ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - HOÀNG THANH NGA BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Mét sè ký hiÖu Lời nói đầu Cơ sở toán học 1.1 Bài toán ổn định ổn định hóa 1.1.1 Bài toán ổn định 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.1.3 Bài toán ổn định hóa Bµi toán ổn định ổn định hóa hệ có trễ 1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 1.2.2 Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều 1.2 khiĨn cã trƠ 10 1.3 Bài toán điều khiển tối ưu 1.3.1 1.3.2 1.4 Một số toán tối ưu đặc biệt 11 12 Bài toán tối ưu toàn ph¬ng tuyÕn tÝnh 13 Một số bổ đề bổ trợ 14 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu 15 2.1 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính 15 2.2 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiĨn tèi u hƯ tun tÝnh cã trƠ 18 Bµi toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính có độ trễ không khả vi 3.1 Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính có độ trễ không khả vi 3.2 24 24 VÝ dô 36 Tài liệu tham khảo 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mét sè ký hiÖu • R = (−∞; +∞) : tËp c¸c sè thùc • R+ = [0; +∞) : tËp c¸c sè thùc không âm ã Rnìr : không gian ma trận n ì r chiều ã Rn : không gian véctơ tun tÝnh thùc n chiỊu víi ký hiƯu tÝch v« hướng < , > chuẩn véc tơ || || ã C([a; b], Rn ) : tập tất hàm liên tục [a; b] nhận giá trị Rn ã L2 ([a, b], Rm ): tập tất hàm khả tích bậc hai [a, b] lấy giá m trị R ã AT : ma trận chuyển vị A; ma trận A gọi ma trận ®èi xøng T nÕu A = A • I : ma trận đơn vị ã (A): tập giá trị riêng A ã max (A) = max{Re : λ ∈ λ(A)} • λmin (A) = min{Reλ : λ (A)} ã A > 0: ma trận A xác định dương ã A 0: ma trận A xác định không âm S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Lý thuyết điều khiển tối ưu đời vào cuối năm 50 kỉ hai mươi Trải qua trình phát triển mạnh mẽ đà thu nhiều thành tựu rực rỡ Ngày nay, toán điều khiển tối ưu có tầm quan trọng đặc biệt, thu hút quan tâm đông đảo nhà khoa häc Lý thut ®iỊu khiĨn tèi u ®· trë thành lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán häc, cã nhiỊu øng dơng to lín ®êi sèng kinh tế, khoa học kĩ thuật Phát triển từ toán tối ưu hóa cổ điển, toán điều khiển tối ưu toán tìm trình tối ưu cho hệ điều khiển mô tả phương trình toán học Trên thực tế hệ thống điều khiển thường bị tác động nhiều điều kiện phát sinh từ đặc tính vật lí đối tượng yêu cầu thiết kế đặt Vì vậy, việc nghiên cứu hệ thống điều khiển tối ưu nhiệm vụ quan trọng lý thuyết điều khiển toán học Mục đích luận văn nghiên cứu toán điều khiển giá trị tối ưu cho hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân có trễ Luận văn bao gồm chương: Chương 1: Cơ sở toán học Trong chương này, trước hết trình bày số kiến thức sở hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ, toán ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ, số bổ đề dùng để chứng minh kết chương sau Chương 2: Bài toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu Chương này, trình bày số kết sở giải toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu Phần đầu chương trình bày toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính với hàm mục tiêu toàn phương Phần trình bày toán đảm bảo giá trị điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính có trễ Phần cuối chương mở rộng kết định lí cho hệ có trễ biến thiên Chương 3: Bài toán đảm bảo giá trị điều khiĨn tèi u cho hƯ tun tÝnh cã ®é trƠ không khả vi Mục đích chương việc tìm lời giải cho toán đảm bảo giá trị ®iỊu khiĨn cho hƯ tun tÝnh cã ®é trƠ kh«ng kh¶ vi Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong chương này, đưa ví dụ minh họa cho kết chứng minh Tôi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy đà tận tình bảo suốt thời gian làm luận văn Tôi biết ơn Trường ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán, Khoa Sau đại học đà giúp đỡ tạo điều kiện cho trình học tập trường Tôi xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đà cổ vũ động, viên trình làm luận văn Mặc dù đà cố gắng nhiều thời gian trình độ hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót sai lầm Tôi mong nhận bảo đóng góp thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Cơ sở toán học Trong chương này, trình bày số khái niệm tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ số bổ đề bổ trợ cho chứng minh định lý 1.1 1.1.1 Bài toán ổn định ổn định hóa Bài toán ổn định Xét hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân: ( x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ t0 x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, ®ã x(t) Rn véc tơ trạng thái hệ, (1.1) f (t, x) : R+ ì Rn Rn f (t, x) hàm thỏa mÃn điều kiện cho nghiệm toán Cauchy hệ (1.1) với ®iỊu kiƯn ban ®Çu x(t0 ) = x0 , t0 hàm véc tơ cho trước Giả thiết có nghiệm Khi dạng tích phân nghiệm cho bëi c«ng thøc Z t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 x(t) cđa hƯ (1.1) gäi lµ ổn định với số > 0, t0 ≥ sÏ tån t¹i sè δ > ( phơ thc vµo ε, t0 ) cho bÊt kú nghiƯm y(t), y(t0 )) = y0 cđa hƯ tháa m·n k y0 x0 k< nghiệm bất Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm đẳng thức k y(t) x(t) k< ε, ∀t ≥ t0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định nghiệm khác hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu suốt thời gian x(t) đủ gần t t0 Định nghĩa 1.1.2 x(t) hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận > cho víi k y0 − x0 k< δ th× Nghiệm ổn định có số lim k y(t) − x(t) k = t→∞ x(t) NghÜa lµ, nghiệm ổn định tiệm cận ổn định nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 tiến tới gần x(t) t tiến tới vô Nhận xét phép biến đổi trình (x y) 7→ z, (t − t0 ) 7→ τ hƯ ph¬ng (1.1) đưa dạng z = F (, z) (1.2) F (, 0) = 0, ổn định nghiệm x(t) hệ (1.1) đưa nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ (1.2) Để ngắn gọn, từ ta nói hệ (1.2) ổn định thay vào nói nghiệm hệ ổn định Do đó, từ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, + tức , f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R Ta nói : (1.1) ổn định với bÊt k× > 0, t0 ∈ R+ sÏ tån số > ( phụ thuộc vào , t0 ) cho bÊt k× nghiƯm x(t) : x(t0 ) = x0 tháa m·n k x0 k< δ th× k x(t) k< víi mäi t ≥ t0 Hệ (1.1) ổn định tiệm cận hệ ổn định có số > cho k x0 k< δ th× lim k x(t) k = Hệ t Nếu số >0 định nghĩa không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu t0 , tính ổn định ( hay ổn định tiệm cận) gọi ổn định (hay ổn định tiệm cận đều) Định nghĩa 1.1.3 Hệ (1.1) cho nghiệm hệ ổn định mũ tồn số (1.1) với x(t0 ) = x0 M >0δ>0 tháa m·n k x(t) k≤ M e−δ(t−t0 ) k x0 k, ∀t ≥ t0 lµ nghiƯm cđa hệ ổn định tiệm cận mà nghiệm cđa nã tiÕn tíi nhanh víi tèc ®é theo hµm sè mị Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov Trước tiên ta xét hệ phương trình phi tuyÕn dõng x˙ = f (x), f (0) = 0, t R+ Nhắc lại hàm (i) (ii) (1.3) V (x) : Rn R xác định d¬ng nÕu V (x) ≥ víi mäi x ∈ Rn V (x) = vµ chØ x = Hàm Định nghĩa 1.1.4 V (x) : Rn → R+ gäi lµ hµm Lyapunov cđa hƯ (1.3) (i) (ii) (iii) V (x) hàm khả vi liên tục Rn V (x) hàm xác định dương Df V (x) := V x f (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn Hµm V(x) gäi lµ hàm Lyapunov chặt hàm Lyapunov thêm vào đó, bất đẳng thức điều kiện iii) thực âm, với x nằm lân cận đó, xác hơn: (iv) c > : Df V (x) ≤ −c k x k< 0, x Rn \{0} Định lí cho điều kiện đủ để hệ (1.3) ổn định tiệm cận với tồn hàm Lyapunov Định lý 1.1.5 Nếu hệ (1.3) có hàm Lyapunov ổn định Hơn nữa, hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hàm hai biến với hệ phương trình vi ph©n sau: x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.4) f (t, x) : R+ × Rn → Rn lµ hµm phi tun cho tríc f (t, 0) = + víi mäi t ∈ R Ta giả thiết điều kiện f(.) cho hƯ (1.4) cã nghiƯm x(t) víi x(t0 ) = x0 , t0 Đối với hệ phi tuyến không dừng tổng quát (1.4) hàm Lyapunov định nghĩa tương tự cho hàm hai biến V(t, x) Kí hiệu K tập hàm liên + + tục tăng chỈt a(.) : R → R a(0) = + n + Hàm V (t, x) : R ì R → R gäi lµ hµm Lyapunov nÕu tháa m·n: ®ã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i, ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(k x k) ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ii, Df V (t, x) = ∂V ∂V + f (t, x) ≤ ∀(t, x) ∈ R+ ì Rn t x Trường hợp V(t,x) hàm Lyapunov thỏa mÃn thêm điều kiện: iii, b(.) K : V (t, x) ≤ b(k x k) ∀(t, x) ∈ R+ × Rn iv, ∃γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ(k x k) ∀x ∈ R+ x Rn \{0} ta gọi hàm Lyapunov chặt Định lý 1.1.6 Nếu hệ phi tuyến không dừng (1.4) có hàm Lyapunov hệ ổn định Nếu hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Định lý 1.1.7 Giả sử tồn hàm V (t, x) : R+ × Rn → R tháa m·n: (i) ∃λ1 , λ2 > : λ1 k x(t) k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ λ2 k x(t) k2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn (ii) ∃α > : V˙ (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) víi mäi q nghiƯm x(t) cđa hƯ(1.1) th× hƯ (1.1) ổn định mũ với , N = số ổn định Lyapunov 1.1.3 Bài toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển mô tả hệ phương trình vi phân ( x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm (1.5) u(.) ∈ L2 ([0, t], Rm )t điều khiển chấp nhận (1.5) gọi ổn định hóa tồn hàm u(t) = h(x(t)) : R Rm cho với hàm điều khiển hệ phương trình Định nghÜa 1.1.8 HƯ n vi ph©n x(t) ˙ = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ổn định tiệm cận Hàm u = h(x) thường gọi hàm điều khiển ngược Trường hợp hệ (1.5) hệ tuyến tính x = Ax + Bu hệ ổn định hóa tồn ma trËn (1.6) K cho ma trËn (A + BK) ổn định Hay hệ tuyến tính x = Ax + Bu ổn định hóa tồn ma trËn K cho hÖ ˙ = (A + BK) x(t) ổn định Như vậy, mục đích toán ổn định hóa tìm hàm điều khiển ngược h(.) ma trận K Hệ điều khiển n tồn hàm g(x) : R Định lý 1.1.9 cho hệ ổn định theo nghĩa Lyapunov (1.5) gọi ổn định hóa dạng Rm cho hệ phương trình vi phân mũ x(t) ˙ = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ lµ ổn định mũ 1.2 1.2.1 Bài toán ổn định ổn định hóa hệ có trễ Bài toán ổn định hệ có trễ (1.1) mô tả mối x(t) vận tốc thay Chúng ta nhận thấy hệ phương trình vi phân thường quan hệ biến thời gian đổi trạng thái t, trạng thái hệ thống x(t) thời điểm t Song thực tế, trình xảy tự nhiên thường có liên quan đến khứ, nhiều mang tính di truyền Vì vậy, mô tả trình này, chúng biểu diễn lớp phương trình vi phân có trễ Giả sử hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ trễ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (0 ≤ h ≤ +∞), http://www.lrc-tnu.edu.vn víi 26 T H1 = h1med M h1med M h1med M h1med M , T H2 = h2med Z h2med Z h2med Z h2med Z , T H3 = δ1 N AT1 δ1 N AT1 δ1 N AT1 δ1 N AT1 , T H4 = δ2 Y T B1T δ2 Y T B1T δ2 Y T B1T δ2 Y T B1T , T H5 = k1 N AT2 k1 N AT2 k1 N AT2 k1 N AT2 , T H6 = k2 Y T B2T k2 Y T B2T k2 Y T B2T k2 Y T B2T , T H7 = QN 0 , T H8 = RY 0 , Ξ11 Ξ12 Ξ13 Ξ14 ∗ Ξ22 Ξ23 Ξ24 , Ξ= ∗ ∗ Ξ33 Ξ34 ∗ ∗ ∗ Ξ44 Ξ11 = 2αP + Q1 + Q2 + k1 T1 + k2 T2 + M T + M + Z T + Z + A0 N + N AT0 + B0 Y + Y T B0T Ξ12 = M + Z − M T + N AT0 + A1 N + Y T B0T , Ξ13 = M + Z − Z T + B1 Y + N AT0 + Y T B0T , Ξ14 = P + M + Z + N AT0 + Y T B0T − N, Ξ22 = −e−2αh1med Q1 − M T − M + A1 N + N AT1 , Ξ23 = −M − Z T + N AT1 + B1 Y, Ξ24 = −M + N AT1 − N, Ξ33 = −e−2αh2med Q2 − Z T − Z + B1 Y + Y T B1T , Ξ34 = −Z + Y T B1T − N, Ξ44 = h1med R1 + h2med R2 + 2δ1 S1 + 2δ2 S2 − 2N, Ξ55 = −h1med e−2αh1med R1 , Ξ66 = −h2med e−2αh2med R2 , Ξ77 = −δ1 e−2α(h1med +δ1 ) S1 , Ξ88 = −δ2 e−2α(h2med +δ1 ) S2 , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 (3.1) với hàm mục tiêu (3.3) với > 0, Q > vµ R > NÕu tồn ma trận đối xứng xác định dương N, P, Q1 , Q2 , R1 , R2 , S1 , S2 , T1 , T2 vµ ma trËn Y, M, Z cho bất đẳng thức ma trận sau thỏa Định lý 3.1.4 Xét hệ mÃn Ξ H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 ∗ Ξ 0 0 0 55 ∗ ∗ Ξ 0 0 0 66 ∗ ∗ ∗ Ξ77 0 0 ∗ ∗ Ξ88 0 0