Hiệu chỉnh phương trình tích phân tuyến tính loại i

www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––––– MAI THỊ NGỌC HÀ HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -   MAI THỊ NGỌC HÀ HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com Cơng trình hoàn thành Trường Đại học Khoa học: Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - ĐHTN Ngày tháng năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com ♥♦♥ ✶ www.VNMATH.com ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✹ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✼ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠ ✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✶✳✹✳ ❙ù ❤é✐ tô tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✶✳✺✳ ❚♦➳♥ tö tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✶✳✷ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✶✸ ✶✳✸ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✶✳✹ ❙ù tå♥ t➵✐ t♦➳♥ tư ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✶✳✺ ❳➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✶✳✶✳✷✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✶✳✶✳✸✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■ ✷✳✶ ✷✹ ◆❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■ ✷✹ ✷✳✶✳✶✳ ❈➡ së ❧ý t❤✉②Õt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✶✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ♠➳② tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✷✳✶✳✸✳ ❘ê✐ r➵❝ ❤♦➳ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤Ĩ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ①✃♣ ①Ø ✷ www.VNMATH.com ✷✳✷ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■ ✷✳✸ ✳ ❑Õt q✉➯ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❝ơ t❤Ĩ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ❑Õt ❧✉❐♥ ✹✼ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✽ ✸ www.VNMATH.com ▼ë ➤➬✉ ◆❤✐Ò✉ ✈✃♥ ➤Ò ❦❤♦❛ ❤ä❝✱ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ö✱ ❦✐♥❤ tÕ✱ s✐♥❤ t❤➳✐✱✳✳✳✳✳ ❞➱♥ ➤Õ♥ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ♠➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ ❦❤➠♥❣ ỉ♥ ị t ữ ệ tứ ột t ➤ỉ✐ ♥❤á ❝đ❛ ❝➳❝ ❞÷ ❦✐Ư♥ ✭s❛✐ ♠ét ❧②✮ ❝đ❛ ❝➳❝ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝ã t❤Ĩ ❞➱♥ ➤Õ♥ sù s❛✐ ❦❤➳❝ r✃t ❧í♥ ✭➤✐ ♠ét ❞➷♠✮ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠✱ t❤❐♠ ❝❤Ý ❧➭♠ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ trë ❧➟♥ ✈➠ ♥❣❤✐Ư♠ ❤♦➷❝ ✈➠ ➤Þ♥❤✳ ◆❣➢ê✐ t❛ ♥ã✐ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤ã ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✐❧❧✲♣♦s❡❞✮✳ ❉♦ ❝➳❝ sè ❧✐Ư✉ t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ t❤✉ t❤❐♣ ❜➺♥❣ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ ✭➤♦ ➤➵❝✱ q✉❛♥ tr➽❝✳✳✳✮ ✈➭ s❛✉ ➤ã ❧➵✐ ➤➢ỵ❝ ①ư ❧ý tr➟♥ ♠➳② tÝ♥❤ ♥➟♥ ❝❤ó♥❣ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ s❛✐ sè✳ ❈❤Ý♥❤ ✈× t❤Õ✱ ②➟✉ ❝➬✉ ➤➷t r❛ ó ữ ổ ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐ sè ủ ữ ệ ỏ tì ệ ỉ tì ➤➢ỵ❝ ❝➭♥❣ ❣➬♥ ✈í✐ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ①✉✃t ♣❤➳t✳ ◆❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ❝ã ❝➠♥❣ ➤➷t ♥Ị♥ ♠ã♥❣ ❝❤♦ ❧ý t❤✉②Õt ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❧➭ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❆✳ ◆✳✱ ▲❛✈r❡♥t✬❡✈ ▼✳ ▼✱ ▲✐♦♥s ❏✳ ❏✳✱ ■✈❛♥♦✈ ❱✳ ❑✳✳✳✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✉➠♥ ❦❤ỉ ❝đ❛ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ➤Ò ❝❐♣ ➤Õ♥ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♠➭ ♥ã ❝ã ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❧í♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤➳t s✐♥❤ tõ ❦Ü t❤✉❐t✳ ➜ã ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❋r❡❞❤♦❧♠ ❧♦➵✐ ■✿ b K(t, s)x(s)ds = f0 (t), t ∈ [c, d], a −∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞ ë ➤➞② ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♥❤➞♥ ✭❤➵❝❤✮ x0 (s)✱ ✈Õ ♣❤➯✐ f0 (t) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❝❤♦ tr➢í❝ ✈➭ K(t, s) ❝đ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝ï♥❣ ✈í✐ ∂K/∂t ➤➢ỵ❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tơ❝ ❝❤♦ tr➢í❝✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ sÏ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ✹ www.VNMATH.com ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ệ ệ ỉ ợ ỉ ữ ❝❤✐Ị✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■ tr➟♥ s❛✉ ➤ã ➤➢❛ r❛ ❦Õt q✉➯ sè ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✱ ♣❤➬♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ❧➭ ♣❤➬♥ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ s❛✉ ❦❤✐ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋r❡❞❤♦❧♠ ❧♦➵✐ ■ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② tã♠ t➽t ✈✐Ư❝ ①➞② ❞ù♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t ➤Ĩ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ị ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■✱ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤✱ ①✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ✈➭ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❝❤Ø r❛ ❦❤✐ ♥➭♦ tè❝ ➤é ❤é✐ tô ❧➭ tèt ♥❤✃t✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➢❛ r❛ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❜➺♥❣ sè ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ s➞✉ s➽❝ ♥❤✃t tí✐ P●❙✳ ❚❙ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➢ê♥❣✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❝❤Ø ❜➯♦✱ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ ❝ã t❤➟♠ ♥❤✐Ị✉ ❦✐Õ♥ t❤ø❝✱ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ tỉ♥❣ ❤ỵ♣ t➭✐ ❧✐Ư✉✱ ♥❤ê ➤ã ♠➭ t➠✐ ❝ã t❤Ĩ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ➤➢ỵ❝ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➠✐ ❝ị♥❣ ①✐♥ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ tí✐ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤Þ ❚❤✉ ❚❤✉û✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ➤➲ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ➤➲ trù❝ t✐Õ♣ ❣✐➯♥❣ tr ị t ữ ế tứ ❜➯♥ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ t➠✐ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✱ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❜é ♠➠♥ ❚♦➳♥ ✲ ▲ý✱ ✈➭ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ tr♦♥❣ ❑❤♦❛ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❈➡ ❜➯♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ◆➠♥❣ ❧➞♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ t➵♦ ♥❤✐Ò✉ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐✱ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ✺ www.VNMATH.com ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❝➠♥❣ t➳❝✳ ◆❤÷♥❣ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ♠✉è♥ ❣ư✐ tí✐ ữ t t tr ì t ❣✐ó♣ ➤ì✱ ❝❤✐❛ s❰✱ ❝ị♥❣ ♥❤➢ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ r✃t ♥❤✐Ị✉ ➤Ĩ t➠✐ ✈➢ỵt q✉❛ ❦❤ã ❦❤➝♥ ✈➭ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❝➠♥❣ t➳❝✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ 10 ♥➝♠ 2009 ❚➳❝ ❣✐➯ ▼❛✐ ❚❤Þ ◆❣ä❝ ❍➭ ✻ www.VNMATH.com ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✶✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠✱ ➤Þ♥❤ ❧ý✱ ✈Ý ❞ơ ✈➭ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ë t➭✐ ❧✐Ư✉ [1] ✈➭ [2] ✳ ✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ t❐♣ ❤ỵ♣✱ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ❧➭ ♠ét ❝➷♣ ✭❳✱ ρ : X ×X → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ ρ ✮✱ tr♦♥❣ ➤ã ❳ ❧➭ ♠ét X ×X t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉✿ ✶✮ ❱í✐ ∀x, y ∈ X ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = ⇔ x = y ✷✮ ❱í✐ ∀x, y ∈ X ρ(x, y) = ρ(y, x) ✸✮ ✿ ✿ ✱ ✱ ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z ∈ X ❍➭♠ ρ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ột tr ủ ỗ tử ủ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❳✱ sè ρ(x, y) X ợ ợ ọ ữ ➤✐Ĩ♠ ① ✈➭ ②✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ ✭❳✱ ❚❛ ♥ã✐ ❞➲② ρ ✮ ❤é✐ tơ ➤Õ♥ ♣❤➬♥ tư ∞ n=1 xn x0 ∈ X ♥❤÷♥❣ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ♥Õ✉✿ lim ρ(xn , x0 ) = 0, n→∞ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ lim xn = x0 n→∞ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✸✳ ❉➲② xn ∞ n=1 ⊂X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❝➠s✐ ❤❛② ❞➲② ❝➡ ❜➯♥ ♥Õ✉✿ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N s❛♦ ❝❤♦ ∀i, j ≥ n0 ✼ ❧✉➠♥ ❝ã ρ(xi , xj ) < ✳ www.VNMATH.com ➤Õ♥ ❤➭♠ ˜ x˜α (s) ∈ Q δ xα ♥➭♦ ➤ã t❤✉é❝ ❈❤♦ ♥➟♥ X1 x˜α = xα ✳ ❉♦ ❞➲② {˜ xαnk } ❤é✐ tơ ➤Ị✉ tr a, b ế ị ý ợ ứ ♠✐♥❤✳ ✷ ◆❤➢ tư ✈❐②✱ R(f, α) ❤➭♠ ✈í✐ ♠ä✐ f ∈ L2 [c, d] t❤❡♦ q✉② t➽❝ M α [x, f ] tr➟♥ X1 ✳ x˜α = R(f, α) ✱ ë ➤➞② ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ tá ♣❤➯✐ ❝❤Ø r❛ ➤➢ỵ❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ M α [x, fδ ] α > ✈➭ R(f, α) α = α(δ) ❤é✐ tơ ➤Õ♥ x0 (s) t❛ x˜α ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét t♦➳♥ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ♣❤✐Õ♠ ❧➭ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ s❛♦ ❝❤♦ ♣❤➬♥ tư tr♦♥❣ ➤➢ỵ❝ X1 x˜α(δ) ự tể ề ó ợ ị ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✹✳ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ●✐➯ sư ∀δ > 0, fδ ∈ L2 [c, d] ✈➭ ❤➭♠ β1 (δ), β2 (δ) β2 (0) = 0, δ ≤ β1 (δ)β2 (δ), δ ∈ (0, δ1 ]✱ ❞➢➡♥❣✱ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ ❣✐➯♠ ❞➬♥ tí✐ ❦❤➠♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ sè α = α(δ)✿ δ2 ≤ α(δ) ≤ β2 (δ), β1 (δ) (2.10) max |˜ xα(δ) (s) − x0 (s)| → (2.11) t❛ ❝ã s∈[a,b] ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❱× M α [x, fδ ] ➤➵t ❣✐➳ trÞ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ t➵✐ x = x˜α(δ) M α [˜ xα , fδ ] ≤ M α [x0 , fδ ] ▼➷t ❦❤➳❝✱ αΩ(˜ xα ) ≤ M α [˜ xα , fδ ] ≤ M α [x0 , fδ ] = Ax0 − fδ ≤ f0 − fδ L2 [c,d] L2 [c,d] + αΩ(x0 ) + αΩ(x0 ) δ2 ≤ δ + αΩ(x0 ) = α[ + Ω(x0 )], α δ /β1 (δ) ≤ α(δ) ë ➤➞② α = α(δ) ❉♦ ✱ ❝❤♦ ♥➟♥ δ2 ≤ β1 (δ) ≤ β1 (δ1 ) α ✸✹ ✱ ❝❤♦ ♥➟♥ www.VNMATH.com ✈➭ ◆❤➢ ✈❐②✱ δ2 ˜ + Ω(x0 ) ≤ β1 (δ1 ) + Ω(x0 ) := d α ˜ Ω(x0 ) ≤ d ˜ Ω(˜ xα ) ≤ d, {˜ xα } x0 ❈ã {fδn } ⊂ L2 [c, d], fδn − f0 {˜ xαn } ⊂ X ˜ Ω(˜ xαn ) ≤ d ♠ét ❞➲② ✈➭ ✈í✐ L2 [c,d] ♥❣❤Ü❛ ≤ δn → αn = α(δn ) ❧➭ ✈➭ n→∞ ❦❤✐ ✳ a, b ❪ ➤Õ♥ ♠ét ❤➭♠ x˜(s) Φ ✳ ●ä✐ ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ❧➭♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✶✳✶✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② ❝♦♥ ❝đ❛ ❬ t❤✉é❝ M αn [x, fδn ] {˜ xαn } ❤é✐ tơ tr➟♥ ♥➭♦ ➤ã✳ ➜Ĩ ❝❤♦ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ✈➱♥ ❣✐÷ ♥❣✉②➟♥ ❦Ý ❤✐Ư✉ ➤ã ❝❤♦ ❞➲② ❝♦♥✱ t❛ ❝ã ≤ A˜ xαn − f0 ❱× L2 [c,d] ≤ A˜ xαn − fδn L2 [c,d] + δn ≤ M αn [˜ xαn , fδn ] + δn ≤ M αn [x0 , fδn ] + δn ≤ ( Ax0 − f0 ≤ δn2 + αn Ω(x0 ) + δn L2 [c,d] + δn )2 + αn Ω(x0 ) + δn αn ≤ β2 (δn ) ✱ ❝❤♦ ♥➟♥ ≤ A˜ xαn − f0 ❉♦ {˜ xαn } ❧➭ A˜ x − f0 = L2 [c,d] a, b ❤é✐ tơ ➤Ị✉ tr➟♥ ❬ ≤ ❪ ➤Õ♥ δn2 + β2 (δn )Ω(x0 ) + δn → x˜(s) ✱ ❝❤♦ ♥➟♥ ➜✐Ò✉ ➤ã ♥ã✐ ❧➟♥ r➺♥❣ x˜ ❚õ tÝ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✷✳✶✮ s✉② r❛ t❤✃② ❧➭ ♠ä✐ ❞➲② ❝♦♥ ❤é✐ tơ ❝đ❛ {˜ xα(δ) } ❤é✐ tô ➤Õ♥ x0 {˜ xα(δ) } A˜ x − f0 L2 [c,d] = ❚ø❝ ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✷✳✶✮✳ x˜ = x0 ✳ ◗✉❛ ➤ã✱ ❞Ô ❞➭♥❣ ♥❤❐♥ ➤Ị✉ ❤é✐ tơ ➤Õ♥ x0 ✳ ❈❤♦ ♥➟♥ ❝➯ ❞➲② ị ý ợ ứ t t ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ♠➳② tÝ♥❤ ❇➞② ❣✐ê✱ t❛ ①Ðt ✈✐Ö❝ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ t❤✉❐t t♦➳♥ tr➟♥ ♠➳② tÝ♥❤✳ ✸✺ www.VNMATH.com ▲✃② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tõ♥❣ ♣❤➬♥ t❛ ➤➢ỵ❝ b b q(s)x (s)ds − Ω(x) = a x(s)(p(s)x (s)) ds a + p(b)x(b)x (b) − p(a)x(a)x (a) = x, Lx + p(b)x(b)x (b) − p(a)x(a)x (a), tr♦♥❣ ➤ã Lx(s) = q(s)x(s) − (p(s)x (s)) ❝ß♥ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ b x, Lx = x(s)Lx(s)ds a ✈➭ d b α K(t, s)x(s)ds − fδ (t) M [x, fδ ] = c dt + α x, Lx a + α[p(b)x(b)x (b) − p(a)x(a)x (a)] ◆Õ✉ x˜α ❧➭♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ M α [x, fδ ] t❤× x˜α ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ d α M [x + γν, fδ ] dγ = (2.12) γ=0 ❚õ ➤➞② s✉② r❛ d dγ d b K(t, s)[x(s) + γν(s)]ds − fδ (t) c dt a γ=0 d x + γν, L(x + γν) dγ γ=0 d + α (p(b)x(b)x (b) − p(a)x(a)x (a)) = dγ +α ❑Ý ❤✐Ö✉ d ∗ A v(s) = K(t, s)v(t)dt, c b ∗ K(s, t)x(t)dt, A Ax(s) = a ë ➤➞② d K(s, t) = K(µ, s)K(µ, t)dµ c ✸✻ www.VNMATH.com ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜➺♥❣ ✵ ❝đ❛ ➤➵♦ ❤➭♠ ë tr➟♥ ❝❤♦ t❛ A∗ Ax + αLx = A∗ fδ ✈➭ p(b)[x(b)v (b) + x (b)v(b)] − p(a)[x(a)v (a) + x (a)v(a)] = x˜α(δ) ◆❤➢ ✈❐②✱ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø ✭❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤✮ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ b α{q(s)x(s) − (p(s)x (s)) } + K(s, t)x(t)dt = g(s), (2.13) a ë ➤➞② d g(s) = K(t, s)fδ (t)dt c t❤♦➯ ♠➲♥ ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ • x(a) = x(b) = 0, • x(a) = x (b) = 0, • x (a) = x(b) = 0, • x (a) = x (b) = ◆ã ❣➬♥ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝❤♦ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♠➭ t❛ ➤➲ ①Ðt ë tr➟♥✳ ❈❤ó ý ✷✳✶✳✸✳ ✶✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❞♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤ù❝ tÕ ➤➷t r❛✳ ✷✳ ❈ã t❤Ĩ ❞ï♥❣ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐ s❛✉ ➤Ĩ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ã ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ ❜➺♥❣ ✵✳ ✲ ◆Õ✉ x(a) = x1 ✈➭ x(b) = x2 x(s) = x˜(s) + ✱ t❛ ❝ã t❤Ó ➤➷t x2 x1 (s − a) + (b − s) b−a b−a ❑❤✐ ➤ã✱ ❞Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ ❧➭ x˜(a) = ✸✼ ✈➭ x˜(b) = www.VNMATH.com ✲ ◆Õ✉ x (a) = m1 x (b) = m2 ✈➭ x(s) = x˜(s) − ✱ t❛ ❝ã t❤Ó t❤Õ m1 m2 (b − s)2 + (s − a)2 2(b − a) 2(b − a) ❑❤✐ ➤ã✱ ❝ị♥❣ ❞Ơ ❞➭♥❣ ❦✐Ĩ♠ tr❛ ➤➢ỵ❝ ❧➭ ✲ ◆Õ✉ x(a) = x1 , x (b) = m2 ✈➭ x˜ (b) = ✱ t❤× ➤➷t x(s) = x˜(s) + x1 + t❛ ➤➢ỵ❝ x˜ (a) = m2 (s − a)2 2(b − a) x˜(a) = x˜ (b) = rờ ợ ò ũ ét t tự ✷✳✶✳✸✳ ❘ê✐ r➵❝ ❤♦➳ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤Ĩ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ①✃♣ ①Ø ❇➞② ❣✐ê✱ t❛ ①Ðt q✉➳ tr×♥❤ rê✐ r➵❝ ❤♦➳ ➤Ĩ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ①✃♣ ①Ø✳ ➜Ĩ ❝❤♦ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧✃② b {x2 (s) + p(x (s))2 }ds, Ω(x) = (2.14) a ë ➤➞② p ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ●✐➯ t❤✐Õt ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ x (a) = x (b) = ❑❤✐ ➤ã✱ ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø x(s) ∈ X xα (s) t❤♦➯ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tõ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ b K(s, t)x(t)dt + α(x(s) − px (s)) = g(s), a x (a) = x (b) = 0, d g(s) = K(t, s)fδ (t)dt c a, b ❚❛ ❝❤✐❛ ❬ ❪ r❛ ❧➭♠ n ❦❤♦➯♥❣ ➤Ị✉ ♥❤❛✉ ✈í✐ ❜➢í❝ ❝❤✐❛ h = (b − a)/n ✈➭ ①Ðt ❝➳❝ ♠è❝ ❝❤✐❛ si = a + 0, 5h + (i − 1)h, i = 1, 2, , n ❚❤❛② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ tứ ì ữ t t x ❜➺♥❣ tû s❛✐ ♣❤➞♥ www.VNMATH.com t❛ ➤➢ỵ❝ n K(si , tj )hxj + αxi + α j=1 2xi − xi−1 − xi+1 = gi , h2 d i = 1, 2, , n; gi = K(t, si )fδ (t)dt c ❈ị♥❣ ❝➬♥ ❧➢✉ ý ❧➭ ❜➢í❝ ❧➢í✐ ❝❤✐❛ t❤❡♦ ❜✐Õ♥ ❝❤♦ i=1 ✈➭ i=n ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ t❤♦➯ ♠➲♥ t❛ ❧✃② ❑Ý ❤✐Ư✉ x0 ✱ t❤× ❤❛✐ t❤❛♠ sè x0 = x1 B = [bi,j ], i, j = 1, , n ✈➭ ✈➭ ✈í✐ t ✈➭ xn+1 s ❝ã t❤Ĩ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❑❤✐ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤✳ ➜Ĩ ❝❤♦ xn+1 = xn bij = K(si , tj )h ✱ t❛ ❝ã ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ Bα xn = Bxn + αCxn = g n , ë ➤➞② ✈Ð❝t➡ ❝ß♥ xn ✈➭ gn ❧➭ ❝➳❝ ✈Ð❝t➡ ❝ét n ❝❤✐Ò✉✱ tr♦♥❣ ➤ã g n = (g1 , g2 , , gn )T  α(1 + h12 ) − hα2   − α2 α(1 + h22 ) − hα2 h   αC =    0  (2.15) xn = (x1 , x2 , , xn )T ✈➭ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ t❛ ❝ã Bα ✳ ✳ ✳ 0  0 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳         α(1 + − hα2 h2 ) − hα2 α(1 + h2 ) ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ➤è✐ ①ø♥❣ ✈➭ ①➳❝ ị ệ trì tr ó tể ❣✐➯✐ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➝♥ ❜❐❝ ❤❛✐ ❤♦➷❝ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❦❤➳❝✳ ✷✳✷ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■ ❚❛ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ➤Ĩ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■✱ ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ư❝ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ✸✾ www.VNMATH.com ❤♦➷❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧➭♠ tr➡♥ ❚✐❦❤♦♥♦✈✳ ➤é ❤é✐ tô✱ ë ♠ô❝ ♥➭②✱ t❛ t✐Õ♣ tô❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tè❝ ①✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ❝ị♥❣ ♥❤➢ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤✱ ❦❤✐ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ①✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✱ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭②✳ ➜å♥❣ t❤ê✐✱ t❛ ❝ị♥❣ ❝❤Ø r❛ ❦❤✐ ♥➭♦ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❧➭ tèt ♥❤✃t✳ ◆❤➢ ➤➲ ❜✐Õt✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ (Ax)(s) = K(s, t)x(t)dt = f0 (s), (2.16) ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ ❦❤✐ x0 (t) ♥❣❤✐Ö♠ ❜×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tè✐ t❤✐Ĩ✉ f0 (s) ✳ ❚❛ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ã Im(A) ❦❤➠♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭♦ ✈Õ ♣❤➯✐ f0 (s) ∈ Im(A) ✱ tø❝ ❧➭ ✭✷✳✶✻✮ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✳ ➜➷t A˜ = A∗ A ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶✳ ◆Õ✉ ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ①Ðt ❜ỉ ➤Ị s❛✉✳ α > ✈➭ w(t) ∈ L2 ❬✵✱✶❪✱ t❤× 1 ˜ −1 (αI + A) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ø♥❣ ❧➭ a ✈➭ b ✳ ˜ −1 K(t, )w(t)dt (αI + A) K(t, )w(t)dt = ❚❤❐t ✈❐②✱ ❉♦ (2.17) A˜ ❦Ý ❤✐Ö✉ ✈Õ tr➳✐ ✈➭ ♣❤➯✐ ❝ñ❛ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t➢➡♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư tù ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ♥➟♥ αI + A˜ ✈í✐ >0 t tử ợ ị t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ˜ = (αI + A)a ˜ (αI + A)b ❚❛ ❜➽t ➤➬✉ ✈í✐ ˜ =α (αI + A)b ˜ −1 K(t, )w(t)dt (αI + A) A˜ ˜ −1 K(t, )w(t)dt (αI + A) ❙è ❤➵♥❣ t❤ø ❤❛✐ t❤✉é❝ ✈Õ ♣❤➯✐ ❝ñ❛ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❧➭ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜é✐✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ✹✵ www.VNMATH.com t❤❛② ➤ỉ✐ t❤ø tù ❝đ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♥➭② ✈➭ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ˜ = (αI + A)b ˜ ˜ −1 K(t, )w(t)dt (αI + A)(αI + A) = K(t, )w(t)dt ˜ ˜ −1 (αI + A)(αI + A) K(t, )w(t)dt ˜ = (αI + A)a ✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✳ ❤➭♠ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ ˜ ✱ α = O(δ)✱ ✈➭ tå♥ t➵✐ ♠ét x0 (t) ∈ Im(A) ˜ t (.))(s), t❤× Ut (.) ∈ L2 (❬✵✱✶❪×❬✵✱✶❪✮ s❛♦ ❝❤♦ k(t, s) = (AU ◆Õ✉ ✭①❡♠ ❬✶❪✮ x0 − xδα ë ➤➞② xδα L2 = O(δ), (2.18) ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✻✮✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❉♦ x0 − xδα L2 ≤ x0 − xα L2 sè ❤➵♥❣ t❤ø ♥❤✃t ë ✈Õ ♣❤➯✐ ❝ã ❜❐❝ ①✃♣ ①Ø ❧➭ xα − xδα L2 , O(α) = O(δ) ✭①❡♠ ❬✶❪ ❤♦➷❝ ①❡♠ ❬✻❪✮✱ t❤❡♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭②✱ t❛ ❝❤Ø ❝ß♥ ♣❤➯✐ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❜❐❝ ❝đ❛ sè ❤➵♥❣ t❤ø ❤❛✐ ë ✈Õ ♣❤➯✐ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✳ ❙ư ❞ơ♥❣ ❇ỉ ➤Ị ✷✳✷✳✶ t❛ ➤➢ỵ❝ ˜ −1 A(f ˜ (t) − fδ (t)) xα − xδα = (αI + A) ˜ −1 K(t, )(f0 − fδ )dt (αI + A) = ˜ −1 AU ˜ t (.)(f0 (t) − fδ (t))dt, (αI + A) = ë ➤➞② fδ ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ f0 t❤♦➯ ♠➲♥ (f0 (t) − fδ (t))2 dt ≤ δ ✹✶ www.VNMATH.com ❉♦ ˜ −1 A˜ ≤ (αI + A) xα − xδα 2L2 ✈➭ sư ❞ơ♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉s❤②✲❙❝❤✇❛rt③ t❛ ❝ã ˜ AU ˜ t (.)(f0 (t) − fδ (t))|dt |(αI + A) −1 ≤ 0 1 ˜ AU ˜ t (.)| dt |(αI + A) −1 ≤ ≤( ds |f0 (t) − fδ (t)|2 dt ds Ut (s)2L2 δ )ds = O(δ ) ➜Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉➳ tr×♥❤ ①✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✱ t❛ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ã ♠ét ❞➲② ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ Vm ⊆ L2 [0, 1] γn = A(I − Pm ) ë ➤➞② A∗ ❧➭ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ A ✈➭ Pm ✈➭ ➤➷t = (I − Pm )A∗ L2 L2 ❧➭ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❧➟♥ P❤➬♥ tư ❧➭♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧➭♠ tr➡♥ ❚✐❦❤♦♥♦✈ tr➟♥ ❤✐Ư✉ ❜➺♥❣ xδm,α ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✷✳ ❝ß♥ Am = A|Vm ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❈❤♦ Vm Vm ✳ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ✳ ❚❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉✳ x0 ∈ t➵✐ ♠ét ❤ä ❤➭♠ ❣✐í✐ ♥é✐ ➤Ị✉Um,t (.) ˜✮✱ ■♠ ✭A γm = O(α), α = O(δ) ∈ L2 ✭❬✵✱✶❪×❬✵✱✶❪✮ s❛♦ ❝❤♦ ✈➭ tå♥ Am (t, s) = (A˜m Um,t (.))(s) ❑❤✐ ➤ã✱ x0 − xδm,α ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ L2 = O(δ) ❚❛ ❝ã x0 − xδm,α L2 ≤ x0 − xα L2 + xm,α − xδm,α ✈➭ xα − xm,α (2.19) L2 + xα − xm,α L2 L2 = O(γm ) ✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ xm,α − xδm,α = (αI + A˜m )−1 A∗m (f0 − fδ ) (αI + A˜m )−1 K(t, s)(f0 (t) − fδ (t))dt = (αI + A˜m )−1 AUm,t (.)(f0 (t) − fδ (t))dt = ✹✷ www.VNMATH.com ❙ư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ë tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✳ ✈➭ tÝ♥❤ ❣✐í✐ ♥é✐ ➤Ị✉ ❝đ❛ Um, (.) ✱ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ xm,α − xδm,α L2 Um, (s) δ ds = O(δ ) ≤ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤♦ t❛ x0 − xδm,α L2 ✷ = O(α) + O(δ) = O(δ) ◆❤➢ ë ♠ơ❝ tr➢í❝ t❛ t❤✃② tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ tèt ❤➡♥ O(δ 2/3 ) A ❦❤✐ ■♠✭ ✮ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✳ ❑Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ✈Ý ❞ơ ✈Ị t♦➳♥ tư ❝ã ề trị ữ ề ị ý ✭①❡♠ ❬✶❪✮ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ ❤➭♠ Us (t) ♥❤➢ tr♦♥❣ ị ý tì A ữ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❉♦ ˜ s (t), K(s, t) = (AU t❛ ❝ã ˜ s (t)f (t)dt AU (Af )(s) = = (AUs (v)(Af )(v)dv = AUs , Af L2 ●ä✐ ❝ñ❛ λj , ϕj A ✈í✐ ❧➭ ♠ét ❤Ư ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ✈➭ ✈Ð❝t➡ r✐➟♥❣ trù❝ ❝❤✉➮♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ λ1 > λ2 > ❉♦ ϕj ∈ A ■♠✭ ✮✱ ❝❤♦ ♥➟♥ ϕj (s) = AUs , ϕj L2 = λj Us , ϕj L2 ✈➭ = ϕj , ϕj L2 = λj Us , ϕj L2 , ϕj (s) L2 ❙✉② r❛✱ Us ◆❤➢ ✈❐②✱ L2 ≥ Us , j ỗ ộ tụ ữ trị r✐➟♥❣ λj L2 , ϕj (s) ❉♦ ➤ã✱ L2 = (1/λj )2 t♦➳♥ tö ❝♦♠♣❛❝t A ❝❤Ø ❝ã t❤Ĩ ❝ã A ✳ ❙✉② r❛ ■♠✭ ✮ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✳ ✷ ✹✸ www.VNMATH.com ✷✳✸ ❑Õt q✉➯ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❝ơ t❤Ĩ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ s❛✉ K(t, s)x(s)ds = f (t) (2.20) tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ L2 [0, 1] ✈í✐  t(1 − s) K(t, s) = s(1 − t) ♥Õ✉ t ≤ s, ♥Õ✉ t > s ❑❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✷✵✮ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ◆Õ✉ ❝❤ä♥ x(t) = sin(2t + 1) t❤× f (t) = (sin(2t + 1) + t(sin1 − sin3) − sin1) 0, ❚❛ ❝❤✐❛ ❬ ❪ r❛ ❧➭♠ n ❦❤♦➯♥❣ ➤Ị✉ ♥❤❛✉ ✈í✐ ❜➢í❝ ❝❤✐❛ h = 1/n ✈➭ ①Ðt ❝➳❝ ♠è❝ ❝❤✐❛ si = a + 0, 5h + (i − 1)h, i = 1, 2, , n ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭①❡♠ ✭✷✳✶✺✮✮✿ (B + αC)xn = g n ✳ ●✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tr➟♥ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ t❛ ❝ã ❦Õt q số s ã ợ tí ✈í✐ α = 0.001 n=5 xα ◆❣❤✐Ư♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ✱ sè ➤✐Ĩ♠ ❝❤✐❛ ◆❣❤✐Ư♠ ①✃♣ ①Ø ✵✳✽✹✹✵✸ ✵✳✽✹✶✹✼ ✵✳✾✽✵✷✶ ✵✳✾✽✺✹✺ ✵✳✾✻✽✷✼ ✵✳✾✼✸✽✺ ✵✳✽✵✸✼✽ ✵✳✽✵✽✺ ✵✳✺✶✷✼✹ ✵✳✺✶✺✺ ✵✳✶✺✵✵✹ ✵✳✶✹✶✶✷ ❇➯♥❣ ✷✳✶ www.VNMATH.com ã ợ tí số ➤✐Ĩ♠ ❝❤✐❛ ◆❣❤✐Ư♠ ①✃♣ ①Ø xα n=5 ✱ t❤❛♠ sè α = 0.0001 ✳ ◆❣❤✐Ö♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ✵✳✽✹✶✼✹ ✵✳✽✹✶✹✼ ✵✳✾✽✹✶✷ ✵✳✾✽✺✹✺ ✵✳✾✼✷✶✺ ✵✳✾✼✸✽✺ ✵✳✽✵✻✾✻ ✵✳✽✵✽✺ ✵✳✺✶✹✺✻ ✵✳✺✶✺✺ ✵✳✶✹✷✵✹ ✵✳✶✹✶✶✷ ❇➯♥❣ ã ợ tí t tự t sè ◆❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø xα α = 0.0001 ✱ sè ➤✐Ĩ♠ ❝❤✐❛ ◆❣❤✐Ư♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ✵✳✽✹✷✷✽ ✵✳✽✹✶✹✼ ✵✳✾✸✶✹✽ ✵✳✾✸✷✵✹ ✵✳✾✽✹✼✼ ✵✳✾✽✺✹✺ ✵✳✾✾✽✽✸ ✵✳✾✾✾✺✼ ✵✳✾✼✸✵✾ ✵✳✾✼✸✽✺ ✵✳✾✵✽✺✼ ✵✳✾✵✾✸ ✵✳✽✵✼✽✹ ✵✳✽✵✽✺ ✵✳✻✼✹✾✶ ✵✳✻✼✺✹✻ ✵✳✺✶✺✵✾ ✵✳✺✶✺✺ ✵✳✸✸✹✼✻ ✵✳✸✸✹✾✾ ✵✳✶✹✸✵✷ ✵✳✶✹✶✶✷ ❇➯♥❣ ✷✳✸ ✹✺ n = 10 ✳ www.VNMATH.com ◆❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø xα ◆❣❤✐Ö♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ✵✳✽✹✶✺✺ ✵✳✽✹✶✹✼ ✵✳✾✸✶✽✼ ✵✳✾✸✷✵✹ ✵✳✾✽✺✶✾ ✵✳✾✽✺✹✺ ✵✳✾✾✾✷✺ ✵✳✾✾✾✺✼ ✵✳✾✼✸✹✾ ✵✳✾✼✸✽✺ ✵✳✾✵✽✾✹ ✵✳✾✵✾✸ ✵✳✽✵✽✶✼ ✵✳✽✵✽✺ ✵✳✻✼✺✶✾ ✵✳✻✼✺✹✻ ✵✳✺✶✺✸ ✵✳✺✶✺✺ ã ợ tÝ♥❤ t➢➡♥❣ tù ✈í✐ t❤❛♠ sè α = 0.00001 ✱ sè ➤✐Ó♠ n = 10 ❝❤✐❛ ✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➢ỵ❝ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧➷♣ ❏❛❝♦❜✐✱ ✈í✐ ①✃♣ (0) ①Ø ❜❛♥ ➤➬✉ xj = 0.5 j = 1, , n ✱ ✈➭ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❞õ♥❣ ❝ñ❛ ❞➲② ❧➷♣ ❧➭ (m+1) max |xj 1≤j≤n (m) − xj | ≤ 10−4 , ✹✻ www.VNMATH.com ❑Õt ❧✉❐♥ ➜Ò t➭✐ ➤➲ ➤Ò ❝❐♣ ➤Õ♥ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ị s❛✉✿ • ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ ■✳ • ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❦❤✐ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ①✃♣ ỉ ữ ề ã r ột í ụ ✈➭ ❦Õt q✉➯ sè ♠✐♥❤ ❤♦➵✳ ❱í✐ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ q trọ tr tự tế ữ ề ợ trì ❜➭② tr♦♥❣ ➤Ị t➭✐ ❤✐Ư♥ ➤➲ ✈➭ ➤❛♥❣ ➤➢ỵ❝ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ q✉❛♥ t➞♠✱ ➤✐ s➞✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ▼➷❝ ù ó ố ỗ ự s ❝❤➽❝ ❤➻♥ ➤Ị t➭✐ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ ❤➵♥ ❝❤Õ✱ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❚➳❝ ❣✐➯ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ➤Ĩ ➤Ị t➭✐ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳ ❳✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥✦ ✹✼ www.VNMATH.com ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ P❤➵♠ ❑ú ❆♥❤ ✈➭ ◆❣✉②Ô♥ ❇➢ê♥❣✱ ❇➭✐ t♦➳♥ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✱ ✷✵✵✺✳ ❬✷❪ P❤➵♠ ❑ú ❆♥❤✱ ●✐➯✐ tÝ❝❤ sè✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✱ ✷✵✵✺✳ ❬✸❪ ❍♦➭♥❣ ❚ô②✱ ❍➭♠ t❤ù❝ ✈➭ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✱ ✷✵✵✸✳ ❬✹❪ ❆✳◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ ❖♥ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ❢♦r ✐♥❝♦rr❡❝t❧② ♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❆❝❛❞✳ ◆❛✉❦ ❙❙❙❘ ▼❛t❤✳✱ ❬✺❪ ❆✳◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈✱ ✶✺✸ ❉♦❦❧✳ ✭✶✾✻✸✮✱ ✹✾ ✲ ✺✶ ✭✐♥ ❘✉s✐❛♥✮✳ ❘❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥♦rr❡❝t❧② ♣♦s❡❞ ♣r♦❜❧❡♠s ❛♥❞ t❤❡ r❡❣✲ ✉❧❛r✐③❛t✐♦♥♥ ♠❡t❤♦❞✱ ❉♦❦❧✳ ❆❝❛❞✳ ◆❛✉❦ ❙❙❙❘ ▼❛t❤✳✱ ✹ ✭✶✾✻✸✮✱ ✶✻✷✹ ✲ ✶✻✷✼ ✭✐♥ ❘✉ss✐❛♥✮✳ ❬✻❪ ❏✳ ❍❛❞❛♠❛r❞✱ ▲❡ ♣r♦❜❧Ð♠❡ ❞❡ ❈❛✉s❤② ❡t ❧❡s Ðq✉❛t✐♦♥s ❛✉① ❞Ðr✐✈Ð❡s ♣❛r✲ t✐❡❧❧❡s ❧✐♥Ð❛✐r❡s ❤②♣❡r♣♦❧✐q✉❡s✱ P❛r✐s ✶✾✸✷✳ ✹✽ ... uij ợ ị ợt t t❤ø❝ s❛✉ u11 = √ a11 , u1j = a1j , j = 2, 3, n; u11 i? ??1 uii = u2ki , i = 2, 3, , n; aii − k=1 (aij − uij = uii ❉♦ ➤ã ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ Ux = y i? ??1 uki ukj ), i < j; uij = 0, i. ..www.VNMATH.com Đ? ?I HỌC TH? ?I NGUYÊN TRƯỜNG Đ? ?I HỌC KHOA HỌC -   MAI THỊ NGỌC HÀ HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LO? ?I I Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số:... ♠è❝ ❝❤✐❛ si = a + 0, 5h + (i − 1)h, i = 1, 2, , n ❚❤❛② tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜➺♥❣ ❝➠♥❣ tứ ì ữ t t x tỷ s❛✐ ♣❤➞♥ www.VNMATH.com t❛ ➤➢ỵ❝ n K(si , tj )hxj + αxi + α j=1 2xi − xi−1 − xi+1 = gi , h2 d i = 1,