Phương trình hệ phương trình tích phân tuyến tính fredholm

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————— HÀ DUY NINH PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - Năm 2023 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– HÀ DUY NINH PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2023 v MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 4 1.1.3 Không gian Banach khả li 1.1.4 Không gian Hilbert 5 1.1.5 Khai triển Taylor 1.2 Phương trình tích phân tuyến tính 1.3 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 1.3.1 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại I 8 1.3.2 Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II 1.3.3 Nghiệm phương trình Fredholm 1.3.4 Phương pháp quy hóa chuyển phương trình tích phân Fredholm loại I thành phương trình tích phân Fredholm loại II 10 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM 12 2.1 Phương pháp phân tích Adomian 12 2.2 Phương pháp biến đổi phân tích mADM 18 2.3 Phương pháp số hạng nhiễu 22 2.4 Phương pháp lặp biến phân 25 2.5 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 29 2.6 Phương pháp tính tốn trực tiếp 33 2.7 Phương pháp nghiệm chuỗi 37 vi Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM 42 3.1 Hệ phương trình tích phân Fredholm loại I 42 3.2 Hệ phương trình tích phân Fredholm loại II 42 3.3 Một số phương pháp giải hệ phương tích tích phân Fredholm 3.3.1 Phương pháp phân tích Adomian 43 43 3.3.2 Phương pháp tính tốn trực tiếp 3.3.3 Phương pháp nghiệm chuỗi 47 51 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 DANH MỤC KÝ HIỆU C Không gian hàm liên tục C Rn Không gian hàm khả vi liên tục Không gian Euclide n chiều L x∈M Biến đổi Laplace x thuộc tập M x∈ /M x không thuộc tập M ∀x ∈ M Với x thuộc tập M ∃x Tồn x MỞ ĐẦU Phương trình tích phân thường xuất nhiều tốn Toán học, Vật lý ứng dụng khoa học khác, đặc điểm phương trình tích phân phương trình mà ẩn hàm chưa biết xuất dấu tích phân chúng công cụ đắc lực nhiều lĩnh vực khoa học khác Chúng cung cấp kỹ thuật để giải tốn thực tế thay sử dụng phương trình vi phân Một số tốn thể nói đến nghiên cứu phương trình tích với điều kiện xác định hay toán truyền lượng xạ, rõ ràng phương trình tích phân đóng vai trị quan trọng lý thuyết tốn học Hệ phương trình tích phân Fredholm xuất nhiều ứng dụng khoa học Đáng ý phương trình tích phân Fredholm suy từ tốn giá trị biên Erik Ivar Fredholm (1866-1927) biết đến nhiều với cơng trình nghiên cứu phương trình tích phân lý thuyết quang phổ Ông nhà toán học Thụy Điển, người phát minh lý thuyết phương trình tích phân, báo năm 1903 ơng đóng vai trị quan trọng lý thuyết tốn tử Phương trình tích phân Fredholm, chứa hàm u(x), đặc trưng giới hạn cố định tích phân công thức Z u(x) = f (x) + λ b K(x, t)u(t)dt, (1) a a b số Với phương trình tích phân Fredholm loại I, ẩn hàm u(x) xuất dấu tích phân dạng Z b f (x) = K(x, t)u(t)dt (2) a Tuy nhiên, với phương trình tích phân Fredholm loại II, ẩn hàm u(x) xuất lẫn ngồi dấu tích phân Phương trình loại II có dạng Z b u(x) = f (x) + λ K(x, t)u(t)dt (3) a 52 Đánh giá tích phân vế phải ta có: a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · 16 2 2 =x− + a1 + 0a2 + a3 + · · · + b1 + 0b2 + b3 + · · · 15 5 b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + · · · 2 = x2 + x3 − x + x(2a0 + a2 ) + · · · + x(2b0 + b2 ) + · · · 3 Cân hệ số hai vế giải hệ ta được: a0 = 0, a1 = 1, an = 0, n ≥ 0, b0 = 0, b1 = 0, b2 = 1, b3 = 1, bn = 0, n ≥ Do nghiệm xác là: (u(x), v(x)) = (x, x2 + x3 ) Ví dụ 3.3.8 (Bài tập 11.2.2 [3])  Z    (v(t) + w(t))dt, u(x) = x − +    −1       Z  2 v(x) = x + x − + (w(t) + u(t))dt,   −1      Z      (u(t) + v(t))dt  w(x) = x + x − + −1 Thay u(x) chuỗi u(x) = v(x) = w(x) = ∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X n=0 an xn , bn xn , cn xn (3.30) 53 vào hai vế toán (3.29) dẫn đến  Z X ∞ ∞ ∞ X X   n n  an x = x − + ( bn x + cn xn )dt,    −1 n=0  n=0 n=0        Z X ∞ ∞ ∞ X X n n bn x = x + x − + ( cn x + an xn )dt,  −1 n=0  n=0 n=0       Z X  ∞ ∞ ∞  X X  n n   cn x = x + x − + ( an x + bn xn )dt   −1 n=0 n=0 n=0 Ta viết lại:  Z 1X Z 1X ∞ ∞ ∞ X   n n  cn xn dt, bn x dt + an x = x − +    −1 n=0 −1 n=0  n=0        Z 1X Z 1X ∞ ∞ ∞ X n n bn x = x + x − + an xn dt, cn x dt +  −1 n=0 −1 n=0  n=0       Z 1X Z 1X  ∞ ∞ ∞  X  n n   cn x = x + x − + an x dt + bn xn dt   −1 n=0 −1 n=0 n=0 Đánh giá tích phân vế phải ta có: a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · 2 = x − + b0 + b2 + · · · + c0 + c2 + · · · 3 b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + · · · 2 = x + x − + c0 + c2 + · · · + a0 + a2 + · · · 3 c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · · 2 + a0 + a2 + · · · + b0 + b2 + · · · 3 Cân hệ số hai vế giải hệ ta được: = x2 + x3 − a0 = 0; a1 = 1; an = 0, n ≥ 2, b0 = 0; b1 = 0; b2 = 1; bn = 0, n ≥ 3, c1 = 0; c2 = 1; c3 = 1; cn = 0, n ≥ 54 Do nghiệm xác là: (u(x), v(x), w(x)) = (x, x + x2 , x2 + x3 ) Nhận xét 3.3.9 Tương tự việc giải phương trình, để giải hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm ta sử dụng phương pháp phương pháp lặp biến phân, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, mà khuôn khổ luận văn khơng trình bày 55 KẾT LUẬN Nhờ hướng dẫn dạy dỗ tận tình thầy giáo TS Phan Đức Tuấn Phương trình Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Sau thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm nó, luận văn hồn thành đạt mục tiêu nghiên cứu với kết quả: • Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm, định lý quan trọng Phương trình - Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm • Tìm hiểu nghiên cứu số định lý, tính chất quan trọng tồn nghiệm phương pháp giải Phương trình - Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm • Hệ thống cách đầy đủ phương pháp giải gần nghiệm Phương trình - Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Với kết đạt được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân người học toán sâu nghiên cứu ứng dụng Phương trình - Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Đó hướng phát triển luận văn Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn chưa sâu nghiên cứu hết định lý nghiệm Phương trình - Hệ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm Trong q trình làm luận văn dù cố gắng nhiều không tránh khỏi thiếu sót định, chúng tơi mong góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để tiếp tục nghiên cứu phát triển luận văn 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Đình Huy (2009), Giải tích 1, NXB Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh [3] Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations Methods and Application, Spinger New York [4] M.Rahman (2007), Integral Equations and their Applications, WITpress [5] Rainer Kress (2015), Linear Integral Equations, Spinger New York [6] P.Hall, P.R.S., and F.Smithies, PH.D (1958), Integral Equations, Cambridge University Press [7] Joel L.Shiff (1988), The Laplace transform, Spinger New York CONG HoA xA HOI CUU NGHIA ~T NAM -Dc)c l~p - Tty - H~llh phllC DAI HOC DA NANG TRU'ONG D~I HQC su PH~M s6: c&lS IQB-DHSP [)ClN6ng, ngcly1t)thang3 nd m 2022 QUYET -DINH vs vi~c giao d~ tai va tnich Ilhi~m htn)'ng drill hl~n van thac si HLE=UTRUONG TRUONG D~I HQC SU PH~M - DHDN Can CIl'Nghi dinh h9CDti Niing: s6 321CP 041411994cua Chinh phu v~viec ldp Dai Can ctr Nghf quyet s6 08INQ-H[)DH 121712021 cua H(Ji dong [)qi h9C [)a N6ng v~ viec ban hanh Quy chi t6 chirc va hoat dong cua Dai hoc [)it Nang VCtNghi quyet s613INQ-H[)[)H 071912021ala H(Jia6ng Dai hoc Di: Nang v~ viec sua a61, b6 sung l11(Jts6 ai~u cua Quy chi t6 chicc VCthoat dong ala Dai h9C Ei« Niing; Can CIl'Nghi quyet s6 12INQ-H[)T 081612021 cua H(Ji dong truong Truong Dai hoc Sir phC;Z111 v~ viec ban hanh Quy chi t6 chuc vit hoat dong cua Truong [)C;Zi hoc Su pham - Dai h9C[)it Nang; Can CII'Thong tu s6 1512014ITT-BGD[)T 151512014c~laB(J GiGOd1;lCva [)ao tgo v~ vi¢c ban hanh Quy chi aCtotgo trinh ac)thgc sf; Can Cil'Quyit ajnh s6 1060IQ[)-DHSP 0111112016cLlaHi¢u trwyng Truong D(li h9CSu phc;zm- [)gi h9CDa Nang v~ vi¢c ban hanh Quy ainh aito tgo trinh ac}thgc sf; Can CLf: To trin17I1gity111312022cua Khoa TOGnh9C v~ vi¢c a~ nghf giao a~ tid lu¢n van thqc sf cho h9C Vie,l cao h9Cngitnh Toan giai tfch khoa 41; Xet a~ nghi cila Truong pi10ng Phong [)ao tgo QUYET -DINH: -Di~u Giao cho 17 hQc vien cao hQc nganh TO