THÔNG TIN TÀI LIỆU
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM HONG NGÅC THI BI TON ÊN ÀNH H PH×ÌNG TRNH VI PH
N TUYN TNH LUN VN THC S TON HÅC ThĂi Nguyản - Nôm 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM HONG NGÅC THI BI TON ÊN NH H PHìèNG TRNH VI PHN TUYN TNH Chuyản ngnh: GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc GS.TSKH Vễ NGC PHT ThĂi Nguyản - Nôm 2015 i Lới cam oan Tổi xin cam oan rơng cĂc kát quÊ nghiản cựu luên vôn ny l trung thỹc v khổng trũng lp vỵi c¡c · t i kh¡c Tỉi cơng xin cam oan rơng mồi sỹ giúp ù cho viằc thỹc hiằn luên vôn ny  ữủc cÊm ỡn v cĂc thổng tin trẵch dăn luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc ThĂi nguyản, thĂng nôm 2015 Ngữới viát Luên vôn Hong Ngồc ThĂi ii Lới cÊm ỡn Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v ch bÊo nghiảm khưc cừa thƯy giĂo GS.TSKH Vụ Ngồc PhĂt Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc án thƯy Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn chƠn thnh tợi Ban GiĂm Hiằu trữớng Ôi hồc Sữ PhÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc thƯy cổ giĂo Khoa ToĂn - Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc thƯy Viằn ToĂn hồc - Viằn Hn lƠm KHCN Viằt Nam  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn thuên lủi nhĐt tổi hon thnh ữủc luên vôn ny Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! ThĂi nguyản, thĂng nôm 2015 Ngữới viát Luên vôn Hong Ngåc Th¡i iii Mưc lưc Líi cam oan i Líi cÊm ỡn ii Mửc lửc ii M Ưu Kẵ hi»u to¡n håc Cì sð to¡n håc 1.1 Ôi số tuyán tẵnh 1.2 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn 1.3 B i to¡n ên ành hằ phữỡng trẳnh vi phƠn 1.4 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov 11 1.5 Mët sè bê · bê trñ 14 Ên nh hằ phữỡng trẳnh vi phƠn 19 2.1 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh ổtổnổm 19 2.2 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh khổng ổtổnổm 27 Kát luên 37 Ti liằu tham khÊo 38 M Ưu Bi toĂn ờn nh cĂc hằ phữỡng trẳnh vi ph¥n l mët nhúng b i to¡n câ nhi·u ùng dưng quan trång gi£i c¡c b i to¡n xu§t ph¡t tứ thỹc tá, ỏi họi phÊi sỷ dửng nhiÃu lỵ thuyát v cổng cử toĂn hồc hiằn Ôi Lỵ thuyát ờn nh cĂc hằ ởng lỹc bưt Ưu ữủc xữợng tứ cuối thá k mữới chẵn bi nhỳng ỵ tững v kát quÊ quan trồng cừa nh toĂn hồc ngữới Nga A.M Lyapunov Mởt cĂch hẳnh tữủng, mởt hằ thống ữủc gồi l ờn nh tÔi trÔng thĂi cƠn bơng no õ náu cĂc nhiạu nhọ cừa cĂc dỳ kiằn hoc cĂc cĐu trúc ban Ưu cừa hằ thống khỉng l m cho h» thèng thay êi nhi·u so vỵi trÔng thĂi cƠn bơng cừa nõ Do õ, lỵ thuyát ờn nh ữủc nghiản cựu xuĐt phĂt tứ thỹc tiạn v nhu c¦u ph¡t triºn cõa mët sè ng nh khoa hồc Tứ nhỳng nôm 60 cừa thá k 20, ngữới ta bưt Ưu nghiản cựu tẵnh ờn nh cĂc hằ i·u khiºn nh÷ b i to¡n i·u khiºn ÷đc, b i to¡n ờn nh hoĂ, iÃu khin tối ữu, Tứ õ án t½nh ên ành cõa c¡c h» i·u khiºn to¡n ữủc nghiản cựu sổi nời, thu ữủc nhiÃu thnh tỹu rỹc rù, sƠu sưc v ựng dửng rởng rÂi nhiÃu lắnh vỹc nhữ: vêt lỵ, kinh tá, khoa hồc kắ thuêt, sinh thĂi hồc, mổi trữớng Cõ nhiÃu phữỡng phĂp nghiản cựu tẵnh ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn Cõ th k Ơy mởt số phữỡng phĂp chẵnh nhữ phữỡng phĂp thự nhĐt Lyapunov (hay cán gåi l ph÷ìng ph¡p mơ °c tr÷ng), ph÷ìng ph¡p thù hai Lyapunov (hay cán gåi l ph÷ìng ph¡p hm Lyapunov), phữỡng phĂp xĐp x, phữỡng phĂp so sĂnh Nởi dung cừa bÊn luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng trẳnh by nhỳng kián thực cỡ s và hằ phữỡng trẳnh vi phƠn, khĂi niằm và tẵnh ờn nh nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn, ỗng thới giợi thiằu phữỡng phĂp hm Lyapunov xem xt tẵnh ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn Chữỡng giợi thiằu bi toĂn ờn nh hằ phữỡng trẳnh vi phƠn Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn v nhiằt tẳnh ch bÊo cừa GS.TSKH Vô Ngåc Ph¡t, Vi»n To¡n håc - Vi»n H n lƠm Khoa hồc Cổng nghằ Viằt Nam Em xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh án Ban GiĂm hiằu, Khoa Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn thuên lủi suốt quĂ trẳnh hồc têp tÔi trữớng Tuy cõ nhiÃu cố gưng, song thới gian v nông lỹc bÊn thƠn cõ hÔn nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong cõ ữủc nhỳng ỵ kián õng gõp cừa cĂc thƯy cổ ton th bÔn ồc Kẵ hiằu toĂn hồc Z Têp số nguyản Z+ Têp số nguyản khổng ¥m R Tªp sè thüc R+ Tªp sè thüc khỉng ¥m Rn Khỉng gian vectì Euclide n chi·u Rn×n Khỉng gian cĂc ma thỹc cĐp n ì n I Ma trªn ìn AT Ma trªn chuyºn cõa ma trªn A P > Ma trªn x¡c ành dữỡng (P ) CĂc giĂ tr riảng cừa ma P C[a,b] Têp cĂc hm số liản tửc [a, b] Ch÷ìng Cì sð to¡n håc Trong chữỡng ny tổi trẳnh by cĂc nh nghắa, nh lỵ v cĂc khĂi niằm cỡ bÊn và hằ phữỡng trẳnh vi phƠn, phữỡng phĂp hm Lyapunov Nởi dung chữỡng n y tr¼nh b y theo c¡c t i li»u [1], [2], [5] 1.1 Ôi số tuyán tẵnh ã Vectỡ v Rn , v 6= gåi l vectì ri¶ng cõa ma A Rnìn náu cõ mởt số (cõ thº l sè thüc ho°c sè phùc) cho Av = λv Sè λ gåi l gi¡ trà ri¶ng cõa A ựng vợi vectỡ riảng v, têp cĂc giĂ tr riảng cừa A s kẵ hiằu l (A) CĂc giĂ tr riảng cừa A xĂc nh bi nghiằm cừa phữỡng trẳnh a thực c trững cừa A : det(I A) = hay p(λ) = λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + + an−1 λ + an = nh lỵ 1.1.1 (Cayley - Hamilton) Mồi ma A Rnìn Ãu l nghiằm cừa a thực °c tr÷ng cõa nâ: p(A) = An + a1 An−1 + a2 An−2 + + an−1 A + an I = ã Cho ma A Rnìn , A = (aij ), i, j = 1, 2, , n Chuân cừa ma A s xĂc ành bði 1/2 n X n X ||A|| = |aij |2 (1.1) i=1 j=1 • Cho a thực tũy ỵ bêc n f () = n X ck k , k=0 náu n = thẳ chuội giÊ thiát l hởi tử Hm cừa ma A ÷đc x¡c ành bði f (A) = n X ck Ak k=0 nh lỵ 1.1.2 (Cổng thực Sylvester) Cho A Rnìn vợi cĂc giĂ tr riảng , λ2 , , λn kh¡c Cho f (λ) l hm a thực bêc n no õ dÔng (1.1) Khi â f (A) = n X Zk f (λk ), k=1 â Zk x¡c ành bði (A − λ1 I)(A − λ2 I) (A − λk−1 I)(A − λk+1 ) (A − λn I) (λk − λ1 )(λk − λ2 ) (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) (λk − λn ) n Q A − λj I = j=1,j6=k λk − λj Zk = • Ma A gồi l xĂc nh dữỡng náu i) hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn ii) hAx, xi > 0, x 6= õ hx, yi kỵ hiằu tẵch vổ hữợng cừa hai vectỡ x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) x¡c ành bði hx, yi = n X xi yi i=1 ã Náu A = AT , thẳ A gồi l ma ối xùng Ta ln câ AAT l ma trªn èi xùng v (AB)T = B T AT N¸u A l khỉng suy bi¸n, tùc l det A 6= 0, 24 Theo nh lỵ (2.1.3) hằ l ờn nh tiằm cên Trong thỹc tá ta cụng gp baẳ toĂn cõ dÔng (2.1) Ơy ma A khổng phÊi l ma hơng số m nõ cõ dÔng A(t) = A + C(t) ta gồi hằ cõ dÔng nhữ vêy l hằ hƯu nhữ hơng số Dữợi Ơy chúng tổi s giợi thiằu mởt tiảu chuân ờn nh cừa hằ hƯu nhữ hơng số nh lỵ 2.1.5 Xt hằ (2.1) â A(t) = A + C(t) Gi£ sû A l ma trªn ên ành v gi£ sû C(t) l hm khÊ tẵch trản R+ v ||C(t)|| a, a > Khi â h» l ên ành ti»m cªn vỵi a > õ nhä Chùng minh Ta câ th viát phữỡng trẳnh (2.1) dữợi dÔng x(t) = Ax(t) + C(t)x(t), t ≥ 0, â nghi»m cõa h» vỵi x(t0 ) = x0 cho bði A(t−t0 ) x(t) = e Z t x0 + eA(t−s) C(s)x(s)ds t0 Vẳ A l ma ờn nh suy hằ x˙ = Ax l ên ành mô, â theo nh nghắa s tỗn tÔi số > 0, > cho ||eAt || ≤ µe−δt , ∀t ≥ Ta câ ¡nh gi¡ sau ||x(t)|| ≤ µe−δ(t−t0 ) ||x0 || + inttt0 µe−δ(s−t0 ) a||x(s)||ds °t u(t) = eδ(t−t0 ) ||x(t)||, C = µ||x0 ||, a(t) = µa v ¡p dưng b§t ¯ng thùc Gronwall, Bê · (1.5.1), ta câ eδ(t−t0 ) ||x(t)|| ≤ µ||x0 ||eµa(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 25 Do â ||x(t)|| ≤ µ||x0 ||e(µa−δ)(t−t0 ) , Ch¿ c¦n chån a < δ µ ∀t ≥ t0 â h» s³ ên nh tiằm cên nh lỵ ữủc chựng minh Vẵ dử 2.1.6 X²t t½nhên ành cõa h» x˙1 = x1 + x2 + cos2 t, x˙2 = − 14 x2 + 31 sin2 t Líi gi£i Ta câ A= v C(t) = cos t sin t − 15 − 14 , V A l ma ờn nh vẳ 1 λ(A) = − , − , µ = 1, δ = m°t kh¡c ||C(t)|| ≤ 1 =a< n¶n h» l ên ành ti»m cªn Têng qu¡t hìn ta x²t b i to¡n ờn nh cho hằ phữỡng trẳnh vi phƠn ổtổnổm cõ nhiạu phi tuyán x(t) = Ax(t) + g(t, x) â A = ∂f (0) ∂x , (2.3) g(t, x) = o(||x||) nh lỵ 2.1.7 GiÊ sỷ A l ma ờn nh v g(t, x) thọa mÂn iÃu ki»n: ||g(t, x)|| ≤ ε||x||, ∀x ∈ Rn th¼ h» (2.3) l ờn nh tiằm cên vợi > n o â 26 Chùng minh Nghi»m cõa b i to¡n Cauchy cho h» (2.3) cho bði Z t x(t) = eA(t−t0 ) x0 + eA(t−s) g(s, x(s))ds t0 V¼ A l ma ờn nh nản hằ x = Ax l ờn nh mụ, õ tỗn tÔi số > 0, δ > cho ||eAt || ≤ µe−δt , ∀t ≥ Ta câ ¡nh gi¡ nghi»m sau Ơy ||x(t)|| = àe (tt0 ) ||x0 || + Z t µe−δ(t−s) ||g(s, x(s))||ds t0 Ta câ ||x(t)|| = µe −δ(t−t0 ) ||x0 || + Z t µe−δ(t−s) ε||x(s)||ds t0 Sû dưng b§t ¯ng thùc Gronwall, Bê · (1.5.1) ta nhên ữủc Ănh giĂ ||x(t)|| à||x0 ||e Vêy vợi < (tt0 ) Rt e t0 µεds = µ||x0 ||e(µε−δ)(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 th¼ ||x(t)|| → t → +∞ hay h»  cho ờn nh tiằm cên nh lỵ ữủc chựng minh Vẵ dử 2.1.8 Xt tẵnh ờn nh tiằm cên cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn sau x˙1 = − x1 + x21 cos2 t x˙2 = − + 14 x22 cos2 t 42 Líi gi£i Ta câ − A= − , g(t, x) = 2 x1 cos t 2 x2 cos t 27 Vẳ A l ma ờn nh v q ||g(t, x)|| = sin t( x41 + x42 ) ≤ ||x||2 , 4 â h» ờn nh tiằm cên 2.2 Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh khổng ổtổnổm nh nghắa 2.2.1 Cho hm g : R+ → R+, f (x) : Rm → Rn gồi l thọa mÂn iÃu kiằn g Lipschitz náu ||f (x1 ) − f (x2 )|| ≤ g(||x1 − x2 ||), x1 , x2 Rm Chú ỵ rơng mởt hm f (.) thọa mÂn iÃu kiằn Lipschitz náu lĐy g(t) = L|t|; thọa mÂn iÃu kiằn tông trững Holder náu lĐyg(t) = L|t| , < < ành ngh¾a 2.2.2 Cho α, β l hai sè dữỡng Ta nõi rơng mởt hm g(t) R+ l bà ch°n (α, β) n¸u g(t) < β, ∀t Lữu ỵ rơng náu g(t) = Lt thẳ â g(t) bà ch°n kho£ng (α, β) β n¸u L < Khi g(t) = Ltm , m ∈ (0, 1) th¼ g(t) bà ch°n (α, β) náu L < m Xt hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh ổtổnổm: x(t) = A(t)x(t), t nh lỵ 2.2.3 GiÊ sỷ rơng: i) Tỗn tÔi K > 0, > cho: ||eA(s)t || ≤ ke−δt , ∀t, s ≥ (2.4) 28 ii) A(t) l mët h m g− Lipschitz, â g(t) l h m bà ch°n ln K δ , δ 2K Khi â h» (2.4) ờn nh tiằm cên Chựng minh Ta viát lÔi hằ (2.4) dữợi dÔng: x(t) = A(0)x(t) + [A(t) A(0)]x(t) (2.5) Khi â nghi»m x(t) cõa h» (2.5) tø x0 tỵi l (t) = eA(0)t x0 + Zt eA(0)(t−s) [A(s) − A(0)]x(s)ds (2.6) Tø i) v ii) ta câ: −δt ||x(t)|| ≤ Ke ||x0 || + K t Z e−δ(t−s) g(s)||x(s)||ds °t y(t) = eδt ||x(t)|| ta câ ||y(t)|| ≤ K||x0 || + t Z g(s)||y(s)||ds p dưng b§t ¯ng thùc Gronwall, Bê · (1.5.1), ta ÷đc ||y(t)|| ≤ K||x0 ||eKh(t) , â h(t) := Rt g(s)ds Bði vªy ||x(t)|| ≤ K||x0 ||e−δt eKh(t) (2.7) ỵ rơng náu ban Ưu t0 6= tùc l x(t0 ) = x0 th¼ (2.7) trð th nh ||x(t)|| ≤ K||x0 ||eδ(t−t0 ) eKh(t−t0 ) , V¼ Z t g(s − t0 )ds = Z t−t0 g(s)ds = h(t − t0 ) (2.8) 29 Ta câ thº °t F (t) = δt − Kh(t)− K Ưu tiản ta s chựng minh cõ mởt T > cho F (T ) > Thêt vêy, vẳ g(t) l hm b chn ln K δ , n¶n δ 2K δt ln K h(t) < , ∀t ≤ 2K δ iÃu ny tữỡng ữỡng vợi Kh(t) < Khi õ t ≤ δ ln K = ln K δ 2lnK ta câ δ F (t) = δt − Kh(t) − ln K > δt − ln K L§y T = 2lnK th¼ F (T ) > Tø b§t ¯ng thùc (2.7) ta suy δ ||x(T )|| ≤ ||x0 ||eln K−δT +Kh(T ) ln K −δ− −Kh(T )T T ||x(T )|| ≤ ||x ||e Do â ||x(T )|| ≤ ||x0 ||e−δ0 T , (2.9) F (T ) > Tẵnh án (2.9), vợi méi k ∈ Z+ , b§t T ¯ng thùc (2.8) ta °t t = kT, t0 = (k − 1)T , bơng quy nÔp thĐy rơng õ = vợi mội số nguyản dữỡng k Z+ , ||x(T )|| ≤ ||x0 ||eδ0 kT (2.10) B¥y giớ ta s hon thnh chựng minh nhữ sau Vợi bĐt kẳ t > tỗn tÔi k Z+ v τ ∈ [0, T ) cho t = kT + LĐy t0 = kT, v ỵ r¬ng t − t0 = t − kT = τ , kát hủp vợi (2.8) v (2.10) ta ữủc 30 ||x(t)|| ≤ ||x(kT )||eln K−δτ +Kh(τ ) , ||x(t)|| ≤ K||x0 ||e−δτ eKh(τ ) e−δ0 kT Thay kT = t − τ ta ÷đc ||x(t)|| ≤ K||x0 ||e−δ0 t eKh(τ ) eτ (δ0 −δ) Khi τ < T v ln K K − h(T ) < 0, T T Ta cõ th tẳm ữủc K1 > cho δ0 − δ = − ||x(t)|| ≤ K1 ||x0 ||e0 t , t nh lỵ hon ton ữủc chựng minh Nhên xt 2.2.4 Tứ Ưu chựng minh, lữu ỵ rơng náu hm g(t) b chn ln K no õ thẳ nõ thọa mÂn vợi bĐt kẳ T ≥ Hìn núa, thay K δ − Kc ln K δ , ta câ thº thay thá bi iÃu vẳ iÃu kiằn g(t) b chn δ 2K ki»n ln K ln K h < δ K bði c < Ta s³ xt sỹ ờn nh tiằm cên cừa hằ phi tuyán x(t) ˙ = A(t)x(t) + f (t, x(t)), t ≥ 0, (2.11) â A(t) ∈ Rn×n , f : R+ ì Rn Rn l hm liản tửc, bơng cĂch tiáp cên tứ phữỡng trẳnh sai phƠn x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k, x(k)), k ∈ Z+ (2.12) Xt hằ theo thới gian rới rÔc (2.12) õ A(k) ∈ Rn×n , g(k, x) : Z+ × Rn → Rn l mët h m phi tuy¸n v g(k, 0) = 0, k ∈ Z+ Vỵi méi 31 x0 ∈ Rn , nghi»m x(k) cõa (2.12) bt ¦u tø x(0) = x0 ÷đc x¡c ành bði x(k) = G(k, 0)x0 + k−1 X (2.13) G(k, i + 1)g(i, x(i)), i=0 â G(k, 0) = k−1 Y A(i), k = 1, 2, i=0 G(k, k) = E − toĂn tỷ ỗng nhĐt, G(k, i) = k1 Y A(j), k > i j=i nh lỵ 2.2.5 GiÊ sỷ rơng: i) Tỗn tÔi K > 0, > cho: ||G(k, i)|| ≤ Ke−δ(k−i) , k = 1, 2, , i = 0, 1, 2, , k > i ii) Vỵi m > 0, a(k) : Z+ → R+ cho: ||g(k, x)|| ≤ a(k)||x||m , k = 0, 1, 2, iii) N¸u < m < : − e−δ a(k) < K (2.14) K −e−δ (2.15) a(k)e−δk(m−1) < +∞ (2.16) δk(1−m) lim sup e k→∞ N¸u m = : lim sup a(k) < k→∞ N¸u m > : ∞ X k=0 Khi â h» (2.12) ên ành ti»m cªn Chùng minh Vợi bĐt kẳ nghiằm x(k) bưt Ưu tứ x0 Ãu cõ dÔng (2.13) 32 Do õ tứ i) v ii) ta câ δk ||x(k)|| ≤ Ke ||x0 || + k1 X Ke(ki1) a(i)||x(i)||m i=0 NhƠn cÊ hai vá vỵi e−δk v °t z(k) = e−δk ||x(k)||, b(k) = Ke−δ[1+(1−m)k] a(k), ta ÷đc x(k) ≤ K||x0 || + k−1 X b(i)z(i)m (2.17) i=0 a) Tr÷íng hđp < m < : p dưng b§t ¯ng thùc Gronwall, Bê · (1.5.2), cho tr÷íng hđp < m < ta ÷đc k−1 Y z(k) ≤ (C + 1) [1 + b(i)], k = 1, 2, i=0 â C = K||x0 || Do â −δk ||x(k)|| ≤ (C + 1)e k−1 Y {1 + Keδ[1+(1−m)i] a(i)}, i=0 tùc l ||x(k)|| ≤ (K||x0 || + 1) k−1 Y {1 + Keδ[1+(1−m)i] a(i)} i=0 Tø i·u ki»n (2.14) ta cõ th tẳm ữủc số p > cho lim sup Keδk(1−m) a(k) ≤ p < − e−delta Do vªy s³ câ N ∈ Z+ cho vỵi måi k ≥ N, ta câ Kek(1−m) a(k) + e−delta < p + e−δ = q < tø â suy ||x(k)|| ≤ (K||x0 || + 1)q k Khi q < th¼ limk → ∞||x(k)|| = ∀k ≥ N 33 b) Tr÷íng hđp m = : Vỵi m = ta câ (2.17), p dưng b§t ¯ng thùc Gronwall, Bê · (1.5.2), cho tr÷íng hđp m = ta ÷đc z(k) ≤ C k−1 Y [1 + b(i)], k = 1, 2, i=0 Do â −δk ||x(k)|| ≤ K||x0 ||e k−1 Y {1 + Keδ a(i)}, i=0 tùc l ||x(k)|| ≤ K||x0 || k−1 Y [e−δ + Ka(i)] i=0 p döng gi£ thiát (2.15) ta tẳm ữủc mởt số p > cho lim sup Ka(k) ≤ p < − e Do vêy tỗn tÔi N Z+ cho vỵi måi k ≥ N ta câ Ka(k) + e−δ < p + e−δ = q < Suy ||x(k)|| ≤ K||x0 ||q k , tùc l h»  cho ờn nh tiằm cên c) Trữớng hủp m > : Vợi m > ta cõ bĐt ¯ng thùc (2.17) x(k) ≤ K||x0 || + k−1 X b(i)z(i)m i=0 Gi£ sû r > l mët số bĐt kẳ khoÊng (0, 1) p dửng bĐt ¯ng thùc Gronwall cho m > 1, Bê · (1.5.3), ta ÷đc " z(k) ≤ C − (m − 1)C m−1 k−1 X i=1 # b(i) 1−m 34 â C = K||x0 ||, b(i) = Ke−δ[1+i(1−m)] a(k), n¸u ch¿ câ mët − (m − 1)C m−1 k1 X (2.18) b(i) > i=0 ỵ thĐy rơng náu (2.18) cố nh vợi mồi x0 thẳ ||x0 || ≤ â γ := k−1 P r (m − 1)K m−1 γ m − := R b(i), vẳ (2.16) hỳu hÔn Thêt vêy, ta câ i=0 (m − 1)K m−1 m−1 ||x0 || k−1 X b(i) ≤ (m − 1)K m−1 γ||x0 ||m−1 ≤ r i=0 â − (m − 1)K m−1 m−1 ||x0 || k−1 X b(i) ≥ −r > i=0 Suy ra, vỵi måi x0 m ||x0 || ≤ R ta câ ||x(k)|| ≤ K1 e−δk ||x0 ||, õ K1 = K 1r Vẳ vêy vợi bĐt kẳ > 0, ta chồn ữủc số δ0 < R, K1 cho vỵi ||x0 || < δ0 v k ≥ N th¼ ||x(k)|| < ε v N Z+ nh lỵ hon ton ữủc chùng minh Nhªn x²t 2.2.6 Tø i·u ki»n (2.14) ta thĐy rơng e < tực l hằ rới rÔc theo thíi gian x(k + 1) = A(k)x(k) ên ành ti»m cªn i·u ki»n õ 35 cho (2.14) l ∞ X ek(1−m) a(k) < +∞ k=0 Nhªn x²t 2.2.7 Mët nhúng i·u ki»n õ cho gi£ sû i) ( ành lỵ (2.2.5)) l (A(k)) Dỹa vo nhỳng iÃu kiằn  biát và sỹ ờn nh cừa hằ rới rÔc ta xt sỹ ờn nh cừa hằ (2.11) theo cĂch sau: Ta  biát rơng nghiằm x(t) cừa (2.11) bưt Ưu tứ x0 tợi ữủc xĂc nh bi Zt x(t) = Φ(t, 0)x0 + Φ(t, s)f (s, x(s))ds, â Φ(t, s) l ma trªn nghi»m cì bÊn cừa hằ tuyán tẵnh (2.4) GiÊ sỷ k Z+ Vỵi méi t ∈ [k, k + 1] nghiằm x(t) kát hủp vợi hm xk (t), t [k, k + 1] n o â °t A(k) := Φ(k + 1, k), Zk+1 g(k, x(k)) := Φ(k + 1, k + s)f (k + s, x(k + s))ds, k õ hằ (2.11) ữủc quy và hằ rới rÔc theo thới gian khổng gian Banach C[0,1] dữợi dÔng x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k, x(k)), k ∈ Z+ , (2.19) õ x(k) C[0,1] vợi chuân ||x(k)|| = max ||x(k + 1)|| t[0,1] Ta thĐy rơng nghiằm cừa hằ rới rÔc theo thới gian (2.19) bưt ¦u tø x(0) = x0 l nghi»m cõa h» (2.11) bưt Ưu tứ x0 tợi v ngữủc lÔi ng dửng nh lỵ (2.2.5) ta cõ tiảu chuân và sỹ ờn nh cừa hằ khổng ổtổnổm (2.11) 36 nh lỵ 2.2.8 GiÊ sỷ rơng i) Tỗn tÔi K > 0, δ > cho ||Φ(t, s)|| ≤ Ke−δs , ∀t, s ≥ ii) ||f (t, x)|| ≤ a(t)||x||m , t ≥ 0, â N¸u < m < : lim sup R1 eδ(k+s)(1−m) a(k + s)ds < k→∞ N¸u m = : lim sup R1 k→∞ N¸u m > : ∞ R P k=0 − e−δ a(k + s)ds < , K e−δ(k+s)(m−1) a(k + s)ds < +∞, Khi â h» (2.11) ên ành ti»m cªn − e−δ , K 37 Kát luên Nhỳng vĐn à chẵnh ữủc trẳnh by luên vôn l: ã Trẳnh by mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn nhữ nghiằm cừa hằ, sỹ ờn nh theo Lyapunov, v mởt số kát quÊ tiảu biu cừa hằ, ỗng thới trẳnh by mởt số kián thực v· x²t sü ên ành cõa h» theo Lyapunov • PhƯn trồng tƠm cừa luên vôn trẳnh by iÃu kiằn ờn nh cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh theo thới gian, hằ phi tuyán theo thới gian liản tửc, hằ phi tuyán vợi thới gian rới rÔc, hằ ỉtỉnỉm, khỉng ỉtỉnỉm v c¡c v½ dư minh håa 38 T i li»u tham kh£o T i li»u Ti¸ng Vi»t [1] Nguyạn Thá Hon, PhÔm Phu (2003), Cỡ s phữỡng trẳnh vi phƠn v lỵ thuyát ờn nh, NXB GiĂo dửc [2] Vụ Ngồc PhĂt, (2001), Nhêp mổn lỵ thuyát iÃu khin toĂn hồc, NXB Ôi Hồc Quốc Gia Ti liằu Ti¸ng Anh [3] Vơ Ngåc Ph¡t (1999) On the stability of time - varing differential equation, Optimization, 45:1, 237 - 254 [4] Bellman, B (1953) Stability Theory of Differential Equations MacGraw - Hill, New York [5] Demidovich, V B (1969) On the stability criterion of difference equation Diff Equations, USSR, Vol 5, No (in Russian)
Ngày đăng: 11/10/2023, 20:10
Xem thêm: