PGS.TS NGUYỄN NHẬT LỆ
CÁC BÀI TỐN Cơ BẢN
CỦA
TỐI ƯU HĨA VÀ ĐIÊU KHIỂN TƠÌ ưu
NHÀ XUẤT BÁN KH O A H Ọ C VÀ KỶ THUẬT
Trang 4MỤC LỤC
T rang
LỜI NÓI Đ Ẩ U 3
MỤC LỤC .5
CẮC KÝ HIỆU VÀ ĐƠN VỊ ANH 8
Ch ương I KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN TỐI ư u HOÁ1 Bài tốn tơi ưu hóa tổng q u á t 9
2 Phân loại các bài toán tối UXI cơ b ả n 9
C hương 2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH1 Một số thí dụ về bài tốn quy hoạch tuyến tính ( Q H T T ) 17
2 Phát biểu bài toán Q H I T 19
3 Phương pháp đồ t h ị 22
4 Bài toán đối ngẫu và định lý cơ bản của Q H T Ĩ 25
5 Cơ sở cứa phươnơ pháp đơn h ì n h 26
6 Thuật tốn đơn hình giải bài tốn Q H T l’ tổng q u á t 38
C hương 3 QUY HOẠCH LỚI1 Các khái n i ệ m 47
2 Bài toán quy hoạch lồi tổng q u á t 51
3 Cực tiểu hàm lồi m ột biến 53
4 Quy hoạch lồi với rànơ buộc tuyến tín h 55
5 Quy hoạch lồi với ràno buộc phi tuyến 59
6 Khái niệm vể qui hoạch l õ m 64
7 Khái niệm về quy hoạch toàn phương 64
Trang 5CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VẢ ĐIỂU KHIỂN TỐI ưu
Chương 4 QUY HOACH FHI TUVẾN KHỔNG BI RÀN(Ỉ BL'ỎC
1 M ở đầu về quy hoạch phi tuyến {Q}1P1') 71
2 Điều kiện tối ưu của Q H P r không bị ràng b u ộ c .72
3 Các phươno pháp d ù n s đạo h à m 77
4 Các phương pháp không dùng đạo hàm 83
C hương 5 QUY HOẠCH PHI TUYÊN BỊ RÀNG BUỘC1 M ở đ ầ u 99
2 Phươno pháp Gradient 105
3 Phương pháp hàm p h ạ t .109
4 Phươns pháp sai lệch linh h o ạ t .1IVCh ương 6 P H Â N T Í C H VẢ H ổ l Q U Y s ố LIỆ U1 Phân tích số l i ệ u 125
2 Phân tích hồi q u y 130
Ch ương 7 KHẢI NIỆM VỂ c ự c TRỊ PHIẾM HÀM1 Cực tiếu phiếm hàm không bị ràng b u ộ c 143
2 Cực tiểu phiếm hàm bị ràn° buộc 148
Chương 8 ĐIỂU KHIỂN T ố l ƯIJ (ĐK ru)1 Một số thí dụ m ở đ ầ u 1 í 32 Bài toán Đ K T Ư tổng q u á t .159
3 Phân tích hệ điều k h i ể n 165
4 Giải bài tOcín Đ K T Ư th eo phương pháp biến p h â n 175
5 Giải bài toán Đ K T Ư theo nguyên lý cực đại Pontryagin 185
Chương 9 MỘT s ố BÀI TOÁN T ố N G HỢP TỐI Lll CÚA HÊ ĐlỂU KHIỂN1 Bài toán tối ưu về thời « i a n 207
2 Đ K T Ư h ệ tuyến tính, tiêu chuẩn tối ưu có dạng lồn p h ư ơ n g 220
Trang 6Chưưng 10 M Ồ Ĩ s ố BÀI TOÁN I HIỂT KẾ T ố l ư u TRONG c ơ HỌC
1 Quy hoạch phi t u y ế n 2452 'íoi ưu hóa tham s ố 259
Phụ lục A : Giải bài toán Tối ưii hóa và Điều khiển tối ưu bằng phần mém M A T L A B
1 Giới thiệu tổno quát về M A T L A B 2672 Một số thí dụ giải bằng M A T L A B 268
Phụ lục B: Giải bài tốn Tịi ưu hóa và Điều khiển tối ưu bằng phần m ém M A P L E
1 Giới thiệu tổng quát về M A P L E 2972 M ột số thí dụ ơiải bằng M A P L E 298
TẢI LIÊU THAM K H Ả O 33 ỉ
Trang 7CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu❖ CÁC KÝ HIỆU :A - Ma trận A- Ma trận A chuvển vị X = [ X|, ,XJ^ - V e c t ơ c ộ t xX = ( ) - Các thành phần giá trị của XX,, - Véctơ xác định vị trí đ iểm 0 trons khôn^ gianx"‘’ - Véctơ X ở bước lặp k
< a ,b > = a^b -Tích vô hướng của 2 véctơ cột a và b Vf(x) - Véctơ gradient của hàm f
Thí dụ : Vf(x''") = (2; 8)
= ( l ; l ) - ( l ; 4 ) = (0;-3)
<Vf(x<‘’'),( ) > =< (2; 8),(0; -3)> = -24
Các cơng thức, hình vẽ, thí dụ được dùng với ba chữ số lần lượt là; chương, m ục, số thứ tự.
Chẳng hạn, cơng thức (3.4.8), hình 8.5.2 , thí dụ 4.5.3
Các thí dụ khơng đánh số là các thí dụ minh họa trong m ột mục.
❖ MỘT SỐ ĐƠN VỊ Cơ HỌC CỦA HỆ THỐNG ANH
Đ ộ dài: 1 inch (in) = 0,0254 m
1 foot (ft) = 12 in = 0,3048 m
Khối lượng: 1 pound mass (Ibm) = 0,45359 kg 1 slug (lbf.sVft) = 14,594 kg
1 ton = 2000 lbm = 907,18 kg
Lực: 1 pound force (IbO = slug.ft/s“ = 4,4482 N1 kip =1000 lbf = 4 ,4 4 8 2 1 0 ' N = 4,4482 kN 1 ounce force = 0,27801 N
Trang 8ChươNq I
KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN Tốl ■ ưu HOÁ
1 BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ TỔNG QUÁT1.1 Phát biểu
Tim trạng thái tối ưu của một hệ thông bị ràng buộc sao cho đạt được mục tiêu m ong m uốn về chất lượng theo một nghĩa nào đó.
1.2 Ba yêu tố của một bài toán tối ưu hoá
* Trạng thái : Mô phỏng một hệ thốna kỹ thuật, kinh tế, bởi những quan hệ số liệu, hàm số hoặc những phương trình chứa m ột số biến.
* Mục tiêu ; Đặc trưn? cho tiêu chuẩn hoặc hiệu quả m ong m uốn (Chi phí ít nhất, lợi nhuận nhiều nhất, trọng lượng nhỏ nhất, công suất lớn nhất, thời oian ngắn nhất, sai số nhỏ
nhất, )-* Ràng buộc : Thể hiện các điều kiện kỹ thuật, kinh tế, m à hệ thống phải Ihoả mãn.
N hư vậy, bài toán tối ưu hoá ứng dụng được áp dụng cho các ngành kỹ thuật và kinh t ế Các yếu tố cúa bài toán được đặt ra luỳ thuộc vào người sứ dụng.
2 PHÀN LOẠI C Á C BÀI TOÁN Tốl ưu cơ BẢN2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính
Hệ thốno ở trạng thái tĩnh (khôno phụ thuộc thời gian) có các biến trạng thái là:
x = [ x , , x , x j ' (1)
M ục tiêu được diễn đạt bởi hàm mục tiêu có dạng tuyến tính:
Trang 910CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂN TỐI ưu
Các ràng buộc (giới hạn) được diẻn đạl bởi nhiìna phươns trình, hất phươno trình tuyến tính:
A.x = b; y\.x < b (3)
A = [a ,J ; i = 1 m; j = 1.n: b = [ b | b , b j '
Bài toán; Tim trạng thái tối ưu X* = [ x ’ ,x* ]' của trạna thái (1) vớicác ràng buộc (3) sao cho hàm mục tiêu (2) đạt giá trị nhỏ nhất (min) hoặc siátrị lớn nhất ( m a x ) T h í dụ 1.2.1Hàm mục tiêu có dạng ; f = 50x, + 2 0 X3 + 2 8 x , max Các ràno buòc;o égj = 3X| + 5 X2 - 4 x , < 200 g , = 8X| + x , + l,3 x , < 180 g , = 5X| + 8 x , + 2 , 5 x , < 2 0 0 g , = X, < 50 X, > 0 ; i = l , 2 , 3
Hãy tìm trạng ihái tối UII X* = [ x ỉ , x 3, x j ] ' và siá trị tươna ứng của mục tiêu trong các trường h(ifp:
a) Nghiệm có giá trị khơng âm.
b) Nghiệm có giá trị níỊun khơng âm.
c) Nghiệm có giá trị 1 hoặc 0.
Sau khi giải bài tốn quy hoạch tuyến tính (xcm phụ lục) ta nhận dirợc cácíĩiá trị tối lai:
a) x; = 14,32; x; = 0 4 2 ; x; = 50; r = 2 1 2 4 ,5 7
b ) x | = 1 4 ; x ’, = 0 ; x ! = 5 0 ; f* = 2 1 0 0
c ) x ; = l ; x ; = l;x : = l ; f = 9 8
2.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến
Trang 10Chươnịỉ I. KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN T ố l ưu HOÁ 1 I
g j ( x ) < 0 ; J = 1,2 mh , ( x ) = 0 ; k = 1.2 p
Một số bài toán riêns CLU) quy hoạch phi tuyên là: quy hoach lối, quy hoạch lõm, quy hoạch tồn phưtrng.
Thí dụ 1.2.2
ỉ ỉ à m m ụ c t iêu c ó dạnsỉ: f = 1 0 0 ( \ , - X, )■ + (1 - X | )" - > m i n
Các ràng buộc;
g, = x ; ^ + x ; <1 g , = 3x, + 5 x , < 10
Mày tìm trạng thái tối ưu x ' = và giá trị tương ứng của mục tiêu.Sau khi "iái bài toán quv hoạch phi tuyến (xem phụ lục), ta nhận được các ^iá tri tối ưu:
cr •
x | = 0 ,7 8 64 15 ; xỊ = 0 ,6 1 7 6 9 8 ; f ' = 0 ,0 4 5 6 7
2.3 Bài toán phân tích và hồi quy số liệu
Xác định biểu thức giủi tích của hàm mục tiẻu từ các số liệu thực nghiệm hoặc quan sál sao cho tổníỉ độ lệch bình phương từ các số liệu và các giá trị giải tích là nhỏ nhất.
Thi dụ 1.2.3
t 012 345 6 7 8 9 1 01 1
y(t) 0 1,85-1 ,6 71,32-1,261.14-1 , 0 0 0,82-0 ,5 50 ,3 4-0 ,0 5 0 , 0 2Tim biếu thức aiải tích cua y(t) dưới dạng:
v (t) = Ae sin(o)t)
Sau khi oiái bài toán quv hoạch thực níihiệm (xcm [1 3 ]), ta tìm được:A = 17,469!: b = 0 ,4 4 7 5 ; (0 = 4 0 ,7 1 5 8
Thí dụ 1.2.4
Trang 1112 CÁC BÀI TOÁN cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưuSỐ lẩn thực n g h iệ m V ( \ | ,xỌ10 0 -25201 -163 0 2 -94 0 3-45 ; 1 1 36121 07 1 315822 27
Sau khi giải bài toán, ta nhận được quan hệ gần đúng: >’ = - 2 3 , 4 7 + 1 8 ,8 2 r ,+ 6 ,7 6 t,
2.4 Bài toán cực trị phiếm hàm
Hệ thống ở trạng thái tĩnh (không phụ thuộc thời gian) hoặc trạno thái động (phụ thuộc thời gian) Biến trạng thái là y(x) với X là biến độc lập M ục tiêu được diễn đạt bởi phiếm hàm mục tiêu:
J ( y ) = F ( y , y ' , x ) d x m i n (max)
với : y = [y,(x), y2(x) y „ ( x ) f ;
y' = [ y ',( x ) ,y U x ) , ,y '„ ( x ) ] ' ; y ;( x ) = d y , / d x
Ràng buộc có thể là các hàm phi tuyến, các phương trình đại số hoặc các phương trình vi phân.
T h í dụ 1.2.5
Khi cho đường cong y(x) quay xung quanh trục X ta nhận được m ột mặt tròn xoay Xác định y(x) sao cho diện tích của hình là nhỏ nhất.
Diện tích của hình là:
J(y ) = 27i y [ l + ( y ' ) ' ] ' ‘ dx
Trang 12C h ươ ng I. KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN T ố l ưu HOÁ13
S a u k h i g iả i b à i t o á n , ta t ì m được:
y ( x ) = a co sh (^-4 -b ) a
trong đó: a và b là các hằrm số được xác định từ điểm đầu và điểm cuối của đưừnơ cong y(x).
Thí dụ 1.2.6
Tiền lãi thu được do bán một loại sán phẩm trong một thời gian là:11- 1
1-J(y) = J , - J , - í c , ( y „ - y ) d tJ l + a y
tron,iĩ dó:
J, và J - tiền bán sản phám và chi phí bảo quản, y,, - số lượng sản phẩm cần bán hết trong thời gian t| ,
V- s ố l ượ n g s ản p h ẩ m bán ra íại thời đ i ể m t,
dy
ỳ = — - tốc độ bán sán phàm, dí
Cị - đơn giá bảo quản một dơn vị sản phẩm.
(X C| - cấc hệ số.
tlãy xác định phương ihức bán hàn« y(t) sao cho bán hết sản phẩm y,, trong thời «ian t| , đồng thời tiền lãi là nhiều nhất.
Sau khi giải bài toán , la ĩihận được:
y ( t ) = ^ [ ( A + c , l ) ‘ = - A ' = ' ‘
ac,(X
irorm đó, hằns số A được xác định từ đíéu kiện :
y„ = ^ ^ [ ( A + c,t,0 ' ■■ - A '
acxc
Trang 1314 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu
2.5 Bài toán điểu khiển tối ưu
llệ thốna ở trạníỉ thái động, trạng thái dược mô lá bởi hệ phương trình vi phân cấp một:x = f ( t , x u ) ; t-Ih ờ i 2Ìand xtrạng thái:dtVI'
điều khiển: ư = [ Uị , u , ư_^j'
Mục tiêu có dạna phiếm hàm:'r
J( u) = g (x (t|-))+ [ f „ ( t , x , x , u ) d t - > m in (m ax)«
0
Cần phải lìm điều khiển tối ưu u" và trạng thái tối ưu x" để hệ thống chuyển lừ trạng thái đầu đến trạng thái cuối sao cho mục tiêu J(u) đạt min hoặc max.
Khi = 1: J ( u) = ^ min , ta có bài toán tối ưu về thời ơian.
T h í dụ L 2 J \ Điều khiển tối ưu hệ m ở
Một phản ứno hóa học được m ơ tả bởi phương trình vị phân:Xj = -X |.u
X, ^ x,.u - b x , ; b = p u ^ p = const x ,(0 ) = x j,,;x ( 0 ) = x.,,
Hãy xác định điều khiển tối lai u(t) sao cho sán phàm x ( t , ) max
Sau khi giải bài toán theo phươns; pháp số trên m áy tính (xcm nhận được đồ thị Li(t) và lượnơ sản phẩm tối đa x, ( t , ^)
T h í dụ 1.2.8: Điều khiển tối ưu về thời gian
Con lắc là một thanh đ ổ n s chất, khối lượng m, dài L, quav quanh trục cố định dưới tác dụiìs của nơảu lực có m ỏm en M^ ( t ) < Mf , 'lìm m ịm en tối ưuđể đưa con lắc từ trạriR thái đầu vể trans thái cân bằri2 tronu thời eian nhanh nhất.
Trang 14C h ư n n Ị Ị Ị KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN T ố l ưu HOÁ15Đặt,.2, ,, M j l )0) 1 MX, = — cp; X = - ( p ; u = —‘ k ' - k ' ■ M„ỉ^hương trình vi phân trở thành;Xj = 0)X, x_ - u -o.)X,x , ( 0 ) = - ^ ( p „ ; \ , ( 0 ) = f cp„; x , ( t r ) = x , ( t f ) = 0 k ^ k
Sau khi «iải bài tốn vứi (0 = 2; k = 2; (p„ = 1; (ị)(, = 2 , (xem [13]) ta nhận dược luật diều khiển có dạno:
u =
- 1 t < 0 , 4 1 6
1 0 , 4 1 6 - t < 0 & t < l , 9 8 7- 1 - t < - l , 9 8 7 & t - 2 , 5 1 < 0
T h í dụ 1.2.9: Điểu khiển tỏi ưu hệ có phản hồi
Con lác được mỏ tả bởi phương trình vi phân có dạng;
X = A x + b u
" 0 r 0
A =; b =
- 2 01
/
Tiêu chuẩn tối ưu có dạns: 1 = (x' .M.x + u ' ,N.u)dt —> min
0
trong đó: M - m a trận (lối xứníí x á c dịnh khỏní í âin,
N - ma trận đối xứns xác định clưcín".O • cr
Hãy tìm điéu khiển tối ưu u { x ) và giá trị tương ứng của J.
Sau khi aiái bài toán (xcm phụ lục hoặc [ I3J), ta nhận được luậl điéu khiển phán hổi:
u = -2.2361 X, - l,2133x_,
Trang 1516 CÁC BÀI TOÁN cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu
Các bài tốn tối lai có trạng thái tĩnh được oọi là bài toán tối ưu hoá tĩnh, các bài toán có trạng thái phụ thuộc thời ơian được gọi là bài toán tối ưu hoá động Trạng thái của hệ ihốnơ có thể ở dạng liên tục hoặc gián đoạn Trong bài tốn tối ưu có thể đặt ra m ột mục tiêu hoặc nhiều mục tiêu.
Trang 16ChươNq II
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (Linear programming)
1 MỘT SỐ THÍ DỤ VẼ' BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH1.1 Bài tốn thực đơn
Châ't dinh dư dngN hu cầu tối thiểu hàng ngàyL o ại thứ c ănPiP2N.b,anN ,b, ^ 2 1 022N3 b3^31332N4 ^4^41342
G iá tiền đđn vị thức ănCiC2
Tiền thức ăn hànsỊ ngày : f = C|X|+ c,x,
Bài toán : 7'im lưcĩng X|, X cùa từng loại thức ăn sao cho f -> min với cácràng buộc:
a, , X| + ạ , ^ x , > b |
a^iX, +a_,,X3 > b, X: > 0
Các bài toán cùng loại : pha ch ế các thành phẩn của một hỗn hcĩp, sản xuất các loại sản phẩm, phươns thức bán hùns gieo trổns các loại cây,
1.2 Bài toán phân phối kế hoạch sản xuất
Có n xí nghiệp sản xuất m loại chi tiết.Gọi íiị: số chi tiết loại i,
Trang 17Ầ|J: thời gian sản xuất 1 chi tiết loại i ở xí n sh iệ p j,
bji q u ĩ thời ơian s i à n l i c h o s ản xuấ t ở x í n g h i ệ p j ,
c, : chi phí cho chi tiết i ở xí nghiệp j.
Tim Xịj sao cho hoàn thành khối lượng trong quỹ thời gian cho phép với chi phí ít nhất, nghĩa là :
Tim: i = 1 ^ m ; j = 1 n
sao c h o : f = ^ ^ C ; X : ; - > mini = i J = 1
VỚI
^ 8 _ CÁC BẢI TOÁN Cơ BẢN CỦA TÒI ưu HỎA VẢ ĐlỄU KHIỂN TỐI ưu
n n
ới các ràng buộc: = a.; ^ b^; Xịj > 0J = i J = 1
1.3 Bài toán sử dụng vật tư
Một xí nghiệp dùng m loại vật tư p,; (i = 1-í- m) để sản xuất n mật hàngT j ; 0 ’ = H n )
bi! lượng vật tư thứ i,
3ịj sổ đcfn vị vật tư thứ i để sản xuất 1 đcfn vị m ặt hàng Tj ,Cj: lãi từ 1 đơn vị Tj,Xj : lượng sản phẩm của m ặt hàng Tj.T i m : X = [X| XJ^sao cho : f = X ^ ■J=|nvới ràng buộc : z a i j X j < bi ; i = 1 m j=i
1.4 Bài tốn vận tải
Có m điểm sản xuất c ù n ° 1 loại sàn phẩm a và n đ iểm tiêu thụ b Cho rằng
m n
tronơ 1 đơn vi thời gian lươĩi2, cunơ và cầu bằng nhau; Z a j = z bji : = i , p i
X,J > 0 : lượng sản phẩm cần chuyển từ điểm i đến j ,C,J : chi p h í v ậ n c h u y ể n l ừ i đ ế n j.
Trang 18Chươnỉỉ II. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH19
mII
f = - > mi ni= i J - I
2 PHÁT BIỂU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (Q H H )2.1 Định nghĩa
Quy hoạch tuyến tính là một m ơn tốn học nghiên cứu phưcíng pháp tìm giá trị nhỏ nhất (min) hoặc giá trị lớn nhất (max) của m ột hàm tuyến tính theo một số biến, thoả m ãn m ột số hữu hạn ràng buộc được biểu diễn bằng hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính.
2.2 Hai dạng cơ bản của quy hoạch tuyến tính
1/ D ạ n g c h ín h tắc ịc a n o n ic a l f o r m ) : ràng buộc ở dạng đẳng thức.
Gọi A - m a trận hệ số của các ràng buộc:
A =aam lcác vectơ:x = [ x , , x , , x „ ] ' ; x , > 0 c = [ c , , c , , , c j ' b = [ b , b 3 b j '
Tirn các giá trị tối ưii x" = [ x"|, x \ y sao cho hàm mục tiêu :
f = c - x = X c^x - > max
với các ràng buộc : A x - b; X > 0
2/ D ạ n g c h u ẩ n (Standard fo r m ) : ràng buộc ờ clạns bất đ ẳns thức Tvm \ sao cho f = c*.x -> max
với các ràng buộc : A.x < b; X > 0
2.3 Đưa bài toán QHTT vể dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc
Trang 19khi đó: A x < b - > A x + E.Xh = b ; E: M a trận đơn vịThí dụ: Các ràng buộc và mục tiêu có dạng:X1+ X 3 <180 , 5 X | + X , <12 X , < 1 2X , < 9 X, > 0 ; X, > 0 f = 4 X | + 6X3 —> m i n
Sau khi thêm các biến bù, các ràng buộc và m ục tiêu trở thành;
X1+ X 2 + X3 = 1 80 , 5 X | + x , + X4 =1 2X, + X 5 = 1 2x , + X,, = 9X j > 0 ; j = U 6f = 4 x , + 6 x , + 0 X3 H hO X(, - > m i n
2) N ếu ràng buộc ở dạng : A.x > b thì nhân hai vế với (-1):
n
- Z a ị j X j < - b i k h i đ ó ta c ó : A | x < bi
H
3) Ràng buộc bất đẳng thức: ràn g buộc A.x = b có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức A.x < b và “A.x < - b.
4) R àng buộc tổng quát:
Xj > 0 ;
n
Đối với ^ 2 i- ịX ị = 2,t l ỉ êm biến hù x ^ > 0 :
H
^ J a , j X j + x , = b ịJ=l
n
Đối với > b p i = m, + + m_,: hớĩ đi hiến bù > 0 và thêm
j=i
biến giả tạo > 0 :
Trang 20Chươnĩĩ // QUY HOẠCH TUYÊN TÍNH 21
11
= b ,
J=1
II
Đối với ^ j - b , ; i m, + m, + 1 , m : ĩììêrn biến gia tạo > 0:
.1=1n
^ ^ a „ x , + x^ =b,j - i
T rong hàm mục tiêu: ứng với các biến bù, hệ số Cj = 0; ứng với biến giả tạo, hệ số Cj = -M, M là một số dương rất lớn tùy chọn, ta thường chọn M là số lớn nhất có mặt trong bài tốn.
T h í dụ: Các ràng buộc và mục tiêu có dạng:2X| + 4 X t - X, < 1 0 3X| + X, + X, > 4 X, - X3 + X j = 2 > 0 ; j = U 3 f = 3 X | - X, + 2X3 m a x
Sau khi thêm các bià, biến ^iả tạo, các ràng buộc và mục tiêu trở thành:2 X | + 4 x , - X , + x_, =10
3 x , + 2 x , + x , - X-+X(, = 4
X, - X, + X, +
X-X, > 0 ; j = l - 7
f = 3X| - x_, + 2 x , + 0 x _, + 0 x - - 1 0 X ( , - l O x , m a x
2.4 Quan hệ giữa bài toán min và bài toán max
Bài toán min : f = c^.x -> rnin Đặt; f| = - f = - c ‘.xTa có quan hệ giữa 2 bài toán;
Trang 2122 CÁC BÀI TOÁN c ơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN T ố l ưu
3 PHƯONG PHÁP Đ Ó THỈ
Phương pháp này được dùng khi số biến sơ < 3.
3.1 Bài tốn phẳngT h í dụ 2.3.1T im X* = [ X |* , Xi* ]' s a o c h o f = C |X | + CtXt - > m in Các ràng buộc :a „ X j + a j ^ x , < b j + aggX, < b.,ỉ i ả í
* Vẽ miền cho phép (miền D m à X thoả mãn các ràng buộc, hình 2.3.1);+ Nếu ràng buộc Jà đẳng thức thì m iền cho phép là điểm A, giao điểm cùa đường N ,M | và N 2M 2.
+ Nếu là bất đẳng thức thì m iền cho phép là hình A N ịO M , bao gồm cả biên AN,, A M 2.
* Vẽ các đường mức của hàm m ục t iêu :
Ic c+ Cho mộl giá trị cụ thể f = k Vẽ đường; = - — - — - X,
c , c ,
Thay đổi giá trị k, ta được một họ đường mức sonơ song; giá trị k càng lớn
thi đ ư ờ n g X, c à n g xa o
! Ạ k c,
'2 c , c ,
\ y N
Trang 22ChươnỊ; n QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH23
* Tim nohiệm tối LRi:
+ Nghiệm tối UII được xác định bí)'i toạ độ di em A.
+ Nếu đường mức tiếp xúc niột đinh thì nshiệm là đơn trị.
+ N ếa õường mức tiếp xúc 2 đinh (1 cạnh) thì n°hiệm tối ưu là đa trị.+ Nếu m ién ONiAM ị là lõm thì toạ độ A sẽ là cực tiểu.
T h í dụ 2.3.2
M ột xưởng dùnơ 3 loại máy A, B, c để sản xuất 2 loại sản phẩm I, II với số g i ờ v à lơi n h u ậ n c h o ở b ả n g sau:L o ại m á yT h ò i gian làm sản phẩm 1 (p h ú t)Thờ i g ian làm sản p h ẩm II (p h ú t)
Thờ i g ian tơí đa tro n g m ộ t tu ần
(p h u t)
M áy A1042500
M áy B41020 0 0
M áy c 11,54 5 0
Lợi nhuận 1 đơn vị$50$100
Hãy xác định số lượng từng loại sán phẩm tronơ tuần sao cho lợi nhuận là lớn nhất.
liái
Gọi X| , Xt ~ số lưc;mg từns loại sản phẩm Ta có hàm mực tiêu và các ràng buộc như sau;
f = 5()X| + lOOx, niax
g, =l ( ) x, + 5 x , < 2 5 0 0 g, = 4 x , + 1 0 x , < 2000 g, = X, + l , 5 x , < 450
X, > 0; X, > 0
Bài toán được giái bằno đổ thị như hình 2.3.2u- Vẽ mién cho phép Í3 oiói hạn bới g| < 0; X| > 0
- Vẽ ccíc đườn? mức: f = 50X| + 1 0 0 x , = k Cho k các giá trị khác nhau, ta được các đường mức song sorm.
Trang 2324 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA TỊÌ ưu HĨA VÀ ĐlỀU KHIỂN t ó i ưu
Do đó x[ = 187,5; X*, = 1 2 5 ^ f*(x[, x', ) = s 21,87
Nêu hàm mục tiêu có dạng f = 40X| + lOOx, thì đường mức tiếp xúc vớicạnh CG của miền ràng buộc, do đó níỊhiệm là khòng duy nhất và f* = s 2 0 , (Hình 2.3.2b)G( 187.5; 125)X,f =$ 20b)Hình 2.3.23.2 MỞ rộng
Đối với bài tốn có n b i ế n X| , x„, chịu m ràng buộc.
1) Khái niệm đơn hình: Đơn hình là tập các điểm trona không gian R " , thỏa mãn điều kiện:
II
, = l ; x , > 0.i-l
Đơn hình có thê là đoạn thẳng, tam siác, tứ diện, siêu diện.
2) Nghiệm tối ưu là toạ độ của một đỉnh hay nhiều đính của miền chophép Miền cho phép là một đa diện (n- m) chiều.
3) Nghiệm [à dơn trị nêu 1 đỉnh cúa đa diện cho phép tiếp xúc với mặtmức.
Trang 24Chưưnỉi II. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH25
4 BÀI TỐN ĐỐ I NGẪU VÀ ĐỈNH LÝ cơ BẢN CỦA QUY HOẠCH
TUYẾN TÍNH
4.1 Bài toán đối ngẫu (dual problem)
* Bài toán dạng chuẩn ; Tun X = x„]'^ để hàm mục tiêu
f = c ^ x —> m a x ;
c = [c, c j ' ' ; b = [b, .b,„f
với ràng buộc: A x < b; X > 0
Bài tốn đối ngầu : Tươníí đưctng với bài toán dạng chuẩn.
Tim y = để hàm mục tiêu V = b ' y - < b ,y > —>■ min
với ràng buộc; A ’ y > c; y > 0 Sơ đổ đối nsẫu :
chuẩnđốingẫuXi X2 Xn V3ii a ,2 a,n < bi321 32n < b,ym ^m2 < KIV IV IV minf Ci Cn max
* Q uan hệ ơiữa bài toán chuẩn và bài toán đối nsẫu:
Sc5 biên của bài toán chuán (n) bằn« số ràn s buộc của bài tốn đối
Ĩì2,'du.
Số rà n s buộc của bài toán chuẩn (m) bằrm số biến của bài toán đối ngảu.
- Đ ã chứnơ minh [5]; 2Ìá trị tối ưu của bài toán chuán cũnơ là aiá trị tốiưu của hài toán đối naẫu, nahĩa ]à : c ‘.x"= h \ y \
Trang 2526CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu
Bài toán chuẩn:
f = X, + m a x
3 x j + 4 x , < 4 ; 4 x , + 3 x , , < 5 Bài toán đối nsâu:
V = 4 y , + õy,, ^ m i n
3 y i + 4 y , > 1 ; 4 y , + 3 y , > 1 ;
h a y : - 3 y j - 4 y ^ < - l ; - 4 y j - 3 y , < - 1Giải hai bài toán, được:
* 8 , * 1 9
X, = - ; = > í =
-7 7
* 1 1 9
7 ' 7
4.2 Định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính
Định lý:
Phươtìiị án tối Itii cùa quy hoạch tií\ê'n lính chứa một sâ hiến cIiíHị> bằng sơ các rà/ìi> hiiộc dộc lập dược lìiồ mãn các hiến cỏn lại có ịỉiú ti Ị kliịní’.
ITií dụ : X = [X|, Xị, , X,]' ^ n = 3
Các ràn° buộc:
a , iX, + • ■" + a,5 ^r
a 1^, + •
m = 3
do đó nghiệm tối ưu có 3 biến khác k h ô n s, 2 biến có giá trị bằng không:
X* = [ * , 0 , 0 ,
Chú ý : T ro n s quy hoạch tuyến tính, mức mục tiêu đạt được phủi có giá trị cụ thể.
5 C ơ S ỏ CỦA PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH (Simplex M etho d )
Trang 26thuật t oán dê di từ n o h i ệ m xâu hơn lỏi níihi ẹm tot hơn lức là di dán tó'i n g h i ệ mtối ưu.
5.1 Nội dung phương pháp đơn hình
G iả sử có m rànơ buộc độc lập dược cho ỡ (.iạng chính tắc:
A.x = b (1)
1/ Chọn biên c ơ sở : Đáu tiên ta chọn mỏt diêm tuỳ Ý của đa diện các
n g h i ệ m c h o p h é p - đ ó là tập n s ố ( X | x„) l ' h e o dịnh K' c ơ bán của q u y h o ạ c ht u y ế n tính thì c ó m s ố d ư ơ n s c ò n n hữim s ố k hác bằn o k h ô n o ; 2ỌÌ c á c b i ếndươnR c ủ a đ i ể m xuất phát là h iế n C( f sử :
(X|, x„,, 0, 0 0 ).
2/ T ìm n g h iệ m x u ấ t p h á t (níỉhiệm thừ thứ 1) ;
'rh ay các biến cơ sỡ vào các ràniỉ buộc (1) được in phươns trình chứa m án: a,,X| + a,2.\2 + + = b , ; r = 1,2 m
a,i Xi+ +ai m Xm = bi
Ch ương l ĩ QUY HOẠCH TUYấN TÍNH _2 1
hay : (2)
i i m ) X ] + ■ ■ ■ + H jn m '^ r ĩi ~ b n ì
T ừ đó tìin được nuhiệm xuất phát (hay rmhìệm Ihứ thứ ỉ )
(0) , „ ((») •m
(3)Giá trị ứng của hàm mục ticLi: f|| - cị \[ + — h Cm X
3/ C họn n g h iệm th ử th ứ hai :
a) 'ĩh ừ thêm vào biến lúc này ràn" buộc có d ạn" ;
a i - | X | + U j-2 • - h + i l | , I X m 1 1 ~ b j
-r
FIệ (3) uồm m phươns trình với m+1 bicn, hệ nàv có rmhiộm đơn trị khi các phirơns trình tạo thành hệ phụ thuộc, do đó C Ộ I hệ số cuối cìiniỉ của vế Irái phụ thuộc tuvèn tính vào các cột cịn lại vói hệ số y, :
^ r.n ,+ ! Y l ^ r l + - - ■ + > ',11^^01
Trang 27Mệ (4) có nghiộrn duy nhất là : yỊ"' , yỊ,'” .yỊ^"
b) Nhân hai vế của (4) với hệ số Ằ > 0;
+ ( 4 ’ )
Lấv các số hạng tương ứns cúa phương trình (3) trừ đi ( 4 ’), ta có ;a , , (x , - ) + a , , ( x , - Ằ y , ) + • • • + a,.,„(x,„ - ) = b, - Àa,.
Hay:
a , ( x , - X y , ) + a , , ( x , - ) + ■ • • + a,,,„ (x,^ - Ằy,,,) + a,, = b,,
r =
Hệ (5) là biến thể của (4) chỉ có các các ẩn là khác nhau,c) Chọn nghiệm Ihử thứ hai cho (5) là :
( xl ' ” -Ằ y ;'" ),(x;;" - À y f ), ), À (6 )28 _ CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ổ l ưu HỎA VÀ ĐlỂU KHIẩN T ổ Ị ưu
Do có m+1 biến do đó một trong các biến phài nhận giá trị khơng Ngồi ra các biến còn lại cũna phái bằng không Muốn biết biến nào trong(6) bằng không, ta phải:
** Tính giá trị của hàm mục tiêu với nghiệm thử thứ nhất và nghiệm thứ thứ hai :f„ = C| X| "' + C2 X2'’ + + Cm X m ’f , = c , ( x r ” - À y r ) + c , ( x f - X y y ' ’) + + c „ ^ { x : ' - L y ; : ) + c , ^ , À Sò' gia : ủf| = f| - f„Af, c,n.l -Yn ((')m£0Ì: C m + I Y m r lCÓ ba trirờns hỢp xảy ra :là hiệu suất (7)
^ Af| == 0 : Nohiệm xuất phát và n sh iệ m mới tốt như nhau Suy ra có hai đính tiếp xúc giữa da diện cho phép và siẻu phẳne đ ẳ n s mục tiêu.
Trang 28** Khi đã chọn được nghiệm mới b an s hoặc lốt h(Tn (Af| > 0) ta đưa nó vào cơ sớ và cần phái loại bỏ bcrt môt ntihiệm trori” biốn xuất phát (theo định Iv cơ bán, chi có m nghiệm dương), (iiá thiết đã dưa bicn mới thứ ( m + 1) vào cơ sở, khi đó có thế viẽt các biến mới cua phương án theo (6 ) Một biến thứ i nào đó phái thỗ mãn phương trình :
= o từ dó Â = (8 )
y i
C h ư o n g II. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 29
cịn đối với các biến j ^ i thì : x “” - Ằ y " ” > 0 (9 )
T ừ đó suy ra phái loại trừ biên nào ứnơ với Ầ > 0 và nhó nhất ;
y!'"'
4/ T h ự c h iệ n liên tục các th u ậ t toán ở trên : Đưa vào các biên chưa dùng
m + 2, m + 3 , tính Af,, cho đến khi thử hết các biên cơ sở.A f| = A [ c^^.|
-Af, = A, [ ■ Ỵm+: ]Af, = A [ ]
ở mỗi bước cần tính hiệu suất ) kiểm tra Af, và rút ra kết luậntưcmg ứng Sau (n-m) lần lặp, ta chọn (lược nshiộm tối iru.
Phưcmg pháp đ(ín hình (Simplcx m ethod) có lai điểm là thuạt toán đơn giản Khi có ít ẩn có thể tính bằng tay, Khi có nhiéu án và nhiều ràng buộc phải dùng m áy tính Rõ ràng ở đáy mục úẻii dạt được phái có giá irị cụ the.
Trong hàm m ục tiêu f = c’’'.x (lã giả thiết các hệ số c, > 0 nhưng noười lagià thiết lổn tại cả những biến "có hại” tức là hẹ sổ c, < 0 Điéu đó 2Ìúp ích chonghiên cứu và không ảnh hưcmo đến bước giái.
5.2 Một sơ thí dụ giải trực tiếp
T h í dụ 2.5.1 (Trườno hợp AF < 0 Vi ).
"Pim x*( X|, x,, X3 X4 ) sao cho
f = X| + 2x1 -3.\! + 4.X4 niax
Trang 2930 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂN TỐI ưuXI - X -, + 7 X, + X 4 = 100 2 X | + 3 x t - X, + 10X4 = 8 0 0 x , > 0 ,i = l - 41/ Chọn hiến cư s à :V ì s ố ràng b u ộ c m = 2, ta g i ả thiết X| > 0, Xị > 0, X;, = X4 = 0 ; d o đ ó b i ê n cơ sở là :(X|, X2, 0, 0)
2/ Tìm nghiệm xuất phát : thay biến cơ sở vào phương trình ràng buộc
X, - X , = 1 0 0 2 X | + 3 x , _ = 8 0 0
giải được : xí‘” = 220 ; X2'* = 120
d o đ ó n g h i ệ m x u ấ t phát là :
( 2 2 0 , 120, 0 , 0 ) và f„ = 2 2 0 + 2 X 1 2 0 = 4 6 0
3 / T h ử dưa biến thứ ha vào c ơ sở
Phương trình ràng buộc :
X| - Ấ2 + 7X3 = 1 0 0
2 X | + 3 x t - X3 = 8 0 0
Đó là hộ phương trình phụ thuộc, nên hệ sô' của cột thứ ba phụ thuộc vào
c ộ t m ộ t v à CỘI h a i v ớ i h ệ s ố y, :y , - y 2 = 7
2 y , + 3 y , = - l
giải được yỊ"’ = 4 ; y*,"* = - 3 Tính hiệu suất của X, :
Y ; = c i y ; + C 2 y 2 = y, + 2 y ; = - 2
c, - y, = -3 + 2 < 0 n ê n Af| = A.[c, - y, ] = A, [-3 + 2 ] < 0do đó nếu đưa X, vào cơ sở thì phương án xấu hơn phưcyng án xuất phát.
4 / Thử dưa vào cơ sờ :
Trang 30ChưưtĩỊi II. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH31X| - Xt + X 4 = 1002 X| + 3 X2 + 1 0 x.ị = 8 0 0từ dó:{'I) ỵ' (II) i / 'y, = 2 6 ; y = 1.6Yi - Y : = 1 2 y, + 3 y , = 10* Tính hiệu suất của X4,
Y , = c , y ; ' ” + c y ' ; ’ = 2 6 + 2 x 1 6 = 5 8
(C4 - Y4 ) = ( 4 - 3,8 X 0 - > Af = Ằ (C4 - 7 4) < 0
do đó nêu đưa X4 vào cơ sở thì sẽ có phương án xấu hơn Như vậy nghiệm tối
UXI c h í n h là n g h i ệ m xuấ t phát :
X* = f x ; , x ; , 0 , 0 ]' = [ 2 2 0 ; 120]^
Hàm mục tiêu :
f = 2 2 0 + 2 x 1 2 0 = 4 6 0
T h í dụ 2.5.2 (Trường hơp Af| < 0, ồí';, = 0)
Hàm mục tiêu f = X, + + X, + X4 —> maxCác ràn» buộc :2 X| + X2 + 2 Xí + X4 = 6 0 Xi + 2 X2 + 3 X3 + 2 X4 = 9 0 Xi > 0 ; i = 1 4\ / C h ọ n hiến cơ sà : (X|, x_„ 0, 0)
2/ Tìm niỊÌìiệm xuất ph á i : Thay biến cơ sở vào phưcTng trình ràng buộc :
2 X| + X2 = 6 0
Xi+ 2 X 2 = 9 0
Hàm mục t i êu: f|| = 10 + 40 = 5 0
3/ T h ử dưa .V, vào c ơ sâ :
* Ph ươn ơ trình ràna b u ộ c :
2X| + X, + 2X; = 6 0
X, + 2x, + 3x., = 90
Trang 3132 CÁC BÀI TOÁN cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưuTừ đó :2 y , + Y : = 2 _ ^ , 0 , ^ 1 „ , ^ 4y, + 2 y = 3 3 ^ - 3* Tính hiệu s u ấ t ; Y, = C| y | * ' + C2 y 2** = l x “ + l x ~ = ^5c , - 7^ = 1- - = - — Af, < 0 ^ loại b ò X;.3 3 ■4 / T h ử d ư ư x_f vào C(f s â :* Phương trình ràng b u ộ c :2 X | + X 2 + X 4 = 6 0 Xj + 2x-i + 2X4 = 9 0Từ đ ó :2 y , + y2= iy , + 2 y , = 2* Tính hiệu suất của X4 :
y j'” = 0 ; yV" = 1(0)
Y 4 = C i y l ' ” + C2 y2 " = i C4 - Y 4 = 1 - 1 = 0 = > A f , = 0
Điều này chứng tỏ đưa X4 vào cơ sở thì phựơng án mới tương đương phương án cũ, do dó cần xét loại bỏ biến nào khỏi cơ sở Muốn vậy ta xét các tỷ
số của X :
(0)
1 y rco
Loại bỏ biến ứno với tỷ số dươne; và có 2Ìá Irị lĩiin, do dó loại bỏ biến thứ hai Vậy cơ sở bây giờ là : ( Xj , 0, 0 X4 )
* Phươnạ trình ràn s buộc :
2 Xi + X4 = 6 0 Xi + 2 X4 = 9 0
x* = [ 1 0 0 0, 4 0
Giá tri hàm muc tiêu f ' = 10 + 40 = 50.
Trang 32Chưưnịĩ II. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH33T h í dụ 2.5.3 (Trường hựp \1 > 0) í l à m m ụ c liêu : f = X, - 3 x , + —> max.Các ràng buộc :X| + , \ 2 + X3 = 10 X| - x t + 2 X ì = 2 Xi > 0 ; i = 1 31/ Chọn hiến c ơ sở : ( X | , X;, 0)2! Tìm biến xiiứí ph ú t :* Phương trình ràng buộc :Xi + X2 = 1 0 X| - X2 = 2
Từ đó : X = [6 , 4, 0]'^ Giá trị hàm mục tiêu f,i = ố - 3x4 + 9x0 = - 6
M TIiửcìưa Vj vào c ơ sở :* Phưcnơ trình ràng buộc :X, + Xt + X, = 10X, - X, + 2 x , = 2x;'” = 6; X ? ’ = 4Từ đ ó :'y, + y = i y , - v 2 = 2* Tính hiệu suất của X, :
3
Y , = c , y r - + c , y : ’ = - - 3 ( - ^ ) = 3;
c, - y =: 9 -3 = 6 > 0 —> Af > 0 Như vậy v i ệ c đưa X, v à o là c ó
lợi.
* Xét tỷ số cúa A :x “”
y;?'
= - 8
Trang 3334CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA TƠÌ ưu HĨA VÀ ĐlỀU KHIỂN TỐI ưu_ / í ( ' ») _ ixV = 6 ; X; = 4( H ) _maxX2 + X:, = 10 - X2 + 2 X:, = 2
Từ đó X = [0, 6 , 4, Oj^ và ” iá trị hàm mục liêu f | = - 3 x 6 + 9 x 4 = 1 8 x* = [0 ,6 , 4]''; - 3 x 6 + 9 x 4 = 1 8
Rõ ràng mục tiêu đã tăng lên 24.
T h í dụ 2.5.4Hàm mục tiêu f = X| - 3xị + 9x, + 15X4 Các ràng buộc ;X | + X 2 + X 3 + X 4 = 1 0 X| - X2 + 2 X;, + X4 = 2 Xi > 0 ; 1 = 1 - ^ 4l / C h ọ n cơ s ở : (X|, Xj, 0, 0)2/ Tìm nghiệm xuất phát :Phương trình ràng buộc :Xi + X2 = 10 Xi - X2 = 2 Nghiệm xuất phát x = [6 , 4, 0,0]'
3/ T h ừ đưa Xj vào cơ sở : trong thí dụ 2.5.3 đã chứng tỏ phưcíng án (0, 6 , 4,
0 ) tốt hơn phương án xuất phát và f| = 18
4/ T h ừ dưa x_f vào cơ s à :
(0)f - 6 - 12 = -6.(0 ) (0, 2y , + y.^ = 1- y , + 2 y, = l “ 3 ^ 31 2Hiệu s u ấ t : C 4 - Y 4 = : =1 5 -(- 3 x — + 9 x - “ ) = 10.^ = % = 1 8 ; x = ^ = 6 y.i
Trang 34Chưovỉỉ // QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH35X2 + X4 =10- X: + X 4 = 2X* = [ 0, 4,0, 6x y " - 4 ; = 6.r = -12 + 90 = 78.
Nhận xét : Hệ sô' của tron2 f !à âm, do đó vật liệu “ có hại” nhưng vẫn làm tăno, siá trị hàm m ục tiêu.
Thí dụ 2.5.5H àm m ục liêu ; { - 2 \ ị + 5.X-, m axCác ràng buộc :X[ + 4x2 ^ 2 4 3 X| + X2 ^ 21Xị + X 2 ^ 9 Xi > 0 ; i = 1 - > 2
Đầu tiên thêm vào các biến phụ để đưa bất phưcmg trình về phươno trình :f = 2x, + 5x, + Ox, + 0 X4 + Ox,
Các ràng buộc được đưa \'ề d ạ n s phưctng trình:
Xi + 4 X2 + X3 = 243 X; + X2 + X4 = 2 1 X| + X2+ X? = 91/ Clìọn hiển cơ sở { X | , Xt X ,, 0, 0)2/ Tìm hiến xiùít plìát :Phươno trình ràng buộc:X| + 4 x t + X3 = 2 43 x , + X Ỉ = 21 ^ x','” =6 ; xV" = 3 ; x\ ‘ ”-6X| + X2= 9Nohiệm xuất phát : X = [ 6 3, 6 , 0 0 ]' f|| = 2x6 + 5x 3 = 27.
3/ T hử dưa X_I vào c ơ sờ ;
X| + 4 X2 + = 2 4
3 Xi + X2 + X4 = 2 1
Trang 3536CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ưu
yi + ^ y + y , = 0
3 y , + y + y , = 1 - > y r= 2 ' ^2” = - 2 ’ = 1yi + y2
Hiệu suất của X4 :
= 0
1 1 3
Y4= 2 x ị + 5 x { - ^ =
3
C4 - Y4 = 0 + — > 0 ^ A f > 0 , do đó việc đưa X4 vào là có lợi.
(0) (0) (0)
* X é t À : ^ = ^ = = ^ = 4
J3
Ta tiếp tục loại biến nào ứng với 0 < A = , do đó loại biến X, khỏi cơsở Vậy cơ sở bây giờ là : (Xj, X2, 0, X4, 0).
Phương trình ràng buộc:
Xi + 4 X2 = 24
3 x i + X2 + X4 = 2 1 —>>xí*” = 4 ; X2"* = 5 ; X4’ * = 4 Xi + X 2 = 9
f, = 8 + 25 = 33 ^ Af, = f, - f„ = 33 - 27 = 6
A n h ử đưa X, vào cơ sở :
X| + 4 X 2 = 2 4 3 Xi + X2 + X4 = 2 1 Xi + Ằ 2 + X5 = 9y, + 4 y = 0 3y, + Y2 +Y4 = 0 y, + y, =111
Giải được : yỊ'” 2 ; y T = - 3
Hiệu suất của :
4 1
y , = 2 X Ỷ - 5 X Ỷ = 1
Trang 36Chươnị; II. Q U Y H O Ạ C H T U Y Ế N TÍNH 37
Nhận xét : oiá trị biến phụ ,\j = 4 có nghĩa là ràng buộc thứ hai bằng 21 là không chặt.
3x, + x, = 12 + 3 = 17
Thí dụ này có hai biến nên có thể oiải bằng đổ thị như hình 2.5.1
X, + Xt = 9
f = 2 x , + 5x, = 33
Hình 2.5.1
Sơ đồ khối cúa bài toán Q H T Ĩ như hình 2.5 2.
Trang 3738 CÁC BÀI TOÁN cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu
6 THUẬT TỐN Đ O N HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT
6.1 Phát biểu bài toán
H àm m ục tiêu ; f{x) = Z C j X j ^ m in; j = 1, 2, , n nCác ràng buộc : < b, ; i = 1,2 J=1mn> b, ; rri| + l , mj +2, + m ,J-1n^ a ^ x = b - ; i = IT1| +I T12+ l , r r i | + m , + 2 mJ=1X j > 0 ; b ,> 0 ; i = 1,2, m.
6.2 Biến đổi các ràng buộc và hàm mục tiêu
n
* Đối với các ràng buộc : X < b
J=1
n
ta p h ải t h ê m hiến bù x„^, > 0 đ ể đ ượ c + x„.^ị = b, v à Cj ứng với b i ế n bù
J=|
này cho bằno không.
n
* Đối với ràng buộc = b, ta phải thêm hiếỉì ^icỉ íụo > 0 đổ có
n
X = b và Cj ứng với biến «iả lạo này là những số dương đủ lớn M,
thường chọn: M = ma x ị I a,j |,| b,|, |Cj In
* Đối với rànơ buộc ^ b ta phải thêm cả biến bù và biến 2 Ìả tạo.
J=1
Trang 38T h í dụ 2.6.1l ỉ à m mục tiêu : f = 3 0 \ | + 45x, ^ max Các ràn 2 buộc :1/ X, < 6 0 0 0 2 / X : < 4 0 0 0 3/ 2,5x, + 2x, < 24000 4 / X | > 1000 5 / X , > 1 00 0 6/ 3x, - X, > 0 7/ 2,5x, + 2 x > 10000 Ta đưa bài toán về dạno chính tắc với :Các ràno buộc :1/ X, + \7= 6 0 0 0 2 / X, + x , = 4 0 0 0 3/ 2,5x, + 2x , + x , = 24 00 0 4 / X, - X, + x , „ = 1000 5 / Xt - X4 + X|| = 1000 6/ 3X| -X, -X5 +X| , = 07 / 2 , 5 X | + 2.X;, - Xf, + Xp, = 1 0 0 0 0Hàm mục tiêu :
f = 30X| + 45 x , + OXi + 0 X4+ OXs + OXf, + 0 X7 + Ox^ + Oxy - M X|,|- MX|| -
M X | _ , - M X | ;
chọn M > 24000.
Sau khi 2Ìái bài tốn chính tăc ta đươc :
x, = 6 0 0 0 X2 = 4 0 0 0X, = 5 0 0 0 X4 = 3 0 0 0
x , = 14000 X , = 1 3 0 0 0
x„ =1 0 ( ) 0 f = 360000
Trang 3940CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu
N hư vậy nghiệm tối tru cùa bài toán là : x * , = 6 0 0 0 ; x j = 4 0 0 0
r = 3 0 x ; + 4 5 x : = 360000.
6.3 Giải bài toán QHTT bằng máy tính
M ộ t số phần m ềm khoa học kỹ thuật thơnơ dụng có sẵn gói cơno cụ O ptim ization để giải bài toán về tối ưu hóa như; MATLAB, M A PLE, M A T H C A D ,
D ù n g MATLAB, M APLE : xem phụ lục và [13
T uỳ thuộc bài toán cụ thể, nghiệm của bài toán có thể giả thiết dưới các
dạng: không ủm, nguyên, nguyên và không ủm, 1 hoặc 0.
T h í dụ 2.6.2
Hệ ba dầm đồng chất AB, CD và EF được treo như hình 2.6.1
D ầm AB c ó t rọng l ượ ng P|, c h ị u tải trọns, X|, lực c ă n g l ố i đa c ủ a d â y treo
tại A, B là W |.
D ầm CD có trọng lượng P2, chịu tải trọng Xj, lực căng tối đa của day treo t ạ i C , D l à V / ,
D ầm EF có trọng lượng p,, chịu tải trọng X,, lực căng tối đa của dây treo
tại E, F là w ,
Trang 40í ỉ i a i
Phưtíns trình cân bằng cho từne dầm là:>- c* 1^.Dầin HF:Z f, = T , + T , - X - - P , = 0^ m , = - 2 / P , - 3/x,5 + 4/ T , = 0Dầ m CD:Z F , = T r + T , - T , - P , - X ; = 0 = - / P ^ - I x , - n , + 2 / T „ = 0Dầm AB:= - 3 / x - - Ỉ P , + 9 / T „ -2/T^-, - 4 / T „ - 7 / T p = 0
Giải các phương trình ta nhận được:
I v = ỉ x , + i p , ; T Ì x, + Ị p.;T „ = - x , + ^ X , + ^ P , + - ' ^ P , ;” 2 ' 8 2 ' 4I , = — X , H— X , H— p , -ì— p , ;' 2 ' 8 2 ^ 41I Ị = — X I H \ T + 5 “I— 1^1 “I— 1^1 ■!— Pị '" 3 ' 3 - 3 2 ' 3 ' 9 ’1\ = - XI + - X , + - X , + - F^, + - p , + - p , ;' 3 ' 3 ' 3 2 ' 3 ' 9 ■