ữủc xem nhữ mởt a thực bêc n theo D Ta viát lÔi F(D) dữợi dÔng:
F(D) =A 0 (D −λ 1 ) (D −λ 2 ) .(D −λ n ), (1.56) trong õ λ i , i = 1, n chẵnh l nghiằm cừa phữỡng trẳnh °c trững:
Ró r ng (1.56) thọa mÂn bơng 0 vợi mội nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn thu¦n nh§t (D −λ 1 )y = 0,(D −λ 2 )y = 0, ,(D−λ n )y = 0 Gi£ sû c¡c gi¡ trà λ i l thüc v kh¡c nhau X²t t¤i λ k ,0≤ k ≤n :
Nhữ vêy nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.54) tẳm ữủc dữợi dÔng: y = C 1 e λ 1 x +C 2 e λ 2 x + .+C n e λ n x
Náu nhữ trong cĂc nghiằm λ i cõ nghiằm phực λ s = a+ib n o õ, suy ra λ r = a−ib cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh °c trững (1.57), khi õ:
C s e (a+ib)x +C r e (a−ib)x = e ax [(C s +C r ) cosbx+i(C s −C r ) sinbx]. Biºu thực cuối chẵnh l phƯn nghiằm tữỡng ựng vợi λ s v liản hiằp phực vợi nõ λr.
Vẵ dử 1.12.12 GiÊi phữỡng trẳnh: d 3 y dx 3 + d 2 y dx 2 −7dy dx −15y = 0.
Phữỡng trẳnh °c trững cõ cĂc nghiằm l λ1 = 3, λ2 = −2 + i, λ3 −2−i Tứ Ơy ta nhên ữủc nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho: y = C 1 e 3x +e −2x (C 2 cosx+C 3 sinx).
GiÊ sỷ phữỡng trẳnh °c trững cõ nghiằm thỹc λ bởi m Khi õ (1.56) cõ chựa nhƠn tỷ dÔng (D −λ) m X²t phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp m tữỡng ùng:
Nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản cõ thº tẳm ữủc dữợi dÔng: y = e λx V(x), trong â V(x) l h m c¦n x¡c ành Ta câ:
Tứ Ơy ta nhên ữủc: D m V(x) = 0, hay V(x) chẵnh l a thực bêc m−1 theo x Gồi V(x) =C 1 + C 2 x+ .+C m x m−1 Khi õ: y = e λx C 1 +C 2 x+ .+ C m x m−1 , l nghiằm cƯn tẳm.
Trong trường hợp nghiệm của phương trình bậc cao có dạng λ = a + ib phức, nghiệm phức liên hợp được biểu diễn bởi a - ib Khi thay vào phương trình (1.56), ta có chứa nhân tỷ đồng (D - a - ib) m (D - a + ib) m Lập luận tương tự, ta có nghiệm tổng quát: y = C1 + C2x + + Cm xm-1 e^(ax) cos(bx) + B1 + B2x + + Bm xm-1 e^(ax) sin(bx) Do đó, giải phương trình: y(4) + 2y'' + y = 0.
Phữỡng trẳnh °c trững λ 4 + 2λ 2 + 1 = 0 cõ cĂc nghiằm l : λ = i, λ = −i.
Vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho cõ dÔng: y = (C1 +C2x) cosx+ (C3 +C4x) sinx.
1.12.4 Nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt
Ta s³ tián h nh xem x²t khi vá phÊi cừa (1.55) trong mởt v i trữớng hủp °c biằt.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm f(x) = e^(αx) Pm(x), với Pm(x) là một hàm thực Nếu α không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì hàm y_r = e^(αx) Qm(x) sẽ được sử dụng Ngược lại, nếu α là nghiệm của phương trình đặc trưng, hàm y_r sẽ có dạng y_r = x^k e^(αx) Qm(x), trong đó Qm(x) là một hàm thực mà chúng ta cần xác định.
Vẵ dử 1.12.14 Tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh: y 00 −3y 0 + 2y = (3−4x)e x Phữỡng trẳnh °c trững λ 2 −3λ+ 2 = 0 cõ nghiằm λ 1 = 1, λ 2 = 2 v cõ α = 1 = λ1, m = 1.
Do õ nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh  cho cõ thº tẳm ữủc dữợi dÔng: y r = xe x (ax+b).
Ta có công thức y'' = e^x [(1 + x)(ax + b) + ax + (ax + b) + a(1 + x) + a] Để tìm nghiệm tổng quát cho phương trình này, ta sử dụng a = 2 và b = 1, dẫn đến y'' = xe^x (2x + 1) Từ đó, ta có nghiệm tổng quát cho phương trình là y = C₁e^x + C₂e^(2x) + xe^x (2x + 1).
Trường hợp 2: Hàm f(x) = e^(αx) [P(x) cos(βx) + Q(x) sin(βx)] a Nếu α + iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì nghiệm tổng quát có dạng: y_r = e^(αx) [R(x) cos(βx) + S(x) sin(βx)] b Nếu α + iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì nghiệm tổng quát sẽ là: y_r = x^k e^(αx) [R(x) cos(βx) + S(x) sin(βx)], trong đó R(x), Q(x) là các bậc thực có bậc max{degQ(x), degP(x)} và hệ số của chúng xác định bởi phương pháp bậc nhất.
Vẵ dử 1.12.15 GiÊi phữỡng trẳnh: y 00 +y = 4xsinx.
Phữỡng trẳnh °c trững cừa phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt tữỡng ựng l : λ 2 + 1 = 0, cõ nghiằm phực λ = ±i Nhữ vêy phữỡng trẳnh  cho rỡi v o trữớng hủp
Do õ nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh  cho tẳm ữủc dữợi dÔng: y r = x[(ax+ b) cosx+ (cx+d) sinx]
Ta câ: y r 0 = (ax+b) cosx+(cx+d) sinx+x[acosx−(ax+b) sinx+csinx+(cx+d) cosx]. y r 00 = 2acosx−2(ax+b) sinx+2csinx+2(cx+d) cosx+x[−2asinx+
Để giải phương trình \(2\cos x - (ax + b) \cos x - (cx + d) \sin x\), ta cần xác định các hệ số a, b, c, d sao cho phương trình có nghiệm Khi đặt \(a = -1\), \(b = c = 0\), và \(d = 1\), ta nhận được hàm số \(y_r = x(-x\cos x + \sin x)\) Phương trình tổng quát của nghiệm sẽ có dạng \(y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x(-x\cos x + \sin x)\).
Ùng dửng trong vêt lỵ
Vẵ dử 2.1.1 (ành luêt Newton vã toÊ nhiằt, hĐp thu nhiằt)
Mởt vêt ữủc °t trong một môi trường duy trì nhiệt ở Ta, theo định luật Newton, tốc độ biến đổi nhiệt độ T(t) của vật thể là tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa vật thể và môi trường xung quanh Định luật Newton được diễn đạt bằng phương trình:
T 0 (t) = r(T(t)−T a ), (2.1) ð õ r l hằ số t¿ lằ Phữỡng trẳnh (2.1) chựa h m ân T(t) v Ôo h m
T 0 (t) Ơy l phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt.
GiÊ sỷ r l mởt hơng số Khi õ (2.1)l mởt phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh hằ số hơng GiÊ sỷ tÔi thới iºm ban Ưu t0 = 0, nhiằt ở cừa vêt l
Trong thỹc tá, hằ số t¿ lằ r phử thuởc cÊ v o thới gian v ở chảnh nhiằt ở T(t)−T a Tực l : r = r(t, T(t)−T a ).
Khi õ, phữỡng trẳnh (2.1) trð th nh phữỡng trẳnh phi tuyán cĐp mởt. Viằc tẳm nghiằm chẵnh xĂc T(t) bƠy giớ trð nản khõ khôn hỡn, thêm chẵ
"Khổng thước" là một khái niệm quan trọng trong việc phát triển các phương pháp ảnh tĩnh, đặc biệt là khi nghiên cứu chất nghiêng Các phương pháp này giúp phân tách dạng hình của các phương trình có cấu trúc phức tạp, từ đó tạo ra các mô hình thực tiễn hiệu quả.
Vẵ dử 2.1.2 Mởt nhiằt ká ch¿ 70 0 F ð trong nh °t ð bản ngo i nỡi cõ nhiằt ở khổng khẵ l 10 0 F, ba phút sau nhiằt ở ch¿ 25 0 F HÂy dỹ oĂn nhiằt ở ð nhỳng thới iºm khĂc nhau.
GiÊ sỷ T(t) l nhiằt ở cừa nhiằt ká ð thới iºm t (phút).
Theo ã ta cõ: T(0) = 70 0 F, T(3) = 25 0 F, Ta = 10 0 F. p dửng cổng thực (2.2) ta cõ:
T(3) = 10 + (70−10)e r.3 GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta ữủc: r = −1
Vêy nhiằt ở ữủc xĂc ành bði phữỡng trẳnh:
T(t) = 10 + 60.e −1 3 t ln 4 Vẵ dử 2.1.3 un sổi nữợc rỗi º nguởi trong phỏng cõ nhiằt ở ờn ành
25 0 C Sau 12 phút nhiằt ở cừa nữợc o ữủc 80 0 C Họi sau bao nhiảu phút nhiằt ở cừa nữợc l 70 0 C?
Líi gi£i. p dửng cổng thực (2.2) vợi:
T a = 25 0 C l nhiằt ở cừa mổi trữớng xung quanh, tực l nhiằt ở cõa pháng.
T 0 = 100 0 C l thới iºm m nữợc sổi bưt Ưu nguởi. r l hằ số t¿ lằ, t= 12 phút.
Phữỡng trẳnh trð th nh:
80 = 25 + 75e 12r Tián h nh giÊi phữỡng trẳnh ta nhên ữủc: r = 1
75. Vợi T a = 70 0 C ta cõ phữỡng trẳnh:
70 = 25 + 75e rt GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta cõ: t ≈ 19,76 (phót). Vêy sau khoÊng 19,76 phút thẳ nhiằt ở cừa nữợc l 70 0 C.
Vẵ dử 2.1.4 (Chuyºn ởng cừa chĐt iºm)(xem [7])
Mở một vết khối lưỡng mục bùn lẫn theo phương đứng vợi vên tốc ban Ưu (t0 = 0) và 0 Giới thiệu lực cản trung bình của mỗi trường tỉ lệ thuận vợi vên tốc (R = βv) Xác định ở cao cực Ôi của vết?
TÔi thới iºm t, lỹc tĂc dửng lản vêt m gỗm trồng lỹc mg v lỹc cÊn trung bẳnh (R = βv) Vên tốc v = x 0 , gia tốc a = v 0 = x 00
Theo ành luêt II Newton ta cõ: mdv dt = −R−mg (2.3)
Viát lÔi phữỡng trẳnh (2.3) dữợi dÔng: dv dt + β mv = −g.
Khi õ, phữỡng trẳnh trản l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt.Tián h nh giÊi phữỡng trẳnh trản ta ữủc: v(t) =e − m β t
Khi Ôt ở cao cỹc Ôi v = 0, ta ữủc:
Bián ời phữỡng trẳnh, ta cõ: tmax = m β ln(1 + v 0 β mg).
Tứ (2.4)ta cõ: x(t) =−gm β t+ (v 0 +gm β )e − m β t Vợi t max = m β ln(1 + v mg 0 β ), thẳ ở cao cỹc Ôi cừa vêt ữủc xĂc ành bði: x max = m 2 g β 2 [βv 0 mg −ln(βv 0 mg + 1)].
Vẵ dử 2.1.5 (Vêt thº rỡi)
Mởt vật rơi tự do từ độ cao h0 tại thời điểm t = 0 Nếu h(t) là độ cao của vật tại thời điểm t, thì gia tốc a(t) và vận tốc v(t) có mối liên hệ với nhau như sau: a(t) = dv/dt và v(t) = dh/dt Trong trường hợp này, gia tốc a(t) là hằng số và bằng -9,8 m/s², phản ánh tác động của trọng lực lên vật rơi.
Kát hủp cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn trản ta ữủc: d 2 h dt 2 = g.
Tứ õ ta cõ: dh dt = gt+v 0
2gt 2 +v 0 t+h 0 Phữỡng trẳnh trản biºu diạn ở cao cừa mởt vêt rỡi tứ ở cao ban Ưu h 0 vợi vên tốc ban Ưu v 0
Vẵ dử 2.1.6 (Dao ởng cừa lỏ xo)(xem [7])
Chúng ta xem xét chuyển động của một vật trong không gian ba chiều, cụ thể là chuyển động của một quả bóng trong môi trường không khí Hình 1 minh họa cho chuyển động của vật thể theo đường cong, trong khi Hình 2 mô tả chuyển động ngang của một quả bóng phẳng.
Theo ành luêt Hooke, náu lỏ xo ữủc k²o giÂn (ho°c n²n) x ỡn và chiãu d i tỹ nhiản cừa nõ, thẳ nõ tÔo nản mởt lỹc t lằ thuên vợi x:
F n hỗi = kx, trong õ k l hơng số dữỡng (ữủc gồi l hằ số co giÂn).
Khi chúng ta xem xét chuyển động của một vật chịu tác động của lực đàn hồi, theo định luật thứ hai của Newton (F = ma), ta có phương trình vi phân sau: md²x/dt² = -kx Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng md²x/dt² + kx = 0, thể hiện rằng đây là một phương trình vi phân tuyến tính bậc hai.
Phữỡng trẳnh °c trững l mr 2 +k = 0 vợi cĂc nghiằm r = ±iω, trong â ω qk m.
Vẳ vêy nghiằm tờng quĂt l : x(t) = C 1 cosωt+C 2 sinωt, cõ thº viát lÔi l : x(t) = Acos(ωt+δ), trong â: ω qk m (t¦n sè),
A= pC 1 2 +C 2 2 (biản ở), cosδ = c A 1 , sinδ = − C A 2 (δ l gâc pha). Ơy l loÔi chuyºn ởng ữủc gồi l dao ởng iãu hỏa
Vật dụng 2.1.7 là một lò xo khối lượng 2 kg có chiều dài tự nhiên 0,5 m Để duy trì trạng thái cân bằng, một lực 25,6 N cần thiết để kéo dài lò xo đến chiều dài 0,7 m Nếu lò xo được kéo dài đến chiều dài 0,7 m và sau đó thả ra, nó sẽ di chuyển với vận tốc ban đầu.
0, tẳm và trẵ cừa vêt thº tÔi thới iºm t bĐt ký.
Tứ ành luêt Hooke, lỹc cƯn thiát ã k²o giÂn lỏ xo l : k.(0,7−0,5) = 25,6.
Thay k = 128 v m = 2 v o phữỡng trẳnh (2.5) ta cõ:
Nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.6) l : x(t) = C 1 cos 8t+C 2 sin 8t (2.7)
Ta cõ: x(0) = 0,2 Tứ phữỡng trẳnh (2.7) cõ: x(0) = C1.
Suy ra: C 1 = 0,2. Ôo h m phữỡng trẳnh (2.7) ta ữủc: x 0 (t) =−8C 1 sin 8t+ 8C2cos 8t.
Theo ã vên tốc ban Ưu l 0 nản ta cõ: x 0 (0) = 0.
Vẵ dử 2.1.8 Dao ởng tưt dƯn
Tiếp theo, chúng ta xem xét lực tác động lên lò xo khi mở lò xo chịu lực ma sát trong trường hợp lò xo nằm ngang, hoặc lực giãn nở trong trường hợp lò xo dọc di chuyển qua một chất lỏng Một ví dụ điển hình là lực giãn nở trong một chiếc xe ổn định hoặc một chiếc xe tải.
Chúng ta cần tăng cường khả năng kiểm soát tốc độ và hướng di chuyển để đảm bảo an toàn khi tham gia giao thông Việc chú ý đến các tín hiệu giao thông và tình huống xung quanh là rất quan trọng Hãy luôn giữ khoảng cách an toàn với các phương tiện khác và giảm tốc độ khi cần thiết để tránh xảy ra tai nạn.
F gi£m ch§n = −cdx dt, trong õ c l hơng số dữỡng, ữủc gồi l hằ số giÊm chĐn.
Vẳ vêy trong trữớng hủp n y, ành lỵ thự hai cừa Newton cho ta: md 2 x dt 2 = F n hỗi +F giÊm chĐn = −kx−cdx dt, hay md 2 x dt 2 +cdx dt +kx = 0 (2.8)
Phữỡng trẳnh (2.8) l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp hai, phữỡng trẳnh °c trững cừa nõ l mr 2 +cr+k = 0.
Nghiằm cÊ phữỡng trẳnh °c trững l : r1 = −c+√ c 2 −4mk 2m ; r2 = −c−√ c 2 −4mk
Trữớng hủp 1: c 2 −4mk > 0 (giÊm chĐn gi ).
Trong trữớng hủp n y, r1 v r2 l nhỳng số thỹc khĂc nhau, v x = C 1 e r 1 t +C 2 e r 2 t
Để xác định điều kiện cho các nghiệm của phương trình bậc hai, ta cần kiểm tra bất đẳng thức \(2 - 4mk < 0\) Nếu điều này đúng, nghiệm sẽ hội tụ về 0 khi \(t\) tiến tới vô cùng Cần lưu ý rằng các đồ thị của hàm sẽ có sự thay đổi đáng kể Nếu \(2 - 4mk > 0\), điều này có nghĩa là phương trình có một nghiệm thực duy nhất, có thể là nghiệm cao hoặc thấp hơn so với giá trị trung bình.
Trữớng hủp 2: c 2 −4mk = 0 (giÊm chĐn tợi hÔn).
Trữớng hủp n y tữỡng ựng vợi nghiằm r 1 = r 2 = − 2m c , v nghiằm l : x = (C 1 +C 2 t)e − 2m c t
Trữớng hủp n y l giÊm xõc l vứa ừ º ngôn ch°n rung ởng BĐt ký giÊm ở nhợt cừa chĐt lọng dăn án sỹ rung ởng cừa cĂc trữớng hủp sau ¥y.
Trữớng hủp 3: c 2 −4mk < 0 (giÊm chĐn non).
Phữỡng trẳnh °c trững cõ hai nghiằm phực: r1,2 = − c
2m Nghiằm ữủc cho bði: x = e − 2m c t (C1cosωt) + C2sinωt.
Chúng ta nhận thấy rằng các dao động giảm dần theo thời gian với hàm số e − (2m c ) t Khi điều kiện b > 0 và m > 0 được thỏa mãn, ta có −2m c < 0, dẫn đến e − (2m c ) t tiến về 0 khi t tiến đến vô cùng Điều này có nghĩa là x sẽ tiến về 0 khi t tiến đến vô cùng, cho thấy sự chuyển động của dao động giảm dần đến 0 theo thời gian.
Vẵ dử 2.1.9 (Mổ hẳnh vên tốc thoĂt ly)(xem [7])
Mởt b i toĂn về thú và l tẳm vên tốc ban Ưu nhọ nhĐt cho mởt khối lữủng trản bã m°t trĂi Đt Lực hấp dẫn giữa hai vật có khối lượng tác động lên nhau theo định luật Newton, tạo ra lực hút giữa chúng Đối với một khối lữủng, lực tác dụng lên khối lữủng sẽ ảnh hưởng đến chuyển động của nó trong không gian.
(R+ x)², (2.9) trong hệ M v R là khối lưỡng và băng kính của trái Đất Lực hấp dẫn (hướng số) được định nghĩa là lực tác dụng lên khối lưỡng m có hướng giảm x Gia tốc gần như khổng lồ của trái Đất tương ứng với giá trị tuyệt đối của lực F khi x = 0: g = GM.
Theo ành luêt thự 2 cừa Newton,F = ma = m dv dt nản phữỡng trẳnh
(2.9) trð th nh: mdv dt = mgR 2
Giá sỉ mở tản lỹa ủc bưn theo phương thức ưng hưởng lản vợi vên tốc ban Ưu l v 0 Gồi h l ở cao cỹc Ôi cừa tản lỹa so với một Đt Ta sẽ chứng minh ủc: v0 r2gRh.
Thêt vêy,ta cõ: dv dt = dv dx.dx dt = dv dx.v.
Bián ời phữỡng trẳnh (2.10) ta ữủc: v.dv = − gR 2
(x+ R) 2 dx, l phữỡng trẳnh bián số phƠn li GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta ữủc: v 2 = 2gR 2 x+R +C (2.12)
Vêy phữỡng trẳnh (2.12) trð th nh: v 2 = 2gR 2 x+ R +v 2 0 −2gR.
Khi tản lỷa Ôt ở cao cỹc Ôi x = h thẳ v = 0, do õ:
R+h. °t ve = lim h→+∞v0 = lim h→+∞ r2gRh h+R = lim h→+∞ s 2gR
Lúc n y v e ữủc gồi l vên tốc thoĂt ly khọi trĂi Đt.
Ùng dửng trong hoĂ hồc
Mô hình tăng trưởng và giảm trưởng được mô tả bởi các phương trình vi phân Cụ thể, mô hình tăng trưởng theo cấp số nhân được biểu diễn bằng phương trình dy/dt = ky (với k > 0), trong khi mô hình giảm trưởng theo cấp số nhân được thể hiện qua phương trình dy/dt = -ky (với k > 0) Hệ số k trong các phương trình này được gọi là hệ số tăng trưởng hoặc hệ số giảm trưởng.
Với 2.2.2, chu kỳ bán rã của radium là 1600 năm, nghĩa là sau 1600 năm, khối lượng của radium giảm đi một nửa Nếu ban đầu có một mẫu radium có khối lượng 50 gram, thì sau bao lâu khối lượng của nó sẽ còn 45 gram?
Gồi y(t) l khối lữủng cừa radium sau khoÊng thới gian t(nôm).
Khi õ, tốc ở phƠn r theo thới gian l dy dt
Gồi k l hằ số t¿ lằ, theo iãu kiằn b i toĂn thẳ: y 0 (t) = −ky(t)(k l mởt hơng số). GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn trản ta ữủc y(t) =C.e −kt
C.e 0 = 50C.e −k.1600 = 25GiÊi hằ phữỡng trẳnh trản ta tẳm ữủc C = 50, k = 1600 ln 2
45 = 50.e − 1600 ln 2 t GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta cõ: t = ln( 45 50 ) k ≈ 243,2(nôm). Vêy mởt mău radium cõ khối lữủng ban Ưu l 50gram thẳ sau 243,2 nôm thẳ khối lữủng cừa nõ l 45 gram
Theo số liệu của Liên Hợp Quốc, dân số thế giới năm 1998 đạt khoảng 5,9 tỷ người, với tốc độ tăng trưởng khoảng 1,33% mỗi năm Giá trị mở một mô hình tổng trữ lượng theo cấp số nhân được tính dựa trên dân số thế giới.
Ta cõ dƠn số v o Ưu nôm 1998 l 5,9 t v °t: t : thới gian tẵnh tứ nôm 1998 (nôm). y : dƠn số thá giợi (t).
Kº tứ Ưu nôm 1998 tữỡng ựng vợi t = 0, theo ã ta cõ: y 0 = y(0) = 5,9(t). Vẳ tốc ở tông trữðng l 1,33% mội nôm (k = 0,0133), nản ta cõ: y 0 (t) = 0,0133y(t).
GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn trản, ta cõ dƠn số tÔi thới iºm t s³ l : y(t) = y 0 e kt = 5,9e 0,0133t
Kº tứ nôm 2023 tữỡng ựng vợi thới gian trổi qua l t = 25 nôm (2023−
1998 = 25) Vêy dƠn số thá giợi v o nôm 2023 s³ l : y(25) = 5,9e 0,0133.25 ≈ 8,2(t ng÷íi) Vêy v o nôm 2023 cõ dƠn số khoÊng 8,2 t ngữới.
Trong môi trường hóa học, một bể chứa được sử dụng để duy trì một dung dịch có chứa một lượng chất hòa tan nhất định, chẳng hạn như muối Dung dịch này có thể được phép thoát ra khỏi bể với tốc độ xác định, đồng thời dung dịch cũng có nồng độ chất hòa tan được duy trì trong bể theo một tỷ lệ nhất định Theo thời gian, nồng độ chất hòa tan trong bể sẽ thay đổi, và điều này thường được xác định bằng các phương pháp phân tích trong một khoảng thời gian nhất định Loại vấn đề này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm đánh giá nồng độ chất ô nhiễm trong môi trường, kiểm tra nồng độ thuốc trong máu, và nghiên cứu sự di chuyển của các loài trong một hệ sinh thái.
Một bể chứa 20 kg muối hòa tan trong 5000 lít nước Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít nước ở vận tốc 25 lít/phút Dung dịch được bơm ra khỏi bể với cùng tốc độ Sau 30 phút, trong bể còn lại bao nhiêu muối?
Gồi y(t) l lữủng muối cỏn lÔi theo thới gian t phút, ta cõ: y(t+ ∆t) = (a−b)∆t+y(t) ; y(0) = 20.
Trong õ: a l tốc ở muối chÊy v o bº. b l tốc ở muối chÊy ra.
Ta câ: a = 0,03.25 = 0,75(kg/phót). b = 25 5000 y(t) = y(t) 200 (kg/phót).
200. GiÊi phữỡng trẳnh trản ta ữủc: y = e −0,005t (150e 0,005t +C).
Vêy sau 30 phút,lữủng muối trong bº khoÊng 38,11 kg.
Vẵ dử 2.2.5 (Nỗng ở cỗn trong bia)
Mở một cái thùng chứa 500 lít bia có pha 4% cồn (tính theo thể tích) Người ta bơm bia có pha 6% cồn vào thùng với tốc độ 5 lít/phút, và dung dịch hòa tan này sẽ được bơm ra ngoài với cùng tốc độ bơm vào.
% lữủng cỗn sau 30 phút bỡm v o thũng.
Gồi y(t)(lẵt) l lữủng cỗn trong thũng bia sau t phút kº tứ lúc bưt Ưu bỡm bia cõ pha 6% cỗn v o thũng.
Ban Ưu ta cõ: y(0) = 500 100 4 = 20(lẵt).
Tốc ở thay ời lữủng cỗn trong bia: dy dt = tốc ở v o−tốc ở ra Tốc ở lữủng cỗn ữủc bỡm v o thũng:0,3(lẵt/phút).
Trong thũng luổn chựa 500 lẵt bia vợi lữủng cỗn tÔi thới iºm t l y(t) (lẵt) Nỗng ở cỗn trong thũng bia tÔi thới iºm t l : y(t) 500
Do õ tốc ở lữủng cỗn ữủc bỡm ra khọi thũng l : y(t)
100. GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn trản ta ữủc: y(t) = 30−C.e 100 −1 t
Vêy y(t) = 30−10.e 100 −1 t (lẵt) l lữủng cỗn trong thũng tÔi thới iºm t.
Vêy nỗng ở cỗn trong thũng bia sau 30 phút l : y(30)
Ùng dửng cừa phữỡng trẳnh vi phƠn trong kinh tá
Giả sử bạn 25 tuổi và lập kế hoạch tiết kiệm cho con cái, mỗi tháng bạn gửi vào quỹ tiết kiệm 5% thu nhập (không thay đổi) cho đến khi bạn 65 tuổi Hãy tính tổng số tiền bạn có thể tiết kiệm cho con cái trong suốt thời gian đó.
Kẵ hiằu S(t) lữủng tiãn bÔn cõ ð thới iºm t(nôm).
S(t+ ∆t) =S(t) +r∆tS(t) + k∆t, trong õ r∆tS(t) số tiãn lÂi sinh ra sau khoÊng thới gian ∆t, k∆t số tiãn bÔn nởp thảm v o.
Phữỡng trẳnh trản tữỡng ữỡng vợi:
GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn vợi iãu kiằn ban Ưu S(0) = 0 ta ữủc:
Mổ hẳnh quƯn thº
Với sự phát triển của một đơn vị số trong lĩnh vực rộng lớn, việc tối ưu hóa tốc độ và hiệu quả hoạt động là rất quan trọng Để đạt được điều này, cần có một chiến lược hợp lý cho từng khu vực cụ thể, đồng thời chú trọng đến việc duy trì các yếu tố như chất lượng dịch vụ và sự bền vững Điều này không chỉ giúp tăng cường khả năng cạnh tranh mà còn đảm bảo sự phát triển bền vững trong tương lai.
XƠy dỹng mổ hẳnh quƯn thº số dƠn P(t) phử thuởc theo thới gian Biát t¿ lằ sinh, t¿ lằ tỷ tữỡng ựng l a, b Tốc ở di cữ l m khổng ời.
Tứ õ, ta rút ra kát luên: º dƠn số tông thẳ C > 0 ⇔P(0) + a−b m > 0 ⇔P(0) > b−a m º dƠn số khổng ời thẳ C = 0 ⇔ P(0) = b−a m º dƠn số giÊm thẳ C < 0⇔ P(0) < b−a m
Mổ hẳnh ổ nhiạm mổi trữớng(xem [4])
Hàm lượng CO2 trong khí quyển là một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến nhiệt độ trái đất Sự gia tăng hàm lượng này không chỉ liên quan đến sự phát triển của ngành công nghiệp mà còn đến các yếu tố tự nhiên và môi trường Hàm lượng CO2 được mô tả bằng phương trình dy/dt = x - αy, trong đó x là hàm lượng CO2 do các hoạt động công nghiệp thải ra và α là tham số biểu diễn tỷ lệ CO2 hấp thụ bởi tự nhiên Biến động hàm lượng CO2 theo thời gian được mô tả bằng dx/dt = ae^bt - βy, với β, a, b là các hằng số dữ liệu Hằng số β biểu hiện tỷ lệ CO2 bị giảm do các hoạt động chống ô nhiễm của các quốc gia.
Mổ hằnh l mởt hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt gỗm 2 phữỡng trẳnh, cho phép biểu diễn chúng dưới dạng một phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp hai Dựa vào các phương trình (2.15) và (2.16), ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng, dẫn đến phương trình vi phân: d²y/dt² + αdy/dt + βy = ae^bt.
Bơng phữỡng phĂp hằ số bĐt ành ta tẳm ữủc nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh (2.17): y(t) = ae bt b 2 +αb+β.
Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (2.17) nhữ sau:
- Náu α 2 −4β < 0 : y = (C 1 cosθt+ C 2 sinθt)e − α 2 + ae bt b 2 +αb+ β, trong â θ √
Do α, β > 0 nản k1, k2,− α 2 l cĂc số Ơm Trong cÊ 3 trữớng hủp nõi trản ta ãu cõ : y(t)− ae bt b 2 + αb+β →0 khi t → +∞.
Nhữ vêy quÿ Ôo d i hÔn cừa h m lữủng CO 2 trong khẵ quyºn l : y = ae bt b 2 + ∝b+β.
Sau mởt thới gian nghiản cựu, luên vôn "Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh hằ số hơng v mởt v i ựng dửng" Â Ôt ữủc mởt số kát quÊ nhữ sau:
1) Hằ thống lÔi cĂc kián thực cỡ sð trong lẵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn nhữ: Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt; Phữỡng trẳnh Bernoulli; Phữỡng trẳnh vi phƠn to n phƯn; Thứa số tẵch phƠn; Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n vợi hằ số hơng; Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n vợi hằ số bián thiản; Cổng thực Ostragradxki- Louiville; Nghiằm cừa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt; Phữỡng phĂp bián thiản hơng số.
2) ữa ra mởt số vĐn ã ữủc ựng dửng trong thỹc tá bơng phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh nhữ: Ùng dửng trong vêt lỵ; trong hoĂ hồc; mổ hẳnh tông trữðng, ựng dửng trong kinh tá;
3) Sỷ dửng cĂc kián thực vã phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh º giÊi quyát cĂc mổ hẳnh ữủc trẳnh b y trong chữỡng 2, tứ õ cõ nhỳng kát luên v dỹ oĂn phũ hủp
Trong quá trình thực hiện và hoàn thiện luận văn, tác giả luôn nỗ lực để làm nổi bật nội dung và ý nghĩa của luận văn Tuy nhiên, trong luận văn vẫn còn một số thiếu sót Tác giả rất mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các giáo viên, bạn bè và các đối tượng quan tâm đến nội dung của luận văn.
[1] Ho ng Hỳu ữớng (1975), Lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc v Trung hồc chuyản nghiằp H Nởi.
[2] Nguyạn Thá Ho n TrƯn Vôn Nhung (2005), B i têp phữỡng trẳnh vi phƠn, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc.
[3] Nguyạn Thá Ho n PhÔm Phu (2007), Cỡ sð phữỡng trẳnh vi phƠn v lẵ thuyát ờn ành, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc H Nởi.
[4] Lả ẳnh Thuỵ (2018), ToĂn cao cĐp cho cĂc nh kinh tá, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Kinh tá Quốc dƠn.
[5] Lả HÊi Trung (2019), GiĂo trẳnh phữỡng trẳnh vi phƠn sai phƠn, Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Nđng, Nh xuĐt bÊn Thổng tin v Truyãn thổng.
[6] J.Banasiak (2013), Difference And Differential Equations In Mathe- matical Modelling.
[7] James Stewart,Calculus: Early Transcendentals 8th Edition.
[8] James Stewart,Multivarible Calculus seventh Edition.
[9] David Lomen, David LoveLock NewYork (1999), Differential Equa- tion, John Willey Sons, Inc.
BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1 Tên đề tài: Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và một vài ứng dụng
2 Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT
3 Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2037/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5 Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG
1 TS Phạm Quý Mười Chủ tịch
2 TS Lê Văn Dũng Thư ký
3 TS Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện 1
4 PGS.TS Kiều Phương Chi Phản biện 2
5 TS Nguyễn Đức Hiền Ủy viên a Thành viên có mặt: 5 b Thành viên vắng mặt: 0
6 Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7 Học viên cao học trình bày luận văn
8 Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo)
9 Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng
10 Hội đồng họp riêng để đánh giá
11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả
12 Kết luận của Hội đồng a) Kết luận chung:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Đề nghị Hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết quả chấm luận văn của Hội đồng và cấp bằng thạc sĩ cho học viên Bên cạnh đó, cần yêu cầu chỉnh sửa về nội dung để đảm bảo chất lượng.
Bổ sung phần "tuyến tính" trong "phương trình vi phân" và thêm trích dẫn tài liệu vào luận văn là cần thiết Các ví dụ cần được phân tách rõ ràng giữa nội dung và lời giải Đồng thời, cần kiểm tra tính chính xác của Định lý 1.7.3 và Định nghĩa 1.8.9 để đảm bảo tính khoa học của bài viết.
Sửa luận văn theo góp ý của các thành viên trong Hội đồng, đặc biệt là nhận xét góp ý của
Học viên cần chỉnh sửa luận văn và gửi file PDF tới phản biện 1 qua email Luận văn chỉ được chấp nhận khi có sự đồng ý của phản biện 1 qua email Điểm đánh giá cho luận văn là 8,3, được ghi bằng chữ là Tám ba.
13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc
Phạm Quý Mười Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)
Tên đề tài luận văn: Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và một vài ứng dụng
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02
Họ và tên học viên: Ngô Thị Ánh Ly
Người nhận xét: TS Nguyễn Thị Thùy Dương Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN
1 Tính cấp thiết của đề tài: Khi nghiên cứu các hiện tượng khoa học kỹ thuật, kinh tế như mô hình cân đối liên ngành động với cầu vượt mức, mô hình kinh tế vĩ mô về lạm phát và thất nghiệp chúng ta thường dùng đến phương trình sai phân để giải quyết các bài toán trong kinh tế Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về một lĩnh vực trong Toán học có ứng dụng trong thực tế tác giả đã chọn đề tài “Phương trình vi phân hệ số hằng và một vài ứng dụng”
2 Cơ sở khoa học và thực tiễn: Luận văn được tổng hợp từ các tài liệu khoa học đáng tin cậy và có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và những độc giả quan tâm đến lĩnh vực này
3 Phương pháp nghiện cứu: nghiên cứu lý thuyết
4 Kết quả nghiên cứu: Tổng quan các kết quả trước đây Tác giả đã hệ thống lại các kiến thức cơ sở trong lí thuyết phương trình vi phân; đưa ra một số ứng dụng trong vật lí, trong hóa học, ứng dụng trong kinh tế… gồm 2 chương: Chương I: Kiến thức cơ sở Chương II: Một số ứng dụng của phương trình vi phân hệ số hằng Bản tóm tắc phản ánh trung thực nội dung của luận văn Luận văn còn một số lỗi chế bản và trình bày như: một số công thức toán không đưa vào môi trường equation; Cỡ chữ công thức toán không thống nhất, … Và các mô hình cần ghi rõ nguồn trích dẫn
6 Đánh giá chung: Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương đã được duyệt
Kết luận: Tôi đồng ý cho bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2021
TS Nguyễn Thị Thùy Dương