ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––––– MAI THỊ NGỌC HÀ HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - MAI THỊ NGỌC HÀ HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại học Khoa học: Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - ĐHTN Ngày tháng năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn non Mục lục Mở đầu Chương 1.1 Một số kiến thức Một số kiến thức giải tích hàm 1.1.1 Không gian mªtric 1.1.4 Sự hội tụ không gian 10 1.1.5 To¸n tư không gian 11 1.2 Kh¸i niệm toán đặt chỉnh toán đặt không chỉnh 13 1.3 Khái niệm thuật toán hiệu chỉnh 1.4 Sự tồn toán tử hiệu chỉnh 1.5 Xây dựng thuật toán hiệu chỉnh 1.1.2 Không gian Banach 1.1.3 Không gian Hilbert Chương 16 19 20 Hiệu chỉnh cho phương trình tích phân tuyến tính loại I 2.1 24 Nghiệm hiệu chỉnh phương trình tích phân tuyến tính loại I 24 2.1.1 C¬ së lý thuyÕt 24 2.1.2 Thuật toán hiệu chỉnh máy tính 35 38 2.1.3 Rêi rạc hoá toán để tìm nghiệm xấp xỉ 2.2 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh cho phương trình tích phân tuyến tính loại I 2.3 Kết tính toán cụ thể 39 44 KÕt luËn 47 Tài liệu tham khảo 48 Mở đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, dẫn đến việc giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ kiện (sai ly) kiện dẫn đến sai khác lớn (đi dặm) nghiệm, chí làm cho toán trở lên vô nghiệm vô định Người ta nói toán đặt không chỉnh (ill-posed) Do số liệu thường thu thập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ) sau lại xử lý máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số Chính thế, yêu cầu đặt phải có phương pháp giải ổn định toán đặt không chỉnh, cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Những người có công đặt móng cho lý thuyết toán đặt không chỉnh lµ Tikhonov A N., Lavrent'ev M M, Lions J J., Ivanov V K Trong khuôn khổ luận văn này, đề cập đến toán đặt không chỉnh mà có ứng dụng lớn toán phát sinh từ kĩ thuật Đó phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại I: Z b K(t, s)x(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d], a −∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < + nghiệm hàm nhân (hạch) x0 (s), vế phải f0 (t) mét hµm sè cho tríc vµ K(t, s) cđa tÝch phân với K/t giả thiết hàm liên tục cho trước Luận văn nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hiệu chỉnh đà xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm phương trình tích phân tuyến tính loại I sau đưa kết số minh họa Nội dung luận văn gồm chương, phần kết luận cuối phần tài liệu tham khảo Chương I sau đà trình bày số khái niệm giải tích hàm, trình bày khái niệm toán đặt không chỉnh toán tìm nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại I toán đặt không chỉnh Cuối trình bày tóm tắt việc xây dựng phương pháp hiệu chỉnh tổng quát để giải toán đặt không chỉnh Chương II trình bày nghiệm hiệu chỉnh phương trình tích phân tuyến tính loại I, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, xấp xỉ hữu hạn chiều tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều đồng thời tốc độ hội tụ tốt Cuối đưa số kết số minh họa Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Bường, người đà tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu, nhờ mà hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Nguyễn Thị Thu Thuỷ, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học đà nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất thầy cô giáo đà trực tiếp giảng dạy trang bị cho kiến thức suốt trình học tập trường, thầy cô giáo môn Toán - Lý, thầy cô Khoa Khoa học Cơ trường Đại học Nông lâm Thái Nguyên đà tạo nhiều điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, động viên suốt trình học tập công tác Những lời cảm ơn cuối muốn gửi tới người thân yêu gia đình đà giúp đỡ, chia sẻ, động viên nhiều để vượt qua khó khăn đạt kết học tập công tác Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009 Tác giả Mai Thị Ngọc Hà Chương Một số kiến thức 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm Các khái niệm, định lý, ví dụ kết mục tham khảo tài liệu [1] [2] 1.1.1 Không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1 tập hợp, Không gian mêtric cặp (X, : X ìX R hàm xác định ), X X ìX thoả mÃn điều kiện sau: 1) Víi ∀x, y ∈ X ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = ⇔ x = y 2) Víi ∀x, y ∈ X ρ(x, y) = ρ(y, x) 3) : : , , ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + (z, y), x, y, z X Hàm gọi mêtric không gian X Mỗi phần tử gọi điểm không gian X, số (x, y) X được gọi khoảng cách hai điểm x y Định nghĩa 1.1.2 (X, Ta nói dÃy ) hội tụ đến phần tử xn x0 X n=1 phần tử không gian mêtric nếu: lim (xn , x0 ) = 0, n→∞ lim xn = x0 ∞ Định nghĩa 1.1.3 xn n=1 X kí hiệu n DÃy gọi dÃy côsi hay dÃy b¶n nÕu: ∀ > 0, ∃n0 ∈ N cho ∀i, j ≥ n0 lu«n cã ρ(xi , xj ) < s1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Byniakovskii ta Z |x(s2 ) x(s1 )| ≤ |s2 − s1 | s2 2 ds s1 2 Z s2 dx ≤ |s2 − s1 | p(s) ds p0 s1 ds 2 Z b dx p(s) ds ≤ |s2 − s1 | p0 a ds d0 ≤ |s2 − s1 | p0 26 dx ds Cã nghÜa lµ s p d0 |x(s2 ) − x(s1 )| ≤ |s2 − s1 | p0 Điều nói lên Bây giờ, lấy họ hàm liên tục đồng bËc s1 = s0 , th× víi mäi |x(s2 ) − x(s0 )| ≤ s2 ∈ [a, b] s p |s2 − s0 | ta cã d0 p0 Râ rµng |x(s2 )| ≤ |x(s2 ) − x(s0 )| + |x(s0 )| s r p d0 d0 ≤ |s2 − s0 | + /q 1/2 (s0 ) p0 b−a §iỊu chứng tỏ tập hàm giới nội ®Ịu {xn (s)} ⊂ Φ Ascoli tån t¹i a, b liên tục [ ] Tức hội tụ [a, b] đến hàm tập compact Bây trở lại Định lý 2.1.1 Theo ®Þnh lý Arsela - Q2M = x ∈ X2 : Z b (x00 )2 ds ≤ M , ˜ 2M ˜ 1δ ∩ Q2M Q =Q δ Ta chøng minh r»ng ∀fδ ∈ L2 [c, d] : ρL2 [c,d] (fδ , f0 ) ≤ δ, ∃xδ (s) : Ω(xδ ) = inf Ω(x) ˜ 2M x∈Q δ xδ (s) a, b có đạo hàm liên tục [ ThËt vËy, Ω(x) x˜ cịng Tríc hÕt ta chøng minh định lý a và C[a, b] dạng đơn giản Xét tập x ] không âm, tồn = inf (x) 2M xQ 27 dÃy cực tiểu hoá 2M {xn (s)}, xn (s) ∈ Q δ , cho lim Ω(xn ) = Ω0 n→∞ Ta cã thÓ gi¶ thiÕt Ω(xn ) ≤ Ω(xn−1 ) ≤ ≤ Ω(x1 ) := M1 Ω(xn ) ≤ M1 , n Như vậy, [ Theo Bổ đề 2.1.1 ta cã d·y a, b x˜δ (s) ] ®Õn hàm đó, k {xnk } hội tụ lim (xnk ) = k Mặt khác, Z b p(s)((x0nk )(s))2 ds ≤ M1 , Z b (x00nk )2 ds M a a Đặt d = max(M, M1 ) Theo Bổ đề 2.1.1 tồn mét d·y {x0nk } a, b héi tơ ®Ịu trªn [ cho nªn xδ (s) = x˜0δ (s) ] ®Õn xδ (s) {xnk } ˜1 x˜δ (s) ∈ Q Dễ dàng nhận thấy Do {x0m (s)} hội tụ đến x (s) , lim (xm ) = Ω(˜ xδ ) = Ω0 m→∞ §iỊu có nhờ qua giới hạn dấu tích phân {xm } {x0m } hội tụ Bây ta chứng minh Định lý 2.1.1 Xét tích vô hướng X1 x1 , x2 xác định sau với chuẩn x1 , x2 kxk1 = Z b = q(s)x1 (s)x2 (s) + p(s)x01 (s)x02 (s) ds q a x, x khoảng cách chuẩn không gian W21 28 ρ1 (x1 , x2 ) = kx1 x2 k1 Đây Do (x) tồn t¹i Ω0 = inf Ω(x) ˜1 x∈Q δ ˜1 {˜ xn (s)}, x˜n (s) ∈ Q δ vµ d·y cùc tiĨu ho¸ , cho lim Ω(˜ xn ) = n n = ( xn ) Đặt đề 2.1.1, Khi đó, ta giả thiết { x nk } tồn dÃy đó, với k.k1 Giả Như vậy, sử cố định ngược hội tụ [ Ta chứng minh lại, tồn số tức n ≤ Ωn−1 , ∀n k˜ xnk − x˜k1 Theo Bæ a, b xnk ] đến hàm hội tụ đến không dần dÃy số nguyên tới , x˜ x˜ nµo theo chuÈn k → ∞ {m}, {pm } cho k˜ xm − x˜m+pm k1 Đặt m = xm xm+pm XÐt d·y ξm = 0, 5(˜ xm + x˜m+pm ) Râ rµng ξm = x˜m − 0, 5βm = x˜m+pm + 0, 5βm Ω(ξm ) = k˜ xm k21 − x˜m , βm + 0, 25kβm k21 ≥ Ω0 vµ Do xm ) k˜ xm k21 = Ω(˜ Ω(˜ xm ) → Ω0 m→∞ − x˜m , βm + 0, 25kβm k21 ≥ −∆0m , xm ) 0m = ( 0m , , (2.4) m → ∞ ξm = x˜m+pm + 0, 5βm Ω(ξm ) = k˜ xm+pm k21 − x˜m+pm , βm + 0, 25kβm k21 ≥ Ω0 T¬ng tự, sử dụng ta có Suy xm+pm , βm ∆00m = Ω(˜ xm+pm ) − Ω0 vµ + 0, 25kβm k21 ≥ −∆00m , ∆00m → , m → ∞ (2.5) Céng hai bÊt đẳng thức (2.4) (2.5) ta xm − x˜m+pm , βm + 0, 5kβm k21 ≥ −(∆0m + ∆00m ) 29 hay −0, 5kβm k21 ≥ −(∆0m + ∆00m ) kβm k21 = k˜ xm − x˜m+pm k21 ≤ 2(∆0m + ∆00m ) → Suy , ε0 m(ε0 ) : m > m(ε0 ), k˜ xm − x˜m+pm k1 < k˜ xm − x˜m+pm k1 ≥ ε0 {˜ xm } phải tồn thuẫn với Như vậy, không gian đầy đủ Tức dÃy { x nk } W21 Do xnk a, b ] đến Như Điều mâu dÃy Cauchy hội tụ hội tụ [ m k.k1 đến mét hµm ˜ x˜(s) := x˜δ ∈ Q δ x Định lý minh { x } héi tơ ®Õn x0 (s), δ → §Þnh lý 2.1.2 (xem [1]) Chøng minh: LÊy mét d·y số ta có dÃy DÃy n dần tíi {˜ xδn } : ρL2 [c,d] (A˜ xδn , fn ) n , Với n n Tương ứng, cố định ta có tập Q δn vµ Ω(˜ xδn ) = inf Ω(x), x˜δn ∈ W21 ˜1 x∈Q δn Suy Ω(˜ xδn ) ≤ Ω(x0 ) := d héi tơ ®Ịu ®Õn x Do Theo Bổ đề 2.1.1, tồn mét d·y ˜1 x˜δn ∈ Q δn {˜ xδnk } , cho nªn ρL2 [c,d] (A˜ xδnk , fδnk ) nk Vì xnk hội tụ [ a, b ] ®Õn x˜(s) , ta cã ρL2 [c,d] (A x, f0 ) = trình tích phân (2.1), theo gi¶ thiÕt chØ cã mét nghiƯm x0 (s) x0 (s) δ →0 Cịng lý ®ã, x˜δ héi tụ đến x0 (s) , Phương , x(s) = Định lý chứng minh Chú ý 2.1.1 Ta xây dựng phiếm hàm Ω(x) = Z b X n a k=0 k 2 d x ds, qk (s) dsk 30 ë ®©y qk (s), k = 0, , n NÕu thay cho Q liên tục, không âm qn (s) ≥ c > lÊy ˜ nδ = {x ∈ X n : ρL [c,d] (Ax, fδ ) } Q ta nghiệm xấp xỉ x (s) có độ trơn bậc n (đạo hàm cấp n ) Bỉ ®Ị 2.1.2 ρL2 [c,d] (A˜ xδ , fδ ) = δ Chøng minh: (2.6) Gi¶ sư ρL2 [c,d] (A˜ xδ , fδ ) = β < δ Theo gi¶ thiÕt Z d (fδ (t))2 dt δ < c (0) = , tồn mét l©n cËn x˜δ 6≡ U(˜ xδ ) Do toán tử tích phân (2.1) liên tục x˜δ X1 , cho δ−β , x(s) ∈ U(˜ xδ ) ρL2 [c,d] (Ax(s), A˜ xδ ) < vµ ρL2 [c,d] (Ax, fδ ) < δ, ∀x ∈ U(˜ xδ ) ThËt vËy, ρL2 [c,d] (Ax, fδ ) ≤ ρL2 [c,d] (Ax, A˜ xδ ) + ρL2 [c,d] (A˜ xδ , fδ ) δ−β + β = δ < Cã nghÜa lµ mäi hµm x ∈ U(˜ x ) thoả mÃn dẫn đến việc tìm hàm Bất đẳng thức trái với kết luËn x˜δ kAx − fδ kL2 [c,d] < δ xδ ∈ U(˜ xδ ) §iỊu Ω(xδ ) < Ω(˜ xδ ) ˜δ Ω(x) Q cho cùc tiÓu phiÕm hàm Như vậy, bổ đề chứng minh 31 Chú ý 2.1.2 (x) Bổ đề chứng tỏ việc tìm phần tử x Q làm cực tiểu tương đương với toán Tìm x(s) X : kAx − fδ kL2 [c,d] = δ Bài toán sau quy việc tìm x (2.7) lµm cùc tiĨu M α [x, fδ ] = ρL2 [c,d] (Ax, fδ )2 + αΩ(x), vµ chän tham sè α = α(δ) cho (2.8) ρL2 [c,d] (A˜ xδ , fδ ) = δ Ta cã kÕt qu¶ sau α > vµ f ∈ L2 [c, d] tån t¹i nhÊt mét Rb α α α 0 hàm x (s) có đạo hàm (x (s)) a ((x (s)) ) ds < + cho Định lý 2.1.3 (xem [1]) Với M [x , f ] = inf M α [x, f ] (2.9) xX Chứng minh: Với >0 cố định, { xαn (s)} ⊂ X t¹i d·y cùc tiĨu M α [x, f ] ≥ 0, ∀x ∈ X Do ®ã, tån ®Ĩ lim M α [˜ xαn , f ] = inf M α [x, f ] n→∞ KÝ hiÖu Mnα = M α [˜ xαn , f ] α Mnα ≤ Mn−1 , ∀n 2.1.1 dÃy hiệu xX { xn (s)} Khi đó, Ta cã thÓ chän d·y cùc tiÓu Ω(˜ xαn (s)) ≤ M1α /α, ∀n {˜ xαn (s)} Nh vËy, cho theo Bổ đề tập compact Do đó, tån t¹i mét d·y con, vÉn kÝ {˜ xαn (s)} , hội tụ [ a, b ] đến x˜α (s) ∈ X B©y giê, ta sÏ chứng minh dÃy dÃy chuẩn X1 Giả sử ngược lại, tồn số dương dÃy số nguyên {m, pm } Đặt cho k xm (s) x˜αm+pm (s)k1 ≥ ε0 α βm = x˜αm − x˜αm+pm XÐt d·y α ξm = 0, 5(˜ xαm + x˜αm+pm ) α α α ξm = x˜αm − 0, 5βm = x˜αm+pm + 0, 5βm 32 Râ rµng